ΜΑΘΗΜΑ 9 Γενικές ασκήσεις µιγαδικών

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 9 Γεικές ασκήσεις µιγαδικώ. Για το µιγαδικό δίεται ότι. Να βρείτε i) το ii) το σύολο τιµώ του i. i) ( )( ) [ ] Άρα ( )( ) ( )( ) () (). 0 ii) i i ( ) ( i) i ( ) ( i) ( ) i () i ( ) ( i) i () Από τις (), () συµπεραίουµε ότι i Εξατλούµε τη υπόθεση Εκφράζουµε το ζητούµεο i συαρτήσει του γωστού Εποµέως το σύολο τιµώ του i είαι το διάστηµα,

2 . Για τους µιγαδικούς,, δίεται ότι,,. Να αποδείξετε ότι i) 0 9 ii) i) Έστω 0, τότε. Θα έχουµε που είαι άτοπο. ii) Αρκεί α αποδείξουµε ότι 9, 9, Α για το C ισχύει α αποδείξετε ότι Έστω x yi i i x 0 yi yi i i yi i yi i i(y ) i(y ). 9.. i y i y i i. y y, που αρκεί α αποδειχθεί y x y

3 0 y y y y y και y 0 y και y 0 Άρα y y y (y ) y y. Έστω οι *, C ώστε 0 ( ) 0 0 ή * R.. Να αποδείξετε ότι Η υπόθεση Ότα 0 0 Ότα ( 0 0 ) ( 0 και η () 0 ( 0 0, η () ) () ) R 0 0 Να παρατηρήσουµε ότι ο αριθµός 0 µπορεί α είαι ο οποιοσδήποτε θετικός.. Για τους µιγαδικούς w, 0 δίεται ότι ( ) w ή w R και R. w i w (w i)( w i ) w i w. Να αποδείξετε ότι w (i ) (w i)( w i ) (w i) (w i) () Ότα w i 0, η () w i w i i i w w i( ) w w i i Im() i Im(w) i Im() Im(w) Im() 0 και Im(w) 0 R και w R Ότα w i 0 w i w i w

4 . Για τους µιγαδικούς w, δίεται ότι w w 9w 0 () ± iw i 9w 0 ( ) (iw ) 0 ( iw)( iw) 0 iw 0 ή iw 0 ± iw () ± iw w w 9w 0. Να αποδείξετε ότι w ± iw w w(± i ) w ± i w 9 w Άρα w w w w 7. Α για το C ισχύει, δείξτε ότι R. Υπόδειξη. Ύψωσε τα δύο µέλη στο τετράγωο, Πράξεις ααγωγή οµοίω όρω Οπότε 8. Για κάθε 0 *, w και αρχή τω αξόω. 0 ( ) 0 C N, α αποδείξετε ότι οι εικόες τω µιγαδικώ u ες πρώτα στο Μάθηµα τη άσκηση πρόταση 9 Είαι w ορίζου ευθεία που διέρχεται από τη και Αρκεί α ισχύει u λw, όπου λ R u u w R R

5 9. Α για το µιγαδικό ισχύει Άρα ( )( ) ( )( ) Re( ) Re( ) yi ( ) y ( ) που ισχύει, α αποδείξετε ότι ( ) 0. Αποδείξτε ότι, η εξίσωση... 0 έχει µόο πραγµατικές ρίζες () (συζυγής στα δύο µέλη)... 0 () () ()... 0 ( )( ) ( )( )... ( )( ) 0

6 ... 0 ( )... x 0 R 0 Η ποσότητα της παρέθεσης είαι θετική σα άθροισµα µέτρω.. λ Θεωρούµε τη εξίσωση α λ α... λ α λ µε άγωστο C, όπου οι λ, λ,..., λ είαι θετικοί, και οι α, α,..., α και λ είαι πραγµατικοί 0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει όλες τις ρίζες της πραγµατικές. Πάµε µε απαγωγή σε άτοπο Έστω x yi µε y 0 µια καθαρά µιγαδική ρίζα της εξίσωσης () λ Τότε ο τη επαληθεύει α λ α... λ α λ () Α στη εξίσωση φαταστούµε τη απαλοιφή τω παραοµαστώ, προκύπτει εξίσωση µε πραγµατικούς συτελεστές. Οπότε ρίζα της εξίσωσης θα είαι και ο. λ Τότε ο τη επαληθεύει α λ α... λ α λ () λ λ () () α α λ λ α α... λ λ α α 0 α α λ ( α )( ) α λ α α α α α 0 λ ( )( ) α λ 0 λ ( ) α λ α 0 αφού η παρέθεση είαι θετική R που είαι άτοπο κατά τη () 0

7 7. Α * N και α,β R,α δείξετε ότι, η εξίσωση πραγµατικές, τότε και µόο τότε, ότα α β i αβ i i Ευθύ: (Η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές. Θα αποδείξουµε ότι Έστω x µία πραγµατική ρίζα της εξίσωσης ix αβ i ix ix ix ix ix ix ix αβ i α β α β Είαι συζυγείς, άρα έχου ίσα µέτρα Ατίστροφο: (Ισχύει έχει ρίζες πραγµατικές) Έστω C µια ρίζα της εξίσωσης i αβ i i α β α β α β. Θα αποδείξουµε ότι η εξίσωση i i i i αβ i i i α β α β ) i i έχει ρίζες α β i αβ i i i i ( i)( i ) ( i)( i ) i i i i i i R Ότα δε µπορούµε α γράφουµε ισοδυαµίες, διακρίουµε το ευθύ από το ατίστροφο. Να λύσετε το σύστηµα Περιορισµός : w 0 w w w w w ( w) w () και οµοίως w w ( w ) w ( w ) w

8 8. w w w ( w) w 8 () () () : ( w) w w () () ( ) ( ), ± i ± () w (± ) ± ± 0 Άρα (, w) (, ) ή (, ) Με ατικατάσταση στο περιορισµό διαπιστώουµε ότι και οι δύο λύσεις είαι δεκτές.. Οι εικόες τω µιγαδικώ,, ορίζου τρίγωο P P P µε ορθόκετρο τη αρχή Ο. Να δειχτεί ότι. Το ορθόκετρο οδηγεί σε γεωµετρία άρα σε Έστω x y i, x y i, x y i συτεταγµέες ΟΡ Ρ Ρ. Ρ Ρ 0 x ( x x ) y ( y y ) 0 x x x x y y y y 0 x x y y x x y ΟΡ Για τη ισότητα αρκεί α αποδείξουµε Re( ) Re( ) Re( ) Re( ) κυκλικά x x y y x x y και x x y y x x y Αλλά ( x y i) ( x y i) ( x x y y ) ( )i οπότε Re( ) x x y y και οµοίως Re( ) x x y y y () y () y () Έτσι, αρκεί α αποδείξουµε ότι x x y y x x y y, που ισχύει από τη () Οµοίως αποδεικύεται ότι

9 9. Οι µιγαδικοί,, είαι διάφοροι µηδεός και διαφορετικοί µεταξύ τους. Θεωρούµε τους µιγαδικούς w, w, w. Α οι w, w είαι φαταστικοί α δειχθεί ότι και ο w είαι φαταστικός. Σ αυτή τη περίπτωση α δειχθεί ότι η αρχή τω αξόω είαι ορθόκετρο του τριγώου AAA, όπου A, A, A οι εικόες τω,,. w φαταστικός w w ( ) ( ) Οµοίως w φαταστικός Αρκεί α αποδείξουµε ότι w w που ισχύει από τις (), () αφού έχου κάποια µέλη τους ίσα. () () Η συέχεια είαι το ατίστροφο της άσκησης. ούλεψε µε το ίδιο τρόπο.. Έστω το σύολο S { : } C. i. Α, S α αποδείξετε ότι S και S ii. Να βρείτε όλους τους µιγαδικούς S, για τους οποίους ισχύει R i), S., άρα S ii) άρα S

10 0 S λ R λ( ) λ λ λ λ λ λ 0 ( λ) ( λ) ( λ) 0 () () ( λ) ( λ) ( λ) 0 ( λ) ( λ) ( λ) 0 ( λ) ( λ) ( λ) () () ( λ) Ότα λ 0, η () 0 () 0 () 0 0 απορρίπτεται αφού 0 Ότα λ 0 δηλαδή λ, η () ισχύει για κάθε C. Αλλά () 0 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ή ή ή i ή i Έας πιο κλασσικός τρόπος για το (ii) R ( 0) 0 ( )( ) 0 0 ή ή 0 ή ή i ή i

11 7. Να βρεθεί ο µιγαδικός Θέτουµε Η w., ότα γίεται w. όχι ατίστροφα w w w w w Η γίεται w w (w )( w ) w w w w w w 0 w w w 0 w w 0 ± i άρα ± i 8. Έστω οι µιγαδικοί,, µε εικόες Α,Β,Γ ατίστοιχα, για τους οποίους ισχύει και i ( ) είαι ισόπλευρο. i ( ) αλλά i ( ). Να δειχθεί ότι το τρίγωο ΑΒΓ () (ΒΑ) (ΓΑ) Πάµε για i () i ( ) i i ( ) ( ) i i i i

12 αλλά i ( ) i ( ) i ( ) () (ΒΓ) (ΓΑ) i 9. i) Για τους, w C α αποδείξετε ότι ΟΚ.ΟΛ Re( ) εικόες τω, w στο µιγαδικό επίπεδο. ii) Έστω οι,, C µε και ( ) ( ) ( ) 0 () w, όπου K, Λ οι Να αποδείξετε ότι OA.OB OB.OΓ O Γ.OA 0, όπου A,Β,Γ οι εικόες τω,, στο µιγαδικό επίπεδο. i) Έστω x yi και w u vi ΟΚ.ΟΛ xu yv () w (x yi)( u vi) xu yv ( )i Re( w ) xu yv () (), () ΟΚ.ΟΛ Re( w ) ii) Αρκεί α δειχθεί ότι Re( ) Re( ) Re( ) 0 ή αρκεί Re( ) 0 δηλαδή αρκεί ο α είαι φαταστικός ή αρκεί ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Σύδεση τω µιγαδικώ µε το εσωτερικό γιόµεο 0 που ισχύει από υπόθεση

13 0. Για τους µιγαδικούς,, δίεται ότι. i) Α Re( ) και κυκλικά, α υπολογίσετε το και κυκλικά ii) Να αποδείξετε ότι Re Re Re Θυµίζουµε τη ισοδυαµία : i) ( )( ) Re( ) Re( ) (). 8 άρα 8 ii) Από τη () έχουµε Re( ) 0 Re( ) 0 Re( ) Re Κυκλικά και προσθέτουµε κατά µέλη. Για τους µιγαδικούς, 0 και το πραγµατικό α ± δίεται ότι α α. Να αποδείξετε ότι α α α α ( α )( α ) ( α )( α ) α α α α α α α α α α 0 α ( ) ( ) ( ) ( α ) ()

14 Είαι () ( ) Τριγωική αισότητα ( ). ( ) ( ) () Α για τους µιγαδικούς, w ισχύει w, α αποδείξετε ότι w w Μεγάλης δυσκολίας Είαι () Είαι w w w w () () () w w () Από τη () και τη αποδεικτέα, αρκεί α αποδείξω ότι w αρκεί w w w w w w Αλλά w w 0 Οπότε αρκεί α αποδείξω 0 w w (A) 0 w w w 0 w ( w ) ( w ) 0 ( w ) ( w )

15 ιακρίουµε τις περιπτώσεις : ο ) Ότα w ισχύει η (Α) άρα και η αποδεικτέα ο ) Ότα w < Τρ. αισότητα : w ( ) ( w) w w w w < w <. w w. Για τους µιγαδικούς,,..., δίεται ότι... 0 και... Να αποδείξετε, ότι για κάθε C ισχύει... Μεγάλης δυσκολίας Θυµίζουµε τη ισοδυαµία : w w w..... Τριγωική αισότητα για προσθετέους ( )... ( ) (... ). 0.