MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

Transcript

1 MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD ARVUHULGAD ARITMEETIKA Mõigte rvude kõrgemd stmed Hriliku murru põhiomdus Tehetevhelised seosed Tehted hrilike murdudeg Tehete põhiomdused 6 Näited tehete koht positiivsete j egtiivsete rvudeg 7 Näited tehete koht rtsiolrvudeg 6 8 Protset j promill 8 9 Näited protsetrvutusest 9 0 Arvu soluutväärtus 0 Ülesded ALGEBRA Astmed Juured Näited stedmisest j juurimisest Korrutmise ivlemid 7 Hulkliikme lhutmie teguriteks 7 6 Näited lgerliste vldiste teisedmisest 8 7 Liervõrrd 8 Ruutvõrrd 9 Ruutkolmliikme teguriteks lhutmie 0 Näiteid liervõrrdite j ruutvõrrdite lhedmisest ig ruutkolmliikmete teguriteks lhutmisest Determidid 7 Liervõrrdisüsteem 7 Näited liervõrrdisüsteemide lhedmisest 8 Võrrtus Liervõrrtus 6 Liere võrrtussüsteem 7 Ruutvõrrtus 8 Kõrgem stme võrrtus 9 Asoluutväärtusi sisldvd võrrtused 0 Näited võrrtuste j võrrtussüsteemide lhedmisest Logritmid Summ märk Ülesded ritmeetikst j lgerst 6

2 ARVUHULGAD Positiivsed täisrvud ehk turlrvud tekkisid vjdusest loedd esemeid N 0;; ; ; ; Kõik turlrvud moodustvd turlrvude hulg { } Nturlrvude hulk o kiie liitmise j korrutmise suhtes Nturlrvude hulk muutu kiiseks lhutmise suhtes, kui ted täiedd rvude,,, vstdrvudeg -, -, -, Negtiivsed j positiivsed täisrvud ig rv 0 moodustvd täisrvude hulg Z ± ; ± ; ± ; Täisrvude hulk o kiie liitmise, lhutmise j korrutmise suhtes { } Lieddes täisrvude hulk positiivsete j egtiivsete murdrvudeg, sme rtsiolrvude hulg Q, kus Z, Z j 0 Rtsiolrve s esitd ii khe täisrvu suhte kui k lõplike või lõpmtute perioodiliste kümedmurdude Näiteks,, 6 Kokkuvõttes N Z Q Arvu, mis vldu lõpmtu mitteperioodilise kümedmurru, imettkse irrtsiolrvuks Näiteks, + Kõigi irrtsiolrvude hulg tähis o I Kõik rtsiol- j irrtsiolrvud koos moodustvd relrvude hulg R Seeg Q I R Relrvude hulk o kiie liitmise, lhutmise, korrutmise j jgmise (v jgmie ullig) suhtes Relrve s kujutd rvtelje puktide Arvtelg o lõpmtu sirge, millel o vlitud ullpukt, positiive suud j pikkusühik Kõigi relrvude j rvtelje kõigi puktide vhel o üksühee vstvus Relrvude hulg omdus: ig khe suvlise relrvu vhel leidu ii rtsiolkui k irrtsiolrve

3 ARITMEETIKA Mõigte rvude kõrgemd stmed Hriliku murru põhiomdus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejt j imetjt korrutd või jgd ühe j sm ullist eriev rvug Kui k 0, siis k (murru liedmie) Näiteks 6 k Kui k 0, siis k k : k (murru tdmie) Näiteks k k : k : 0 0 : Tehetevhelised seosed Kui +, siis Näiteks 7 + 8, sellest 7 8 Kui +, siis Näiteks 7 + 8, sellest 8 7 Kui, siis + Näiteks 8 9, sellest 8 9 Kui, siis Näiteks , sellest ( ) Kui, siis : ehk 7 : Kui, siis : ehk : 7 7 ( 0) Näiteks 7, sellest ( 0) Näiteks 7, sellest

4 Kui : ehk, siis ( 0 ) Näiteks : 7 6 ehk sellest 7 6 Kui : ehk, siis ( 0 ) Näiteks : 7 6 ehk 6 7, 6 7, sellest 7 6 Tehted hrilike murdudeg c + c + Näiteks d c d + c + Näiteks d d c c Näteks d c d c Näiteks d d c c d d Näiteks c c Näiteks c c Näiteks c d d : d c c c Näiteks d : c c Näiteks : c c c Näiteks c : : : 9

5 Tehete põhiomdused Vhetuvus ehk kommuttiivsus: Üheduvus ehk ssotsitiivsus: Jotuvus ehk distriutiivsus: Sulgude vmie: + + ( + ) ( + ) c c ( ) ( ) ( ) ( ) c + + c + + c c ( ) ( ) + c + c c c ( ) ( ) ( ) ( ) + + c + + c + c + c + c c c + c Viimsed kks vlemit ütlevd, et miiusmärk sulgude ees muud märgid sulgude sees Näiteks 9 9 ( + ) j ( ) Näited tehete koht positiivsete j egtiivsete rvudeg Näide ) liitmie + ( + 8) ( 7) (lhtiselettult: 9 sme, kui suuremst rvust, milleks o 7, lhutme väiksem j märgiks peme suurem rvu märgi) 0 + ( 7) ( ) (liidme j ig lisme miiusmärgi) ( ) ( sme, kui suuremst rvust, milleks o 8, lhutme väiksem j märgiks peme suurem rvu märgi)

6 ) lhutmie ( + 8) 8 7 ( ) ( 6) + 6 ( + ) 7 c) korrutmie ( + 9) 9 7 (tegurid o ühemärgilised, korrutis o positiive rv) 7 ( ) 7 (tegurid o erimärgilised, korrutis o egtiive rv) 8 ( + 6) (tegurid o erimärgilised, korrutis o egtiive rv) ( ) 8 (tegurid o ühemärgilised, korrutis o positiive rv) d) jgmie 6: ( + 9) 7 (jgtv j jgj o ühemärgilised, jgttis o positiive rv) : ( 6) 9 (jgtv j jgj o erimärgilised, jgttis o egtiive rv) 6 : ( + 9) (jgtv j jgj o erimärgilised, jgttis o egtiive rv) 6 : ( 7) 8 (jgtv j jgj o ühemärgilised, jgttis o positiive rv) 7 Näited tehete koht rtsiolrvudeg Mitme tehteg ülesdes kõigepelt korruttkse või jgtkse j seejärel liidetkse või lhuttkse Kui ülesdes esievd sulud, siis tehkse tehted esmlt ümrsulgudes, siis urksulgudes j seejärel looksulgudes Näide Arvutd ( + ) 9 + 0,6 : ( 0,) 0 Lhedus Kirjutme tehete kohle ede järjekorr umri j rvutme ( + ) 9+ 0,6 :( 0,) 0 ) ;

7 7 7 ) 9 ; ) + 0,6 + ; ) , ; ) : 0 0 Vstus Näide Arvutd (,09 : ) : (, : 0, ) Lhedus Kirjutme tehete kohle ede järjekorr umri j rvutme ),09 : 0,,09 :,80; ) -,80,97; 7 ), : : ; 0 7 ) 0, ; (,09 : 0,) :(, : 0, ) ) 6) 7 7 ; ,97: Vstus 7 0 7

8 Näide Leid, kui,6 (, + ) : 8 7 Lhedus Esimese tehteg rvutme tudmtut sisldv murru väärtuse Teises tehtes leime selle murru imetj väärtuse Nimetjs o jgtis, mille jgtv,+ väärtuse rvutme kolmd tehteg Neljd tehteg sme tudmtu väärtuse ) +,6 + 7; (, + ) : ) 9 7 (, + ) : 7 : 7 ; 7 ) 7 0 7, + 0; 7 7 ) 0-,, Vstus, 8 Protset j promill Rtsiolrvude hulgs o prktilie tähtsus murdudel, mille imetj o 00 või 000 Üks protset ( %) o üks sjdik os tervikust (rvust): % 0, 0 00 Üks promill ( ) o üks tuhdik os tervikust (rvust): 0, Protsetrvutuse põhiülesded, millele tduvd kõik protsetülesded, o järgmised Khe rvu suhte väljedmie protsetides ehk mitu protseti moodust rv rvust : 00% 8

9 Os või protsedi leidmie rvust ehk leid p% rvust m: p m p% m 00 Arvu leidmie tud os järgi ehk leid rv, millest p% o : 00 p% p Muutumise väljedmie protsetides ehk mitu protseti moodust suuruse muut selle suuruse esilgsest väärtusest A: 00% A 9 Näited protsetrvutusest Näide Leid, mitu protseti moodust rv 0 rvust 60 Lhedus Leime ede khe rvu suhte j väljedme selle protsetides: 0 00% 00%, % 60 8 Näide Rmturiiulil o eestikeelsed j igliskeelsed rmtud Eestikeelseid rmtuid o j igliskeelseid 0% eestikeelsetest Mitu rmtut o riiulil? Lhedus Leime igliskeelsete rmtute rvu (so os leidmie rvust): 0 0% 00 Eestikeelseid j igliskeelseid rmtuid o kokku + 8 Vstus Riiulil o 8 rmtut Näide Mitu kilogrmmi toorest kohvi o vj võtt 7 kg pretud kohvi smiseks, kui kohv kot prdimisel,% om klust Lhedus Et kohv kot prdimisel,% klust, siis jää lles 00%-,%87,% klust Seeg 7 kg pretud kohvi o 87,% Leime toore kohvi klu ehk 00%, so: , Vstus Toorest kohvi tule võtt 8 kg 9

10 Näide Töötj plk tõusis 000 krooilt 00 krooile Mitme protsedi võrr tõusis plk? Lhedus Plg tõus (plg muut) o krooi Leime plg muudu j esilgse plg suhte protsetides: %,% 000 Vstus Plk tõusis,% võrr Näide Kui plju vske o vj lisd 80 grmmile kullle proovig 900, et sd kuld proovig 70? Lhedus Tvliselt o sulmi proov tud promillides: 0, Lisme sulmile g vske Kogu sulmi kl o ( + 80) g Puhst kuld o sulmis , g Sulmi proovi sme, kui puht metlli klu jgme kogu sulmi klug Seeg Leime sellest võrrdist : 79 ( + 80), 96 0, 86 :, 6 Vstus Sulmile tule lisd 6 g vske 0 Arvu soluutväärtus Relrvu soluutväärtus o rvteljel sellele rvule vstv pukti kugus ullpuktist Seeg, kui 0,, kui < 0 Kehti seos 0

11 Asoluutväärtuse omdused I Relrvude summ soluutväärtus ei ole suurem liidetvte soluutväärtuste summst: + y + y II Vhe soluutväärtus ei ole väiksem vähedtv j lhuttv soluutväärtuste vhest: y y III Korrutise soluutväärtus võrdu tegurite soluutväärtuste korrutiseg: y y IV Jgtise soluutväärtus võrdu jgtv j jgj soluutväärtuste jgtiseg: y y Näiteks 0 0,,, kui 0 ehk, ( ), kui < 0 ehk < + +, kui 0 ehk, ( ( )) + +, kui < 0 ehk < Ülesded Arvutd 7 + ( ) ( 9) + ( + 8) ( + 6) Vstus 0 Arvutd ( + 7) + ( ) ( ) + ( ) Vstus 7 Arvutd 7 ( 8 ) :( + ) Vstus

12 Arvutd + 8: ( + ) ( 6) Vstus Arvutd 7 :( + 8 ) :( ) Vstus 6 Arvutd 8 0, 8 0, Vstus 6,6 7 Arvutd : + 7, :0 0, Vstus 80 8 Leid, kui ,7 :9 9 Vstus 9 Viimrjde kuivtmisel sdud rosite kl moodust % viimrjde klust Leid kilogrmmi rosite smiseks vjlik viimrjde kl Vstus 6, kg 0 Pliits mksis 6 krooi j 0 seti, pele hildust mksis sm pliits krooi j 70 seti Mitme protsedi võrr ldti pliitsi hid? Vstus 0,% Õpperühms o 0 üliõpilst, edest 0% o ised Mitu isüliõpilst o selles õpperühms? Vstus

13 ALGEBRA Astmed Astmeks imettkse korrutist, mille kõik tegurid o võrdsed rvug (stme lus) j tegurite rv o (stedj):, N, tegurit kus N o turlrvude hulk ltes rvust : N { ; ; ; ; } Astedj 0 defieeritkse võrduseg 0, milles 0 Negtiivse stedj korrl sisld stedmie k jgmise:, kui 0 j Z või kui > 0 j Q, kus Z o täisrvude hulk j Q o rtsiolrvude hulk: Z { ± ; ± ; ± ; }, Q, kus Z, d Z j d 0 d Murrulise stedj korrl sisld stedmie juurimise: m m Z N, m, kui > 0, j kus N o turlrvude hulk ltes rvust : N { ; ; ; } Tehted stmeteg ( ) : ( 0) ( ) ( ) + + ( > 0) m m + : m m m ( ) m m ( 0, 0)

14 Juured Arvu -dks juureks imettkse rvu (tähisttkse ), mille stedmisel rvug sdkse rv : Arv o juuritv j rv o juurij Juure omdused ( ) Igl positiivsel rvul o prjsti üks -dt järku juur Negtiivsel rvul ei ole prisrvulise juurijg juurt Igl egtiivsel rvul o prjsti üks pritu juurijg juur, mis o smuti egtiive Ig ( 0) 6 korrl 0 0 j Muuhulgs + + Tehted juurteg, kui 0, 0 (või kitsedustet, kui k + ), kui < 0, < 0 j k, 0, > 0 (või kitsedustet, kui k + ), kui < 0, < 0 j k m m ( ) m ( ) m, kui 0 j k (või kitsedustet, kui k + ) m, kui 0 või kui < 0 j k + ( ) m, kui 0 või kui < 0 j k m m m p m pm m, kui 0 j k või kui k +

15 Näited stedmisest j juurimisest Näide Arvutd ( ) ( ) Lhedus ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 6 Näide Arvutd ( 8) ( ) + Lhedus ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Näide Arvutd 6 Lhedus Näide Arvutd Lhedus Näide Korrutd + 8 Lhedus Näide 6 Jgd Lhedus m m m 7 m 7 7 m m Näide 7 Astedd ( ) Lhedus ( ) 0 Näide 8 Kirjutd murru Lhedus y y Näide 9 Kirjutd juure Lhedus 6 6 y 6 Näide 0 Tuu tegur juure ette: Lhedus

16 6 Näide Arvutd 0, Lhedus Kirjutme murrulise stedj juurimise j egtiivse stedj jgmise: , Vstus 9 Näide Leid rv, millest % o 0, 0 + Lhedus , % o 8, seeg o otsitv rv Vstus Arv o 6 Näide Koodd + Lhedus Avldise esimeses liikmes korrutme kuupjuure ll olev murru lugejt j imetjt -g ig kolmds liikmes teeme smsuguse korrutmise -g, sest siis sme edest imetjtest kuupjuure är võtt Teises j eljds liikmes toome täisstme juure ette Koodme srsed liikmed + + ( ) / / + / / Vstus ( )

17 Korrutmise ivlemid ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )( + ) ( )( ) ( )( ) Hulkliikme lhutmie teguriteks + + ( + ) või ( ) ( ) või ( ) ( + ) või ( ) ( ) või ( ) + ( )( + ) või ( )( + ) + ( + )( + ) või ( )( ) ( )( + + ) või ( )( ) ( ) ( ) ( )( + ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + ( ) ( + )( + ) ( ) ( ) ( )( + + ) 7

18 6 Näited lgerliste vldiste teisedmisest Näide Lhutd teguriteks y + y + ig sme Lhedus Ksutme ivlemit ( ) ( ) y y y + Näide Lhutd teguriteks 8 c + ig sme Lhedus Ksutme ivlemit ( )( ) c 8 ( c 9)( c + 9) Näide Lhutd teguriteks ig sme Lhedus Ksutme ivlemit ( )( ) ( ) + ( + )( 6 + 9) Näide Lhutd teguriteks y Lhedus Ksutme ivlemit ( ) ( ) ( )( + ) ig sme y ( y )( + y ) Kui g ksutme ivlemit ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) + +, siis y y + y + y + y Näide Avd sulud ( ) ig sme Lhedus Ksutme ivlemit ( ) ( ) ( ) ( ) + y + y + y + y + 9y Näide 6 Avd sulud ( )( ) + Lhedus Ksutme ivlemit ( )( + ) ig sme ( )( + ) Näide 7 Avd sulud ( ) + ig sme Lhedus Ksutme ivlemit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

19 Näide 8 Avd sulud ( )( ) Lhedus Ksutme ivlemit ( )( ) ( )( 6 9 ) ( ) ( ) ig sme + + Näide 9 Lihtsustd vldis Lhedus Lhutme esimese murru imetjs olev vldise vlemi ( ) il teguriteks Tdme Viime ühisele imetlle j koodme Nimetjs ksutme veel vlemit ( )( ) imetj lühemlt kirjutd ( ) ( ) ( ) ( )( ) Vstus , selle il sme Näide 0 Lihtsustd vldis ( y) y + y y Lhedus Lhutme teise murru imetj vlemi ( )( ) + il teguriteks, rkeddes sed vlemit kks kord Tdme Viime ühisele imetjle, koodme srsed liiikmed Tdme ( ) ( ) y y y y + y y + y y + y + y ( )( ) y ( y) ( y ) ( y )( + y)( + y ) ( y) + y y + y y + y + y + y + y + y + y + y ( ) + y ( + y ) ( )( ) + y ( )( ) 9

20 Vstus + y Näide Lihtsustd vldis : Lhedus Lhutme sulgudes olev vldise teise liikme lugej j imetj teguriteks, ksutdes ivlemeid ig sedme väljspool sulge olev jgmise tehte korrutmiseg (pöörme murru rigi) Tdme Siis toome sulgude ette sulgudes olev vldise mõlems liikmes esiev teguri Tdme + Koodmisel o srsed liikmed ll jooitud : ( )( + + ) + ( ) + + ( + ) ( + ) ( )( + ) Vstus + + Näide Lihtsustd vldis + Lhedus Toome esimese murru imetjs ühise teguri sulgude ette Sulgudes viime ühisele imetjle Esimese murru lugej j viimse muru imetj tdme Viimse murru lugejs toome khest esimesest j khest viimsest liikmest teguri sulgude ette ii, et mõlemsse sulgu jääks üks j sm vldis Siis toome selle vldise omkord sulgude ette Tdme Lhutme vldise ivlemig teguriteks Tdme 0

21 + + / / + ( ) + ( ) ( + ) + ( ) Vstus ( ) ( )( + ) ( )( ) + + ( ) Näide Lihtsustd vldis : + Lhedus Võtme sulgude ette sulgudes olev vldise mõlems liikmes esiev teguri j lhutme lhutme sulgudesse jääv murru lugej j imetj teguriteks, et tdd Viimse jgmistehte semele kirjutme korrutmise j lhutme lugej teguriteks Tdme Nüüd viime sulgudes ühisele imetjle, koodme lugejs srsed liikmed (eed o ll jooitud) j tdme + : ( )( + ) ( + ) Vstus

22 Näide Sgeli õutkse juurvldiste teisedmisel, et vstuseks olev murru imetjs ei esieks juurt (irrtsiolsust) Murru imetj vstmie irrtsiolsusest tugie lgerlise murru põhiomdusele: lgerlise murru lugej j imetj korrutmisel või jgmisel ühe j sm vldiseg, mille väärtus ei ole ull, sdkse murd, mis o smselt võrde tud murrug Vstd murru imetj irrtsiolsusest: Lhedus Korrutme murru lugejt j imetjt vldiseg +, sest siis sme imetjs ksutd ivlemit ( )( + ), mille rkedmisel kovd imetjst ruutjuured (imetjs ei esie em irrtsiolsust) ( ) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + 6 ) ( + 6) Vstus ( ) 7 Liervõrrd Liervõrrdi üldkuju o Kui 0, siis sme võrrdi lhediks Kui 0, siis võrrd omd kuju 0 Kui seejuures 0, siis o võrrdil lõpmtu hulk lhedeid (lhediks o ig relrv) Kui g 0, siis lhed puudu Liervõrrdi lhedmiseks o vj ) vii võrrd üldkujule, jättes tudmtut sisldvd liikmed vskule poole j vliikmed premle poole võrdusmärki; ) jgd mõlemd pooled tudmtu kordjg

23 8 Ruutvõrrd Ruutvõrrdi üldkuju o + + c 0, kus 0 Lhedite leidmiseks ksuttkse vlemit c ± Erijuhul, kui ruutliikme kordj o üks, s tdtud ruutvõrrdi + p + q 0 lhedeid leid vlemist p ± p q Viète i vlemid Tdtud ruutvõrrdi lhedid rhuldvd järgmisi seoseid: + p, q Neljd stme võrrdit, mis sisld iult tudmtu prisstmeid, imettkse iruutvõrrdiks Biruutvõrrdi üldkuju o + + c 0 Lhedmiseks ksuttkse itudmtut y Sdkse uus võrrd y + y + c 0, mille lhedid o y j y Pigutdes y positiivsed väärtused võrdusesse ) y, millest, ± y ; ) y, millest, ± y y, sme 9 Ruutkolmliikme teguriteks lhutmie ( )( ) + +, p q milles, o ruutkolmliikme ullkohd (vstv ruutvõrrdi + p + q 0 lhedid) ( )( ) + +, c milles, o ruutkolmliikme ullkohd (vstv ruutvõrrdi + + c 0 lhedid)

24 0 Näiteid liervõrrdite j ruutvõrrdite lhedmisest ig ruutkolmliikmete teguriteks lhutmisest + 7 Näide Lhedd võrrd 6 Lhedus Teeme vjlikud teisedused: ( + ) ( 7 ) : Kotroll, + v, 0, 6 p , v p Vstus Võrrdi lhed Näide Lhedd võrrd ( ) + Lhedus Avme sulud: ( ) Vstus Võrrdi lhediteks o kõik relrvud

25 Näide Lhedd võrrd + ( + ) Lhedus Teeme vjlikud teisedused: + ( + ) Vstus Võrrdil puudu lhed Näide Lhedd võrrd 0 Lhedus Ruutvõrrdi lhedivlemi kohselt ( ) ± ±, 0,, Vstus 0,, Näide Lhedd võrrd + 0 Lhedus Tdtud ruutvõrrdi lhedivlemi kohselt ± + ±,, Vstus, Näide 6 Lhedd võrrd 6 0 Lhedus See o tdtud ruutvõrrd, milles tudmtu kordj p j vliige q 6 Olgu lhedid j Viète i vlemite kohselt + ( ), 6 Leime proovimise teel sellised kks täisrvu (üks edest o egtiive, sest lhedite korrutis o egtiive), mille korrutis o 6 j summ Need rvud o j Seeg võrrdi lhedid o j Vstus,

26 Näide 7 Lhedd võrrd Lhedus See o iruutvõrrd Lhedmiseks ksutme itudmtut Sme uue võrrdi y 7y + 9 0, mille lhedid o y 9 j y y Pigutdes y väärtused võrdusesse y, sme ) 9, millest, ; ), millest, Biruutvõrrdi või lhedd k ilm itudmtut, ksutdes vid ruutvõrrdi lhedivlemit tudmtu ruudu leidmiseks Vstus,,, Näide 8 Lhutd ruutkolmliige 8 + teguriteks Lhedus Moodustme ruutvõrrdi j lhedme selle 8 ± 8 8 ± ; ; 0 Nüüd sme ruutkolmliikme lhutd teguriteks: Vstus ( )( ) ( )( ) 6

27 Determidid Teist järku determidi väärtuse rvutmise eeskiri: Kolmdt järku determidi rvutmise eeskiri: + + Skeemi kolmdt järku determidi rvutmiseks imettkse Srrus`i reegliks: Näiteks 7 ( ) + 8 9, Liervõrrdisüsteem Khe tudmtug lierse võrrdisüsteemi üldkuju o + y c, + y c Selles o j y tudmtud ig,,,, c, c o kostdid Liersete võrrdisüsteemide lhedmisel tule d teisedd üldkujule j seejärel lhedd soiv võtteg 7

28 Khe tudmtug võrrdisüsteemi lhedusvõtted I Liitmisvõte Liitmisvõtte ksutmisel tule võrrdeid teisedd ii, et ühe tudmtu kordjteks võrrdites oleksid teieteise vstdrvud Selleks korruttkse võrrdi(te) pooli vstvlt vlitud teguri(te)g Seejärel võrrdid liidetkse Tulemuseks o ühe tudmtug võrrd, millest leime selle tudmtu väärtuse Leitud väärtus settkse ühte tud võrrdeist j lhedtkse see teise tudmtu suhtes II Asedusvõte Võrrdisüsteemi lhedmie sedusvõtteg seise järgevs: ) ühest võrrdist vldtkse üks tudmtu teise kudu; ) leitud vldis settkse teise võrrdisse; ) lhedtkse sdud ühe tudmtug võrrd; ) teise tudmtu leidmiseks ksuttkse sed vldist, milleg tehti esilge sedus Kui võrrdisüsteemi lhedmisel mõlemd tudmtud kovd j teki migi tõee rvvõrdus (smsus), siis o võrrdisüsteemil lõpmtu hulk lhedeid Neid või leid, kui d ühele tudmtule vlt väärtusi j rvutd teise tudmtu vstvd väärtused Sisuliselt o siis tegemist üheis võrrdig (võrrdid o teieteisest sõltuvd) Kolme tudmtug lierse võrrdisüsteemi üldkuju o + y + c z d, + y + cz d, + y + cz d Kui süsteemi determit selle süsteemi lhediks kus c D c 0, siis Crmeri vlemite kohselt o c D D y Dz, y, z, D D D 8

29 d c d c d D d c, D d c, D d y z d c d c d Näited liervõrrdisüsteemide lhedmisest Näide Lhedd võrrdisüsteem 9y 9, 7 y 6 Lhedus Lhedme võrrdisüsteemi liitmisvõtteg Selleks korrutme esimest võrrdit -g j teist (-)-g, seejärel liidme võrrdite vstvd pooled 9y 9 7 y 6 ( ) 60 6y y Asetme väärtuse esimesse võrrdisse j rvutme y väärtuse: 9y 9 y Kotroll, y, ( ) 9 v 9 v p ( ) 6 v 7 v p Vstus, y 9

30 Näide Lhedd võrrdisüsteem y 8, 6y 0 Lhedus Lhedme võrrdisüsteemi sedusvõtteg Avldme tudmtu teisest võrrdist: 6y Teeme vstv seduse esimesse võrrdisse: 6y y 8 y Avldisest 6y leime 6 Vstus, y Näide Lhedd võrrdisüsteem + y + z, y + z, + y + z Lhedus D , D , D , y D z Lhedivlemite järgi sme:, y, z Vstus, y, z 0

31 Võrrtus Kui khe vldise (rvu) vhel o võrrtusmärk ( <, >, või ), siis sellist seost imettkse võrrtuseks Võrrtuse omdused Kui >, siis < Kui > j > c, siis > c Võrrtuse mõlem pooleg s liit ühe j sm vldise (rvu): kui >, siis + c > + c Võrrtuse märk jää smpidiseks, kui võrrtuse mõlemt poolt korrutd või jgd ühe j sm positiivse rvug: kui > j c > 0, siis c > c j c > c Võrrtuse märk muutu vstupidiseks, kui võrrtuse mõlemt poolt korrutd või jgd ühe j sm egtiivse rvug: kui > j c < 0, siis c < c j c < c Võrrtust, mis sisld tudmtut, s lhedd Võrrtuste lhedmisel o järgmised reeglid: ) liikme märk muutu vstupidiseks, kui kd t võrrtuse ühelt poolelt teisele; ) võrrtuse poolte korrutmisel (jgmisel) ühe j sm positiivse rvug jää võrrtuse märk ediseks; ) võrrtuse poolte korrutmisel (jgmisel) ühe j sm egtiivse rvug muutu võrrtuse märk vstupidiseks; ) võrrtuse pooli ei tohi korrutd eg jgd tudmtut sisldv vldiseg, mille märk pole ted, sest siis võime sd esilgse võrrtuseg mittesmväärse võrrtuse Liervõrrtus Liervõrrtuseks ehk esimese stme võrrtuseks imettkse võrrtust, millele s d ühe kujudest <, >,,, kus 0 Kht esimest imettkse rgeteks, kht viimst g mittergeteks võrrtusteks Kui < j > 0, siis < Kui < j < 0, siis > Teised liervõrrtused lhedtkse loogselt

32 Kui 0, siis sdkse rvvõrrtus (see ei ole liervõrrtus) Tõese rvvõrrtuse lhediteks o kõik relrvud Mittetõese rvvõrrtuse puhul lhedid puuduvd 6 Liere võrrtussüsteem Kks või em ühe j sm tudmtug võrrtust koos vdeldu moodustvd võrrtussüsteemi Ühe tudmtug liervõrrtussüsteemi lhedihulgks o tud võrrtuste lhedihulkde ühisos Võrrtussüsteemi lhedmisel leime ig võrrtuse lhedihulg j seejärel süsteemi lhedihulg Võrrtussüsteemi lhedmie tdu lti ühele eljst järgmisest juhust Eeldme, et > I Smpidised tõkked > < > < Lhedeiks >, lhedeiks < II Vstupidised tõkked > < Lhedid < <

33 III Vsturääkivd tõkked > < Lhedid puuduvd 7 Ruutvõrrtus Ühe tudmtug ruutvõrrtuseks imettkse võrrtust + + c > 0 või + + c < 0 ( k 0 või 0 ) Näiteks ruutvõrrtuse + + c > 0 lhedmie tähed vstv ruutfuktsiooi y + + c positiivsuspiirko leidmist Olgu selle fuktsiooi ullkohd ehk ruutvõrrdi + + c 0 lhedid j Esied võivd järgmised kolm juhtu I Kui c > 0, siis o ruutvõrrdil kks erievt lhedit j Sõltuvlt ruutliikme kordj märgist o ruutfuktsiooi y + + c positiivsuspiirkod ehk võrrtuse + + c > 0 lhedid järgmised: > 0 < 0 Võrrtuse lhedid < või > Võrrtuse lhedid < < II Kui c 0, siis o ruutvõrrdil kks võrdset lhedit j ehk 0 Vstv ruutfuktsiooi y + + c grfik puudut - telge: > 0 < Võrrtuse lhedid < 0 või > Võrrtuse lhedid puuduvd 0

34 III Kui c < 0, siis vstvl ruutfuktsiooil y + + c ullkohd puuduvd, grfik ei lõik -telge, o terves ultuses üll- või llpool -telge: > 0 < 0 Võrrtuse lhedid R Võrrtuse lhedid puuduvd Võrrtusi ( )( ) > j ( )( ) järgmiselt: 0 ( )( ) < s lhedd k 0 > 0 < 0 > 0 < 0 > 0 või ( )( ) > 0 < 0 < 0 või < 0 > 0 8 Kõrgem stme võrrtus Olgu P ( ) lgerlie hulkliige (polüoom), mille peliikme (kõrgeim stmeg liikme) kordj o : P ( ) Kõrgem stme võrrtuseks imettkse võrrtust P ( ) > 0 või ( ) 0 P < ( k 0 või 0 ) Kõrgem stme võrrtuse lhedmiseks leime vstv hulkliikme ullkohd Kdes eed ullkohd rvsirgele (-teljele), tõmme läi ede puktide jooe, lustdes premlt j üllt, kui peliikme kordj > 0 ig premlt j lt, kui < 0 Seejuures migit ullkoht läime -telge lõigtes, kui selle ullkoh järk o pritu rv, ig puutudes, kui ullkoh järk o prisrv Jooisel o esittud äide, kus ullkohtde j järgud o prisrvud, ullkohtde j järgud g pritud Niiviisi sdud kõvert või vdeld fuktsiooi y P ( ) grfiku skitsi Sellelt grfikult s määrt võrrtuse lhedid > 0

35 9 Asoluutväärtusi sisldvd võrrtused Asoluutväärtuse defiitsioo:,, kui kui 0, < 0 Vstvlt soluutväärtuse defiitsiooile: ) võrrtuse < lhedihulk o < < ; ) võrrtuse lhedihulk o ; ) võrrtuse > lhedihulk o < või > ; ) võrrtuse lhedihulk o või Nede põhivõrrtuste il o võimlik leid keerukmte võrrtuste lhedihulgd 0 Näited võrrtuste j võrrtussüsteemide lhedmisest Näide Lhedd võrrtus 8 + < Lhedus Murdude kotmiseks korrutme võrrtuse pooli -g: 8 + < < 9 < 80 : ( ) Jgdes võrrtuse pooli ( ) -g, sme vstupidise võrrtuse > 6 Vstus > 6 Näide Lhedd võrrtus ( ) Lhedus ( ) > > + 0 > 8 > + Tulemuseks sime vstuolu, sest ull ei ole suurem kui pluss kheksteist Seeg esilgsel võrrtusel lhedid puuduvd Vstus Võrrtusel lhedid puuduvd

36 Näide Lhedd võrrtus ( + ) > 0 Lhedus Avme sulud: + > 0 > 0 Pluss viisteist ogi suurem kui miius kümme, järelikult o esilgse võrrtuse lhedid kõik relrvud Vstus Võrrtuse lhediteks o kõik relrvud ehk R < 0, Näide Lhedd võrrtussüsteem 0, + < 0 < 0 < <, Lhedus 0, + < 0 0, < < Leime süsteemi lhedid rvteljel: Vstus < -, Näide Lhedd võrrtussüsteem Lhedus Lhedme kummgi võrrtuse erldi: ) ) ( 6) + > > + > 9 > 9 7 > 6 > 7 : + 9 > + + > : 7 Leime süsteemi lhedid rvteljel: ( 6) + >, + 9 > + 6

37 9 7 Vstus > 9, <, 8 Näide 6 Lhedd võrrtussüsteem 7 + > 6 Lhedus Lhedme võrrtused erldi: ) 7 + < < + 6 < 7 > 7 6 : ( 6) ) 7 + > > > < 7 Süsteemi lhedid: 6 : ( ) 7 7 Vstus 7 ; 7, st võrrtussüsteemi lhediteks o kõik relrvud sellest 6 vhemikust Näide 7 Lhedd võrrtussüsteem Lhedus Lhedme võrrtused erldi: ) > > 0 : > ( + ) + ( + ) > ( + ) ( + ) > ( ) 6 9,

38 ) 9 0 > > : ( ) < 7 Süsteemi lhedid: -7 Vstus Süsteemil lhedid puuduvd Näide 8 Leid võrrtussüsteemi täisrvulised lhedid: Lhedus Lhedme võrrtused erldi: ) 9 + < + 8 < 8 0 < 7 >,7 : ( 0) 9 + < + > ( ) + 9 ) + > ( ) > > 8 : < 6 Süsteemi lhedid: ( ),7 6 Relrvude vhemikus (,7 ; 6) Vstus { ; ; } o täisrvud, j Näide 9 Lhedd võrrtus > 0 Lhedus Lhedme ruutvõrrdi 0, ksutme tdtud ruutvõrrdi lhedivlemit:, ± 0, + 0, ±,,, 0 8

39 Kme lhedid rvteljele j jooistme kõver läi ede lhedite Alustme -st premlt j üllt, ku kordj, st > 0 (vt kõrgem stme võrrtuste või ruutvõrrtuste lhedmist): - Vstus ( ), ( ; ) ; Näide 0 Lhedd võrrtus Lhedus Teisedme võrrtuse üldkujule: Lhedme ruutvõrrdi 8 0 : 8 ± ±,,, 0 Kme lhedid -teljele j jooistme kõver läi ede lhedite Jooistmist lustme -st premlt j lt, ku < 0 (sii kordj ), Lhedite hulk kuuluvd k ullkohd, j, sest võrrtus o mitterge Vstus, Näide Lhedd võrrtus > 0 Lhedus Leime ullkohd: Ku esie kks kord ullkoh, siis vstv ruutfuktsiooi grfik telge ei läi, vid puudut telge j lähe smle poole tgsi: Vstus < või > 9

40 Näide Lhedd võrrtus + 0 > 0 Lhedus Lhedme ruutvõrrdi , ± 0, 0 0, ± 9,7 Relsed lhedid puuduvd (egtiivsest rvust ei s võtt ruutjuurt) Ku < 0, siis vstv ruutfuktsiooi grfik setse terves ultuses llpool -telge: Vstus Võrrtusel lhedid puuduvd Näide Lhedd võrrtus Lhedus Võrrtuse lhedihulk o, seeg pe võrrtuses soluutmärkide vhel olev vldis täitm tigimusi Liidme selle võrrtuse igle lülile rvu : sme võrrtusehel Jgme ig lüli rvug : +, 7 7,, :, Vstus,, Näide Lhedd võrrtus > Lhedus Võrrtuse > lhedihulk o < või >, seeg pe võrrtuses > soluutväärtuse märkide vhel olev vldis täitm tigimusi < või > Lhedme eed Vstus < või > ( ) ( ) < : või > : > või < > või < 0

41 Logritmid Arvu logritmiks tud lusel imettkse iisugust rvu c, milleg o vj stedd rvu, et sd rv ( ) c log c, kui > 0 j Aseddes teises võrduses c, sme smsuse log Vstv smsus kümedlogritmide korrl: log 0 Nturllogritmide korrl: l e Logritmide omdused log 0 log log m log m + log, kui m > 0 j > 0 m log log m log, kui 0 j 0 m > > log log, kui > 0 6 log 7 log 8 9 log log log, kui > 0 logc log c log Märkus log ( c) ± log ± log c! Näide ) ) ) ) ) log 8, sest 8 ; log 6, sest 6 log ; log 0 ; l e ; ;

42 6) log 6 ( ) log 6 log 6 ( log 6 ) ) 00 ; log 00 ( 0 ) 0 0 log log log ( ) log ( 0 ) ( ) ; 6 8) + log log ( log ) 8 00 Arvu 0, kus Z, imettkse järguühikuks Järguühiku kümedlogritm võrdu rvug ehk Näide ) log00 log0 ; ) log 0, log0 ; ) log 0,000 log0 log0 Näide Avldd log u ( ) +, kui u Lhedus Ksutdes korrutise, jgtise, stme j juure logritmide omdusi, võime leid suvlise üksikliikme logritmi, st logritmid vldise Logritmid lgerlie vldis see tähed väljedd selle vldise logritm tems esievte rvude j tähtede logritmide kudu Näites tud võrduse prem pool o murd, seeg või omduse kohselt kirjutd: Omduse kohselt: j Omduse 6 põhjl j omduse põhjl ( + ) log log u log ( + ) + ( + ) log log log log + log log [ ] log + ( + ) log( )

43 log log, ( + ) + ( + ) log log log log + log + + Järelikult u log( ) log log log Potetseerimiseks imettkse vldise leidmist tem logritmi järgi Potetseerimisel rvestme, et ) log m + log log m ; m ) log m log log ; ) log log ; ) log log ; m ) log log m Näide Avldd u, kui log u ( + ) log log log 7 + log z Lhedus Vlemi põhjl log u log log log 7 log z + + Muudme liidetvte järjekord, et rkedd vlemit : Vlemi põhjl j lõpuks vlemi põhjl sme: + z Seetõttu u 7 võrdsed) + ( ) ( ) log u log + log z log + log 7 log u log + z + z log u log 7 log 7 (kui logritmid o võrdsed, siis o k logritmitvd vldised + z Vstus u 7

44 Summ märk Summ märk o kreek tähestiku suur täht Σ (sigm), mille il tähisttkse lühidlt üheldsete liidetvte summt Näiteks i m + m+ + m+ + + i m Sümolit Σ tule tõlgedd kui korrldust liitmiseks Sümoli Σ järel o äidtud, millise kujug vldisi pe liitm (üldliige i ) Sümoli Σ juures o äidtud, et kõigi liidetvte smiseks tule täisrvulisele prmeetrile i (summeerimisideks) d järjest väärtused ltes väärtusest m kui väärtusei (summeerimisrjd) Kui summeerimisrjd selguvd kotekstist, siis kirjuttkse Ksuttkse k tähistust i i i, kus A o summeerimisideksi muutumispiirkod i A Näide Kirjutd sümoli Σ il summ Lhedus Olgu summeerimisideks täht k, siis sme summ kõik liikmed äiteks vldisest k, kui 0,,,,, k Seeg Selle summ liikmed s k vldisest k k 0 j, kui j,,,,, 6 Seeg k j Või leid veel kirjutisi tud summle sümoli Σ il j Näide Kirjutd sümoli Σ il summ Lhedus Olgu summeerimisideks täht i, siis sme summ kõik liikmed äiteks vldisest ( ) + i i, kui i,,,,, 6 Seeg 6 + ( ) i i Näide Kirjutd sümoli Σ il summ i

45 Lhedus Vlime summeerimisideksiks äiteks tähe m Selle summ liikmete stedjtes vhelduvd + j Seeg peme stedjks kirjutm äiteks vldise ( ) m+ j summ liikmete üldvldis o siis ( ) m m+, kui m,,,,, 6, 7, 8 Sme, et 8 m+ ( ) m 6 8 Näide Kirjutd ilm summ sümolit summ ( + j) Lhedus ( j) j 0 j 0 m Näide Kirjutd ilm summ sümolit summ k 0 Lhedus ( + ) k 0 Näide 6 Kirjutd ilm summ sümolit summ i i 0 Lhedus i i 0 + Näide 7 Kirjutd ilm summ sümolit summ ( ) + + Lhedus ( ) ( ) ( ) k k e k Näide 8 Kirjutd ilm summ sümolit summ ( ) e e e e e e e k k k Lhedus ( ) ( )

46 Ülesded ritmeetikst j lgerst Arvutd ( ) ( ) Vstus 7 + Arvutd 9 8 Vstus 6 Arvutd Vstus 6 Korrutd 6 Vstus c c c Jgd Vstus d d d 6 Astedd ( ) Vstus 0 7 Kirjutd murru Vstus 8 Kirjutd juure Vstus 9 Tuu tegur juure ette: Vstus 0 Tuu tegur juure ette: Vstus 6 Arvutd Vstus ,

47 Lhutd teguriteks Vstus ( )( ) Lhutd teguriteks + y Vstus ( ) 9 + y + 6y Lhutd teguriteks c c c + c + Vstus ( )( ) Avd sulud ( 8 ) Vstus d 6 Avd sulud ( ) Vstus 8 + d + 6d + d 7 Avd sulud ( 7)( 7) Vstus Avd sulud ( c)( c c ) Vstus c Lihtsustd vldis Vstus + 0 Lihtsustd vldis Vstus Vstd murru imetj irrtsiolsusest: 7 + Vstus 7 Lhedd võrrd k k Vstus k 6 7

48 Lhedd võrrd Vstus, + 0 Lhedd võrrd Vstus, Lhedd võrrd Vstus, Lhutd ruutkolmliige + + teguriteks Vstus ( )( ) 7 Lhedd iruutvõrrd Vstus, 0 8 Arvutd determit Vstus 8 9 Arvutd determit Vstus Lhedd liervõrrdisüsteem Vstus, y Lhedd liervõrrdisüsteem Vstus, y, z Lhedd võrrtus 6 8 Vstus Lhedd võrrtus Vstus 6 + y, y y + z 7, + y + z 7, z 0 Crmeri vlemite il 8

49 Lhedd liere võrrtussüsteem Vstus < < Lhedd liere võrrtussüsteem <, + < >, > Vstus Võrrtussüsteemil lhedid puuduvd 6 Lhedd võrrtus + < Vstus < < 7 Lhedd võrrtus Vstus 8 või 7 8 Arvutd Vstus 00 9 Arvutd Vstus 6 0 Arvutd Vstus 7 log 0 + log + 0,log 9 log9 log Arvutd 0 00 Vstus, Arvutd Vstus Arvutd Vstus Arvutd Vstus Arvutd Vstus, 6 log 6 log log log 6 log log6 0, 7 + log log + 0 log 7 log log Avldd log, kui ( ) 9

50 log log + log log log Vstus ( ) 7 Avldd log u ( ), kui u y log y log log + + log + Vstus log u log( ) log + log y 8 Avldd y, kui ( ) Vstus y ( ) 9 Avldd u, kui log u log( ) log y log + 6log z 6 z ( ) Vstus u y 0 Kirjutd sümoli Σ il summ Vstus i i 0 Kirjutd sümoli Σ il summ m m Vstus ( ) Kirjutd sümoli Σ il summ k Vstus k k + Kirjutd ilm summ sümolit summ Vstus c + c + c + c + c ck k Kirjutd ilm summ sümolit summ ( + i) Vstus ( ) ( ) ( ) ( ) i