MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

Transcript

1 MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD ARVUHULGAD ARITMEETIKA Mõigte rvude kõrgemd stmed Hriliku murru põhiomdus Tehetevhelised seosed Tehted hrilike murdudeg Tehete põhiomdused 6 Näited tehete koht positiivsete j egtiivsete rvudeg 7 Näited tehete koht rtsiolrvudeg 6 8 Protset j promill 8 9 Näited protsetrvutusest 9 Arvu bsoluutväärtus Ülesded ALGEBRA Astmed Juured Näited stedmisest j juurimisest Korrutmise bivlemid 7 Hulkliikme lhutmie teguriteks 7 6 Näited lgebrliste vldiste teisedmisest 8 7 Liervõrrd 8 Ruutvõrrd 9 Ruutkolmliikme teguriteks lhutmie Näiteid liervõrrdite j ruutvõrrdite lhedmisest ig ruutkolmliikmete teguriteks lhutmisest Determidid 7 Liervõrrdisüsteem 7 Näited liervõrrdisüsteemide lhedmisest 8 Võrrtus Liervõrrtus 6 Liere võrrtussüsteem 7 Ruutvõrrtus 8 Kõrgem stme võrrtus 9 Absoluutväärtusi sisldvd võrrtused Näited võrrtuste j võrrtussüsteemide lhedmisest Logritmid Summ märk Ülesded ritmeetikst j lgebrst 6

2 ARVUHULGAD Positiivsed täisrvud ehk turlrvud tekkisid vjdusest loedd esemeid N ;; ; ; ; Kõik turlrvud moodustvd turlrvude hulg { } Nturlrvude hulk o kiie liitmise j korrutmise suhtes Nturlrvude hulk muutub kiiseks lhutmise suhtes, kui ted täiedd rvude,,, vstdrvudeg -, -, -, Negtiivsed j positiivsed täisrvud ig rv moodustvd täisrvude hulg Z ± ; ± ; ± ; Täisrvude hulk o kiie liitmise, lhutmise j korrutmise suhtes { } Lieddes täisrvude hulk positiivsete j egtiivsete murdrvudeg, sme rtsiolrvude hulg Q, kus Z, b Z j b Rtsiolrve sb b esitd ii khe täisrvu suhte kui k lõplike või lõpmtute perioodiliste kümedmurdude Näiteks,, 6 Kokkuvõttes N Z Q Arvu, mis vldub lõpmtu mitteperioodilise kümedmurru, imettkse irrtsiolrvuks Näiteks, + Kõigi irrtsiolrvude hulg tähis o I Kõik rtsiol- j irrtsiolrvud koos moodustvd relrvude hulg R Seeg Q I R Relrvude hulk o kiie liitmise, lhutmise, korrutmise j jgmise (v jgmie ullig) suhtes Relrve sb kujutd rvtelje puktide Arvtelg o lõpmtu sirge, millel o vlitud ullpukt, positiive suud j pikkusühik Kõigi relrvude j rvtelje kõigi puktide vhel o üksühee vstvus Relrvude hulg omdus: ig khe suvlise relrvu vhel leidub ii rtsiolkui k irrtsiolrve

3 ARITMEETIKA Mõigte rvude kõrgemd stmed Hriliku murru põhiomdus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejt j imetjt korrutd või jgd ühe j sm ullist eriev rvug Kui k, siis k (murru liedmie) Näiteks 6 b kb Kui k, siis k k : k (murru tdmie) Näiteks kb kb : k b : : Tehetevhelised seosed Kui + b, siis b Näiteks 7+ 8, sellest 7 8 Kui + b, siis b Näiteks 7+ 8, sellest 8 7 Kui b, siis + b Näiteks 8 9, sellest 8 9 Kui b, siis b Näiteks , sellest Kui b, siis b : ehk 7 : Kui b, siis b : ehk : 7 7 b b Näiteks 7, sellest Näiteks 7, sellest

4 Kui : ehk b b, siis ( b ) b Näiteks : 7 6 ehk 6 7, sellest 7 6 Kui : b ehk b, siis b ( ) Näiteks : 7 6 ehk 6 7, sellest 7 6 Tehted hrilike murdudeg c + c + Näiteks b b b d b c d+ cb + Näiteks b d bd c c Näteks b b b d b c d cb Näiteks b d bd c c Näiteks b d bd c c b b b b c c Näiteks Näiteks c d d : b Näiteks b d c b c bc d : c Näiteks b bc : b c c Näiteks c b b b c 7 : : : 9

5 Tehete põhiomdused Vhetuvus ehk kommuttiivsus: + b b+ b b ( + ) ( + ) b c b c Üheduvus ehk ssotsitiivsus: + b+ c + b + c Jotuvus ehk distributiivsus: ( b) c bc b+ c b+ c b c b c Sulgude vmie: + b+ c + b+ c + b c + b c b+ c b c b c b+ c Viimsed kks vlemit ütlevd, et miiusmärk sulgude ees muudb märgid sulgude sees Näiteks 9 9 ( + ) j Näited tehete koht positiivsete j egtiivsete rvudeg Näide ) liitmie + ( + 8) ( 7) (lhtiselettult: 9 sme, kui suuremst rvust, milleks o 7, lhutme väiksem j märgiks peme suurem rvu märgi) + ( 7) 7 + ( ) (liidme j ig lisme miiusmärgi) ( sme, kui suuremst rvust, milleks o 8, lhutme väiksem j märgiks peme suurem rvu märgi)

6 b) lhutmie ( + 8) 8 7 ( ) 7+ 9 ( 6) + 6 ( + ) 7 c) korrutmie ( + 9) 9 7 (tegurid o ühemärgilised, korrutis o positiive rv) 7 ( ) 7 (tegurid o erimärgilised, korrutis o egtiive rv) 8 ( + 6) (tegurid o erimärgilised, korrutis o egtiive rv) ( ) 8 (tegurid o ühemärgilised, korrutis o positiive rv) d) jgmie 6: ( + 9) 7 (jgtv j jgj o ühemärgilised, jgttis o positiive rv) :( 6) 9 (jgtv j jgj o erimärgilised, jgttis o egtiive rv) 6 :( 9) 6 :( 7) 8 (jgtv j jgj o ühemärgilised, jgttis o positiive rv) + (jgtv j jgj o erimärgilised, jgttis o egtiive rv) 7 Näited tehete koht rtsiolrvudeg Mitme tehteg ülesdes kõigepelt korruttkse või jgtkse j seejärel liidetkse või lhuttkse Kui ülesdes esievd sulud, siis tehkse tehted esmlt ümrsulgudes, siis urksulgudes j seejärel looksulgudes Näide Arvutd ( + ) 9+,6 : (,) Lhedus Kirjutme tehete kohle ede järjekorr umbri j rvutme ( + ) 9+,6 :(,) ) ; 6

7 7 7 ) 9 ; ) +,6 + ; ) 9, ; ) : Vstus Näide Arvutd (,9 :) : (, :, ) Lhedus Kirjutme tehete kohle ede järjekorr umbri j rvutme ),9 :,,9 :,8; ) -,8,97; 7 ), : : ; 7 ), ; 6 (,9 :,) :(, :, ) ) 6) 7 7 ; 97 7,97: Vstus 7 7

8 Näide Leid, kui,6 (,+ ) : 8 7 Lhedus Esimese tehteg rvutme tudmtut sisldv murru väärtuse Teises tehtes leime selle murru imetj väärtuse Nimetjs o jgtis, mille jgtv,+ väärtuse rvutme kolmd tehteg Neljd tehteg sme tudmtu väärtuse ) +,6 + 7; (, + ) : ) (, + ) : 7 : 7 ; ),+ ; 7 7 ) -,, Vstus, 8 Protset j promill Rtsiolrvude hulgs o prktilie tähtsus murdudel, mille imetj o või Üks protset ( %) o üks sjdik os tervikust (rvust): %, Üks promill ( ) o üks tuhdik os tervikust (rvust):, Protsetrvutuse põhiülesded, millele tduvd kõik protsetülesded, o järgmised Khe rvu suhte väljedmie protsetides ehk mitu protseti moodustb rv rvust b: % b 8

9 Os või protsedi leidmie rvust ehk leid p% rvust m: p m p% m Arvu leidmie tud os järgi ehk leid rv, millest p% o : p% p Muutumise väljedmie protsetides ehk mitu protseti moodustb suuruse muut selle suuruse esilgsest väärtusest A: % A 9 Näited protsetrvutusest Näide Leid, mitu protseti moodustb rv rvust 6 Lhedus Leime ede khe rvu suhte j väljedme selle protsetides: % %,% 6 8 Näide Rmturiiulil o eestikeelsed j igliskeelsed rmtud Eestikeelseid rmtuid o j igliskeelseid % eestikeelsetest Mitu rmtut o riiulil? Lhedus Leime igliskeelsete rmtute rvu (so os leidmie rvust): % Eestikeelseid j igliskeelseid rmtuid o kokku + 8 Vstus Riiulil o 8 rmtut Näide Mitu kilogrmmi toorest kohvi o vj võtt 7 kg pretud kohvi smiseks, kui kohv kotb prdimisel,% om klust Lhedus Et kohv kotb prdimisel,% klust, siis jääb lles %-,%87,% klust Seeg 7 kg pretud kohvi o 87,% Leime toore kohvi klu ehk %, so: , Vstus Toorest kohvi tuleb võtt 8 kg 9

10 Näide Töötj plk tõusis krooilt krooile Mitme protsedi võrr tõusis plk? Lhedus Plg tõus (plg muut) o - krooi Leime plg muudu j esilgse plg suhte protsetides: %,% Vstus Plk tõusis,% võrr Näide Kui plju vske o vj lisd 8 grmmile kullle proovig 9, et sd kuld proovig 7? Lhedus Tvliselt o sulmi proov tud promillides:, Lisme sulmile g vske Kogu sulmi kl o ( + 8) g Puhst kuld o sulmis 9 8, g Sulmi proovi sme, kui puht metlli klu jgme kogu sulmi klug 79 7 Seeg + 8 Leime sellest võrrdist : 79 ( + 8), 96, 86 :, 6 Vstus Sulmile tuleb lisd 6 g vske Arvu bsoluutväärtus Relrvu bsoluutväärtus o rvteljel sellele rvule vstv pukti kugus ullpuktist Seeg, kui,, kui < Kehtib seos

11 Absoluutväärtuse omdused I Relrvude summ bsoluutväärtus ei ole suurem liidetvte bsoluutväärtuste summst: + y + y II Vhe bsoluutväärtus ei ole väiksem vähedtv j lhuttv bsoluutväärtuste vhest: y y III Korrutise bsoluutväärtus võrdub tegurite bsoluutväärtuste korrutiseg: y y IV Jgtise bsoluutväärtus võrdub jgtv j jgj bsoluutväärtuste jgtiseg: y y Näiteks,, b, kui b ehk b, b ( b) b, kui b < ehk < b + +, kui ehk, ( ) + +, kui < ehk < Ülesded Arvutd 7+ ( ) ( 9) + ( + 8) ( + 6) Vstus Arvutd ( + 7) + ( ) ( ) + ( ) Vstus 7 Arvutd 7 8 : + Vstus

12 Arvutd + 8 :( + ) ( 6) Vstus Arvutd 7 :( + 8 ) :( ) Vstus 6 Arvutd 8, 8, Vstus 6,6 7 Arvutd 7 7 : + 7, :,+ 6 Vstus 8 8 Leid, kui , 7 :9 9 Vstus 9 Viimrjde kuivtmisel sdud rosite kl moodustb % viimrjde klust Leid kilogrmmi rosite smiseks vjlik viimrjde kl Vstus 6, kg Pliits mksis 6 krooi j seti, pele hildust mksis sm pliits krooi j 7 seti Mitme protsedi võrr ldti pliitsi hid? Vstus,% Õpperühms o üliõpilst, edest % o ised Mitu isüliõpilst o selles õpperühms? Vstus

13 ALGEBRA Astmed Astmeks imettkse korrutist, mille kõik tegurid o võrdsed rvug (stme lus) j tegurite rv o (stedj):, N, tegurit kus N o turlrvude hulk ltes rvust : N { ; ; ; ; } Astedj defieeritkse võrduseg, milles Negtiivse stedj korrl sisldb stedmie k jgmise:, kui j Z või kui > j Q, kus Z o täisrvude hulk j Q o rtsiolrvude hulk: b Z { ± ; ± ; ± ; }, Q, kus b Z, d Z j d d Murrulise stedj korrl sisldb stedmie juurimise: m >, m Z j N, m, kui kus N o turlrvude hulk ltes rvust : N { ; ; ; } Tehted stmeteg b b b b : b ( b ) + + ( > ) m m + : m m m ( ) m b m b (, b )

14 Juured Arvu -dks juureks imettkse rvu (tähisttkse ), mille stedmisel rvug sdkse rv : Arv o juuritv j rv o juurij Juure omdused Igl positiivsel rvul o prjsti üks -dt järku juur Negtiivsel rvul ei ole prisrvulise juurijg juurt Igl egtiivsel rvul o prjsti üks pritu juurijg juur, mis o smuti egtiive Ig korrl j Muuhulgs Tehted juurteg b b, kui, b (või kitsedustet, kui k+ ) b b, kui <, b< j k b b,, b> (või kitsedustet, kui k+ ) b, kui <, b< j k b m m m m, kui j k (või kitsedustet, kui k+ ) m, kui või kui < j k+ ( ) m, kui või kui < j k m m m p m pm m, kui j k või kui k+

15 Näited stedmisest j juurimisest Näide Arvutd Lhedus 9 6 Näide Arvutd ( 8) + Lhedus Näide Arvutd 6 Lhedus 6 6 Näide Arvutd Lhedus Näide Korrutd + 8 Lhedus Näide 6 Jgd Lhedus m m m 7 m 7 7 m m Näide 7 Astedd ( ) Lhedus Näide 8 Kirjutd murru Lhedus y y Näide 9 Kirjutd juure Lhedus b 6 6 b y 6 b Näide Tuu tegur juure ette: Lhedus

16 6 Näide Arvutd, Lhedus Kirjutme murrulise stedj juurimise j egtiivse stedj jgmise: , Vstus 9 Näide Leid rv, millest % o, + Lhedus , % o 8, seeg o otsitv rv 6 8 Vstus Arv o 6 Näide Koodd b b b b b + Lhedus Avldise esimeses liikmes korrutme kuupjuure ll olev murru lugejt j imetjt b-g ig kolmds liikmes teeme smsuguse korrutmise -g, sest siis sme edest imetjtest kuupjuure är võtt Teises j eljds liikmes toome täisstme juure ette Koodme srsed liikmed + + b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b / / + / / Vstus b b

17 Korrutmise bivlemid + b + b+ b b b+ b + b + b+ b + b b b+ b b ( b)( + b) b + b b+ b + b b + b+ b b Hulkliikme lhutmie teguriteks + + ( + ) või + b + b+ b + ( ) või b b+ b ( + ) või + b + b+ b + b + ( ) või b b+ b b ( )( + ) või ( b)( + b) b b b b b b b b b b b b b b b b b b + ( + )( + ) või ( )( + + ) või b b b b b b b b b ( b) ( b)( + b) + b b+ b + b b + b+ b b ( )( ) ( )( ) + b + b + b b+ b b b b + b+ b + b b + ( b) ( + b)( b+ b) b b ( b) ( b)( + b+ b) 7

18 6 Näited lgebrliste vldiste teisedmisest Näide Lhutd teguriteks y+ y Lhedus Ksutme bivlemit b b ( b) y y y + Näide Lhutd teguriteks c 8 + ig sme Lhedus Ksutme bivlemit b ( b)( b) c 8 ( c 9)( c+ 9) Näide Lhutd teguriteks + ig sme b + b b+ b ig sme Lhedus Ksutme bivlemit ( + )( 6 + 9) Näide Lhutd teguriteks y Lhedus Ksutme bivlemit b ( b) ( b)( + b) ig sme y ( y)( + y) Kui g ksutme bivlemit b b b + b+ b, siis y y + y + y Näide Avd sulud ( y) + Lhedus Ksutme bivlemit b b b ig sme + y + y+ y + y+ 9y Näide 6 Avd sulud ( )( ) + b + b b ig sme Lhedus Ksutme bivlemit ( ) ( )( + ) Näide 7 Avd sulud ( b) Lhedus Ksutme bivlemit b b b b ( b) b ( b) ( b) b b 6 b + ig sme 8

19 Näide 8 Avd sulud ( b)( + 6b+ 9b ) Lhedus Ksutme bivlemit b b b b b + 6b+ 9b b 8 7b Näide 9 Lihtsustd vldis ig sme Lhedus Lhutme esimese murru imetjs olev vldise vlemi b b b bil teguriteks Tdme Viime ühisele imetlle j koodme Nimetjs ksutme veel vlemit b ( b)( b) imetj lühemlt kirjutd ( ) ( ) Vstus , selle bil sme Näide Lihtsustd vldis ( y) y + y y Lhedus Lhutme teise murru imetj vlemi b ( b)( b) + bil teguriteks, rkeddes sed vlemit kks kord Tdme Viime ühisele imetjle, koodme srsed liiikmed Tdme ( ) ( ) y y y y + y y + y y + y + y y( y) ( y) ( y)( + y)( + y ) ( y) + y y + y y + y + y + y + y + y + y + y + y ( + y ) + y 9

20 Vstus + y Näide Lihtsustd vldis : Lhedus Lhutme sulgudes olev vldise teise liikme lugej j imetj teguriteks, ksutdes bivlemeid ig sedme väljspool sulge olev jgmise tehte korrutmiseg (pöörme murru rigi) Tdme Siis toome sulgude ette sulgudes olev vldise mõlems liikmes esiev teguri Tdme + Koodmisel o srsed liikmed ll jooitud : ( )( + + ) ( + ) ( + ) ( )( + ) Vstus + + Näide Lihtsustd vldis + Lhedus Toome esimese murru imetjs ühise teguri sulgude ette Sulgudes viime ühisele imetjle Esimese murru lugej j viimse muru imetj tdme Viimse murru lugejs toome khest esimesest j khest viimsest liikmest teguri sulgude ette ii, et mõlemsse sulgu jääks üks j sm vldis Siis toome selle vldise omkord sulgude ette Tdme Lhutme vldise bivlemig teguriteks Tdme

21 + + / / + ( ) + ( ) ( + ) + Vstus ( )( + ) ( ) + + ( ) Näide Lihtsustd vldis b : b + b b b Lhedus Võtme sulgude ette sulgudes olev vldise mõlems liikmes esiev teguri j lhutme lhutme sulgudesse jääv murru lugej j imetj b teguriteks, et tdd Viimse jgmistehte semele kirjutme korrutmise j lhutme lugej teguriteks Tdme Nüüd viime sulgudes ühisele imetjle, koodme lugejs srsed liikmed (eed o ll jooitud) j tdme b : b + b b b b ( + b) b ( + b ) b b + + b + b b + b + b + b b b b Vstus

22 Näide Sgeli õutkse juurvldiste teisedmisel, et vstuseks olev murru imetjs ei esieks juurt (irrtsiolsust) Murru imetj vbstmie irrtsiolsusest tugieb lgebrlise murru põhiomdusele: lgebrlise murru lugej j imetj korrutmisel või jgmisel ühe j sm vldiseg, mille väärtus ei ole ull, sdkse murd, mis o smselt võrde tud murrug Vbstd murru imetj irrtsiolsusest: Lhedus Korrutme murru lugejt j imetjt vldiseg +, sest siis sme imetjs ksutd bivlemit ( b)( + b) b, mille rkedmisel kovd imetjst ruutjuured (imetjs ei esie em irrtsiolsust) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + 6) ( + 6) Vstus 7 Liervõrrd Liervõrrdi üldkuju o b b Kui, siis sme võrrdi lhediks Kui, siis võrrd omdb kuju b Kui seejuures b, siis o võrrdil lõpmtu hulk lhedeid (lhediks o ig relrv) Kui g b, siis lhed puudub Liervõrrdi lhedmiseks o vj ) vii võrrd üldkujule, jättes tudmtut sisldvd liikmed vskule poole j vbliikmed premle poole võrdusmärki; ) jgd mõlemd pooled tudmtu kordjg

23 8 Ruutvõrrd Ruutvõrrdi üldkuju o + b+ c, kus Lhedite leidmiseks ksuttkse vlemit b± b c Erijuhul, kui ruutliikme kordj o üks, sb tdtud ruutvõrrdi + p+ q lhedeid leid vlemist p ± p q Viète i vlemid Tdtud ruutvõrrdi lhedid rhuldvd järgmisi seoseid: + p, q Neljd stme võrrdit, mis sisldb iult tudmtu prisstmeid, imettkse biruutvõrrdiks Biruutvõrrdi üldkuju o + b + c Lhedmiseks ksuttkse bitudmtut y Sdkse uus võrrd y + by+ c, mille lhedid o y j y Pigutdes y positiivsed väärtused võrdusesse ) y, millest, ± y ; ) y, millest, ± y y, sme 9 Ruutkolmliikme teguriteks lhutmie p q + +, milles, o ruutkolmliikme ullkohd (vstv ruutvõrrdi lhedid) b c + +, milles, o ruutkolmliikme ullkohd (vstv ruutvõrrdi lhedid) p q + + b c + +

24 Näiteid liervõrrdite j ruutvõrrdite lhedmisest ig ruutkolmliikmete teguriteks lhutmisest + 7 Näide Lhedd võrrd 6 Lhedus Teeme vjlikud teisedused: ( + ) ( 7 ) : Kotroll, + v,, 6 p 7 7 9, v p Vstus Võrrdi lhed + Näide Lhedd võrrd Lhedus Avme sulud: ( ) Vstus Võrrdi lhediteks o kõik relrvud

25 Näide Lhedd võrrd + ( + ) Lhedus Teeme vjlikud teisedused: + ( + ) Vstus Võrrdil puudub lhed Näide Lhedd võrrd Lhedus Ruutvõrrdi lhedivlemi kohselt ± ±,,, Vstus,, Näide Lhedd võrrd + Lhedus Tdtud ruutvõrrdi lhedivlemi kohselt ± + ±,, Vstus, Näide 6 Lhedd võrrd 6 Lhedus See o tdtud ruutvõrrd, milles tudmtu kordj p j vbliige q 6 Olgu lhedid j Viète i vlemite kohselt + ( ), 6 Leime proovimise teel sellised kks täisrvu (üks edest o egtiive, sest lhedite korrutis o egtiive), mille korrutis o 6 j summ Need rvud o j Seeg võrrdi lhedid o j Vstus,

26 Näide 7 Lhedd võrrd Lhedus See o biruutvõrrd Lhedmiseks ksutme bitudmtut Sme uue võrrdi y y 7 y+ 9, mille lhedid o y 9 j y Pigutdes y väärtused võrdusesse y, sme ) 9, millest, ; ), millest, Biruutvõrrdi võib lhedd k ilm bitudmtut, ksutdes vid ruutvõrrdi lhedivlemit tudmtu ruudu leidmiseks Vstus,,, Näide 8 Lhutd ruutkolmliige 8+ teguriteks Lhedus Moodustme ruutvõrrdi 8+ j lhedme selle 8± 8 8± ; ; Nüüd sme ruutkolmliikme lhutd teguriteks: Vstus ( )( ) 6

27 Determidid Teist järku determidi väärtuse rvutmise eeskiri: Kolmdt järku determidi rvutmise eeskiri: + + Skeemi kolmdt järku determidi rvutmiseks imettkse Srrus`i reegliks: Näiteks 7 ( ) + 8 9, Liervõrrdisüsteem Khe tudmtug lierse võrrdisüsteemi üldkuju o + b y c, + b y c Selles o j y tudmtud ig,, b, b, c, c o kostdid Liersete võrrdisüsteemide lhedmisel tuleb d teisedd üldkujule j seejärel lhedd sobiv võtteg 7

28 Khe tudmtug võrrdisüsteemi lhedusvõtted I Liitmisvõte Liitmisvõtte ksutmisel tuleb võrrdeid teisedd ii, et ühe tudmtu kordjteks võrrdites oleksid teieteise vstdrvud Selleks korruttkse võrrdi(te) pooli vstvlt vlitud teguri(te)g Seejärel võrrdid liidetkse Tulemuseks o ühe tudmtug võrrd, millest leime selle tudmtu väärtuse Leitud väärtus settkse ühte tud võrrdeist j lhedtkse see teise tudmtu suhtes II Asedusvõte Võrrdisüsteemi lhedmie sedusvõtteg seiseb järgevs: ) ühest võrrdist vldtkse üks tudmtu teise kudu; ) leitud vldis settkse teise võrrdisse; ) lhedtkse sdud ühe tudmtug võrrd; ) teise tudmtu leidmiseks ksuttkse sed vldist, milleg tehti esilge sedus Kui võrrdisüsteemi lhedmisel mõlemd tudmtud kovd j tekib migi tõee rvvõrdus (smsus), siis o võrrdisüsteemil lõpmtu hulk lhedeid Neid võib leid, kui d ühele tudmtule vblt väärtusi j rvutd teise tudmtu vstvd väärtused Sisuliselt o siis tegemist üheis võrrdig (võrrdid o teieteisest sõltuvd) Kolme tudmtug lierse võrrdisüsteemi üldkuju o + b y+ cz d, + b y+ cz d, + b y+ cz d Kui süsteemi determit selle süsteemi lhediks kus b c D b c, siis Crmeri vlemite kohselt o b c D D y Dz, y, z, D D D 8

29 d b c d c b d D d b c, D d c, D b d y z d b c d c b d Näited liervõrrdisüsteemide lhedmisest Näide Lhedd võrrdisüsteem 9y 9, 7 y 6 Lhedus Lhedme võrrdisüsteemi liitmisvõtteg Selleks korrutme esimest võrrdit -g j teist (-)-g, seejärel liidme võrrdite vstvd pooled 9y 9 7 y 6 ( ) 6 6y y Asetme väärtuse esimesse võrrdisse j rvutme y väärtuse: 9y 9 y Kotroll, y, ( ) 9 v 9 v p ( ) 6 v 7 v p Vstus, y 9

30 Näide Lhedd võrrdisüsteem y 8, 6y Lhedus Lhedme võrrdisüsteemi sedusvõtteg Avldme tudmtu teisest võrrdist: 6y Teeme vstv seduse esimesse võrrdisse: 6y y 8 y Avldisest 6y leime 6 Vstus, y Näide Lhedd võrrdisüsteem + y+ z, y+ z, + y+ z Lhedus D , D , D , y D z 6 Lhedivlemite järgi sme:, y, z Vstus, y, z

31 Võrrtus Kui khe vldise (rvu) vhel o võrrtusmärk ( <, >, või ), siis sellist seost imettkse võrrtuseks Võrrtuse omdused Kui > b, siis b< Kui > b j b> c, siis > c Võrrtuse mõlem pooleg sb liit ühe j sm vldise (rvu): kui > b, siis + c> b+ c Võrrtuse märk jääb smpidiseks, kui võrrtuse mõlemt poolt korrutd või jgd ühe j sm positiivse rvug: b kui > b j c>, siis c > cb j c > c Võrrtuse märk muutub vstupidiseks, kui võrrtuse mõlemt poolt korrutd või jgd ühe j sm egtiivse rvug: b kui > b j c<, siis c < cb j c < c Võrrtust, mis sisldb tudmtut, sb lhedd Võrrtuste lhedmisel o järgmised reeglid: ) liikme märk muutub vstupidiseks, kui kd t võrrtuse ühelt poolelt teisele; ) võrrtuse poolte korrutmisel (jgmisel) ühe j sm positiivse rvug jääb võrrtuse märk ediseks; ) võrrtuse poolte korrutmisel (jgmisel) ühe j sm egtiivse rvug muutub võrrtuse märk vstupidiseks; ) võrrtuse pooli ei tohi korrutd eg jgd tudmtut sisldv vldiseg, mille märk pole ted, sest siis võime sd esilgse võrrtuseg mittesmväärse võrrtuse Liervõrrtus Liervõrrtuseks ehk esimese stme võrrtuseks imettkse võrrtust, millele sb d ühe kujudest < b, > b, b, b, kus Kht esimest imettkse rgeteks, kht viimst g mittergeteks võrrtusteks Kui Kui < b j >, siis < b j <, siis b < b > Teised liervõrrtused lhedtkse loogselt

32 Kui, siis sdkse rvvõrrtus (see ei ole liervõrrtus) Tõese rvvõrrtuse lhediteks o kõik relrvud Mittetõese rvvõrrtuse puhul lhedid puuduvd 6 Liere võrrtussüsteem Kks või em ühe j sm tudmtug võrrtust koos vdeldu moodustvd võrrtussüsteemi Ühe tudmtug liervõrrtussüsteemi lhedihulgks o tud võrrtuste lhedihulkde ühisos Võrrtussüsteemi lhedmisel leime ig võrrtuse lhedihulg j seejärel süsteemi lhedihulg Võrrtussüsteemi lhedmie tdub lti ühele eljst järgmisest juhust Eeldme, et > b I Smpidised tõkked > < > b < b b b Lhedeiks >, lhedeiks < b II Vstupidised tõkked > b < b Lhedid b < <

33 III Vsturääkivd tõkked > < b b Lhedid puuduvd 7 Ruutvõrrtus Ühe tudmtug ruutvõrrtuseks imettkse võrrtust + b+ c > või + b+ c < ( k või ) Näiteks ruutvõrrtuse + b+ c > lhedmie tähedb vstv ruutfuktsiooi y + b+ c positiivsuspiirko leidmist Olgu selle fuktsiooi ullkohd ehk ruutvõrrdi + b+ c lhedid j Esied võivd järgmised kolm juhtu I Kui b c>, siis o ruutvõrrdil kks erievt lhedit j Sõltuvlt ruutliikme kordj märgist o ruutfuktsiooi y + b+ c positiivsuspiirkod ehk võrrtuse + b+ c > lhedid järgmised: > < Võrrtuse lhedid < või > Võrrtuse lhedid < < II Kui b c, siis o ruutvõrrdil kks võrdset lhedit j ehk Vstv ruutfuktsiooi y + b+ c grfik puudutb - telge: > < Võrrtuse lhedid < või > Võrrtuse lhedid puuduvd

34 III Kui b c<, siis vstvl ruutfuktsiooil y + b+ c ullkohd puuduvd, grfik ei lõik -telge, o terves ultuses üll- või llpool -telge: > < Võrrtuse lhedid R Võrrtuse lhedid puuduvd Võrrtusi ( )( ) > j ( )( ) järgmiselt: ( )( ) < sb lhedd k > < > < > või ( )( ) > < < > < või 8 Kõrgem stme võrrtus Olgu P lgebrlie hulkliige (polüoom), mille peliikme (kõrgeim stmeg liikme) kordj o : P Kõrgem stme võrrtuseks imettkse võrrtust P > või P < ( k või ) Kõrgem stme võrrtuse lhedmiseks leime vstv hulkliikme ullkohd Kdes eed ullkohd rvsirgele (-teljele), tõmbme läbi ede puktide jooe, lustdes premlt j üllt, kui peliikme kordj > ig premlt j lt, kui < Seejuures migit ullkoht läbime -telge lõigtes, kui selle ullkoh järk o pritu rv, ig puutudes, kui ullkoh järk o prisrv Jooisel o esittud äide, kus ullkohtde j järgud o prisrvud, ullkohtde j järgud g pritud Niiviisi sdud kõvert võib vdeld fuktsiooi y P grfiku skitsi Sellelt grfikult sb määrt võrrtuse lhedid >

35 9 Absoluutväärtusi sisldvd võrrtused Absoluutväärtuse defiitsioo:,, kui kui, < Vstvlt bsoluutväärtuse defiitsiooile: ) võrrtuse < lhedihulk o ) võrrtuse lhedihulk o ) võrrtuse > lhedihulk o ) võrrtuse lhedihulk o < < ; ; < või > ; või Nede põhivõrrtuste bil o võimlik leid keerukmte võrrtuste lhedihulgd Näited võrrtuste j võrrtussüsteemide lhedmisest Näide Lhedd võrrtus 8 + < Lhedus Murdude kotmiseks korrutme võrrtuse pooli -g: 8 + < 8+ 6< 9 < 8 : ( ) Jgdes võrrtuse pooli ( ) -g, sme vstupidise võrrtuse > 6 Vstus > 6 Näide Lhedd võrrtus ( ) Lhedus ( ) > > + > 8 > + Tulemuseks sime vstuolu, sest ull ei ole suurem kui pluss kheksteist Seeg esilgsel võrrtusel lhedid puuduvd Vstus Võrrtusel lhedid puuduvd

36 Näide Lhedd võrrtus ( + ) > Lhedus Avme sulud: + > > Pluss viisteist ogi suurem kui miius kümme, järelikult o esilgse võrrtuse lhedid kõik relrvud Vstus Võrrtuse lhediteks o kõik relrvud ehk R <, Näide Lhedd võrrtussüsteem,+ < < < <, Lhedus,+ <, < < Leime süsteemi lhedid rvteljel: Vstus < -, ( 6) + >, Näide Lhedd võrrtussüsteem + 9 > + Lhedus Lhedme kummgi võrrtuse erldi: ) ) ( 6) + > 6 6+ > + > 9 > 9 7 > 6 7 : + 9 > + + > > : 7 Leime süsteemi lhedid rvteljel: 6

37 9 7 Vstus > 9, <, 8 Näide 6 Lhedd võrrtussüsteem 7 + > 6 Lhedus Lhedme võrrtused erldi: ) 7 + < < + 6 < 7 > 7 6 : ( 6) ) 7 + > 6 7 > > < 7 Süsteemi lhedid: 6 : ( ) 7 7 Vstus 7 ; 7, st võrrtussüsteemi lhediteks o kõik relrvud sellest 6 vhemikust Näide 7 Lhedd võrrtussüsteem Lhedus Lhedme võrrtused erldi: ) > 9+ 7 > : > ( + ) + ( + ) > ( + ) ( + ) > ( ) 6 9,

38 ) 9 > > : ( ) < 7 Süsteemi lhedid: -7 Vstus Süsteemil lhedid puuduvd Näide 8 Leid võrrtussüsteemi täisrvulised lhedid: Lhedus Lhedme võrrtused erldi: ) 9 + < + 8 < 8 < 7 >,7 : ( ) 9 + < + > ( ) + 9 ) + > ( ) > 9 9+ > 8 : ( ) < 6 Süsteemi lhedid:,7 6 Relrvude vhemikus (,7 ; 6) Vstus { ; ; } o täisrvud, j Näide 9 Lhedd võrrtus > Lhedus Lhedme ruutvõrrdi, ksutme tdtud ruutvõrrdi lhedivlemit:,±,+,±,,, 8

39 Kme lhedid rvteljele j jooistme kõver läbi ede lhedite Alustme -st premlt j üllt, ku kordj, st > (vt kõrgem stme võrrtuste või ruutvõrrtuste lhedmist): - Vstus ( ),( ; ) ; 6+ 7 Näide Lhedd võrrtus Lhedus Teisedme võrrtuse üldkujule: Lhedme ruutvõrrdi 8 : 8± 8 + 8±,,, Kme lhedid -teljele j jooistme kõver läbi ede lhedite Jooistmist lustme -st premlt j lt, ku < (sii kordj ), Lhedite hulk kuuluvd k ullkohd, j, sest võrrtus o mitterge Vstus, Näide Lhedd võrrtus > Lhedus Leime ullkohd: Ku esieb kks kord ullkoh, siis vstv ruutfuktsiooi grfik telge ei läbi, vid puudutb telge j läheb smle poole tgsi: Vstus < või > 9

40 Näide Lhedd võrrtus + > Lhedus Lhedme ruutvõrrdi +,±,,± 9,7 Relsed lhedid puuduvd (egtiivsest rvust ei s võtt ruutjuurt) Ku <, siis vstv ruutfuktsiooi grfik setseb terves ultuses llpool -telge: Vstus Võrrtusel lhedid puuduvd Näide Lhedd võrrtus Lhedus Võrrtuse lhedihulk o bsoluutmärkide vhel olev vldis täitm tigimusi Liidme selle võrrtuse igle lülile rvu :, seeg peb võrrtuses sme võrrtusehel Jgme ig lüli rvug : +, 7 7,, :, Vstus,, Näide Lhedd võrrtus > Lhedus Võrrtuse > lhedihulk o < või >, seeg peb võrrtuses > bsoluutväärtuse märkide vhel olev vldis täitm tigimusi < või > Lhedme eed Vstus < või > < : või > : > või < > või <

41 Logritmid Arvu b logritmiks tud lusel imettkse iisugust rvu c, milleg o vj stedd rvu, et sd rv b log b c c, kui b > j Aseddes teises võrduses c, sme smsuse log b Vstv smsus kümedlogritmide korrl: b log b b Nturllogritmide korrl: lb e b Logritmide omdused log log log m log m+ log, kui m> j > m log log m log, kui j m> > log b log b, kui b> 6 log 7 log 8 9 log log b log b, kui b> b b logc b b logc b log Märkus log ( b c) b ± log b± log c! Näide ) log 8, sest 8 ; ) ) ) ) log 6, sest 6 log ; log ; l e ; ;

42 6) log 6 log 6 log 6 ( log 6 ) ) ; log log log log log ( ) ; 6 8) + log log ( log ) 8 Arvu, kus Z, imettkse järguühikuks Järguühiku kümedlogritm võrdub rvug ehk Näide ) log log ; ) log, log ; ) log, log log Näide Avldd log u +, kui u Lhedus Ksutdes korrutise, jgtise, stme j juure logritmide omdusi, võime leid suvlise üksikliikme logritmi, st logritmid vldise Logritmid lgebrlie vldis see tähedb väljedd selle vldise logritm tems esievte rvude j tähtede logritmide kudu Näites tud võrduse prem pool o murd, seeg võib omduse kohselt kirjutd: Omduse kohselt: j Omduse 6 põhjl j omduse põhjl ( + ) log logu log ( + ) + ( + ) log log log log + log log [ ] log + ( + ) log( )

43 log log, ( + ) + ( + ) log log log Järelikult logu log+ log+ log( + ) log log Potetseerimiseks imettkse vldise leidmist tem logritmi järgi Potetseerimisel rvestme, et ) log m+ log log m ; m ) log m log log ; ) log b log b ; ) log log b b ; m ) log log m b b Näide Avldd u, kui log u ( + ) log log log 7+ log z Lhedus Vlemi põhjl log u log log log 7 log z + + Muudme liidetvte järjekord, et rkedd vlemit : Vlemi põhjl j lõpuks vlemi põhjl sme: + z Seetõttu u 7 võrdsed) + log u log + log z log + log 7 logu log logu + z log + log 7 z 7 (kui logritmid o võrdsed, siis o k logritmitvd vldised + z Vstus u 7

44 Summ märk Summ märk o kreek tähestiku suur täht Σ (sigm), mille bil tähisttkse lühidlt üheldsete liidetvte summt Näiteks i m+ m+ + m+ + + i m Sümbolit Σ tuleb tõlgedd kui korrldust liitmiseks Sümboli Σ järel o äidtud, millise kujug vldisi peb liitm (üldliige i ) Sümboli Σ juures o äidtud, et kõigi liidetvte smiseks tuleb täisrvulisele prmeetrile i (summeerimisideks) d järjest väärtused ltes väärtusest m kui väärtusei (summeerimisrjd) Kui summeerimisrjd selguvd kotekstist, siis kirjuttkse Ksuttkse k tähistust i i i, kus A o summeerimisideksi muutumispiirkod i A Näide Kirjutd sümboli Σ bil summ Lhedus Olgu summeerimisideks täht k, siis sme summ kõik liikmed äiteks vldisest k, kui k,,,,, Seeg Selle summ liikmed sb k vldisest k k j, kui j,,,,, 6 Seeg k 6 j j Võib leid veel kirjutisi tud summle sümboli Σ bil Näide Kirjutd sümboli Σ bil summ Lhedus Olgu summeerimisideks täht i, siis sme summ kõik liikmed äiteks vldisest + i i, kui i,,,,, 6 Seeg 6 + ( ) i i Näide Kirjutd sümboli Σ bil summ i

45 Lhedus Vlime summeerimisideksiks äiteks tähe m Selle summ liikmete stedjtes vhelduvd + j Seeg peme stedjks kirjutm äiteks vldise ( ) m+ j summ liikmete üldvldis o siis ( ) m m+, kui m,,,,, 6, 7, 8 Sme, et 8 m+ ( ) m 6 8 Näide Kirjutd ilm summ sümbolit summ ( + j) Lhedus ( j) j j m Näide Kirjutd ilm summ sümbolit summ k Lhedus ( + ) k Näide 6 Kirjutd ilm summ sümbolit summ i i Lhedus i i + Näide 7 Kirjutd ilm summ sümbolit summ ( ) + + Lhedus k k e k Näide 8 Kirjutd ilm summ sümbolit summ ( ) e e e e e e e k k k Lhedus ( ) ( )

46 Ülesded ritmeetikst j lgebrst Arvutd Vstus 7 + Arvutd 9 8 Vstus 6 Arvutd Vstus 6 Korrutd 6 Vstus c c c Jgd Vstus d d d 6 Astedd ( ) Vstus 7 Kirjutd murru Vstus 8 Kirjutd juure Vstus 9 Tuu tegur juure ette: Vstus Tuu tegur juure ette: Vstus 6 Arvutd Vstus 69 7,

47 Lhutd teguriteks 6 6b 6 8b 6+ 8b Vstus Lhutd teguriteks + y Vstus 9 + y+ 6y Lhutd teguriteks c c c + c+ Vstus Avd sulud ( 8 ) Vstus Avd sulud ( d) Vstus d+ 6d + d 7 Avd sulud ( 7b)( 7b) Vstus 9 9b + 8 Avd sulud ( c)( c c ) Vstus c Lihtsustd vldis Vstus + Lihtsustd vldis Vstus Vbstd murru imetj irrtsiolsusest: 7+ Vstus 7 Lhedd võrrd k+ 7 k Vstus k 6 7

48 Lhedd võrrd Vstus, + Lhedd võrrd Vstus, 6 Lhedd võrrd Vstus, 7+ 6 Lhutd ruutkolmliige + + teguriteks Vstus 7 Lhedd biruutvõrrd Vstus, 8 Arvutd determit Vstus 8 9 Arvutd determit Vstus Lhedd liervõrrdisüsteem Vstus, y Lhedd liervõrrdisüsteem Vstus, y, z Lhedd võrrtus 6 8 Vstus Lhedd võrrtus Vstus 6 + y, y y+ z 7, + y + z 7, z Crmeri vlemite bil 8

49 Lhedd liere võrrtussüsteem Vstus < < Lhedd liere võrrtussüsteem <, + < >, > Vstus Võrrtussüsteemil lhedid puuduvd 6 Lhedd võrrtus + < Vstus < < 7 Lhedd võrrtus 7+ Vstus 8 7 või 8 Arvutd Vstus 9 Arvutd Vstus 6 Arvutd Vstus 7 log + log +,log 9 log9 log Arvutd Vstus, Arvutd Vstus Arvutd Vstus Arvutd Vstus Arvutd Vstus, log log log log 6 log log 6, 7 + log log + log 7 log log Avldd log, kui ( b) b 9

50 log log + log b log log b Vstus 7 Avldd log u, kui u y log y log log + b + log b b + b Vstus log u log( ) log+ log y 8 Avldd y, kui Vstus y 9 Avldd u, kui log u log( ) log y log+ 6log z 6 z ( ) Vstus u y Kirjutd sümboli Σ bil summ Vstus i i Kirjutd sümboli Σ bil summ m m Vstus ( ) Kirjutd sümboli Σ bil summ k Vstus k k + Kirjutd ilm summ sümbolit summ Vstus c + c + c + c + c ck k Kirjutd ilm summ sümbolit summ ( + i) i Vstus + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )

51 MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS II OSA SISUKORD TRIGONOMEETRIA Nurg mõõtmie Tervurg trigoomeetrilised fuktsiooid Täiedusurkde trigoomeetrilised fuktsiooid Trigoomeetriliste fuktsiooide märgid j mõed väärtused Trigoomeetriliste fuktsiooide perioodid 6 Tdmisvlemid Näited 7 Trigoomeetri põhivlemid j ede järeldused Näited 7 8 Khe urg summ j vhe trigoomeetrilised fuktsiooid 6 9 Khekordse urg trigoomeetrilised fuktsiooid 6 Poolurg trigoomeetrilised fuktsiooi 6 Summ teisedmie korrutiseks 6 Korrutise teisedmie summks 6 Näited trigoomeetri vlemite rkedmisest 6 Trigoomeetriliste fuktsiooide pöördfuktsiooid (rkusfuktsiooid)66 Arkusfuktsiooid egtiivsest rgumedist 67 6 Trigoomeetrilised põhivõrrdid Näited 67 7 Ülesded trigoomeetrist 69 TRIGONOMEETRIA Nurg mõõtmie Trigoomeetris mõistetkse urg ll urg suurust, urg mõõtrvu Seetõttu o otstrbeks kujutd urk kui kiire pöörde suurust ümber om lguspukti Täispööre o 6 (krdi) ehk π rd (rdii) Nurk o positiive, kui kiir pöördub kellosuti liikumise vstssuus Nurk o egtiive, kui kiir pöördub kellosuti liikumise suus Seeg o täispöördest j 6 6 π rd, 8 π rd, π rd, 8 rd 7,

52 Järgmises tbelis o tutumte urkde väärtused krdimõõdus j rdimõõdus α (krdides) (rdiides) π π π π π π π 6 π π π Näiteks rd, 6 π π π rd, 6 π 7π 8 + π + rd, 6 6 π π 8 +6 π + rd, π π 6 6 π rd, π π 6 π rd 6 6 Tervurg trigoomeetrilised fuktsiooid Täisurkse kolmurg tervurkde trigoomeetrilised fuktsiooid o järgmised α c b β vstsktet b Tervurg siius ; si α, siβ hüpoteuus c c lähisktet b Tervurg koosius ; cos α, cosβ hüpoteuus c c vstsktet b Tervurg tges ; t α, tβ lähisktet b lähisktet b Tervurg kootges ; cot α, cotβ vstsktet b α+ β 9 ehk π α+ β Näiteks kui täisurkses kolmurgs urk α, siis urk β 9

53 Täiedusurkde trigoomeetrilised fuktsiooid π π Täiedusurkdeks o urgd, mille summ o, st α+ β Täiedusurkde α j β korrl siα cos β, cosα si β, tα cot β, tβ tβ cot α tα π Kui o tud tervurk α, siis selle täiedusurk o α j kehtivd vlemid: π si α cos α, π cos α si α, π t α tα Näiteks π π si cos, 6 π π cos si, π π t cot 6 π t

54 Trigoomeetriliste fuktsiooide märgid j mõed väärtused Täispöörde jgmie veerditeks: π II veerd I veerd π ( π, täispööre) III veerd IV veerd π Fuktsiooide siα, cosα j tα märgid sõltuvlt urgst: siα cosα tα Järgmises tbelis o tutumte urkde trigoomeetriliste fuktsiooide väärtused α α π π π π π π π 6 siα cosα tα puudub puudub

55 Trigoomeetriliste fuktsiooide perioodid Fuktsiooide siα j cosα periood o π, fuktsiooi tα periood o π Seeg ( ) si α+ π si α, ( ) cos α+ π cos α, ( α π ) t + t α, milles Z { ; ; ; } Z ± ± ± 6 Tdmisvlemid Näited Tdmisvlemite bil sb misthes urg trigoomeetrilise fuktsiooi teisedd tervurg trigoomeetriliseks fuktsiooiks Kui urk o egtiive, siis ksuttkse vlemeid ( α) si si α, ( α) cos cos α, ( α) t t α Kui urk o suurem kui π, siis lhuttkse kõigepelt perioodi korde Kui urk o väiksem kui π, siis sb urgle d ühe kujudest π ± α, π α π π või ± α, ± α Kui tdmisel ksuttkse kujusid π ± α j π α, siis π π fuktsiooi imetus ei muutu Kui g ksuttkse ± α, ± α, siis siius sedub koosiuseg j vstupidi ig tges sedub om pöördväärtuseg Märk rvesttkse tdtv fuktsiooi järgi (vt Trigoomeetriliste fuktsiooide märgid j mõed väärtused) Tdmisvlemid sislduvd järgmises tbelis

56 Fuktsioo Nurk 9 ±α 8 ± α π π ± α ± α 7 ±α 6 α π π α ± α α si cosα siα cosα siα cos siα cosα ± siα cosα t ± tα tα tα tα Eelevid vlemeid ksuttkse tvliselt tervurg α korrl, kuid d kehtivd k suvlise urg korrl Näide Leid vldise väärtus ( 7 ) cos87 t( 66 ) t si 9 si + cos Lhedus Kõigepelt vbeme egtiivsest urgst, siis erldme urgst täispöörde kordse urg Seejärel me urgle (kui võimlik) kuju 8 ± α või 6 α j rkedme tdmisvlemeid si 9 si + cos 7 cos 87 t 66 t si 9 si + cos 7 cos 87 + t 66 t si + 6 si cos + 6 cos t + 6 t + 6 si si + cos cos + t t si si 8 + cos 8 + cos 8 + t 6 6 t si si + cos cos + t 6 t Vstus Näide Lihtsustd vldis si t ( π α) ( π + α) cos π si t α ( π α) ( α) Lhedus Koos tdmisvlemiteg rkedme k täiedusurg vlemit j sme π t α t α 6

57 ( π α) ( π α) ( π α) ( α) si cos t + π si t α siα cosα tα siα tα Vstus cosα siα tα cos α cos α tα siα Näide Lihtsustd vldis ( 9 + α) cos( 8 + α) + t( 7 α) t( 9 α) si Lhedus Vstus ( α) ( α) ( α) ( α) si 9 + cos t 7 t 9 cosα ( cosα) + cosα + cosα cos α tα tα cosα 7 Trigoomeetri põhivlemid j ede järeldused Näited ( cotα) Ksutme tähistusi ( siα) cot α si α, ( cosα) cos α, ( tα) t α, Kehtivd vlemid α α si + cos, tα cotα, siα t α, cosα cosα cot α, siα α cos α + t, α si α + cot 7

58 Näide Lihtsustd vldis si α cos α + cos α Lhedus Avldise si α cos α teguriteks lhutmisel ksutme vlemit b b + b, sme ( si cos ) ( si cos ) cos si α cos α + cos α si α cos α + cos α α α α + α + α α α + α α α+ α α si cos cos si cos cos si Vstus si α Näide Tõestd smsus si β + + cos β( + tβ) siβ + cosβ tβ Lhedus Lähtume smsuse vskust poolest Kui tud smsus (trigoomeetrilie vldis) sisldb siius-, koosius- j tgesfuktsiooe, siis o otstrbekohe vldd tgesfuktsiooid siius- j koosiusfuktsiooi kudu Teiseduste res võtme summ khest liikmest sulgude ette ühise teguri siβ + cosβ siβ cosβ cosβ siβ si β + + cos β( + tβ) si β + + cos β + tβ siβ cosβ siβ + cosβ cosβ + siβ si β + cos β siβ cosβ si β siβ cosβ cos β cosβ siβ siβ cosβ si β cos β siβ + cosβ siβ + cos β, m o t t Näide Tõestd, et + siα cosα si α cos α tα + tα Lhedus Teisedme esmlt smsuse vskut poolt, seddes murru lugejs si α + cos α Seejärel lhutme murru lugej j imetj teguriteks, ksutdes lugejs vlemit b b ( b) b ( b)( b) ig imetjs vlemit + Seejärel tdme j sme 8

59 + si cos si + cos + si cos α α α α α α si α cos α si α cos α si α + siα cosα + cos α si α cos α ( siα + cosα) ( siα cosα )( siα + cosα ) siα + cosα siα cosα Teisedme tud smsuse premt poolt, seddes siα t α, sme cos α siα cosα siα + cosα + tα + cos cosα α siα + cosα si cosα tα α siα cosα siα cosα cosα cosα Atud smsuse vsk j prem pool o teisedtud üheks j smks kolmdks vldiseks O ted, et kui kks suurust o võrdsed ühe j sm kolmdg, siis o d võrdsed k omvhel Seeg o smsus tõesttud Atud smsust sb tõestd k ükses ühe poole teisedmiseg Lähtusime siα + cosα vskust poolest j jõudsime vldisei Jgdes selle vldise lugej siα cosα j imetj fuktsiooig cos α ( cosα, sest vldis sisldb t α ), sme siα + cosα siα cosα siα + cosα siα cosα tα + tα Sdud vldis o ühesugue smsuse prem pooleg, järelikult smsus o tõesttud Näide Arvutd t α väärtus, kui siα, 6 j 8 < α < 7 Lhedus Avldme t α trigoomeetrilise fuktsiooi si α kudu: siα siα tα cosα ± si α Nurk α peb täitm tigimust 8 < α < 7 (III veerdi urk), seeg cos α <, st ruutjuure märgi ees tuleb võtt Asedme siα, 6 j sme 9

60 ,6,6 tα,7,6,8 Vstus t α, 7 8 Khe urg summ j vhe trigoomeetrilised fuktsiooid si α + β siα cosβ + cosα siβ si α β siα cosβ cosα siβ cos α + β cosα cosβ siα siβ cos α β cosα cosβ + siα siβ t t tα + tβ + tα tβ ( α β) tα tβ + tα tβ ( α β) 9 Khekordse urg trigoomeetrilised fuktsiooid si α siα cosα cos cos si cos si α α α α α tα t α t α 6

61 Poolurg trigoomeetrilised fuktsiooid α cosα si ± α + cosα cos ± α cosα cosα siα t ± + cos α si α + cos α α Märk + või võetkse veerdi järgi, kuhu kuulub urk (vt Trigoomeetriliste fuktsiooide märgid j mõed väärtused) Summ teisedmie korrutiseks α+ β α β siα+ siβ si cos α+ β α β siα siβ cos si α+ β α β cosα+ cosβ cos cos α+ β α β cosα cosβ si si si( α+ β) tα+ tβ cosα cosβ ( α β) si tα tβ cosα cosβ α + cosα cos α cosα si 6

62 Korrutise teisedmie summks siα siβ cos cos α β α + β cosα cosβ cos cos α β + α+ β siα cosβ si( α β) si( α β) + + tα + tβ tα tβ cotα + cotβ Näited trigoomeetri vlemite rkedmisest Näide Lihtsustd vldis cos ( β) si ( α ) Lhedus α + + β ( α β) ( α β) ( α β) ( α β) ( α β) ( α β) cos si cos si cos cos ( α β) ( α β) ( α β) ( α β) cos + cos cos + + cos α+ β + α β α+ β α + β α + β + α β α+ β α + β si si cos cos siα si β cosα cos β ( siα cosα) si β cos β si α si β Vstus si α si β Näide Lihtsustd vldis cos α cos α cosα + cos 6α Lhedus 6

63 cosα cos α cosα + cos6α ( cosα cosα) + ( cos6α cos α) α + α α α 6α + α 6α α si si si si si α si ( α) si α siα siα( si α si α) α α α + α α 9α siα si cos siα si si α 9α siα si si Vstus α 9α siα si si cos α Näide Tõestd smsus si α α t α t Lhedus Lähtume smsuse vskust poolest Asedme α si α α t j α α cos α cos cos si α cos Sme α α α α cos si cos si cos α α α α α α t si cos si cos α t α α α α cos si si cos α α α α α α α α cos si si cos cos si si cos α α si cos α α cos si α α α α α α cos si si cos cosα si cos α cosα si cosα siα siα cosα si α, m o t t 6

64 Näide Tõestd smsus t ( α + ) + t( α ) t α Lhedus Lähtume smsuse vskust poolest Esmlt sedme tgesite summ jgtiseg j seejärel imetjs olevd tegurid urkde summ ig vhe koosiuse vlemiteg: si( α+ + α ) t( α + ) + t( α ) cos α + cos α si α ( cosα cos siα si )( cosα cos + siα si ) si α cosα siα cosα + siα si α ( cosα siα) ( cosα + siα) si α si α t α, cos ( cos α si α α ) m o t t cos α + tα Näide Lihtsustd vldis si α tα siα + cos α + tα cos α si α Lhedus cosα si α tα si α + cos α siα cosα siα cosα cosα+ siα (cosα si α) (cosα + si α) cosα (cosα si α) cosα siα cosα cosα + siα cosα+ siα cosα siα cosα siα 6

65 + siα siα Näide 6 Lihtsustd vldis siα + siα Lhedus + siα siα + siα siα + siα siα siα + siα siα + siα ( + siα) ( siα) ( siα)( + siα) + si α ( si α) siα t α si α cosα siα Näide 7 Lihtsustd vldis cosα α siα cosα t Lhedus siα siα cosα cosα α cosα siα + siα cosα t siα cosα + cosα siα cosα siα + cosα cosα siα + cosα si α(+ cos α) cosα siα + siα cosα siα cosα si α(+ cos α) cosα + cosα cosα siα + cosα + cos α + cos α Näide 8 Lihtsustd vldis cos α+ cosα Lhedus + cosα + cosα + cosα cos α + cosα ( + cosα) + ( cosα + cosα) ( cos α ) + cosα 6

66 α + α α α si α + cos α + cos α si α + cos cos cos α si α + cos α + cosα cos α+ cos α cosα cos α(cosα + cos α) cos si cos cos cos cos α α α+ α α+ α Trigoomeetriliste fuktsiooide pöördfuktsiooid (rkusfuktsiooid) rcsi m o bsoluutväärtuselt vähim urk, mille siius o m: kusjuures si( rcsi m) m, π π rcsi m, m rccos m o vähim mitteegtiive urk, mille koosius o m: kusjuures cos( rccos m) m, rccos m π, m rct m o bsoluutväärtuselt vähim urk, mille tges o m: kusjuures t( rct m) m, π π < rct m<, < m< Näiteks π rcsi, 6 π rcsi, π rccos, rccos, π rct, π rct, 66

67 Arkusfuktsiooid egtiivsest rgumedist rcsi rccos rct ( m) ( m) ( m) rcsi m π rccos m rct m Näiteks π rcsi rcsi, π π rccos π rccos π, π rct rct 6 6 Trigoomeetrilised põhivõrrdid Näited si m Kui m, siis rcsi m+ π, Z cos m Kui m, siis ± rccos m+ π, Z t m, m R Siis rct m+ π, Z Sgeli tekivd trigoomeetriliste võrrdite lhedmisel põhivõrrdid, milles trigoomeetrilise fuktsiooi väärtus o ull Seepärst o otstrbekohe ted, et si π, π cos π +, t π, Z Näide Lhedd võrrd si Lhedus Põhivõrrdi lhedivlemist sme Vstus π ( ) rcsi + π ( ) + π, Z π + π, Z 67

68 68 Näide Lhedd võrrd cos + π Lhedus Avldme võrrdist cos π, siis põhivõrrdi lhedivlemist sme Z + ±, rccos π π Ku 6 6 rccos rccos π π π π, sme,, 6, 6 Z + ± + ± + ± π π π π π π π π π Üldlhedis o ühe liikme ees kks märki, seeg sme lhedid esitd khe seeri:,, 7 Z π π π π π π π π π π Vstus Z + +,, 7 π π π π Näide Lhedd võrrd t π + + Lhedus Avldme võrrdist t π + Põhivõrrdi lhedivlemist sme rct rct, 6 π π π π π Z Võrdusest, 6 π π π + + Z vldme, 6 π π π π π + + Z Vstus, π π + Z

69 7 Ülesded trigoomeetrist Arvutd Vstus Arvutd cosα, kui Vstus t( ) cos si + cos cos6 t α, < α < 9 si α t α Tõestd smsus t α cos α + si α cos si Lihtsustd vldis si cos Vstus t Arvutd Vstus π rccos rct rcsi 6 Arvutd Vstus π 69

70 MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS III OSA SISUKORD MATEMAATILINE ANALÜÜS 7 Fuktsiooi üldised omdused 7 Elemetrfuktsiooid 7 Näited fuktsiooi määrmispiirko leidmisest 8 Ülesded määrmispiirko koht 8 MATEMAATILINE ANALÜÜS Fuktsiooi üldised omdused Järgevs o muutuv suurus sellie suurus, mis võib omdd mitmesuguseid relrvulisi väärtusi Nede väärtuste hulk imettkse muutuv suuruse muutumispiirkoks Sgeli esievd järgmised muutumispiirkod Khe tud rvu j b ( b) < vhel setsevte rvude hulk imettkse vhemikuks ehk lhtiseks vhemikuks, kusjuures rvud j b ise ei kuulu, b või võrrtusteg < < b vdeldvte rvude hulk Tähis ks Lõiguks ehk kiiseks vhemikuks imettkse khe tud rvu j b vhel setsevte rvude hulk, kusjuures rvud j b kuuluvd mõlemd vdeldvsse, b või võrrtusteg b hulk Tähis ks [ ] Kui rv kuulub ede väärtuste hulk, mid võib omdd, g rv b mitte,, b või võrrtusteg < b sme poolkiise vhemiku ehk poollõigu [ ) Kui rv b kuulub väärtuste hulk, g mitte, sme poollõigu (, b ] või < b Kui muutuv suurus omdb misthes väärtusi, mis o suuremd kui, siis, + või < <+ Aloogselt märgitkse sed vhemikku <+, < < b, < c, < <+ 7

71 Suurust, mille väärtus ei muutu, imettkse jäävks ehk kosttseks suuruseks Kui muutuj igle väärtusele piirkos X vstb muutuj y kidel väärtus, siis öeldkse, et y o muutuj fuktsioo piirkos X Muutujt imettkse fuktsiooi rgumediks ehk sõltumtuks muutujks j vstvlt fuktsiooi y k sõltuvks muutujks Argumedi muutumispiirkod imettkse fuktsiooi y määrmispiirkoks Fuktsiooi väärtused, mis vstvd kõigile rgumedi väärtustele piirkos X, moodustvd fuktsiooi muutumispiirko Y Seeg fuktsioo korrldb ühese vstvuse khe hulg X j Y elemetide vhel y f Fuktsiooi üldtähiseks o Prisfuktsiooi tuuseks o f ( ) f, prisfuktsiooi grfik o sümmeetrilie y-telje suhtes Pritu fuktsiooi tuuseks o f ( ) f, pritu fuktsiooi grfik o sümmeetrilie koorditide lguspukti suhtes Fuktsiooi perioodilisuse tuuseks o f ( + T) f, Z, kus T o lühim periood (äit siiusfuktsiooil π ) Kui fuktsiooi y f korrl o tegemist üksühese vstvuseg j vlemist y f sb seose g( y), milles muutuj y loetkse rgumediks ig fuktsiooiks, siis seost g( y) imettkse (otsese) fuktsiooi y f pöördfuktsiooiks Pöördfuktsiooi võib tähistd äiteks sümbolig y f Pöördfuktsiooi määrmispiirkoks o otsese fuktsiooi muutumispiirkod j muutumispiirkoks otsese fuktsiooi määrmispiirkod Otsese j pöördfuktsiooi grfikud o sümmeetrilised sirge y suhtes: y 7

72 Liitfuktsiooi korrl o tegemist khekordse (või em) vstvuseg u y : y f u u g ehk y f g Fuktsiooi y f ) ullkohtde leidmiseks lhedtkse võrrd f ( ) ; ) positiivsuspiirko X + leidmiseks lhedtkse võrrtus f ( ) > ; ) egtiivsuspiirko X leidmiseks lhedtkse võrrtus f ( ) < Elemetrfuktsiooid Kostte fuktsioo y c (joo ) Võrdelie sõltuvus (joo ): y k, k t α, α < π, pritu fuktsioo Määrmispiirkod X R Lierfuktsioo (joo ): y k+ b, k t α, α < π, ei pris eg pritu, kui b X R y Joo Pöördvõrdelie sõltuvus (joo ): y, grfikuks o võrdhre hüperbool, grfik läheeb X ; ; koordittelgedele, pritu fuktsioo 7

73 Joo Ruutfuktsioo: y, grfikuks o põhiprbool (joo 6), prisfuktsioo X R y + b+ c (k ruutpolüoom), grfikuks o prbool (joo ) X R Hripukti H koordidid: b y f Joo 7

74 6 Kuupfuktsioo: y, grfikuks o kuupprbool (joo 7), pritu fuktsioo X R Kuuppolüoom y + b + c+ d (joo, > ; joo, < ) X R Joo Joo 7 Astmefuktsioo: y (joo 6, o prisrv; joo 7, o pritu rv) X R Joo 6 7

75 Joo 7 8 Murdliere fuktsioo (joo 8): + b y c+ d, grfik läheeb sirgetele d j c d d X ; ; c c y c d y c y c + b c + d Joo 8 9 Juurfuktsiooid y pritu fuktsioo (joo 9), X [ ; ) j y, X R, millest viime o 7

76 y y Joo 9 Ekspoetfuktsioo (joo, ): y ( j ) >, grfik läheeb -teljele X R Olulisem erijuht: y e Joo Joo Logritmfuktsioo (joo, ): y ( > j ), grfik läheeb y-teljele ( ; ) log Olulisemd erijuhud: y log, y l X Joo Joo 76

77 Siiusfuktsioo (joo ): y si, grfikuks o siusoid, pritu fuktsioo, periood o π X R Joo Koosiusfuktsioo (joo ): y cos, grfikuks o siusoid, prisfuktsioo, periood o π X R Joo Tgesfuktsioo (joo 6): y t, grfikuks o tgesoid, grfik läheeb sirgetele π + π, Z, prisfuktsioo, periood o π π X + π, Z 77

78 -π -π Joo 6 Arkussiiusfuktsioo (joo 7): y rcsi, pritu fuktsioo Määrmispiirkod X [ ; ], π π muutumispiirkod Y ; 6 Arkuskoosiusfuktsioo (joo 8): y rccos [ ; ] X, Y [ ; π] y π y Joo 7 Joo 8 78

79 7 Arkustgesfuktsioo (joo 9): π π y rct, grfik läheeb sirgetele y, y, pritu fuktsioo π π X R, Y ; Joo 9 8 Fuktsioo y ehk, kui y, kui < (joo ), prisfuktsioo Joo 79

80 Näited fuktsiooi määrmispiirko leidmisest Järgevtes äidetes leime fuktsiooi loomuliku määrmispiirko, mis lähtub fuktsiooi lüütilisest vldisest + Näide Leid fuktsiooi y määrmispiirkod + Lhedus Murd o määrtud, kui selle murru imetj ei ole võrde ullig Sellepärst leime tud fuktsiooi määrmispiirko tigimusest ehk ehk ± [tuletme meelde, et k ] Seeg, kui tähistme määrmispiirko täheg X, siis X ; ; ; Näide Leid fuktsiooi y määrmispiirkod Lhedus See fuktsioo o määrtud, kui ruutjuure lue vldis o mitteegtiive, st Lhedme selle võrrtuse:, jgme kolmeg, sme ehk Seeg määrmispiirkod o X ; Näide Leid fuktsiooi y l( ) + määrmispiirkod Lhedus See fuktsioo o määrtud, kui logritmitv vldis o positiive, st + > ehk > Seeg määrmispiirkod o X ( ; ) Näide Leid fuktsiooi + y + rcsi määrmispiirkod Lhedus Fuktsioo y ( ) korrl, ülesdes esiev fuktsioo mille puhul sb rvutd vldise > o määrtud ig relrvulise väärtuse o määrtud g iisuguste väärtuste korrl, väärtust, seeg kui 8

81 Teise liidetv Lhedme selle: + rcsi määrmispiirko leime khekordsest võrrtusest Ülesdes tud fuktsiooi + y + rcsi määrmispiirkod o mõlem liidetv määrmispiirko ühisos: X [ ; ) ( ;] Näide Leid fuktsiooi y 7 cos määrmispiirkod Lhedus Fuktsioo 7cos o määrtud kõigi relrvuliste väärtuste korrl, g fuktsioo ede väärtuste korrl, mille puhul ehk ehk, Seeg määrmispiirkod X ( ; ) ( ; ) ( ; ) Näide 6 Leid fuktsiooi y log + 7 määrmispiirkod Lhedus See fuktsioo o määrtud, kui esimeses liidetvs olev logritmitv o positiive ehk siis -g j muudme võrrtuse märki > või kui korrutme sed võrrtust >, siis sme < Teie liidetv o murd, murru imetjs olev ruutjuure lue vldis peb olem rgelt positiive (ei s oll võrde ullig): 7> > 7 Ülesdes tud fuktsiooi y log( ) + määrmispiirkod o 7 mõlem liidetv määrmispiirko ühisos: 8

82 Jooiselt äeme, et ühisos ei olegi, seeg ülesdes tud vldis ei määr fuktsiooi Näide 7 Leid fuktsiooi y + log( + ) määrmispiirkod Lhedus Fuktsiooi vldis kooseb kolmest liidetvst, seetõttu leidub fuktsiooil relrvulie väärtus siis, kui igl liidetvl o relrvulie väärtus Viimsest sjolust järelduvd tigimused, mis pevd üheegselt täidetud olem: ) kui juurij o prisrv, siis juuritv peb olem mitteegtiive; ) murru imetj ei tohi võrdud ullig; ) logritm leidub iult positiivsetel rvudel Kirjutme vstvd tigimused välj j lhedme võrrtussüsteemi (vt kõrgem stme võrrtuste või ruutvõrrtuste lhedmist) ehk + või + > > või > Kõik kolm tigimust o üheegselt täidetud siis, kui > Vstus Fuktsiooi määrmispiirkod o X ( ; ) Näide 8 Leid fuktsiooi y + + rccos määrmispiirkod Lhedus Fuktsiooi määrmispiirko vd kolm tigimust, mis pevd üheegselt täidetud olem: ) kui juurij o prisrv, siis juuritv peb olem mitteegtiive; ; ; ) rkuskoosiuse rgumedi väärtused pevd olem lõigult [ ] ) murru imetj ei tohi võrdud ullig Kirjutme eed tigimused välj j lhedme võrrtussüsteemi 8

83 +,, ehk ( )( ),,, Süsteemi esimesest võrrtusest sme, et (vt kõrgem stme võrrtuste või ruutvõrrtuste lhedmist) X ( ; ] [ ; ) Süsteemi teisest võrrtusest sme, et,, Viime võrrtus o rhuldtud, kui > Seeg X ( ; ) Süsteemi kolmdst võrrtusest sme, et +, +, Tigimus Nullkohd o peliikme o smvääre tigimusteg j, Jooe tõmbmist lustme premlt j üllt, sest kordj o positiive (vt kõrgem stme võrrtuste või ruutvõrrtuste lhedmist) Lugej ullkoht o määrmispiirkod ks rvtud, imetj ullkoht välj rvtud 8