Avaliku võtmega krüptograafia

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Avaliku võtmega krüptograafia"

Transcript

1 Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas

2 Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2

3 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane on piiramatu võimsusega, siis sellist protokolli ei leidu! 3

4 Probleem piiramatu vastasega! Carol suudab leida kõik Alice i salajase algväärtuse kandidaadid, mis on kooskõlas protokolli käiguga! Seejärel valib Carol neist juhuslikult ühe välja ja arvutab oma võtme K Caroli väljundjaotus on täpselt samasugune, mis Alice i väljundjaotus! Et protokoll on eeldatavasti korrektne, siis suure tõenäosusega on Alice i ja Bob i väljund sama. Kuid siis on ju umbes sama tõenäosusega Caroli väljund võrdne Bobi väljundiga! Järelikult on protokoll piiramatu jõuga Caroli vastu ebaturvaline. 4

5 Võtmekehtestusprotokoll: definitsioon Võtmekehtestusprotokolliks nimetatakse nelikut (A, K A ; B, K B ), kus: K A ja K B on funktsioonid tüüpi Ω {0, 1} {0, 1} m ja A ja B on funktsioonid tüüpi Ω {0, 1} {0, 1} ja Ω = {0, 1} k. Eeldatakse, et üks kindel bitistring on defineeritud kui STOP sümbol, mis (juhul kui ta esineb funktsioonide A ja B väljundis) indikeerib protokolli lõppu. 5

6 Protokolli transkript Protokolli transkriptiks nimetatakse funktsiooni Ω 2 T {0, 1}, mis arvutatakse iteratiivselt järgmise skeemi kohaselt: T 0 (ω A, ω B ) = A(ω A, ) B(ω B, ) T 1 (ω A, ω B ) = A(ω A, T 0 (ω A, ω B )) B(ω B, T 0 (ω A, ω B )) T 0 (ω A, ω B )... T n (ω A, ω B ) = A(ω A, T n 1 (ω A, ω B )) B(ω B, T n 1 (ω A, ω B )) T n 1 (ω A, ω B ) Siin tähendab nn. eraldajatega konkatenatsiooni, st w 1 w 2 = w 1 w 2 parajasti siis kui w 1 = w 1 ja w 2 = w 2. T (ω A, ω B ) := T n (ω A, ω B ), kus n on vähim indeks, mille korral T n sisaldab STOP sümbolit, või kui n oli eelnevalt kokku lepitud maksimaalne võimalik raundide arv. 6

7 Võtmekehtestusprotokolli modelleerimine A ja B genereerivad võtmed ω A U k ja ω B U k. A ja B vahetavad sõnumeid (loovad transkripti) T = T (ω A, ω B ). A ja B leiavad võtmed k A = K A (ω A, T ) ja k B = K B (ω B, T ). Protokoll on edukas kui k A = k B. Protokolli korrektsuseks nim. tõenäosust γ(k) = Pr[ω A, ω B U k, T T (ω A, ω B ): K A (ω A, T ) = K B (ω B, T )]. Vastase C edukuseks nimetatakse tõenäosust: δ(k) = Pr[ω A, ω B U k, T T (ω A, ω B ), k C(T ): k = K B (ω B, T )]. 7

8 Transkripti omadus: Juhuarvude vahetatavus Lemma: 1 T (ω A, ω B ) = T (ω A, ω B ) siis ja ainult siis kui T n(ω A, ω B ) = T n (ω A, ω B ) iga n korral, mis ei ületa raundide arvu. Tõestus: Lemma väide tuleneb otseselt transkripti definitsioonist. 8

9 Juhuarvude vahetatavus II Lemma: 2 Kui T (ω A,ω B ) = T = T (ω A,ω B ), siis T (ω A,ω B) = T = T (ω A,ω B ). Tõestus: Vastavalt Lemmale 1 ja esimesele eeldusele, saame A(ω A, ) = A(ω A, ) ja B(ω B, ) = B(ω B, ), mistõttu T 0 (ω A, ω B) = A(ω A, ) B(ω B, ) = A(ω A, ) B(ω B, ) = T 0 = A(ω A, ) B(ω B, ) = T 0 (ω A, ω B ). (1) Lemma eeldusest tulenevalt T n (ω A, ω B ) = T n = T n (ω A, ω B ), ja seega A(ω A, T n 1 (ω A, ω B )) = A(ω A, T n 1(ω A, ω B )) B(ω B, T n 1 (ω A, ω B )) = B(ω B, T n 1(ω A, ω B )) T n 1 (ω A, ω B ) = T n 1 (ω A, ω B ). 9

10 Olgu T n 1 = T n 1 (ω A, ω B ). Induktsiooni eeldusest T n 1 (ω A, ω B) = T n 1 (ω A, ω B ) = T n 1, saame T n (ω A, ω B) = A(ω A, T n 1(ω A, ω B)) B(ω B, T n 1 (ω A, ω B)) T n 1 (ω A, ω B) = A(ω A, T n 1(ω A, ω B )) B(ω B, T n 1 (ω A, ω B )) T n 1 = A(ω A, T n 1 (ω A, ω B )) B(ω B, T n 1(ω A, ω B )) T n 1 = A(ω A, T n 1 (ω A, ω B )) B(ω B, T n 1(ω A, ω B )) T n 1 = T n (ω A, ω B ). Võrdus T n (ω A, ω B) = T n (ω A, ω B ) = T n tõestatakse analoogilisel viisil. 9

11 Juhuarvude sõltumatuse säilivus Võtmevahetusprotokollis (nagu eelnevalt kirjeldatud) genereeritakse kaks sõltumatut juhuarvu ω A ja ω B, ning seejärel transkript T, mis samuti on juhuslik suurus mingi tõenäosusjaotusega hulgal {0, 1}. Lemma: 3 Olgu T mingi fikseeritud transkript. Olgu W T = T 1 (T ) = {(ω a, ω b ): T (ω a, ω b ) = T }, W T,A = {ω a : ω b T (ω a, ω b ) = T }, ja W T,B = {ω b : ω a T (ω a, ω B ) = T }. Siis W T = W T,A W T,B. Tõestus: Sisalduvus W T W T,A W T,B on ilmne, mistõttu piisab duaalse sisalduvuse näitamisest. Olgu (ω A, ω B ) W T,A W T,B. Vastavalt definitsioonidele, leiduvad ω A ja ω B nii et T (ω A, ω B) = T (ω A, ω B ) = T. Vastavalt Lemmale 2, T (ω A, ω B ) = T ja seega (ω A, ω B ) W T. 10

12 Juhuarvude sõltumatuse säilivus II Lemma: 4 Olgu ω A, ω B U k, T T (ω A, ω B ) ja (ω A, ω B ) T 1 (T ), st paar (ω A, ω B ) on ühtlaselt valitud kõigi arvupaaride hulgast, mis on kooskõlas transkriptiga T (mis ise on genereeritud tavalisel viisil). Olgu ω A W T,A ja ω B W T,B (ühtlase jaotusega). Siis ω A, ω B, T, ω A, ω B, T ja ω A, ω B, T on identsed jaotused. Tõestus: Vastavalt Lemmale 3 on T (ω A, ω B ) = T ja (ω A, ω B ) ühtlaselt valitud hulgast T 1 (T ). Kuna valik toimus sõltumatult (ω A, ω B ) valikust, siis on jaotused ω A, ω B ja ω A, ω B identsed. Kõigis kolmes jaotuses on T -komponent üheselt määratud kahe esimese komponendiga, siis piisab kui tõestame ω A, ω B ja ω A, ω B identsuse. 11

13 Selleks valime mingid ω 0 A, ω0 B {0, 1}k ja kasutame valemit: Pr[ω A =ω0 A, ω B =ω0 B ]= T Pr[T (ω A, ω B )=T ] Pr[ω A =ω0 A, ω B =ω0 B T ], kus viimane tinglik tõenäosus avaldub järgmiselt: (2) Pr[ω A =ω0 A, ω B =ω0 B T ] = 1 T 1 (T ), kui T (ω0 A, ω0 B ) = T ; 0, kui T (ω 0 A, ω0 B ) T. (3) Arvestades, et (ω A, ω B ) jaotus hulgal {0, 1} 2k on ühtlane, saame valemis (2) esimese tõenäosuse väärtuseks Pr[T (ω A, ω B ) = T ] = T 1 (T ) 2 2k. Arvutades summa, saame Pr[ω A = ω0 A, ω B = ω0 B ] = 2 2k, mis langeb kokku tõenäosuse Pr[ω A = ωa 0, ω B = ωb 0 ] väärtusega. Seega on jaotused ω A, ω B ja ω A, ω B tõepoolest identsed. 11

14 Alice i ja Caroli jaotuste identsus Lemma: 5 Olgu ω A, ω B U k, T T (ω A, ω B ) ja (ω A, ω B ) T 1 (T ). Siis jaotused ω A, ω B, T ja ω A, ω B, T on identsed. Tõestus: Asendame esimese jaotuse vastavalt Lemmale 4 jaotusega, kus ω A W T,A ja ω B W T,B on ühtlaselt (ja sõltumatult valitud). Vastavalt Lemmale 4 võib ka teise jaotuse asendada kahe sõltumatu (ja ühtlase) valikuga ω A W T,A ja ω B W T,B, kus T on sama, mis esimese jaotuse juures, st T T (U k, U k ). Eeldusel, et T on fikseeritud, on ka suurused ω A ja ω B sõltumatud ja seega 12

15 (kasutades tähistust p(t ) = Pr[T (U k, U k )=T ]): Pr[ω A = ω0 A, ω B = ω 0 B ] = T = T p(t ) Pr[ω A = ω0 A T ] Pr[ω B = ω 0 B T ] p(t ) Pr[ω A = ω 0 A T ] Pr[ω B = ω 0 B T ] = Pr[ω A = ω 0 A, ω B = ω 0 B ]. 12

16 Ebaturvalisus piiramatu vastase vastu Teoreem 1 Igale võtmekehtestusprotokollile (A, K A ; B, K B ) korrektsusega γ(k) leidub (piiramatu) vastane C edukusega δ(k) γ(k). Tõestus: Võtmevahetusprotokolli tavalises mudelis genereeritakse esmalt juhuarvud (ω A, ω B ), misjärel genereeritakse transkript T = T (ω A, ω B ) ja osapooled A ja B arvutavad k A ja k B. Vastavalt Lemmale 4 saab aga sama jaotuse kui esmalt genereerida transkript T = T (U k, U k ) ja seejärel sõltumatult juhuarvud ω A W T,A ja ω B W T,B. Vastane C töötab sisendi T korral järgmiselt: (1) genereerib ω A W T,A (piiramatule vastasele igati jõukohane!) ja (2) arvutab k A = K A(ω A, T ). Vastavalt Lemmale 5 on ω A, ω B, T sama jaotusega, mis ω A, ω B, T. Seega on sündmused k A = k B ja k A = k B võrdtõenäosed (γ(k)). Järelikult arvab C võtme k B tõenäosusega vähemalt γ(k). 13

17 Lisamärkus protokolli käsitluse kohta Vaadates tagasi Teoreemi 1 tõestusele, märkame et selle suhteliselt intuitiivse väite tõestus osutus võrdlemisi keeruliseks oli vaja tõestada koguni viis tehnilist lemmat. Paratamatult tekib siin küsimus: kas kuidagi lihtsamalt ei saa? Üks keerukuse põhjusi on kahtlemata transkripti T iteratiivne definitsioon. Esimene mõte lihtsustusest võikski seostuda küsimusega, kas toodud aruteludes on tingimata vaja tunda funktsiooni T siseehitust, või ehk kehtib toodud arutelu ka siis kui T on suvaline funktsioon? Näitamaks et see nii ei ole, piisab kui defineerida T (ω A, ω B ) = ω A ω B, st transkript saadakse juhuarvude bitikaupa liitmise teel mooduliga kaks, ja võtmete arvutamise funktsioonid defineerida järgmiselt: k A = K A (ω A, T ) = ω A ω A T, ja k B = K B (ω B, T ) = ω B T ω B. 14

18 Ühelt poolt, k A = k B tõenäosusega 1. Teiselt poolt aga on vastasele teada ainult summa ω A ω B, milles ei sisaldu infot ω B kohta. Seega ei saa vastase edukus olla suurem kui 2 k, mis tuleneb tähelepanekust, et võimalikke ω B väärtusi on 2 k. Toodud näitest järeldub (lisaks sellele, et transkripti siseehitusön oluline), et ei leidu protokolli, mille transkript sisaldaks täieliku informatsiooni ω A ω B kohta, kuid mitte mingit informatsiooni juhuarvude ω A ja ω B kohta. Sellise protokolli olemasolust järelduks ka piiramatu vastase suhtes turvalise võtmekehtestusprotokolli olemasolu, mille me aga ülaltoodud aruteluga välistasime. Käesoleva kirjutise kontekstis. 14

19 Loogilise konjunktsiooni arvutamine Oletame, et A valib ühe biti a {0, 1} ja B ühe biti b {0, 1}. Valikud toimugu mingite sõltumatute tõenäosusjaotuste D A ja D B järgi. Nad soovivad arvutada loogilist konjunktsiooni (korrutist) a b, kusjuures sellisel viisil, et partner ei saaks teada muud informatsiooni kui see, mis järeldub korrutisest a b ja omaenda bitist. Näiteks kui a = 1, siis a b järgi saab A muidugi tuletada partneri biti b, kuid kui a = 0, siis a b ei anna A-le mingit teavet b kohta. Oluline on koostada protokoll nii, et kui a = 0 siis ka transkripti T teadmine ei anna midagi b tuletamiseks. Arvutustes võib kumbki pool kasutada juhuarve, mis ei ole partnerile teada. Eeldame, et ω A {0, 1}k 1 on A juhuarv ja ω B {0, 1}k 1 on B juhuarv. Kooskõla saavutamiseks eelnevalt kasutatud tähistustega olgu 15

20 ω A = a ω A ja ω B = b ω B. Märgime, et ω A ja ω B ei tarvitse olla ühtlase jaotusega. Eeldame, et protokoll on korrektne, st K A (a ω A ; T (a ω A ; b ω B )) = a b = K B(b ω B ; T (a ω A ; b ω B )). (4) Ütleme, et juhuarvupaar (ω A, ω B ) on hea B suhtes, kui ta ei võimalda A-l (tingimusel a = 0) välja arvutada B bitti b, st leiduvad ω 0,B ja ω 1,B, nii et T (0 ω A ; 1 ω 1,B ) = T (0 ω A ; 0 ω B ) T (0 ω A ; 0 ω 0,B ) = T (0 ω A ; 1 ω B ). Analoogiliselt, paari (ω A, ω B ) nimetatakse heaks A suhtes, kui leiduvad ω 0,A ja ω 1,A, nii et: T (1 ω 1,A ; 0 ω B ) = T (0 ω A ; 0 ω B ) T (0 ω 0,A ; 0 ω B ) = T (1 ω A ; 0 ω B ). 15

21 Vahetatavuse omadusest saame, et T (0 ω A ; 1 ω 1,B ) = T (1 ω 1,A ; 1 ω 1,B ), millest korrektsuse tingimuse tõttu: 1 1 = K B (T (1 ω 1,A ; 1 ω 1,B ); 1 ω 1,B ) = K B(T (0 ω A ; 1 ω 1,B ); 1 ω 1,B ) = 0 Saime vastuolu, mistõttu võime järeldada, et ükski juhuarvude paar ei saa olla korraga hea mõlema osapoole suhtes. Seega oleme tõestanud järgmise teoreemi: Teoreem 2 Ei leidu loogilist konjunktsiooni arvutavat protokolli, mis oleks turvaline piiramatu (passiivse) vastase suhtes. 15

22 Piiratud arvutusjõuga vastased. Turingi masin arvuti matemaatiline mudel, millel on sisendolek (lint), programm (käskude jada), ja väljundolek (lint) Turingi masina peatumine arvutuskäik defineeritakse kui teatud olekute jada, milles naaberolekud on omavahel kindlal viisil seotud ja mis lõpeb teatud liiki olekuga (stop!) Arvutusaeg peatumisele eelnenud olekute arv. Arvutusaega (kindla programmi korral) esitatakse kui funktsiooni T (n) sisendoleku mahust n (bitti) 16

23 O-tähistused Def. Kirjutame f(n) = O(g(n)), kui leiduvad c R ja n 0 N, nii et iga n n 0 korral: f(n) c g(n). Def. Kirjutame f(n) = Ω(g(n)), kui g(n) = O(f(n)). Def. Kirjutame f(n) = Θ(g(n)), kui f(n) = O(g(n)) ja f(n) = Ω(g(n)). Def. Kirjutame f(n) = o(g(n)), kui lim n f(n) g(n) = 0. Def. Kirjutame f(n) = ω(g(n)), kui g(n) = o(f(n)). 17

24 Polünomiaalne aeg ja efektiivsed arvutused Kui Turingi masina M arvutusaeg on T (n) = n O(1), siis ütleme, et M töötab polünomiaalses ajas. NB! T (n) on maksimaalne arvutusaeg antud sisendi pikkuse n korral! Arvutus on efektiivne (kokkuleppeliselt), kui ta toimub polünomiaalses ajas. 18

25 Ühesuunalised funktsioonid Funktsiooni f : {0, 1} {0, 1} nimetatakse ühesuunaliseks, kui: leidub polünomiaalses ajas töötav Turingi masin M, nii et f(x) M(x) iga x {0, 1} korral. iga efektiivse vastase (Turingi masina) A korral on: Pr[x {0, 1} k, x A(f(x)): f(x ) = f(x)] = k ω(1), st pööramine õnnestub kaduvväikese tõenäosusega. Näide: Kas nullfunktsioon f(x) 0 on ühesuunaline? 19

26 Diskreetne eksponentfunktsioon Kui p on suur algarv ja α on primitiivne element korpuses Z p, siis funktsioon f α,p (x) = α x mod p usutakse olevat ühesuunaline. 20

27 Diffie-Hellmani võtmevahetus 1976 Diffie ja Hellman pakkusid välja järgmise ühesuunalisel funktsioonil põhineva võtmekehtestusprotokolli: Valitakse suur algarv p ja primitiivne element α. Kasutajad A ja B genereerivad salajased võtmed ω A {1,..., p 1} ja ω B {1,..., p 1}. Kasutaja A arvutab y A = α ω A mod p ja saadab y A kasutajale B. Kasutaja B arvutab y B = α ω B mod p ja saadab y B kasutajale A. Kasutaja A arvutab k A = y ω A B mod p = αω Aω B mod p. Kasutaja B arvutab k B = y ω B A mod p = αω Bω A mod p = k A. 21

28 RSA krüptosüsteem Võtme genereerimine. Leitakse kaks suurt algarvu p ja q ja leitakse n = p q. Leitakse e ja d, nii et e d 1 (mod ϕ(n)). Siis (n, e) on avalik võti ja (n, d) salajane võti. NB! ϕ(n) = (p 1)(q 1). Krüpteerimine. y = E n,e (x) = x e Dekrüpteeerimine. D n,d (y) = y d mod n mod n = x Küsimused: Kas E ja D on efektiivselt arvutatavad? Miks D n,d (E n,e (x)) = x? Kuidas saada suuri algarve? 22

29 Astendamisalgoritm Selleks, et arvutada x e mod n, esitame astendaja kahendsüsteemis: e = e m 2 m + e m 1 2 m e e 0 2 0, kus e m,..., e 0 {0, 1}. Seejärel kasutame valemit: x e m 2 m +...+e = x e m 2 m x e m 1 2 m 1... x e = ( x 2m) e m (x 2m 1) e ( m 1... x 20) e 0. Hüperastmed x 20,..., x 2m arvutame skeemi x 2k = ( x 2k 1) 2 järgi. 23

30 Euleri teoreem Teoreem (Euler). Kui (x, n) = 1, siis x ϕ(n) 1 (mod n), iga n ja iga x korral. Euleri teoreemi tõestuseks teeme kõrvalepõike üldisesse rühmateooriasse. Euleri teoreemi kasutades näitame, et kui avatekst x on pööratav mooduli n järgi, st (x, n) = 1, siis (x e ) d = x e d = x 1+k ϕ(n) = x (x ϕ(n)) k x 1 k x (mod n). Näitamaks, et RSA krüptosüsteem on korrektne ka mittepööratavate x- de korral on samuti vaja üldisi algebratulemusi nn. Hiina jäägiteoreemi (tõestame hiljem) 24

31 Rühma mõiste Rühm G on hulk, millel on defineeritud üks binaarne operatsioon, mis on: Assotsiatiivne: a (b c) = (a b) c Ühikelemendiga: Leidub e G, nii et x e = e x = x iga x G korral Pööratav: Igal elemendil a G on pöördelement b G, nii et a b = e. Tähistame b = a 1. Näited: (Z, +) (Z n, +), st mooduliga liitmine (Z n, ), st mooduliga korrutamine 25

32 Alamrühmad Rühma (G, ) alamrühmaks nimetatakse alamhulka H G, mis ise on rühm korrutustehte suhtes. Näiteks täisarvude aditiivses rühmas (Z, +) on kõigi paarisarvude hulk 2Z = {..., 4, 2, 0, 2, 4,...} alamrühm. Selleks, et mingi alamhulk H oleks alamrühm, on tarvilik ja piisav, et H oleks kinnine korrutamise ja pöördelemendi võtmise suhtes. Pöördelemendi nõue on oluline, sest näiteks rühmas (Z, +) on hulk N = {0, 1, 2,...} küll kinnine tehte + suhtes, kuid ise ta rühma ei moodusta. Selgub, et lõplike rühmade korral ei ole sellised kontranäited võimalikud: Ülesanne. Tõesta, et lõpliku rühma (G, ) alamhulk H on alamrühm parajasti siis kui H on kinnine tehte suhtes. 26

33 Elemendi järk rühmas Eelnevast on selge, et kui G on lõplik rühm ja g G, siis astmete hulk H = {g, g 2, g 3,...} on alamrühm. See tuleneb otseselt hulga H kinnisusest korrutamise suhtes. Et iga alamrühm sisaldab ühikelementi, siis järelikult ka 1 H. Olgu k minimaalne selline astendaja, mille korral g k = 1. Siit järeldub, et H = k, sest astmed g, g 2,..., g k on erinevad ja kui l > k, siis g l = g l mod k. Rühma H tähistatakse g ja tema elementide arvu g nimetatakse elemendi g järguks. Järeldus. Kui G on lõplik rühm ja g G, siis g g = 1. 27

34 Lagrange i teoreem Teoreem: Kui G on lõplik rühm ja H tema alamrühm, siis G H on täisarv. Tõestus: Olgu H = {h 1,..., h m } (kus h i h j kui i j). Kui H = G, siis G H = 1 ja väide kehtiks. Kui g G\H, siis hulga gh = {gh 1,..., gh m } elemendid on erinevad, sest kui gh i = gh j, siis h i = g 1 gh i = g 1 gh j = h j. Seega H = gh. Samuti H gh =, sest kui gh i = h j, siis g = gh i h 1 i = h j h 1 i H (vastuolu, sest g H). Kui G = H gh, siis G H = 2 ja väide kehtiks. Kui g 2 G\(H gh) ja g 2 H = {g 2 h 1,..., g 2 h m }, siis H = g 2 H ja g 2 H H =. gh g 2 H =, sest kui gh i = g 2 h j, siis aga oleks g 2 = g(h i h 1 j ) gh. Seega on hulgad H, gh ja g 2 H ühisosata ja võrdse võimsusega. Kui nüüd G = H gh g 2 H, siis G H = 3 ja väide kehtiks

35 Euleri teoreemi tõestus Järeldus: Kui G on lõplik rühm ja g G, siis g G = 1. Tõstus: Lagrange teoreemist järeldub, et G = k on täisarvuine ja seega: g g G = g g k = ( g g ) k = 1 k = 1. Euleri teoreemi tõestuseks piisab faktist, et Z n = {a {1,..., n 1}: süt(a, n) = 1} on rühm, milles on ϕ(n) elementi. 29

36 Algarvude leidmine: Fermat teoreem Teoreem (Fermat ). Kui p on algarv, siis b p 1 1 (mod p) iga 0 < b < p korral. (Otsene järeldus Euleri teoreemist!) Fermat test (Kas n on algarv?): Genereerime b {1,..., n 1} ja arvutame c = b n 1 mod n. Kui c 1, siis Fermat teoreemi tõttu n ei ole algarv! Kui c = 1, siis kordame testi. Kui testi on korratud k korda, siis lõpetame ja kuulutame n-i algarvuks! Küsimus: Kui usaldatav on Fermat test? 30

37 Pseudoalgarvud baasil b Olgu 0 < b < n ja b n 1 1 (mod n). Siis öeldakse, et n on pseudoalgarv baasil b. Olgu H n = {b: b Z n, b n 1 1 (mod n)}, st H n on kõigi pööratavate baaside hulk Z n -s, mille suhtes n on pseudoalgarv. Teoreem. Hulk H n on alamrühm multiplikatiivses rühmas G = Z n. Tõestus. Kui b 1, b 2 H n, siis (b 1 b 2 ) n 1 b n 1 1 b n (mod n), millest järeldub b 1 b 2 H n. Def. Kui n on kordarv ja H n = Z n, siis n on Carmichaeli arv. (Vähim Carmichaeli arv on 561). 31

38 Fermat testi usaldatavus (I) Teoreem. Kui n on kordarv ja ei ole Carmichaeli arv, siis H n 1 2 Z n = ϕ(n) 2 Tõestus. Carmichaeli arvude definitsiooni järgi H n Z n, millest järeldub Z n > 1. Et aga Lagrange i teoreemi järgi on vaadeldud suhe täisarvuline, H n siis järelikult mis tõestabki teoreemi väite. Z n H n 2, Järeldus. Kui kordarv n ei ole Carmichaeli arv, siis (ühekordne) Fermat test eksib tõenäosusega 1 2 ja k-kordne tõenäosusega 1 2 k. 32.

39 Fermat testi usaldatavus (II) Teoreem (Alford, Granville, Pomerance; 1994) Olgu C(n) Carmichaeli arvude arv vahemikus [0...n], siis C(n) > n 2/7. Järelikult on olemas lõpmatu arv Carmichaeli arve. Järeldus: Fermat test ei ole täiesti usaldatav ka väga suurte arvude korral. On olemas algarvutestid, mis töötavad ka Carmichaeli arvude korral. 33

40 Miller-Rabini test (Kas n on algarv?) Vali juhuslikult a {1,..., n 1}. Kui (a, n) 1, siis n on kordarv. Olgu n 1 = 2 k m, kus m on paaritu. Kui a m mod n = 1 siis väljasta algarv. Kui a m 2i 1 (mod n) mingi i = 0... k 1 korral, siis algarv. Muidu väljasta kordarv. Teoreem. Kui n on algarv, siis Miller-Rabini test väljastab algarv. Kui n on kordarv, siis test väljastab kordarv tõenäosusega

41 Hiina jäägiteoreem Teoreem. Kui n 1, n 2 N ja (n 1, n 2 ) = 1, siis Z n1 n 2 = Zn1 Z n2, st leidub bijektiivne f : Z n1 n 2 Z n1 Z n2, nii et f(x + y) = f(x) + f(y) ja f(x y) = f(x) f(y) iga x, y Z n1 n 2 korral. Tõestus. Defineerime f(x) = (x mod n 1, x mod n 2 ). On selge, et f säilitab tehted ja Z n1 n 2 = Z n1 Z n2, mistõttu piisab kui näitame, et f on injektiivne. Tingimusest (n 1, n 2 ) = 1 saame, et leiduvad α, β Z, nii et αn 1 + βn 2 = 1. Defineerime g : Z n1 Z n2 Z n1 n 2 järgmiselt: g(x 1, x 2 ) = βn 2 x 1 + αn 1 x 2 mod n 1 n 2. Olgu x Z n1 n 2, x mod n 1 = x + c 1 n 1, ja x mod n 2 = x + c 2 n 2. Siis: g(f(x)) = βn 2 (x + c 1 n 1 ) + αn 1 (x + c 2 n 2 ) mod n 1 n 2 = (αn 1 + βn 2 )x + n 1 n 2 (...) mod n 1 n 2 = x. 35

42 Järeldus1: RSA korrektsus Teoreem (RSA korrektsus). Olgu e d 1 (mod ϕ(n)) ja n = p q, kus p ja q on erinevad algarvud. Siis iga x Z n korral: x ed x (mod n). Tõestus. Vastavalt Hiina jäägiteoreemile piisab, kui näidata, et x ed x kehtib ringis Z n1 Z n2. Olgu (x 1, x 2 ) selle ringi suvaline element. Siis (x 1, x 2 ) ed = (x ed 1 mod p, x ed 2 mod q) = (x 1+cϕ(n) 1 mod p, x 1+cϕ(n) 2 mod q) = (x 1 x (p 1)c(q 1) 1 mod p, x 2 x (q 1)c(p 1) 2 mod q) = (x 1, x 2 ), sest Fermat teoreemi tõttu x (p 1) 1 mod p = 1 kui x 1 0 (ja 0 kui x 1 = 0) ning x (q 1) 2 mod q = 1 kui x 2 0 (ja 0 kui x 2 = 0). 36

43 Järeldus 2: Võrrandite lahendamine Kui (n 1, n 2 ) = 1, siis iga a Z n1 ja b Z n2 korral on võrrandisüsteemil { x mod n1 = a x mod n 2 = b parajasti üks lahend x vahemikus {0,..., n 1 n 2 1}. Näiteülesanne. Leia võrrandisüsteemi kõik lahendid vahemikus [0...21]: { x 2 (mod 3) x 6 (mod 7). Lahendus. Et ( 2) = 1, siis saame Hiina jäägiteoreemist, et x ( 2) (mod 21), millest järeldub, et x = 20 on ainus lahend vahemikus [0...21]. 37

44 Järeldus 3: Ruutjuured Teoreem. Ringis Z pq (kus 3 p < q on algarvud) on elemendil a = b 2 Z pq parajasti neli ruutjuurt. Tõestus. Piisab kui näidata, et nii on ringis Z p Z q. Lihtne on näha, et (Z p Z q ) = Z p Z q. Olgu (x 1, x 2 ) Z p Z q ja (x 1, x 2 ) 2 = (x 2 1, x2 2 ) = (a mod p, a mod q). Piisab kui näitame, et võrrandil x 2 = a on ringides Z p ja Z q parajasti kaks lahendit. Oletame, et ringis Z p nimetatud võrrandil kaks lahendit x ja y, st x 2 y 2 = (x y)(x + y) 0 (mod p). Et p on algarv, siis nullitegurid puuduvad ja üks teguritest peab olema null. Seega x = ±y, millest järeldub, et võrrandil x 2 = a on ülimalt kaks lahendit. Teiselt poolt, kui x 2 = a, siis alati ka ( x) 2 = a. Kui p > 2, siis x x, mistõttu lahendeid on vähemalt kaks. 38

45 Carmichaeli arvude struktuur Teoreem 3 Arv n = p 2 n, kus p 3 on algarv ei ole Carmichaeli arv. Tõestus: Olgu n = p k m, kus m ei jagu p-ga. Kui m = 1, siis olgu b = p + 1, kui m 3, siis olgu b Z n selline arv, et b 1 + p (mod p 2 ) b 1 (mod m) Et mõlemal juhul p 2 b (p + 1), siis b ei saa jaguda p-ga. Lisaks sellele süt(b, m) = 1. Seega süt(b, n) = 1 ja b Z n. Et b n 1 (1 + p) n (n 1)p (mod p 2 ) ja (n 1)p ei jagu p 2 -ga (sest n 1 = p k m 1 ei jagu p-ga), siis b n 1 1 (mod n). 39

46 Miller-Rabini testi korrektsus (I) Teoreem 4 Kui n on algarv, siis Miller-Rabini test väljastab algarv. Tõestus: Kui n 1 = 2 k m ja m on paaritu, siis iga a {1,..., n 1} korral kas a m 1 (mod n) (ja test väljastab algarv ), või a m 1 (mod n), siis a n 1 1 (mod n) tõttu (Fermat teoreem!) saame, et leidub 0 < i < k, nii et a 2im mod n 1 ja a 2i+1m mod n = 1. Järelikult a 2im 1 (mod n), sest muidu oleks b = a 2im mod n mittetriviaalne ühejuur, mis oleks võimatu, sest n on algarv. Teoreem 5 Olgu n kordarv ja mitte Carmichaeli arv, siis Miller-Rabini test väljastab kordarv tõenäosusega vähemalt 1 2. Tõestus: Fermat testi omadustest järeldub, et a n 1 1 vähemalt poolte a-de korral, ja seega a m 1 (mod n) ning a m2i 1 (mod n) iga 0 i < k korral, ja selliste selliste a-de korral väljastab test kordarv. 40

47 Miller-Rabini testi korrektsus (II) Teoreem 6 Olgu n Carmichaeli arv, n 1 = 2 k m ja m on paaritu. Siis Miller-Rabini test on korrektne tõenäosusega vähemalt 1 2. Tõestus: Olgu t = max{0 i < k a Z n : a 2im 1 (mod n)}. Et ( 1) 20m = ( 1) m 1, siis t on korrektselt defineeritud. Kui t > t, siis ei leidu a Z n, nii et a 2t m 1 (mod n). Olgu B t = {a Z n : a2tm ±1 (mod n)}. See hulk ei ole tühi, sest leidub a Z n, nii et a2tm 1 (mod n). Kui b B t, siis selle b korral Miller-Rabini test väljastab kordarv, sest astmetest b 2t+1m,..., b 2km ei ole ükski 1. 41

48 Olgu p 3 vähim algarv, nii et p n. Et p 2 n, siis n = pd ja süt(p, d) = 1. Olgu a 2tm 1 (mod n) ja b Z n olgu element, nii et b a (mod p) b 1 (mod d). Et nii a kui 1 on pööratavad elemendid, siis ka b Z n. Samal ajal aga b 2tm a 2tm 1 (mod p) b 2tm 1 2tm +1 (mod d). Siit tuleneb, et b 2tm ±1 (mod n) ja seega b B t. Lihtne on veenduda, et B t on rühma Z n alamrühm ja seega B t Z n

49 RSA praktiline kasutamine: nõrgad protokollid Parim teadaolev tegurdamisalgoritm töötab ajas e (c+o(1)) 3 n log 2/3 n (nn. General Number Field Sieve) Järgnevalt näitame, et RSA kasutamisel tuleb olla väga ettevaatlik. Meie ülesanne on koostada salastatud sõnumivahetuse süsteem, kus kasutajatel on võimalik üksteisele saata salajasi sõnumeid. Näitame, et: Igal kasutajal peab olema eraldi moodul n. Ühise mooduli kasutamine on ebaturvaline. mod n on krüpteeri- Kui avalik astendaja e on väike, siis E n,e (x) = x e misfunktsioonina ebaturvaline. 42

50 Ühise mooduliga protokoll Kasutajal A on avalik e A ja salajane d A, nii et e A d A 1 (mod ϕ(n)). Kasutajal B on avalik e B ja salajane d B, nii et e B d B 1 (mod ϕ(n)). Simmonsi rünne: Kui (e A, e B ) = 1 (täiesti võimalik juhtum!) kui üks ja sama sõnum m saadetakse kasutajatele A ja B, siis ründajal on olemas y A = m e A mod n ja y B = m e B mod n. Teame, et leiduvad täisarvud α ja β, nii et αe A + βe B = 1. Üks arvudest α, β peab olema negatiivne. Eeldame, et α = α. Ründaja arvutab esmalt y 1 A mod n ja seejärel: [ ] y 1 α A [yb ] β = m αe A m βe B = m αe A+βe B = m. 43

51 Tegurdamine ühejuurte abil Näitame, et kui on teada b ±1, nii et b 2 1 (mod n) (kus n = pq), siis saab arvu n tegurdada. Seosest b 2 = 1 järeldub, et (b + 1)(b 1) = 0 mod n. Kuna b ±1, siis ei ole kumbki sulg kongruentne nulliga ja seega on mõlemad sulud nullitegurid. Et sulgude korrutis jagub n = pq-ga, kuid kumbki sulg ei jagu n-ga, siis üks sulg jagub p-ga ja teine q-ga. Seega, (b + 1, n) {p, q} ja ühekordsest suurima ühisteguri leidmisest piisab n tegurdamiseks. 44

52 Ühejuurte leidmine korrektse võtmepaari (e, d) abil Näitame, et kui kasutajal on võtmepaar e, d, nii et ed 1 (mod ϕ(n)), siis saab kasutaja kui tahes suure tõenäosusega leida mittetriviaalse ühejuure ja seega tegurdada avalikku moodulit n. Juure leidmine (DeLaurentis): Olgu ed 1 = c ϕ(n) = 2 s λ, kus λ N on paaritu arv. Vali juhuslikult a {2,..., n 2}, nii et süt(a, n) = 1. Leia vähim j > 0, nii et a 2jλ = 1. (Leidub, sest 2 s λ jagub ϕ(n)-ga). Võtame b = a 2j 1λ. Kui b 1, siis väljasta b, muidu korda protseduuri. Saaab näidata, et igas tsüklis leitakse mittetriviaalne juur tõenäosusega Alexander May näitas efektiivse deterministliku protseduuri! 45

53 Miks leitakse mittetriviaalne juur tõenäosusega 1 2? Lemma: 6 Kui p, q 3 on algarvud, siis leidub t N, nii et p 1 naturaalarvud ja vähemalt üks neist on paaritu. (ilmne!) 2 t ja q 1 Lemma: 7 Kui p 3 on algarv, siis x p 1 2 mod p = 1 täpselt p 1 2 elemendi, ja x p 1 2 mod p = p 1 täpselt p 1 2 elemendi x Z p korral. 2 t on Tõestus: Fermat teoremist x p 1 1 = 0 iga x Z p korral ja seega kõik p 1 elementi on polünoomi X p 1 1 juured (arvuvallas Z p ). Seega iga y = x p 1 2 korral, y (mod p) ja et Z p on korpus, siis y ±1 (mod p). Ei ole võimalik, et x p (mod p) või x p (mod p) iga x korral, sest polünoomidel X p 1 2 ± 1 on ülimalt p 1 2 juurt. Iga x Z p 46

54 on kas polünoomi X p juur või polünoomi X p juur ja et neil polünoomidel on kokku p 1 juurt, siis on kummalgi täpselt p 1 2 juurt. Lemma: 8 Kui p > q 3 on algarvud, n = pq, ja ed 1 (mod ϕ(n)), siis leidub k N nii et ed 1 2 k N ja juhusliku x Z n korral on x ed 1 2 k mittetriviaalne ühejuur tõenäosusega 1 2. Tõestus: Olgu Hiina jäägiteoreemist tulenev ekvivalents Z n elementide ja Z p Z q vektorite vahel ja αp + βq = 1, kus α, β Z. Siis iga x Z n, x p Z p, ja x q Z q korral: x (x mod p, x mod q) βqx p + αpx q mod n (x p, x q ). Mittetriviaalsed ühejuured vastavad vektoritele (1, q 1) ja (p 1, 1). Olgu c = 2 m l N (kus l on paaritu) naturaalarv, nii et ed 1 = c ϕ(n). 46

55 Olgu ed 1 = 2 s λ, kus λ on paaritu. Valime k = t + m + 1, kus t N tuleb Lemmast 6. Et p 3 tõttu t 1 ja 2 2t ϕ(n), siis s m + 2t m + t + 1 = k. ja seega ed 1 2 k N. Järelikult ed 1 2 k = ϕ(n) (p 1)(q 1)l 2t+1 = 2 2 t ja: ( p 1 x 2 p x ed 1 2 k x (p 1)(q 1)l 2 2 t ) l q 1 ( 2 t, x q 1 2 q ) l p 1 2 t. p 1 Et x 2 p q 1 ja x 2 q on võrdse tõenäosusega kongruentsed kas 1 või 1-ga, ja vähemalt üks astmetest q 1 2 t ja p 1 2 t on paaritu, siis tõenäosus, et viimase vektori componendid on erinevad (st täpselt üks komponentidest on 1), on 1 2 ja seega xed 1 2 k on mittetriviaalne ühejuur tõenäosusega

56 Teise kasutaja salajase astendaja leidmine Näitame efektiivse deterministliku protseduuri, kuidas kasutaja B võtmepaariga (e 2, d 2 ) saab leida teise kasutaja A salajase astendaja d 1 avaliku astendaja e 1 abil. Piisab, kui leida t, nii et (e 1, t) = 1 ja t = c ϕ(n). Tõepoolest, kuna αe 1 +βt = 1 mingite α, β Z korral, siis järelikult αe 1 = 1 βcϕ(n) 1 (mod ϕ(n)). Ründaja toimib järgmiselt: Leiab f = (e 1, e 2 d 2 1) kasutades Eukleidese algoritmi. Võtab t = e 2d 2 1 f. On tõenäoline (vt järgmine slaid), et (e 1, t) = 1. Definitsiooni järgi (e 1, ϕ(n)) = 1. Kuna f e 1, siis ka (f, ϕ(n)) = 1. Kuid ft = e 2 d 2 1 = j ϕ(n), millest järeldub, et ϕ(n) t. Seega on vajalike omadustega t leitud. 47

57 Teise kasutaja salajase astendaja leidmine: II Tegelikult ei ole alati (e 1, t) = 1 ja seetõttu ei tööta murdmisalgoritm alati. Näiteks kui n = 41 5 = 205, siis ϕ(n) = 160. Võttes e 1 = 3, saame et d 1 = 107; ja e 2 = 11, saame et d 2 = 131. Nüüd e 2 d 2 1 = 1440 = Seega f = (e 1, e 2 d 2 1) = (3, 9 160) = 3 ja t = e 2d 2 1 f = 9 160/3 = Seega, (e 1, t) =

58 Väike astendaja e Kasutajatel A, B ja C olgu vastavalt RSA moodulid n 1, n 2 ja n 3. Avalik astendaja on kõigil e = 3. Oletame, et üks ja sama sõnum m saadetakse korraga kõigile kolmele kasutajale ja ründaja saab kätte kõik krüptogrammid: y A = m 3 mod n 1, y B = m 3 mod n 2, y C = m 3 mod n 3. Ründaja toimib järgmiselt: Kui (n i, n j ) 1, siis ründaja tegurdab n i, leiab salajase võtme d i ja dekrüpteerib sõnumi m. Kui kolm moodulit n 1, n 2, n 3 on paarikaupa ühistegurita, siis vastane leiab x Z n1 n 2 n 3, nii et x y A (mod n 1 ) x y B (mod n 2 ) x y C (mod n 3 ) Kuna m < min{n 1, n 2, n 3 }, siis m 3 < n 1 n 2 n 3, mistõttu m 3 on samuti kongruenside süsteemi lahend hulgas Z n1 n 2 n 3. Hiina jäägiteoreemi tõttu x = m 3. Seega piisab m leidmiseks, kui leida 3 x, mis on lihtne! 49

59 Väike astendaja d RSA algoritmi praktilistes rakendustes võib tekkida kiusatus valida d väike. Selgub, et liiga väike d on ebaturvaline: d leidmine (M.Wiener): Kui q < p < 2q ja d < 1 3 n1/4, siis paarist (n, e) (kus ed 1 (mod ϕ(n))) saab efektiivselt arvutada d. Kui n on 1024-bitine, siis d peaks olema vähemalt 256-bitine. Lahtine probleem: Kui d < n 0.5, kas siis alati saab efektiivselt leida d? 50

60 Homomorfsus RSA krüpteerimisalgoritmil on järgmine omadus: E(m 1 m 2 ) = (m 1 m 2 ) e mod n = m e 1 me 2 mod n = E(m 1 ) E(m 2 ) mod n. Näiteks: E(2m) = E(2) E(m) mod n, mistõttu saab krüptogrammist E(m) ilma privaatvõtmeta efektiivselt koostada krüptogrammi E(2m). 51

61 Homomorfsuse kuritarvitamine: näide Olgu meil server, kellel on avalik võti (e, n). Kasutajad saadavad serverile krüpteeritud sõnumeid E(m), kusjuures m esimene bitt peab olema 1. Vastasel korral saadab server kasutajale veateate. Nõrkus: Serveriga suheldes, saab dekrüpteerida suvalise krüptogrammi E(m). 52

62 Homomorfsuse kuritarvitamine: näide Saadame serverile E(m) ja saame teada, kas m on paaris või paaritu. Arvutame ja saadame serverile E(2m) = E(2) E(m). Kui m < n 2, siis 2m < n ja 2m mod n on paaris ja saame veateate. Kui n 2 m < n, siis n 2m < 2n ja 2m mod n = 2m n on paaritu, sest n on paaritu ja 2m paaris. Seega, me ei saa veateadet! Seega, me saame teada, kummas vahemiku [0...n 1] pooles asub m. 53

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks

Διαβάστε περισσότερα

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

Keerukusteooria elemente

Keerukusteooria elemente Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete

Διαβάστε περισσότερα

YMM3740 Matemaatilne analüüs II

YMM3740 Matemaatilne analüüs II YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu

Διαβάστε περισσότερα

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2 Vahemikhinnangud Vahemikhinnangud Olgu α juhusliku suuruse X parameeter ja α = α (x 1,..., x n ) parameetri α hinnang. Kui ε > 0 on kindel suurus, siis vahemiku (α ε, α +ε) otspunktid on samuti juhuslikud

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35 Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded

Διαβάστε περισσότερα

Energiabilanss netoenergiavajadus

Energiabilanss netoenergiavajadus Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Deformeeruva keskkonna dünaamika

Deformeeruva keskkonna dünaamika Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu

Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu Versioon 1.0 5. juuli 2016. a. 17:06 Koostajad: Ahti Peder Jüri Kiho Härmel Nestra Tartu 2016 Käesoleva õppevahendi

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Alustame nüüd Exceli põhiliste töövahenditega - funktsioonidega. Võtame esimesena sihikule Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi kogu

Διαβάστε περισσότερα

RF võimendite parameetrid

RF võimendite parameetrid RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi

Διαβάστε περισσότερα

2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE

2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE Soojusõpetus 2 1 2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE 2.1. Mõõtmisteooria Füüsikalise suuruse üldise mõiste avab mõõtmisteooria. Mõõtmisteooria loogiline koht on enne füüsikakursust. Probleemide komplitseerituse

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a. Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 2 Programmeerimiskeel C

Sisukord. 2 Programmeerimiskeel C Veiko Sinivee 2 Programmeerimiskeel C Sisukord Sissejuhatus...1 Programmeerimiskeel C...1 C - keele programmi ehitusest...4 Abiprogramm MAKE...13 Enamkasutatavad funktsioonid...16 Funktsioonid printf()

Διαβάστε περισσότερα

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev

Διαβάστε περισσότερα

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Jõud ja pinged 2-2

2.1. Jõud ja pinged 2-2 1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

Ivar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend

Ivar Tammeraid  itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend TTÜ Mtemtikinstituut http://www.stff.ttu.ee/ mth/ Ivr Tmmerid http://www.stff.ttu.ee/ itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn, Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs

Διαβάστε περισσότερα

Programmeerimise eksamiülesannete kogu

Programmeerimise eksamiülesannete kogu TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Programmeerimise eksamiülesannete kogu Helle Hein Jüri Kiho Reimo Palm Eno Tõnisson Tartu 2007 Käesoleva õppevahendi väljaandmist on toetanud Eesti Infotehnoloogia

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte 5 täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor 7 märts 2004 a Põhikooli ülesannete lahendused ülesanne (KLAASTORU) Plaat eraldub torust siis, kui petrooleumisamba rõhk saab võrdseks veesamba

Διαβάστε περισσότερα

Digi-TV vastuvõtt Espoo saatjalt

Digi-TV vastuvõtt Espoo saatjalt Digi-TV vastuvõtt Espoo saatjalt Digi-TV vastuvõtuks Soomest on võimalik kasutada Espoo ja Fiskars saatjate signaali. Kuna Espoo signaal on üldjuhul tugevam, siis kasutatakse vastuvõtuks põhiliselt just

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II

Διαβάστε περισσότερα

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a. Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud

Διαβάστε περισσότερα

Segmenteerimine peidetud Markovi mudelite segude korral

Segmenteerimine peidetud Markovi mudelite segude korral Tartu Ülkool Loodus- ja täppsteaduste valdkond Matemaatka ja statstka nsttuut Matemaatlse statstka erala Segmenteermne pedetud Markov mudelte segude korral Magstrtöö 30 EAP) Autor katsmsjärgsete parandustega

Διαβάστε περισσότερα

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga TTÜ informaatikainstituut Tutvumine Pythoniga Python on lihtne kuid võimas programmeerimiskeel, mis leiab üha laiemat kasutamist väga erineva iseloomuga rakenduste loomiseks. Tegemist on vabavaralise tarkvaraga.

Διαβάστε περισσότερα

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,

Διαβάστε περισσότερα

Koormus 14,4k. Joon

Koormus 14,4k. Joon + U toide + 15V U be T T 1 2 I=I juht I koorm 1mA I juht Koormus 14,4k I juht 1mA a b Joon. 3.2.9 on ette antud transistori T 1 kollektorvooluga. Selle transistori baasi-emitterpinge seadistub vastavalt

Διαβάστε περισσότερα

5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES

5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES 5. OPTIMEERIMISÜLESNDED MJNDUSES nts asma Sissejuhatus Majanduses, aga ka mitmete igapäevaste probleemide lahendamisel on piiratud võimalusi arvestades vaja leida võimalikult kasulik toimimisviis. Ettevõtete,

Διαβάστε περισσότερα

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm. TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ

Διαβάστε περισσότερα

Staatika ja kinemaatika

Staatika ja kinemaatika Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega.

Διαβάστε περισσότερα

Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid

Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.1.15 Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Mathcad töötab üldjoontes sarnaselt teistele Windowsi programmidele. Sellegipoolest on palju pisikesi nüansse,

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika täiendusõpe YFR0080

Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsikainstituut Marek Vilipuu marek.vilipuu@ttu.ee Füüsika täiendusõpe [4. loeng] 1 Loengu kava Dünaamika Inerts Newtoni I seadus Inertsiaalne taustsüsteem Keha mass, aine

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria tasandülesanne

Elastsusteooria tasandülesanne Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Διαβάστε περισσότερα

2. TEEMA: Filosoofia ajaloo põhietapid. (Filosoofia tekkimine, esimesed mõtlejad)

2. TEEMA: Filosoofia ajaloo põhietapid. (Filosoofia tekkimine, esimesed mõtlejad) EPMÜ, Filosoofia üldkursus. 2. loeng. Leo Luks 1 2. TEEMA: Filosoofia ajaloo põhietapid. (Filosoofia tekkimine, esimesed mõtlejad) Filosoofia tekkimine. Filosoofia tekkis 6. saj. e. Kr. Sellest on räägitud

Διαβάστε περισσότερα

SORTEERIMINE JA FILTREERIMINE

SORTEERIMINE JA FILTREERIMINE Praktikum 3 Tänase praktikumi teema on andmetabelite filtreerimine ja kokkuvõtvate tabelite loomine, juttu tulebka mõningatest pisut nutikamatest funktsioonidest keskmiste ja vaatluste arvu arvutamisel.

Διαβάστε περισσότερα

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga TTÜ informaatikainstituut Tutvumine Pythoniga Python on lihtne kuid võimas programmeerimiskeel, mis leiab üha laiemat kasutamist väga erineva iseloomuga rakenduste loomiseks. Tegemist on vabavaralise tarkvaraga.

Διαβάστε περισσότερα

PORTATIIVNE KÄSIVINTS

PORTATIIVNE KÄSIVINTS MEHHATROONIKAINSTITUUT MASINAELEMENTIDE JA PEENMEHAANIKA ÕPPETOOL PORTATIIVNE KÄSIVINTS MHX0020- PÕHIÕPPE PROJEKT Üliõpilane: Kood: Juhendaja:....... prof. Maido Ajaots Tallinn 2006 2 Sisukord Eessõna....lk...

Διαβάστε περισσότερα

Browni liikumine magnet- ja elektriväljas anisotroopse keskkonna juhul

Browni liikumine magnet- ja elektriväljas anisotroopse keskkonna juhul Tartu Ülikool Füüsika-keemiateaduskond Teoreetilise füüsika instituut Niina Voropajeva Browni liikumine magnet- ja elektriväljas anisotroopse keskkonna juhul Magistritöö teoreetilises füüsikas Juhendaja:

Διαβάστε περισσότερα

LOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP)

LOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) LOFY.01.087 Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) Sissejuhatus... 1 1. Füüsika kui loodusteadus... 2 1.1. Loodus... 2 1.2. Füüsika... 3 1.3. Teaduse meetod... 4 2. Universumiõpetus... 7 3. Liikumine

Διαβάστε περισσότερα

PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I

PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I 0. Arvut vldise,6 4 täpe väärtus. 4 4. Lihtsust vldis. 4 4. Lhed võrrdisüsteem = 4. 4= 4. Mtel mksis 400 krooi. Mtli hid tõusis lgul 0% j seejärel veel %. Kui suur oli lõpuks

Διαβάστε περισσότερα

ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41

ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41 ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41 2 www.electrolux.com SISUKORD 1. OHUTUSINFO... 3 2. OHUTUSJUHISED...

Διαβάστε περισσότερα

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel Allar Veelmaa, Loo Keskkool Gümnaasiumi riiklik õppekava 1 (edaspidi GRÕK) järgi võib õpilane valida kitsa ja laia matemaatikakursuse

Διαβάστε περισσότερα

4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD

4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD 4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD Arvatavasti oled sa oma elus kogenud, et kõik mõjud on vastastikused. Teiste sõnadega: igale mõjule on olemas vastumõju. Ega füüsikaski teisiti ole. Füüsikas on kehade vastastikuse

Διαβάστε περισσότερα

SISSEJUHATUS TEADVUSETEADUSESSE. Teema on niivõrd põnev ja huvitav, JAAN ARU TALIS BACHMANN

SISSEJUHATUS TEADVUSETEADUSESSE. Teema on niivõrd põnev ja huvitav, JAAN ARU TALIS BACHMANN SISSEJUHATUS JAAN ARU TALIS BACHMANN TEADVUSETEADUSESSE Ärgates kerkib me silme ette ümbritsev tuba koos selle ebaõnnestunud tapeedi ja osaliselt õnnestunud mööblivalikuga. Jõuame teadvusele iseendast

Διαβάστε περισσότερα

Pesumasin Πλυντήριο ρούχων Mosógép Veļas mašīna

Pesumasin Πλυντήριο ρούχων Mosógép Veļas mašīna ET Kasutusjuhend 2 EL Οδηγίες Χρήσης 17 HU Használati útmutató 34 LV Lietošanas instrukcija 50 Pesumasin Πλυντήριο ρούχων Mosógép Veļas mašīna ZWG 6120K Sisukord Ohutusinfo _ 2 Ohutusjuhised _ 3 Jäätmekäitlus

Διαβάστε περισσότερα

Rein Teinberg: "Põllumajandusloomade geneetika", 7. POPULATSIOONIGENEETIKA. toimetanud M. Viikmaa, "Valgus", Tallinn, 1978.

Rein Teinberg: Põllumajandusloomade geneetika, 7. POPULATSIOONIGENEETIKA. toimetanud M. Viikmaa, Valgus, Tallinn, 1978. Rein Teinberg: "Põllumajandusloomade geneetika", toimetanud M. Viikmaa, "Valgus", Tallinn, 1978 7. POPULATSIOONIGENEETIKA lk 202-215 Põllumajandusloomade geneetika üheks iseärasuseks, võrreldes üldgeneetikaga

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 (Παρουσίαση 6) 1 / 20 Ρυθμοί αύξησης Γραμμικός ρυθμός αύξησης: n, 2n, Πολυωνυμικός

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS

ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS Meede 1.1 projekt nr 1.0101-0386/IN660 Elektrotehnilise personali täiendkoolitussüsteemi väljaarendamine ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS Täiendkoolituse õppematerjal Koostanud Raivo Teemets Tallinn 2007

Διαβάστε περισσότερα

3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA

3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA3 (kaugõppele) 3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA 3. Impulss Impulss, impulsi jääus Impulss on ektor, mis on õrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega p r r = m. Mehaanikas nimetatakse

Διαβάστε περισσότερα

Seminar II: Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs (MANOVA)

Seminar II: Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs (MANOVA) Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar II: Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs (MANOVA) Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Statistilise olulisustesti põhisammud: E I: Analüüsisin

Διαβάστε περισσότερα

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009

Διαβάστε περισσότερα

b) Täpne arvutus (aktiivsete kontsentratsioonide kaudu) ph arvutused I tugevad happed ja alused

b) Täpne arvutus (aktiivsete kontsentratsioonide kaudu) ph arvutused I tugevad happed ja alused ph arvutused I tugevad happed ja alused Tugevad happed: HCl, HBr, HI, (NB! HF on nõrk hape) HNO 3, H 2SO 4, H 2SeO 4, HClO 4, HClO 3, HBrO 4, HBrO 3, HMnO 4, H 2MnO 4 Tugevad alused: NaOH, OH, LiOH, Ba(OH)

Διαβάστε περισσότερα

Kõrv vastu arvutit: testis 2.1 arvutikõlarid

Kõrv vastu arvutit: testis 2.1 arvutikõlarid Microsofti telefoni- Windows on tagasi Testime Nikoni uut D7000 kaamerat Kinect teeb mängud täitsa uueks Uputame ja togime Samsungi matkafoni Nr 69, jaanuar 2011 Hind 42.90 kr; 2.74 Kõrv vastu arvutit:

Διαβάστε περισσότερα

MateMaatika õhtuõpik

MateMaatika õhtuõpik Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline

Διαβάστε περισσότερα

17.1 Üldisi põhimõtteid ja mõisteid Retseptorrakkude omadused

17.1 Üldisi põhimõtteid ja mõisteid Retseptorrakkude omadused 3 Kõik loomad sõltuvad informatsioonist. Nad peavad leidma toitu ja sookaaslasi; avastama vaenlasi, et neist hoiduda; neil peab olema informatsiooni sise- ja väliskeskkonna tingimuste kohta. Meeleelundid

Διαβάστε περισσότερα

EE - EP B1 KIRJELDUS

EE - EP B1 KIRJELDUS EE - EP 2 270 010 B1 KIRJELDUS [0001] Käesolev leiutis käsitleb pürrolobensodiasepiine (PBD-sid) ja eriti C2-asendatud ühendite sünteesil kasulikke pürrolobensodiasepiine. Leiutise taust [0002] Mõnedel

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD ARVUHULGAD ARITMEETIKA Mõigte rvude kõrgemd stmed Hriliku murru põhiomdus Tehetevhelised seosed Tehted hrilike murdudeg

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II

KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II ÜHIKANALÜÜS II Füüsikalise Suuruse Dimensioon Füüsikalise suuruse dimensioon on avaldis astmes üksikliikme kujul, mis koosneb erinevates astmetes põhisuuruste sümbolite

Διαβάστε περισσότερα

4. TEMPERATUUR Termodünaamiline tasakaal Temperatuuri mõiste Termodünaamika teine seadus

4. TEMPERATUUR Termodünaamiline tasakaal Temperatuuri mõiste Termodünaamika teine seadus Soojusõpetus 0 Küsimus: kas võiks defineerida kui energiabilansi täienduse: = A + U ja kuulutada ta mittefundamentaalseks füüsikaliseks suuruseks? Termodünaamika esimese seaduse traditsiooniline võrrand

Διαβάστε περισσότερα

PEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL. 5.1 Koormuse iseloom. 5.2 Koormuse paiknemine

PEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL. 5.1 Koormuse iseloom. 5.2 Koormuse paiknemine PEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL 5.1 Koormuse iseloom (1) P Projekt peab arvestama asjaolu, et lumi võib katustele sadestuda paljude erinevate mudelite kohaselt. (2) Erinevate mudelite rakendumise põhjuseks

Διαβάστε περισσότερα

LOFY Füüsika kui loodusteadus (2 EAP)

LOFY Füüsika kui loodusteadus (2 EAP) LOFY.01.108 Füüsika kui loodusteadus (2 EAP) 1. Sissejuhatus... 1 I. Teoreetilised alused... 4 2. Mõtlemisviisid... 4 3. Teaduslik mõtlemisviis... 5 4. Loodusteadusliku mõtlemisviisi kujundamine... 6 Kirjandus...

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus Eesti koolinoorte 6. füüsika lahtine võistlus 8. november 05. a. Vanema rühma ülesannete lahendused. (RONGIVILE) Tähistagu L veduri kaugust jaamaülemast hetkel, mil vedurijuht alustab vile laskmisega.

Διαβάστε περισσότερα

Kuressaare Vanalinna Kool. Informaatika õppematerjal esimesele ja teisele kooliastmele. Koostas: Eha Kask Pildid joonistas: Anne Metsamaa

Kuressaare Vanalinna Kool. Informaatika õppematerjal esimesele ja teisele kooliastmele. Koostas: Eha Kask Pildid joonistas: Anne Metsamaa Informaatika õppematerjal esimesele ja teisele kooliastmele Koostas: Pildid joonistas: Anne Metsamaa Uuendatud Kuressaares 2010 6 Kas Internet on ohtlik? Aga mis see informaatika veel on? Kohe vaatame!!

Διαβάστε περισσότερα

ohutuks koormakinnituseks maanteetranspordil

ohutuks koormakinnituseks maanteetranspordil ohutuks koormakinnituseks maanteetranspordil Kooskõlas standardiga EN 12195-1 : 2010 Käesolev juhend pakub praktilisi juhiseid koormakinnituseks vastavalt Euroopa standardile EN 12195-1:2010. Kõik arvväärtused

Διαβάστε περισσότερα

Arvutatavad statistikud. Programmi LSTATS kasutamisjuhend

Arvutatavad statistikud. Programmi LSTATS kasutamisjuhend Programmi LSTATS kasutamisjuhend Lokaalstatistikute arvutamise tarkvara LSTATS võimaldab arvutada mitmesuguseid kujutise või kategoorilise pinna lokaalseid omadusi kirjeldavaid statistikuid päiseta binaarsetest

Διαβάστε περισσότερα