Avaliku võtmega krüptograafia

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Avaliku võtmega krüptograafia"

Transcript

1 Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas

2 Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2

3 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane on piiramatu võimsusega, siis sellist protokolli ei leidu! 3

4 Probleem piiramatu vastasega! Carol suudab leida kõik Alice i salajase algväärtuse kandidaadid, mis on kooskõlas protokolli käiguga! Seejärel valib Carol neist juhuslikult ühe välja ja arvutab oma võtme K Caroli väljundjaotus on täpselt samasugune, mis Alice i väljundjaotus! Et protokoll on eeldatavasti korrektne, siis suure tõenäosusega on Alice i ja Bob i väljund sama. Kuid siis on ju umbes sama tõenäosusega Caroli väljund võrdne Bobi väljundiga! Järelikult on protokoll piiramatu jõuga Caroli vastu ebaturvaline. 4

5 Võtmekehtestusprotokoll: definitsioon Võtmekehtestusprotokolliks nimetatakse nelikut (A, K A ; B, K B ), kus: K A ja K B on funktsioonid tüüpi Ω {0, 1} {0, 1} m ja A ja B on funktsioonid tüüpi Ω {0, 1} {0, 1} ja Ω = {0, 1} k. Eeldatakse, et üks kindel bitistring on defineeritud kui STOP sümbol, mis (juhul kui ta esineb funktsioonide A ja B väljundis) indikeerib protokolli lõppu. 5

6 Protokolli transkript Protokolli transkriptiks nimetatakse funktsiooni Ω 2 T {0, 1}, mis arvutatakse iteratiivselt järgmise skeemi kohaselt: T 0 (ω A, ω B ) = A(ω A, ) B(ω B, ) T 1 (ω A, ω B ) = A(ω A, T 0 (ω A, ω B )) B(ω B, T 0 (ω A, ω B )) T 0 (ω A, ω B )... T n (ω A, ω B ) = A(ω A, T n 1 (ω A, ω B )) B(ω B, T n 1 (ω A, ω B )) T n 1 (ω A, ω B ) Siin tähendab nn. eraldajatega konkatenatsiooni, st w 1 w 2 = w 1 w 2 parajasti siis kui w 1 = w 1 ja w 2 = w 2. T (ω A, ω B ) := T n (ω A, ω B ), kus n on vähim indeks, mille korral T n sisaldab STOP sümbolit, või kui n oli eelnevalt kokku lepitud maksimaalne võimalik raundide arv. 6

7 Võtmekehtestusprotokolli modelleerimine A ja B genereerivad võtmed ω A U k ja ω B U k. A ja B vahetavad sõnumeid (loovad transkripti) T = T (ω A, ω B ). A ja B leiavad võtmed k A = K A (ω A, T ) ja k B = K B (ω B, T ). Protokoll on edukas kui k A = k B. Protokolli korrektsuseks nim. tõenäosust γ(k) = Pr[ω A, ω B U k, T T (ω A, ω B ): K A (ω A, T ) = K B (ω B, T )]. Vastase C edukuseks nimetatakse tõenäosust: δ(k) = Pr[ω A, ω B U k, T T (ω A, ω B ), k C(T ): k = K B (ω B, T )]. 7

8 Transkripti omadus: Juhuarvude vahetatavus Lemma: 1 T (ω A, ω B ) = T (ω A, ω B ) siis ja ainult siis kui T n(ω A, ω B ) = T n (ω A, ω B ) iga n korral, mis ei ületa raundide arvu. Tõestus: Lemma väide tuleneb otseselt transkripti definitsioonist. 8

9 Juhuarvude vahetatavus II Lemma: 2 Kui T (ω A,ω B ) = T = T (ω A,ω B ), siis T (ω A,ω B) = T = T (ω A,ω B ). Tõestus: Vastavalt Lemmale 1 ja esimesele eeldusele, saame A(ω A, ) = A(ω A, ) ja B(ω B, ) = B(ω B, ), mistõttu T 0 (ω A, ω B) = A(ω A, ) B(ω B, ) = A(ω A, ) B(ω B, ) = T 0 = A(ω A, ) B(ω B, ) = T 0 (ω A, ω B ). (1) Lemma eeldusest tulenevalt T n (ω A, ω B ) = T n = T n (ω A, ω B ), ja seega A(ω A, T n 1 (ω A, ω B )) = A(ω A, T n 1(ω A, ω B )) B(ω B, T n 1 (ω A, ω B )) = B(ω B, T n 1(ω A, ω B )) T n 1 (ω A, ω B ) = T n 1 (ω A, ω B ). 9

10 Olgu T n 1 = T n 1 (ω A, ω B ). Induktsiooni eeldusest T n 1 (ω A, ω B) = T n 1 (ω A, ω B ) = T n 1, saame T n (ω A, ω B) = A(ω A, T n 1(ω A, ω B)) B(ω B, T n 1 (ω A, ω B)) T n 1 (ω A, ω B) = A(ω A, T n 1(ω A, ω B )) B(ω B, T n 1 (ω A, ω B )) T n 1 = A(ω A, T n 1 (ω A, ω B )) B(ω B, T n 1(ω A, ω B )) T n 1 = A(ω A, T n 1 (ω A, ω B )) B(ω B, T n 1(ω A, ω B )) T n 1 = T n (ω A, ω B ). Võrdus T n (ω A, ω B) = T n (ω A, ω B ) = T n tõestatakse analoogilisel viisil. 9

11 Juhuarvude sõltumatuse säilivus Võtmevahetusprotokollis (nagu eelnevalt kirjeldatud) genereeritakse kaks sõltumatut juhuarvu ω A ja ω B, ning seejärel transkript T, mis samuti on juhuslik suurus mingi tõenäosusjaotusega hulgal {0, 1}. Lemma: 3 Olgu T mingi fikseeritud transkript. Olgu W T = T 1 (T ) = {(ω a, ω b ): T (ω a, ω b ) = T }, W T,A = {ω a : ω b T (ω a, ω b ) = T }, ja W T,B = {ω b : ω a T (ω a, ω B ) = T }. Siis W T = W T,A W T,B. Tõestus: Sisalduvus W T W T,A W T,B on ilmne, mistõttu piisab duaalse sisalduvuse näitamisest. Olgu (ω A, ω B ) W T,A W T,B. Vastavalt definitsioonidele, leiduvad ω A ja ω B nii et T (ω A, ω B) = T (ω A, ω B ) = T. Vastavalt Lemmale 2, T (ω A, ω B ) = T ja seega (ω A, ω B ) W T. 10

12 Juhuarvude sõltumatuse säilivus II Lemma: 4 Olgu ω A, ω B U k, T T (ω A, ω B ) ja (ω A, ω B ) T 1 (T ), st paar (ω A, ω B ) on ühtlaselt valitud kõigi arvupaaride hulgast, mis on kooskõlas transkriptiga T (mis ise on genereeritud tavalisel viisil). Olgu ω A W T,A ja ω B W T,B (ühtlase jaotusega). Siis ω A, ω B, T, ω A, ω B, T ja ω A, ω B, T on identsed jaotused. Tõestus: Vastavalt Lemmale 3 on T (ω A, ω B ) = T ja (ω A, ω B ) ühtlaselt valitud hulgast T 1 (T ). Kuna valik toimus sõltumatult (ω A, ω B ) valikust, siis on jaotused ω A, ω B ja ω A, ω B identsed. Kõigis kolmes jaotuses on T -komponent üheselt määratud kahe esimese komponendiga, siis piisab kui tõestame ω A, ω B ja ω A, ω B identsuse. 11

13 Selleks valime mingid ω 0 A, ω0 B {0, 1}k ja kasutame valemit: Pr[ω A =ω0 A, ω B =ω0 B ]= T Pr[T (ω A, ω B )=T ] Pr[ω A =ω0 A, ω B =ω0 B T ], kus viimane tinglik tõenäosus avaldub järgmiselt: (2) Pr[ω A =ω0 A, ω B =ω0 B T ] = 1 T 1 (T ), kui T (ω0 A, ω0 B ) = T ; 0, kui T (ω 0 A, ω0 B ) T. (3) Arvestades, et (ω A, ω B ) jaotus hulgal {0, 1} 2k on ühtlane, saame valemis (2) esimese tõenäosuse väärtuseks Pr[T (ω A, ω B ) = T ] = T 1 (T ) 2 2k. Arvutades summa, saame Pr[ω A = ω0 A, ω B = ω0 B ] = 2 2k, mis langeb kokku tõenäosuse Pr[ω A = ωa 0, ω B = ωb 0 ] väärtusega. Seega on jaotused ω A, ω B ja ω A, ω B tõepoolest identsed. 11

14 Alice i ja Caroli jaotuste identsus Lemma: 5 Olgu ω A, ω B U k, T T (ω A, ω B ) ja (ω A, ω B ) T 1 (T ). Siis jaotused ω A, ω B, T ja ω A, ω B, T on identsed. Tõestus: Asendame esimese jaotuse vastavalt Lemmale 4 jaotusega, kus ω A W T,A ja ω B W T,B on ühtlaselt (ja sõltumatult valitud). Vastavalt Lemmale 4 võib ka teise jaotuse asendada kahe sõltumatu (ja ühtlase) valikuga ω A W T,A ja ω B W T,B, kus T on sama, mis esimese jaotuse juures, st T T (U k, U k ). Eeldusel, et T on fikseeritud, on ka suurused ω A ja ω B sõltumatud ja seega 12

15 (kasutades tähistust p(t ) = Pr[T (U k, U k )=T ]): Pr[ω A = ω0 A, ω B = ω 0 B ] = T = T p(t ) Pr[ω A = ω0 A T ] Pr[ω B = ω 0 B T ] p(t ) Pr[ω A = ω 0 A T ] Pr[ω B = ω 0 B T ] = Pr[ω A = ω 0 A, ω B = ω 0 B ]. 12

16 Ebaturvalisus piiramatu vastase vastu Teoreem 1 Igale võtmekehtestusprotokollile (A, K A ; B, K B ) korrektsusega γ(k) leidub (piiramatu) vastane C edukusega δ(k) γ(k). Tõestus: Võtmevahetusprotokolli tavalises mudelis genereeritakse esmalt juhuarvud (ω A, ω B ), misjärel genereeritakse transkript T = T (ω A, ω B ) ja osapooled A ja B arvutavad k A ja k B. Vastavalt Lemmale 4 saab aga sama jaotuse kui esmalt genereerida transkript T = T (U k, U k ) ja seejärel sõltumatult juhuarvud ω A W T,A ja ω B W T,B. Vastane C töötab sisendi T korral järgmiselt: (1) genereerib ω A W T,A (piiramatule vastasele igati jõukohane!) ja (2) arvutab k A = K A(ω A, T ). Vastavalt Lemmale 5 on ω A, ω B, T sama jaotusega, mis ω A, ω B, T. Seega on sündmused k A = k B ja k A = k B võrdtõenäosed (γ(k)). Järelikult arvab C võtme k B tõenäosusega vähemalt γ(k). 13

17 Lisamärkus protokolli käsitluse kohta Vaadates tagasi Teoreemi 1 tõestusele, märkame et selle suhteliselt intuitiivse väite tõestus osutus võrdlemisi keeruliseks oli vaja tõestada koguni viis tehnilist lemmat. Paratamatult tekib siin küsimus: kas kuidagi lihtsamalt ei saa? Üks keerukuse põhjusi on kahtlemata transkripti T iteratiivne definitsioon. Esimene mõte lihtsustusest võikski seostuda küsimusega, kas toodud aruteludes on tingimata vaja tunda funktsiooni T siseehitust, või ehk kehtib toodud arutelu ka siis kui T on suvaline funktsioon? Näitamaks et see nii ei ole, piisab kui defineerida T (ω A, ω B ) = ω A ω B, st transkript saadakse juhuarvude bitikaupa liitmise teel mooduliga kaks, ja võtmete arvutamise funktsioonid defineerida järgmiselt: k A = K A (ω A, T ) = ω A ω A T, ja k B = K B (ω B, T ) = ω B T ω B. 14

18 Ühelt poolt, k A = k B tõenäosusega 1. Teiselt poolt aga on vastasele teada ainult summa ω A ω B, milles ei sisaldu infot ω B kohta. Seega ei saa vastase edukus olla suurem kui 2 k, mis tuleneb tähelepanekust, et võimalikke ω B väärtusi on 2 k. Toodud näitest järeldub (lisaks sellele, et transkripti siseehitusön oluline), et ei leidu protokolli, mille transkript sisaldaks täieliku informatsiooni ω A ω B kohta, kuid mitte mingit informatsiooni juhuarvude ω A ja ω B kohta. Sellise protokolli olemasolust järelduks ka piiramatu vastase suhtes turvalise võtmekehtestusprotokolli olemasolu, mille me aga ülaltoodud aruteluga välistasime. Käesoleva kirjutise kontekstis. 14

19 Loogilise konjunktsiooni arvutamine Oletame, et A valib ühe biti a {0, 1} ja B ühe biti b {0, 1}. Valikud toimugu mingite sõltumatute tõenäosusjaotuste D A ja D B järgi. Nad soovivad arvutada loogilist konjunktsiooni (korrutist) a b, kusjuures sellisel viisil, et partner ei saaks teada muud informatsiooni kui see, mis järeldub korrutisest a b ja omaenda bitist. Näiteks kui a = 1, siis a b järgi saab A muidugi tuletada partneri biti b, kuid kui a = 0, siis a b ei anna A-le mingit teavet b kohta. Oluline on koostada protokoll nii, et kui a = 0 siis ka transkripti T teadmine ei anna midagi b tuletamiseks. Arvutustes võib kumbki pool kasutada juhuarve, mis ei ole partnerile teada. Eeldame, et ω A {0, 1}k 1 on A juhuarv ja ω B {0, 1}k 1 on B juhuarv. Kooskõla saavutamiseks eelnevalt kasutatud tähistustega olgu 15

20 ω A = a ω A ja ω B = b ω B. Märgime, et ω A ja ω B ei tarvitse olla ühtlase jaotusega. Eeldame, et protokoll on korrektne, st K A (a ω A ; T (a ω A ; b ω B )) = a b = K B(b ω B ; T (a ω A ; b ω B )). (4) Ütleme, et juhuarvupaar (ω A, ω B ) on hea B suhtes, kui ta ei võimalda A-l (tingimusel a = 0) välja arvutada B bitti b, st leiduvad ω 0,B ja ω 1,B, nii et T (0 ω A ; 1 ω 1,B ) = T (0 ω A ; 0 ω B ) T (0 ω A ; 0 ω 0,B ) = T (0 ω A ; 1 ω B ). Analoogiliselt, paari (ω A, ω B ) nimetatakse heaks A suhtes, kui leiduvad ω 0,A ja ω 1,A, nii et: T (1 ω 1,A ; 0 ω B ) = T (0 ω A ; 0 ω B ) T (0 ω 0,A ; 0 ω B ) = T (1 ω A ; 0 ω B ). 15

21 Vahetatavuse omadusest saame, et T (0 ω A ; 1 ω 1,B ) = T (1 ω 1,A ; 1 ω 1,B ), millest korrektsuse tingimuse tõttu: 1 1 = K B (T (1 ω 1,A ; 1 ω 1,B ); 1 ω 1,B ) = K B(T (0 ω A ; 1 ω 1,B ); 1 ω 1,B ) = 0 Saime vastuolu, mistõttu võime järeldada, et ükski juhuarvude paar ei saa olla korraga hea mõlema osapoole suhtes. Seega oleme tõestanud järgmise teoreemi: Teoreem 2 Ei leidu loogilist konjunktsiooni arvutavat protokolli, mis oleks turvaline piiramatu (passiivse) vastase suhtes. 15

22 Piiratud arvutusjõuga vastased. Turingi masin arvuti matemaatiline mudel, millel on sisendolek (lint), programm (käskude jada), ja väljundolek (lint) Turingi masina peatumine arvutuskäik defineeritakse kui teatud olekute jada, milles naaberolekud on omavahel kindlal viisil seotud ja mis lõpeb teatud liiki olekuga (stop!) Arvutusaeg peatumisele eelnenud olekute arv. Arvutusaega (kindla programmi korral) esitatakse kui funktsiooni T (n) sisendoleku mahust n (bitti) 16

23 O-tähistused Def. Kirjutame f(n) = O(g(n)), kui leiduvad c R ja n 0 N, nii et iga n n 0 korral: f(n) c g(n). Def. Kirjutame f(n) = Ω(g(n)), kui g(n) = O(f(n)). Def. Kirjutame f(n) = Θ(g(n)), kui f(n) = O(g(n)) ja f(n) = Ω(g(n)). Def. Kirjutame f(n) = o(g(n)), kui lim n f(n) g(n) = 0. Def. Kirjutame f(n) = ω(g(n)), kui g(n) = o(f(n)). 17

24 Polünomiaalne aeg ja efektiivsed arvutused Kui Turingi masina M arvutusaeg on T (n) = n O(1), siis ütleme, et M töötab polünomiaalses ajas. NB! T (n) on maksimaalne arvutusaeg antud sisendi pikkuse n korral! Arvutus on efektiivne (kokkuleppeliselt), kui ta toimub polünomiaalses ajas. 18

25 Ühesuunalised funktsioonid Funktsiooni f : {0, 1} {0, 1} nimetatakse ühesuunaliseks, kui: leidub polünomiaalses ajas töötav Turingi masin M, nii et f(x) M(x) iga x {0, 1} korral. iga efektiivse vastase (Turingi masina) A korral on: Pr[x {0, 1} k, x A(f(x)): f(x ) = f(x)] = k ω(1), st pööramine õnnestub kaduvväikese tõenäosusega. Näide: Kas nullfunktsioon f(x) 0 on ühesuunaline? 19

26 Diskreetne eksponentfunktsioon Kui p on suur algarv ja α on primitiivne element korpuses Z p, siis funktsioon f α,p (x) = α x mod p usutakse olevat ühesuunaline. 20

27 Diffie-Hellmani võtmevahetus 1976 Diffie ja Hellman pakkusid välja järgmise ühesuunalisel funktsioonil põhineva võtmekehtestusprotokolli: Valitakse suur algarv p ja primitiivne element α. Kasutajad A ja B genereerivad salajased võtmed ω A {1,..., p 1} ja ω B {1,..., p 1}. Kasutaja A arvutab y A = α ω A mod p ja saadab y A kasutajale B. Kasutaja B arvutab y B = α ω B mod p ja saadab y B kasutajale A. Kasutaja A arvutab k A = y ω A B mod p = αω Aω B mod p. Kasutaja B arvutab k B = y ω B A mod p = αω Bω A mod p = k A. 21

28 RSA krüptosüsteem Võtme genereerimine. Leitakse kaks suurt algarvu p ja q ja leitakse n = p q. Leitakse e ja d, nii et e d 1 (mod ϕ(n)). Siis (n, e) on avalik võti ja (n, d) salajane võti. NB! ϕ(n) = (p 1)(q 1). Krüpteerimine. y = E n,e (x) = x e Dekrüpteeerimine. D n,d (y) = y d mod n mod n = x Küsimused: Kas E ja D on efektiivselt arvutatavad? Miks D n,d (E n,e (x)) = x? Kuidas saada suuri algarve? 22

29 Astendamisalgoritm Selleks, et arvutada x e mod n, esitame astendaja kahendsüsteemis: e = e m 2 m + e m 1 2 m e e 0 2 0, kus e m,..., e 0 {0, 1}. Seejärel kasutame valemit: x e m 2 m +...+e = x e m 2 m x e m 1 2 m 1... x e = ( x 2m) e m (x 2m 1) e ( m 1... x 20) e 0. Hüperastmed x 20,..., x 2m arvutame skeemi x 2k = ( x 2k 1) 2 järgi. 23

30 Euleri teoreem Teoreem (Euler). Kui (x, n) = 1, siis x ϕ(n) 1 (mod n), iga n ja iga x korral. Euleri teoreemi tõestuseks teeme kõrvalepõike üldisesse rühmateooriasse. Euleri teoreemi kasutades näitame, et kui avatekst x on pööratav mooduli n järgi, st (x, n) = 1, siis (x e ) d = x e d = x 1+k ϕ(n) = x (x ϕ(n)) k x 1 k x (mod n). Näitamaks, et RSA krüptosüsteem on korrektne ka mittepööratavate x- de korral on samuti vaja üldisi algebratulemusi nn. Hiina jäägiteoreemi (tõestame hiljem) 24

31 Rühma mõiste Rühm G on hulk, millel on defineeritud üks binaarne operatsioon, mis on: Assotsiatiivne: a (b c) = (a b) c Ühikelemendiga: Leidub e G, nii et x e = e x = x iga x G korral Pööratav: Igal elemendil a G on pöördelement b G, nii et a b = e. Tähistame b = a 1. Näited: (Z, +) (Z n, +), st mooduliga liitmine (Z n, ), st mooduliga korrutamine 25

32 Alamrühmad Rühma (G, ) alamrühmaks nimetatakse alamhulka H G, mis ise on rühm korrutustehte suhtes. Näiteks täisarvude aditiivses rühmas (Z, +) on kõigi paarisarvude hulk 2Z = {..., 4, 2, 0, 2, 4,...} alamrühm. Selleks, et mingi alamhulk H oleks alamrühm, on tarvilik ja piisav, et H oleks kinnine korrutamise ja pöördelemendi võtmise suhtes. Pöördelemendi nõue on oluline, sest näiteks rühmas (Z, +) on hulk N = {0, 1, 2,...} küll kinnine tehte + suhtes, kuid ise ta rühma ei moodusta. Selgub, et lõplike rühmade korral ei ole sellised kontranäited võimalikud: Ülesanne. Tõesta, et lõpliku rühma (G, ) alamhulk H on alamrühm parajasti siis kui H on kinnine tehte suhtes. 26

33 Elemendi järk rühmas Eelnevast on selge, et kui G on lõplik rühm ja g G, siis astmete hulk H = {g, g 2, g 3,...} on alamrühm. See tuleneb otseselt hulga H kinnisusest korrutamise suhtes. Et iga alamrühm sisaldab ühikelementi, siis järelikult ka 1 H. Olgu k minimaalne selline astendaja, mille korral g k = 1. Siit järeldub, et H = k, sest astmed g, g 2,..., g k on erinevad ja kui l > k, siis g l = g l mod k. Rühma H tähistatakse g ja tema elementide arvu g nimetatakse elemendi g järguks. Järeldus. Kui G on lõplik rühm ja g G, siis g g = 1. 27

34 Lagrange i teoreem Teoreem: Kui G on lõplik rühm ja H tema alamrühm, siis G H on täisarv. Tõestus: Olgu H = {h 1,..., h m } (kus h i h j kui i j). Kui H = G, siis G H = 1 ja väide kehtiks. Kui g G\H, siis hulga gh = {gh 1,..., gh m } elemendid on erinevad, sest kui gh i = gh j, siis h i = g 1 gh i = g 1 gh j = h j. Seega H = gh. Samuti H gh =, sest kui gh i = h j, siis g = gh i h 1 i = h j h 1 i H (vastuolu, sest g H). Kui G = H gh, siis G H = 2 ja väide kehtiks. Kui g 2 G\(H gh) ja g 2 H = {g 2 h 1,..., g 2 h m }, siis H = g 2 H ja g 2 H H =. gh g 2 H =, sest kui gh i = g 2 h j, siis aga oleks g 2 = g(h i h 1 j ) gh. Seega on hulgad H, gh ja g 2 H ühisosata ja võrdse võimsusega. Kui nüüd G = H gh g 2 H, siis G H = 3 ja väide kehtiks

35 Euleri teoreemi tõestus Järeldus: Kui G on lõplik rühm ja g G, siis g G = 1. Tõstus: Lagrange teoreemist järeldub, et G = k on täisarvuine ja seega: g g G = g g k = ( g g ) k = 1 k = 1. Euleri teoreemi tõestuseks piisab faktist, et Z n = {a {1,..., n 1}: süt(a, n) = 1} on rühm, milles on ϕ(n) elementi. 29

36 Algarvude leidmine: Fermat teoreem Teoreem (Fermat ). Kui p on algarv, siis b p 1 1 (mod p) iga 0 < b < p korral. (Otsene järeldus Euleri teoreemist!) Fermat test (Kas n on algarv?): Genereerime b {1,..., n 1} ja arvutame c = b n 1 mod n. Kui c 1, siis Fermat teoreemi tõttu n ei ole algarv! Kui c = 1, siis kordame testi. Kui testi on korratud k korda, siis lõpetame ja kuulutame n-i algarvuks! Küsimus: Kui usaldatav on Fermat test? 30

37 Pseudoalgarvud baasil b Olgu 0 < b < n ja b n 1 1 (mod n). Siis öeldakse, et n on pseudoalgarv baasil b. Olgu H n = {b: b Z n, b n 1 1 (mod n)}, st H n on kõigi pööratavate baaside hulk Z n -s, mille suhtes n on pseudoalgarv. Teoreem. Hulk H n on alamrühm multiplikatiivses rühmas G = Z n. Tõestus. Kui b 1, b 2 H n, siis (b 1 b 2 ) n 1 b n 1 1 b n (mod n), millest järeldub b 1 b 2 H n. Def. Kui n on kordarv ja H n = Z n, siis n on Carmichaeli arv. (Vähim Carmichaeli arv on 561). 31

38 Fermat testi usaldatavus (I) Teoreem. Kui n on kordarv ja ei ole Carmichaeli arv, siis H n 1 2 Z n = ϕ(n) 2 Tõestus. Carmichaeli arvude definitsiooni järgi H n Z n, millest järeldub Z n > 1. Et aga Lagrange i teoreemi järgi on vaadeldud suhe täisarvuline, H n siis järelikult mis tõestabki teoreemi väite. Z n H n 2, Järeldus. Kui kordarv n ei ole Carmichaeli arv, siis (ühekordne) Fermat test eksib tõenäosusega 1 2 ja k-kordne tõenäosusega 1 2 k. 32.

39 Fermat testi usaldatavus (II) Teoreem (Alford, Granville, Pomerance; 1994) Olgu C(n) Carmichaeli arvude arv vahemikus [0...n], siis C(n) > n 2/7. Järelikult on olemas lõpmatu arv Carmichaeli arve. Järeldus: Fermat test ei ole täiesti usaldatav ka väga suurte arvude korral. On olemas algarvutestid, mis töötavad ka Carmichaeli arvude korral. 33

40 Miller-Rabini test (Kas n on algarv?) Vali juhuslikult a {1,..., n 1}. Kui (a, n) 1, siis n on kordarv. Olgu n 1 = 2 k m, kus m on paaritu. Kui a m mod n = 1 siis väljasta algarv. Kui a m 2i 1 (mod n) mingi i = 0... k 1 korral, siis algarv. Muidu väljasta kordarv. Teoreem. Kui n on algarv, siis Miller-Rabini test väljastab algarv. Kui n on kordarv, siis test väljastab kordarv tõenäosusega

41 Hiina jäägiteoreem Teoreem. Kui n 1, n 2 N ja (n 1, n 2 ) = 1, siis Z n1 n 2 = Zn1 Z n2, st leidub bijektiivne f : Z n1 n 2 Z n1 Z n2, nii et f(x + y) = f(x) + f(y) ja f(x y) = f(x) f(y) iga x, y Z n1 n 2 korral. Tõestus. Defineerime f(x) = (x mod n 1, x mod n 2 ). On selge, et f säilitab tehted ja Z n1 n 2 = Z n1 Z n2, mistõttu piisab kui näitame, et f on injektiivne. Tingimusest (n 1, n 2 ) = 1 saame, et leiduvad α, β Z, nii et αn 1 + βn 2 = 1. Defineerime g : Z n1 Z n2 Z n1 n 2 järgmiselt: g(x 1, x 2 ) = βn 2 x 1 + αn 1 x 2 mod n 1 n 2. Olgu x Z n1 n 2, x mod n 1 = x + c 1 n 1, ja x mod n 2 = x + c 2 n 2. Siis: g(f(x)) = βn 2 (x + c 1 n 1 ) + αn 1 (x + c 2 n 2 ) mod n 1 n 2 = (αn 1 + βn 2 )x + n 1 n 2 (...) mod n 1 n 2 = x. 35

42 Järeldus1: RSA korrektsus Teoreem (RSA korrektsus). Olgu e d 1 (mod ϕ(n)) ja n = p q, kus p ja q on erinevad algarvud. Siis iga x Z n korral: x ed x (mod n). Tõestus. Vastavalt Hiina jäägiteoreemile piisab, kui näidata, et x ed x kehtib ringis Z n1 Z n2. Olgu (x 1, x 2 ) selle ringi suvaline element. Siis (x 1, x 2 ) ed = (x ed 1 mod p, x ed 2 mod q) = (x 1+cϕ(n) 1 mod p, x 1+cϕ(n) 2 mod q) = (x 1 x (p 1)c(q 1) 1 mod p, x 2 x (q 1)c(p 1) 2 mod q) = (x 1, x 2 ), sest Fermat teoreemi tõttu x (p 1) 1 mod p = 1 kui x 1 0 (ja 0 kui x 1 = 0) ning x (q 1) 2 mod q = 1 kui x 2 0 (ja 0 kui x 2 = 0). 36

43 Järeldus 2: Võrrandite lahendamine Kui (n 1, n 2 ) = 1, siis iga a Z n1 ja b Z n2 korral on võrrandisüsteemil { x mod n1 = a x mod n 2 = b parajasti üks lahend x vahemikus {0,..., n 1 n 2 1}. Näiteülesanne. Leia võrrandisüsteemi kõik lahendid vahemikus [0...21]: { x 2 (mod 3) x 6 (mod 7). Lahendus. Et ( 2) = 1, siis saame Hiina jäägiteoreemist, et x ( 2) (mod 21), millest järeldub, et x = 20 on ainus lahend vahemikus [0...21]. 37

44 Järeldus 3: Ruutjuured Teoreem. Ringis Z pq (kus 3 p < q on algarvud) on elemendil a = b 2 Z pq parajasti neli ruutjuurt. Tõestus. Piisab kui näidata, et nii on ringis Z p Z q. Lihtne on näha, et (Z p Z q ) = Z p Z q. Olgu (x 1, x 2 ) Z p Z q ja (x 1, x 2 ) 2 = (x 2 1, x2 2 ) = (a mod p, a mod q). Piisab kui näitame, et võrrandil x 2 = a on ringides Z p ja Z q parajasti kaks lahendit. Oletame, et ringis Z p nimetatud võrrandil kaks lahendit x ja y, st x 2 y 2 = (x y)(x + y) 0 (mod p). Et p on algarv, siis nullitegurid puuduvad ja üks teguritest peab olema null. Seega x = ±y, millest järeldub, et võrrandil x 2 = a on ülimalt kaks lahendit. Teiselt poolt, kui x 2 = a, siis alati ka ( x) 2 = a. Kui p > 2, siis x x, mistõttu lahendeid on vähemalt kaks. 38

45 Carmichaeli arvude struktuur Teoreem 3 Arv n = p 2 n, kus p 3 on algarv ei ole Carmichaeli arv. Tõestus: Olgu n = p k m, kus m ei jagu p-ga. Kui m = 1, siis olgu b = p + 1, kui m 3, siis olgu b Z n selline arv, et b 1 + p (mod p 2 ) b 1 (mod m) Et mõlemal juhul p 2 b (p + 1), siis b ei saa jaguda p-ga. Lisaks sellele süt(b, m) = 1. Seega süt(b, n) = 1 ja b Z n. Et b n 1 (1 + p) n (n 1)p (mod p 2 ) ja (n 1)p ei jagu p 2 -ga (sest n 1 = p k m 1 ei jagu p-ga), siis b n 1 1 (mod n). 39

46 Miller-Rabini testi korrektsus (I) Teoreem 4 Kui n on algarv, siis Miller-Rabini test väljastab algarv. Tõestus: Kui n 1 = 2 k m ja m on paaritu, siis iga a {1,..., n 1} korral kas a m 1 (mod n) (ja test väljastab algarv ), või a m 1 (mod n), siis a n 1 1 (mod n) tõttu (Fermat teoreem!) saame, et leidub 0 < i < k, nii et a 2im mod n 1 ja a 2i+1m mod n = 1. Järelikult a 2im 1 (mod n), sest muidu oleks b = a 2im mod n mittetriviaalne ühejuur, mis oleks võimatu, sest n on algarv. Teoreem 5 Olgu n kordarv ja mitte Carmichaeli arv, siis Miller-Rabini test väljastab kordarv tõenäosusega vähemalt 1 2. Tõestus: Fermat testi omadustest järeldub, et a n 1 1 vähemalt poolte a-de korral, ja seega a m 1 (mod n) ning a m2i 1 (mod n) iga 0 i < k korral, ja selliste selliste a-de korral väljastab test kordarv. 40

47 Miller-Rabini testi korrektsus (II) Teoreem 6 Olgu n Carmichaeli arv, n 1 = 2 k m ja m on paaritu. Siis Miller-Rabini test on korrektne tõenäosusega vähemalt 1 2. Tõestus: Olgu t = max{0 i < k a Z n : a 2im 1 (mod n)}. Et ( 1) 20m = ( 1) m 1, siis t on korrektselt defineeritud. Kui t > t, siis ei leidu a Z n, nii et a 2t m 1 (mod n). Olgu B t = {a Z n : a2tm ±1 (mod n)}. See hulk ei ole tühi, sest leidub a Z n, nii et a2tm 1 (mod n). Kui b B t, siis selle b korral Miller-Rabini test väljastab kordarv, sest astmetest b 2t+1m,..., b 2km ei ole ükski 1. 41

48 Olgu p 3 vähim algarv, nii et p n. Et p 2 n, siis n = pd ja süt(p, d) = 1. Olgu a 2tm 1 (mod n) ja b Z n olgu element, nii et b a (mod p) b 1 (mod d). Et nii a kui 1 on pööratavad elemendid, siis ka b Z n. Samal ajal aga b 2tm a 2tm 1 (mod p) b 2tm 1 2tm +1 (mod d). Siit tuleneb, et b 2tm ±1 (mod n) ja seega b B t. Lihtne on veenduda, et B t on rühma Z n alamrühm ja seega B t Z n

49 RSA praktiline kasutamine: nõrgad protokollid Parim teadaolev tegurdamisalgoritm töötab ajas e (c+o(1)) 3 n log 2/3 n (nn. General Number Field Sieve) Järgnevalt näitame, et RSA kasutamisel tuleb olla väga ettevaatlik. Meie ülesanne on koostada salastatud sõnumivahetuse süsteem, kus kasutajatel on võimalik üksteisele saata salajasi sõnumeid. Näitame, et: Igal kasutajal peab olema eraldi moodul n. Ühise mooduli kasutamine on ebaturvaline. mod n on krüpteeri- Kui avalik astendaja e on väike, siis E n,e (x) = x e misfunktsioonina ebaturvaline. 42

50 Ühise mooduliga protokoll Kasutajal A on avalik e A ja salajane d A, nii et e A d A 1 (mod ϕ(n)). Kasutajal B on avalik e B ja salajane d B, nii et e B d B 1 (mod ϕ(n)). Simmonsi rünne: Kui (e A, e B ) = 1 (täiesti võimalik juhtum!) kui üks ja sama sõnum m saadetakse kasutajatele A ja B, siis ründajal on olemas y A = m e A mod n ja y B = m e B mod n. Teame, et leiduvad täisarvud α ja β, nii et αe A + βe B = 1. Üks arvudest α, β peab olema negatiivne. Eeldame, et α = α. Ründaja arvutab esmalt y 1 A mod n ja seejärel: [ ] y 1 α A [yb ] β = m αe A m βe B = m αe A+βe B = m. 43

51 Tegurdamine ühejuurte abil Näitame, et kui on teada b ±1, nii et b 2 1 (mod n) (kus n = pq), siis saab arvu n tegurdada. Seosest b 2 = 1 järeldub, et (b + 1)(b 1) = 0 mod n. Kuna b ±1, siis ei ole kumbki sulg kongruentne nulliga ja seega on mõlemad sulud nullitegurid. Et sulgude korrutis jagub n = pq-ga, kuid kumbki sulg ei jagu n-ga, siis üks sulg jagub p-ga ja teine q-ga. Seega, (b + 1, n) {p, q} ja ühekordsest suurima ühisteguri leidmisest piisab n tegurdamiseks. 44

52 Ühejuurte leidmine korrektse võtmepaari (e, d) abil Näitame, et kui kasutajal on võtmepaar e, d, nii et ed 1 (mod ϕ(n)), siis saab kasutaja kui tahes suure tõenäosusega leida mittetriviaalse ühejuure ja seega tegurdada avalikku moodulit n. Juure leidmine (DeLaurentis): Olgu ed 1 = c ϕ(n) = 2 s λ, kus λ N on paaritu arv. Vali juhuslikult a {2,..., n 2}, nii et süt(a, n) = 1. Leia vähim j > 0, nii et a 2jλ = 1. (Leidub, sest 2 s λ jagub ϕ(n)-ga). Võtame b = a 2j 1λ. Kui b 1, siis väljasta b, muidu korda protseduuri. Saaab näidata, et igas tsüklis leitakse mittetriviaalne juur tõenäosusega Alexander May näitas efektiivse deterministliku protseduuri! 45

53 Miks leitakse mittetriviaalne juur tõenäosusega 1 2? Lemma: 6 Kui p, q 3 on algarvud, siis leidub t N, nii et p 1 naturaalarvud ja vähemalt üks neist on paaritu. (ilmne!) 2 t ja q 1 Lemma: 7 Kui p 3 on algarv, siis x p 1 2 mod p = 1 täpselt p 1 2 elemendi, ja x p 1 2 mod p = p 1 täpselt p 1 2 elemendi x Z p korral. 2 t on Tõestus: Fermat teoremist x p 1 1 = 0 iga x Z p korral ja seega kõik p 1 elementi on polünoomi X p 1 1 juured (arvuvallas Z p ). Seega iga y = x p 1 2 korral, y (mod p) ja et Z p on korpus, siis y ±1 (mod p). Ei ole võimalik, et x p (mod p) või x p (mod p) iga x korral, sest polünoomidel X p 1 2 ± 1 on ülimalt p 1 2 juurt. Iga x Z p 46

54 on kas polünoomi X p juur või polünoomi X p juur ja et neil polünoomidel on kokku p 1 juurt, siis on kummalgi täpselt p 1 2 juurt. Lemma: 8 Kui p > q 3 on algarvud, n = pq, ja ed 1 (mod ϕ(n)), siis leidub k N nii et ed 1 2 k N ja juhusliku x Z n korral on x ed 1 2 k mittetriviaalne ühejuur tõenäosusega 1 2. Tõestus: Olgu Hiina jäägiteoreemist tulenev ekvivalents Z n elementide ja Z p Z q vektorite vahel ja αp + βq = 1, kus α, β Z. Siis iga x Z n, x p Z p, ja x q Z q korral: x (x mod p, x mod q) βqx p + αpx q mod n (x p, x q ). Mittetriviaalsed ühejuured vastavad vektoritele (1, q 1) ja (p 1, 1). Olgu c = 2 m l N (kus l on paaritu) naturaalarv, nii et ed 1 = c ϕ(n). 46

55 Olgu ed 1 = 2 s λ, kus λ on paaritu. Valime k = t + m + 1, kus t N tuleb Lemmast 6. Et p 3 tõttu t 1 ja 2 2t ϕ(n), siis s m + 2t m + t + 1 = k. ja seega ed 1 2 k N. Järelikult ed 1 2 k = ϕ(n) (p 1)(q 1)l 2t+1 = 2 2 t ja: ( p 1 x 2 p x ed 1 2 k x (p 1)(q 1)l 2 2 t ) l q 1 ( 2 t, x q 1 2 q ) l p 1 2 t. p 1 Et x 2 p q 1 ja x 2 q on võrdse tõenäosusega kongruentsed kas 1 või 1-ga, ja vähemalt üks astmetest q 1 2 t ja p 1 2 t on paaritu, siis tõenäosus, et viimase vektori componendid on erinevad (st täpselt üks komponentidest on 1), on 1 2 ja seega xed 1 2 k on mittetriviaalne ühejuur tõenäosusega

56 Teise kasutaja salajase astendaja leidmine Näitame efektiivse deterministliku protseduuri, kuidas kasutaja B võtmepaariga (e 2, d 2 ) saab leida teise kasutaja A salajase astendaja d 1 avaliku astendaja e 1 abil. Piisab, kui leida t, nii et (e 1, t) = 1 ja t = c ϕ(n). Tõepoolest, kuna αe 1 +βt = 1 mingite α, β Z korral, siis järelikult αe 1 = 1 βcϕ(n) 1 (mod ϕ(n)). Ründaja toimib järgmiselt: Leiab f = (e 1, e 2 d 2 1) kasutades Eukleidese algoritmi. Võtab t = e 2d 2 1 f. On tõenäoline (vt järgmine slaid), et (e 1, t) = 1. Definitsiooni järgi (e 1, ϕ(n)) = 1. Kuna f e 1, siis ka (f, ϕ(n)) = 1. Kuid ft = e 2 d 2 1 = j ϕ(n), millest järeldub, et ϕ(n) t. Seega on vajalike omadustega t leitud. 47

57 Teise kasutaja salajase astendaja leidmine: II Tegelikult ei ole alati (e 1, t) = 1 ja seetõttu ei tööta murdmisalgoritm alati. Näiteks kui n = 41 5 = 205, siis ϕ(n) = 160. Võttes e 1 = 3, saame et d 1 = 107; ja e 2 = 11, saame et d 2 = 131. Nüüd e 2 d 2 1 = 1440 = Seega f = (e 1, e 2 d 2 1) = (3, 9 160) = 3 ja t = e 2d 2 1 f = 9 160/3 = Seega, (e 1, t) =

58 Väike astendaja e Kasutajatel A, B ja C olgu vastavalt RSA moodulid n 1, n 2 ja n 3. Avalik astendaja on kõigil e = 3. Oletame, et üks ja sama sõnum m saadetakse korraga kõigile kolmele kasutajale ja ründaja saab kätte kõik krüptogrammid: y A = m 3 mod n 1, y B = m 3 mod n 2, y C = m 3 mod n 3. Ründaja toimib järgmiselt: Kui (n i, n j ) 1, siis ründaja tegurdab n i, leiab salajase võtme d i ja dekrüpteerib sõnumi m. Kui kolm moodulit n 1, n 2, n 3 on paarikaupa ühistegurita, siis vastane leiab x Z n1 n 2 n 3, nii et x y A (mod n 1 ) x y B (mod n 2 ) x y C (mod n 3 ) Kuna m < min{n 1, n 2, n 3 }, siis m 3 < n 1 n 2 n 3, mistõttu m 3 on samuti kongruenside süsteemi lahend hulgas Z n1 n 2 n 3. Hiina jäägiteoreemi tõttu x = m 3. Seega piisab m leidmiseks, kui leida 3 x, mis on lihtne! 49

59 Väike astendaja d RSA algoritmi praktilistes rakendustes võib tekkida kiusatus valida d väike. Selgub, et liiga väike d on ebaturvaline: d leidmine (M.Wiener): Kui q < p < 2q ja d < 1 3 n1/4, siis paarist (n, e) (kus ed 1 (mod ϕ(n))) saab efektiivselt arvutada d. Kui n on 1024-bitine, siis d peaks olema vähemalt 256-bitine. Lahtine probleem: Kui d < n 0.5, kas siis alati saab efektiivselt leida d? 50

60 Homomorfsus RSA krüpteerimisalgoritmil on järgmine omadus: E(m 1 m 2 ) = (m 1 m 2 ) e mod n = m e 1 me 2 mod n = E(m 1 ) E(m 2 ) mod n. Näiteks: E(2m) = E(2) E(m) mod n, mistõttu saab krüptogrammist E(m) ilma privaatvõtmeta efektiivselt koostada krüptogrammi E(2m). 51

61 Homomorfsuse kuritarvitamine: näide Olgu meil server, kellel on avalik võti (e, n). Kasutajad saadavad serverile krüpteeritud sõnumeid E(m), kusjuures m esimene bitt peab olema 1. Vastasel korral saadab server kasutajale veateate. Nõrkus: Serveriga suheldes, saab dekrüpteerida suvalise krüptogrammi E(m). 52

62 Homomorfsuse kuritarvitamine: näide Saadame serverile E(m) ja saame teada, kas m on paaris või paaritu. Arvutame ja saadame serverile E(2m) = E(2) E(m). Kui m < n 2, siis 2m < n ja 2m mod n on paaris ja saame veateate. Kui n 2 m < n, siis n 2m < 2n ja 2m mod n = 2m n on paaritu, sest n on paaritu ja 2m paaris. Seega, me ei saa veateadet! Seega, me saame teada, kummas vahemiku [0...n 1] pooles asub m. 53

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas

Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne

Διαβάστε περισσότερα

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed

Διαβάστε περισσότερα

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.

Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9

Διαβάστε περισσότερα

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.

Διαβάστε περισσότερα

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010 KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016 KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36 Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

Keerukusteooria elemente

Keerukusteooria elemente Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria

Διαβάστε περισσότερα

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

1 Entroopia ja informatsioon

1 Entroopia ja informatsioon Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

Mathematica kasutamine

Mathematica kasutamine mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α = KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α

Διαβάστε περισσότερα

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat

Διαβάστε περισσότερα

YMM3740 Matemaatilne analüüs II

YMM3740 Matemaatilne analüüs II YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2 Vahemikhinnangud Vahemikhinnangud Olgu α juhusliku suuruse X parameeter ja α = α (x 1,..., x n ) parameetri α hinnang. Kui ε > 0 on kindel suurus, siis vahemiku (α ε, α +ε) otspunktid on samuti juhuslikud

Διαβάστε περισσότερα

T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA

T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise

Διαβάστε περισσότερα

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5 1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................

Διαβάστε περισσότερα

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.

Διαβάστε περισσότερα

Energiabilanss netoenergiavajadus

Energiabilanss netoenergiavajadus Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)

Διαβάστε περισσότερα

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35 Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

1. Paisksalvestuse meetod (hash)

1. Paisksalvestuse meetod (hash) 1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.

Διαβάστε περισσότερα

Lambda-arvutus. λ-termide süntaks. Näiteid λ-termidest. Sulgudest hoidumine. E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv.

Lambda-arvutus. λ-termide süntaks. Näiteid λ-termidest. Sulgudest hoidumine. E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv. Lambda-arvutus λ-termide süntaks Näiteid λ-termidest Sulgudest hoidumine Lambda-arvutus E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv. E) abstraktsioon (λx. x) (((λx. (λf. (f x))) y)(λz. z)) (λx. y) (λx.

Διαβάστε περισσότερα

; y ) vektori lõpppunkt, siis

; y ) vektori lõpppunkt, siis III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina

Διαβάστε περισσότερα

Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test)

Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test) Peatükk 2 Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test) 2.1 Motivatsioon ja teststatistik Wilcoxoni astakmärgitesti kasutatakse kahe s~oltuva valimi v~ordlemiseks. Oletame näiteks, et soovime v~orrelda,

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika. EST meetod

Ehitusmehaanika. EST meetod Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Alustame nüüd Exceli põhiliste töövahenditega - funktsioonidega. Võtame esimesena sihikule Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi kogu

Διαβάστε περισσότερα

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül. Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)

Διαβάστε περισσότερα

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 (Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

Deformeeruva keskkonna dünaamika

Deformeeruva keskkonna dünaamika Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

Excel Statistilised funktsioonid

Excel Statistilised funktsioonid Excel2016 - Statistilised funktsioonid Statistilised funktsioonid aitavad meil kiiresti leida kõige väiksemat arvu, keskmist, koguarvu, tühjaks jäänud lahtreid jne jne. Alla on lisatud sellesse gruppi

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil 2002. a. IX klass Lahendamisaega on 5 tundi. Iga ülesande õige ja ammendavalt põhjendatud lahendus annab 7 punkti.

Διαβάστε περισσότερα

2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE

2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE Soojusõpetus 2 1 2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE 2.1. Mõõtmisteooria Füüsikalise suuruse üldise mõiste avab mõõtmisteooria. Mõõtmisteooria loogiline koht on enne füüsikakursust. Probleemide komplitseerituse

Διαβάστε περισσότερα

Ecophon Square 43 LED

Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 on täisintegreeritud süvistatud valgusti, saadaval Dg, Ds, E ja Ez servaga toodetele. Loodud kokkusobima Akutex FT pinnakattega Ecophoni laeplaatidega. Valgusti,

Διαβάστε περισσότερα