6 Mitme muutuja funktsioonid

Transcript

1 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad selle koordinaadid ehk üks reaalarvude järjestatud paar. Piirkonnaks nimetatakse (x, )-tasandi punktide alamhulka. Tasandilisi piirkondi hakkame tähistama sümboliga D. Näiteks piirkond D = {(x, ) x + 1} on tasandi niisuguste punktide hulk, mis asuvad koorinaatide alguspunktist mitte kaugemal kui üks ühik ehk ühikulise raadiusega ring koos seda ümbritseva ringjoonega. Piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajooneks rajoone punkte piirkonna rapunktideks. Rajoonel mitte asuvaid punkte nimetatakse piirkonna sisepuntideks. Piirkonda nimetatakse kinniseks, kui see sisaldab kõiki oma rapunkte, st sisaldab rajoont. Piirkonda nimetatakse lahtiseks, kui see ei sisalda ühtegi rapunkti. Edaspidi kujutame joonistel kinnise piirkonna rajoont pideva joonega lahtise piirkonna rajoont katkendliku joonega. Joonis 6.1. Kinnine lahtine ring Punkti ümbruseks tasandil nimetatakse suvalise raadiusega lahtist ringi, mille keskpunktiks on punkt ise. Kui ε > 0 on suvaline reaalarv, siis punkti (x 0, 0 ) ε-ümbruseks on lahtine ring U ε (x 0, 0 ) = {(x, ) (x x 0 ) + ( 0 ) < ε }. Reaalarvude kolmikute (x,, z) ruumi punktide hulga vahel on korraldatav üksühene vastavus. Ruumiliseks piirkonnaks on kogu ruumi alamhulk. Ruumilist piirkonna eraldab kogu ruumist mingisugune pind, mida nimetatakse piirkonna rapinnaks ehk raks. Rapinna punkte nimetatakse piirkonna rapunktideks rapinnal mittte asuvaid punkte piirkonna sisepunktideks. Kui piirkond sisaldab kõiki oma rapunkte, nimetatakse piirkonda kinniseks. 1

2 Kui piirkond ei sisalda ühtegi oma rapunkti, nimetatakse piirkonda lahtiseks. Seega, kinnine piirkond on piirkond koos seda ümbritseva rapinnaga, lahtine piirkond on piirkond ilma seda ümbritseva rapinnata. Ruumi punkti (x 0, 0, z 0 ) ε-ümbruseks nimetatakse lahtist kera U ε (x 0, 0, z 0 ) = {(x,, z) (x x 0 ) + ( 0 ) + (z z 0 ) < ε }, st kera keskpunktiga (x 0, 0, z 0 ) raadiusega ε. 6.1 Kahe muutu funktsiooni mõiste Olgu D tasandiline piirkond, mis võib olla ka kogu x-tasand. Definitsioon 1. Kui igale (x, ) D on vastavusse seatud muutu z kindel väärtus, siis muutut z nimetatakse kahe muutu x funktsiooniks tähistatakse z = f(x, ). Veel on kasutusel tähistused z = g(x, ), z = F (x, ), z = ϕ(x, ) või z = z(x, ). Kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) graafikule kuulub ruumiline punkt koordinaatidega (x,, f(x, )). Kõikide niisuguste punktide hulk moodustab ruumis pinna. Seega on kahe muutu funktsiooni graafikuks pind ruumis. Näide 1. Kahe muutu funktsiooni z = 1 x graafikuks on tasand, milles joonisel 6. on kujutatud esimesse oktanti jääv osa. z 1 1 x 1 Joonis 6.. Funktsiooni z = 1 x graafikust I oktanti jääv osa Näide. Kahe muutu funktsiooni z = x + graafikuks on pöördparaboloid, mis tekib parabooli z = pöörlemisel ümber z-telje.

3 z x Joonis 6.3. Pöördparaboloid Kui kahe muutu funktsioon ei ole ühene, kasutatakse selle esitamiseks ilmutamata kuju. Näide 3. Ilmutamata kujul esitatud kahe muutu funktsiooni x + + z = r graafikuks on sfäär keskpunktiga koordinaatide alguses raadiusega r. Kui avaldada sellest võrdusest muutu z, saame kaks ühest kahe muutu funktsiooni z = r x z = r x. Nendest esimese graafikuks on sfääri ülemine pool teisel alumine pool. Definitsioon. Kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) määramispiirkonnaks nimetatakse niisugust järjestatud paaride (x, ) (tasandi punktide ) hulka, millele antud eeskir kohaselt on võimalik vastavusse seada muutu z väärtust. Näide 4. Leiame funktsiooni z = ln(8 x )+ x määramispiirkonna kujutame selle x-tasandil Funktsioon on määratud, kui on täidetud tingimused { 8 x > 0 x 0. Esimesest tingimusest x + < 8 teiset x. Esimest tingimust rahuldavad x-tasandi punktid mis kuuluvad ringi keskpunktiga koordinaatide al- guses raadiusega. Et tingimuses võrdust 8-ga pole, siis ringi ümbritsev ringjoon hulka ei kuulu joonisel kujutame ringjoone katkendliku joonega. Teist tingimust rahuldavad x-tasandi punktid, mis jäävad paraboolist = x kõrgemale. Antud tingimuses on võrdus lubatud, seega parabool kuulub hulka joonisel kujutame selle pideva joonega. 3

4 x Joonis 6.4. Funktsiooni z = ln(8 x ) + x mnääramispiirkond 6. Kahe muutu funktsiooni graafiku tasandilõiked nivoojooned Kahe muutu funktsiooni graafiku joonestamisel on abiks selle lõiked tasanditega, mis on risti ühega kolmest koordinaatteljest (st paralleelne ühega koordinaattasanditest). Koordinaattasandite võrrandid on järgmised. z-tasandi võrrand on x = 0, xz-tasandi võrrand on = 0 x-tasandi võrrand z = 0. Tasand x = a on x-teljega risti, st z-tasandiga paralleelne. Tasand = b on -teljega risti ehk xz-tasandiga paralleelne. Tasand z = c on z-teljega risti ehk x-tasandiga paralleelne. c z z = c x = a = b b a x Joonis 6.5. Tasandid x = a, = b z = c Pinna z = f(x, ) tasandilõigeteks tasanditega x = a erinevate a väärtuste korral nimetatakse jooni { z = f(x, ) x = a, 4

5 pinna z = f(x; ) tasandilõigeteks tasanditega = b erinevate b väärtuste korral nimetatakse jooni { z = f(x, ) = b pinna z = f(x; ) tasandilõigeteks tasanditega z = c erinevate c väärtuste korral nimetatakse jooni { z = f(x, ) z = c, Viimaseid jooni nimetatakse ka pinna z = f(x, ) nivoojoonteks. Näide 1. Joonestame pinna x + z = 0, kasutades selleks nivoojooni, mis tekivad pinna lõikamisel tasanditega z = 0, z = ±1 z = ± ning lõiget tasandiga x = 0. Lõigates pinda tasandiga x-tasandiga z = 0, saame lõikejooneks x + = 0, z = 0 ehk koordinaatide alguspunkti, sest x + = 0 ainult juhul, kui x = 0 = 0. Lõigates pinda tasandiga tasandiga z = 1, saame lõikejooneks x + = 1, z = 1 ehk ringjoone raadiusega 1, mis asub tasandil z = 1 keskpunktiga z- teljel. Lõigates pinda tasandiga tasandiga z = 1, saame lõikejooneks x + = 1, z = 1 ehk ringjoone raadiusega 1, mis asub tasandil z = 1 keskpunktiga z-teljel. Lõigates pinda tasandiga tasandiga z =, saame lõikejooneks x + = 4, z = ehk ringjoone raadiusega, mis asub tasandil z = keskpunktiga z- teljel. Lõigates pinda tasandiga tasandiga z =, saame lõikejooneks x + = 4, z = ehk ringjoone raadiusega, mis asub tasandil z = keskpunktiga z-teljel. Joonestame need nivoojooned ruumilisse teljestikku (joonis 6.6). Kui lõigata pinda tasandiga x = 0, saame lõikejooneks z =, x = 0 ehk kaks ristuvat sirget z = z =, mis asuvad z-tasandil. Kui lisada need sirged teljestikku, on ilmne, et vaadeldav pind on koonus, mille tipp asub koordinaaatide alguspunktis. Funktsiooni x + z = 0 teisendamisel ilmutatud kujule saame kaks ühest haru z = x + z = x +, mille graafikuteks on vastavalt koonuse ülemine koonuse alumine pool. Näide. Joonestame pinna z = x, kasutades selleks lõikeid tasanditega = 0, x = ±1, x = ±0, 5 x = 0 ning nivoojooni, mis tekib pinna lõikamisel tasanditega z = 0 z = 0, 44. Teljestiku joonestame seekord ebaharilikult, võttes paberi tasadi xz-tasandiks suunates -telje tahapoole. Lõikeks tasandiga = 0 on parabool z = x, = 0. Lõigeteks tasanditega x = ±1 on paraboolid z = 1, x = 1 z = 1, x = 1. Lõigeteks tasanditega x = ±0, 5 on paraboolid z = 0, 5, x = 0, 5 z = 0, 5, x = 0, 5. 5

6 z 1 1 x 1 Joonis 6.6. Pinna x + z = 0 nivoojooned Lõikejooneks tasandiga z = 0 on kaks ristuvat sirget = x = x x-tasandil. Lõikejooneks tasandiga z = 0, 44 on võrdhaarne hüperbool x = 0, 44, mille reaalteljeks on -telg. Kolme muutu funktsiooni w = f(x,, z) graafiku nivoopindadeks nimetatakse pindu { w = f(x,, z) w = c. Võrrandisüsteemist saame, et f(x,, z) = c, st ilmutamata kujul kahe muutu funktsiooni, mille graafikuks on pind ruumis. Näide 3. Kolme muutu funktsiooni w = x + +z nivoopindadeks on pinnad x + +z = c, kus c > 0. Nendeks pindadeks on sfäärid keskpunktiga koordinaatide alguses, raadiusega c. 6

7 z 1 1 x 1 Joonis 6.7. Koonus 6.3 Funktsiooni osamuut täismuut Fikseerime kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) määramispiirkonnas D ühe punkti M(x, ). Jättes muutu konstantseks, muudame sõltumatut muutut x suuruse x võrra. Funktsiooni osamuuduks x järgi nimetatakse vahet x z = f(x + x, ) f(x, ) (6.1) Jättes muutu x konstantseks, muudame sõltumatut muutut suuruse võrra. Funktsiooni osamuuduks järgi nimetatakse vahet z = f(x, + ) f(x, ) (6.) Muutes argumenti x suuruse x argumenti suuruse võrra, liigume x-tasandi punktist M(x, ) punkti M (x + x, + ). Funktsiooni täismuuduks nimetatakse vahet z = f(x + x, + ) f(x, ) (6.3) Üldjuhul funktktsiooni osamuutude summa ei võrdu täismuuduga, st z x +. Näide 1. Leiame funktsiooni z = x osamuutude summa täissmuudu, kui x =, = 3, x = 0, = 0, 1. Osamuut x järgi x z = (x + x) x = x = 3 0, = 0, 6. Osamuut järgi z = x( + ) x = x = 0, 1 = 0,. Seega x z + z = 0, 8. 7

8 1 z 1 0, 5 0, 5 1 x Joonis 6.8. Hüperboolne paraboloid ehk sadulpind Täismuut z = (x + x)( + ) x = x + x + x = 0, , + 0, 0, 1 = 0, 8. Samasugusel viisil defineeritakse kolme muutu funktsiooni w = f(x,, z) osamuudud sõltumatute muutute x, z järgi ning täismuut. x w = f(x + x,, z) f(x,, z), w = f(x, +, z) f(x,, z), z w = f(x,, z + z) f(x,, z), w = f(x + x, +, z + z) f(x,, z). 6.4 Kahe muutu funktsiooni piirväärtus pidevus Kahe muutu funktsiooni korral on piirprotsessiks punkti P (x, ) lähenemine punktile P 0 (x 0, 0 ), mida märgitakse (x, ) (x 0, 0 ) või x x 0, 0. Punkt P võib punktile P 0 läheneda mööda suvalist trajektoori: mööda sirget, murdjoont, parabooli kaart jne. Sõltumata lähenemise trajektoorist jõuab punkt P igasse P 0 ümbrusse U δ (x 0, 0 ) olgu δ > 0 kui tahes väike. Definitsioon 1. Reaalarvu A nimetatakse funktsiooni f(x, ) piirväärtuseks piirprotsessis (x, ) (x 0, 0 ), kui ε > 0 korral leidub selline ümbrus U δ (x 0, 0 ), et niipea kui (x, ) U δ (x 0, 0 ), on f(x, ) A < ε. Teiste sõnadega, reaalarv A on funktsiooni f(x, ) piirväärtuseks piirprotsessis (x, ) (x 0, 0 ), kui funktsiooni väärtus f(x, ) on reaalarvule A kui tahes lähedal, võttes punkti P (x, ) punktile P 0 (x 0, 0 ) piisavalt lähedal. Seda tähistatakse lim f(x, ) = A. x x 0 0 8

9 Definitsioon. Funktsiooni f(x, ) nimetatakse pidevaks punktis P 0 (x 0, 0 ), kui 1. f(x 0, 0 ),. lim x x 0 0 f(x, ), 3. lim x x 0 0 f(x, ) = f(x 0, 0 ). Definitsioon 3. Funktsiooni nimetatakse pidevaks piirkonnas D, kui funktsioon on pidev selle piirkonna igas punktis. Tähistades x = x 0 + x = 0 +, saame, et x x 0 0 parasti siis, kui x 0 0. Pidevuse 3. tingimuse saame nüüd kirjutada lim f(x 0 + x, 0 + ) = f(x 0, 0 ) x 0 0 ehk lim x 0 0 Tähistame ϱ = x +. Siis [f(x 0 + x, 0 + ) f(x 0, 0 )] = 0. (6.4) ϱ 0 x 0 0. Tigimusest (6.4) saame kahe muutu pidevuseks punktis P 0 (x 0, 0 ) tarviliku piisava tingimuse lim z = 0. (6.5) ϱ 0 Näide 1. Arvutame piirväärtuse lim x 0 0 sin(x + ) x +. Tähistades ϱ = x +, on ilmne, et x 0 0 kui ϱ 0 ning lim x 0 0 sin(x + ) x + sin ϱ = lim = 1. ϱ 0 ϱ Näide. Näitame, et funktisoonil f(x, ) = piirprotsessis (x, ) (0; 0). x 3 x + puudub piirväärtus 9

10 Vaatleme kahte erinevat lähenemisviisi punktile (0; 0), lähtudes suvalisest punktist (x, ). Esimese lähenemisviisi korral jätame kõigepealt muutu konstantseks leiame funktsioonist piirväärtuse, kui x 0 x 3 lim x 0 x + = 3 = 3 ning seejärel leiame tuemusest piirväärtuse piirprotsessis 0 Seega lim( 3) = 3. 0 lim lim x 3 0 x 0 x + = 3. Teise lähenemisviisi korral jätame kõigepealt muutu x konstantseks leiame funktsiooni piirväärtuse piirprotsessis 0 x 3 lim 0 x + = x x = ning tulemusest piirväärtuse piirprotsessis x 0 Seega lim =. x 0 lim lim x 3 x 0 0 x + =. Et aga mõlema lähenemisviisi korral me mingil hetkel siseneme punkti (0; 0) igasse ümbrusse U δ (0; 0), olgu δ > 0 kui tahes väike, siis piirväärtuse definitsioonis esitatud tingimus ei ole täidetud. δ 1. viis (x, ). viis δ x Joonis 6.9. Kaks lähenemisviisi punktile (0;0) punkti (0;0) ümbrus U δ (0; 0) 10

11 6.5 Mitme muutu funktsiooni osatuletised Fikseerime kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) määramispiirkonnas ühe punkti P (x, ). Jättes muutu konstantseks, muudame muutut x suuruse x võrra leiame funktsiooni osamuudu x järgi x z. Definitsioon 1. Piirväärtust x = lim x z x 0 x = lim f(x + x, ) f(x, ) x 0 x (6.6) nimetatakse kahe muutu funktsiooni f(x, ) osatuletiseks x järgi. Osatuletist x järgi tähistatakse veel z x, f x(x, ), f x. Jättes muutu x konstantseks, muudame muutut suuruse võrra leiame funktsiooni osamuudu järgi z. Definitsioon 1. Piirväärtust = lim z 0 = lim f(x, + ) f(x, ) 0 (6.7) nimetatakse kahe muutu funktsiooni f(x, ) osatuletiseks järgi. Osatuletist järgi tähistatakse veel z, f (x, ), f. Kahe muut funktsiooni osatuletise leidmisel x järgi on muutu loetud konstsntseks. Ainaks muutuks selles definitsioonis on x. Samuti on osatuletise leidmisel järgi loetud konstantseks muutu x ainsaks muutuks definitsioonis on. Järelikult jäävad osatuletiste leidmisel kehtima kõik ühe muutu funktsiooni tuletise leidmise reeglid, millele lisandub reegel, et muutut mille järgi osatuletist ei leita, vaadeldakse konstandina. Näide 1. Leiame funktsiooni z = x 3 x osatuletised mõlema muutu järgi. Osatuletise leidmisel x järgi on muutu konstantne, seega diferentseerimisreeglite põhl x = x (x3 ) x (x ) = x (x3 ) x (x ) = 3x x = 3x x. Osatuletise leidmisel järgi on x konstantne. Diferentseerimisreeglite abil = (x3 ) (x ) = x 3 () x ( ) = x 3 x = x 3 x. Kehtima jääb ka liitfunktsiooni diferentseerimise reegel. Näide. Leiame funktsiooni z = arctan x osatuletised mõlema muutu järgi. Osatuletis x järgi x = ( x ) x ( ) x = + x 1 11 x (x) = x +.

12 Osatuletis järgi = = 1 ( x 1 + x + ) ( x ) ( ) x = + x x = x x +. ( ) 1 Kolme muutu funktsiooni w = f(x,, z) osatuletised muutute x, z järgi defineeritakse vastavalt w x = lim x w x 0 x = lim x 0 f(x + x,, z) f(x,, z), x w = lim w 0 = lim f(x, +, z) f(x,, z) 0 w = lim z w z 0 z = lim f(x,, z + z) f(x,, z) z 0 z Osatuletiste leidmisel kehtib sama reegel, mis kahe muutu funktsiooni osatuletiste leidmisel: kõiki muutuid, va. muutt, mille järgi osatuletist leitakse, vaadeldakse konstantidena. Näide 3. Leiame funktsiooni w = x z osatuletised kõigi muutute järgi. Osatuletise leidmisel muut x järgi on meil tegemist astmefunktsiooniga konstantse astendaga z, seega w x = z x z 1. Osatuletise leidmisel muutu järgi on tegemist eksponentfunktsiooniga, mille alus on x astendaks astmefunktsioon z, seega w = xz ln x z z 1. Osatuletise leidmisel muut z järgi on antud funktsioon eksponentfunktsioon alusega x. Astenda z on samuti eksponentfunktsioon alusega. Seega w = xz ln x z ln. 6.6 Täismuut täisdiferentsiaal Oletame, et kahe muutu funktsioon f(x, ) on pidev omab pidevaid osatuletisi ning punktis P (x, ) selle mingis ümbruses. Esitame funktsiooni x täismuudu z = f(x + x, + ) f(x, + ) + f(x, + ) f(x, ). 1

13 Esimeses kahes liikmes on muutumatu suurus, võrdne +. Kolmandas nelndas liikmes on x konstantne. Punktis P selle ümbruses on täidetud Lagrange i teoreemi eeldused. Järelikult leidub selline x (x, x + x), et f(x + x, + ) f(x, + ) = Teiseks leidub selline (, + ), et f(x, + ) x. x Osatuletiste pidevuse tõttu f(x, + ) f(x, ) = f(x, ). lim x 0 0 f(x, + ) x = f(x, ) x lim x 0 0 f(x, ) = f(x, ). Teoreemist lõpmatult kahanevate suuruste kohta saame, et f(x, + ) x f(x, ) = = f(x, ) x f(x, ) + β, kus α β on piirprotsessis ( x, ) (0; 0) lõpmatult kahanevad suurused. Funtksiooni täismuudu oks saame avaldise ( ) ( ) f(x, ) f(x, ) z = + α x + + β x ehk + α z = f f x + + α x + β. (6.8) x Punktis 6.4 võtsime kasutusels tähistuse ϱ = x +. Tingimuste x ϱ 1 ϱ 1 13

14 põhl on need tõkestatud suurused. Seega α x β on lõpmatult kahanevad suurused kui lõpmatult kahanevate tõkestatud suuruste korrutised. ϱ ϱ Piirväärtus α x + β lim ϱ 0 ϱ = lim α x ϱ 0 ϱ + lim β ϱ 0 ϱ = 0, st α x + β on ϱ suhtes ( x suhtes) kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus. Definitsioon. Kui täismuudu avaldises (6.8) esimene summa on x suhtes lineaarne teine summa samade muutute suhtes kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus, siis lineaarset osa nimetatakse kahe muut funktsiooni z = f(x, ) täisdiferentsiaaliks. Täisdiferentsiaali tähistatakse dz. Seega definitsiooni kohaselt Funktsiooni z = x korral x Funktsiooni z = korral dz = x + x. = 1, = 0, = 0 dz = dx = x. = 1 dz = d =. x Järelikult sõltumatute muutute x oks langevad diferentaiaali muudu mõisted kokku ning täisdiferentsiaal dz = dx + d. (6.9) x Näide 1. Leiame funktsiooni z = arctan x täisdiferentsiaali avaldise. Kasutades punkti 6.5 näites leitud osatuletisi, saame dz = x + dx x dx xd d =. x + x + Näide. Arvutame funktsiooni z = x + täismuudu täisdiferentsiaali väärtuse, kui x = 3, = 4, x = 0, = 0, 1. Täismuudu valemi (6.3) abil z = 3, + 4, = 7, 05 5 = 0, Täisdiferentsiaali arvutamiseks leiame x = 1 x + x = x x + = x +. 14

15 Siis 3 dz = , + 4 0, 6 0, 1 = , 4 = 0,. 5 Tehtud arvutustest nähtub, et täismuut täisdiferentsiaal erinevad vähem kui 0, 001 võrra, st suuruse võrra, mis on kaks suurusjärku väiksem kui x. Seda asolu arvestades saab täisdiferentsiaali kasutada kahe muutu funktsiooni väärtuste ligikaudsel arvutamisel. Kui x on piisavalt väikesed, siis z dz erinevad teineteisest suuruse võrra, mis on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus, kui x. Seega võime kirjutada z dz ehk f(x + x, + ) f(x, ) dx + x d. Siit saame ligikaudse arvutamise valemi f(x + x, + ) f(x, ) + f f dx + d. (6.10) x Näide 3. Arvutame täisdiferentsiaali abil ligikaudu, , 96. Siin valime f(x, ) = x 3, x =, = 1, x = 0, 03 = 0, 04. Osatuletised f x = 3x f = x3. Funktsiooni väärtus f(, 1) = 8 1 = 8 osatuletiste väärtused f x = = 1 f = 8 1 = 16. Valemist (6.10) ( + 0, 03) 3 (1 0, 04) = , , 04 = 7, 7. Kui kolme muutu funktsioon w = f(x,, z) selle osatuletised w x, w w on pidevad punktis P (x,, z) selle mingis ümbruses, siis sarnaselt valemile (6.8) on võimalik näidata, et täismuut w = w x x + w w + z + α x + β + γ z, (6.11) kus α x + β + γ z on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus kui ϱ = x + + z. Funktsiooni w täisdiferentsiaaliks nimetatakse avaldist dw = w w w dx + d + dz. (6.1) x 15

16 Viimases langevad sõltumatute muutute muudud diferentsiaalid kokku, st dx = x, d = dz = z. Näide 4. Leiame kolme muutu funktsiooni w = x z täisdiferentsiaali avaldise. Toetudes punkti 6.5 näite 3 tulemustele, kirjutame dw = z x z 1 dx + x z ln x z z 1 d + x z ln x z ln = ( ) dx = z z ln xd x z + + ln x ln. x 6.7 Ilmutamata funktsiooni osatuletised Olgu antud pidev funktsioon ilmutamata kujul F (x, ) = 0. (6.13) See võrdus määrab muutu muutu x (reeglina mitte ühese) funktsioonina. Funktisooni graafikuks on joon tasandil (joonis 6.10). Eeldame, et funktsioonil F (x, ) eksisteerivad punktis P (x, ) selle mingis ümbruses pidevad osatuletised et F (x, ) 0. Tuletame valemi d dx leidmiseks kahe muutu funktsiooni F (x, ) osatuletiste abil. + P Q F (x, ) = 0 x x + x x Joonis Ilmutamata funktsioon F (x, ) = 0 Fikseerime funktsiooni graagikul punkti P (x, ). Selle koordinaadid rahuldavad võrrandit (6.13). Muudame x muudu x võrra leiame punktile x+ x vastava funktsiooni väärtuse +. Et Q(x+ x, + ) on samuti funktsiooni graafiku punkt, rahuldavad selle punkti koordinaadid võrrandit F (x + x, + ) = 0. (6.14) Lahutades võrrandist (6.14) võrrandi (6.13), saame F (x + x, + ) F (x, ) = 0. 16

17 Viimase võrduse vasak pool on funktsiooni F (x, ) täismuut, st millest ehk F = 0. Tehted eelduste tõttu saame funktsiooni täismuudu avaldise (6.8) põhl F F x + + α x + β = 0, x ( ) ( ) F F + β = x + α x F x = x + α. F + β Leiame tekkinud võrduse mõlemalt poolt piirväärtuse piirprotsessis x 0. Vasaku poole piirväärtus on funktsiooni tuletise definitsiooni kohaselt d. Funktsiooni pidevuse tõttu ka 0. Et α β on piirprotsessis dx ( x, ) (0; 0) lõpmatult kahanevad suurused, siis lim x 0 0 ning pärast parema poole piirväärtuse leidmist saame d dx = F x F. α = 0 lim x 0 β = Seega saab ühe muutu ilmutamata funktsiooni tuletise leidmiseks kasutada ka valemit d dx = F x. (6.15) Näide 1. Leiame ilmutamata funktsiooni x a x = 0 tuletise d dx. Siin F (x, ) = x a x, seega F x = 4x 3 a x F = 4 3 a x. Valemi (6.15) järgi F d dx = 4x3 a x 4 3 a x = x(x a ) ( a x ). Vaatleme ilmutamata pidevat funktsiooni F (x,, z) = 0. See võrrand määrab muut z kahe muut x funktsioonina. Eeldame, et funktsioonil F (x,, z) eksisteerivad punktis P (x,, z) selle mingis ümbruses pidevad osatuletised F x, F F ning F z(x,, z) 0. 17

18 Funktsiooni z osatuletise leidmisel x järgi vaatleme muutut konstandina. Siis on võrrandis F (x,, z) = 0 ainult kaks muutt x z ning (6.15) järgi x = F x. (6.16) F z Samasuguse arutluse korral muutu oks = F. (6.17) Näide. Leiame ilmutamata kujul esitatud kahe muutu funktsiooni x + + z = r osatuletised x. Selleks leiame F x = x, F = F z = z. Valemi (6.16) järgi F z x = x z valemi (6.17) järgi = z. 6.8 Liitfunktsiooni osatuletised Olgu z kahe muutu u v funktsioon z = f(u, v) ning u v omakorda kahe muut x funktsioonid u = ϕ(x, ) v = ψ(x, ). Sellisel juhul z on liitfunktsioon muutte x suhtes, st z = f(ϕ(x, ), ψ(x, )) = F (x, ). Eeldame, et funktsioonidel u v on punktis P (x, ) selle mingis ümbruses pidevad osatuletised u x, u, v v ning funktsioonil z vastavas punktis (u, v) selle mingis ümbruses pidevad osatuletised x v. u Jättes argumeni konstantseks, muudame argumenti x suuruse x võrra. Sellele vastavad funktsioonide u v osamuudud x järgi x u x v. Need aga on funktsiooni z = f(u, v) argumentide muutudeks. Neile vastab funktsiooni täismuut, mis (6.8) järgi on z = u xu + v xv + α x u + β x v, kus α β on lõpmatult kahanevad suurused piirprotsessis ( x u, x v) (0; 0). Jagades viimase võrduse argumendi x muuduga x, saame z x = x u u x + x v v x + α xu x + β xv x. 18

19 Leiame mõlemalt poolt piirväärtuse piirprotsessis x 0. Vasakul saame liitfunktsiooni z osatuletise x järgi, sest z täismuut tekkis ainult x x muutmise tagajärjel, kusjuures jäi konstantseks. Eeldasime u v x ole- x masolu. Diferentseeruvusest muutu x järgi järeldub funktsioonide u v pidevus muutu x järgi, seega Järelikult ka lim xu = 0 x 0 lim xv = 0. x 0 lim α = lim β = 0. x 0 x 0 Kasutades veel funktsioonide u v osatuletiste definitsioone muutu x jägri, saame parema poole piirväärtuseks u u x + v v x + 0 u x + 0 v x. Kokkuvõttes saame liitfunktsiooni z = F (x, ) osatuletise x järgi leidmiseks valemi x = u u x + v v x. (6.18) Jättes muutu x konstantseks andes muutule muudu, saame kogu arutlust korrates valemi liitfunktsiooni z osatuletise leidmiseks muutu järgi = u u + v v. (6.19) Näide 1. Leiame x, kui z = ln(u + v), u = e x+ v = x +. Valemid (6.18) (6.19) sisaldavad kuut osatuletist. Leiame Valemi (6.18) järgi u = u u + v, u x = ex+, v x = x, v = 1 u + v ; u = ex+ ; v = 1; x = u u + v ex+ + 1 u + v x = u + v (uex+ + x) 19

20 valemi (6.19) järgi = u u + v ex+ + 1 u + v = 1 u + v (4uex+ + 1). Märkus. Kui z on kolme muut funktsioon z = f(u, v, w) lisaks funktsioonidele u v on w = χ(x, ), siis liitfunktsiooni z osatuletised muutute x järgi leitakse valemite abil. x = u u x + v v x + w w x. (6.0) = u u + v v + w w (6.1) Olgu nüüd z kolme muut x, u v funktsioon z = f(x, u, v), kus u = ϕ(x) v = ψ(x). Siis z on ühe muutu x liitfunktsioon z = f(x, ϕ(x), ψ(x)), mille tuletise dz leidmiseks saame valemi (6.0) abil. Et x tuletis x järgi dx dx = 1 u ning v on ühe muutu funktisoonid, siis dx dz dx = x + du u dx + dv v dx. (6.) Valemit (6.) nimetatakse täistuletise valemiks. Näide. Leiame dz dx, kui z = x + = x + 1. Antud juhul z on kahe muutu x funktsiooni, kus on muut x funktsioon. Antud olukorra oks annab täistuletise valem (6.) tulemuse dz dx = x + d dx = x + 1 x = x ( + 1 ) = x ( + 1 x + 1 ). Leiame punkti alguses vaadeldud liitfunktsiooni z = f(u, v), u = ϕ(x, ) v = ψ(x, ) täisdiderentsiaali dz = dx + d. (6.3) x Asendades valemitega (6.18) (6.19) määratud osatuletised sellesse avaldisse, saame ( u dz = u x + ) ( v u dx + v x u + ) v d v 0

21 ehk pärast teisendamist dz = u ( u u dx + x d ) + ( ) v v dx + v x d. Kuid sulgudes on vastavalt funktsioonide u v täisdiferentsiaalid Seega du = u u dx + x d dv = v v dx + x d. dz = du + dv, (6.4) u v Võrreldes omavahel täisdiferentsiaali avaldisi (6.3) (6.4) näeme, et mitme muutu funktsiooni täisdiferentsiaali kuju ei sõltu sellest, kas u v on sõltumaltud muutud või omakorda muutute x funktsioonid. Viimast omadust nimetatakse täisdiferentsiaali invariantsuse omaduseks. 6.9 Kõrgemat järku osatuletised Näidetest on selgunud, et kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) osatuletised on üldiselt kahe muutu funktsioonid. Seega on võimalik mõlemat x diferentseerida kahe muutu x järgi. Definitsioon 1. Kahe muutu funktisooni z = f(x, ) teist järku osatuletiseks x järgi z (loetakse de-ruut-dzett de-iks-ruut) nimetatakse osatuletise x järgi osatuletist x järgi, st x z x = ( ). x x Definitsioon. Kahe muutu funktisooni z = f(x, ) teist järku osatuletiseks x järgi nimetatakse osatuletise x järgi osatuletist järgi, z x st z x = ( ). x Definitsioon 3. Kahe muutu funktisooni z = f(x, ) teist järku osatuletiseks x järgi nimetatakse osatuletise järgi osatuletist x järgi, z x st z x = x 1 ( ).

22 Definitsioon 4. Kahe muutu funktisooni z = f(x, ) teist järku osatuletiseks järgi z nimetatakse osatuletise järgi osatuletist järgi, st z = ( ). Nende teist järku osatuletiste oks kasutatakse veel tähistusi vastavalt z xx, z x, z x z või f xx(x, ), f x(x, ), f x(x, ) f (x, ). Saadud teist järku osatuletised on omakorda kahe muutu x funktsioonid. Seega saab kõigist nelst leida osatuletised x järgi. nii saadakse kaheksa kolmandat järku osatuletist 3 z x = ( ) z 3 z, 3 x x x = ( ) z, x 3 z x x = x 3 z x = x 3 z x = x ( z x ( ) z, x ( z ), 3 z x = ( z x 3 z x = ( z x 3 z = ( ) z 3 ), ), ), Näide 1. Leiame kahe muutu funktsiooni z = arctan x osatuletised. Punkti 6.5 näites leidsime, et teist järku z x = x x = x + = x x + Leiame ( ) = ( ) ( ) 1 x = x + x x + (x + ) z x = ( ) = x + = x x + (x + ) (x + ) z x = ( x ) = x + x x = x x x + (x + ) (x + ) ( x ) = x ( ) ( ) 1 = x = x + x + (x + ) z = = x (x + ) x (x + ) Esitatud näite põhl võib püstitada küsimuse, kas teist järku osatuletised z x z x

23 on alati võrdsed. Alati see nii ei ole, aga teatud tingimustel siiski. Tõestuseta formuleerime teoreemi. Teoreem. Kui kahe muutu funktsioon z = f(x, ) selle osatuletised x,, z x z on pidevad punktis P selle mingis ümbruses, siis x punktis P z x = z x Valike osatuletiste pidevuse korral ei sõltu ka kõrgemat järku osatuletised diferentseerimise järjekorrast, vaid ainult sellest, mitu korda on kummagi muutu järgi diferentseeritud. Näiteks võime kõigi madalamat järku osatuletiste ka vaadeldavate osatuletiste pidevuse korral punktis selle ümbruses kirjutada 4 z x x = 4 z x = 4 z x Samasugune teoreem kehtib ka kolme enam muutu funktsiooni puhul. Näide. Leiame kolme muutu funktsiooni w = e x sin(z) kolmandat 3 w järku osatuletised x 3 w x. Esimese kolmandat järku osatuletise oks leiame kõigepealt siis kolmandaks w x = ex sin(z), w x = ex cos(z) z = ze x cos(z) 3 w x = ex cos(z) + z( e x sin(z)) = e x [cos(z) z sin(z)] Teise kolmandat järku osatuletise oks leiame seejärel lõpuks w = ex cos(z) w x = ex cos(z) 3 w x = ex cos(z) e x sin(z) z = e x [cos(z) z sin(z)]. 3

24 6.10 Tuletis antud suunas Käesolevas punktis seame eesmärgiks leida mitme muutu funktsiooni tuletis antud punktis mingi vektori suunas. Alustame kahe muut funktsioonist z = f(x, ) tuletame valemi tuletise arvutamiseks punktis P (x, ) vektori s = ( x, ) suunas (joonis 6.11). Eeldame, et funktsioon z = f(x, ) selle osatuletised x on pidevad punktis P selle mingi ümbruses. + s P x x + x x Joonis Punkti P rakendatud vektor Tähistame vektori s pikkuse s = x +. Argumentide muutudele x vastav täismuudu avaldis on (6.8) järgi z = x + x + ε 1 x + ε, kus ε 1 ε on piirprotsessis s 0 lõpmatult kahanevad suurused. Jagades viimase võrduse vektori s pikkusega, saame z s = x x s + s + ε x 1 s + ε s Suhted x s s on vektori s suunalise ühikvektori s koordinaadid. Kui tähistada vektori s koordinaattelgede positiivsete suundade vahelisi nurki α β, on ilmne,et x = cos α s s = cos β Seepärast nimetatakse neid suhteid, st vektori suunalise ühikvektori koordinaate, vektori s suunakoosinusteks. Definitsioon. Piirväärtust z lim s 0 s 4

25 + s P β α x x + x x Joonis 6.1. nimetatakse funktsiooni z tuletiseks punktis P vektori s suunas tähistatakse s. Et ( ) x lim ε 1 s 0 s + ε = 0, s siis saame suunatuletise leidmiseks valemi s = cos α + cos β (6.5) x Näide 1. Leiame funktsiooni z = x + tuletised punktis P (1; 1) vektorite s 1 = (1; 1) s = (1; 1) suunas. Kõigepealt arvutame funktsiooni osatuletised punktis P x = x = P = = P Leides vektori s 1 pikkuse s 1 =, saame suunakoosinusteks cos α = 1 cos β = 1 ning s 1 = = Leides vektori s pikkuse s =, saame suunakoosinusteks cos α = 1 cos β = 1 ning s = = 0

26 Seega, lähtudes ühest samast punktist x-tasandil saame erinevas suunas liikudes erinevad suunatuletiste väärtused. Suunatuletise väärtus iseloomustab funktsiooni kasvukiirust lähtudes antud punktist etteantud suunas. Suunatuletis on osatuletiste x järgi üldistuseks. Kui vektor s on x telje suunaline, siis α = 0, β = π, cos α = 1 cos β = 0 ning s = x. Kui vektor s on telje suunaline, siis α = π, β = 0, cos α = 0 cos β = 1 ning s =. Seega funktsiooni tuletis x-telje suunas on selle funktsiooni osatuletis x järgi -telje suunas osatuletis järgi. Kolme muutu funktsiooni w = f(x,, z) tuletise leidmiseks punktis P (x,, z) vektori s = ( x,, z) suunas kehtib sarnane valem. Tähistagu α, β γ vastavalt nurki vektori s x-teje, vektori s -telje ning vektori s z-telje vahel. Siis vektori s suunakoosinused on cos α, cos β cos γ ning suunatuletis leitakse valemist w s = w w w cos α + cos β + cos γ (6.6) x Näide. Leiame funktsiooni w = x + xz + z tuletise punktis P (1; 1; ) suunas, mis moodustab koordinaattalgedega nurga 60, Arvutame osatuletised punktis P w x = + z w = 3, P = x + z = 3 P ning suunakoosinused w = x + = P s = (cos 60 ; cos 60 ; cos 45 ) = ( 1 ; 1 ; ). Valemi (6.6) järgi leiame w s = =

27 6.11 Gradient Kahe muutu funktsioon z = f(x, ) seab igale punktile P (x, ) funktsiooni määramispiirkonnast D vastavusse muutu z väärtuse ehk skalaari. Igale määramispiirkonna punktile vastab skalaar. Seega saab kahe muutu funktsioonist kõneleda kui skalaarvälst. Kolme muutu funktsioon w = f(x,, z) seab igale ruumi punktile P (x,, z) funktsiooni määramispiirkonnast V vastavusse skalaari, st piirkonnas V tekitab kolme muutu funktsioon skalaarväl. Definitsioon 1. Skalaarväl z = f(x, ) gradientvektoriks ehk gradiendiks nimetatakse vektorit ( grad z = x, ) (6.7) Definitsioon. Skalaarväl w = f(x,, z) gradientvektoriks ehk gradiendiks nimetatakse vektorit ( w grad w = x, w, w ) (6.8) Esimesel juhul tekib tasandi mingis punktihulgas teisel juhul ruumi punktihulgas vektorväli, mida nimetatakse gradientide välks. Arvestdes sellega, et s = (cos α, cos β), saab suunatuletise arvutamise valemi (6.5) kirjutada gradiendi vektori s skalaarkorrutisena Et s = s s, siis s = grad z s s s = grad z s = gradz grad z s grad z s, kus grad z on gradientvektori pikkus. Kui tähistada gradiendi vektori s vahelist nurka ϕ, siis cos ϕ = grad z s grad z s = grad z cos ϕ. (6.9) s Tulemuse sõnastame teoreemina. Teoreem 1. Funktsiooni z = f(x, ) tuletis vektori s suunas võrdub gradientvektori projektsiooniga vektori s suunale. Sellest teoreemist teeme kaks järeldust. Järeldus 1. Tuletis gradiendiga ristuvas suunas võrdub nulliga. 7

28 Järelus on ilmne, sest antud juhul ϕ = π s = 0. Järeldus. Tuletis on suurim gradiendi suunas arvuliselt võrdne gradiendi pikkusega. Põhjenduseks piisab märkida, et koosinusfunktsioon saavutab oma maksimaalse väärtuse 1, kui ϕ = 0. Näide 1. Leiame funktsiooni z = x + suurima kasvukiiruse punktis P (1; 1). Funktsiooni kasvukiirust iseloomustab funktsiooni tuletis. Seega on suurim kasvukiirus võrdne gradientvektori pikkusega. Leiame grad z = (x, ) = (; ) P f selle pikkuse grad z =. Tulemus ühtib eelmise punkti näites 1 leitud tuletisega vektori s 1 suunas, mis on loomulik, sest vektor s 1 = (1; 1) on gradiendi suunaline. Teoreem. Gradient on risti nivoojoone puutuga. Tõestus. Kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) graafiku nivoojoone projektsioon x-tasandil on f(x, ) = c. Nivoojoone puutu suunaline vektor on ( s = 1; f ) x = 1 (f f, f x) gradiendi ning puutu suunalise vek- tori skalaarkorrutis grad z s = f xf f f x = 0, st gradient on nivoojoone puutuga risti. Järeldusest 1 saame nüüd. Järeldus 3. Funtksiooni tuletis nivoojoone puutu suunas võrdub nulliga. Eelmise punkti näites 1 antud vektor s on nivoojoone puutu suunaline, seega on loomulik, et tuletis selle vektori suunas võrdub nulliga. 6.1 Divergents rootor Eelmises punktis vaadeldud gradientide väli on üks näide vektorvälst. Käesolevas punktis vaatleme mis tahes vektorväl F = (X(x,, z); Y (x,, z); Z(x,, z)), milles kõik koordinaadid on üldjuhul oma rakenduspunkti P (x,, z) funktsioonid. Tüüpilisteks vektorväldeks on kiiruste väli jõuväli. Definitsioon 1. Vektorväl F divergentsiks punktis P (x,, z) nimetatakse skalaari div F = X x + Y + Z (6.30) Definitsioon. Vektorväl F rootoriks punktis P (x,, z) nimetatakse vektorit rot ( Z F = Y ; X Z x ; Y x X ) (6.31) 8

29 Näide 1. Leiame vektorväl ( F = xz; x + z ; x ) divergentsi rootori. z Antud näites X = xz, Y = x + z, Z = x X Y, seega = z, z x = 0 Z = x z ning div F = z x z Edasi leiame rootorvektori koordinaadid Z Y = x z z Seega X Z x = x z Y x X = x xz rot ( x F = z z; x ) z ; x xz Välteoorias kasutatakse formaalset vektorit. Definitsioon 3. Hamiltoni nablavektoriks ehk Hamiltoni nablaoperaatoriks nimetatakse vektorit ( = x ; ; ) Kasutades seda operaatorit tavalise vektorina, saame skalaarväl w = f(x,, z) korral ( w = x ; ; ) ( w w = x ; w ; w ) = grad w Nablavektori vektorväl F = (X(x,, z); Y (x,, z); Z(x,, z)) skalaarkorrutis ( F = x ; ; ) (X; Y ; Z) = X x + Y + Z = div F Nablavektori vektorväl F = (X(x,, z); Y (x,, z); Z(x,, z)) vektorkorrutis ( F = x ; ; ) ( Z (X; Y ; Z) = Y ; X Z x ; Y x X ) = rot F Seega saame Hamiltoni nabloperaatori abil lühidalt kirjutada grad w = w, 9

30 div F = F, rot F = F. Definitsioon 4. Nablavektori skalaarruutu = nimetatakse Laplace i operaatoriks tähistatakse = Skalaarkorrutise arvutusvalemi järgi = x + + Näide. Leiame funktsiooni w = e x sin(z) Laplace i operaatori. Esiteks w x = ex sin(z) siis w = zex cos(z) w = ex cos(z) w = w x + w + w = e x sin(z) z e x sin(z) e x sin(z) = e x sin(z)(1 z ) = w(1 z ) Lõpuks näitame, et skalaarväl w = f(x,, z) vektorväl F = (X; Y ; Z) korral kehtivad võrdused. Lause 1. div grad w = w Tõestuseks kirjutame ( div grad w = grad w = x ; ; ) ( w x ; w ; w ) = w w w x + + Lause. div w F = grad w F + w div F Tõestus. Väljendades divergentsi Hamiltoni nablaoperaatori kaudu, saame div w F = w ( F = x ; ; ) (wx; wy ; wz) = x (wx) + (wy ) + (wz) = w x X + w X x + w Y + w Y + w Z + w Z ( w = x ; w ; w ) ( X (X; Y ; Z) + w x + Y + Z ) = grad w F + w div F 30

31 Lause 3. rot w F = grad w F + w rot F Tõestus. Kirjutades rootori Hamiltoni nablaoperaatori kaudu, saame rot w F = w ( F = x ; ; ) (wx; wy ; wz) ( (wz) = (wy ) ; (wx) (wz) x ; (wy ) (wx) ) x ( w = Z + w Z w Y w Y ; w X + w X w x Z w Z x ; w x Y + w Y x w X w ( w = Z w Y ; w X w w Z; x x Y w ) X ( Z + w Y ; X Z x ; Y x X ) = grad w F + w rot F 6.13 Kahe muutu funktsiooni Talori valem Ühe muutu funktsiooni Talori valemi eesmärgiks on esitada mis tahes funktsiooni punkti x = a ümbruses võimalikult täpselt hulkliikmena x a astmete järgi. Kui funktsioon f(x) selle tuletised kuni n + 1 järguni on pidevad punktis a selle ümbruses, siis f(x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a)! Talori valemi jääkliikme Lagrange i kuju on (x a) f (n) (a) (x a) n + R n (x) n! (6.3) R n (x) = (x a)n+1 f (n+1) [a + Θ(x a)] (6.33) (n + 1)! kus 0 < Θ < 1, st a + Θ(x a) on mingisugune punkt a x vahel. Olgu kahe muutu funktsioon f(x, ) selle osatuletised piisavalt kõrge järguni pidevad punktis A(a, b) selle mingis ümbruses. Kahe muutu funktsiooni korral piirdume. järku Talori valemiga. Fikseerime väärtuse arendame ühe muutu funktsiooni f(x, ) valemi (6.3) põhl x a astmete järgi f(x, ) = f(a, ) + f x(a, ) (x a) + f xx(a, ) (x a) + R,1 (x, ) (6.34) 1!! (x a)3 kus R,1 (x, ) = f 3! xxx(ξ, ) ξ on mingi punkt a x vahel. Edasi arendame f(a, ), f x(a, ) f xx(a, ) Talori valemi (6.3) põhl b astmete järgi. Esiteks f(a, ) = f(a, b) + f (a, b) ( b) + f (a, b) ( b) + R, (a, ) 1!! 31

32 kus R, (a, ) = kus R,3 (a, ) = ( b)3 f 3! (a, η 1 ) η 1 on punkt b vahel. Teiseks f x(a, ) = f x(a, b) + f x(a, b) ( b) + R,3 (a, ) 1! ( b) f! x(a, η ) η on punkt b vahel. Kolmandaks f xx(a, ) = f xx(a, b) + R,4 (a, ) kus R,4 (a, ) = b f 1! xx(a, η 3 ) η 3 on punkt b vahel. Asendades kõik kolm avaldisse (6.34), saame f(x, ) = f(a, b) + f (a, b) ( b) + f (a, b) ( b) + R, (a, ) 1!! + x a [f x(a, b) + f ] x(a, b) ( b) + R,3 (a, ) 1! 1! (x a) + [f! xx(a, b) + R,4 (a, )] + R,1 (x, ) ehk pärast nurksulgude avamist liikmete ümberjärjestamist f(x, ) = f(a, b) + f x(a, b) (x a) + f (a, b) ( b) 1! 1! + f xx(a, b) (x a) + f x(a, b) (x a)( b) + f (a, b) ( b)! 1!! (x a) + R,1 (x, ) + R, (a, ) + (x a)r,3 (a, ) + R,4 (a, )! Tähistades teist järku Talori valemi jääkliikme R = R,1 (x, ) + R, (a, ) + (x a)r,3 (a, ) + (x a) R,4 (a, )! saame kahe muutu funktsiooni f(x, ) teist järku Talori valemi punkti A(a, b) ümruses (ehk x a b astmete järgi) f(x, ) = f(a, b) + f x(a, b) 1! + 1! (x a) + f (a, b) ( b) 1! [ f xx(a, b)(x a) + f x(a, b)(x a)( b) + f (a, b)( b) ] + R Tähistame jääkliikme R = (x a)3 f 3! xxx(ξ, ) + ( b)3 3! + (x a) f (a, η 1 ) ( b) f! x(a, η ) + (x a) ( b)f! xx(a, η 3 ) 3

33 avaldises x a = x b =, saame R = 1 3! [ ( x) 3 f xxx(ξ, ) + 3( x) f xx(a, η 3 ) + 3 x( ) f x(a, η ) + ( ) 3 f (a, η 1 ) ] ehk traditsioonilist tähistust ϱ = ( x) + ( ) kasutades R = ( ϱ)3 3! [ ] ( x) 3 ( ϱ) f xxx(ξ, ) + 3( x) f 3 ( ϱ) xx(a, η 3 3 ) + 3 x( ) f ( ϱ) x(a, η 3 ) + ( )3 ( ϱ) f (a, η 3 1 ) Eelduse kohaselt on nurksulgudes olevad kolmandat järku osatuletised pidevad punkti A(a, b) ümbruses, seega tõkestatud. Lisaks on x ϱ 1 ϱ 1. Seega on jääkliikme R avaldises ( ϱ) 3 korda tõkestatud suurus. Tähistades selle α 0, saame R = α 0 ( ϱ) 3 viimast kasutades on kahe muutu funktsiooni Talori valem f(x, ) = f(a, b) + f x(a, b) (x a) + f (a, b) ( b) 1! 1! + 1 [ f! xx(a, b)(x a) + f x(a, b)(x a)( b) + f (a, b)( b) ] + α 0 ( ϱ) 3 (6.35) 6.14 Kahe muutu funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe muutu funktsioonil on punktis P 1 (x 1, 1 ) lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus U ε (x 1, 1 ), et iga P (x, ) U ε (x 1, 1 ) on f(x, ) < f(x 1, 1 ). Definitsioonis on eeldatud, et punkt P (x, ) erineb punktist P 1 (x 1, 1 ). Definitsioon. Öeldakse, et kahe muutu funktsioonil on punktis P (x, ) lokaalne miinimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus U ε (x, ), et iga P (x, ) U ε (x, ) on f(x, ) > f(x, ). Näide 1. Definitsioon järgi on kahe muutu funktisoonil z = x + punktis P 0 (0; 0) lokaalne miinimum, sest f(0; 0) = 0 mis tahes punktist P 0 erineva punkti P (x, ) korral f(x, ) = x + > 0. Näide. Funktsioonil z = x ei ole punktis P 0 (0; 0) lokaalset ekstreemumi, sest f(0; 0) = 0, aga igasugune U ε (0; 0) sisaldab nii x- kui ka -telje punkte ning x-telje punktides = 0 z = x > 0, -telje punktides x = 0 z = < 0. Kui kahe muutu funktsioonil on punktis P 0 (x 0, 0 ) lokaalne ekstreemum, siis on lokaalne ekstreemum ka kahe muutu funktisooni graafikuks oleva pinna tasandilõikel tasandiga = 0, st ühe muutu funktsioonil z = f(x, 0 ). Sellisel juhul punktis P 0 kas = 0 või puudub. Samuti on x 33

34 lokaalne ekstreemum tasandilõikel tasandiga x = x 0, st ühe muut funktsioonil z = f(x 0, ). Siis punktis P 0 kas = 0 või puudub. Definitsioon 3. Punkte, kus = 0 või puudub = 0 või puudub, x nimetatakse kahe muut funktsiooni kriitilisteks punktideks. Kokku võttes võime sõnastada teoreemi. Teoreem 1. (Lokaalse ekstreemumi olemasoluks tarvilik tingimus) Kui kahe muutu funktsioonil z = f(x, ) on punktis P 0 lokaalne ekstreemum, siis punkt P 0 on selle kahe muutu funktsiooni kriitiline punkt. Viimane tingimus on tarvilik lokaalse ekstreemumi olemasoluks, st mul kui kriitilises punktis kahe muutu funktsioonil lokaalset ekstreemumi ei ole. Aga see tingimus ei ole piisav ekstreemumi olemasoluks. Näites vaadeldud funktsiooni z = x osatuletised = x = võrduvad mõlemad 0-ga punktis P 0 (0; 0), aga nagu veendusime, selles punktis antud kahe x muutu funktsioonil lokaalset ekstreemumi ei ole. Seega tekib probleem, kuidas teha kindlaks, kas kahe muutu funktsioonil on kriitilises punktis lokaalset ekstreemumi kummaga on tegemist, kas lokaalse maksimumi või lokaalse miinimumiga. Edaspidi vaatleme ainult niisuguseid kriitilisi punkte, kus mõlemad osatuletised võrduvad 0-ga, st kriitilisi punkte, mis on võrrandisüsteemi x = 0 = 0 (6.36) lahenditeks. Selliseid punkte nimetatakse kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) statsionaarseteks punktideks. Olgu P 0 kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) statsionaarne punkt. Arvutame teist järku osatuletiste väärtused punktis P 0 tähistame A = z x, B = z C = z P0 x. P0 Teoreem. (Piisavad tingimused kahe muutu funktsiooni lokaalse ekstreemumi olemasoluks) Olgu P 0 kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) statsionaarne punkt. 1. Kui AC B > 0 A < 0, siis on kahe muutu funktsioonil statsionaarses punktis P 0 lokaalne maksimum.. Kui AC B > 0 A > 0, siis on kahe muutu funktsioonil statsionaarses punktis P 0 lokaalne miinimum. 3. Kui AC B < 0, siis kahe muutu funktsioonil statsionaarses punktis P 0 lokaalset ekstreemumi ei ole. 34 P0

35 Tõestus. Piirdume esimese väite tõestusega. Kasutame kahe muutu funktsiooni Talori valemit (6.35) tähistades selles a = x 0, b = 0, x x 0 = x, 0 =, millest x = x 0 + x = 0 +. Eelduse kohaselt on P 0 kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) statsionaarne punkt, seega f x(x 0, 0 ) = 0 f (x 0, 0 ) = 0 ning valemist (6.35) kasutusele võetud tähistusi arvestades f(x 0 + x, 0 + ) = f(x 0, 0 )+ 1! kus endiselt ϱ = ( x) + ( ). Teisendame viimast võrdust f(x 0 + x, 0 + ) f(x 0, 0 ) = ( ϱ)! [ A( x) + B x + C( ) ] +α 0 ( ϱ) 3 [A ( x) x + B ( ϱ) ( ϱ) + C ( ) ] ( ϱ) + α 0 ϱ (6.37) Siin P (x 0 + x, 0 + ) suvaline punkt P 0 (x 0, 0 ) ümbrusest. Tähistame vektori P 0 P x-telje positiivse suuna vahelise nurga ϕ-ga (joonis 6.13). Sellisel juhul cos ϕ = x sin ϕ = ehk x = ϱ cos ϕ = ϱ sin ϕ. ϱ ϱ P 0 ϕ P x 0 x 0 + x x Joonis Asendades need võrdusesse (6.37) saame f(x 0 + x, 0 + ) f(x 0, 0 ) = ( ϱ)! [ A cos ϕ + B cos ϕ sin ϕ + C sin ϕ + α 0 ϱ ] Korrutades gades nukrsulgudes esimest kolme liiget suurusega A [ f(x 0 + x, 0 + ) f(x 0, 0 ) = ( ϱ) A cos ϕ + AB cos ϕ sin ϕ + AC sin ϕ! A 35 ] + α 0 ϱ

36 Kui nurksulgudes tekkinud murru lugele liita B sin ϕ B sin ϕ, siis [ f(x 0 + x, 0 + ) f(x 0, 0 ) = ( ϱ) (A cos ϕ + B sin ϕ) + (AC B ) sin ϕ! A Et A cos ϕ+b sin ϕ sin ϕ ei saa korraga võrduda nulliga, siis eelduse AC B > 0 tõttu on luges positiivne avaldis murd eelduse A < 0 tõttu negatiivne. Küllalt väikste x, st küllalt väikese ϱ korral on kogu nurksulgudes olev avaldis negatiivne, järelikult ehk f(x 0 + x, 0 + ) f(x 0, 0 ) < 0 f(x 0 + x, 0 + ) < f(x 0, 0 ) mis tõestabki, et funktsioonil f(x, ) on punktis P 0 = (x 0 ; 0 ) lokaalne maksimum. Märkus Kui AC B = 0, siis kahe muutu funktsiooni ekstreemumi kindlakstegemisel on va täiendavaid vahendeid. Teoreem jätab sellisel juhul küsimuse lahtiseks. Näites 1 vaadeldud funktsiooni z = x + statsionaarse punkti P 0 (0; 0) saame võrrandisüsteemi (6.36) { x = 0 lahendina. Leiame = 0 A = z x =, B = z x = 0 C = z =. Seega AC B = 4 > 0 A > 0. Järelikult on teoreemi põhl kahe muutu funktsioonil z = x + statsionaarses punktis P 0 (0; 0) lokaalne miinimum. Näites vaadeldud funktsiooni z = x statsionaarse punkti P 0 (0; 0) saame võrrandisüsteemi (6.36) { x = 0 = 0 ] + α 0 ϱ lahendina. Leiame A = z x =, B = z x = 0 36

37 C = z =. Seega AC B = 4 < 0. Järelikult teoreemi põhl kahe muutu funktsioonil z = x statsionaarses punktis P 0 (0; 0) lokaalset ekstreemumi ei ole Kahe muutu funktsiooni globaalsed ekstreemumid Globaalseteks ekstreemumiteks nimetatakse kahe muutu funktsiooni suurimat vähimat väärtust antud piirkonnas. Olgu kahe muutu funktsioon z = f(x, ) pidev tõkestatud kinnises piirkonnas D. Toetume kahele omadusele. Omadus 1. Tõkestatud kinnises piirkonnas D pidev kahe muutu funktsioon f(x, ) omab suurimat vähimat väärtust selles piirkonnas. Omadus. Tõkestatud kinnises piirkonnas D pidev kahe muutu funktsioon f(x, ) omandab suurima vähima väärtuse kas kriitilises punktis või piirkonna D rajoonel. Need omadused annavad ühtlasi eeskir, kuidas leida kahe muutu funktsiooni suurimat vähimat väärtust tõkestatud kinnises piirkonnas. 1. Leiame piirkonda D kuuluvad kahe muutu funktsiooni f(x, ) kriitilised punktid P 1, P,... arvutame funktsiooni väärtused nendes punktides f(p 1 ), f(p ),.... Leiame kahe muutu funktsiooni suurima vähima väärtuse piirkonna D rajoonel või selle erinevatel osadel. 3. Kõikide leitud väärtuste hulgast valime suurima vähima. Näide. Leiame funktsiooni z = x + x 4x suurima vähima väärtuse kolmnurgas, mis on piiratud sirgetega x = 0, = 0 x + = 4. Leiame kriitilised punktid. Osatuletised x Võrrandisüsteemi { x + 4 = 0 x = 0 = x+ 4 = x. lahendina saame ühe kriitilise punkti P 0 (1; 1) see kuulub vaadeldavasse piirkonda. Funktsiooni väärtus selles punktis f(1; 1) = 3. Piirkonna rajoon koosneb kolmest osast. Esimese osa võrrand on x = Sellel raosal tuleb leida ühe muutu funktsiooni z = suurim vähim väärtus lõigul [0; 4]. Kriitilisi punkte ei ole, sest z =. Funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on z(0) = 0 z(4) = 8. Teise raosa võrrand on = 0 0 x 4. Sellel raosal tuleb leida ühe muutu funktsiooni z = x 4x surim vähim väärtusa lõigul [0; 4]. Võrrandist z = 0 ehk x 4 = 0 saame kriitilise punkti x =. See kuulub 37

38 vaadeldavasse lõiku funktsiooni väärtus z() = 4. Funktsiooni väärtused lõigu otspunktides z(0) = 0 z(4) = 0. Kolmanda raosa võrrand on = 4 x 0 x 4. Sellel raosal tuleb seega leida ühe muut funktsiooni z = x + 6x 8 suurim vähim väärtus lõigul [0; 4]. Võrrandist z = 0 ehk x+6 = 0 saame kriitilise punkti x = 3. Funktsiooni väärtus selles z(3) = 1. Lõigu otspunktidele vastavad kaks kolmnurga tippu, milles funktsiooni väärtused on juba leitud (z(0) = 8 z(4) = 0). Seega on funktsiooni vähim väärtus 8, selle saavutab funktsioon punktis (0; 4). Suurim väärtus on 1 selle saavutb funktsioon punktis (3; 1), st z min = z(0; 4) = 8 z max = z(3; 1) = Kahe muutu funktsiooni tinglikud ekstreemumid Kõigepealt vaatleme näidet, kuidas tekivad tingliku ekstreemumi ülesanded. Näide. Plekitahvlist pindalaga a tuleb valmistada risttahukakujuline kinnine karp. Millised peavad olema selle karbi mõõtmed, mille korral ruumala oleks maksimaalne. Tegemist on tüüpilise lisatingimusega ekstreemumülesandega. Olgu karbi mõõtmed x, z. Siis tuleb leida ruumala V = xz maksimum, nii et olekas täidetud tingimus x + xz + z = a Selle näite juurde pöördume tagasi, kui on tehtud vastav teoreetiline ettevalmistus. Olgu esiteks va leida kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) ekstreemumid lisatingimusel ϕ(x, ) = 0. Ekstremumpunkte tuleb leida ainult nende hulgast, mis rahuldavad seda võrrandit Viimane on ühe muutu funktsiooni ilmutamata kujuks. Selle funktsiooni tuletis d dx = ϕ x. ϕ Seega on z sisuliselt ühe muutu x funktsioon. Täistuletise valemist (6.) saame, et Asendades sellesse d dx, saame Et ekstreemumpunktis dz dx dz dx = x + d dx. ( ) dz dx = f x + f ϕ x. ϕ = 0, siis f x = f 38 ϕ x ϕ.

39 Eeldades, et f 0 saame lisatingimusega ekstreemumpunktide leidmiseks võrrandisüsteemi f x f = ϕ x ϕ ϕ(x, ) = 0 (6.38) See võrrandisüsteem sobib kahe muutu funktsiooni ekstreemumpunktide leidmiseks ühe lisatingimuse korral. Laiematel juhtudel, kui tuleb leida kolme või enam muutu funktsiooni ekstreemumpunkte teatud lisatingimusel või lisatingimustel, on va üldisemat lahenduseeskir. Üldisemat lahenduseeskir vaatleme kõigepealt endise probleemi püstituse korral, st tuleb leida kahe muutu funktsiooni z = f(x, ) ekstreemumpunktid lisatingimusel ϕ(x, ) = 0. Toome sisse nõndanimetatud Lagrange i korda λ koostame Lagrange i funktsiooni F (x,, λ) = f(x, ) + λϕ(x, ). Lisatingimusega ekstreemumpunktideks on selle kolme muutu funktsiooni statsionaarsed punktid ehk võrrandisüsteemi F x = 0 F = 0 F λ = 0 (6.39) lahendid. Näitame, et viimane võrrandisüsteem on samaväärne võrrandisüsteemiga (6.38). Et F λ = ϕ(x, ), on süsteemi viimaseks võrrandiks lisatingimus ϕ(x, ) = 0. Esimeseks võrrandiks on f x + λϕ x = 0 teiseks f + λϕ = 0. Nendest kahest võrrandist elimineerime λ. Esimesest λ = f x Nendest kahest võrrandist f x ϕ x = f, ϕ ϕ x teisest λ = f. ϕ mis langeb kokku võrrandisüsteemi (6.38) esimese võrrandiga. Kui on va leida kolme muutu funktsiooni w = f(x,, z) ekstreemumid lisatingimusel ϕ(x,, z) = 0, koostame Lagrange i funktsiooni F (x,, z, λ) = f(x,, z) + λϕ(x,, z) ekstreemumpunktid leiame võrrandisüsteemist F x = 0 F = 0 F z (6.40) = 0 F λ = 0 Selle abil lahendame punkti alguses toodud näite, st leiame funktsiooni V = xz ekstreemumid lisatingimusel x + xz + z = a. Koostame Lagramge i 39

40 funktsiooni võrrandisüsteemi (6.40) F (x,, z, λ) = xz + λ(x + xz + z a) z + λ( + z) = 0 xz + λ(x + z) = 0 x + λ(x + ) = 0 x + xz + z a = 0 (6.41) Esimesest võrrandist λ = z xz, teisest λ = kolmandast + z x + z λ = x. Saadud võrranditest esimene teine annavad võrrandi x + ning esimene kolmas võrrandi z + z = z + z = xz x + z x x +. Nendest võrranditest esimese game z-ga teise -ga. Kumbki muututest ei saa olla 0, sest karbi ruumala võrduks vastasel korral 0-ga. Esimesest võrrandist saame (x+z) = x( +z), millest x +z = x +xz ehk z = xz, st = x. Teisest võrrandist z(x + ) = x( + z), millest xz + z = x + xz ehk z = x, st z = x. Järelikult z = = x, st karbi mõõtmed on võrdsed karp peab olema kuubikujuline. Asendades saadud tulemused süsteemi (6.41) viimasesse võrrandisse, saame x + x + x = a, a millest x = 3. Järelikult, kui materli hulk on a pindalaühikut, tuleb maksimaalse a ruumalaga karbi tegemiseks valida selle mõõtmed x = = z = 3 maksimaalne ruumala V max = a a 3 3. Kui tuleb leida kolme muutu funktsiooni w = f(x,, z) ekstreemumid lisatingimustel ϕ(x,, z) = 0 ψ(x,, z) = 0, koostame Lagrange i funktsiooni F (x,, z, λ, µ) = f(x,, z) + λϕ(x,, z) + µψ(x,, z) ekstreemumpunktid leiame võrrandisüsteemist F x = 0 F = 0 F z = 0 F λ = 0 F µ = 0 (6.4) 40

41 6.17 Ruumilise joone puutu Olgu ruumiline joon antud parameetriliste võrranditega x = x(t) = (t) z = z(t) (6.43) Fikseerides parameetri väärtuse t, saame ruumilise joone fikseeritud punkti P (x(t); (t); z(t)). Eeldame, et parameetri t funktsioonid (6.43) on diferentseeruvad punktis P. Kui muuta parameetri väärtust mingi suuruse t võrra, siis on selle väärtus t+ t sellele vastaku joone punkt Q koordinaatidega x = x(t+ t), = (t + t) z = z(t + t). z Q P O x Joonis Ruumiline joon selle puutu Vektor P Q = OQ OP on lõika P Q suunaline selle koordinaadid on P Q = ( x,, z), kus x = x(t + t) x(t) = (t + t) (t) z = z(t + t) z(t) Kui korrutada vektorit skalaariga, saame vektori sihilise vektori, st ( P Q sihiline on vektor P Q = 1 x t t, t, z ). t 1 Piirprotsessis t 0 on vektori P Q koordinaatide piirväärtused t funktsioonide (6.43) tuletised parameetri järgi, sest eeldasime funktsiooni- 41