Ivar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend

Transcript

1 TTÜ Mtemtikinstituut mth/ Ivr Tmmerid itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn,

2 Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs I, TTÜ Kirjstus, Tllinn, 7 lk, ISBN Viitenumber TTÜ Rmtukogu õpikute oskonns 57/T-5 c Ivr Tmmerid,

3 Sisukord. Eessõn Ksuttv sümboolik Ühe muutuj funktsiooni diferentsilrvutus Funktsioon Elementrfunktsioonid Jd piirväärtus Arv e Funktsiooni piirväärtus Lõpmt väikesed j lõpmt suured suurused Funktsiooni pidevus Joone sümptoodid Lõigul pidevte funktsioonide omdused Funktsiooni tuletis Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Prmeetriliselt esittud funktsiooni tuletis. Ilmutmt funktsiooni tuletis. Logritmiline diferentseerimine Põhiliste elementrfunktsioonide tuletised Kõrgemt järku tuletised. Leibnizi vlem Funktsiooni diferentsilid Funktsiooni ksvmine j khnemine. Loklne ekstreemum Keskväärtusteoreemid L Hospitli reegel Tylori vlem polünoomi korrl Tylori vlem Tylori vlemi jääkliige Joone puutuj j norml Funktsiooni loklne ekstreemum Joone kumerus j nõgusus. Käänupunktid Funktsiooni uurimine Itertsioonimeetod Hrjutusülesnded Ühe muutuj funktsiooni integrlrvutus Määrmt integrl Määrmt integrlide tbel Muutujte vhetus määrmt integrlis Ositi integreerimine määrmt integrlis

4 .5 Polünoomi teguriteks lhutmine Rtsionlfunktsiooni osmurdudeks lhutmine Lihtsmte osmurdude integreerimine Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine Hüperboolsete funktsioonide integreerimine Algebrliste funktsioonide integreerimine Mitteelementrsed integrlid Määrtud integrl Määrtud integrl ülemise rj funktsioonin Newton-Leibnizi vlem Muutujte vhetus j ositi integreerimine määrtud integrlis Tsndilise kujundi pindl rvutmine Joone pikkuse rvutmine Pöördkeh ruuml rvutmine Pöördpinn pindl Pärtud integrlid Määrtud integrli ligikudne rvutmine Hrjutusülesnded

5 .. Eessõn Käesolev õppevhendi luseks on utori poolt viimstel sttel Tllinn Tehnikülikoolis bklureuseõppe üliõpilstele peetud ühe muutuj funktsiooni diferentsil- j integrlrvutuse loengud nimetuse Mtemtiline nlüüs I ll. Siiski ei ole tegu pelglt ühel semestril esittu kirjpnekug. Listud on pljude väidete tõestused, mille esitmiseks npib loengutel eg. Smuti on tunduvlt mhukm näiteülesnnete hulk. Ühtses kontekstis on listud k keskkoolis-gümnsiumis mtemtilisest nlüüsist esittu. Õppevhend pkub täiendvid võimlusi üliõpilste iseseisvks tööks. Tõestuset esittud oluliste väidete korrl on ntud viide õpikule, millest huviline võib leid korrektse tõestuse. Õppevhendi eesmärgiks on tutvustd lugejt mtemtilise nlüüsi põhitõdedeg ühe muutuj funktsiooni korrl. Mtemtiline nlüüs on mtemtik os, milles funktsioone j nende üldistusi uuritkse piirväärtuste meetodil. Piirväärtuse mõiste on tihedlt seotud lõpmt väikese suuruse mõisteg. Võib k väit, et mtemtiline nlüüs uurib funktsioone j nende üldistusi lõpmt väikeste meetodil. Nii tehniks kui k looduses uuritvte protsesside kirjeldmisel ksuttkse funktsionlseid seoseid j nende uurimiseks mtemtilist nlüüsi. Antud õppevhendis käsitletkse klssiklist mtemtilist nlüüsi, mille põhiliseks uurimisobjektiks on funktsioon. Esittud piirväärtuste meetod on rkendtv k tänpäev mtemtik uurimisobjektide, ngu funktsionl, opertor jne korrl. Põhilised viited on õpikutele [5] j []. Õpikut [] j õppemterjli [3] on mõistlik ksutd selle kursuse põhitõdedeg tutvumisel. Ingliskeelse õpikun sobib [7]. Õpikuteg [7] j [] töötmisel on ksulikuks bivhendiks mtemtiksõnrmt [4], millest leite eestikeelsete mtemtiliste terminite tõlked inglise j vene keelde j k vstupidi. Mtemtikleksikon [3], mis sisldb märksõnu nii elementr- kui k nn kõrgem mtemtik olulisemtest vldkonddest võimldb kiiresti leid mtemtiliste terminite lühikesi määrtlusi. Teoreetilise mterjli omndmise hõlbustmiseks, kordmiseks j kinnistmiseks sobivd tetmikud [] j [6] ning metoodiline mterjl [9]. Õpik [] on biks linerlgebrg seotud probleemide lhendmisel. Õpikust [8] leite numbrilised meetodid. Mõlem petüki lõpus on ülesnded, mis enmikus on vrusttud vstusteg, kusjuures mõningtele ülesnnetele on listud näpunäide sobiv lhendusmeetodi vlikuks. Ülesndeid esittud teoori koht on võimlik leid k ülesndekogudest [], [8], [4] j õppevhendist [6]. Mtemtikpketid MATLAB, MAPLE, MATHCAD, MATH- EMATICA [] jpt võimldvd kinnistd selles kursuses omndtut. Õppevhendi koostmisel on ksuttud pketti Scientific WorkPlce 3., lühendtult SWP. Tänn dotsente A. Lõhmust j F. Vichmnni, kes bistsid utorit pljude ksulike märkusteg käsikirj vormistmisel. Autor 5

6 .. Ksuttv sümboolik Õppevhendis esittvd väited koosnevd lusetest, millest ig koht võib öeld, ks t on tõene õige) või väär. Liigitme need lused liht- j liitluseteks. Näiteks lused x X x on hulg X element) j y Y on lihtlused ning luse x X) y Y ) x on hulg X element j y on hulg Y element) ehk lühidlt x X y Y on liitluse. Sümbolit ksutme selles kontekstis sõn j ning sümbolit sõn või semel. Olgu A j B kks luset. Tähistus A B..) on lühikirjpilt väitele kui luse A on tõene, siis on tõene k luse B. Veel öeldkse, et eelduse A täidetusest tõesusest) järeldub väite B tõesus või eeldus A on piisv väite B tõesuseks ehk tingimusest A järeldub loogiliselt) väide B. Väide ehk lühidlt n 6N) n 3N) n 6N n 3N,..) kus 3N on kolmeg jäägit) jguvte nturlrvude hulk, st 3N {3; 6; 9;...}, ning 6N on kuueg jguvte nturlrvude hulk, st 6N {6; ; 8;...}, on..) tüüpi. Seejuures on selle näite korrl luseks A luse n 6N j luseks B vstvlt n 3N. Väidet..) tuleb luged kui rv n on kuueg jguv nturlrv, siis rv n jgub kolmeg. Tingimus n 6N on piisv väite n 3N tõesuseks. Sms tingimus n 6N ei ole trvilik väite n 3N tõesuseks, näiteks 9 / 6N, kuid 9 3N. Tähistus A B..3) on lühikirjpilt väitele lused A j B on loogiliselt smväärsed, st kui luse A on tõene, siis k B on tõene, j vstupidi, kui luse B on tõene, siis on tõene k A. Väidet..3) võib kirj pnn k kujul A B) B A). Veel öeldkse väite..3) korrl, et tingimus A on trvilik j piisv väite B tõesuseks ehk väide B on tõene prjsti siis siis j inult siis), kui on tõene väide A. Näiteks väide n 3N) n N)) n 6N) ehk lühidlt n 3N n N n 6N..4) on..3) tüüpi. Väidet..4) võib luged nturlrv n jgub kuueg prjsti siis, kui n jgub kolmeg j n jgub kheg ehk tingimused n jgub kolmeg j n jgub kheg on trvilikud j piisvd nturlrvu n kuueg jguvuseks või nturlrv n jgub kuueg siis j inult siis, kui n jgub kolmeg j n jgub kheg. 6

7 Sümbolit ksuttkse sõnde ig või suvline ehk mis thes semel. Näiteks väites x > x > x, st ig ühest suurem rvu x korrl on x suurem kui x, rõhuttkse, et see järeldus kehtib ig x > korrl. Sümbolit ksuttkse sõn eksisteerib või sõnpri on olems semel. Näiteks väidet kui fx) x 3 +x +bx+c on relsete kordjteg kolmndt järku polünoom, siis tl leidub relne nullkoht x sme esitd kujul, b, c R fx) x 3 + x + bx + c x R : fx ). Õppevhendist [7] leite täiendvt informtsiooni eeltoodud lühikirjpiltide ksutmisvõimluste koht. Sümbolit ksuttkse tõestuse lõpu tähisen j sümbolit näiteülesnde lhenduse lõpu tähisen. Autori rvtes sobib nimetus teoreem eriti klukte väidete joks j kun enmus ntud õppevhendis esittud väiteid on lihtsd, siis sõnsttkse nd luseten inglise keeles proposition ). Kui tekstis on viidtud näiteks Lusele..3, siis see tähendb viidet teise petüki kheteistkümnend punkti Lusele 3. Viite korrl sm punkti piires ei list petüki j punkti numbrit. Hulg elementide loetelus või punkti koordintide puhul ksuttkse erldjn tvliselt kom, näiteks {, b, c} j x, y). Kui hulg elementideks või punkti koordintideks on rvud, siis väärrusmise vältimiseks ksuttkse erldjn semikoolonit, näiteks { ; 3; } j 3; 4.5). Kümnendmurrus ksuttkse erldjn punkti. Ksutusel on järgnevd rvuhulg tähistused: N {; ; 3;...} nturlrvude hulk; k N {n n N m N n k m} {k; k; 3k;...} nturlrvug k jguvte nturlrvude hulk; Z {... ; ; ; ; ; ;...} täisrvude hulk; Q {x x m/n m Z n N} rtsionlrvude hulk; I irrtsionlrvude hulk, s.o lõpmtute mitteperioodiliste kümnendmurdude hulk; R Q I relrvude hulk; R + positiivsete relrvude hulk; R negtiivsete relrvude hulk; C { z z x + iy x R y R i } kompleksrvude hulk; [, b] {x x b} lõik;, b) {x < x < b} vhemik;, b] {x < x b} poollõik; [, b) {x x < b} poollõik. 7

8 . Ühe muutuj funktsiooni diferentsilrvutus.. Funktsioon Funktsiooni mõiste on üks mtemtik põhimõisteid. funktsionlse sõltuvuseg seonduvid mõisteid. Selles punktis käsitletkse Definitsioon. Kui hulg X igle elemendile x on vstvusse setud element y hulgst Y, siis öeldkse, et hulgl X on määrtud ühene) funktsioon f j sed vstvust tähisttkse ks y fx) x X) või x f y. Hulk X nimettkse funktsiooni f määrmispiirkonnks j hulk fx) {y x X y fx)} Y funktsiooni f muutumispiirkonnks. Elementi x nimettkse funktsiooni f rgumendiks ehk sõltumtuks muutujks j elementi y sõltuvks muutujks. Ksuttkse k tähistust y yx) rõhutmks fkti, et suurus y on suuruse x funktsioon. Järgnevlt piirdume juhug X R j Y R. Muutuvks suuruseks nimettkse suurust, mis võib omndd mitmesuguseid relrvulisi väärtusi. Nende väärtuste hulk nimettkse muutuv suuruse muutumispiirkonnks. Definitsioon. Kui hulg X R igle elemendile x on vstvusse setud element y hulgst Y R, siis öeldkse, et hulgl X on määrtud ühene) ühe rel-)muutuj relsete väärtusteg) funktsioon f. Arvupride hulk {x, y) x X y fx)} nimettkse funktsiooni f grfikuks. x [, b]) grfiku ligikudseks skit- Anlüütiliselt esittud funktsiooni y fx) seerimiseks koosttkse esiteks funktsiooni tbel x x... x i... x n fx ) fx )... fx i )... fx n ) kus x i + ih i ; ;... ; n) j h b ) /n. Järgmise smmun kntkse punktid P i x i, fx i )) i ; ;... ; n) xy -tsndile j ühendtkse seejärel sujuv jooneg. Anloogiliselt toimub funktsiooni y fx) x [, b]) grfiku skitseerimine rvuti bil, kusjuures ksuttkse mingit grfikpketti. K sel korrl tuleb määrt punktide rv, milles rvuttkse funktsiooni f väärtus. Sdud punktide ühendmiseks xy - tsndil ksutb pkett seejuures tetud struktuurig funktsioone, näiteks polünoome. Järgnevlt on grfikute skitseerimiseks ksuttud põhiliselt pketti SWP, vid mõningtel erijuhtudel on ksuttud T E X-is kirjuttud progrmme. Mõiste funktsioon semel ksuttkse k mõistet kujutus. Hulk fx) nimettkse hulg X kujutiseks kujutmisel funktsioonig f. Kui nlüütiliselt esittud funktsiooni y fx) korrl ei ole funktsiooni määrmispiirkond fikseeritud, siis funktsiooni määrmispiirkonnks X loetkse kõigi nende rgumendi x väärtuste hulk, mille korrl 8

9 ntud eeskiri y fx) omb mõtet. Olgu edspidi lihtsuse mõttes Y fx). Funktsiooni defineerimisel kõneldkse hulg X elemendile hulg Y elemendi vstvusse sedmisest, kuid ei fikseerit vstvusse sedmise viisi, mille bil vstvus reliseeritkse. Enm levinud funktsiooni esitusviisid on: ) nlüütiline esitus vlemi bil, mis näitb, milliseid tehteid millises järjekorrs tuleb teostd rgumendi väärtuseg, et sd vstvt funktsiooni väärtust; ) geomeetriline esitus grfiku bil; 3) numbriline esitus tbeli bil; 4) esitus rvutiprogrmmi bil. Definitsioon 3. Kui hulg X igle elemendile on vstvusse setud vähemlt üks hulg Y element j vähemlt ühele hulg X elemendile on vstvusse setud mitu elementi hulgst Y, siis öeldkse, et hulgl X on määrtud mitmene funktsioon f. Näiteks khese funktsiooni f korrl leidub vähemlt üks rgumendi väärtus x funktsiooni määrmispiirkonnst X, millele vstb kks erinevt funktsiooni väärtust y j y, ning ei leidu rgumendi väärtust, millele vstb rohkem kui kks funktsiooni väärtust. Tvliselt tõlgendtkse mitmest funktsiooni üheste funktsioonide mitmese funktsiooni hrude) komplektin. Järgnevlt, kõneldes funktsioonist, eeldme vikimisi, et tegemist on ühese funktsioonig. Näide. Vtleme funktsiooni y x, kus X [ ; ], mille grfik on kujuttud joonisel.8.6 y x.8. Leime, et Y [; ]. Funktsioon y x seb igle rvule lõigust [ ; ] vstvusse täpselt ühe rvu lõigust [; ]. Seeg on vdeldv funktsioon ühene. Märgime, et ig sõltuv muutuj y väärtus poollõigust ; ] Y on khe erinev rgumendi väärtuse x kujutiseks, st kui vdeld muutujt x muutuj y funktsioonin, sme mitmese funktsiooni x xy). Seejuures x y Y [; ]) j x y Y [; ]) on selle khese funktsiooni kks erinevt hru. Näide. Olgu y x. Et x { x, kui x x, kui x <, siis ntud eeskiri omb mõtet ig x R korrl. Seeg X R, + ) j Y 9

10 [; + ). Funktsiooni y x grfikuks on 4 3 y 4 x 4 Kun muutuj y ig väärtus vhemikust ; + ) on muutuj x khe erinev väärtuse kujutiseks, siis x xy) on khene funktsioon j x y Y [; + )) ning x y Y [; + )) on selle khese funktsiooni erinevd hrud. Relrvu bsoluutväärtusel on järgmised omdused: ; ; 3 ; 4 ; 5 b + b + b ; 6 b b + b ; 7 b + b ; 8 b b ; 9 b b ; b b ; b b b b ) ; < b b < < b b > ). Näide 3. Vtleme funktsiooni y 4 x. Antud eeskiri omb mõtet, kui juuritv on mittenegtiivne: 4 x. Seeg X [ ; ]. Leime, et Y [; ]. Funktsiooni grfikuks on y x Muutuj y ig väärtus poollõigust [; ) Y on khe erinev muutuj x väärtuse kujutiseks. Vdeldes muutujt x muutuj y funktsioonin, sme khese funktsiooni x x y), kusjuures x 4 y Y [; ]) j x 4 y Y [; ]) on selle khese funktsiooni hrud. Näide 4. Olgu y log x). Antud eeskiri omb mõtet, kui logritmitv on positiivne: x >, st x <. Seeg X ; ) j Y ; ). Funktsiooni

11 grfikuks on x.5.5 y.5 Antud funktsioon on ühene. Sõltuv muutuj y ig väärtus lõpmtust vhemikust ; ) Y on täpselt ühe rgumendi väärtuse x X kujutiseks, st kui vdeld muutujt x muutuj y funktsioonin x x y), sme smuti ühese funktsiooni x y Y, + )). Näide 5. Olgu y rccos x. Et koosinuse väärtused kuuluvd lõiku [ ; ], siis ntud eeskiri omb mõtet, kui x [ ; ], st X [ ; ]. Arkuskoosinuse väärtused kuuluvd lõiku [; π]. Seeg Y [; π]. Funktsiooni grfikuks on 3.5 y x Sõltuv muutuj y ig väärtus lõigust [; π] on täpselt ühe rgumendi väärtuse x X kujutiseks, st kui vdeld muutujt x muutuj y funktsioonin x x y), sme smuti ühese funktsiooni x cos y Y [; π]). Näide 6. Vtleme Hr i funktsiooni nn Hr i emlinekest), kui x <, kui x <.5 ψx), kui.5 x <, kui x,

12 mille grfikuks on y x Hr i funktsioon ψx) on esittv Heviside i funktsiooni Hx) ksuttkse k tähistust x)) y x.5.5 {, kui x < bil ψx) Hx) Hx.5) + Hx ), kusjuures Hx), kui x. Märgime, et neil grfikutel esinevtel noolekestel on kindel tähendus. Näiteks funktsiooni ψ x) grfikul rõhutme punkti.5; ) vskult suunduv noolekeseg, et funktsiooni ψ x) väärtus x.5 korrl ei ole +, vid on. Hr i emlinekese määrmispiirkonnks on R j väärtuste hulgks { ; ; }. Hr i linekesed leivd ksutmist signlide kirjeldmisel. ψ j,k ) j ψ j x k) j, k Z) Näide 7. Olgu [x] rvu x täisos, st suurim täisrv, mis ei ület rvu x. Nii funktsiooni y [x] kui k funktsiooni y x [x] määrmispiirkond on R j muutumispiirkonnd vstvlt kõigi täisrvude hulk Z j poollõik [; ). Skitseerime nende funktsioonide grfikud lõigul [ ; 3] : y y 3 x 3 x

13 Näide 8. Funktsiooni y signx), kus, kui x > signx), kui x kui x <, nimettkse signum-funktsiooniks. Ksuttkse k tähistust sgnx). Selle funktsiooni määrmispiirkond on R j muutumispiirkond { ; ; }. Skitseerime funktsiooni y signx) grfiku y.5 4 x 4.5 Definitsioon 4. Funktsioonide j y fx) x X) z gy) y Y f X) Y ) liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimettkse funktsiooni z gfx)). Seeg x f y g z x g f z, kus g f on funktsioonide f j g liitfunktsiooni tähistuseks. Liitfunktsiooni g f määrmispiirkond on X j väärtuste piirkond Z g f X)) {z x X y fx) z g y)}. Funktsioone f j g nimettkse liitfunktsiooni gfx)) koostisosdeks. Näites 3 esittud funktsioon on liitfunktsioon smuti Näites 4 esittud funktsioon x 4 x 4 x, x x log x). Liitfunktsioonil võib koostisosi oll rohkem kui kks. Näiteks funktsioonil cos sin x on koostisosi neli: x sin x sin x cos sin x cos sin x. Definitsioon 5. Funktsiooni f, mille määrmispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimettkse prisfunktsiooniks, kui x X : f x) fx). 3

14 Definitsioon 6. Funktsiooni f, mille määrmispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimettkse prituks funktsiooniks, kui x X : f x) fx). Et Näites esittud funktsiooni y x määrmispiirkond X [ ; ] on sümmeetriline nullpunkti suhtes j x X : f x) x) x fx), siis on see funktsioon prisfunktsioon. K Näidetes j 3 esittud funktsioonid on prisfunktsioonid kontrollige!). Näites 8 on esittud pritu funktsioon. Näide 9. Uuurime, ks funktsioon y logx + x + ) on pris- või pritu funktsioon. Et x R : x + x + >, siis X R, st vdeldv funktsiooni määrmispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes lühidlt, X X), kusjuures j X def {x x) X}, x R : f x) log x + x) + ) log x + x + ) x x + ) x x + log x x + log x + x + log log x + ) x + logx + x + ) fx). Järelikult on uuritv funktsioon pritu funktsioon. Skitseerime selle funktsiooni grfiku lõigul [ ; ] y x Luse. Ig funktsioon f, mille määrmispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, on esittv kujul f f + f, kus f on prisfunktsioon j f on pritu funktsioon. Tõestus. Olgu f x) def fx) + f x))/, f x) def fx) f x))/. Leime, et x X : f x) + f x) fx) + f x))/ + fx) f x))/ fx) 4

15 j ning x X : f x) f x) + f x)))/ f x) + fx))/ f x) x X : f x) f x) f x)))/ f x) fx))/ f x). Näiteks Heviside i funktsioon Hx), mis ei ole pris eg pritu, on esittv kujul H f + f, kus f x) Hx) + H x))/, f x) Hx) H x))/ j funktsioonide f, f ning H grfikud on vstvlt..8 y x y x y x Definitsioon 7. Funktsiooni f nimettkse perioodiliseks, kui leidub selline rv T, et ig x X korrl k x ± T X j fx + T ) fx). Vähimt positiivset rvu T, mille korrl fx + T ) fx) x X, nimettkse funktsiooni fx) perioodiks. Näidetes -6, 8, 9 esittud funktsioonid on mitteperioodilised. Näite 7 funktsioon [x] on mitteperioodiline j funktsioon x [x] perioodiline perioodig T. Näide. Uurime funktsiooni y sincx) perioodilisust juhul, kui c on mingi fikseeritud positiivne relrv. Et X R, siis ig x X korrl suvlise T joks x ± T X. Jääb kontrollid, ks leidub selline T, et sincx + T )) sincx) ig x X korrl, st sincx + ct ) sincx). Järelikult peb ct kπ k Z) T kπ/c k Z) j vähim positiivne rv, mis rhuldb tingimust sincx + ct ) sincx) on T π/c. Seeg on funktsioon y sincx) perioodiline, kusjuures perioodiks on T π/c. Definitsioon 8. Funktsiooni f nimettkse ksvvks ehk rngelt ksvvks piirkonns X, kui ig x X j x X korrl, mis rhuldvd võrrtust x < x, kehtib võrrtus fx ) < fx ). Näites 9 on esittud ksvv funktsioon. Definitsioon 9. Funktsiooni f nimettkse khnevks ehk rngelt khnevks piirkonns X, kui ig x X j x X korrl, mis rhuldvd võrrtust x < x, kehtib võrrtus fx ) > fx ). Näidetes 4 j 5 on esittud khnevd funktsioonid. 5

16 Definitsioon. Monotoonseks funktsiooniks nimettkse funktsiooni, mis kogu om määrmispiirkonns on mittekhnev monotoonselt ksvv funktsioon) või mitteksvv monotoonselt khnev funktsioon). Näidete 4, 5, 8, 9 funktsioonid j Näite 7 funktsioon [x] on monotoonsed funktsioonid. Definitsioon. Rngelt monotoonseks funktsiooniks nimettkse funktsiooni, mis kogu om määrmispiirkonns on ksvv või khnev. Näidetes 4, 5 j 9 on ntud rngelt monotoonsed funktsioonid. Näites esittud funktsioon y x x [ ; ]) ei ole monotoonne, kuid on rngelt khnev lõigul [ ; ] j rngelt ksvv lõigul [; ]. Definitsioon. Funktsiooni f nimettkse üllt tõkesttud vstvlt lt tõkesttud) funktsiooniks hulgl X X, kui leidub selline relrv M vstvlt m), et ig x X korrl kehtib võrrtus fx) M vstvlt m fx)). Funktsiooni f, mis on nii lt kui k üllt tõkesttud hulgl X, nimettkse tõkesttud funktsiooniks hulgl X. Kui funktsioon f on tõkesttud hulgl X, siis tähisttkse sed lühidlt fx) O ) x X). Kui funktsioon f on üllt lt) tõkesttud hulgl X, siis tähisttkse sed lühidlt fx) O R ) x X) fx) O L ) x X)). Näidetes, 3, 5, 8 esittud funktsioonid j Näite 7 funktsioon x [x] on tõkesttud om määrmispiirkonns ning Näidetes, 4, 9 funktsioonid j Näites 7 esittud funktsioon [x] on tõkestmt. Definitsioon 3. Funktsiooni y fx) x X) pöördfunktsiooniks nimettkse funktsiooni x f y), mis igle rvule y Y f X) seb vstvusse rvu x X, kusjuures y fx), st y f x x f y. Kui hulgl X määrtud funktsiooni y f x) erinevtele rgumendi väärtustele x vstvd funktsiooni erinevd väärtused y, siis pöördfunktsioon x f y) on ühene. Leime Näites 4 esittud funktsiooni y log x) pöördfunktsiooni: y log x) y x x y f y) y. Definitsioon 4. Öeldkse, et funktsioon y fx) x X) on esittud võrrndi F x, y) bil ilmutmt kujul, kui x X : F x, fx)). Ilmutmt kujul esittud funktsiooni y fx) korrl kõneldkse k võrrndi F x, y) lhendin hulgl X defineeritud ilmutmt funktsioonist. Ilmutmt funktsioon võib oll ks ühene või mitmene. Punktihulk {x, y) F x, y) } nimettkse võrrndig F x, y) ntud ilmutmt funktsiooni grfikuks. 6

17 Võrrndig F x, y) esittud ilmutmt funktsiooni y fx) x [, b]) grfiku skitseerimisel tuleb esiteks ig x i + ih i ; ;... ; n h b ) /n) korrl lhendd võrrnd F x i, y). Et y fx) y fx), siis funktsiooni F x, y) def y fx) korrl y fx) F x, y), st ig ühest või mitmest) funktsiooni võib käsitled ilmutmt funktsiooni erijuhun. Näide. Olgu funktsioon y fx) esittud ilmutmt kujul võrrndi x /9 + y /4,..) mis esitb ellipsi, bil. Lhendme selle võrrndi suuruse y suhtes: y ± x /9 x [ 3; 3]). Sme khese funktsiooni y fx), mis on määrtud lõigul [ 3; 3]. Kui tähistd f x) x /9, f x) x /9, siis y f x) x [ 3; 3]) j y f x) x [ 3; 3]) on khese funktsiooni y fx) hrud, kusjuures x [ 3; 3] : x /9 + f x)) /4, x /9 + f x)) /4. Tegemist on ellipsi y 3 x 3 ülemist j lumist poolt määrvte funktsioonideg f j f. Definitsioon 5. Funktsionlse sõltuvuse y fx) x X) esitust kujul x ϕt) y ψt) t T ),..) kus ϕt ) X j t T : ψt) fϕt)), nimettkse funktsiooni f prmeetriliseks esituseks ning kõneldkse prmeetriliselt esittud funktsioonist f. 7

18 Funktsiooni f prmeetrilist esitust..) võime illustreerid digrmmi bil ϕ t x ψ f y Esitust..) ksuttkse sgeli kujul { x ϕt) y ψt) t T ). Abimuutujt t nimettkse prmeetriks. Punktihulk {x, y) x ϕt) y ψt) t T )} nimettkse prmeetriliselt esittud funktsiooni grfikuks. Prmeetriliselt esittud funktsiooni x ϕt) y ψt) grfiku skitseerimisel tuleb esiteks koostd tbel t [α, β]) t t... t i... t n ϕt ) ϕt )... ϕt i )... ϕt n ) ψt ) ψt )... ψt i )... ψt n ) kus t i α + ih i ; ;... ; n) j h β α) /n. Järgmise smmun kntkse punktid ϕt i ), ψt i )) i ; ;... ; n) xy -tsndile j ühendtkse seejärel sujuv jooneg. Võrrndeid..) nimettkse joone prmeetrilisteks võrrnditeks. Sgeli ksuttkse prmeetrilist esitusviisi punkti liikumise kirjeldmiseks. Funktsiooni esitust kujul y fx) x X) võib vdeld kui prmeetrilise esituse erijuhtu, vlides prmeetriks x, st ehk x x y fx) x X) { x x y fx) x X). Kui esituses..) määrb funktsioon ϕ üksühese vstvuse hulkde T j X vhel, st prmeetri t erinevtele väärtustele vstvd muutuj x erinevd väärtused, siis ϕ j funktsiooni prmeetriline esitus määrb ühese funktsiooni y fx), kus fx) def ψ ϕ x) ) x X). Sel juhul t ϕ x ϕ ψ f ψ ϕ y 8

19 Kui funktsiooni ϕ korrl ei ole vstvus hulkde T j X vhel üksühene, siis vähemlt üks muutuj x väärtus on mitme hulg T elemendi kujutiseks. Kui neile muutuj t väärtustele vstb vähemlt kks erinevt funktsiooni y väärtust, siis on tegemist mitmese funktsiooni prmeetrilise esituseg. Seeg nnb funktsiooni prmeetriline esitus täiendv võimluse mitmese funktsiooni kirjeldmiseks. Näiteks juhtu, kui vähemlt üks muutuj x väärtus on hulg T khe erinev elemendi t j t kujutiseks funktsioonig ϕ ning elementidele t j t vstvd erinevd funktsiooni ψ väärtused y j y, sme kujutd digrmmil t t ψ ϕ ϕ ψ y. x. y f f kus f j f on mitmese funktsiooni f kks erinevt hru. Kui ϕt ) X j t T : F ϕt), ψt)), siis vähemlt üks võrrndi F x, y) bil ntud ilmutmt funktsiooni hru on esittv prmeetrilisel kujul x ϕt) y ψt) t T ). Näites seoseg..) esittud ilmutmt funktsiooni prmeetriliseks esituseks on { x 3 cos t t [; π]),..3) y sin t st ϕt) 3 cos t j ψt) sin t. Asenddes muutujd x j y seoste..3) bil, sme t [; π] : 3 cos t) /9 + sin t) /4. Seosteg..3) ntud funktsiooni grfik lngeb kokku ilmutmt funktsiooni..) grfikug. Prmeetri väärtustele lõigust [; π] vstb ilmutmt funktsiooni hru f x) x /9. Tõepoolest, ϕ[; π]) [ 3; 3] j t [; π] : f 3 cos t) 3 cos t) /9 sin t sin t, st t [; π] : ψt) f ϕt)). Et ϕ[π; π]) [ 3; 3] j t [π; π] : f 3 cos t) 3 cos t) /9 sin t sin t, 9

20 st t [π; π] : ψt) f ϕt)), siis prmeetri väärtustele lõigust [π, π] vstb ilmutmt funktsiooni hru f x) x /9. Näide. Olgu ilmutmt funktsioon ntud võrrndi x /3 y/3 + /3 b /3 bil, kus const > j b const >. Selle funktsiooni grfikut nimettkse stroidiks. Funktsiooni prmeetriliseks esituseks on { x cos 3 t, y b sin 3 t [; π]). t Leime, et cos 3 t ) /3 b sin 3 t ) /3 t [; π] : + cos t + sin t. /3 b /3 Näidke, et k sel korrl lngeb prmeetriliselt esittud funktsiooni grfik kokku ilmutmt funktsiooni grfikug. Ksutge selleks ilmutmt funktsiooni hrusid f x) b /3 x /3) 3 X [, ]), f x) b /3 x /3) 3 X [, ]). Skitseerime grfiku juhul kui 3 j b : y 3 x 3 Punkti sukoh määrmiseks tsndil on lisks ristkoordintidele teisi võimlusi. Vtleme järgnevlt polrkoordinte. Polrkoordindistik on määrtud punktig O, mid nimettkse pooluseks, sellest väljuv kiireg, mid nimettkse polrteljeks,

21 j pikkusühikug. Järgnevlt on polrkoordindistiku pooluseks vlitud ristkoordindistiku lguspunkt j polrteljeks x-telg y x, y) ρ ϕ O x Definitsioon 6. Punkti x, y) kohvektori pikkust ρ nimettkse polrrdiuseks. Nurk ϕ, mille punkti x, y) kohvektor moodustb x-telje positiivse suung, nimettkse polrnurgks, kusjuures vstu kellosuti liikumise suund mõõdetud nurk loetkse positiivseks j kellosuti liikumise suuns mõõdetud nurk negtiivseks. Punktile x, y) vstv polrnurk ϕ ei ole üheselt määrtud. Nimelt sellele nurgle kπ k Z) lismisel sdud nurk määrb sm punkti x, y). Punkti x, y) ; ) polrkoordintide üheseks määrmiseks ve ϕ < π < ρ < +. Punkt x, y) ; ) määrtkse polrkoordintides tingimuseg ρ. Punkti rist- j polrkoordintide vhel on seosed: x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, ρ x + y, tn ϕ y x x ). Funktsiooni y fx) x X) grfikut xy-tsndil käsitletkse kui punktihulk {x, y) : x X y fx)}. Sed punktihulk sb määrt k polrkoordintide bil, lähtudes võrrndist ρ sin ϕ fρ cos ϕ), mis seob khte muutujt ϕ j ρ. Olgu Φ nende ϕ väärtuste hulk, mille korrl suurus ρ on määrtv võrrndist ρ sin ϕ fρ cos ϕ). Tulemuseks sme funktsiooni ρ g ϕ) ϕ Φ), joone y fx) esituse polrkoordintides. juhul kui x > x ϕ rctny/x) f x, y) g y ρ x + y Illustreerime eelöeldut digrmmi bil

22 Teislt sme g ϕ x ρ cos ϕ ϕ, ρ) f ρ y ρ sin ϕ Polrkoordintides esittud joone ρ g ϕ) ϕ [α, β]) skitseerimisel tuleb esiteks koostd tbel ϕ ϕ... ϕ i... ϕ n ρϕ ) ρϕ )... ρϕ i )... ρϕ n ) kus ϕ i α + ih i ; ;... ; n) j h β α) /n. Järgmise smmun kntkse punktid ϕ i, ρϕ i )) i ; ;... ; n) tsndile, kusjuures ϕ i on punkti polrnurk j ρϕ i ) polrrdius. Seejärel ühendtkse sdud punktid sujuv jooneg. Kui on ted joone y fx) x X) võrrnd polrkoordintides ρ g ϕ) ϕ Φ), siis vlides prmeetriks polrnurg ϕ, sme selle joone ühe võimliku prmeetrilise esituse x g ϕ) cos ϕ y g ϕ) sin ϕ ϕ Φ). Näide 3. Skitseerime polrkoordintides esittud funktsiooni ρ cos ϕ ϕ [, π)) grfiku Joont ρ cos ϕ) ϕ [, π)) nimettkse krdioidiks. Selle joone üheks prmeetriliseks esituseks on x cos ϕ) cos ϕ y cos ϕ) sin ϕ ϕ [, π)). Näide 4. Skitseerime polrkoordintides esittud funktsiooni ρ ϕ ϕ [, π])

23 grfiku Joont polrkoordintides esittud võrrndig ρ ϕ ϕ [, + )) nimettkse Archimedese spirliks. Selle joone üheks prmeetriliseks esituseks on x ϕ cos ϕ y ϕ sin ϕ ϕ [, + ))... Elementrfunktsioonid Alustme kõige lihtsmtest j kõige rohkem uuritud ning rkendustes enim ksuttvtest funktsioonidest, st põhilistest elementrfunktsioonidest.. Konstntne funktsioon y c. Nendime, et X R Y {c}. Näide. Skitseerime funktsioonide y, y j y 3 grfikud 3 y 4 x 4. Astmefunktsioon y x α üldjuhul X R + Y R + ). Juhul α n n N) sme, et y x n X R Y R + {}) on prisfunktsioon j kui α n + n N), siis y x n+ X R Y R) on pritu funktsioon. Kui α /n) n N), siis sme y n x X R + {} Y R + {}). Juhul α /n + ) n N) leime, et y n+ x X R Y R) 3

24 on pritu funktsioon. Näide. Skitseerime pketi SWP bil funktsioonide x, x 3, x, 3 x grfikud y y y y x x x x 3. Eksponentfunktsioon y x < < > ) X R Y R + ). Eksponentfunktsioon y x on rngelt monotoonne hulgl R, kusjuures juhul > on see funktsioon rngelt ksvv j juhul < < rngelt khnev. Näide 3. Skitseerime funktsioonide x j )x grfikud x x 4. Logritmfunktsioon y log x < < > ) X R + Y R ). Logritmfunktsioon y log x on eksponentfunktsiooni x y pöördfunktsioon. Logritmfunktsioon y log x on rngelt monotoonne hulgl R +, kusjuures juhul > on see funktsioon rngelt ksvv j juhul < < rngelt khnev. Näide 4. Skitseerime funktsioonide log x j log.5 x grfikud 4

25 x x Trigonomeetrilised funktsioonid j ning y sin x, y cos x X R Y [ ; ] T π) y tn x y cot x X π k Z + kπ, π + kπ) Y R T π) X k Z kπ, k + )π) Y R T π). Antud õppevhendis on trigonomeetriliste funktsioonide rgumendid ntud rdinides. Tuletme meelde, et üks rdin on kesknurk, millele vstv ringjoone kre pikkus võrdub selle ringjoone rdiuseg. Seeg on täisnurg suurus π/ rdini. Näide 5. Skitseerime funktsioonide sin x j cos x grfikud lõigul [ π; π], kusjuures sin x grfiku skitseerime peene jooneg..8 y x Näide 6. Kuids skitseerid funktsiooni y sin ωx + b) grfikut? Esitme selle funktsiooni kujul y sin ω x )), kus b/ω. Lähtume funktsiooni y sin x, mille periood on π, grfikust. Järgmisen skitseerime funktsiooni y sin ωx), mille periood on π) /ω, grfiku. Kui viimst grfikut nihutd xy tsndil ühiku võrr premle kui > ), sme funktsiooni y sin ω x )) grfiku. Kui <, siis nihutme grfikut ühiku võrr vskule. Skitseerime sel viisil funktsiooni y sin πx + ) grfiku. Siin ω π, b j /π. Selleks esitme selle funktsiooni kujul y sin π x /π))) j skitseerime siis funktsioonide y sin x, y sin πx) ning y sin π x /π))) grfikud 5

26 x x x Näide 7. Sktitseerime funktsioonide tn x j cot x grfikud lõigul [ 3π/; 3π/] 4 y 4 y 4 x 4 4 x Arkusfunktsioonid. Funktsiooni y sin x X R Y [ ; ]) igle rgumendi väärtusele x vstb täpselt üks funktsiooni väärtus y [ ; ]. Kui fikseerid üks siinusfunktsiooni väärtus y [ ; ], siis see väärtus svuttkse lõpmt pljude erinevte rgumendi väärtuste x korrl. Sed lõpmt mitmest funktsiooni tähisttkse x Arcsin y. Rõhutme, et funktsioonidel y sin x j x Arcsin y on ühine grfik. Kui soovime üksühest vstvust, siis ve välj hulg X sellise lmhulg X, et vstvus muutujte x j y vhel oleks üksühene. Tvliselt vlitkse X [ π/; π/] j sdkse funktsioon x rcsin y, mid nimettkse rkussiinuseks täpsemini rkussiinuse peväärtuseks). Kui teostd peegeldus x y, siis sdkse funktsioon y rcsin x, kusjuures X [ ; ] Y [ π/; π/]. Märgime, et π/.57. Näide 8. Skitseerime funktsioonide y Arcsin x j y rcsin x grfikud: 8 6 y x y x.8. 6

27 Anloogselt sdkse funktsiooni y cos x X R Y [ ; ]) pöörmisel lõpmt mitmene funktsioon x Arccos y j selle ühene hru x rccos y. Peegelduse x y bil sdkse funktsioon y rccos x X [ ; ] Y [; π]), mid nimettkse rkuskoosinuseks j mille grfik on skitseeritud Näites..5. Märgime, et funktsioonide x cos y j y Arccos x grfikud ühtivd. Funktsiooni y tn x X π k Z + kπ; π + kπ) Y R) pöörmisel sme lõpmt mitmese funktsiooni x Arctn y j selle ühese hru x rctn y ning viimsest peegelduse x y bil funktsiooni rkustngens y rctn x X R Y π/; π/)). Märgime, et funktsioonide x tn y j y Arctn x grfikud ühtivd. Anloogselt jõutkse funktsiooni y cot x pöörmisel funktsioonini rkuskootngens X k Z kπ, k + )π) Y R) y rccot x X R Y ; π)). Nãide 9. Skitseerime funktsioonide rctn x j rccot x grfikud, kusjuures rctn x grfiku skitseerime peenem jooneg 3 y x Defineerime hüperboolsed funktsioonid: hüperboolne siinus sh x def e x e x )/ X R Y R) ksuttkse smuti tähist sinh x, näiteks pketis SWP), hüperboolne koosinus ch x def e x + e x )/ X R Y [; + ) ) 7

28 pketis SWP cosh x), hüperboolne tngens th x def sh x/ch x X R Y ; ) pketis SWP tnh x) j hüperboolne kootngens pketis SWP coth x). cth x def ch x/sh x X R\{} Y R\ [ ; ]) Näide. Skitseerime SWP bil lõigul [.5;.5] funktsioonide sh x j ch x grfikud, kusjuures sh x grfiku esitme peenem jooneg, 4 y x 4 ning funktsioonide th x j cth x grfikud, kusjuures cth x grfiku peenem jooneg Hüperboolsete funktsioonide pöördfunktsioone nimettkse refunktsioonideks pketis SWP refunktsioonid puuduvd). Funktsiooni y sh x X R Y R) pöördfunktsiooni nimettkse resiinuseks j tähisttkse x rsh y X R Y R). Pöörme funktsiooni y sh x. Leime, et y e x e x )/ e x ye x e x ye x 8

29 e x y ± y +. Et y < y + j eksponentfunktsiooni väärtused on vid positiivsed, siis e x y + y + x lny + y + ) rsh y lny + y + ) j rsh x lnx + x + ). Funktsionlne sõltuvus y ch x X R Y [; + ) ) muutujte x j y vhel ei ole üksühene vt grfikut). Pöörme funktsiooni y ch x. Leime, et y e x + e x )/ e x + ye x e x ye x + e x y ± y. Et { Y [; + ) y > y y ± y >, siis funktsiooni y ch x pöörmisel sdkse khene funktsioon x lny ± y ). Hru lny + y ) nimettkse rekoosinuseks j tähisttkse rch y. Seeg rch y lny + y ) rch x lnx + x ). Funktsiooni y rch x korrl leime, et X [; + ) j Y R + {}. Funktsiooni y th x X R Y ; )) pöördfunktsiooni nimettkse retngensiks j tähisttkse x rth y. Pöörme funktsiooni y th x. Leime, et Järelikult, y th x y sh x/ch x y ex e x e x + e x ex + e x )y e x e x e x y ) y e x + y y x ln + y y rth y ln + y y. rth x ln + x x. Funktsiooni y rth x korrl leime, et X ; ) j Y R. Funktsiooni y cth x X R\{} Y R\[ ; ]) pöörmisel sdvt funktsiooni x rcth y nimettkse rekootngensiks. Pöörme funktsiooni y rcth x. Leime, et y cth x y ex + e x e x e x ex e x )y e x + e x e x y ) + y e x + y y x ln y + x y y 9

30 Järelikult, x y y ln x + x. rcth x ln x + x. Funktsiooni y rcth x korrl leime, et X R\ [ ; ] j Y R\{}. Näide. Skitseerime SWP bil funktsioonide rsh x j rch x grfikud vstvlt peene j jämed jooneg 4 x 4 ning funktsioonide rth x j rcth x grfikud vstvlt jämed j peene jooneg 4 3 y 4 3 x Definitsioon. Elementrfunktsiooniks nimettkse ig funktsiooni, mid on võimlik esitd põhiliste elementrfunktsioonide kudu, ksutdes lõplik rv kord ritmeetilisi opertsioone liitmine, lhutmine, korrutmine, jgmine) j liitfunktsiooni moodustmist. Definitsioon. Funktsiooni P n x) x n + x n n x + n ), kus,,..., n, n on konstndid j n N ning x on muutuj, nimettkse n-stme polünoomiks ehk täisrtsionlseks funktsiooniks. Konstnte,,..., n nimettkse polünoomi kordjteks j rvu n polünoomi stmeks. Algebr põhiteoreem. Igl komplekssete kordjteg n-stme polünoomil P n x) on täpselt n kompleksset nullkoht kordsed nullkohd ks rvtud) x, x,..., x n. Luse. Kui kompleksrv x α +iβ on relsete kordjteg n-stme polünoomi P n x) n ) nullkohks, siis on selle polünoomi nullkohks k rvu x kskompleksrv x α iβ. Linertegurite x α + iβ) j x α iβ) korrutis on relsete kordjteg ruutpolünoom kujul x + px + q, kus p α j q α + β. 3

31 Definitsioon 3. Rtsionlfunktsiooniks ehk murdrtsionlseks funktsiooniks nimettkse khe polünoomi jgtisen esittvt funktsiooni, st kusjuures Q m x) j P n x) on polünoomid. fx) Q m x)/p n x) m, n N), Definitsioon 4. Rtsionlfunktsiooni nimettkse lihtmurruks, kui m < n, vstsel korrl g liigmurruks. Definitsioon 5. Murdlinerseks funktsiooniks nimettkse funktsiooni kujul x + b x + b b ). Definitsioon 6. Algebrliseks funktsiooniks nimettkse funktsiooni y fx), mis rhuldb võrrndit P x)y n + Qx)y n Rx)y + Sx) n N), kus P x), Qx),..., Rx) j Sx) on mingid polünoomid. Lihtsmteks lgebrlisteks funktsioonideks on konstntne funktsioon, stmefunktsioon x α α Q\{}) j polünoom. Definitsioon 7. Irrtsionlfunktsiooniks nimettkse lgebrlist funktsiooni, mis ei ole rtsionlfunktsioon. Kui α Z, siis x α on rtsionlfunktsioon j kui α Q α / Z, siis x α on irrtsionlfunktsioon. Definitsioon 8. Funktsioone, mis ei ole lgebrlised, nimettkse trnstsendentseteks funktsioonideks. Trnstsendentseteks funktsioonideks on näiteks trigonomeetrilised funktsioonid, eksponentfunktsioon j logritmfunktsioon..3. Jd piirväärtus Funktsiooni piirväärtuse mõiste on mtemtilise nlüüsi lustl, olles luseks nii funktsiooni tuletise kui k integrli defineerimisel. Seeg on pljud funktsiooni tuletise j integrli omdused vhetud järeldused funktsiooni piirväärtuse omdustest. Kuigi enmik neist omdustest on lihtslt tõesttvd k üldiseml juhul, piirdume neist pljude tõestmiseg vid jd korrl. Järgnevd rkendused itvd vd funktsiooni piirväärtuse, mis esmtutvumisel tundub olevt liig keeruks mõiste, sügv sisu. Järelikult tuleb vrud knntust! See mtemtiline konstruktsioon on sed väärt! Õppevhendi ksutjle, kel esilgu puudub soov süvened piirväärtuse mõiste nünssidesse, võib punktideg.3 j.5 tutvumisel soovitd võtt neis esittud väited esilgu tõestuset või piirdud mõne lihtsmg neist tõestustest. Definitsioon. Funktsiooni fx), mille määrmispiirkonnks on kõigi nturlrvude hulk N, nimettkse jdks. Suurust x n fn) nimettkse jd üldliikmeks. 3

32 Jd tähistmiseks ksutme liikmeti esitust {x, x,..., x n,...} või lühemlt {x n } n N ehk {x n }. Näide. Vtleme jd {n )/n}, st {; /; /3; 3/4; 4/5;... ; n )/n;...}. Suuruse n piirmtul ksvmisel täheldme, et jd liikmed lähenevd rvule, st erinevd kui thes vähe rvust. Kui me üritme Näites esittud probleemi mtemtiselt korrektselt esitd, siis tekib esiteks küsimus, kuids kirjeldd korrektselt suuruse piirmtut ksvmist j jd liikmete lähenemist mingile rvule. Teiseks tekib küsimus, kuids korrektselt sidud neid kht mõistet Näites käsitletud probleemi kirjeldmisel. Definitsioon. Kui ε >, siis rvu ε ümbruseks epsilon-ümbruseks) nimettkse vhemikku ε, + ε) j tähisttkse lühidlt U ε ). Definitsioon 3. Suuruse + M ümbruseks nimettkse vhemikku M, + ) j tähisttkse U M + ). Definitsioon 4. Suuruse M ümbruseks nimettkse vhemikku, M) j tähisttkse U M ). Definitsioon 5. Kui M >, siis suuruse M ümbruseks nimettkse ühendit, M) M, + ) j tähisttkse U M ). NB! Sümbolit ksuttkse tihti k suuruse + lühendkirjpildin. Definitsioon 6. Arvu nimettkse jd {x n } lõplikuks) piirväärtuseks, kui suvlise positiivse rvu ε korrl leidub selline nturlrv n, mis üldjuhul sõltub rvust ε, st n ε), et ig nturlrvu n, mis on suurem kui n, korrl on rhuldtud võrrtus x n < ε. Asjolu, et rv on jd {x n } piirväärtuseks, tähisttkse või ehk lühidlt x n. x n n + x n n + Definitsioon 7. Kui suvlise M R korrl leidub selline n N, et ig n N n > n korrl x n > M, siis öeldkse, et jd {x n } piirväärtus on + j tähisttkse x n + n + ehk lühidlt x n +. Anloogiliselt defineeritkse k x n j x n. Kui x n + x n x n, 3

33 siis kõneldkse lõpmtust piirväärtusest. Definitsioon 8. Jd, millel on lõplik piirväärtus, nimettkse koonduvks jdks. Jd, millel ei ole lõplikku piirväärtust, nimettkse hjuvks jdks. Seeg k lõpmtut piirväärtust omv jd on hjuv jd. Olgu c kõigi koonduvte jdde hulk. Asjolu, et jd {x n } koondub, tähisttkse {x n } c j sjolu, et jd {x n } hjub, tähisttkse {x n } / c. Definitsioonidele 6 j 7 võib nd kompktse kuju j vstvlt x n ε > n n ε) N : n > n x n < ε) x n + M R n n M) N : n > n x n > M). Näide. Tõestme Definitsiooni 6 bil, et Näites esittud jd {n )/n} piirväärtus on rv. Olgu ε > suvline. Antud näite korrl x n n )/n j. Uurime Definitsioonis 6 esinevt tingimust x n < ε : n n < ε n < ε n > ε..3.) Kui vlid n [/ε], kus [/ε] on täisos rvust /ε, siis n > n n > /ε j hinnngute hel.3.) bil sme ε > n n ε) [/ε] N : n > n n n < ε, st Definitsiooni 6 põhjl n )/n. Ksutdes ümbruse mõistet, võib Definitsioonile 6 nd kuju x n ε > n n ε) N : n U n + ) x n U ε )). Lähtudes eelnevlt esittud funktsiooni tõkesttuse mõistest, vt Definitsiooni.., sme ljuhun jd tõkesttuse mõiste. et Definitsioon 9. Öeldkse, et jd {x n} on tõkesttud, kui leidub selline rv M >, x n M n N). Definitsioon. relrv M, et Öeldkse, et jd {x n } on üllt tõkesttud, kui leidub selline x n M n N). 33

34 Definitsioon. relrv m, et Öeldkse, et jd {x n } on lt tõkesttud, kui leidub selline x n m n N). Asjolu, et jd {x n } on tõkesttud, tähisttkse x n O) n ) ehk lühidlt x n O). Kui jd {x n } on üllt lt) tõkesttud, siis sed tähisttkse x n O R ) x n O L )). Vtleme järgnevlt piirväärtuse omdusi. Luse. Konstntse jd piirväärtuseks on see konstnt, st x n c x n c. Tõestus. Lähtume jd piirväärtuse definitsioonist. Et suvlise ε > korrl x n c c c < ε, siis ε > n N : n > n x n c < ε) x n c. Luse. Jd koonduvusest järeldub selle jd tõkesttus, st x n x n O). Tõestuseks ksutme järgmist väidete helt x n def. ε n N : n > n x n < ) [ ] ksutme kolmnurg võrrtust x n x n n > n x n < ) n > n x n < + ) Mmx{,,..., n, + } x n M n N). Luse 3. Kui jd piirväärtus on nullist erinev, siis jd tetud elemendist ltes on jd liikme bsoluutväärtus suurem kui /, st x n ) n N : n > n x n >. Tõestuseks esitme väidete hel x n def. ε n N : n > n x n < ) 34

35 [ ] ksutme kolmnurg võrrtust x n x n n > n x n < ) n > n < x n < ) n > n < x n < 3 ) n N : n > n x n > ). Luse 4. Kui jdd {x n } j {y n } on koonduvd j nende jdde üldliikmed rhuldvd ig n N korrl võrrtust x n y n, siis smsugust võrrtust rhuldvd k nende jdde piirväärtused, st x n y n b x n y n b. Tõestme selle luse vstuväiteliselt, st oletme, et > b. Ve ε b)/ >. Tulemuseks sme { xn ε b)/ > n N : n > n x n < b)/) y n b ε b)/ > n N : n > n y n b < b)/) n mx{n, n } n > n x n y n n > n { ) xn < b)/ n > n y n b < b)/ { ) b )/ < xn < b)/ b )/ < y n b < b)/ { ) + b)/ < xn < 3 b)/ 3b )/ < y n < + b)/ n > n + b)/ < x n y n < + b)/) + b)/ < + b)/. Oleme snud vstuolu, mis on tingitud vstuväitelisest oletusest. Järelikult, b. Luse 5. Kui jddel {x n } j {y n } on sm piirväärtus ning x n z n y n, siis k jd {z n } on koonduv smks piirväärtuseks, st x n y n x n z n y n z n. Tõestus. Kui ε >, siis { xn n n ε) N : n > n x n < ε) y n n n ε) N : n > n y n < ε) n mx{n, n } 35

36 n > n x n < ε y n < ε) n > n ε < x n < ε ε < y n < ε) n > n ε < x n < + ε ε < y n < + ε) xn zn yn n > n ε < x n z n y n < + ε) ε > n N : n > n ε < z n < + ε) z n. Luse 6. Kui jd {x n } koondub j selle jd piirväärtuseks on rv, siis koondub k jd { x n }, kusjuures selle jd piirväärtuseks on, st x n x n. Tõestus järeldub jd piirväärtuse definitsioonist j kolmnurg võrrtusest: x n ε > n N : n > n x n < ε) x n x n ε > n N : n > n x n < ε) x n. Luse 7. Kui jd {x n } koondub j selle jd piirväärtuseks on rv ning jd {y n } koondub j selle jd piirväärtuseks on rv b, siis koonduvd k jdd {cx n } c konst), {x n + y n } j {x n y n } ning liseeldusel y n b k {x n /y n }, kusjuures nende jdde piirväärtusteks on vstvlt c, + b, b j /b. Tõestus. Ksutdes vstvt eeldust j jd piirväärtuse definitsiooni, sme: x n c konstnt) c ε > ε/ c > ) n N : n > n x n < ε/ c ) ε > n N : n > n cx n c < ε) j cx n c x n ) y n b) ε > n N : n > n x n < ε/) y n b < ε/)) ε > n N : n > n x n + y n b < ε) x n+y n b x n + y n b ε > n N : n > n x n + y n ) + b) < ε) x n + y n + b. 36

37 Et x n y n b x n y n y n ) + y n b) x n y n y n + y n b siis Et x n y n + y n b yn b M> yn M) M x n + y n b, x n ) y n b) ε > n N : n > n x n < ε/m)) y n b < ε/ + ))) ε > n > n x n y n b < Mε/M) + ε/ + ) < ε) x n y n b. x n y n b bx n y n by n bx n b) y n b) by n bx n b + y n b b y n n>n y n b / b x n + y n b b b x n + b y n b, siis x n ) y n b) b ε > n N : n > n x n < ε b /4)) y n b < εb /4 + ) )) [ ] def n mx{n, n } ε > n N : n > n x n y n b < ε b b 4 + εb ) b 4 + < ε x n y n b. Luse 8. Kui jd {x n } koondub j selle jd piirväärtuseks on rv, siis selle jd üldliige x n on esittv kujul x n + y n, kus y n. Tõestus. Vliku y n x n korrl sme, et + y n + x n ) x n, kusjuures y n x n ) x n. n + n n n Luse 9. Ig üllt lt) tõkesttud monotoonselt ksvv khnev) jd on koonduv, st x n O R ) x n {x n } c või x n O L ) x n {x n } c. 37

38 Tõestust vt [5], lk 3. Definitsioon. Ig jd, mis sdkse jdst mingi lõpliku või lõpmtu hulg jd elementide väljjätmisel, nimettkse selle jd osjdks. Näide 3. Erldme jdst { ) n n )/n} kks osjd { ) n n )/n)} {n )/n)} võetkse lähtejdst vid prisrvulise indeksig liikmed) j { ) n+ n)/n + )} { n)/n + )} võetkse vid priturvulise indeksig liikmed). Luse Bolzno-Weierstrssi teoreem). Igst tõkesttud jdst sb erldd koonduv osjd, st Tõestust vt [5], lk 3. x n O) {n k } : {x nk } c. Näites esittud tõkesttud jd { ) n n )/n} on hjuv, kuid mõlemd esittud osjdd {n )/n)} j { n)/n + )} on koonduvd, kusjuures n )/n) j n)/n + ). Luse Cuchy kriteerium). Jdl {x n } on lõplik piirväärtus prjsti siis, kui vstvlt igle positiivsele rvule ε leidub niisugune nturlrv n, et ig nturlrvu p puhul kui n > n. Tõestust vt [5], lk 8. x n+p x n < ε, Näide 4. Jd { n + ) /n } piirväärtuse rvutmisel tõdeme, et nii murru lugej kui k nimetj lähenevd lõpmtusele. Kõneleme, et on tegemist määrmtuseg tüüpi lõpmtus jgtud lõpmtuseg j tähistme või. Selle määrmtuse vmiseks teeme kindlks selle murru lugejs j nimetjs olev polünoomi stme. Mõlem polünoomi ste on n ning mksimlne neist stmetest on smuti n. Jgme murru lugejt j nimetjt mksimlse stmeg n murru väärtus ei muutu!). Pele murru läbijgmist läheneb lugej ühele j nimetj khele. Sed sjolu tähistme 38

39 lühidlt. Seeg on määrmtus vtud ning jd piirväärtuseks on / : n n + ) n n n + ) n ) [ rkendme Luset 7 + n n. ] Näide 5. n 3 n + n n + [ { } ) ] mx 3 ; : n n 3 /n + /n + /n 3 /n + /n n + /n). n Näide 6. n n + )! + n + )! n + )! n 3 n + )n + ) + 3 n + ) 3 n + )n + ) n 3 n + )n + ) + ) 3 n + )n + ) n n + 3 n + n + 3/n + /n. Näide 7. Näide 8. n n n n n+ 3 n ) ) 3 ) ) 3 n+ [ n?? + ) nn + ) k ] q k q qn+ q 4 n n+ 3 n 3 n+ [? ) ) 4 3. kk + ) k k + ] n ) + ) ) n )) n + 39

40 n ). n + Näide 9. n 3 n 3 n + [: 3n ] n /3 n + /3 n..4. Arv e Arv e defineeritkse kui piirväärtus e def + n. n + n) Vtleme jd {x n }, kus x n + n) n. Leime, et x n n Cn k n k n k +! + [ + n) n + b) n ) k C n [ C k n n n! k!n k)! ) + C n n Cn k n k b k k n ) C k n ] n Cn k k b n k k n ) k C n n ] nn ) n k + ), Cn k! + n! nn ) n k + ) nn ) n k! nk n! ) ) k ) ) n n n n ! k! n! +! +! k! [ n! k! k N) k k n ) n n n n n n ] Seeg on jd {x n } üllt tõkesttud. Võrdleme liikmeid x n j x n+, st suurusi n k C k n ) k n k j n n+ Cn+ k k 4 ) k n+ k. n + )

41 Nende summde kks esimest vstvt liidetvt on võrdsed. Võrdleme järgmisi vstvid liidetvid ) k ) k Cn k j Cn+ k k,..., n). n n + Et /n > /n + ), siis j i n < i n + i,..., k) k! ) k ) < n n k! ) k ), n + n + mis on smväärne võrrtuseg ) k ) k Cn k < Cn+ k. n n + Järelikult, x n x n+, st jd {x n } on monotoonselt ksvv. Monotoonselt ksvv üllt tõkesttud jd {x n } on Luse.3.9 põhjl koonduv, st x n. Ksuttkse tähistust n + + n e. n + n) Arv e on irrtsionlrv. Logritmi lusel e, st logritmi log e x nimettkse nturllogritmiks j tähisttkse ln x. Eksponentfunktsiooni e x joks ksuttkse k tähistust expx)..5. Funktsiooni piirväärtus Punktides.3 j.4 vtlesime jd piirväärtust, kusjuures oli tegemist khe protsessig: nturlrvulise rgumendi n lähenemiseg suurusele + j jd üldliikme x n lähenemiseg suurusele. Käsitleme järgnevlt üldisemt juhtu. Definitsioon. Suurust nimettkse funktsiooni fx) piirväärtuseks punktis x, kui suuruse suvlise ε-ümbruse U ε ) korrl leidub selline rvu x δ ümbrus U δ x ), et fu δ x )\{x }) U ε ). või Asjolu, et suurus on funktsiooni fx) piirväärtus punktis x, tähisttkse x x fx) fx) x x. Kui suurus on rv, siis kõneldkse, et eksisteerib lõplik piirväärtus. Tvliselt kõneldes, et funktsiooni piirväärtus eksisteerib, loetkse, et tegemist on lõpliku piirväärtuseg. Kui suurus on ks + või või st, et suuruse bsoluutväärtus on + ), siis kõneldkse lõpmtust piirväärtusest. 4

42 Jd piirväärtuse mõiste on erijuht funktsiooni piirväärtuse mõistest kui vlid x + j ksutd lähenemiseks vid rgumendi nturlrvulisi väärtusi). Lõplike suuruste j x korrl kehtib järgnev väide. Luse. Arv on funktsiooni fx) piirväärtuseks kohl x prjsti siis, kui suvlise rvu ε > korrl leidub selline rv δ δε), et < x x < δ fx) < ε. Tõestus. Luse tõesus järeldub Definitsioonist j rvu ε ümbruse definitsioonist, vt Definitsiooni.3., kusjuures x U δ x )\{x } < x x < δ j fu δ x )\{x }) U ε ) < x x < δ fx) < ε). Luse väide on lühidlt kirj pndv kujul fx) ε > δ δε) > : < x x < δ fx) < ε). x x Näide. Näitme, lähtudes vhetult Lusest, et x 4x 3 + x x..5.) Kui ksutd Luse tähistust, siis f x) 4x 3 + x ) /x, x j. Olgu ε suvline positiivne rv. Näitme, et leidub selline δ δ ε), mille korrl < x < δ 4x 3 + x x < ε..5.) Et 4x 3 + x x < ε 4x 3 + x x x < ε < 4x < ε < x < ε, siis vliku δ ε/ korrl ε < x < δ < x < < 4x < ε < 4x 3 x < ε 4x 3 + x x < ε, st kehtib väide.5.), millest järeldub Luse põhjl k väide.5.). 4

43 Näide. Uurime Heviside i funktsiooni vt Näidet..6 ) Hx) piirväärtust punktis x. Olgu ε >. Et punkti suvlises ümbruses leidub nii punkte, milles funktsiooni väärtus on, kui k punkte, milles funktsiooni väärtus on, siis < ε < / korrl ei leidu selliseid suurusi j δε) >, mille korrl Järelikult, < x < δ Hx) < ε. x Hx). Vdtes funktsiooni Hx) grfikut, võib väit, et lähenedes punktile vskult, sme tulemuseks, j lähenedes punktile premlt, sme tulemuseks. Defineerime punkti x ühepoolsed ε ümbrused j funktsiooni fx) ühepoolsed piirväärtused. Definitsioon. Kui ε >, siis punkti x vskpoolseks ε ümbruseks nimettkse vhemikku x ε, x ) j tähisttkse lühidlt U ε x ). Definitsioon 3. Kui ε >, siis rvu x prempoolseks ε ümbruseks nimettkse vhemikku x, x + ε) j tähisttkse lühidlt U ε x +). Definitsioon 4. Suurust nimettkse funktsiooni fx) vskpoolseks piirväärtuseks punktis x, kui suuruse suvlise ε-ümbruse U ε ) korrl leidub selline punkti x vskpoolne δ ümbrus U δ x ), et fu δ x )) U ε ). Asjolu, et suurus on funktsiooni fx) vskpoolne piirväärtus punktis x, tähisttkse x x fx) või fx) x x. Anloogiliselt Luseg sb näidt, et fx) ε > δ δε) > : < x x < δ fx) < ε). x x Definitsioon 5. Suurust nimettkse funktsiooni fx) prempoolseks piirväärtuseks punktis x, kui suuruse suvlise ε-ümbruse U ε ) korrl leidub selline suuruse prempoolne δ ümbrus U δ x +), et fu δ x +)) U ε ). x Asjolu, et suurus on funktsiooni fx) prempoolne piirväärtus punktis x, tähisttkse x x + fx) või fx) x x+. Anloogiliselt Luseg sb näidt, et fx) ε > δ δε) > : < x x < δ fx) < ε). x x + 43