Soluţiile problemelor propuse în nr. 1/2015
|
|
- Σωστράτη Αγγελόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Soluţiile problemelor propuse în nr. 1/15 Clasele primare P311. Scrie în casete toate numerele de la 1 la 19, o singură dată fiecare, astfel încât să obţii rezultatul dat: + = + = + = + = + = 9. (Clasa I ) Ana Stoica, elevă, Iaşi Soluţie = = = = = 9. P31. Scrie numerele de la la 9 în grupe de câte patru astfel încât, în fiecare grupă, numerele scrise să fie în ordine descrescătoare şi vecine. (Clasa I ) Daniela Mititelu, elevă, Iaşi Soluţie. 9876, 8765, 7654, 6543, 543, 431, 31. P313. Fratele meu este cu 3 ani mai mic decât mine, iar eu am 8 ani. Care va fi suma vârstelor noastre peste ani? (Clasa I ) Denisa Apetrei, elevă, Iaşi Soluţie. Peste doi ani suma vârstelor va fi 1 ani + 7 ani = 17 ani. P314. Două numere îndeplinesc condiţiile: a) suma lor este 81 şi b) dacă din primul număr se scade 9, rezultatul va fi dublul celui de-al doilea. Aflaţi numerele. (Clasa a II-a) Maria Racu, Iaşi Soluţie. a + b = 81, a = 9 + b b b = 81 3b + 9 = 81 3b = 7 b = 4, a = 57. P315. Un număr de două cifre se numeşte ordinar dacă are suma cifrelor mai mare decât suma cifrelor vecinului său mai mic. Scrieţi toate numerele ordinare care au suma cifrelor 8. (Clasa a II-a) Georgiana Avădanei, elevă, Iaşi Soluţie. Numerele de două cifre care au suma cifrelor 8 sunt: 17, 6, 35, 44, 53, 6, 71, 8. Numărul 8 nu este ordinar deoarece = 16, 8 + = 8, 16 > 8. Celelalte şapte numere sunt ordinare. P316. Completaţi un pătrat 4 4 cu numerele, 3, 4, 5, 6, 7, 8 astfel încât ele să fie scrise crescător şi consecutiv pe fiecare linie şi fiecare coloană. De câte ori apare numărul 5? (Clasa a II-a) Bianca Gimiga, elevă, Iaşi Soluţie. Singura completare posibilă este cea din figura alăturată. Numărul 5 apare de patru ori. P317. Câte triunghiuri sunt în figura alăturată? (Clasa a III-a) Ecaterina Brînzac, elevă, Iaşi Soluţie. Sunt atâtea triunghiuri câte segmente distincte se pot forma cu punctele B, C, D, E, F, G, adică = 15. A B C D E F G P318. Găsiţi numerele naturale ab astfel încât ab = b + b b + b b b. (Clasa a III-a) Nicolae Ivăşchescu, Craiova 143
2 Soluţie. Dacă b 5, suma din dreapta este un număr de trei cifre. Verificând celelalte valori posibile, obţinem singura soluţie b = 4, a = 8: 84 = P319. Să se arate că niciun număr din şirul 5, 1, 15,,..., 1 nu poate avea suma cifrelor egală cu 15. (Clasa a III-a) Alexandra Mădălina Ciobanu, elevă, Iaşi Soluţie. Un număr din acest şir poate avea ultima cifră sau 5. Suma cifrelor este maximă dacă cifra unităţilor este 5, iar cifra zecilor este 9. Concluzionăm că suma poate fi maximum 14. P3. Putem găsi şase numere consecutive de forma 7 n a căror sumă să fie un număr par? (Exemplu: 14, 1, 8 sunt numere consecutive de forma 7 n.) (Clasa a III-a) Cristina Chelaru, elevă, Iaşi Soluţie. Fie 7 a, 7 (a + 1), 7 (a + ), 7 (a + 3), 7 (a + 4), 7 (a + 5) cele şase numere consecutive de forma 7 n. Printre numerele a, a + 1, a +, a + 3, a + 4, a + 5, trei numere sunt impare. Deoarece numărul 7 este impar, atunci trei dintre numerele considerate vor fi pare, iar celelalte trei vor fi impare. Rezultă că suma celor şase numere este de fiecare dată un număr impar. P31. Mama şi cei cinci copii ai săi au împreună 86 ani. Vârstele copiilor sunt numere pare consecutive. La naşterea celui mai mic copil, mama avea triplul vârstei celui de-al treilea copil. Aflaţi vârstele celor şase. (Clasa a IV-a) Nicolae Vieru, Iaşi Soluţie. Vârstele copiilor în ordine descrescătoare sunt: a + 8, a + 6, a + 4, a +, a. În prezent mama are vârsta 3 (a + 4) + a = 4a + 1. Înseamnă că 9a + 3 = 86, de unde rezultă a = 6 (ani). Vârstele copiilor sunt: 6 ani, 8 ani, 1 ani, 1 ani şi 14 ani. Mama are = 36 (ani). P3. Numerele naturale x 1, x,..., x n au proprietatea că fiecare dintre ele, începând cu al doilea, este jumătatea sumei tuturor numerelor scrise înaintea lui. Aflaţi n ştiind că x n = 9. (Clasa a IV-a) Doina Ivaşcu, elevă, Iaşi Soluţie. x 1 + x x n 1 = 9 = 18 x 1 + x x n = 18 : 3 = 1 x 1 + x x n 3 = 1 : 3 = 8 Deoarece 8 nu se împarte exact la 3, înseamnă că x 1 = 8, x = 4, x 3 = 6, x 4 = 9 şi n = 4. P33. Daţi un exemplu de 39 numere pare, consecutive, mai mari ca 39 şi a căror sumă se împarte exact la 4. (Clasa a IV-a) Andreea Munteanu, elevă, Iaşi Soluţie. Fiecare din cele 39 numere se împarte exact la. Este necesar ca suma câturilor să se împartă exact la. Acest lucru este posibil dacă câturi sunt impare şi 19 câturi sunt pare. Rezultă că primul şi ultimul cât trebuie să fie impare. Exemplu de astfel de numere: 4, 44, 46,..., 118. P34. Un dreptunghi format din pătrăţele având latura de 1 cm are perimetrul de cm. Se completează pătrăţelele dreptunghiului respecând regulile următoare: 144
3 1) după ce se completează prima linie se trece la completarea liniei a doua ş.a.m.d; ) 1 se scrie o singură dată, de două ori,..., n se scrie de n ori. Să se afle n, ştiind că procedând în acest fel toate pătrăţelele au fost completate. (Clasa a IV-a) Petru Asaftei, Iaşi Soluţie. Dreptunghiul are n = n(n + 1) : pătrăţele. Pe de altă parte, numărul pătrăţelelor este L l. Înseamnă că n (n + 1) = L l. Deoarece L l este produsul a două numere consecutive şi L + l = 1, iar 7 3 = 6 7, urmează că n = 6. Alte soluţii nu mai sunt. Clasa a V-a V.186. Determinaţi ultimele două cifre ale numărului A = Iulian Oleniuc, elev, Iaşi Soluţie. Observăm că = 4. Atunci A = ( ) ( ) = M 1, deci utlimele două cifre ale numărului A sunt 99. V.187. Stabiliţi în câte zerouri se termină scrierea zecimală a produsului A = Ionel Tudor, Călugăreni, Giurgiu Soluţie. Observăm că A = B, unde B = Produsul B conţine de factori care se divid cu 5. Dintre acestea, 4 se divid cu 5, 8 se divid chiar cu 15 şi se divid cu 65. Prin urmare, exponentul lui 5 în descompunerea în factori primi a lui B este = 5. Factorul apare la un exponent mai mare, prin urmare B se termină în 5 de zerouri. Rezultă că scrierea zecimală a lui A se termină în 5 zerouri. V.188. Arătaţi că > Viorica Momiţă, Iaşi Soluţie. Cum 3 > 1, 4 5 > 3 4,..., > > = V.189. Demonstraţi că nu există numere naturale nenule m, n şi k pentru care 4 m + 9 n+1 = k + k + 1. Ionuţ Ivănescu, Craiova Soluţie. Cum U(4 m ) = 6 şi U(9 n+1 ) = 9, rezultă că U(4 m + 9 n+1 ) = 5, deci numărul 4 m + 9 m+1 se divide cu 5. Pe de altă parte, avem:, rezultă că restul împărţirii lui k la restul împărţirii lui k la restul împărţirii lui k + k + 1 la Rezultă că numărul k +k+1 nu poate fi divizibil cu 5 şi, de aici, concluzia problemei. V.19. Arătaţi că există o infinitate de perechi (n, n + 1), cu n N, astfel încât atât n, cât şi n + 1 se pot scrie ca sumă de trei pătrate perfecte nenule. Nicolae Ivăşchescu, Craiova 145
4 Soluţie. Dacă n = 6k, k N, atunci n = k + (4k) + (3k), iar n + 1 = 1 + k + (5k). V.191. Demonstraţi că orice număr natural mai mare ca 5 se poate scrie ca suma dintre un număr prim şi un număr compus. Mariana-Liliana Popescu, Suceava Soluţie. Dacă n este număr par, atunci n = + n 1, cu n 1. Dacă n = 6k + 1, k 1, atunci n = 3 + (3k 1), cu 3k 1. Dacă n = 6k + 3, k 1, putem considera pentru n chiar această scriere. În sfârşit, dacă n = 6k + 5, k 1, avem că n = + 3(k + 1), cu k V.19. Determinaţi valorile numărului natural a pentru care există numere naturale distincte x şi y astfel încât 3x + 7y = 1a. Gheorghe Iurea, Iaşi Soluţie. Pentru a 7 există x = a 7 şi y = a+3 astfel încât 3(a 7)+7(a+3) = 1a. Cum = 3 1, = 4 1, = 5 1 şi = 6 1, valorile a {3, 4, 5, 6} sunt, de asemenea, soluţii ale problemei. Se observă că numerele a {, 1, } nu convin. În concluzie, a N\{, 1, }. Clasa a VI-a VI.186. O grădină are forma dreptunghiului ABCD (AB > CD) şi este împărţită în două parcele: dreptunghiul MNP B şi,,colţul haşurat. Se ştie că AP = CM, iar partea haşurată are aria de două ori mai mare şi perimetrul cu 4 mai mare decât D C aria, respectiv perimetrul dreptunghiului M N P B. Aflaţi lungimile segmentelor AB şi CD ştiind că se exprimă, în N M metri, prin numere naturale. Gabriel Popa, Iaşi A P B Soluţie. Notăm AP = CM = x, BP = a şi BM = b. Din P AP NMCD = P MNP B + 4 obţinem că x = 1(m) şi, de aici, rezultă că a, b N. Din A ABCD = 3 A MNP B deducem că (a + 1)(b + 1) = 3ab, de unde (a 5)(b 5) = 75. Cum a > b, putem avea (a, b) {(8, 6); (3, 8); (, 1)}. În concluzie, (AB, CD) {(9, 16); (4, 18); (3, )}. VI.187. Determinaţi restul împărţirii numărului N = prin 9. Viorica Dogaru, Giurgiu Soluţie. Avem: 15 4 = (M 9 1) 4 = M 9 +( 1) 4 = M 9 +1; 4 15 = (4 3 ) = (M 9 + 1) = (M 9 + 1) 16 = M 9 + 7, deci N = (M 9 + 1)(M 9 + 7) = M VI.188. Fie p un numar natural cu proprietatea că, oricare ar fi numerele a, b {1,,..., p 1}, produsul ab nu este divizibil cu p. Arătaţi că p este număr prim. Petru Asaftei, Iaşi Soluţie. Evident, p = 1 nu verifică ipoteza problemei. Fie p ca în enunţ şi să presupunem că p nu ar fi număr prim. Atunci p va avea o pereche de divizori proprii (nu neapărat distincţi) de formad, p d, cu d {1,,..., p 1}. Ar rezulta că 146
5 produsul d p = p nu se divide cu p, contradicţie. Astfel, rămâne adevărată concluzia d problemei. VI.189. Determinaţi numerele prime p şi q pentru care p + q = 1q + p. Titu Zvonaru, Comăneşti Soluţie. Dacă p = avem 1q q = şi nu obţinem soluţii, iar dacă q = avem p p 8 = şi, de asemenea, nu avem soluţii. Rezultă că p şi q sunt impare. Relaţia dată se poate scrie sub forma p q (p q) = q, deci (p q)(p + q 1) = q. Cum p q nu se divide cu q, atunci p = kq + 1 şi rezultă că (p q)(k + 1) = q. Cu acelaşi argument, k = tq 1 şi atunci p = tq q + 1 şi (tq q + 1)t =. Dacă t ar fi par, atunci p = tq q + 1 ar fi par, contradicţie. Rămâne că t {1, 5, 5}. Prin verificare directă, convine doar varianta t = 5, când p = 43 şi q = 3. VI.19. Considerăm a, b, c şi d cifre nenule în baza 1 (la litere diferite corespund cifre diferite) astfel încât numărul N = abc (d) cba (d) este multiplu de 63. Stabiliţi câte astfel de 4-uple (a, b, c, d) există. Neculai Stanciu, Buzău Soluţie. Se impun condiţiile d > a, d > b, d > c (pentru că a, b, c sunt cifre în baza d) şi a > c (pentru a putea fi efectuată scăderea). Avem: N = (ad + bd + c) (cd + bd + a) = d (a c) (a c) = (a c)(d 1)(d + 1). Cum N..7, avem variantele: (i) a c = 7; atunci (a, c) = (8, 1), deci d = 9 şi N = nu se divide cu 63. (ii) d 1 = 7; atunci d = 8, deci N = 63 (a c)..63. Perechea (a, c) poate fi aleasă în 7 6 = 1 moduri (pentru că a, c {1,,..., 7} şi a > c) şi, în fiecare caz, valoarea lui b poate fi aleasă în câte 5 moduri. Rezultă 1 5 = 15 soluţii. (iii) d + 1 = 7; atunci d = 6, deci N = 35(a c). Cum a, c 5, nu este posibil ca a c să se dividă cu 9, deci nu avem soluţii în acest caz. În conlcuzie, există 15 4-uple cu proprietăţile dorite. VI.191. Fie n un număr natural nenul. Determinaţi numărul soluţiilor întregi (x 1, x,..., x n ) ale ecuaţiei x 1 x... x n n + 1 =. Gheorghe Iurea, Iaşi Soluţie. Dacă (a 1, a,..., a n ) este soluţie a ecuaţiei din enunţ, atunci a i { 1, 1}, i = 1, n. Pentru n = k, egalitatea a 1 a... a k k + 1 = este echivalentă cu a 1 a 3... a k 1 +1 =. Putem elege a 1, a 3,..., a k 3 în mod arbitrar, iar a k 1 va fi bine determinat prin a k 1 = a 1 a 3... a k 3. Cum a, a 4,..., a k pot fi arbitrar alese din mulţimea { 1, 1}, rezultă că ecuaţia dată are k 1 = n 1 soluţii. Dacă n = k + 1, procedând analog, găsim tot n 1 soluţii ale ecuaţii din enunţ. VI.19. Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC. Notăm cu D simetricul lui C faţă de dreapta BI şi cu E simetricul lui B faţă de dreapta CI. Demonstraţi că ID BE dacă şi numai dacă IE CD. Titu Zvonaru, Comăneşti Soluţie. Fie m(òb) = b, m(òc) = c. Din motive de simetrie, deducem uşor că punctul D aparţine dreptei AB, iar punctul E aparţine dreptei AC; notăm {T } = AC DI. Deoarece BCD este isoscel (BC = BD) şi BI, CI sunt 147
6 bisectoarele unghiuriloròb, respectivòc, avem că m(õbcd) = 9 b, m(õicd) = m(õidc) = 9 b c, m(õt CD) = 9 b c şi, analog, m(õbec) = 9 c. CumÔIT C este unghi exterior T CD, rezultă că m(ôit C) = m(õidc) + m(õt CD) = 9 b c + 9 b c = 18 b 3c. Astfel, avem ID BE = ÔIT C ÕBEC 18 b 3c = 9 c b + c = 45. Analog se arată că IE CD b + c = 45, de unde concluzia problemei. D T A E C I B Clasa a VII-a {z } n+1 {z } n {z } n {z } n VII.186. Dacă n este număr natural nenul, arătaţi că numerele şi sunt compuse. {z } n {z } n Titu Zvonaru, Comăneşti Soluţie. Avem: = 1 n + 1 n 1 = ( 1 n 1)(1 n + 1) şi {z } n+1 {z } n = 1 n n 1 = 1 n + 1 n 1 = (4 1 n + 1)(5 1 n 1), ceea ce arată că numerele din enunţ sunt compuse. VII.187. Dacă a, b, c sunt numere reale pozitive, arătaţi că a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) 1abc. Romeo Cernat, Iaşi (a + b) Soluţie. Este imediată inegalitatea 4. Scriem încă două inegaliţăţi ab similare şi, prin adunarea lor, obţinem o relaţie echivalentă cu cea din enunţ. A P D VII.188. Pe laturile AB, CD şi AD ale paralelogramului ABCD se consideră punctele M, N, 3 4 S S N M E F respectiv P şi fie {E} = BP M N, {F } = S CP MN. Notăm cu S, S 1, S, S 3 şi S 4 ariile S1 suprafeţelor ABCD, BM E, CN F, AM EP, respectiv DNF P. Demonstraţi că S 4( S 1 S + S 3 S 4 ). B C Mihai Haivas, Iaşi Soluţie. Cum A P BC = 1 A ABCD, înseamnă că S 1 + S + S 3 + S 4 = 1 S. Atunci 4 S = (S 1 + S + S 3 + S 4 ) 4( S 1 S + S 3 S 4 ), conform inegalităţii mediilor MA MG. VII.189. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 3BC şi punctele E, F (AB) astfel încât AE = EF = F B. Dacă {N} = CF AD, arătaţi că NE DF. Cătălin Cristea, Craiova Soluţie. Triunghiurile ADE şi BCF sunt dreptunghice isoscele, prin urmare 148
7 D C m(õade) = m(õbcf ) = m(õdcn) = 45. Rezultă că m(õdnc) = 18 9 m(õdcn) = 45, deci m(ödmn) = 18 m(õade) m(õdnc) = 9, E unde {M} = DE CN. Astfel, DM este înălţime A F B în NDF şi, cum F A este tot înălţime, punctul E va fi ortocentrul acestui triunghi. De aici rezultă că M NE DF. VII.19. Fie ABCD un patrulater cu AB +CD = BC +AD. Arătaţi că AB CD dacă şi numai dacă cercurile de diametre BC, respectiv AD sunt tangente. Ioan Săcăleanu, Hârlău, Iaşi N Soluţie. Notăm cu O 1 şi O mijloacele laturilor AD, respectiv BC. Presupunem întâi că AB CD; cum O 1 O este linie mijlocie în trapezul/paralelogramul ABCD, AB + CD AD + BC rezultă că O 1 O = = = r 1 + r, deci cercurile de diametre AB şi BC sunt tangente. Reciproc, presupunem că cele două cercuri sunt tangente şi fie AD + BC S mijlocul lui BD. Avem: O 1 O = r 1 + r = = AB + CD = O 1S + O S, conform teoremei liniei mijlocii aplicată în triunghiurile ABD şi ABC. Deducem că S O 1 O, de unde O 1 O AB CD. VII.191. Fie M mijlocul bazei mari AB a trapezului ABCD şi E un punct pe diagonala AC. Notăm {P } = CM BE, {F } = AP BC, {G} = F E AD, {Q} = CG DE, {N} = AQ CD. Arătaţi că N este mijlocul bazei mici CD. Eugeniu Blăjuţ, Bacău Soluţie. Aplicând teorema lui Ceva în ABC, obţinem că CE EA AM MB BF CE = 1, de unde F C EA = CF. Deducem că EF AB, deci GE CD, prin urmare F B AG GD = AE. Însă, din teorema lui Ceva aplicată în EC ACD, obţinem că AG GD DN NC EC = 1. Rezultă că AE DN = 1, adică N este mijlocul lui CD. NC G D N C Q E A M B VII.19. Un dreptunghi are perimetrul de 58m. Este posibil să luăm zece puncte pe conturul dreptunghiului astfel încât distanţa dintre oricare două puncte consecutive să fie de 5m? P F Gabriel Popa, Iaşi Soluţie. Răspunsul este afirmativ: fie ABCD dreptunghiul şi X 1, X, X 3 AB, X 4, X 5 BC, X 6, X 7, X 8 CD, X 9, X 1 DA astfel încât AX 1 = BX 4 = CX 6 = DX 9 = 3m, AX 1 = BX 3 = CX 5 = DX 8 = 4 m şi X 1 X = X X 3 = X 4 X 5 = X 6 X 7 = X 7 X 8 = X 9 X 1 = 5m. Pentru această configuraţie, toate cerinţele din enunţ sunt îndeplinite. 149
8 Clasa a VIII-a VIII.186. Pe planul triunghiului ABC cu m(ba) = 9 se ridică perpendiculara AP. Notăm cu M şi N proiecţiile punctului A pe P B, respectiv P C. Demonstraţi că ÕABN ÖACM dacă şi numai dacă P B = P C. Gabriel Popa, Iaşi Soluţie. Cum AC AP şi AC AB, rezultă că AC (P AB), deci AC P B. Avem şi AM P B, aşadar P B (CAM). Analog se arată că P C (BAN). Fie {H} = BN CM; atunci AH = (CAM) (BAN) şi, din cele de mai sus, obţinem că P B AH şi P C OH, adică AH (P BC). În triunghiul P BC, CM şi BN sunt înălţimi. Se obţine uşor că P B = P C dacă şi numai dacă CM = BN. UnghiurileÕABN şiöacm sunt congruente dacă şi numai dacă AB = AC (via triunghiurile dreptunghice HAB şi HAC), fapt care se petrece dacă şi numai dacă BN = CM (via triunghiurile dreptunghice ABN şi ACM). VIII.187. Determinaţi numerele reale x, y şi z, ştiind că x 4 + 7y = 3(y 3 + 7), y 4 + 7z = 3(z 3 + 7) şi z 4 + 7x = 3(x 3 + 7). Vasile Chiriac, Bacău Soluţie. Adunând membru cu membru relaţiile din enunţ, obţinem căp(x 4 + 3x 3 + 7x + 81) =, adicăp(x + 3) (x 3x + 9) =. Cum (x + 3) şi x 3x + 9 >, rezultă că x + 3 = y + 3 = z + 3 =, aşadar x = y = z = 3. VIII.188. Dacă x şi y sunt numere reale pentru care au sens radicalii, arătaţi că 44 x y x + y + 7x + 7y Cristian Pătraşcu şi Andrei Spătaru, elevi, Craiova Soluţia 1 (Păucă Georgiana-Sânziana, Hălăucă Andrei, elevi, Truşeşti (Botoşani)). Se aplică inegalitatea mediilor pentru fiecare termen al sumei din membrul stâng: 44 x y (x y + 76), (755 x + y) 151 4x + y, 7 + (x + y + 5) 7x + 7y Prin adunarea acestor inegalităţi, se obţine imediat inegalitatea cerută. Soluţia (a autorilor). Notăm cu A numărul din membru stâng al inegalităţii din enunţ. Folosind inegalitatea C-B-S, avem: A (44 +(6 ) +( 7) )((x y + 76) + (755 x + y) + (x + y + 5)) = 15 15, de unde cerinţa problemei. VIII.189. Dacă x, y, z sunt numere reale, arătaţi că (3x y + z) 4 + (x + 3y z) 4 + (x y 3z) (x + y + z)4. Constantin Dragomir, Piteşti Soluţie. Cum 3(u +v +w ) (u+v+w), u, v, w R, avem că 3(a 4 +b 4 +c 4 ) (a + b + c ) + b + c) (a (a + b + c)4 =, deci a 4 + b 4 + c 4 (a + b + c) Luăm a = 3x y + z, b = x + 3y z şi c = x + y + 3z şi obţinem inegalitatea din enunţ. Avem egalitate când a = b = c, deci pentru x = y = z. VIII.19. Fie a 1, a,..., a n [ 1, ) (, 1] şi x 1, x,..., x n [1, ), astfel 15
9 încâtèx 1 a 1 +Èx a Èx n a n = x 1 a 1 + x a x n a n. Arătaţi că x 1 + x x n n. Când se atinge egalitatea? Cecilia Deaconescu, Piteşti Soluţie. Observăm căèx k a k x k (această inegalitate revine, după calcule, la (x k a k ) ), cu egalitate dacă şi numai dacă x k = a k a k. Ţinând cont de egalitatea din enunţ, decucem că x 1 = a 1, x = a,..., x n = a n şi atunci x 1 + x x n = (a 1 + a a n) ( ) = n. Avem egalitate dacă şi numai dacă a k { 1, 1} şi x k =, oricare ar fi k {1,,..., n}. VIII.191. Rezolvaţi în numere întregi ecuaţia 13x + 14x + 1 = 9 x. Dan Popescu, Suceava Soluţia 1 (Păucă Georgiana-Sânziana, Truşeşti (Botoşani)). Evident, x = este soluţie a ecuaţiei. Căutăm soluţiile x N. Scriind ecuaţia în forma (x + 1)(13 + 1) = 9 x sau, încă, (x + 1)[1z + (x + 1)] = 9 x, deducem că 3 x + 1, adică x = 3k 1, k N. Înlocuind în ecuaţia precedentă, obţinem ecuaţia: k(13k 4) = 93k. Cum k = 1 este o soluţie, rezultă că ecuaţia iniţială are soluţia x =. Arătăm acum că ecuaţia în k nu are soluţii k 1. Într-adevăr, dacă ar exista un astfel de k, am avea k 9 3k şi 13k 4 9 3k. De aici, ţinând seama şi de faptul că 13k 4 1, rezultă că 3 k şi 3 13k 4. Dar 13k 4 = (1k 3) + (k 1), deci 3 k 1, în contradicţie cu 3 k. În concluzie, ecuaţia dată are soluţiile şi. Soluţia (a autorilor). Se obervă că x = este soluţie. Ecuaţia nu admite soluţii negative, deoarece membrul stâng ar fi număr întreg, în timp ce 9 x Q\Z, x Z. Dacă x N, ecuaţia se scrie sub forma (x + 1)(13x + 1) = 3 x ; rezultă că x + 1 = 3 a, 13x+1 = 3 b, cu a, b N, a+b = x, a < b. Deducem că 1x = 3 b 3 a = 3 a (3 b a 1) şi, cum x = 3 a 1../3, obţinem că a = 1, de unde x =. În concluzie, soluţiile ecuaţiei date sunt x {, }. Soluţia 3 (Hălăucă Andrei, elev, Truşeşti (Botoşani)). Se constată direct că x = şi x = sunt soluţii ale ecuaţiei. Acestea sunt singurele soluţii, căci parabola f(x) = 13x + 14x + 1 şi exponenţiala g(x) = 9 x, x R, nu pot avea mai mult de două puncte de intersecţie. VIII.19. Dacă n este număr natural nenul, arătaţi că A = n 1 ( n 1)( n+1 1) nu poate fi cub perfect. Lucian Tuţescu şi Liviu Smarandache, Craiova Soluţia 1 (Hălăucă Andrei, elev, Truşeşti (Botoşani)). Vom arăta că ( n 1) 3 < A < ( n ) 3, de unde va rezulta afirmaţia cerută. Într-adevăr, avem A < n 1 n n+1 = 3n = ( n ) 3, iar faptul că A > ( n 1) 3, adică n 1 ( n 1)( n+1 1) > ( n 1) 3, se verifică prin calcul direct. Soluţia (a autorilor). Pentru n = 1, obţinem A = 3, care nu este cub perfect. Fie n şi presupunem, prin absurd, că A este cub perfect; cum n 1 este par şi n 1, n+1 1 sunt impare, rezultă că n = 3k + 1, unde k N. Se observă că n 1 şi n+1 1 sunt prime între ele, deci vom avea n 1 = m 3 şi n+1 1 = p 3. Atunci m = n, deci (m + 1)(m m + 1) = n ; însă m m + 1 este număr impar şi se impune ca m m + 1 = 1, de unde m = 1, adică n = 1, contradicţie. 151
10 Clasa a IX-a IX.156. Pentru a, b R, se consideră ecuaţia x + ax + b = şi funcţia f : R\n a ax + b f(x) = o R, x + a. Ştiind că ecuaţia are soluţiile reale distincte x 1 şi x, arătaţi că, pentru orice t R\n a, x 1, x o, între t şi f(t) se află exact una dintre soluţiile ecuaţiei. Mihai Dicu, Craiova Soluţie. Considerăm funcţia g : R R, g(x) = x + ax + b. Prin calcul, se arată că g(f(t)) = g(t) ; cum >, rezultă că g(t) şi g(f(t)) au semne contrare şi, (t + a) de aici, concluzia problemei. IX.157. Fie a, b şi c numere reale astfel încât a + b + c = abc. Demonstraţi că É1 + 1 a +É1 + 1 b +É1 + 1 c 3. Andrei Nicolaescu şi Cristian Pătraşcu, elevi, Craiova Soluţia 1 (a autorilor). Cum a + b + c = abc, există un triunghi ABC astfel încât a = tg A, b = tg B şi C = tg C. Inegalitatea din enunţ revine lap 1 sin A 3. Folosind inegalitatea lui Bergström şi binecunoscuta sin A + sin B + sin C 3 3, 1 ( ) obţinem căp sin A Psin A = 3 şi, astfel, soluţia este completă. Soluţia (Titu Zvonaru). Observăm că 1 a + 1 b + 1 = c 1 a + 1 b + 1 c + (ab + bc + ca) 1 abc ab + 1 bc = 3. Folosind definiţia modulului unui număr ca complex şi inegalitatea triunghiului, avem: a i a + 1 b + 1 c i= =X Xr1 + 1 a =Ê9 + 1 a + 1 b + 1 c = 3. IX.158. Se consideră triunghiul ABC cu m(ba) 6. Arătaţi că 3 a max{b, c}. 3 Ovidiu Pop, Satu Mare Soluţie. Cum m(ba) hπ 3, π, avem cos A 1,, 1 deci b + c a 1 bc, aşadar b + c bc a. Dar b + c bc =b c Œ 3 + c c Œ 3, prin urmare a c Œ 3, adică 3 3 a c. Analog se arată că 3 3 a b. IX.159. Pe laturile AB, BC şi CA ale triungiului ABC se consideră punctele P, M, respectiv N astfel încât 3AP = BP, iar cevienele AM, BN şi CP să fie 15
11 concurente. Dacă raportul ariilor triunghiurilor MNP şi ABC este 6, arătaţi că 5 una dintre cevienele AM şi BN este mediană. Andi Brojbeanu, elev, Târgovişte Avem: Soluţie. AP AB AN 3 5 S MNP S ABC NC BP BA BM k k k + 3 Egalând S MNP S ABC cu 6 5 Dacă BM MC = 1 S AP N S BMP S ABC S ABC BC CM CB CN CN = k, din teorema lui Ceva obţinem că NA = 3 k. S CMN S ABC = 1 k k + 3 CA = k + 1 = k + 13k + 15 k + 5k + 3. şi efectuând calculele, obţinem ecuaţia k 5k+3 =, cu soluţiile k 1 = 1 şi k = 3. În primul caz, BM = MC, în cel de-al doilea, CN = NA. IX.16. Fie AB baza mare a trapezului ABCD, iar M, N, P şi Q mijloacele segmentelor AD, BC, AC, respectiv BD. a) Demonstraţi că ABCD este patrulater circumscriptibil dacă şi numai dacă P Q MN = sin(a + B) sin A + sin B. b) Arătaţi că ABCD este trapez isoscel circumscriptibil dacă şi numai dacă P Q MN = cos A. Claudiu-Ştefan Popa, Iaşi Soluţie. a) Ducem CE AD, cu E AB; din BCE, folosind teorema sinusurilor, obţinem că BC D C sin A = CE sinb = BE sinõbce. Însă CE = AD, BE = AB CD şi sinõbce = sin(π M N (ba +ÒB)) = sin(ba +ÒB), deci BC = (AB CD) P Q sin A sin B şi AD = (AB CD) sin(a + B) sin(a + B). Astfel, A E B ABCD este circumscriptibil AB + CD = BC + sin A + sin B AD AB + CD = (AB CD) sin(a + B) P Q MN B P A MN = P Q M N sin A + sin B sin(a + B) sin A + sin B = sin(a + B). sin(a + B) b) Avem = cos A sin A cos B+cos A sin B = sin A cos A+sin B cos A sin A + sin B sin A(cos B cos A) = cos A = cos B A = B, de unde cerinţa problemei. Clasa a X-a X.156. Rezolvaţi în R ecuatiaèx + x x 153 +Èx x + =Èx x. x x Marian Cucoaneş, Mărăşeşti C
12 Soluţie. Din condiţiile de existenţă pentru radicali găsim că x [1, ). Notăm x = t, deci x = t, t [1, ); ecuaţia devine t + t + t t = t t + t, sau t + t(t 1) = t t, adică t(t + 1)(t 1) = t(t 1). Obţinem că t {1, }, de unde x {1, }. X.157. Fie a, b (, 1) (1, ), cu ab 1. Rezolvaţi în R ecuaţia a x log ab a + b x log ab b = a x b x. Mihai Dicu, Craiova Soluţie. Împărţind în ambii membri prin ax b x, ecuaţia se scrie sub forma f(x) = 1, unde f : R R este definită prin f(x) = 1 log ab a+ 1 log ab b. Considerând b x a x cazurile: (i) a > 1, b > 1; (ii) a < 1, b < 1; (iii) a < 1 < b (sau b < 1 < a) şi ab < 1; (iv) a < 1 < b (sau b < 1 < a) şi ab > 1, se arată că f este, de fiecare dată, funcţie strict monotonă, deci injectivă. Astfel, ecuaţia f(x) = 1 are cel mult o soluţie. Cum f() = 1, rezultă că x = este unica soluţie a ecuaţiei. X.158. Fie a, b R astfel încât ecuaţia z 3 + az + b = să aibă trei soluţii complexe distincte şi cu acelaşi modul. Arătaţi că aceste soluţii sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral. Dan Nedeianu, Drobeta Tr. Severin Soluţia 1 (Hălăucă Andrei, elev, Truşeşti (Botoşani)). Fie punctele A(z 1 ), B(z ), C(z 3 ). Ele sunt trei puncte distincte pe cercul C(O, R), unde R = z 1 = z = z 3. Centrul de greutate al triunghiului ABC are afixul z = 1 3 (z 1 + z + z 3 ) =, conform uneia dintre relaţiile Viète relativ la ecuaţia z 3 + az + b =. Aşadar, pentru triunghiul ABC originea este atât centrul cercului circumscris cât şi centrul său de greutate, deci el este echilateral. Soluţia (a autorilor). Dacă z 1, z şi z 3 sunt soluţiile ecuaţiei din enunţ, atunci z 1 + z + z 3 =, z 1 z + z 1 z 3 + z z 3 = a şi z 1 z z 3 = b. Dacă z 1 = z = z 3 = r, atunci: z 1 + z + z 3 = r + r + r = r (z 1 z + z 1 z 3 + z z 3 ) = z 1 z z 3 z 1 z z 3 a = z 1, z, z 3 sunt rădăcinile cubice complexe ale lui b. Astfel, este adevărată cerinţa problemei. a X.159. Dacă a, b, c, d şi e sunt numere reale pozitive, arătaţi căp 5 bcde Pa. Mihai Crăciun, Paşcani Soluţia 1. Din inegalitatea mediilor, obţinem că a5 5 5ra +b+c+d+e 5 bcde bcde bcde a = 5a şi încă patru relaţii similare. Adunând membru cu membru, rezultă căp 5 bcde + 4Pa 5Pa, de unde inegalitatea dorită. Pa 5 Soluţia. Funcţia putere este convexă; din inegalitatea lui Jensen, Pa 6 a 6. AtunciP 5 =Pa6 bcde =Pa. 6 5 Pa abcde 5 abcde 154 (Pa)(Pa 5 = )5 (Pa) ( 5 abcde) 5 abcde abcde 5
13 X.16. Demonstraţi că, în orice triunghi ascuţitunghic, este adevărată inegalitatea cos 4 A + B cos4 + C cos r R. Neculai Roman, Mirceşti, Iaşi Soluţie. Avem: cos 4 A = 1 (cos A + 4 cos A + 3) şi încă două relaţii similare. 8 AtunciPcos 4 A = 1 8 (Pcos A + 4Pcos A + 9) = 1 [( 1 4 cos A cos B cos C) R+9i= r 1 4r (1 4 cos A cos B cos C + 8 R ) r R = r R. Clasa a XI-a XI.156. Fie n N, n. Spunem că matricele A, B M n (R) sunt legate dacă AB + BA = O n. a) Arătaţi că există două matrice legate care nu comută. b) Dacă A şi B sunt legate, demonstraţi că det(a + B ). Dumitru Crăciun, Fălticeni Soluţie. a) De exemplu, luăm A = ˆ şi B = ˆ b) Dacă AB + BA = O n, atunci (A + B) = A + B, prin urmare det(a + B ) = [det(a + B)]. XI.157. Fie α, β R, α β şi şirul (x n ) n 1 definit prin x 1 = α, x = β şi x n+ + x n x n+1, n N. Dacă şirul dat este convergent, arătaţi că α = β. Răzvan Drînceanu şi Liviu Smarandache, Craiova Soluţie. Din npk=1 (x k+ + x k ) npk=1 x k+1 obţinem că x n+ + x 1 x n+1 + x, deci x n+ x n+1 β α, n N. Atunci lim (x n+ x n+1 ) β α, de unde n β α. Însă β α, prin urmare α = β. XI.158. Dacă x, y R, x 1, arătaţi că x sin y + x cos y x + 1. D.M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti Soluţie. Pentru a [, 1], definim f : [1, ) R, f(x) = x a + x 1 a x 1. Cum f (x) = ax a 1 +(1 a)x a 1 şi f (x) = a(a 1)(x a +x a 1 ), x 1, deducem că f este descrescătoare, deci f (x) f (1) =. Atunci f este descrescătoare, prin urmare f(x) f(1) =. În concluzie, xa + x 1 a x + 1, x [1, ), a [, 1], cu egalitate pentru x = 1 sau a {, 1}. Luând a = sin y, obţinem cerinţa problemei. XI.159. Fie a R\{ 1, } şi f : R R o funcţie continuă în, cu f() = şi astfel încât af(ax)+f(x) = f(a x)+af(a 1 x), x R. Arătaţi că f(a k x) = a k f(x), x R, k Z. Sven Cortel, Manchester, UK 155
14 Soluţie. Considerăm funcţia g : R R, g(x) = f(ax) f(a 1 x); relaţia din enunţ se scrie sub forma ag(x) = g(ax), x R. Prin inducţie, se arată că a k g(x) = g(a k x), k Z, x R. I. Dacă a = 1, concluzia este evidentă. II. Dacă a ( 1, ) (, 1), arătăm întâi, prin inducţie, că f(a n x) f(x) = g(a n 1 x) + g(a n 3 x) g(ax). Atunci f(a n x) f(x) = ag(x) (1 + a a n ) = ag(x) an 1 a. Trecem la limită după n şi obţinem că f(x) = a 1 a 1 g(x) = 1 a 1 g(ax) = 1 a 1 (f(a x) f(x)), deci a f(x) = f(a x). Trecem x a 1 x şi deducem că af(a 1 x) = a 1 f(ax), prin urmare af(x) + f(x) = a f(x) + a 1 f(ax), de unde (1 a )f(x) = a 1 (1 a )f(ax), prin urmare af(x) = f(ax), x R. Se arată acum uşor, prin inducţie, că are loc cerinţa problemei. III. Dacă a (, 1) (1, ), notăm b = a 1 ( 1, 1) şi demonstrăm prin inducţie, că f(x) f(u n x) = g(u n 1 x) + g(u n 3 x) g(ux) şi soluţia continuă ca în cazul II. XI.16. Fie (x n ), (y n ) şi (z n ) şiruri de numere întregi definite prin relaţiile x n+1 = y n + z n, y n+1 = x n + z n şi z n+1 = x n + y n, n N, unde x 1, y 1, z 1 sunt numere întregi date. Demonstraţi că există a, b, c, d, e, f, g Z (care se pot alege într-o infinitate de moduri esenţial distincte) pentru care ax n + by n + cz n + dx n y n + ex n z n + fy n z n = g, n N. Marian Tetiva, Bârlad Soluţie. Considerăm şirul (g n ) de termen general g n = ax n +by n +cz n +dx n y n + ex n z n + fy n z n. Impunem condiţia g n+1 = g n, n N ; folosind relaţiile de recurenţă obţinem, identificând coeficienţii lui x n, y n,..., y n z n, sistemul de ecuaţii b + c + f = a, a + c + e = b, a + b + d = c, a + d + e =, b + d + f =, c + e + f =. Cum acest sistem admite soluţia (a, b, c, a b + c, a + b c, a b c), a, b, c Z, concluzia rezultă; desigur, odată ce am fixat a, b, c, d, e, f, trebuie ales g 1 = ax 1 + by 1 + cz 1 + dx 1 y 1 + ex 1 z 1 + fy 1 z 1. Clasa a XII-a XII.156. Determinaţi funcţiile derivabile y = y(x), x (, ), cu proprietatea că x(x + 1) y (x) + y(x) = e x (x + 1). Adrian Corduneanu, Iaşi x Soluţie. Observând că forma 1 = x + 1 (x + 1), ecuaţia se scrie sub x y x + 1 = e x x. Rezultă că există c R astfel încât x + 1 y = ex +c, prin urmare funcţile căutate sunt cele de forma y c (x) = (x + 1)(ex + c), x (, ), c R. x 156
15 =Z x XII.157. Calculaţi I Z =Z Soluţie. Avem: =Z (x + ) + 6 cos (x + ) 4 cos x dx Z Z cos x (x + ) 3 Z(x+) 3 cos sin x dx cos x cos x dx (x + ) (x + ) 3 + sin x (x + ) XII Considerăm a n =Zπ + 4x + 1 (x + dx+6z ) 4 cos x dx, unde x (, ). =Z Mihaela Berindeanu, Bucureşti x (x + ) 3 cos x (x + ) cos x dx 3 Z (x + ) dx x cos x (x + ) dx (x + ) (x + ) 3 sin x dx = cos x sin x dx = (x + ) (x + ) cos x (x + ) 3 + C. π 6 1 sin n x 1 + sin n x ctg x dx, n N. Determinaţi limita şirului (a n ) n 1. Ionel Tudor, Călugăreni şi Stelian Piscan, Giurgiu Soluţie. Cu substituţia sin x = t, obţinem că 1 t a n =Z1 n dt t =Z1 n 1 (1 t n ) 1 + tn t t n (1 + t n ) dt = (tn = y) = 1 Z1 n 1 n (ln y ln(1 + y))1 1 ln. 1 n = 1 y 1 y(1 + y) dy = n 1 + n ln 1 1 n +n ln ln, prin urmare lim a n = n XII.159. Fie f : [, 1] R o funcţie continuă astfel încâtr1 f(x)dx =. Demonstraţi că (R1 xf(x)dx) R1 (1 x )f (x)dx. Florin Stănescu, Găeşti Soluţie. Folosind formula de integrare prin părţi, Z1Z1 f(t)dtdx =Z1 Z1 x f(t)dtdx =Z1 xf(x)dx. Utilizând C-B-S (forma x x căz1 integrală), obţinem xf(x)dx = Z1 Zx f(t)dt dx Z1 1 dx Z1 Zx Z1 f(t)dt x Zx problemei. dx Z1 Zx f (t)dt dx = 1 Z1 1 dt Zx f (t)dt dx =Z1 x Zx f (t)dt dx = f (x)dx Z1 x f(x)dx, de unde concluzie XII.16. Fie P k R[X], k N, cu proprietatea că P k (n) = S k (n), n N, unde S k (n) = 1 k + k n k. Demonstraţi că P k este polinom de grad k + 1, care se divide cu X(X + 1). Ovidiu Pop, Satu-Mare Soluţie. Avem că (x + 1) k+1 x k+1 = Ck+1 1 xk + Ck+1 xk Ck+1 k x + Ck+1 k+1, x R, k N. Dând lui x valorile 1,,..., n şi sumând egalităţile obţinute, deducem că (n + 1) k+1 (n + 1) = C 1 k+1s k (n) + C k+1s k 1 (n) C k k+1s 1 (n), 157
16 oricare ar fi k N şi n N. Cum S k (n) = P k (n), k N şi relaţia precedentă are loc pentru o infinitate de valori ale lui n, rezultă că (X + 1) k+1 (X + 1) = C 1 k+1p k + C k+1p k C k k+1p 1, k N. Atunci P k = 1 k + 1 [(X + 1)k+1 (X + 1) (C k+1 P k C k k+1 P 1)] şi, evident, P 1 = 1 X(X + 1). Din acest moment, cerinţele problemei se demonstrează prin inducţie matematică. Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 1/15 A. Nivel gimnazial G76. Determinaţi valoarea maximă a numărului real α pentru care x3 a + y3 b αxy(x + y), oricare ar fi numerele reale pozitive x, y, a şi b. a + b Alexandru Blaga, Satu Mare Soluţie. În soluţia problemei IX.15 (a se vedea RecMat 1/15, p.63) s-a arătat că x3 a + y3 xy(x + y), x, y, z, b (, ), deci α max. Pe de altă parte, pentru b a + b a = b şi x = y, obţinem că x3 a αx3, x, a (, ), prin urmare α. În a concluzie, valoarea maximă cerută a lui α este. G77. Fie x 1, x,..., x n+1 (unde n N ) numere reale pozitive cu n+1 x i = Pi=1 n + 1. Arătaţi că n+1 Pi=1 x i nx i + n Lucian Tuţescu şi Teodora Rădulescu, Craiova Soluţie. Din inegalitatea mediilor, nx 1 +n+1 (n+1) n+1è(x 1 )n 1 n+1. Atunci x 1 nx 1 + n + 1 x 1 1 = (n + 1) n+1èx n n + 1 n+1 1 x 1 n + 1 x = n x 1 + n. Scriem încă n inegalităţi similare şi, prin sumarea lor, obţinem că (n + 1) n+1 x i Pi=1 nx i + n (n + 1) n+1 (x i + n) = 1. Se obţine egalitate pentru x 1 = Pi=1 x =... = x n+1 = 1. G78. Demonstraţi că nu există numere naturale nenule n pentru care numărul a n = 5 n + 5 n n 1 să fie pătrat perfect. Radu Miron, elev, Iaşi Soluţie. Presupunem, prin absurd, că a n ar fi pătrat perfect pentru un anumit n N. Cum a n = 5 n ( n 1 ) şi numerele 5 n şi b = n 1 158
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραConcursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a
Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a
Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραSoluţiile problemelor propuse în nr. 2/2011
Soluţiile problemelor propuse în nr. /11 Clasele primare P.6. Fie numerele a = 1 + şi b = 9. Înlocuiţi cercul şi pătratul cu cifre corespunzătoare astfel încât a + b = 15. (Clasa I) Amalia Munteanu, elevă,
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραCERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSoluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2015
kp p Am folosit kp faptul că lim n p (q) q kp p + +... + π n P p [ k ] q q 6 ; ca urmare, kp p π k 6 π 6 π. Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. /05 ( ) p p A. Nivel gimnazial
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.
Varianta 1 1 a) Rezultatul calculului 3,7 1 6 este egal cu numărul b) Rădăcina pătrată a numărului 11 este egală cu numărul c) Media aritmetică a numerelor 3 + 7 şi 3 7 este egală cu a) Soluţia întreagă
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a 1. Aflați cel mai mare număr de cinci cifre astfel încât cea de-a patra cifră să fie mai mare decât cea de-a cincea, a treia să fie
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VI-a
Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a X-a, MAI 2010 CLASA A IV-A
Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A IV-A I. Suma a două numere naturale este 75. Dacă adunăm de patru ori primul număr cu de trei ori al doilea număr obţinem 40. Aflaţi numărul cel mai mare. Eugenia Miron
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A
OLIMPIAA E MATEMATICĂ 3 februarie 014 CLASA A V-A 1.) Ultima cifră a unui număr natural de patru cifre este 7. acă mutăm cifra 7 de pe locul unităţilor pe locul miilor, ob inem un număr cu 86 mai mare
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραConcursul de matematica Arhimede Editia a IV-a. Etapa I-a 25 noiembrie Subiecte clasa a III-a
Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a III-a I. Aflati cea mai mica suma de forma în care s-au folosit doar cifrele 0,,, 4, 5, 6 o singura data. Aratati variantele posibile. II. a)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă
Maranda Linţ Dorin Linţ Rozalia Marinescu Dan Ştefan Marinescu Mihai Monea Steluţa Monea Marian Stroe Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă clasa a VIII-a mate 000
Διαβάστε περισσότεραTRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραTestul nr. 1. Testul nr. 2
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραTimp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.
Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραConcursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a
Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, 17-22 august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότερα3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I
GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a 1. Să se determine două numere naturale a și b astfel încât c.m.m.d.c.pa,bq 12 și c.m.m.m.c.pa, bq 216. Câte soluții are problema?
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότερα