URČENIE KOEFICIENTU DYNAMICKEJ VISKOZITY TELIESKOVÝMI VISKOZIMETRAMI

Transcript

1 74 URČENIE KOEICIENTU DYNAMICKEJ VISKOZITY TELIESKOVÝMI VISKOZIMETRAMI Doc. RNDr. D. Vajda, CSc., RNDr. B. Trpišová, Ph.D. Teoretický úvod: Vnútorné trenie alebo viskozita kvapaliny je ierou jej vlastnosti tiecť. Kvapaliny s enšou viskozitou (voda) tečú ľahšie ako kvapaliny s väčšou viskozitou (ed). Reálne kvapaliny sa vždy vyznačujú vnútorný trení. Jeho príčinou sú väzbové sily, prostredníctvo ktorých sa k sebe viažu atóy resp. olekuly, z ktorých kvapalina pozostáva. Ak tieto väzbové sily nie sú veľké, ôžu sa ľahko prerušiť, takže jednotlivé čiastočky kvapaliny sa ôžu po sebe posúvať a kvapalina ôže tiecť. Ak sú tieto sily veľké, tečenie kvapaliny je veľi poalé. Predstave si kvapalinu prúdiacu v potrubí v sere osi X, obr.. Rozdeľe ju na veľi tenké vrstvy, ktoré v závislosti od vzdialenosti od steny potrubia, t. j. od súradnice y, sa pohybujú rôznyi rýchlosťai v, a to tak, že rýchlosť prúdenia kvapaliny sa zvyšuje s rastúcou vzdialenosťou od steny potrubia. Najvyššia je v strede potrubia, najenšia pri jeho stenách, lebo ta sú najväčšie väzbové sily edzi časticai kvapaliny a časticai ateriálu potrubia. Experient ukazuje, že edzi jednotlivýi vrstvičkai kvapaliny pohybujúcii sa rôznou rýchlosťou vzniká tangenciálne napätie. Jeho ser leží v sere rýchlosti (v sere osi X) a jeho veľkosť je daná vzťaho Obr. τ = η () dy dv kde je gradient (zena) rýchlosti v sere osi Y dy a η je koeficient dynaickej viskozity. Jednotkou koeficientu dynaickej viskozity je Pa.s s rozero kg - s -. Často užívanou jednotkou je pois (P) pričo P= - Pa.s. Na vyjadrenie viskóznych vlastností kvapalín sa okre koeficienta dynaickej viskozity η zavádza aj koeficient kineatickej viskozity ν vzťaho ν = η ρ, () kde ρ je hustota danej kvapaliny. Jednotkou ν je s -. Okre tejto jednotky sa užíva jednotka stok (St), pričo St = -4 s -. Telieskové viskozietre: Vnútorné trenie alebo viskozita tekutiny sa neprejavuje iba pri jej tečení, ale ovplyvňuje aj veľkosť sily odporu, ktorou pôsobí prostredie na pohybujúce sa teleso. Odpor voči pohybu vzniká preto, lebo edzi atóai resp. olekulai kvapaliny a telesa vznikajú väzbové sily. Aby sa teda teleso v kvapaline pohybovalo, usí na neho pôsobiť sila dostatočná na to, aby sa tieto väzby prerušili.

2 75 Obr. Pohyb telesa v kvapaline sa využíva na určovanie koeficientu dynaickej viskozity v tzv. telieskových viskozietroch. Sú to zariadenia, v ktorých koeficient dynaickej viskozity sa určuje z rýchlosti pádu telieska v eranej kvapaline. V toto prípade pôsobia na teliesko pohybujúce sa v kvapaline tri sily: tiaž telieska G r, vztlak r a odpor prostredia r. Orientácia síl je zrejá z obr.. Najčastejšie sa používa teliesko guľového tvaru. Ak guľôčka á hotnosť a poloer r, poto veľkosť pôsobiacich síl ôžee vyjadriť nasledovne: 4 3 = g = πr ρ g, (3) 3 G 4 3 = πr ρ g (4) 3 a silu v prípade lainárneho prúdenia (veľkosť a ser rýchlosti prúdiacej kvapaliny v ktorokoľvek jej bode sa s časo neenia) ôžee vyjadriť tzv. Stokesový vzťaho: = 6π η r, (5) kde ρ - hustota ateriálu, z ktorého je guľôčka ρ - hustota vyšetrovanej kvapaliny g - tiažové zrýchlenie v - rýchlosť pohybu guľôčky v kvapaline Aby se vyšetrili charakter pohybu guľôčky v kvapaline a z neho poto odvodli vzorec pre výpočet koeficientu dynaickej viskozity tejto kvapaliny, vyjdee z pohybovej rovnice pre guľôčku pohybujúcu sa v kvapaline vertikálne nadol. Túto rovnicu dostanee zo všeobecného tvaru pohybovej rovnice napísanej pre teleso s hotnosťou pohybujúce sa so zrýchlení a r v dôsledku pôsobenia síl r, r,..., r n r r a = = r n i i=. (6) Pripoeňe, že sua na pravej strane rovnice (6) predstavuje vektorový, nie algebraický, súčet síl r, r,..., r n. Pohybová rovnica guľôčky padajúcej v kvapaline bude teda na základe (6) r r r r r a = = + + G. (7)

3 76 Všetky sily vystupujúce v rovnici (7) ako aj rýchlosť guľôčky r ajú len zvislú zložku. Ak za kladný ser zvolíe ser zvisle nadol, ôžee (7) napísať v skalárno tvare a = = G ( + ). (8) Keďže rýchlosť a tiažová sila sú orientované v kladno sere zvolenej osi, sú ich zložky ( a G) pozdĺž tejto osi v rovnici (8) kladné čísla. Sily r a r sú orientované v záporno sere tejto osi, takže ich zložky pozdĺž nej sú záporné čísla a. Veličiny G a sú konštantné. však závisí od rýchlosti guľôčky. Keď guľôčka začne v kvapaline padať, je G > +, t. j. guľôčka bude ať podľa (8) nenulové kladné zrýchlenie a jej rýchlosť bude narastať. S narastajúcou rýchlosťou bude narastať aj veľkosť odporovej sily, a to dovtedy, ký G = +. Vtedy výraz na pravej strane (8) bude rovný nule. Na guľôčku nebude pôsobiť nijaká sila, takže od tohto okaihu sa guľôčka bude pohybovať konštantnou rýchlosťou (derivácia konštanty je nula), ktorú nadobudla v okaihu vyrovnania síl a ktorú označíe. Koeficient dynaickej viskozity η poto ôžee vypočítať z rovnosti G = +, do ktorej za G, a dosadíe z (3), (4) a (5), kde v (5) položíe =, takže áe ( ρ ρ ) r g η = (9) 9 Poznáka: Iný spôsob, ako ôžee odvodiť vzťah (9), je riešiť diferenciálnu rovnicu (8) pre rýchlosť guľôčky. Toto odvodenie ožno nájsť v Doplnku. Ak zeriae čas, za ktorý guľôčka pohybujúca sa už rovnoernou rýchlosťou prejde dráhu L, ôžee určiť jej rýchlosť v = L/t a po dosadení do vzťahu (9) ôžee stanoviť koeficient dynaickej viskozity ( ρ ) r ρ g t η =. () 9 L Ako rýchlo guľôčka dosiahne rýchlosť v, to závisí od rozdielu hustoty kvapaliny a ateriálu guľôčky. Ukazuje sa, že pri alo rozdiele hustôt guľôčka rýchlosť v dosiahne dosť rýchlo. Presnosť erania η závisí od rovnoernosti teploty vyšetrovanej kvapaliny a hlavne od toho, či rýchlosť v určujee na dráhe, na ktorej guľôčka už vykonáva rovnoerný pohyb alebo nie. Koeficient viskozity je silne závislý od teploty kvapaliny. Vzťah pre koeficient dynaickej viskozity () platí iba vtedy, keď guľôčka padá v neohraničeno prostredí. Pri páde guľôčky o poloere r pozdĺž osi trubice s vnútorný poloero R vypočítanú hodnotu koeficienta η podľa vzťahu () treba opraviť vynásobení korekčný faktoro r K = +, 4. () R

4 77 Stokesov viskozieter (Stokesova etóda). Metóda erania: Stokesov viskozieter tvorí dlhá trubica prieeru rádu c naplnená kvapalinou, ktorej koeficient dynaickej viskozity chcee zerať. Podstata erania touto etódou spočíva v to, že necháe guľôčku znáej hustoty ρ voľne padať v eranej kvapaline hustoty ρ. Meriae čas t, za ktorý prejde guľôčka dráhu L edzi dvoa prstencai horný P a dolný P, pričo L je úsek celkovej dráhy guľôčky, na ktorej sa guľôčka už pohybuje konštantnou rýchlosťou v. Pre eranie použijee sklenené alebo kovové guľôčky, ktoré sú dobre očistené a odastené. Úlohy:. Určte dráhu L pre daný typ guľôčky, t. j. stanovte uiestnenie prstenca P.. Zerajte časy pádu rôznych guľôčiek na dráhe L. 3. Určte koeficienty vnútorného trenia K = K η pre dva druhy guľôčiek, ako aj stredné kvadratické chyby aritetického prieeru δ K pre oba druhy guľôčiek. Postup erania a spracovanie výsledkov:. Zistite hustotu guľôčky ρ a hustotu kvapaliny ρ v jednotkách kg -3 z tabuliek, ktoré sa nachádzajú v laboratóriu.. Postupo uvedený nižšie určite dráhu L, na ktorej sa už guľôčka pohybuje konštantnou rýchlosťou. 3. Mikroetro zerajte prieer guľôčky, z neho určite jej poloer r a výsledok zapíšte do tabuľky I. 4. Poto pustite guľôčku do kvapaliny, a to taký spôsobo, že ju uchopíe pinzetou, ponoríe tesne pod hladinu kvapaliny a pustíe tak, aby se jej neudelili rotáciu. Zeriae čas t, za ktorý guľôčka prejde dráhu L edzi prstencai P a P. 5. Body 3 a 4 opakujte -krát pre rôznych guľôčiek dvoch typov (v laboratóriu sú obyčajne k dispozícii sklenené a olovené guľôčky), t. j. urobíe dvadsať eraní. 6. Pre každé eranie vypočítajte nekorigovaný koeficient dynaickej viskozity η použijúc rovnicu () a korekčný faktor K. Pre výpočet K potrebujee hodnotu vnútorného poloeru trubice R, ktorú získae zeraní jej vnútorného prieeru posuvný eradlo. 7. Zo znáych hodnôt η a K vypočítajte korigovaný koeficient dynaickej viskozity K = K η pre každú guľôčku. Pre každý typ guľôčky takto získae desať hodnôt K. 8. Z desiatich hodnôt K pre každý typ guľôčky vypočítajte aritetický prieer K a strednú kvadratickú chybu aritetického prieeru δ K. Tento výsledok udajte v tvare K = K ± δ K. 9. Požijúc K naiesto η vo vzťahu () vypočítajte koeficient kineatickej viskozity pre oba typy guľôčiek.

5 78 Číslo erania r [] t [s] [s - ] η [Pa.s] K Tabuľka I. K = K η [Pa.s] Určenie L: Pri eraní viskozity Stokesovou etódou usíe poznať dráhu, na ktorej sa guľôčka už pohybuje konštantnou rýchlosťou. Určíe ju buď výpočto (viď. etodickú poôcku: Doc. Ing. I. Čáp, CSc.: Meranie hustoty a súčiniteľa dynaickej viskozity kvapalín ) alebo nasledovný postupo:. Nastavíe horný prstenec P asi do polovice výšky trubice a prstenec P uiestnie ku spodnej časti trubice.. Horepopísaný spôsobo pustíe guľôčku do kvapaliny a zeriae čas, za ktorý guľôčka prejde vzdialenosť edzi prstencai P a P a z týchto údajov vypočítae rýchlosť pádu guľôčky. 3. Posuniee prstenec P asi do /3 výšky valca a opäť určíe rýchlosť pádu guľôčky ako v bode. Ak táto rýchlosť sa od predchádzajúcej značne nelíši (len v ráci presnosti erania), ôžee pristúpiť k saotnéu eraniu popísanéu vyššie. 4. Ak rýchlosť guľôčky zeraná v bode 3 bude enšia než v bode, opakujee postup určenia rýchlosti pre nižšie polohy prstenca P. Ak ani poto nedosiahnee rovnakých rýchlostí volíe enšiu guľôčku a opakujee postup. Kontrolné otázky:. Čo je viskozita kvapaliny a v akých jednotkách sa eria?. Ktoré sily pôsobia na teleso padajúce v kvapaline? 3. Prečo a kedy sa guľôčka v kvapaline ôže pohybovať rovnoerný pohybo? 4. Odvoďte vzťah pre koeficient dynaickej viskozity. 5. Aký je rozer korekčného faktora K? Doplnok: Riešenie diferenciálnej rovnice (8) a odvodenie vzťahu (9) 4 3 Keď dosadíe v (8) za G, a z (3), (4) a (5) a označíe c = πr g( ρ ρ ) a c 6πηr 3 =, dostanee rovnicu = c c. (3) Túto rovnicu budee riešiť etódou separácie preenných: Obe strany vydelíe c c a vynásobíe eleentárny prírastko času. Vzniknutý vzťah je =. (4) c c Ľavá strana (4) závisí iba od rýchlosti a pravá strana iba od času t. Môžee teda integrovať ľavú stranu (4) podľa, a to od nejakej počiatočnej rýchlosti po nejakú konečnú rýchlosť a pravú stranu (4) podľa t od počiatočného času t odpovedajúceho rýchlosti po čas t, ktorý odpovedá rýchlosti. Zvoľe t = a nech touto okaihu korešponduje =. Poto integrácia (4) dáva v t = (5) c c

6 t Integrácia na pravej strane (5) je triviálna = t. Integrál na ľavej strane (5) ôžee riešiť substitúciou y = c c, dy = c. Dostanee tak c c dy c c = = ln. (6) c c c y c c c Výsledok integrovania na ľavej strane (5) sa rovná výsledku integrovania na pravej strane (5), t. j. c c ln = t, (7) c c odkiaľ c c c = exp( t), (8) c a teda c c = [ exp( t)]. (9) c Po dosadení za c a c do rovnice (9) získae nakoniec vzťah pre hľadanú rýchlosť guľôčky padajúcej v kvapaline ( ρ ρ ) r g = [ exp( 6πη rt / ) ]. () 9 η Nakoľko druhý člen v zátvorke s rastúci časo klesá k nule, rýchlosť guľôčky sa v priebehu alého časového intervalu stáva konštantnou a rovnou v ( ρ ρ ) r g =. () 9 η Porovnaní (9) a () ľahko zistíe, že tieto dve rovnice sú ekvivalentné. 79 Doplnená a upravená úloha zo skrípt: Doc. RNDr. Drahoslav Vajda, CSc., Doc. Ing. Július Štelina, CSc., RNDr. Jaroslav Kovár, Ing. Ctibor Musil, CSc., RNDr. Ivan Bellan, Doc. Ing. Igor Janický, CSc., Návody k laboratórny cvičenia z fyziky, vydala Žilinská univerzita vo vydavateľstve EDIS,. nezenené vydanie, rok 3