Ing. Andrej Trnka, PhD. Základné štatistické metódy marketingového výskumu

Transcript

1 Ing. Andrej Trnka, PhD. Základné štatistické metódy marketingového výskumu 2016

2 Základné štatistické metódy marketingového výskumu Autor: Recenzenti: Ing. Andrej Trnka, PhD. prof. Ing. Pavol Tanuška, PhD. prof. Ing. Anna Zaušková, PhD. Vydanie vysokoškolskej učebnice bolo schválené Edičnou radou a Vedeckou radou Fakulty masmediálnej komunikácie UCM v Trnave a bolo podporené projektom VEGA 1/0283/15 Aspekty marketingovej komunikácie v oblasti procesu tvorby hodnoty zákazníka na trhu B2C v kontexte s maximalizáciou trhového podielu v nákupnom spáde maloobchodu Vydala: Fakulta masmediálnej komunikácie, Univerzita sv. Cyrila a Metoda v Trnave Náklad: 150 ks Učebnica neprešla jazykovou korektúrou. ISBN

3 Sú tri stupne lži - lož, nehanebná lož a štatistika. Disraeli

4 Obsah Zoznam obrázkov... 6 Zoznam tabuliek Úvod Základné pojmy v štatistike a rozdelenie štatistiky Základné pojmy v štatistike Rozdelenie štatistiky Otázky Deskriptívna štatistika a jej metódy Jednorozmerná deskriptívna štatistika Frekvenčná tabuľka Koláčový graf Stĺpcový graf Kumulatívny stĺpcový graf Spojnicový graf Histogram Opisné charakteristiky Škatuľový graf Základný štatistický rozbor Dvojrozmerná deskriptívna štatistika Bodový graf... 69

5 Regresná analýza Korelačná analýza Kontingenčná tabuľka Kontingenčný graf Otázky Induktívna štatistika a jej základné metódy použiteľné v marketingu Testovanie hypotéz Základný postup pri testovaní hypotéz Štatistická významnosť Často používané testy hypotéz v marketingovom výskume Otázky Určenie veľkosti výberovej vzorky Terminológia pri určovaní veľkosti výberovej vzorky Výpočet veľkosti výberovej vzorky Otázky Dolovanie dát vytváranie pokročilých analýz Prehľad štatistických funkcií v MS Excel Záver Resumé Zoznam bibliografických zdrojov Zoznam elektronických zdrojov

6 Zoznam obrázkov obr. 1 Členenie premenných obr. 2 Zovšeobecniteľnosť výberového súboru obr. 3 Označenie oblasti pre vytvorenie koláčového grafu obr. 4 Voľba grafu Koláčový obr. 5 Výber vhodného typu koláčového grafu obr. 6 Výber rozloženia grafu obr. 7 Koláčový graf obr. 8 Výber vhodného typu stĺpcového grafu obr. 9 Stĺpcový graf obr. 10 Úprava zdrojových údajov grafu obr. 11 Prepnutie riadku alebo stĺpca v grafe obr. 12 Kumulatívny stĺpcový graf obr. 13 Výber vhodného typu spojnicového grafu obr. 14 Spojnicový graf obr. 15 Časť vstupných údajov obr. 16 Výber nástroja Data Analysis obr. 17 Okno Data Analysis (Histogram) obr. 18 Okno Histogram obr. 19 Výstupná tabuľka histogramu obr. 20 Histogram vytvorený pomocou MS Excel... 31

7 obr. 21 Histogram vytvorený v programe Minitab obr. 22 Prehľad opisných charakteristík obr. 23 Argumenty funkcie AVERAGE obr. 24 Argumenty funkcie GEOMEAN obr. 25 Argumenty funkcie HARMEAN obr. 26 Argumenty funkcie MEDIAN obr. 27 Argumenty funkcie MODE.SNGL obr. 28 Argumenty funkcie PERCENTILE.INC obr. 29 Argumenty funkcie PERCENTRANK.INC obr. 30 Argumenty funkcie QUARTILE.INC obr. 31 Argumenty funkcie MAX obr. 32 Argumenty funkcie MIN obr. 33 Argumenty funkcie VAR.S obr. 34 Reprezentácia smerodajnej odchýlky pri normálnom rozložení obr. 35 Argumenty funkcie STDEV.S obr. 36 Symetrické rozdelenie obr. 37 Pravostranná šikmosť obr. 38 Ľavostranná šikmosť obr. 39 Argumenty funkcie SKEW obr. 40 Normálne rozloženie obr. 41 Studentovo rozloženie obr. 42 Trojuholníkové rozdelenie... 56

8 obr. 43 Rovnomerné rozdelenie obr. 44 Argumenty funkcie KURT obr. 45 Škatuľový graf (vertikálne umiestnenie) obr. 46 Vstupné údaje a vypočítané veľkosti oblastí obr. 47 Skladaný stĺpcový graf základ pre škatuľový graf obr. 48 Chybové úsečky tvorba úsečiek v škatuľovom grafe obr. 49 Formátovanie chybových úsečiek voľba pre maximum obr. 50 Definovanie chybovej úsečky pre maximum obr. 51 Pridanie úsečky maximum obr. 52 Definovanie chybovej úsečky pre minimum obr. 53 Škatuľový graf pred formátovaním obr. 54 Formátovanie grafu Výplň tvaru obr. 55 Škatuľový graf (horizontálne umiestnenie) obr. 56 Škatuľový graf s vyznačeným aritmetickým priemerom obr. 57 Okno Data Analisys (Descriptive Statistics) obr. 58 Okno Descriptive Statistics obr. 59 Výber bodového grafu obr. 60 Bodový graf obr. 61 Vyrovnávajúca regresná priamka obr. 62 Pridanie vyrovnávajúcej regresnej priamky obr. 63 Formátovanie vyrovnávajúcej regresnej priamky obr. 64 Argumenty funkcie INTERCEPT... 77

9 obr. 65 Argumenty funkcie SLOPE obr. 66 Okno Data Analysis (Regression) obr. 67 Okno Regression obr. 68 Vyrovnávajúca regresná priamka vygenerovaná nástrojom Regression obr. 69 Odchýlka v regresnom modeli pri extrémnych hodnotách obr. 70 Rozličné hodnoty koeficienta R obr. 71 Argumenty funkcie PEARSON obr. 72 Argumenty funkcie RSQ obr. 73 Rozličné závislosti s koeficientom R=0, obr. 74 Okno Data Analysis (Correlation) obr. 75 Okno Correlation obr. 76 Výber kontingenčnej tabuľky obr. 77 Vstupné údaje kontingenčnej tabuľky obr. 78 Definovanie polí kontingenčnej tabuľky (sekcia polí a sekcia rozloženia). 91 obr. 79 Voľba Kontingenčný graf obr. 80 Kontingenčný graf obr. 81 Model dolovania dát pre vykonanie analýzy nákupného košíka

10 Zoznam tabuliek tab. 1 Príklad frekvenčnej tabuľky tab. 2 Charakteristika základných štatistík tab. 3 Základný štatistický rozbor tab. 4 Výstup nástroja Regression tab. 5 Výstup nástroja Correlation regresná matica tab. 6 Kontingenčná tabuľka tab. 7 Chyby testovania hypotéz... 96

11 Úvod Táto vysokoškolská učebnica, ako už vyplýva z jej názvu, je určená pre študentov študujúcich marketingovú komunikáciu a odbory príbuzné. Prináša pohľad na vedný odbor štatistika a jej použitie v marketingovej komunikácii. Obsahuje základné deskriptívne štatistické metódy a postupy, ktoré sú potrebné na zrealizovanie marketingového výskumu. Edukačné využitie učebnice je pri písaní záverečných prác, hlavne diplomových a dizertačných. Praktické využitie je premietnutím výsledkov do praxe. Štatistika je chápaná ako strašiak medzi vedami. Študenti si pod týmto pojmom predstavujú kopec vzorcov, ktorým (poniektorí) nerozumejú alebo nechápu ich význam. Presnejšia definícia štatistiky môže znieť takto: Je to veda zaoberajúca sa zberom, analýzou, interpretáciou a prezentáciou dát získaných z pozorovaní alebo experimentov. V tejto definícii je zahrnutý celý proces od zberu, až po prezentáciu dát. V oblasti marketingovej komunikácie sa budeme zaoberať dátami, ktoré boli získané zo zberu, resp. pozorovania. Aplikovanie experimentov v tejto oblasti by bolo nehumánne. Je treba si uvedomiť, že z nesprávne stanoveného a vykonaného zberu dát nemusíme dostať správne výsledky, resp. ich vypovedacia hodnota môže byť nulová. Výsledky štatistickej analýzy nebudú lepšie ako je kvalita vstupných dát. Bohužiaľ, ani tu nie je možné vytvoriť perpeetum mobile. Preto je veľmi dôležité klásť dôraz nielen na správne použitie štatistických metód a postupov, ale aj na správne vytvorenie celého výskumu. Zo správne analyzovaných údajov je možné získať informácie potrebné pre podporu rozhodovania. Aj napriek počiatočnému odporu voči štatistike ako vede, je možné po pochopení základných princípov a metód využiť získané výsledky v marketingovej komunikácii. Či už na spracovanie marketingového výskumu alebo na stanovenie predpovedí správania sa sledovaného objektu. 11

12 Študenti sa pri štúdiu, ale aj v živote stretávajú so štatistickými postupmi a ani si neuvedomujú, že sa skutočne jedná o štatistiku. Vo väčšine prípadov sú to rôzne typy grafov, tabuliek, vyjadrení alebo interpretácií. Táto kategória štatistiky sa nazýva deskriptívna štatistika. Nerobí nič iné, len opisuje skutkový stav. Samozrejme, že aj tu je potrebná (čiastočná) znalosť teoretických východísk a vzorcov, ale od študenta sa nevyžaduje presné napísanie vzorca. Základom je pochopenie jednotlivých metód a ich správne použitie. Vzorec je možné vyhľadať v ľubovoľnej publikácii venujúcej sa štatistike, ale jeho nesprávne pochopenie môže viesť k dezinterpretácii výsledkov. Preto aj táto učebnica má za úlohu študenta vtiahnuť do problematiky štatistiky a viesť ho k pochopeniu a správnej interpretácii štatistických postupov. Problémom študentov býva to, že sú nútení použiť štatistické postupy bez toho, aby ich chápali. Potom na základnú otázku typu akú štatistickú metódu ste použili nevedia odpovedať. Nesystematicky a bez rozmýšľania používajú rôzne vzorce alebo nesprávne grafické vyjadrenie. Následne si môžeme stanoviť otázku, či je takýto absolvent vhodný pre prax. Stačí si porovnať reálne marketingové výskumy a výstupy niektorých študentov. Ich kvalita a vyjadrenie je na nízkej úrovni. Preto je potrebné študentov oboznámiť so základnými štatistickými metódami a postupmi so zreteľom na ich aplikáciu v marketingu. V určitých prípadoch budeme využívať aj vzorce, ale budeme sa snažiť použiť aj softvérové vybavenie. Skoro všetky príklady v tejto učebnici je možné vytvoriť pomocou vhodného softvéru. Medzi základné softvérové nástroje pre štatistickú analýzu patrí MS Excel (a jemu podobné open-source produkty). Pre účely demonštrácie príkladov v tejto učebnici použijeme MS Excel Postupy popísané v tejto učebnici môžu byť odlišné v iných verziách MS Excel, preto odporúčame mať nainštalovanú verziu K pokročilejším softvérovým nástrojom je možné zaradiť produkty od spoločnosti SPSS alebo SAS. V prípade 12

13 nutnosti budeme na demonštráciu využívať softvérový produkt Minitab. Minitab umožňuje komplexnú štatistickú analýzu dát. Samozrejme, že štatistika nie je v živote všetko, ale tam kde má byť použitá, musí byť použitá správne. Vysokoškolská učebnica je rozdelená do viacerých častí, ktoré na seba nadväzujú. Pre správne pochopenie je potrebné venovať sa každej časti, od definície základných pojmov počínajúc. Všetky použité bibliografické zdroje sú uvedené na konci učebnice a študentovi poskytujú tak možnosti získania ďalších vedomostí a skúseností z oblasti štatistiky. 13

14 Základné pojmy v štatistike a rozdelenie štatistiky V tejto časti sa budeme venovať rozdeleniu štatistiky, definícii pojmov používaných v štatistike, vysvetlíme si základné postupy a metódy a v neposlednom rade sa budeme snažiť správne interpretovať získané dáta. Základné pojmy v štatistike Štatistika skúma vždy viac objektov, udalostí (príp. procesov) súčasne. Z toho dôvodu môžeme konštatovať, že štatistika sa zaoberá skúmaním hromadných javov. Pri skúmaní hromadných javov sa zaoberáme skúmaním vlastností, správania a vývoja sledovaného javu. Množina skúmaných objektov sa nazýva štatistický súbor. Štatistický súbor je množina štatistických jednotiek. Štatistická jednotka je potom prvok štatistického súboru. Konkrétne sa môže jednať o osobu, krajinu, rozličnú udalosť, výrobok atď. Na štatistickej jednotke pozorujeme konkrétne vlastnosti hromadnej udalosti. Štatistická súbor, ale aj štatistická jednotka musia byť presne vymedzené z vecného priestorového a časového hľadiska. Vecné vymedzenie definuje objekt štatistickej jednotky alebo súboru. Môže ísť napr. o osobu, výrobok, firmu, atď. Z priestorového hľadiska sa musí definovať územie, na ktorom sa štatistické jednotky, ktoré patria do štatistického súboru, nachádzajú. Tu môžeme hovoriť napr. o meste, kraji, konkrétnej firme atď. Pri časovom hľadisku musí byť vymedzený časový okamih, ku ktorému sa štatistický súbor definuje. Jedná sa napr. o časové rozpätie sledovania štatistickej jednotky týždeň, mesiac, konkrétny časový úsek atď. Počet štatistických jednotiek, ktoré patria do štatistického súboru, sa nazýva veľkosť štatistického súboru alebo rozsah štatistického súboru. Z tohto pohľadu môžeme štatistický súbor rozdeliť na štatistický súbor ktorý obsahuje: konečný rozsah štatistických jednotiek, nekonečný rozsah štatistických jednotiek. 14

15 Konečný rozsah štatistických jednotiek znamená, že v štatistickom súbore môže byť konečný počet štatistických jednotiek. V nekonečnom rozsahu štatistických jednotiek nie je počet štatistických jednotiek ohraničený. Ďalšie členenie štatistického súboru (častejšie používané) je: základný štatistický súbor, výberový štatistický súbor. Základný štatistický súbor predstavuje množinu všetkých vymedzených jednotiek štatistického súboru. Iné označenie pre základný štatistický súbor je populácia. Výberový štatistický súbor (vzorka) predstavuje podmnožinu základného štatistického súboru a môže byť použitý na stanovenie záverov o základnom štatistickom súbore (populácie). Používa sa vtedy, keď skúmanie vlastností pri všetkých štatistických jednotkách nie je reálne možné. Výberový súbor by mal byť najvhodnejším predstaviteľom základného štatistického súboru. Pri výskumoch rozličných druhov sa stretávame aj s pojmom veľkosť vzorky. Nie je to nič iné ako počet štatistických jednotiek výberového štatistického súboru. Niekedy je ťažko stanoviť, či je štatistický súbor základný alebo výberový. Všetko to závisí od konkrétnej skúmanej udalosti. Napr. štatistický súbor všetkých zamestnancov určitej firmy z konkrétneho odvetvia môže byť chápaný ako základný, z ktorého je možné vybrať určitú skupinu, ktorá potom predstavuje výberový štatistický súbor. Na druhej strane, ten istý štatistický súbor je možné považovať za výber zo štatistického súboru zamestnancov všetkých firiem z tej istej oblasti. Každá štatistická jednotka nesie v sebe rad rozličných vlastností, parametrov, atribútov, ktoré je možné skúmať. Tieto vlastnosti sa súhrnne nazývajú štatistické znaky. Štatistický znak môžeme nazvať tiež premennou alebo atribútom. V ďalšom texte budeme používať premenná. Premenná u každej štatistickej jednotky nadobúda hodnotu, ktorá môže byť iná ako hodnota u inej štatistickej jednotky. Štatistickým údajom potom môžeme nazvať záznamy 15

16 o hodnotách jedného alebo viacerých štatistických znakov v štatistickom súbore. Klasifikácia premenných z rôznych hľadísk je zobrazená na obr.1. Vychádza z rôznych pohľadov na štatistické znaky a ich vlastnosti. Toto členenie je dôležité aj z pohľadu štatistického spracovania údajov v štatistickom softvéri. obr. 1 Členenie premenných Pre možnú zložitosť členenia premenných podľa obr. 1 budeme používať členenie premenných podľa spôsobu vyjadrenia a podľa škály merania hodnôt. Základné členenie premenných podľa spôsobu vyjadrenie je: kvalitatívne premenné (kategorické, slovné), kvantitatívne premenné (číselné). 16

17 Keďže používanie cudzích slov v názvoch premenných by mohlo študentov hneď na začiatku odradiť od štúdia štatistiky, budeme používať zrozumiteľnejšie označenie. Pre správne prvotné zaradenie typu premenných môžeme použiť jednoduchú pomôcku. Na číselné premenné sa dá opýtať otázkou Koľko?. Patrí sem napr. výška, hmotnosť, vek, príjem, výdavky, objem atď. Na kategorické premenné sa dá spýtať otázkou Aký typ?. Sem patrí napr. farba, pohlavie, národnosť, rodinný stav. Pre tieto typy premenných nemôžeme vypočítať napr. priemer alebo maximálnu hodnotu, aj keď môžu byť v štatistickom softvéri kódované formou čísel (muž 1, žena 2). Tento spôsob zápisu je preferovaný kvôli prehľadnosti. Toto základné členenie vo väčšine prípadov nevyhovuje, preto je nutné typy premenných členiť podľa tzv. škál merania. Členenie premenných podľa škál merania obsahuje viacero typov: intervalové premenné (kardinálne), poradové premenné (ordinálne), nominálne premenné. Pomocou intervalovej premennej (jeden typ kardinálnej premennej) sa štatistické jednotky zoradia podľa hodnôt premennej. Tento typ premennej umožňuje aj kvantifikáciu veľkosti rozdielov medzi hodnotami štatistických jednotiek. Môžeme sa pýtať otázkou O koľko?. Ako príklad môžeme uviesť vek. Vieme povedať že 45 ročný muž je starší ako 25 ročný muž. Ďalej vieme však povedať aj to, že 45 ročný muž je o 20 rokov starší ako 25 ročný. Čiže vieme určiť poradie, ale aj rozdiely medzi jednotlivými štatistickými údajmi. Medzi ďalšie typické príklady patrí čas určitej aktivity, výška, hmotnosť, príjem, počet detí, výdavky atď. Poradová premenná (ordinálna) umožňuje zoradiť štatistické jednotky podľa hodnôt premennej. Na rozdiel od intervalovej premennej neumožňuje kvantifikovať rozdiely medzi hodnotami štatistických jednotiek. Ak poznáme iba 17

18 poradie, vieme povedať, kto bol lepší a kto bol horší. Nevieme však určiť aké sú rozdiely medzi jednotlivými hodnotami. Hodnoty tejto premennej predstavujú kategórie, ktoré sa dajú použiť na hodnotenie dôležitosti (1 najnižšia dôležitosť, 5 najvyššia dôležitosť). Typickými príkladmi sú napr. prospech škole, hodnotenie stavu, hodnotenie spokojnosti, vzdelanie, miera súhlasu s určitým výrokom atď. Nominálna premenná predstavuje škálu, pomocou ktorej môžeme zaradiť štatistickú jednotku do určitej skupiny alebo kategórie. Určovanie poradia v tejto kategórii však nemá význam a hodnoty sa nedajú usporiadať. Typickými príkladmi sú pohlavie, farba, národnosť, bydlisko atď. Toto členenie (intervalová, poradová a nominálna premenná) je len hrubé. Existuje viacero špecifických typov premenných, ale pre jednoduchosť ich neuvádzame. Rozdelenie štatistiky Definícia štatistiky ako vedy bola uvedená v úvode tejto učebnice. Pre pochopenie samotného pojmu štatistika je potrebné uviesť viacero pohľadov. Štatistiku môžeme chápať ako: vednú disciplínu, praktickú činnosť (zber údajov), štatistické údaje (výsledky výpočtov), štatistický vzorec. Použitie slova štatistika a jeho konkrétny význam závisí od situácie v akej sa používa. Štatistiku ako vednú disciplínu môžeme rozdeliť do dvoch hlavných kategórií: deskriptívna štatistika, 18

19 induktívna štatistika. Deskriptívnu štatistiku, inak povedané opisnú, predstavujú metódy na vytvorenie prehľadu o získaných údajoch pomocou opisných charakteristík, grafov a tabuliek. Na základe toho, koľko premenných chceme skúmať súčasne rozdeľujeme deskriptívnu štatistiku na: jednorozmernú (jedna premenná), dvojrozmernú (dve premenné), viac rozmernú (tri a viac premenných). Pomocou induktívnej štatistiky sa zasa dajú na základe informácií získaných z náhodných vzoriek robiť závery o celých štatistických súboroch z ktorých vzorky pochádzajú. To znamená, že je možné zovšeobecniť úsudky o vlastnostiach populácie na základe informácií získaných zo vzorky. Pre lepšie pochopenie slúži obr. 2. obr. 2 Zovšeobecniteľnosť výberového súboru 19

20 Aj induktívnu štatistiku je možné podľa počtu súčasne skúmaných premenných rozdeliť do rovnakých kategórií ako deskriptívnu štatistiku. Avšak použité metódy sú úplne odlišné. Štatistická indukcia sa zaoberá odhadmi parametrov (nie je súčasťou tejto učebnice) a štatistickým testovaním hypotéz 1. Základnou podmienkou použitia ľubovoľnej induktívnej štatistickej metódy je náhodný výber. Tento výber musí spĺňať dve základné kritériá: 1. Pravdepodobnosť zaradenia do vzorky je pre všetky štatistické jednotky nenulová. 2. Štatistické jednotky sú do vzorky vyberané nezávisle jedna od druhej. Otázky 1. Čo je to štatistika? 2. Aké podmienky musí spĺňať náhodný výber? 3. Definujte štatistický súbor. 4. Vysvetlite, čo je to štatistická jednotka. 5. Aký je rozdiel medzi základným štatistickým súborom a výberovým štatistickým súborom? 6. Ako sa členia premenné podľa škál merania? 7. Ako sa nazýva počet štatistických jednotiek, ktoré patria do štatistického súboru? 8. Čím sa zaoberá štatistika? 9. Ako delíme štatistiku na základe počtu premenných? 10. Aký je rozdiel medzi základným štatistickým súborom a populáciou? 1 Pozri kapitolu Testovanie hypotéz 20

21 Deskriptívna štatistika a jej metódy Ako bolo už spomenuté, deskriptívnu štatistiku možno rozdeliť podľa počtu súčasne skúmaných premenných. Pre potreby marketingového výskumu budeme najčastejšie používať metódy jednorozmernej štatistiky a dvojrozmernej štatistiky. Z toho dôvodu budeme týmto metódam venovať väčší priestor na vysvetlenie. Jednorozmerná deskriptívna štatistika Tento typ používa na opis údajov napr. frekvenčnú tabuľku, koláčový graf, stĺpcový graf, kumulatívny stĺpcový graf, histogram, škatuľový graf a viacero typov opisných charakteristík. Frekvenčná tabuľka Frekvenčná tabuľka zobrazuje rozdelenie početnosti hodnôt premennej a poskytuje informáciu o rozdelení kategorickej premennej (muž, žena) alebo číselnej premennej rozdelenej do kategórií (vekové skupiny). Tabuľka obsahuje absolútne (celkové) aj relatívne početnosti (percentá). Pomocou frekvenčnej tabuľky sa dajú odhaliť chyby, ktoré by nasledujúce štatistické analýzy mohli znehodnotiť. Frekvenčná tabuľka je chápaná ako výsledok triedenia hodnôt, ktorý má za cieľ určiť počty výskytov jednotlivých hodnôt alebo kategórií (tried). Od triedenia sa vždy požaduje zásada jednoznačnosti a úplnosti. Jednoznačnosť hovorí, že každá hodnota je zaradená iba do jednej kategórie. Nikdy nesmie byť zaradená do kategórií viacerých. Úplnosť znamená, že každá hodnota je zaradená do niektorej z definovaných kategórií. Pri realizácii výskumu môže byť počet možných hodnôt premennej príliš veľký, čo môže z praktického hľadiska viesť k nežiaducim výsledkom. Preto sa pristupuje k vytvoreniu kategórií (počtu riadkov frekvenčnej tabuľky). Určenie počtu kategórii nie je vždy ľahká úloha. Počet kategórií by mal byť minimálne 2, 21

22 maximálne by nemal presiahnuť rozsah štatistického súboru. Pri voľbe počtu kategórií musíme v prvom rade vychádzať z prirodzeného, objektívnou skutočnosťou predurčeného počtu tried. Ak sa toto pravidlo nedá uplatniť, musíme určiť počet tried tak, aby nebol príliš veľký. Zvyčajne je maximálny počet tried stanovený na 10. Väčší počet tried by mohol viesť k neprehľadnosti a zložitosti výskumu. Formu frekvenčnej tabuľky ľahkú na pochopenie demonštruje tab. 1. tab. 1 Príklad frekvenčnej tabuľky Kategória Absolútny počet Relatívny počet K ,43% K ,86% K ,86% K4 12 6,86% Spolu ,00% Frekvenčná tabuľka môže obsahovať aj viacero údajov, napr. strednú hodnotu kategórie (vek od 10 do 30 má strednú hodnotu 20), priemernú hodnotu kategórie (závisí od počtu štatistických jednotiek v kategórii), kumulatívnu absolútnu početnosť alebo kumulatívnu relatívnu početnosť. Použite týchto údajov závisí od ich potreby a preto nie je vždy nutné ich dopĺňanie do frekvenčnej tabuľky. Koláčový graf Tento typ grafu zobrazuje vždy len relatívne (percentuálne) rozloženie početnosti hodnôt. Kruh predstavuje celý štatistický súbor a výseky podiely, v akých sa jednotlivé kategórie vyskytujú. Obr. 7 zobrazuje koláčový graf zostrojený z dát frekvenčnej tabuľky (tab. 1). Graf bol zostrojený v MS Excel. Pre jeho zostrojenie najskôr označíme oblasť, pre ktorú chceme graf zobraziť spolu s popismi stĺpcov (obr. 3). Z menu Vložiť a kategórie Grafy vyberieme Koláčový (obr. 4). Zo zobrazenej ponuky vyberieme požadovaný typ grafu (obr. 5). Z kategórie Rozloženia grafov vyberieme vhodné rozloženie grafu názov 22

23 grafu, legenda, popisy atď. (obr. 6). V prípade nezobrazenia tejto kategórie kliknite do oblasti grafu. Po zobrazení grafu môžete použiť rôzne formátovacie techniky, ktoré poskytuje MS Excel. obr. 3 Označenie oblasti pre vytvorenie koláčového grafu obr. 4 Voľba grafu Koláčový obr. 5 Výber vhodného typu koláčového grafu 23

24 obr. 6 Výber rozloženia grafu obr. 7 Koláčový graf Stĺpcový graf Tento typ grafu je vhodný na grafické zobrazenie absolútnej početnosti zadanej vo frekvenčnej tabuľke. Jeho zostrojenie je podobné ako koláčového grafu, ale z kategórie Grafy vyberieme Stĺpcový. Z ponuky typov grafov vyberieme vhodný, v našom prípade Skupinový stĺpcový (obr. 8). Zostrojený graf (obr. 9) môžeme pomocou kategórie Rozloženie grafu vhodne upraviť, poprípade naformátovať rovnakým postupom ako koláčový graf. 24

25 obr. 8 Výber vhodného typu stĺpcového grafu obr. 9 Stĺpcový graf 25

26 Kumulatívny stĺpcový graf Tento typ grafu môžeme považovať za alternatívu ku koláčovému grafu. Znázorňuje tiež relatívne rozdelenie početnosti frekvenčnej tabuľky. Keďže sa jedná o typ stĺpcového grafu, zostrojíme ho podobne ako predchádzajúci graf, ale pri výbere typu stĺpcového grafu zvolíme 100% skladaný stĺpcový. Prvotné zobrazenie grafu ešte nepripomína to, čo chceme dosiahnuť, preto musíme v kategórii Údaje vybrať položku Zdrojové údaje (obr. 10). V zobrazenom dialógovom okne Vybrať zdroj údajov kliknite na tlačidlo Prepnúť riadok alebo stĺpec (obr. 11). Následne sa zobrazený graf prekreslí na požadovaný tvar (obr. 12). obr. 10 Úprava zdrojových údajov grafu obr. 11 Prepnutie riadku alebo stĺpca v grafe 26

27 obr. 12 Kumulatívny stĺpcový graf Spojnicový graf Spojnicový graf sa používa pre zobrazenie trendov, napr. časových radov. Niekedy sa označuje aj ako čiarový graf, pretože je zobrazený vo forme čiary. Ak graf obsahuje iba jednu čiaru vyjadrujúcu trend jednej premennej hovoríme o jednoduchom spojnicovom grafe, v opačnom prípade sa jedná o viacnásobný spojnicový graf. Pri štatistickej analýze viacerých premenných pomocou viacnásobného spojnicového grafu (pozor, nejedná sa o viacrozmernú štatistickú metódu) môžeme porovnávať ich trendy na spoločnej stupnici. Pre zostrojenie spojnicového grafu najskôr označíme oblasť, z ktorej chceme graf zostrojiť. Z kategórie Grafy zvolíme Čiarový. Z ponúknutého zoznamu Dvojrozmerná čiara vyberieme Čiarový (obr. 13). Vytvorený graf doformátujeme podľa potreby (nadpis, legenda, atď.). Na obr. 14 je zobrazený spojnicový graf pre revidované údaje hrubého domáceho produktu (produkcia v mil. EUR) v Slovenskej republike za roky

28 obr. 13 Výber vhodného typu spojnicového grafu obr. 14 Spojnicový graf Histogram Histogram je najčastejšie používaný typ grafu pre zobrazenie početností premennej. Na osi x sa zobrazujú intervaly premennej a na os y početnosti číselnej premennej v zadaných intervaloch (počty výskytov v jednotlivých intervaloch). 28

29 Grafické znázornenie histogramu je podobné ako stĺpcový graf, s tým rozdielom, že medzi jednotlivými stĺpcami histogramu nie sú medzery. Je to kvôli tomu, že stĺpcový graf znázorňuje hodnoty kategorickej premennej a histogram číselnej premennej. Ak chceme vytvoriť histogram v programe MS Excel, môžeme použiť nástroje na analýzu údajov, ktoré sú sprístupnené až po nainštalovaní doplnku Data Analysis. V menu Súbor kliknite na položku Možnosti. V ľavej časti novo otvoreného okna vyberte položku Doplnky. V rolovacom menu Spravovať, v spodnej časti okna, zvoľte možnosť Doplnky programu Excel. Kliknite na tlačidlo Spustiť. V zozname Dostupné doplnky zaškrtnite voľbu Analytické nástroje a kliknite na tlačidlo OK. Doplnok Analytické nástroje je k dispozícii v menu Údaje, v kategórii Analysis. Pre vytvorenie histogramu je vhodné mať nielen vstupné údaje (číselné), ale aj kategórie, do ktorých je možné tieto údaje roztriediť (obr. 15). V prípade, že kategórie nezadáte, budú automaticky vytvorené rovnomerné rozdelenia kategórií. Toto rozdelenie však nemusí byť vhodné. V menu Údaje, v kategórii Analysis zvoľte Data Analysis (obr. 16). Otvorí sa okno Data Analysis (obr. 17). V časti Analysis Tools vyberte Histogram. Kliknite na tlačidlo OK. Otvorí sa okno Histogram (obr. 18), do ktorého sa zadávajú vstupné údaje pre zostrojenie histogramu. Do poľa Input Range zadáme rozsah údajov, z ktorých bude zostrojený histogram. Do poľa Bin Range zadáme rozsah údajov, ktoré sú zadefinované ako hranice tried. Pokiaľ ste pri výbere oblastí vstupných údajov a hraníc tried zahrnuli popisy stĺpcov, zaškrtnite políčko Labels. V časti Output options vyberáte spôsob zobrazenia výstupnej tabuľky. Pokiaľ chcete vložiť výstupnú tabuľku do rovnakého hárku v akom sú vstupné údaje, kliknite na tlačidlo Output Range a zadajte adresu bunky, kde bude ľavý horný okraj výstupnej tabuľky. Ak ju chcete vložiť nový hárok do aktuálneho zošitu, kliknite na tlačidlo New Worksheet Ply. A ak chcete vytvoriť výstupnú tabuľku v novom zošite 29

30 kliknite na tlačidlo New Workbook. Pre grafické zobrazenie histogramu zvoľte možnosť Chart Output. Výstupná tabuľka je zobrazená na obr. 19 a samotný histogram na obr. 20. Aj keď MS Excel nie je na zobrazenie histogramu vhodný (necháva medzery medzi stĺpcami), pre jednoduché úlohy nie je potrebné používať špeciálne štatistické programy. Na obr. 21 je zobrazený histogram, ktorý bol vytvorený v štatistickom programe Minitab a zobrazuje reálny vzhľad a rozloženie údajov. obr. 15 Časť vstupných údajov obr. 16 Výber nástroja Data Analysis obr. 17 Okno Data Analysis (Histogram) 30

31 obr. 18 Okno Histogram obr. 19 Výstupná tabuľka histogramu obr. 20 Histogram vytvorený pomocou MS Excel 31

32 Frequency Histogram Normal Mean 41,08 StDev 26,79 N Kategórie obr. 21 Histogram vytvorený v programe Minitab Pre správne určenie počtu a hraníc tried je vhodné dodržať nasledovný postup: 1. Nájdenie minimálnej (x min ) a maximálnej (x max )hodnoty štatistického súboru. K tomuto kroku je možné použiť funkcie MS Excel MIN a MAX. 2. Výpočet variačného rozpätia 2 R. 3. Stanovenie počtu tried: a. n > 100 k = [10log(n)] (1) b. 40 < n 100 k = [2 n] (2) c. n 40 k = [1 + 1,4426. ln (n)] (3) 4. Výpočet šírky triedy h = R/k (4) 5. Voľba dolnej hranice prvej triedy a rozdelenie štatistického súboru do tried. Triedy sa vytvárajú dovtedy, pokiaľ nie je zaradená maximálna hodnota štatistického súboru. 2 Pozri kapitolu Miery variability 32

33 6. Rozhodnutie do ktorej triedy budú zaradené hraničné hodnoty. 7. Určiť početnosti zaradenia do tried. Príklad: 1. x min =2, x max =85 2. R=83 3. n=24, k=4 4. h=20,75 5. hranice tried: a. 1. trieda 2-22,75 b. 2. trieda 22,75-43,5 c. 3. trieda 43,5-64,25 d. 4. trieda 64, interval zaradenia hodnoty do triedy, napr. (2;22,75, (22,75;43,5> atď. 7. početnosti tried: a. 1. trieda 7 b. 2. trieda 5 c. 3. trieda 6 d. 4. trieda 6 Z rozdelenia a početnosti tried je vidieť, že nami navrhované hodnoty na obr. 13 sú podobné vypočítaným. Samozrejme je potrebné brať v zreteľ praktickú aplikovateľnosť vypočítaného rozdelenia tried. Opisné charakteristiky Vizuálnu analýzu alebo celkové posúdenie štatistického súboru poskytujú rôzne grafy a tabuľky. Opisné charakteristiky štatistický súbor opisujú podrobnejšie. Samotná opisná charakteristika je číslo (štatistika), ktoré je vypočítané podľa konkrétneho vzorca z hodnôt premennej štatistického súboru. Keďže existuje viacero opisných charakteristík, delia sa do troch skupín: 33

34 miery polohy (stredné hodnoty), miery variability, miery tvaru. Pri realizácii marketingového výskumu nie je potrebné využívať všetky opisné charakteristiky. Vo väčšine prípadov jednoduchých marketingových výskumov si vystačíte so základnými opisnými charakteristikami ako je napr. aritmetický priemer, medián, modus, variačné rozpätie, rozptyl a smerodajná (štandardná) odchýlka. Obr. 22 zobrazuje podrobný prehľad opisných charakteristík. Všetky opisné charakteristiky je možné vypočítať pomocou príslušnej funkcie v MS Excel alebo použitím doplnku Data Analysis. obr. 22 Prehľad opisných charakteristík Miery polohy Pomocou týchto opisných charakteristík je možné určiť rôzne hodnoty, blízko ktorých sa nachádzajú hodnoty v štatistickom súbore. Miery polohy sa tiež nazývajú stredné hodnoty z toho dôvodu, že kvantitatívnej premenná nadobúda viacero hodnôt, z ktorých jedna je minimálna, jedna maximálna a jedna stredná. Medzi najčastejšie používané miery polohy patrí aritmetický priemer, medián 34

35 a modus. To, ktorá charakteristika má byť použitá závisí hlavne od cieľa analýzy (napr. škála v ktorej sú štatistické znaky merané). Aritmetický priemer je vhodné použiť: ak sú dáta v metrickej škále, rozdelenie dát je približne symetrické, ak chceme použiť štatistické testy. Medián je vhodné použiť: ak sú dáta v ordinálnej alebo metrickej škále, ak chceme poznať stred rozdelenia dát, ak je rozdelenie dát silne zošikmené, ak dáta obsahujú odľahlé hodnoty. Modus je vhodné použiť: ak má rozdelenie viacero vrcholov, ak chceme získať len základný prehľad o rozdelení, ak chceme poznať najčastejšie sa vyskytujúcu hodnotu. V ďalšom si zadefinujeme jednotlivé opisné charakteristiky a bližšie vysvetlíme ich použitie v MS Excel. Aritmetický priemer Je najznámejšou strednou hodnotou. Vypočíta sa ako súčet všetkých hodnôt vydelený ich počtom (rozsahom štatistického súboru). Aritmetický priemer sa označuje ako x. Funkcia na výpočet aritmetického priemeru v MS Excel AVERAGE. Syntax funkcie AVERAGE obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 23): 35

36 Číslo1 povinný argument. Prvé číslo, odkaz na bunku alebo rozsah, ktorého aritmetický priemer chceme vypočítať. Číslo2; atď. voliteľný argument. Ďalšie čísla, odkazy na bunky alebo rozsahy (najviac 255), ktorých aritmetický priemer chceme vypočítať. obr. 23 Argumenty funkcie AVERAGE Geometrický priemer Tento typ priemeru sa používa pre pomerovú premennú s pozitívnou šikmosťou 3. Je definovaný ako n-tá odmocnina zo súčinu n hodnôt. Z jeho matematickej podstaty vyplýva aj jeho nevýhoda. Pokiaľ sa aspoň jedna hodnota rovná 0, priemer je potom nulový. Geometrický priemer sa označuje ako x g. Funkcia na výpočet geometrického priemeru v MS Excel GEOMEAN. Syntax funkcie GEOMEAN obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 24): 3 Pozri kapitolu Miery tvaru 36

37 Číslo1; číslo2; atď. argument číslo1 je povinný, nasledujúce argumenty sú voliteľné. Namiesto argumentov oddelených bodkočiarkami môžeme použiť jedno pole alebo odkaz na pole. obr. 24 Argumenty funkcie GEOMEAN Harmonický priemer Harmonický priemer sa počíta tam, kde má zmysel počítať súčet z prevrátených hodnôt premennej. Konkrétne sa môže jednať o výpočet priemeru z pomerných čísel, pri charakterizovaní dĺžky času potrebného na splnenie úlohy, ak všetky štatistické jednotky plnia danú úlohu súčasne. Do výpočtu harmonického priemeru možno zahrnúť iba nenulové hodnoty (keďže sa počíta z prevrátenej hodnoty). Harmonický priemer sa označuje ako x h. Funkcia na výpočet harmonického priemeru v MS Excel HARMEAN. Syntax funkcie HARMEAN obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 25): 37

38 Číslo1; číslo2; atď. argument číslo1 je povinný, nasledujúce argumenty sú voliteľné. Namiesto argumentov oddelených bodkočiarkami môžeme použiť jedno pole alebo odkaz na pole. obr. 25 Argumenty funkcie HARMEAN Medián Tento ukazovateľ nie je ovplyvnený extrémnymi hodnotami. Medián je ukazovateľom strednej hodnoty zoradeného štatistického súboru. Štatistický súbor je zoradený od najmenšej po najväčšiu hodnotu (vzostupne). Ak má štatistický súbor nepárny počet štatistických jednotiek, medián sa rovná hodnote na mieste (n+1)/2 (prostredná hodnota). V prípade párneho počtu štatistických jednotiek, sa medián vypočíta ako aritmetický priemer hodnôt na miestach n/2 a n/2+1. Medián sa označuje ako x. Keďže aj tak na výpočet mediánu budeme používať MS Excel, stačí len vedieť, na čo medián slúži. Medián nie je ovplyvnený extrémnymi hodnotami. 38

39 Nevýhodou je však je to, že bez ohľadu na veľkosť štatistického súboru sa berie do úvahy jedna resp. maximálne dve hodnoty. Funkcia na výpočet mediánu v MS Excel MEDIAN. Syntax funkcie MEDIAN obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 26): Číslo1; číslo2; atď. číslo1 je povinný argument, nasledujúce argumenty sú voliteľné. obr. 26 Argumenty funkcie MEDIAN Modus Modus je hodnota premennej, ktorá sa v štatistickom súbore vyskytuje najčastejšie. Pokiaľ sa v rade všetkých hodnôt štatistického súboru budú rovnako často vyskytovať hodnoty s maximálnou početnosťou vedľa seba, modus bude ich priemer. Ak budú v rade existovať dve navzájom nesusediace hodnoty s maximálnymi početnosťami, potom obe tieto hodnoty budú chápané ako modus. Modus sa označuje ako x. 39

40 Funkcia na výpočet modusu v MS Excel MODE.SNGL. Syntax funkcie MODE.SNGL obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 27): Číslo1 povinný argument. Prvý argument, pre ktorý chceme vypočítať modus. Číslo2, atď. voliteľné argumenty. Namiesto argumentov oddelených čiarkami môžeme použiť jedno pole alebo odkaz na pole. obr. 27 Argumenty funkcie MODE.SNGL Kvantily Kvantil je hodnota, ktorá rozdeľuje usporiadaný štatistický súbor na dve časti. Najpoužívanejší kvantil je medián. Z toho vyplýva, že pokiaľ chceme definovať aj ostatné kvantily, štatistický súbor musí byť usporiadaný od najmenšej hodnoty po najväčšiu. Aj keď samotné kvantily nemusíme na opis štatistického súboru priamo využívať, pre pochopenie niektorých mier variability sú veľmi dôležité. V praxi sa môžeme stretnúť s viacerými kvantilmi. Ich názvy sú odvodené od počtu častí, na ktoré rozdeľujú štatistický súbor: 40

41 medián najčastejšie používaný kvantil, usporiadaný štatistický súbor rozdeľuje na dve rovnako veľké časti, tercily dva kvantily, ktoré rozdeľujú usporiadaný štatistický súbor na tri rovnako veľké časti, kvartily tri hodnoty premennej, ktoré rozdeľujú usporiadaný štatistický súbor na štyri rovnako veľké časti, kvintily štyri kvantily, ktoré rozdeľujú usporiadaný štatistický súbor na päť rovnako veľkých častí, decily kvantily, ktoré rozdeľujú usporiadaný štatistický súbor na desať rovnako veľkých častí, percentily kvantily, ktoré rozdeľujú usporiadaný štatistický súbor na sto rovnako veľkých častí. Funkcia na zistenie percentilov v MS Excel PERCENTILE.INC. Syntax funkcie QUARTILE.INC obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 28): Pole povinný argument. Pole alebo rozsah údajov, ktoré určujú relatívne umiestnenie. K povinný argument. Hodnota percentilu z uzavretého intervalu

42 obr. 28 Argumenty funkcie PERCENTILE.INC Pomocou funkcie PERCENTRANK.INC v MS Excel môžeme na základe hodnôt nami určenej oblasti a konkrétnej hodnoty premennej zistiť, ktorý percentil jej zodpovedá. Jedná sa o opak predchádzajúcej funkcie. Syntax funkcie PERCENTRANK.INC obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 29): Pole povinný argument. Pole alebo rozsah údajov s numerickými hodnotami, ktoré určujú relatívne postavenie. X povinný argument. Hodnota, ktorej umiestnenie chceme zistiť. Významnosť voliteľný argument. Hodnota určujúca počet desatinných miest, na ktoré bude vracaná percentuálna hodnota zaokrúhlená. Ak túto hodnotu nezadáme, funkcia PERCENTRANK.INC použije 3 desatinné miesta (0,xxx). 42

43 obr. 29 Argumenty funkcie PERCENTRANK.INC V ďalšom výklade mier variability budeme používať rôzne kvartily. Prvý kvartil, označený x 0,25 (tzv. dolný kvartil), rozdelí usporiadaný štatistický súbor tak, že prvá časť obsahuje štvrtinu hodnôt a zvyšná časť tri štvrtiny hodnôt. Tretí kvartil, označený x 0,75 (tzv. horný kvartil) je opakom prvého. Prvá časť obsahuje tri štvrtiny hodnôt a druhá štvrtinu hodnôt. Funkcia na zistenie kvartilov v MS Excel QUARTILE.INC. Syntax funkcie QUARTILE.INC obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 30): Pole povinný argument. Pole alebo rozsah buniek obsahujúcich číselné hodnoty, z ktorých chceme kvartil vypočítať. Kvart povinný argument. Určuje vrátenú hodnotu kvartilu. o 0 minimálna hodnota o 1 prvý kvartil (25. percentil) o 2 strednú hodnota (50. percentil medián) o 3 tretí kvartil (75. percentil) o 4 maximálna hodnota 43

44 obr. 30 Argumenty funkcie QUARTILE.INC Miery variability Variabilita opisuje podobnosť hodnôt resp. odlišnosť premennej v štatistickom súbore. Napr. premenná Vek v jednom štatistickom súbore môže obsahovať rovnaké hodnoty a v druhom môžu byť hodnoty rozdielne. Aj keď by mohol byť aritmetický priemer oboch premenných rovnaký, druhý štatistický súbor vykazuje určitú variabilitu. Variabilita premennej Vek v prvom štatistickom súbore je nulová. Miery polohy udávajú okolo hodnotu okolo ktorej sa hodnoty centrujú (stredné hodnoty) alebo hodnoty, ktoré sa vyskytujú najčastejšie. Ako bolo spomenuté, údaje s rovnakou strednou hodnotou môžu mať rozličnú variabilitu. Malý rozsah variability znamená, malú odlišnosť hodnôt premenne v štatistickom súbore, čiže miery polohy, sú v tomto prípade vhodnými charakteristikami na opis premennej. Ak je však variabilita hodnôt premennej vysoká, charakterizuje to veľkú odlišnosť hodnôt premennej a miery polohy sú v tomto prípade nedostatočnými opisnými charakteristikami. V takomto prípade je potrebné ich doplniť charakteristiky miery variability. 44

45 Variačné rozpätie Jedná sa o najjednoduchšiu mieru variability, ktorá sa vypočíta ako rozdiel medzi najväčšou a najmenšou hodnotou v štatistickom súbore. Označuje sa ako R. R = x max x min (5) Tak ako napríklad aritmetický priemer, aj variačné rozpätie je ovplyvnené extrémnymi hodnotami premennej, keďže jeho výpočet je robený práve z nich. Práve tento nedostatok môže skresľovať predstavu o variabilite premennej. Funkcia na výpočet variačného rozpätia v MS Excel neexistuje, je potrebné použiť funkcie na zistenie maxima (MAX) a minima (MIN) z rozsahu hodnôt. Argumenty oboch funkcií sú rovnaké, zadáva sa rozsah hodnôt z ktorých chceme požadované hodnoty zistiť (obr. 31, obr. 32). Zistené hodnoty je potom potrebné od seba odrátať. Vzorec v MS Excel bude vyzerať nasledovne: = MAX(A2: A25) MIN(A2: A25) (6) Rozsah údajov A2:A25 je nami zadaný rozsah, z ktorého sa zisťujú hodnoty maxima a minima. 45

46 obr. 31 Argumenty funkcie MAX obr. 32 Argumenty funkcie MIN Kvartilové rozpätie Spomínaný nedostatok variačného rozpätia odstraňujú tzv. kvantilové rozpätia, z ktorých najpoužívanejšie je kvartilové rozpätie. Je definované ako 46

47 rozdiel medzi tretím a prvým kvartilom (75. a 25. percentil) 4. Táto oblasť reprezentuje stredných 50% hodnôt premennej. Kvartilové rozpätie sa označuje ako R 4 Q. R 4 Q = Q 4 3 Q 4 1 = x 0,75 x 0,25 (7) Na výpočet kvartilového rozpätia v MS Excel, podobne ako na výpočet variačného rozpätia neexistuje funkcia. Je potrebné použiť funkciu na zistenie kvartilov a následne odrátať hodnotu tretieho a prvého kvartilu. Nami zadaný vzorec na výpočet kvartilového rozpätia v MS Excel bude potom vyzerať nasledovne: = QUARTILE. INC(A2: A25; 3) QUARTILE. INC(A2: A25; 1) (8) Rozptyl Rozptyl je často používanou mierou variability. Je definovaný ako aritmetický priemer štvorcov odchýlok jednotlivých hodnôt premennej x i od priemeru celého súboru. Rozptyl sa označuje ako s 2 alebo σ 2. s 2 = 1 n (x n 1 i x ) 2 = x i=1 2 2 x (9) Čím väčšiu hodnotu rozptylu dostaneme, tým sa údaje viac odchyľujú od priemeru. Rozptyl nadobúda vždy kladnú hodnotu. Funkcia na výpočet rozptylu v MS Excel VAR.S. Syntax funkcie VAR.S obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 33): Číslo1 povinný argument. Prvý číselný argument zodpovedajúci výberovému súboru. Číslo2, atď. voliteľné argumenty. Číselné argumenty 2 až 254 zodpovedajúce výberovému súboru. 4 Pozri kapitolu Miery polohy 47

48 Funkcia VAR.S predpokladá, že jej argumenty predstavujú vzorku základného súboru. Ak údaje predstavujú celý základný súbor, rozptyl vypočítame pomocou funkcie VAR.P, ktorej argumenty sú totožné s funkciou VAR.S. obr. 33 Argumenty funkcie VAR.S Z definície rozptylu podľa vzťahu (9) je zrejmé, že jednotky v ktorých bude vypočítaný sú uvedené v štvorcoch (na druhú). Preto nie je možné rozptyl logicky interpretovať. Z toho dôvodu sa pri meraní variability používa odmocnina z rozptylu, ktorá sa nazýva smerodajná odchýlka. Smerodajná odchýlka Smerodajná odchýlka je definovaná ako druhá odmocnina z rozptylu. Podobne ako rozptyl, ani smerodajná odchýlka nenadobúda záporné hodnoty. V prípade normálneho rozloženia sa v intervale ± jedna smerodajná odchýlka nachádza 68% napozorovaných hodnôt, v intervale ± dve smerodajné odchýlky sa nachádza 95% napozorovaných hodnôt a v intervale ± tri smerodajné odchýlky sa nachádza 99,73% napozorovaných hodnôt (obr. 34). Poznatok, že v prípade 48

49 normálneho rozloženia sa v intervale ± tri smerodajné odchýlky nachádzajú prakticky všetky namerané hodnoty je veľmi dôležitý poznatok o analyzovanom súbore. Čím je smerodajná odchýlka väčšia, tým väčšia je variabilita napozorovaných hodnôt. Smerodajná odchýlka sa označuje ako s alebo δ. obr. 34 Reprezentácia smerodajnej odchýlky pri normálnom rozložení Funkcia na výpočet smerodajnej odchýlky v MS Excel STDEV.S. Syntax funkcie STDEV.S obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 35): Číslo1 povinný argument. Číselný argument 1 zodpovedajúci výberovému súboru. Číslo2, atď. voliteľné argumenty. Číselné argumenty 2 až 254 zodpovedajúce výberovému súboru. Namiesto argumentov oddelených bodkočiarkami môžeme použiť jedno pole alebo odkaz na pole. Funkcia STDEV.S predpokladá, že argumenty sú z výberového súboru. Ak údaje reprezentujú celý súbor, smerodajnú odchýlku zistíme pomocou funkcie STDEV.P, ktorej argumenty sú totožné s funkciou STDEV.S. 49

50 obr. 35 Argumenty funkcie STDEV.S Použitie smerodajnej odchýlky ako miery variability je možné len vtedy ak je aritmetický priemer vhodnou strednou hodnotou sledovaného štatistického súboru. Keďže sa smerodajná odchýlka počíta z rozpätia, ktoré je silne ovplyvnené extrémnymi hodnotami, možno konštatovať, že existencia extrémnych hodnôt spôsobuje jej rast. V prípade silného zošikmenia údajov 5 neposkytuje smerodajná odchýlka relevantné informácie o štatistickom súbore. V takomto prípade je vhodnejšie použiť kvantilové miery. Miery tvaru Dva štatistické súbory, ktorý majú rovnaké miery polohy a variability ešte nemusia byť zhodné. Môžu sa odlišovať tzv. mierami tvaru, medzi ktoré patrí šikmosť a špicatosť. 5 Pozri kapitolu Miery tvaru 50

51 Šikmosť Rozdelenie početností (napr. v histograme) údajov štatistického súboru môže byť symetrické alebo asymetrické. Pri symetrickom rozdelení (obr. 36) je aritmetický priemer, medián a modus rovnaké. x = x = x (9) obr. 36 Symetrické rozdelenie Ak sa aritmetický priemer, medián a modus nerovnajú, ide o asymetrické rozdelenie početností alebo tzv. šikmosť. Podľa vzťahu medzi strednými hodnotami môžeme hovoriť o: pravostrannej šikmosti (kladná), ľavostrannej šikmosti (záporná). O pravostrannej šikmosti hovoríme vtedy, keď sa malé hodnoty premennej vyskytujú častejšie a smerom k väčším hodnotám početnosti klesajú (obr. 37). Pre stredné hodnoty platí vzťah: x < x < x (10) 51

52 Podľa vzťahu (10) možno konštatovať, že aritmetický priemer je väčší ako medián, z čoho vyplýva, že väčšina hodnôt je menšia ako aritmetický priemer. obr. 37 Pravostranná šikmosť O ľavostrannej šikmosti hovoríme vtedy, keď sa malé hodnoty premennej vyskytujú zriedka a početnosti smerom k vyšším hodnotám narastajú (obr. 38). Pre stredné hodnoty platí opačný vzťah ako pri pravostrannej šikmosti. x > x > x (11) Zo vzťahu (11) môžeme vyvodiť podobný záver ako pri pravostrannej šikmosti. Medián je väčší ako priemer a teda väčšina hodnôt je väčšia ako priemer. 52

53 obr. 38 Ľavostranná šikmosť Najčastejším ukazovateľom šikmosti je tzv. koeficient šikmosti, označujúci sa ako γ 1. Ak sa koeficient šikmosti rovná nule, potom sa jedná o symetrické rozdelenie. Ak je koeficient šikmosti väčší ako nula, ide o pravostrannú šikmosť. A ak je koeficient šikmosti menší ako nula ide o ľavostrannú šikmosť. Čiže smer asymetrie vyjadruje znamienko koeficientu šikmosti a silu asymetrie jeho hodnota. Funkcia na výpočet koeficientu šikmosti v MS Excel SKEW. Syntax funkcie SKEW obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 39): Číslo1 povinný argument, pre ktorý chceme vypočítať šikmosť. Namiesto argumentov oddelených bodkočiarkami môžeme použiť jedno pole alebo odkaz na pole. Číslo2 voliteľný argument. 53

54 obr. 39 Argumenty funkcie SKEW Špicatosť Pomocou špicatosti sa meria výskyt extrémnych hodnôt v štatistickom súbore s porovnaním s tvarom normálneho rozloženia. Ukazovateľom špicatosti je tzv. koeficient špicatosti, s označením γ 2. Ak sa koeficient špicatosti rovná nule, ide o normálne rozdelenie. Ak má koeficient špicatosti hodnotu väčšiu ako nula, ide o špicatejšie rozdelenie v porovnaní s normálnym. Aj koeficient špicatosti menší ako nula, ide o plochejšie rozdelenie ako je normálne. Na obr. 40 až obr. 43 sú zobrazené symetrické rozdelenia s rovnakým aritmetickým priemerom a rozptylom, líšiace sa špicatosťou. 54

55 obr. 40 Normálne rozloženie obr. 41 Studentovo rozloženie 55

56 obr. 42 Trojuholníkové rozdelenie obr. 43 Rovnomerné rozdelenie Funkcia na výpočet koeficientu špicatosti v MS Excel KURT. Syntax funkcie KURT obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 44): 56

57 Číslo1 povinný argument, pre ktorý chceme vypočítať špicatosť. Namiesto argumentov oddelených bodkočiarkami môžeme použiť jedno pole alebo odkaz na pole. Číslo2 voliteľný argument. obr. 44 Argumenty funkcie KURT Škatuľový graf Pomocou škatuľového grafu môžeme zobraziť viacej opisných charakteristík kvantitatívnej premennej zo štatistického súboru. Tento graf sa zaraďuje do exploračnej (predbežnej) analýzy údajov. Zobrazuje minimálnu hodnotu, maximálnu hodnotu, medián a dolný a horný kvartil. V niektorých prípadoch zobrazuje aj aritmetický priemer. Ďalej sa z neho môžeme dozvedieť šikmosť rozdelenia a zistiť prítomnosť odľahlých hodnôt. Škatuľový graf sa skladá z obdĺžnika a z dvoch úsečiek, ktoré vychádzajú z obdĺžnika. Graf môže byť otočený horizontálne alebo vertikálne. V MS Excel je jeho zostrojenie náročnejšie ako v predchádzajúcich prípadoch. Najskôr si musíme 57

58 zistiť vstupné hodnoty, z ktorých následne vypočítame hodnoty pomocné a na ich základe zostrojíme skladaný stĺpcový graf s miernou úpravou parametrov tak, aby sme docielili zobrazenie škatuľového grafu (obr. 45). obr. 45 Škatuľový graf (vertikálne umiestnenie) Prvý krok na vytvorenie škatuľového grafu je zistenie minima, maxima, mediánu, prvého kvartilu a tretieho kvartilu zo štatistického súboru a následný výpočet veľkostí jednotlivých oblastí (obr. 46). obr. 46 Vstupné údaje a vypočítané veľkosti oblastí 58

59 Ako prvú hodnotu pri výpočte veľkostí jednotlivých oblastí použijeme zistenú hodnotu 1. kvartilu (bunka E2). Veľkosť oblasti od 1. kvartilu k hodnote mediánu vypočítame tak, že od zistenej hodnoty mediánu odrátame hodnotu 1. kvartilu (bunka E3). = B4 B3 (12) Veľkosť oblasti medzi mediánom a 3. kvartilom vypočítame tak, že od zistenej hodnoty 3. kvartilu odrátame zistenú hodnotu mediánu (bunka E4). = B5 B4 (13) Týmto máme určené hranice a rozmery obdĺžnika, zostáva dopočítať veľkosti úsečiek charakterizujúcich minimum a maximum. Veľkosť úsečky od 1. kvartilu k hodnote minima vyrátame ako rozdiel zistenej hodnoty 1. kvartilu a zistenej hodnoty minima. = B3 B2 (14) Veľkosť úsečky od 3. kvartilu k hodnote maxima vyrátame ako rozdiel zistenej hodnoty maxima od zistenej hodnoty 3. kvartilu. = B6 B5 (15) Z vypočítaných hodnôt veľkostí oblastí 1. kvartilu, mediánu a 3. kvartilu (oblasť D2:E4) zostrojíme stĺpcový skladaný graf (obr. 47). Vzniknutý graf zatiaľ nemusíme formátovať. 59

60 obr. 47 Skladaný stĺpcový graf základ pre škatuľový graf Vzniknutý graf poslúži ako základ pre ďalšiu prácu na tvorbe škatuľového grafu. Teraz je potrebné doplniť úsečky znázorňujúce hodnoty minima a maxima. Vo vygenerovanom grafe klikneme na časť 3. kvartilu (zelená oblasť). V menu Nástroje pre grafy zvolíme Rozloženie a v kategórii Analýza vyberieme Chybové úsečky (obr. 48). obr. 48 Chybové úsečky tvorba úsečiek v škatuľovom grafe Každú úsečku je potrené vytvoriť samostatne. Zvolíme Ďalšie možnosti chybových úsečiek.... V okne Formátovať chybové úsečky vyberieme Smer Plus a Veľkosť chyby Vlastné (obr. 49). Klikneme na tlačidlo Zadať hodnotu. Otvorí sa okno Vlastné chybové úsečky (obr. 50). 60

61 obr. 49 Formátovanie chybových úsečiek voľba pre maximum obr. 50 Definovanie chybovej úsečky pre maximum 61

62 Kladná chybová hodnota predstavuje vypočítanú veľkosť oblasti pre maximum (bunka E6). Hodnotu Záporná chybová hodnota zatiaľ nevypĺňame. Po stlačení tlačidla OK sa v grafe zobrazí úsečka charakterizujúca maximum (obr. 51). obr. 51 Pridanie úsečky maximum Podobným postupom vytvoríme aj úsečku pre minimum. Klikneme do oblasti zobrazujúcej 1. kvartil (modrá oblasť). Už popísaným postupom sa dostaneme k dialógovému oknu Formátovať chybové úsečky, v ktorom teraz zvolíme hodnotu Smer Mínus. V okne Vlastné chybové úsečky tentoraz vyplníme hodnotu Záporná chybová hodnota (obr. 52) a ako obsah vložíme vypočítanú veľkosť oblasti pre minimum (bunka E5). 62

63 obr. 52 Definovanie chybovej úsečky pre minimum Zatvoríme všetky dialógové okná a upravíme graf, ktorý sa už začína podobať na škatuľový (obr. 53). obr. 53 Škatuľový graf pred formátovaním Je zrejmé, že oblasť 1. kvartilu (modrá oblasť) v škatuľovom grafe nemá čo robiť. Odstránime ju dodatočným formátovaním. Klikneme na ňu a v menu Nástroje pre grafy zvolíme Formát. V kategórii Štýly tvarov vyberieme možnosť Výplň tvaru. Z ponúknutých možností vyberieme Bez výplne (obr. 54). 63

64 obr. 54 Formátovanie grafu Výplň tvaru Posledným krokom je doformátovanie grafu na požadovanú úroveň, napr. odstránenie legendy, zmena popisu osi x, atď. (obr. 54). Škatuľový graf môžeme vytvoriť aj pomocou skladaného pruhového grafu. Výsledok je zrejmý z obr. 55. Výpovedná hodnota oboch prezentovaných škatuľových grafov je rovnaká. 64

65 Vek obr. 55 Škatuľový graf (horizontálne umiestnenie) Vo vytvorenom škatuľovom grafe nie je zaznačená hodnota aritmetického priemeru. Ak ju potrebujeme zobraziť, musíme použiť špecializovaný štatistický softvér a škatuľový graf vygenerovať v ňom. Na obr. 56 je škatuľový graf vytvorený v štatistickom softvéri Minitab obr. 56 Škatuľový graf s vyznačeným aritmetickým priemerom 65

66 Základný štatistický rozbor Použitím predchádzajúcich poznatkov môžeme na štatistickom súbore vykonať základný štatistický rozbor, t.j. definovať viaceré základné opisné charakteristiky (tab. 2). tab. 2 Charakteristika základných štatistík Názov Funkcia Rozsah súboru COUNT Minimálna hodnota MIN Maximálna hodnota MAX Aritmetický priemer AVERAGE Medián MEDIAN Smerodajná odchýlka STDEV.S Úhrn SUM Iný, jednoduchší a rýchlejší spôsob ako vykonať základný štatistický rozbor, je použitie nástroja Data Analysis, pomocou ktorého sme zostrojovali histogram. Po spustení vyberieme položku Descriptive Statistics (obr. 57). Nástroj Descriptive Statistics vygeneruje zostavu štatistického hodnotenia jednorozmerných údajov vo vstupnom rozsahu a poskytne informácie o hlavnom trende a premenlivosti údajov. obr. 57 Okno Data Analysis (Descriptive Statistics) 66

67 Po otvorení okna Descriptive Statistics (obr. 58) v časti Input do poľa Input Range zadáme rozsah vstupných údajov, z ktorých sa má štatistický rozbor urobiť. Vo väčšine prípadov máme údaje zoskupené v stĺpci. V tomto prípade necháme voľbu Grouped By na prednastavenej hodnote Columns. Ak sme vybrali aj názov stĺpca, zvolíme políčko Labels in First Row. V časti Output options volíme spôsob výstupu štatistického rozboru. Pri ponechaní predvolenej hodnoty New Worksheet Ply sa štatistický rozbor zobrazí na novom hárku. Dôležitou súčasťou definovania výstupných parametrov je označenie políčka Summary statistics. Ostatné hodnoty môžeme nechať nezmenené. obr. 58 Okno Descriptive Statistics Po potvrdení tlačidla OK sa na novom hárku zobrazí výstup štatistického rozboru (tab. 3). Číselné hodnoty boli dodatočne naformátované na dve desatinné miesta. 67

68 tab. 3 Základný štatistický rozbor Vstupná oblasť Mean 41,08 Standard Error 5,47 Median 40,50 Mode 14,00 Standard Deviation 26,79 Sample Variance 717,64 Kurtosis -1,23 Skewness 0,28 Range 83,00 Minimum 2,00 Maximum 85,00 Sum 986,00 Count 24,00 Pre lepšie pochopenie uvedieme preklad jednotlivých riadkov výstupu: Mean aritmetický priemer (funkcia AVERAGE) Standard Error štandardná chyba (chyba strednej hodnoty) Median medián (funkcia MEDIAN) Mode modus (funkcia MODE.SNGL) Standard Deviation smerodajná odchýlka (funkcia STDEV.S) Sample Variance rozptyl (funkcia VAR.S) Kurtosis špicatosť (funkcia KURT) Skewness šikmosť (funkcia SKEW) Range variačné rozpätie Minimum minimálna hodnota (funkcia MIN) Maximum maximálna hodnota (funkcia MAX) Sum úhrn hodnôt (funkcia SUM) Count počet hodnôt (funkcia COUNT) 68

69 Dvojrozmerná deskriptívna štatistika Pri spracovaní marketingového výskumu by sme sa nemali zaoberať len jednorozmernou deskriptívnou štatistikou, ale mali by sme využiť aj metódy dvojrozmernej deskriptívnej štatistiky. V takomto prípade sa budeme zaoberať vzájomným skúmaním viacerých premenných, ktoré tvoria viacrozmerný štatistický súbor. Medzi takýmito premennými môžu existovať vzťahy, ktoré môžeme odhaliť použitím viacrozmerných štatistických metód (zatiaľ sa budeme venovať len dvojrozmerným metódam). V diplomových prácach študentov chýba práve táto časť štatistiky. Väčšina z nich sa uspokojí tým, že svoj výskum spracujú pomocou metód jednorozmernej deskriptívnej štatistiky a na skúmanie závislosti medzi premennými pozabudnú. Pokúsime sa teda naznačiť, ako skúmať vzájomnú závislosť hodnôt jednej premennej od hodnôt inej premennej. Medzi najpoužívanejšie metódy skúmania závislosti môžeme zaradiť: regresiu (regresná analýza), koreláciu (korelačná analýza), Častým nástrojom používaným na vyjadrenie závislosti je bodový graf, ktorý je možné zostrojiť aj pomocou MS Excel. Bodový graf Bodový graf (v MS Excel označovaný ako XY graf) sa používa na zobrazenie závislostí medzi dvomi (najčastejšie) číselnými premennými a možno ho považovať za východiskový graf určený pre regresnú analýzu. Na jeho zostrojenie potrebujeme najskôr označiť oblasť obsahujúcu hodnoty tzv. nezávislej a závislej premennej 6. V prvom stĺpci sa nachádza nezávislá premenná (hodnoty budú na osi x) a v druhom závislá premenná (hodnoty budú na osi y). Z menu Vložiť v kategórii Grafy vyberte XY (závislosť). Zo 6 Pozri kapitolu Regresná analýza 69

70 zobrazenej ponuky grafov (obr. 59) zvoľte XY (závislosť) len so značkami. Vygenerovaný bodový graf (obr. 60) môžete ľubovoľne naformátovať a použiť ako podklad pre regresnú analýzu. obr. 59 Výber bodového grafu obr. 60 Bodový graf 70

71 Regresná analýza Regresná analýza slúži na skúmanie vzájomných vzťahov medzi dvoma (alebo viacerými) premennými. V ďalšom sa budeme zaoberať iba vzťahmi medzi dvoma premennými. Najčastejší typ premennej použitej pri regresnej analýze je číselná premenná. Regresná analýza je vyjadrená regresným modelom. Regresný model je matematická funkcia, ktorá vyjadruje vzťah medzi skúmanými premennými. V regresnom modeli rozlišujeme tzv. závislú premennú a nezávislú premennú. Závislá premenná (označujeme ju ako Y) je číselná premenná, ktorej závislosť zisťujeme. Nezávislá premenná (označujeme ju ako X) je premenná, ktorá vyvoláva zmeny závislej premennej. Typ regresnej analýzy, ktorá sa zaoberá vzájomným vzťahom medzi jednou závislou a jednou nezávislou premennou, sa nazýva jednoduchá regresia alebo párová regresia. Viacrozmerná regresia (označovaná aj ako mnohonásobná) analyzuje vzťah medzi viacerými nezávislými premennými a jednej závislej premennej. Obsahom tejto učebnice nebude skúmanie viacrozmernej regresie, kvôli komplikovanejšej analýze a interpretácii výsledkov. Voľba nezávislej premennej X je veľmi dôležitá. Do regresného modelu by sme mali zahrnúť takú nezávislú premennú, ktorá má významný vplyv na závislú premennú. Nezávislá premenná by mala byť so závislou premennou v tzv. príčinnej závislosti. Zjednodušene to znamená, že jeden jav (príčina) vyvoláva iný jav (účinok). Inak povedané, nezávislá premenná by mala byť príčinou zmien v závislej premennej. Od príčinnej závislosti treba odlíšiť tzv. zdanlivú závislosť. K tomuto typu dochádza vtedy, ak súvislosť medzi javmi nie je vzťahom príčiny a účinku, ale je výsledkom pôsobenia ďalšieho javu alebo javov. Aj keď medzi 71

72 premennými existuje silná korelácia 7, neznemená to, že je medzi nimi príčinná závislosť. Medzi nezávislou a závislou premennou existujú dva typy vzťahov: jednostranný vzťah zmeny nezávislej premennej ovplyvňujú zmeny závislej premennej, opačne to však neplatí, obojstranný vzťah oba typy premennej sa navzájom ovplyvňujú. Ak je splnená podmienka príčinnej závislosti, môžeme hovoriť o dvoch typoch závislostí: funkčná hodnoty závislej premennej sú určované iba hodnotami nezávislej premennej, štatistická na závislú premennú pôsobí nezávislá premenná, ale aj náhodné vplyvy. Funkčná závislosť nie je predmetom štatistického skúmania, pretože pre konkrétnu hodnotu nezávislej premennej bude mať závislá premenná vždy tú istú hodnotu. Pri štatistickej závislosti nepôsobí na závislú premennú len nezávislá, ale aj rôzne náhodné vplyvy. To znamená, že konkrétna kombinácia hodnôt závislej a nezávislej premennej môže nadobúdať rôzne hodnoty v dôsledku pôsobenia náhodných vplyvov. Regresnej analýze je potom zmysluplné použiť len na tie premenné, medzi ktorými je štatistická závislosť. Výsledok regresnej analýzy môžeme použiť na predikciu správania sa sledovaných premenných. Pôsobenie nezávislej premennej na závislú môžeme vyjadriť pomocou bodového grafu, doplneného o regresnú krivku. 7 Pozri kapitolu Korelačná analýza 72

73 Regresný model Pomocou regresného modelu môžeme opísať štatistickú závislosť premenných. Obsahuje regresnú funkciu η a náhodnú zložku ε. Regresnou funkciou môže byť ľubovoľná matematická funkcia nezávislej premennej. Najjednoduchší model jednoduchej regresie je tzv. jednoduchý lineárny regresný model. Grafom tohto modelu je priamka a je vyjadrený rovnicou: y = β 0 + β 1 x + ε (16) kde: y hodnota závislej premennej, β 0 lokujúca konštanta, β 1 regresný koeficient, x hodnota nezávislej premennej, ε náhodná chyba pozorovania. Jednoduchý lineárny model môžeme zjednodušene zapísať aj v tvare: y = η + ε (17) kde: η = β 0 + β 1 x (18) je regresná funkcia reprezentovaná regresnou priamkou. Regresný koeficient β 1 môže nadobúdať kladné alebo záporné hodnoty. Podľa toho bude určený priebeh štatistickej závislosti. Ak bude koeficient β 1 kladný, medzi premennými bude priama lineárna závislosť. Ak bude koeficient β 1 záporný, bude sa jednať o nepriamu lineárnu závislosť. Regresný model (16) je teoretický model, ktorý je odhadnutý zo štatistického súboru. V bodovom diagrame je možné medzi body zostrojiť priamku, 73

74 ktorá najlepšie vystihuje závislosť. Táto priamka sa volá vyrovnávajúca regresná priamka (obr. 61) a je vyjadrená rovnicou: y = b 0 + b 1 x (19) kde: ŷ teoretická hodnota závislej premennej, x hodnota nezávislej premennej, b 0 bodový odhad parametra β 0, tzv. regresná konštanta. Udáva y-ovú súradnicu, v ktorom priamka pretína os y. Vyjadruje odhadovanú hodnotu závislej premennej, ak sa nezávislá premenná rovná nule. b 1 bodový odhad parametra β 1, tzv. regresný koeficient. Vyjadruje smernicu priamky. Udáva o koľko sa jednotiek sa zmení odhad závislej premennej, ak sa hodnota nezávislej premennej zvýši o jednotku. obr. 61 Vyrovnávajúca regresná priamka 74

75 Väčšina štatistických programov nezobrazuje teoretickú hodnotu závislej premennej ako ŷ, ale ako y. Do existujúceho bodového grafu, ktorý znázorňuje závislosť medzi premennými, vložíme vyrovnávajúcu regresnú priamku tak, že v grafe klikneme pravým tlačidlom na ľubovoľný bod a zo zobrazeného kontextového menu vyberieme Pridať trendovú spojnicu (obr. 62). obr. 62 Pridanie vyrovnávajúcej regresnej priamky V zobrazenom dialógovom okne Formátovať trendovú spojnicu necháme voľbu Typ trendu alebo regresie na pôvodnej hodnote Lineárny a vyberieme možnosť Zobraziť v grafe rovnicu, poprípade Zobraziť v grafe rovnicu spoľahlivosti R na druhú (obr. 63). Po výbere parametrov klikneme na tlačidlo Zatvoriť. Zobrazenú rovnicu môžeme v grafe presunúť na čitateľnejšie miesto. 75

76 obr. 63 Formátovanie vyrovnávajúcej regresnej priamky Vyrovnávajúca regresná priamka (19) je bodovým odhadom regresnej priamky (18). Z obr. 61 je vidieť, že medzi skutočnými hodnotami závislej premennej (modré body) a jej vyrovnanými bodmi (ležiace na priamke) je určitý rozdiel. Tento rozdiel nazývame reziduálna odchýlka (chyba odhadu) a ide o bodový odhad náhodnej chyby ε. Reziduálna odchýlka môže nadobúdať kladné 76

77 a záporné hodnoty. Za nulový bod môžeme považovať bod ležiaci na vyrovnávajúcej regresnej priamke. Nutnou podmienkou na odhad parametrov lineárneho regresného modelu je, aby súčet všetkých reziduálnych odchýlok bol rovný nule. Ak by sme sa však držali len tejto podmienky, mohli by sme parametre odhadnúť nesprávne a tým aj nesprávne určiť vyrovnávajúcu regresnú priamku. Preto musíme použiť ďalšiu podmienku, ktorá hovorí o tom, že súčet druhých mocnín všetkých reziduálnych odchýlok je minimálny (tzv. metóda najmenších štvorcov). Čiže vyrovnávajúca regresná priamka minimalizuje súčet druhých mocnín reziduálnych podmienok a žiadna iná priamka, ktorá by mala tento súčet menší neexistuje. Na zistenie parametrov b 0 a b 1 sa v MS Excel používajú funkcie INTERCEPT a SLOPE. Syntax funkcií INTERCEPT (obr. 64) a SLOPE (obr. 65) obsahuje nasledujúce argumenty: Známe_y povinný argument. Pole alebo rozsah buniek s číselnými závislými údajovými bodmi. Známe_x povinný argument. Množina nezávislých údajových bodov. obr. 64 Argumenty funkcie INTERCEPT 77

78 obr. 65 Argumenty funkcie SLOPE Komplexnejšie hodnoty regresnej analýzy poskytuje nástroj Data Analysis, z ktorého vyberieme Regression (obr. 66). obr. 66 Okno Data Analysis (Regression) Po otvorení okna Regression (obr. 67) zadáme do poľa Input Y Range rozsah údajov závislej premennej a do poľa Input X Range rozsah nezávislej premennej. Ak sme označili vo vstupných oblastiach aj názvy stĺpcov, zvolíme voľbu Labels. Ak chceme zadefinovať, že parameter b 0 je rovný 0, zvolíme voľbu Constant is Zero. V časti Output options vyberieme spôsob zobrazenia výsledkov. Na výpočet a zobrazenie grafu reziduálnych odchýlok vyberieme 78

79 položku Residuals, resp. Residual Plots. Graf vyrovnávajúcej regresnej priamky zobrazíme, ak označíme položku Line Fit Plots. obr. 67 Okno Regression Pre predchádzajúci príklad, kde sme využili bodový graf, bude vygenerovaný graf vyrovnávajúcej regresnej priamky podobný (jej rovnica bude samozrejme totožná. Na obr. 68 môžete vidieť, že sa nejedná o priamku, ale o body, ktoré na nej ležia. Ak by sme ju nechali zobraziť, videli by sme, že naozaj všetky body ležia priamo na nej. 79

80 obr. 68 Vyrovnávajúca regresná priamka vygenerovaná nástrojom Regression Výhodou nástroja Regression je to, že vráti viaceré významné štatistické hodnoty. tab. 4 Výstup nástroja Regression SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0, R Square 0, Adjusted R Square 0, Standard Error 7, Observations 40 ANOVA df SS MS F Significance F Regression , ,487 43, ,81122E-08 Residual , ,80561 Total ,1 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Lower 95,0% Upper 95,0% Intercept 5, , , , , , , , Nezávislá premenná 0, , , ,81E-08 0, , , , V prvej časti výstupu ( Regression Statistics ) nás bude zaujímať koeficient Multiple R, ktorý udáva tzv. Pearsonov výberový koeficient korelácie 8. Rovnaký výsledok vráti funkcia PEARSON. Hodnota koeficientu R Square udáva hodnotu spoľahlivosti modelu. V našom prípade je to 53,35%. a jedná sa o Pearsonov 8 Pozri kapitolu Korelačná analýza 80

81 výberový koeficient korelácie umocnený na druhú (funkcia RSQ). Standard error udáva chybu strednej hodnoty, čiže smerodajnú odchýlku odhadu závislej premennej. Rovnakú hodnotu vráti funkcia STEYX. V druhej časti výstupu ( ANOVA ) sa dozvieme, či je model štatisticky vhodný 9. Ak je hodnota Significance F menšia ako 0,05 model je štatisticky vhodný. V našom prípade je dosiahnutá hodnota 0, Parametre b 0 a b 1 vyrovnávajúcej regresnej priamky zistíme z ďalšej tabuľky výstupu, konkrétne zo stĺpca Coefficients. Nevýhodou jednoduchého lineárneho regresného modelu je podstata, z ktorej vychádza a to metóda najmenších štvorcov. Táto metóda je citlivá na extrémne hodnoty. Tieto hodnoty zmenia priebeh vyrovnávajúcej regresnej priamky, čiže zmenia parametre b 0 a b 1. Z toho dôvodu je nutné štatistický súbor najskôr zobraziť pomocou bodového grafu a na základe skúseností alebo rozličných zákonitostí (závisí od prípadu k prípadu) rozhodnúť, ktoré hodnoty sú extrémne alebo nereálne. Tieto hodnoty môžeme potom zo štatistického súboru odstrániť a následne počítať koeficienty. Dôležitosť tohto tvrdenia zobrazuje porovnanie na obr. 69. Do štatistického súboru sme pridali 2 extrémne hodnoty. So zmenou rovnice vyrovnávajúcej regresnej priamky sa znížil aj koeficient R 2, čiže zmenšila sa spoľahlivosť modelu. 9 Pozri kapitolu Štatistická významnosť 81

82 obr. 69 Odchýlka v regresnom modeli pri extrémnych hodnotách Pomocou regresnej analýzy môžeme zistiť, ako najlepšie odhadnúť hodnotu závislej premennej podľa hodnoty nezávislej premennej. Nemožno podľa nej ale zistiť, ako dobre možno odhadnúť závislú premennú pomocou nezávislej premennej. Tejto problematike sa venuje tzv. korelačná analýza. Korelačná analýza Korelačná analýza je vo veľmi úzkom vzťahu s regresnou analýzou. Používa štatistické metódy na posúdenie tesnosti (sily) štatistickej závislosti medzi kvantitatívnymi premennými. Na meranie tesnosti závislosti sa používajú tzv. korelačné charakteristiky, ktoré majú nasledovné vlastnosti: nadobúdajú hodnotu z intervalu <-1; 1> alebo <0; 1>, ak sa zvyšuje závislosť, zvyšuje sa ich absolútna hodnota, sú nezávislé od jednotiek, v ktorých sú premenné merané. Podobne ako pri regresnej analýze, aj pri ďalšom vysvetľovaní korelačnej analýzy sa budeme zaoberať iba lineárnou korelačnou závislosťou medzi dvoma premennými. Treba si však uvedomiť, že pri korelačnej analýze neexistuje závislá a nezávislá premenná. Jednoduchá lineárna korelácia Najpoužívanejším ukazovateľom tesnosti lineárnej závislosti je tzv. jednoduchý koeficient korelácie (tzv. Pearsonov koeficient korelácie ρ), ktorého 82

83 bodový odhad je výberový jednoduchý koeficient korelácie (tzv. Pearsonov výberový koeficient korelácie R). Môže nadobúdať hodnoty z intervalu <-1, 1>. Ak je hodnota R=0, potom hovoríme, že premenné nie sú lineárne závislé. Ak je R>0, hovoríme, že medzi premennými je priamy lineárny vzťah. V prípade R<0, ide o nepriamy lineárny vzťah. Čím je absolútna hodnota koeficientu R bližšia k 1, tým je závislosť tesnejšia. V prípade ak sa absolútna hodnota R =1 hovoríme o úplnej korelácii a premenné sú vo funkčnej závislosti 10. Pri nulovej hodnote koeficientu R nemá význam odhadovať regresnú priamku (obr. 70). Neznamená to však, že medzi premennými nie je závislosť. Závislosť nemusí byť vždy lineárna, ale môže sa jednať o iný typ závislosti. obr. 70 Rozličné hodnoty koeficienta R Ďalším ukazovateľom je tzv. jednoduchý koeficient determinácie ρ 2. Jeho bodový odhad je tzv. výberový jednoduchý koeficient determinácie R 2. Charakterizuje tesnosť lineárnej závislosti premenných. Môže nadobúdať hodnoty z intervalu <0; 1> a jeho sto násobok určuje koľko percent celkovej variability závislej premennej je vysvetlených lineárnou regresnou funkciou s nezávislou premennou. Použitie koeficienta už bolo popísané pri využití nástroja Corellation. 10 Nie je predmetom skúmania regresnej analýzy 83

84 Pre praktické potreby marketingového výskumu sa budeme venovať iba výberovým jednoduchým koeficientom korelácie R a výberovým jednoduchým koeficientom determinácie R 2. Ak sa niekde stretnete s pojmom Pearsonov koeficient korelácie, tak vo väčšine prípadov sa má na mysli práve výberový jednoduchý koeficient korelácie. Podobne to platí aj s koeficientom determinácie. Funkcia na výpočet Pearsonovho výberového koeficientu korelácie v MS Excel PEARSON. Syntax funkcie PEARSON obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 71): Pole1 povinný argument. Množina nezávislých hodnôt. Pole2 povinný argument. Množina závislých hodnôt. rovnaký. Hodnoty argumentov je možné medzi sebou zameniť, výsledok bude obr. 71 Argumenty funkcie PEARSON Rovnaký výsledok ako funkcia PEARSON vráti aj funkcia CORREL. Jej argumenty sú zhodné s funkciou PEARSON. Rozdiel je iba v metóde výpočtu Pearsonovho výberového koeficientu korelácie. 84

85 Funkcia na výpočet výberového koeficientu determinácie R 2 v MS Excel RSQ. Syntax funkcie RSQ obsahuje nasledujúce argumenty (obr. 72): Známe_y povinný argument. Pole alebo rozsah údajových bodov. Známe_x povinný argument. Pole alebo rozsah údajových bodov. obr. 72 Argumenty funkcie RSQ Niekedy si študenti pletú význam koeficienta R a regresného koeficienta b 1. Pearsonov výberový koeficient korelácie R neinformuje o sklone regresnej priamky. Rovnaká hodnota koeficientu R môže byť spoločná pre regresné priamky s rôznym sklonom (obr. 72). Platí to aj opačne. Rôzne hodnoty koeficienta R môžu byť prislúchať regresným priamkam s rovnakým sklonom. 85

86 obr. 73 Rozličné závislosti s koeficientom R=0,7 Hodnotu Pearsonovho výberového korelačného koeficientu (aj pre viacero premenných viacrozmerná deskriptívna štatistika) môžeme zapísať do tzv. korelačnej matice. Korelačnú maticu vytvoríme pomocou nástroja Correlation, ktorý je súčasťou Data Analysis (obr. 73). obr. 74 Okno Data Analysis (Correlation) 86

87 Po otvorení okna Correlation zadáme do poľa Input Range oblasť skúmaných premenných. Zadefinujeme, či sú údaje zoskupené v stĺpcoch ( Columns ) alebo v riadkoch ( Rows ). Ak sme vybrali aj názvy stĺpcov (alebo riadkov) zaznačíme možnosť Labels in First Row. S popisom časti Output options sme sa už stretli. obr. 75 Okno Correlation V našom prípade, keď sme zisťovali koreláciu medzi dvoma premennými, bude korelačná matica vyzerať nasledovne: tab. 5 Výstup nástroja Correlation regresná matica Nezávislá premenná Závislá premenná Nezávislá premenná 1 Závislá premenná 0, Názvy premenných nie sú v tomto prípade dôležité. Kontingenčná tabuľka Kontingenčná tabuľka je interaktívna zostava krížových tabuliek, ktorá sumarizuje a analyzuje údaje z rôznych zdrojov, vrátane externých zdrojov. Zmenou riadkov alebo stĺpcov môžeme zobraziť rôzne súhrny údajov štatistického 87

88 súboru. Tieto údaje môžeme ďalej filtrovať alebo ich zobraziť podrobne. Príklad jednoduchej kontingenčnej tabuľky demonštruje tab. 6. tab. 6 Kontingenčná tabuľka Súčet z Cena Mesiac Tovar január február marec apríl máj Celkový súčet Produkt Produkt Produkt Celkový súčet Kontingenčná tabuľka poskytuje interaktívny spôsob rýchleho vytvorenia súhrnu veľkého množstva údajov. Kontingenčná tabuľka sa používa na podrobnú analýzu číselných údajov a na získanie odpovedí na ťažko predvídateľné otázky súvisiace s týmito údajmi. Kontingenčná tabuľka je určená na: zadávanie dotazov na veľké množstvo údajov rôznymi spôsobmi, výpočet medzisúčtov a zhromažďovanie číselných údajov, vytváranie súhrnov údajov podľa kategórií a podkategórií a vytváranie vlastných výpočtov a vzorcov, rozbalenie alebo zbalenie jednotlivých úrovní údajov s cieľom zamerať sa na určitý aspekt výsledkov a zobrazenie podrobností súvisiacich so súhrnnými údajmi, premiestňovanie riadkov do stĺpcov alebo stĺpcov do riadkov (tzv. kontingencia) na zobrazenie rôznych súhrnov zdrojových údajov, filtrovanie, zoraďovanie, zoskupovanie a podmienené formátovanie podmnožiny údajov za účelom zamerania pozornosti na požadované informácie, prezentáciu zostáv. 88

89 Zostava kontingenčnej tabuľky sa často používa vtedy, keď chceme analyzovať súvisiace súčty, najmä v prípade, ak máme k dispozícii dlhý zoznam sčítavaných hodnôt a súhrnné údaje alebo medzisúčty ktoré poskytnú pohľad na údaje z rôznych perspektív a umožnia porovnávať údaje podobných kategórií. Z kontingenčnej tabuľky (tab. 6) môžeme jednoducho zistiť, aký je stav celkového predaja konkrétneho produktu za určitý mesiac v porovnaní s predajom iného produktu alebo predaja za iný mesiac. Z kontingenčnej tabuľky môžeme tiež vyčítať celkový predaj jednotlivých produktov. V kontingenčnej tabuľke sa každý stĺpec alebo pole zdrojových údajov stáva poľom kontingenčnej tabuľky, ktoré je súhrnom viacerých riadkov informácií. V predchádzajúcom príklade sa stĺpec Tovar stane poľom Tovar a každý záznam pre kategóriu Produkt 1 sa zhrnie do jedinej položky. Pole Súčet z cena obsahuje hodnoty určené na vytvorenie súhrnu. V predchádzajúcej zostave súhrn január a Produkt 1 obsahuje súčet hodnôt predaja z každého riadka v zdrojových údajoch, pričom stĺpec Tovar obsahuje Produkt 1 a stĺpec Mesiac obsahuje január. Na vytvorenie kontingenčnej tabuľky musíme na karte Vložiť v skupine Tabuľky vybrať položku Kontingenčná tabuľka (obr. 76). Následne musíme definovať jej zdrojové údaje, zadať umiestnenie (obr. 77) a vytvoriť rozloženie polí (obr. 78). obr. 76 Výber kontingenčnej tabuľky 89

90 obr. 77 Vstupné údaje kontingenčnej tabuľky V časti Vyberte údaje, ktoré chcete analyzovať zvolíme položku Vyberte tabuľku alebo rozsah a potom do poľa Tabuľka alebo rozsah zadáme rozsah buniek, ktoré chceme použiť na vytvorenie kontingenčnej tabuľky. V časti Vyberte umiestnenie, kam chcete vložiť zostavu kontingenčnej tabuľky zadáme spôsob jej umiestnenia. Po potvrdení volieb MS Excel pridá prázdnu kontingenčnú tabuľku do zadaného umiestnenia a zobrazí zoznam polí kontingenčnej tabuľky. V tomto zozname môžeme pridávať polia, vytvoriť rozloženie a prispôsobovať kontingenčnú tabuľku (obr. 78). Pre pridanie poľa do kontingenčnej tabuľky musíme vykonať niektoré z nasledujúcich krokov: pre umiestnenie poľa do predvolenej oblasti sekcie rozloženia, je potrebné zaškrtnúť políčko vedľa názvu poľa v sekcii polí (podľa predvoleného nastavenia sa polia, ktoré nie sú číselné, pridajú do oblasti menoviek riadka, číselné polia sa pridajú do oblasti hodnôt a hierarchie dátumu a času sa pridajú do oblasti menoviek stĺpca), 90

91 pre umiestnenie poľa do určitej oblasti sekcie rozloženia, klikneme pravým tlačidlom myši kliknite na názov poľa v sekcii polí a potom vyberieme príkaz Pridať do filtra zostavy, Pridať do menoviek stĺpca, Pridať do menoviek riadka alebo Pridať do hodnôt, pre umiestnenie poľa do želanej oblasti, klikneme a podržíme tlačidlo myši na názve poľa v sekcii polí a potom ho presunieme do oblasti v sekcii rozloženia. obr. 78 Definovanie polí kontingenčnej tabuľky (sekcia polí a sekcia rozloženia) Kontingenčný graf Kontingenčný grafu predstavuje grafické zobrazenie údajov z kontingenčnej tabuľky, ktorá sa v tomto prípade označuje ako priradená kontingenčná tabuľka a vytvára sa automaticky počas vytvárania kontingenčného grafu. Kontingenčný graf je interaktívna forma grafu, čo znamená, že ho možno 91

92 zoradiť a filtrovať s cieľom zobraziť podmnožiny údajov kontingenčnej tabuľky. Pri vytváraní kontingenčného grafu sa filtre zobrazia v oblasti grafu. Zmeny vykonané v rozložení polí a v údajoch priradenej kontingenčnej tabuľky sa okamžite premietnu do kontingenčného grafu (obr. 80). Postup tvorby kontingenčného grafu je rovnaký ako tvorba kontingenčnej tabuľky. Rozdiel spočíva v tom, že nevyberieme priamo na položku kontingenčná tabuľka ale klikneme na šípku, aby sa zobrazila ponuka na tvorbu kontingenčného grafu (obr. 79). obr. 79 Voľba Kontingenčný graf Po zvolení položky Kontingenčný graf pokračujeme spôsobom popísaným v predchádzajúcej kapitole. obr. 80 Kontingenčný graf 92

93 Kontingenčný graf na obr. 80 je vytvorený z tých istých údajov ako kontingenčná tabuľka (tab. 6). Vzhľad kontingenčného grafu môžeme upraviť podobne ako vzhľad stĺpcového grafu. Otázky 1. Aké prostriedky môžeme použiť na opis jednej premennej? 2. O čom pojednáva zásada jednoznačnosti a úplnosti? 3. Z akého dôvodu sa vytvárajú kategórie? 4. Čo zobrazuje frekvenčná tabuľka? 5. Aký graf môžeme použiť na relatívne rozloženie početnosti hodnôt? 6. Aký graf môžeme použiť na absolútne rozloženie početnosti hodnôt? 7. Aký graf sa používa na zobrazenie časových radov? 8. Aký je rozdiel medzi histogramom a stĺpcovým grafom? 9. Vymenujte a definujte opisné charakteristiky. 10. Aké typy opisných charakteristík zobrazuje škatuľový graf? 11. Aké prostriedky môžeme použiť na opis dvoch premenných? 12. Aké grafické vyjadrenie sa používa pri regresnej analýze? 13. Čo charakterizuje Pearsonov výberový koeficient? 14. Ako ovplyvňujú odľahlé hodnoty výsledky regresnej analýzy? 15. Ako sa nazýva priamka zobrazujúca závislosť dvoch premenných? 16. Na čo sa používa kontingenčná tabuľka? 93

94 Induktívna štatistika a jej základné metódy použiteľné v marketingu Aj napriek tomu, že táto učebnica je primárne určená pre zoznámenie sa s deskriptívnymi štatistickými metódami, bolo by vhodné vysvetliť pojem induktívna štatistika a predstaviť jej základné metódy. Pomocou deskriptívnej štatistiky sme mohli opísať existujúci štatistický súbor (počet, priemer, medián...). Čo sme však nedokázali urobiť bolo to, že na základe zozbieraných dát sme nemohli stanoviť závery týkajúce sa celej populácie. Ak aj existujú štúdie, ktoré sa pri stanovení záverov opierajú len o deskriptívnu štatistiku a tvrdia, že výsledky je možné interpretovať na celú populáciu, nie sú správne. Bez použitia induktívnej štatistiky nemôžeme naše výsledky zovšeobecniť na celú populáciu. Úlohou induktívnej štatistiky je teda na základe informácií, ktoré sme zozbierali z náhodnej vzorky, urobiť závery o celej populácie (celom štatistickom súbore, z ktorého bola vzorka vybraná). Na to, aby boli tieto závery relevantné, musíme na výber vzorky použiť už spomínaný náhodný výber. Pri induktívnej štatistike sa veľmi často stretávame s pojmom testovanie hypotéz, štatistická významnosť resp. signifikancia alebo p-hodnota. Testovanie hypotéz O štatistickom súbore môžeme mať určité predpoklady, ktoré je možné overiť tzv. testovaním hypotéz. Každé testovanie hypotéz je zamerané na overenie základnej hypotézy, tzv. nulovej hypotézy H 0. Oproti tejto hypotézy sa stanovuje tzv. alternatívna hypotéza H 1. Cieľom testovania hypotéz je rozhodnutie o prijatí alebo zamietnutí nulovej hypotézy. Ak na základe testovania hypotéz zamietame nulovú hypotézu, prijímame hypotézu alternatívnu. 94

95 Nulová hypotéza vyjadruje určitý predpoklad a musí byť stanovená vopred bez prihliadnutia k dátovému súboru. Alternatívna hypotéza hovorí, čo platí, keď neplatí nulová hypotéza. Vo všeobecnosti môžeme tvrdiť, že nulová hypotéza sa stanovuje ako H 0 :nie je rozdiel a alternatívna ako H 1 :je rozdiel. Pri testovaní hypotéz rozlišujeme dva typy testov: parametrické, neparametrické. Pri použití parametrických testov predpokladáme, že náhodný výber pochádza z určitého typu rozdelenia (najčastejšie normálneho), ktoré závisí na parametroch. Neparametrické testy nevyžadujú predpoklad o určitom type rozdelenia, ale stačí im splnenie len všeobecných podmienok. Základný postup pri testovaní hypotéz Pri testovaní hypotéz by sme mali začať najskôr tým, že máme nejaký predpoklad alebo tvrdenie. Tento výrok chceme následne overiť pomocou dát, ktoré sme zozbierali do dátového súboru. Otázky, ktorými sa môžeme zaoberať by mohli vyzerať nasledovne: Je priemerná mzda mužov vyššia ako žien? Majú študenti, ktorí žijú v určitej oblasti Slovenska väčšie vreckové ako študenti v iných oblastiach? Je priemerná mzda mužov 1000? atď. Na to, aby sme mohli dokázať platnosť nášho tvrdenia, potrebujeme nejaký prostriedok, ktorý rozhodne o tom, či náš výrok platí alebo nie a dôkazný materiál, na základe ktorého sa rozhodneme. Ako prostriedok na rozhodovanie použijeme štatistický test a dôkazný materiál budú použité dáta. 95

96 Pri testovaní nulovej hypotézy voči alternatívnej hypotéze sa však môžeme dopustiť dvoch chýb: chyba 1. druhu H 0 zamietame, aj keď v skutočnosti platí, chyba 2. druhu H 0 nezamietame, aj keď v skutočnosti neplatí. tab. 7 Chyby testovania hypotéz SKUTOČNOSŤ H 0 nezamietame ROZHODNUTIE H 0 zamietame H 0 platí správne rozhodnutie chyba 1. druhu H 0 neplatí chyba 2. druhu správne rozhodnutie Pravdepodobnosť chyby 1. druhu sa označuje ako α a nazýva sa hladina významnosti testu. Pravdepodobnosť chyby 2. druhu sa ako označuje β. Číslo 1-β sa nazýva sila testu. Toto číslo vyjadruje pravdepodobnosť, s akou test vypovie, že H 0 neplatí. Štatistická významnosť Štatistická významnosť alebo signifikancia spadá do oblasti testovania hypotéz. Pre lepšie pochopenie uvedieme jednoduchý príklad. V marketingovom výskume sme zisťovali hypotézu, či je priemerná mzda všetkých respondentov napr V tomto prípade nestačí len vypočítať aritmetický priemer, ale musíme zistiť, či je vypočítaná hodnota aj štatisticky významná alebo sa jedná o náhodu. Práve na to slúži vypočítaná signifikancia, ktorá nás informuje o tom, či prijímame nulovú hypotézu H 0 alebo alternatívnu hypotézu H 1. Samotné testovanie hypotéz je založené na testovacej štatistike (číslo), ktorá je vypočítaná z dát. Podľa tejto štatistiky sa rozhodujeme, či test vyšiel štatisticky významne alebo nie. Pri každom 96

97 teste je potrebné zvoliť už spomínanú chybu prvého druhu α. Z tejto hodnoty sa stanoví tzv. interval spoľahlivosti. Ak je α=0,05, interval spoľahlivosti je 95%. Z vypočítanej štatistiky porovnávame, či leží alebo neleží v tomto intervale. Pre bežné testovanie hypotéz v marketingovom výskume stačí signifikanciu porovnať s hodnotou 0,05, čo je najbežnejšia hladina testu. Ak je signifikancia menšia ako táto hodnota, interval testovanú štatistiku nepokrýva a nulovú hypotézu zamietame. Pokiaľ by bola signifikancia väčšia ako 0,05, potom nulovú hypotézu nezamietame. V prípade, že nám stačí iba rozhodnutie, či testovanie hypotéz vyšlo štatisticky významne, potom signifikancia je jediný ukazovateľ, ktorý potrebujeme. Výhoda spočíva v tom, že je jedno akú hladinu α si zvolíme. Signifikancia poskytuje informáciu pre všetky hladiny α. Pokiaľ je signifikancia menšia než zvolená hladina testu α, tak zamietame nulovú hypotézu, pokiaľ nie, tak nulovú hypotézu nezamietame. Dôležité je však vedieť, čo testujeme, resp. čo má daný test potvrdiť alebo vyvrátiť, t.j. ako znie nulová hypotéza. Pri testovaní normality dát (test normálneho rozloženia) je nulová hypotéza stanovená tak, že rozdelenie je normálne. Pokiaľ hypotézu zamietame, znamená to, že dáta normálne rozloženie nemajú. Často používané testy hypotéz v marketingovom výskume V marketingovom výskume sa stretávame s rôznymi typmi premenných. Na rozdiel od výskumov napr. medicínskych, kde prevažujú premenné kvantitatívne (číselné), v marketingovom výskume sú dominantnejšie premenné kvalitatívne (slovné). V marketingovom výskume môžeme použiť testovanie hypotéz v nasledovných vzorových prípadoch: testovanie hypotézy o priemere kvantitatívnej premennej (t-test), 97

98 zistenie, či sú preferencie odpovedí respondentov rovnaké u mužov a žien (chí-kvadrát test). Pre testovanie hypotéz je možné použiť a softvér MS EXCEL, ale v tomto prípade odporúčame siahnuť po profesionálnom štatistickom softvéri. Otázky 1. Čo je úlohou induktívnej štatistiky? 2. Na čo sa používa testovanie hypotéz? 3. Ako sa nazýva základná hypotéza, ktorú stanovujeme pri testovaní hypotéz? 4. Voči akej hypotéze stanovujeme základnú hypotézu? 5. Aké základné typy testov hypotéz poznáte? 6. Aký účel má štatistická významnosť (signifikancia)? 7. Je hodnota štatistickej významnosti (signifikancie) závislá od stanovenej hladiny testu α? 8. Čo je sila testu? 9. Akých chýb sa môžeme dopustiť pri testovaní hypotéz? 10. Aké najčastejšie testy môžeme použiť pri vyhodnocovaní marketingového výskumu? 98

99 Určenie veľkosti výberovej vzorky Výber a určenie veľkosti výberovej vzorky možno považovať za základ ľubovoľného výskumu. Prvým krokom je rozhodnutie o tom, aký typ respondentov bude zapojený do výskumu (tzv. cieľová populácia). V prípade vykonávania výskumu zaoberajúceho sa napr. postom zamestnancov k určitému problému, cieľovú populáciu nie je ťažké stanoviť. Problém môže nastať v napr. v prípade snahy o zistenie úspešnosti určitého produktu. V takomto prípade je určenie cieľovej populácie ťažšie. Správne určenie cieľovej populácie pre marketingový výskum je veľmi dôležitým bodom. V prípade, že do výskumu zahrniete nesprávnu cieľovú populáciu, získané výsledky môžu byť skreslené alebo nesprávne. Ďalší krok v poradí, je rozhodnutie o tom, aká veľká má byť cieľová populácia, čiže určenie počtu respondentov, ktorí budú odpovedať na otázky. Malá reprezentatívna vzorka bude odzrkadľovať názory a postoje skupiny, z ktorej bola odobratá. Väčšia vzorka už presnejšie reprezentuje cieľovú skupinu. Aj napriek tomu však miera zlepšenia presnosti pri zvyšovaní veľkosti vzorky klesá. Napríklad zvýšenie počtu vzorky z 250 na 1000 presnosť zdvojnásobí. Pri voľbe veľkosti vzorky sa musíme rozhodnúť na základe viacerých faktorov. Medzi najdôležitejšie patrí: čas, ktorý máme k dispozícii na realizáciu marketingového výskumu, rozpočet, nevyhnutná úroveň spoľahlivosti (štatistické hľadisko). Rozpočet niekedy potiera všetky ostatné faktory. Vo viacerých prípadoch, kedy sa študenti snažia vo svojich záverečných prácach robiť marketingový výskum, neberú do úvahy prvé dva faktory. Bez rozmýšľania a pochopenia 99

100 dosadia do vzorca na výpočet veľkosti výberovej vzorky 11 štandardné údaje a zistené číslo považujú za smerodajné. Omnoho väčší význam by malo, ak by na problém veľkosti vzorky pozreli opačným smerom a zistili by, s akým intervalom spoľahlivosti 12 prezentujú svoje výsledky. Tento pohľad má význam aj z praktického hľadiska, kedy sa veľkosť vzorky stanovuje na základe dostupných finančných prostriedkov vyčlenených na výskum. Terminológia pri určovaní veľkosti výberovej vzorky Existujú tri faktory, ktoré určujú veľkosť intervalu spoľahlivosti pre danú hladinu spoľahlivosti. Jedná sa o: veľkosť vzorky, percento vzorky, ktoré si vybralo konkrétne odpovede, veľkosť populácie. Veľkosť vzorky Čím väčšia je vzorka, tým si môžeme byť istejší v tom, že odpovede budú skutočne odrážať stanovisko celej populácie. Pre zvolenú hladinu spoľahlivosti to znamená, že čím bude veľkosť vzorky väčšia, tým menší bude interval spoľahlivosti. Tento vzťah však nie je lineárny (t.j. zdvojnásobenie veľkosti vzorky nezmenší interval spoľahlivosti o polovicu). Percento vzorky, ktoré si vybralo konkrétne odpovede (podiel znaku) Presnosť tiež závisí na percente vzorky, ktorá si zvolila konkrétnu odpoveď. Ak 99% vzorky odpovedalo Áno a iba 1% odpovedalo Nie, pravdepodobnosť chybného rozhodnutia je malá bez ohľadu veľkosť vzorky. Ak sú však odpovede 11 Pozri kapitolu Výpočet veľkosti výberovej vzorky 12 Pozri kapitolu Terminológia pri určovaní veľkosti výberovej vzorky 100

101 rozdelené napr. v pomere 51% a 49%, pravdepodobnosť chybného rozhodnutia je oveľa väčšia. Pri stanovení veľkosti vzorky potrebnej pre danú úroveň presnosti musíme použiť percento najhoršieho prípadu, aký môže nastať (50%). Túto hodnotu použijeme aj vtedy, ak chceme určiť všeobecnú úroveň presnosti pre vzorku, ktorú už máme k dispozícii (nepoznáme hodnoty pre zistenie podielu znaku). Veľkosť populácie Veľkosť populácie môže byť chápaná ako napr. počet obyvateľov mesta ktoré skúmame, počet ľudí ktorí si kupujú nové auto, atď. Vo väčšine prípadov ale nemusíme poznať presnú veľkosť populácie. Matematická pravdepodobnosť dokazuje, že veľkosť populácie je irelevantná, pokiaľ nie je veľkosť vzorky väčšia ako niekoľko percent z celkového počtu štatistických jednotiek, ktoré skúmame. To znamená, že vzorka 500 respondentov je rovnako užitočná pri skúmaní názorov v populácii štatistických jednotiek ako aj v populácii štatistických jednotiek. Z tohto dôvodu sa veľkosť populácie ignoruje, ak je veľmi veľká alebo neznáma. Veľkosť populácie môže vystupovať ako faktor pri výskume relatívne malej a známej skupiny štatistických jednotiek (napr. členovia združenia). Pri výpočte intervalu spoľahlivosti predpokladáme, že výber vzorky bol náhodný. Ak výber vzorky nie je náhodný, interval spoľahlivosti môže byť nepresný. Nenáhodný výber vzorky v sebe nesie určitú chybu vyplývajúcu z výberu vzorky. Príkladom takejto chyby môže byť to, že napr. pri telefonickom dopytovaní počas pracovnej doby sa nemusíte dovolať potenciálnemu respondentovi. Nemôžeme teda skonštatovať, že nepracujúca populácia reprezentuje celú (pracujúcu a nepracujúcu) populáciu. 101

102 Interval spoľahlivosti Interval spoľahlivosti je číslo (plus-mínus) ktoré môže byť deklarované napr. ako výsledok výskumu verejnej mienky. Ak používame interval spoľahlivosti 5% (0,05) a vieme, že 44% respondentov odpovedalo na otázku áno, potom môžeme tvrdiť, že pri položení tej istej otázky celej populácii si odpoveď áno vyberie medzi 39% (44-5) a 49% (44+5) respondentov celej populácie. Úroveň spoľahlivosti Úroveň spoľahlivosti nám hovorí o tom, ako istí si môžeme byť tvrdeniami alebo výrokmi. Je vyjadrená v percentách a predstavuje koľko respondentov by si vybralo odpoveď ležiacu v intervale spoľahlivosti. 95% úroveň spoľahlivosti znamená, že si môžeme byť istí na 95%, 99% hladina spoľahlivosti zase znamená, že si môžeme byť istí na 99%. Vo väčšine prípadov výskumných štúdií sa používa 95% hladina spoľahlivosti. Interval spoľahlivosti a hladinu spoľahlivosti môžeme použiť aj spoločne. Potom môžeme tvrdiť, že sme si na 95% istí tým, že pri položení tej istej otázky celej populácii si odpoveď áno vyberie medzi 39% a 49% respondentov celej populácie. Výpočet veľkosti výberovej vzorky Na výpočet veľkosti výberovej vzorky slúži jednoduchý vzťah. Je však veľmi dôležité správne pochopenie jednotlivých parametrov, ktoré do vzťahu vstupujú. n = Z2 p (1 p) C 2 (20) kde: n veľkosť výberovej vzorky 102

103 Z Z hodnota, dosadzujúca sa zo štatistických tabuliek. Pre úroveň spoľahlivosti 95% je Z hodnota rovná 1,96, pre 99% úroveň spoľahlivosti sa rovná 2,58. p podiel znaku, pri neznámych hodnotách je p=0,5 c prípustné rozpätie chýb, v bežnom marketingovom výskume sa stanovuje od 2% do 10%. Podiel znaku charakterizuje šikmosť rozdelenia populácie. V prípade, že nedisponujeme touto informáciou, dosadená hodnota 0,5 nám vráti najväčšiu veľkosť vzorky. Napr. pre úroveň spoľahlivosti 95%, prípustné rozpätie chýb 5% a podiel znaku 0,5 je minimálna veľkosť vzorky 384 respondentov. Tento vzorec však môžeme použiť len vtedy, ak nepoznáme veľkosť celej populácie. Pri bližšom skúmaní jeho parametrov zistíme, že veľkosť populácie nie je zohľadnená. V prípade, že veľkosť populácie poznáme, môžeme prísť k záveru, že predchádzajúci vzťah nám vráti toľko respondentov, koľko neobsahuje celá populácia (napr. zamestnanci malého podniku). V takom prípade musíme zohľadniť veľkosť populácie a vypočítať korekciu pre celkovú populáciu. n kor = n 1+ n 1 pop (21) kde: n veľkosť výberovej vzorky bez zohľadnenia veľkosti populácie pop veľkosť populácie Napr. pri známej veľkosti populácie 100 nám k realizácii marketingového výskumu postačuje 80 respondentov (v závislosti od parametrov, ktoré sme použili v predchádzajúcom vzťahu na výpočet veľkosti vzorky). 103

104 Otázky 1. Aké faktory vplývajú na veľkosť výberovej vzorky? 2. K akému účelu sa používa zistenie o veľkosti výberovej vzorky? 3. Aký je rozdiel medzi populáciou a výberovou vzorkou? 4. Čo charakterizuje podiel znaku vo vzorci na výpočet veľkosti výberovej vzorky? 5. Kedy musíme využiť vzorec pre korekciu pre celkovú populáciu? 104

105 Dolovanie dát vytváranie pokročilých analýz V súvislosti s vytváraním rozličných predikcií v marketingu je potrebné aspoň spomenúť oblasť, ktorá významne prispieva k získaniu plnohodnotnejších výsledkov. Dolovanie dát je proces analýzy dát z rôznych perspektív a ich premena na užitočné informácie. Z matematického a štatistického hľadiska ide o hľadanie korelácií, teda vzájomných vzťahov alebo vzoriek v dátach. Modely dolovania dát využívajú niektoré štatistické metódy, hlavne koreláciu, lineárnu a logistickou regresiu, diskriminačnú analýzu a metódy predpovedania. Zložitejšie postupy sú realizované pomocou neurónových sietí alebo genetických algoritmov. Marketingový sektor poskytuje veľké možnosti nasadenia rozličných metód a algoritmov dolovania dát. Jednou z nich je použitie asociačných pravidiel v tzv. analýze nákupného košíka. Tieto asociácie dokážu identifikovať vzťahy medzi produktmi, ktoré spotrebiteľ nakupuje. Z výsledkov je potom možné stanoviť postupnosti, ktoré môžu dopomôcť k lepšiemu predaju produktov a lepšiemu zacieleniu marketingovej kampane. Cieľom analýzy nákupného košíka je identifikovať produkty alebo skupiny produktov, ktoré majú tendenciu vyskytovať sa spoločne (sú asociované) v nákupnej transakcii. Inak povedané, v nákupnom košíku. Poznatky získané z analýzy nákupného košíka môžu byť veľmi cenné. Napríklad zamestnanci supermarketov môžu reorganizovať rozloženie tovaru tak, aby produkty ktoré sa predávajú spolu boli umiestnené blízko seba. Iné využitie je na zlepšenie účinnosti propagačnej kampane produkty ktoré sú asociované nesmú byť súčasne v kampani. Stačí, keď bude v kampani podporovaný len jeden výrobok a následne môžeme predpokladať, že sa zvýši aj predaj asociovaných výrobkov. 105

106 Na obrázku 81 je zobrazený model, pomocou ktorého môžeme vykonať analýzu nákupného košíka. obr. 81 Model dolovania dát pre vykonanie analýzy nákupného košíka 106