Základy matematickej štatistiky
|
|
- Αναστασούλα Τερψιχόρη Βουγιουκλάκης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015
2 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
3 Náhodný výber V realite často potrebujeme analyzovať náhodné premenné, pričom ich rozdelenie nie je úplne známe. Často napr. predpokladáme určitý typ rozdelenia, ale nepoznáme hodnoty parametrov. Jediným spôsobom ako tieto informácie doplniť je vychádzať z výsledkov opakovania pokusov pri rovnakých podmienkach. Hľadané parametre sú potom funkciami týchto výsledkov. Pre výsledky často používame termín súbor hodnôt. Na rozdiel od množiny hodnôt, v súbore sa môžu rovnaké hodnoty opakovať.
4 Náhodný výber Teraz sformalizujeme proces získania súboru hodnôt, a to v podobe náhodného výberu. Definícia (Náhodný výber) Postupnosť nezávislých, rovnako rozdelených náhodných premenných X 1, X 2,..., X n sa nazýva náhodný výber. Číslo n nazývame rozsah náhodného výberu. Niekedy sa pre pohodlnejšie vyjadrovanie hovorí o náhodnom výbere z určitého rozdelenia a náhodné premenné X 1, X 2,..., X n sa potom nazývajú prvkami tohto náhodného výberu.
5 Štatistiky Už sme spomenuli, že náhodný výber využívame na určenie neznámych parametrov rozdelenia. Tieto parametre sú obvykle nejakou funkciou tohto náhodného výberu. Preto zavádzame nasledujúci pojem. Definícia (Štatistika) Funkciu jednej alebo viac náhodných premenných ktorá nezávisí na hodnotách neznámych parametrov sa nazýva štatistika. Ak X 1, X 2,..., X n sú náhodné premenné, tak náhodná premenná Y = n i=1 X i je štatistikou v zmysle predchádzajúcej definície. Naproti tomu náhodná premenná Y = X 1 µ σ je štatistikou iba v prípade, že hodnoty µ a σ sú známe.
6 Usporiadaný náhodný výber Niekedy je nutné namerané hodnoty zoradiť podľa veľkosti. Usporiadajme teda náhodný výber X 1,..., X n podľa veľkosti do novej postupnosti X (1) X (2) X (n). Definícia (usporiadaný náhodný výber) Postupnosť X (1), X (2),..., X (n) nazývame usporiadaný náhodný výber.
7 Usporiadaný náhodný výber Veta (Rozdelenie usporiadaného náhodného výberu) Nech r {1, 2,..., n}. Potom distribučná funkcia G r (x) náhodnej premennej X (r) je daná vzťahom G r (x) = n i=r ( ) n F i (x)[1 F (x)] n i, i kde F (x) je distribučná funkcia náhodných premenných X 1,..., X n.
8 Usporiadaný náhodný výber Dôkaz Pravdepodobnosť, že medzi hodnotami X 1,..., X n bude práve i takých, že ich hodnota je menšia než dané x je daná Bernoulliho vzorcom ako ( ) n F i (x)[1 F (x)] n i, i nakoľko počet takýchto hodnôt sa riadi binomickým rozdelením. Hodnota X (r) bude menšia než dané x vtedy, ak medzi X 1,..., X n bude buďto r alebo r + 1 atď. alebo n takých, ktoré sú menšie než x. Tieto prípady predstavujú nezlučiteľné udalosti, preto výsledná pravdepodobnosť je súčtom ich pravdepodobností.
9 Usporiadaný náhodný výber Poznámka Ako špeciálne prípad z vety vyplývajú vzorce pre distribučné funkcie najmenšieho a najväčšieho člena usporiadaného náhodného výberu. Dostávame tak G 1 (x) = 1 [1 F (x)] n, resp. G n (x) = F n (x).
10 Všeobecný výberový moment Definícia (Všeobecný výberový moment) Nech X 1,..., X n je náhodný výber zo základného súboru X. Pod všeobecným výberovým momentom k-teho rádu v bode a rozumieme hodnotu M k (a) = 1 n (x i a) k. n i=1
11 Začiatočný výberový moment Pre a = 0 získame definíciu začiatočných výberových momentov. Definícia (Začiatočný výberový moment) Nech X 1,..., X n je náhodný výber zo základného súboru X. Pod začiatočným výberovým momentom k-teho rádu rozumieme hodnotu v k = 1 n n xi k. i=1 Aritmetický priemer Pre hodnotu k = 1 dostávame začiatočný moment prvého rádu, ktorý nazývame aritmetický priemer a píšeme x = 1 n n x i. i=1
12 Centrálny výberový moment Pre a = x získame definíciu centrálnych výberových momentov. Definícia (Centrálny výberový moment) Nech X 1,..., X n je náhodný výber zo základného súboru X. Pod centrálnym výberovým momentom k-teho rádu rozumieme hodnotu m k = 1 n n (x i x) k. i=1 Výberový rozptyl Pre hodnotu k = 2 dostávame centrálny moment druhého rádu, ktorý nazývame výberový rozptyl a píšeme s 2 = 1 n n (x i x) 2. i=1
13 Charakteristiky polohy Medzi charakteristiky polohy zaraďujeme Aritmetický priemer x = 1 n n x i. i=1
14 Charakteristiky polohy Medzi charakteristiky polohy zaraďujeme Výberový medián X (1),..., X (n) je usporiadaný náhodný výber. Výberový medián definujeme ako x ( n+1 2 ) n nepárne x = x ( n 2) + x ( n+2 2 ) n párne 2
15 Charakteristiky polohy Medzi charakteristiky polohy zaraďujeme Výberový módus Nech X 1,..., X n je náhodný výber. Výberový módus definujeme ako hodnotu s najväčšou početnosťou a označujeme ho ˆx.
16 Charakteristiky polohy Medzi charakteristiky polohy zaraďujeme Geometrický priemer Nech X 1,..., X n je náhodný výber. Ak sú všetky hodnoty x 1,..., x n kladné, tak definujeme geometrický priemer ako hodnotu: x G = n x 1 x 2 x n.
17 Charakteristiky polohy Medzi charakteristiky polohy zaraďujeme Harmonický priemer Nech X 1,..., X n je náhodný výber. Ak sú všetky hodnoty x 1,..., x n kladné, tak definujeme harmonický priemer ako hodnotu: n x H = x1 1 + x xn 1,
18 Charakteristiky rozptýlenia Medzi charakteristiky rozptýlenia zaraďujeme Výberová disperzia Nech X 1,..., X n je náhodný výber. Výberovú disperziu (rozptyl) definujeme ako s 2 = 1 n (x i x) 2. n i=1 a výberová smerodajná odchýlka s = s 2.
19 Charakteristiky rozptýlenia Medzi charakteristiky rozptýlenia zaraďujeme Výberová absolútna odchýlka nech X 1,..., X n je náhodný výber. Výberovú absolútnu odchýlku definujeme ako A = 1 n x i x. n i=1
20 Charakteristiky rozptýlenia Medzi charakteristiky rozptýlenia zaraďujeme Výberový variačný koeficient Nech X 1,..., X n je náhodný výber. Výberový variačný koeficient definujeme ako podiel V = s x. Hodnotu R = max X i min X i, i i nazývame výberové variačné rozpätie.
21 Dvojrozmerný náhodný výber Definícia (Výberová kovariancia) Nech (X 11, X 21 )..., (X 1n, X 2n ) je náhodný výber z dvojrozmerného rozdelenia. Výberovú kovarianciu definujeme ako s 12 = 1 n n (x 1i x 1 )(x 2i x 2 ). i=1 a výberový korelačný koeficient ako r 12 = s 12 s 1 s 2.
22 Empirická distribučná funkcia Definícia (Empirická distribučná funkcia) Formálne je možné empirickú distribučnú funkciu definovať ako F n (x) = 1 n n χ ( ;x). i=1 kde χ A (x) = { je charakteristická funkcia množiny A. 1 pre x A 0 pre x / A
23 Vlastnosti výberových charakteristík Veta Nech X 1,..., X n je náhodný výber z rozdelenia, ktoré má strednú hodnotu µ a konečný rozptyl σ 2. Potom platí a) E (x) = µ, b) D (x) = σ2 n, c) E ( s 2) = n n 1 σ2, pre n 2.
24 Vlastnosti výberových charakteristík Dôkaz a) Postupne dostávame E (x) = 1 n n i=1 E (X i ) = 1 nµ = µ. n
25 Vlastnosti výberových charakteristík Dôkaz b) Postupne dostávame D (x) = 1 n 2 n D (X i ) = 1 n 2 nσ2 = 1 n σ2. i=1
26 Vlastnosti výberových charakteristík Dôkaz c) Využijeme identitu n (X i X ) 2 = i=1 n (X i µ) 2 n(x µ) 2. i=1 Z nej dostávame ( n ) ( n ) E (X i X ) 2 = E (X i µ) 2 n(x µ) 2 i=1 = i=1 n D ( ) ( ) X i nd X i=1 čo je ekvivalentné s tvrdením c) = nσ 2 nσ2 n = (n 1)σ2,
27 Odhady parametrov Členenie Predpokladajme, že máme k dispozícii náhodný výber X 1,..., X n z rozdelenia s hustotou f (x, θ), pričom θ = (θ 1,..., θ m ) sú neznáme parametre. Na základe tohto výberu je potrebné určiť čo najpresnejší odhad parametra θ, o ktorom je známe len to, že patrí do nejakého parametrického priestoru P. Rozoznávame bodové a intervalové odhady.
28 Odhady parametrov Bodový odhad Definícia (Bodový odhad) Nech náhodný výber X = (X 1,..., X n ) závisí od neznámeho parametra θ. Odhadom parametra rozumieme štatistiku g(x), ktorá každej množine pozorovaných hodnôt náhodného výberu priradí hodnotu odhadu parametra, ktorú označíme ˆθ. Terminologická poznámka Odhad teda predstavuje nejakú funkciu definovanú na R n,kde n je rozsah náhodného výberu, kým veličina ˆθ už je konkrétnou odhadnutou hodnotou parametra θ. V anglickej literatúre sa tieto dva pojmy rozlišujú ako estimator, čo je funkcia a estimate, ktorý predstavuje konkrétnu hodnotu odhadu.
29 Odhady parametrov Intervalový odhad Definícia (Intervalový odhad) Intervalovým odhadom parametra θ rozumieme nejakú vhodnú množinu, ktorá s dostatočne veľkou pravdepodobnosťou pokrýva hodnotu parametra θ. Niekedy sa používa tiež termín interval spoľahlivosti pre parameter θ a zmienená pravdepodobnosť, s ktorou hodnoty parametra θ patria do tejto množiny sa označuje ako spoľahlivosť tohto odhadu.
30 Odhady parametrov Vlastnosti odhadov Jednou z častých požiadaviek, ktoré kladieme na odhady je ich nevychýlenosť v zmysle nasledujúcej definície. Definícia (Nevychýlenosť odhadu) Štatistiku T = g(x) nazývame nevychýleným odhadom parametra θ, ak platí E (T ) = θ θ P. (1) Poznámka Nevychýlenosť je síce dôležitou vlastnosťou odhadov, ale nie vždy je možné na tejto požiadavke trvať. Môže sa dokonca stať, že nevychýlený odhad parametra ani nemusí existovať.
31 Vlastnosti odhadov Príklady Už sme si ukázali, že pre aritmetický priemer platí E (x) = µ, teda aritmetický priemer je nevychýleným odhadom strednej hodnoty základného súboru. Pre výberový rozptyl naopak platilo E ( s 2) = n n 1 σ2, teda výberový rozptyl nie je nevychýleným odhadom rozptylu základného súboru. V ďalšom sa teda pokúsime skonštruovať nevychýlený odhad rozptylu.
32 Vlastnosti odhadov Príklady Už sme odvodili vzťah ( n ) E (X i X ) 2 = (n 1)σ 2, a teda E ( 1 n i=1 ) n (X i X ) 2 i=1 = n 1 n σ2. Aby sme na pravej strane rovnice dostali hodnotu σ 2, je potrebné je vynásobiť zlomkom n n 1. Pre nevychýlený odhad rozptylu tak dostávame sn 1 2 = 1 n (X i X ) 2. n 1 i=1
33 Vlastnosti odhadov Poznámka k príkladu Ak by sme porovnali strednú kvadratickú odchýlku nevychýleného odhadu rozptylu a výberového rozptylu od skutočnej hodnoty parametra σ 2, zistili by sme, že paltí E ( (s 2 σ 2 ) 2) < E ( (s 2 n 1 σ 2 ) 2). To je dôvodom, prečo sa možno stretnúť s tým, že niektorí štatistici uprednostňujú výberový rozptyl pred nevychýleným odhadom rozptylu. Zároveň tento príklad ukazuje, že nevychýlený odhad nemusí byť najlepší, pokiaľ sa týka strednej kvadratickej odchýlky od skutočnej hodnoty.
34 Vlastnosti odhadov Definícia (Konzistentný odhad) Nech θ je jednorozmerný parameter a X 1,..., X n je náhodný výber z rozdelenia, ktoré je závislé od tohto parametra. Nech pre každé n je definovaný odhad T n = g(x 1,..., X n ). Povieme, že odhad T n je konzistentný ak pre n platí T n P θ.
35 Vlastnosti odhadov Veta Nech E ( T 2 n ) < pre každé prirodzené n. Ak sú splnené predpoklady 1 E (T n ) θ, 2 D (T n ) 0, tak T n je konzistentným odhadom parametra θ.
36 Dôkaz Pre každé ɛ > 0 platí P ( T n θ < ɛ) P Podľa Čebyševovej nerovnosti je ( T n E (T n ) < ɛ 2, E (T n) θ < ɛ ). 2 ( P T n E (T n ) < ɛ ) 1 D (T n) ( 2 ɛ 2. 2) Predpoklad 1 zaručuje, že existuje číslo n 0 také, že pre každé n n 0 platí E (T n ) θ < ɛ 2.
37 Dôkaz Na pravej strane máme pravdepodobnosť prieniku dvoch udalostí. Pravdepodobnosť prvej z nich konverguje k jednej, druhá z nich je pre n n 0 istá udalosť. Z toho vyplýva P ( T n θ < ɛ) 1.
38 Momentová metóda Nech X 1,..., X n je náhodný výber z rozdelenia, ktoré závisí od parametra θ = (θ 1,..., θ m ). Predpokladajme, že pre každé θ P existujú počiatočné momenty ν k = E ( Xi k ), pre k = 1,..., m. Výberové počiatočné momenty sú dané vzťahom v k = 1 n n i=1 X k i pre k = 1,..., m. Momentová metóda odhadu parametra θ spočíva v tom, že za odhad berieme riešenie rovníc ν k = v k, k = 1,..., m.
39 Metóda maximálnej vierohodnosti Nech X 1,..., X n je náhodný výber z rozdelenia, ktoré závisí od parametra θ = (θ 1,..., θ m ). Ak má vektor X spojité rozdelenie, tak jeho hustotu označme symbolom L(x, θ). Ak má X diskrétne rozdelenie, tak L(x, θ) = P (X = x). Funkciu L(x,.) premennej θ nazývame vierohodnostná funkcia 1. Hovoríme, že sme určili odhad parametra θ metódou maximálnej vierohodnosti, ak za odhad berieme takú hodnotu ˆθ, že pre každé θ P platí L(x, ˆθ) L(x, θ). 1 Preto označenie L(x, θ) z anglického likelyhood
40 Metóda maximálnej vierohodnosti Poznámka k výpočtom Vierohodnostná funkcia je, v dôsledku nezávislosti prvkov náhodného výberu, súčinom hustôt príp. pravdepodobnostných funkcií. Určenie jej lokálneho maxima si preto vyžaduje pomerne náročné derivovanie rozsiahleho súčinu. Pre uľahčenie výpočtu sa preto obvykle prechádza od hľadania extrémov samotnej vierohodnostnej funkcie ku hľadaniu extrémov logaritmu vierohodnostnej funkcie ln L(x, ˆθ). 2 Prejdeme tak od derivovania súčinu ku derivovania súčtu, čo je z výpočtového hľadiska podstatne pohodlnejšie. 2 Rozmyslite si, prečo sa logaritmovaním extrémy funkcie nezmenia.
41 Intervalové odhady Definícia (Interval spoľahlivosti) Nech X je náhodný výber, ktorého rozdelenie závisí od neznámeho parametra θ a nech sú dané dve štatistiky A = g 1 (X) a B = g 2 (X) také, že A < B. Ak a a b sú nejaké realizácie A a B a P (a < θ < b) = α. Interval (a; b) nazývame 100α percentným intervalom spoľahlivosti pre θ a hodnotu α nazývame hladinou spoľahlivosti. Ak je A = alebo B =, tak hovoríme o jednostranných intervaloch spoľahlivosti.
42 Príklad Interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu normálneho rozdelenia Nech X i N ( µ, σ 2) je náhodný výber ( z normálneho ) rozdelenia so známym rozptylom σ 2. Potom X n N µ, σ2 n a preto ( ) X n µ P σ n < c = 2Φ(c) 1, c > 0, čo je ekvivalentné s P (X n c n σ < µ < X n + c n σ ) = 2Φ(c) 1.
43 Príklad Interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu normálneho rozdelenia X n je štatistika určená náhodným výberom. Ak použijeme konkrétne realizácie, dostaneme hodnotu aritmetického priemeru x n a interval spoľahlivosti v tvare (x n c σ n ; x n + c σ n ). Toto je interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu normálneho rozdelenia µ s hladinou spoľahlivosti α = 2Φ(c) 1.
44 Príklad Interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu normálneho rozdelenia Ak si uvedomíme, že platí c = Φ 1 ( α ), tak pre príslušný interval spoľahlivosti na hladine 100α percent môžeme písať ( ( ) ( ) ) α + 1 σ α + 1 σ x n Φ 1 2 n ; x n + Φ 1. 2 n Ak konkrétne zvolíme spoľahlivosť 95%, tak pre α = 0, 95 určíme Φ 1 (0, 975) 1, 96 a interval spoľahlivosti dostávame v tvare ( ( ) ( )) σ σ x n 1, 96 ; x n + 1, 96. n n
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Základy metodológie vedy I. 9. prednáška
Základy metodológie vedy I. 9. prednáška Triedenie dát: Triedny znak - x i Absolútna početnosť n i (súčet všetkých absolútnych početností sa rovná rozsahu súboru n) ni fi = Relatívna početnosť fi n (relatívna
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Tomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi
Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi Typy súvislostí javov a vecí: nepodstatné - vonkajšia súvislosť nevyplýva z vnútornej potreby (javy spoločne vznikajú, majú zhodný priebeh, alebo
Funkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Teória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Motivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Reálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Metódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Príklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
množiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Pravdepodobnostné modelovanie inverznými distribučnými funkciami: Charakteristiky kvantilových rozdelení
Katedra štatistiky, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave Pravdepodobnostné modelovanie inverznými distribučnými funkciami: Charakteristiky kvantilových rozdelení Ľubica
Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
HANA LAURINCOVÁ KLASICKÝ VS. NEPARAMETRICKÝ PRÍSTUP Štatistika Poistná matematika
UNIVERZITA KOMENSKÉHO, BRATISLAVA FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA POISTNEJ MATEMATIKY A ŠTATISTIKY PARCIÁLNA A MNOHONÁSOBNÁ KORELÁCIA: KLASICKÝ VS. NEPARAMETRICKÝ PRÍSTUP (Bakalárska práca)
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Reprezentácia dát. Ing. Martin Mariš, Katedra regionalistiky a rozvoja vidieka, SPU, NITRA
Reprezentácia dát Ing. Martin Mariš, Katedra regionalistiky a rozvoja vidieka, SPU, NITRA slovným opisom grafickým zobrazením Typy grafov a ich použitie Najčastejšie používané typy grafov: čiarový graf
Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Integrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
4. domáca úloha. distribučnú funkciu náhodnej premennej X.
4. domáca úloha 1. (rovnomerné rozdelenie) Električky idú v 20-minútových intervaloch. Cestujúci príde náhodne na zastávku. Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Goniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Obyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Rozdiely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakteristiky
Veľkosť Varablta Rozdelene 0 00 80 n 60 40 0 0 0 4 6 8 Tredy 0 Rozdely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakterstky I CHARAKTERISTIKY PREMELIVOSTI Artmetcký premer Vzťahy pre výpočet artmetckého
Ján Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Metódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Cvičenia zo ŠTATISTIKY v Exceli Kurz IPA-Slovakia, september 2008, VYHNE
Cvičenia zo ŠTATISTIKY v Exceli Kurz IPA-Slovakia, september 2008, VYHNE doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk, http://frcatel.fri.uniza.sk/pesko/ Katedra matematických metód, Fakulta
Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Gramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Matematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Planárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
METODICKÁ SMERNICA NA AKREDITÁCIU METHODICAL GUIDELINE FOR ACCREDITATION VYJADROVANIE NEISTÔT MERANIA PRI KALIBRÁCII (EA-4/02)
SLOVENSKÁ NÁRODNÁ AKREDITAČNÁ SLUŽBA METODICKÁ SMERNICA NA AKREDITÁCIU METHODICAL GUIDELINE FOR ACCREDITATION VYJADROVANIE NEISTÔT MERANIA PRI KALIBRÁCII (EA-4/0) EXPRESSION OF THE UNCERTAINTY OF MEASUREMENT
DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
ŠTATISTIKA. Obsah. Predmet štatistiky Popisná štatistika Štatistické charakteristiky jednorozmerných rozdelení.. 17
ŠTATISTIKA Obsah Predmet štatistiky Meranie a úrovne merania 10 Popisná štatistika 13 Jednorozmerné rozdelenie 14 Štatistické charakteristiky jednorozmerných rozdelení 17 Dvojrozmerné rozdelenie 5 Štatistické
Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI
ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI 1. Zadanie: Určiť odchýlku kolmosti a priamosti meracej prizmy prípadne vzorovej súčiastky. 2. Cieľ merania: Naučiť sa merať na špecializovaných
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Viktor Szabados. jednoduchou regresi. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Viktor Szabados Některé sekvenční postupy pro jednoduchou regresi Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
x j hodnota štatistického znaku x - aritmetický priemer ni absolútna početnosť m počet tried hšt ti ti kéh m počet tried hšt ti ti kéh
4. Bodový odhad Pricíp bodového odhadu spočíva v odhade ezámych parametrov (stredej hodoty, rozptylu, smerodajej odchýlky, atď.) prostredíctvom výberových charakteristík, ktoré sú reprezetovaé jedým číslom
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Testy dobrej zhody. H 0 : f(x) = g(x) ; H 1 : f(x) g(x)
TESTY DOBREJ ZHODY Testy dobrej zhody = testy hypotéz zhody rozdelení (= testy dobrej zhody / ft testy / Goodness of Ft Tests) Overujeme, č emprcké rozdelene je štatstcky zhodné s nektorým z teoretckých
Riadenie zásobníkov kvapaliny
Kapitola 9 Riadenie zásobníkov kvapaliny Cieľom cvičenia je zvládnuť návrh (syntézu) regulátorov výpočtovými (analytickými) metódami Naslinovou metódou a metódou umiestnenia pólov. Navrhnuté regulátory
Spojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Ing. Andrej Trnka, PhD. Základné štatistické metódy marketingového výskumu
Ing. Andrej Trnka, PhD. Základné štatistické metódy marketingového výskumu 2016 Základné štatistické metódy marketingového výskumu Autor: Recenzenti: Ing. Andrej Trnka, PhD. prof. Ing. Pavol Tanuška, PhD.
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Mini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MINIMAXNÉ OPTIMÁLNE NÁVRHY REGRESNÝCH EXPERIMENTOV DIPLOMOVÁ PRÁCA 2014 Bc. Gabriel GROMAN UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d