Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων. ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων -- N. Μήτρου

Transcript

1 Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων --. Μήτρου

2 Θεωρία Πιθανοτήτων Αντικείµενο: η ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας Χρησιµότητα: η δυνατότητα πρόβεψης Ορoογία: Πείραµα -Ενδεχόµενο Συµβάν Erin - Ouco Evn Χωρος πιθανοτήτων ή ειγµατικός χώρος Probbiliy c Sl c Συνεπικουρούντα επιστ. αντικείµενα: Θεωρία συνόων hory Συνδυαστική Ανάυση Cobinoril nlyi

3 Ορισµός πιθανότητας Αξιωµατικός ορισµός riori ια της συχνότητας εµφάνισης oriori

4 Στοιχειώδη & σύνθετα ενδεχόµενα -- τυχαίες µεταβητές Το παράδειγµα τηςρουέτας: Ν σχισµές στοιχειώδη ενδεχόµενα µε ίδιες«ευκαιρίες» επιογής Ν i σχισµές χρώµατος χ i, i,, n Χρώµαχ i : σύνθετο ενδεχόµενο, αν Ν i > Πιθανότητα επιογής χρώµατος χ i : i i Pr{X i } Τυχαία µεταβητή Χ µετιµές... n που αντιστοιχίζονται στο επιεγέν χρώµα χ χ χ 3... χ n

5 ειγµατικός Χώρος Χ Σχετίζεται µε έναπείραµα και απαρτίζεται απ όαταδυνατάενδεχόµενα του πειράµατος Κάθε στοιχειώδες ενδεχόµενο ενός πειράµατος αντιστοιχεί σε ένα σηµείο του αντίστοιχου δειγµατικού χώρου

6 Κατηγορίες Χ ιακριτοί, πεπερασµένοι π.χ. η ρουέτα ιακριτοί, άπειροι π.χ. οαριθµός των φωτονίων επί φωτοδιόδου σε χρόνο Τ Συνεχείς π.χ. ο χρόνος ζωής ενός αµπτήρα Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας df: f Pr{ X, } li

7 Γραφική απεικόνιση Χ και Ενδεχοµένων Α Β C ειγµατικός Χώρος, Χ

8 ιατάξεις και Συνδυασµοί ιατάξεις αντικειµένων: Μ ανά n Με επανάηψη: M n Χωρίς επανάηψη: ΜΜ-...Μ-n M! M n! Συνδυασµοί αντικειµένων: Μ ανά n M n M! n! M n! [Συνδυασµοί Μ ανά n διατάξεις χ.ε. Μ ανά n/διατάξεις χ.ε. n ανά n]

9 Ηγεωµετρική κατανοµή πιθανότητας Pr{ X },,, L,, Επαήθευση:

10 Βασικές σχέσεις για τις κατανοµές πιθανότητας σε συνεχή Χ Χ f li Pr < X Pr X f u du CPD Pr X > Τυχαία µεταβητή rndo vribl Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας robbiliy dniy funcion Αθροιστική συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας cuuliv diribuion funcion Συνάρτηση επιβίωσης urvivor funcion ή colnry robbiliy diribuion funcion φ li Pr < f CPD X X > f CPD Ηικιακή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας g-cific robbiliy dniy funcion

11 Παράδειγµα : κανονική κατανοµή.9.8, σ 5 nordf: f σ, σ σ π norcdf: σ, σ σ π d.4.3 norcdf -norcdf

12 Παράδειγµα : εκθετική κατανοµή.9.8 df: f cdf: d cdf -cdf

13 Προσδοκώµενη µέση τιµή τ.µ. cion E{ X} i i Pr{ X f d, f i }, για διακριτ ό Χ df X, για συνεχή Χ Ιδιότητες: Γραµµικότητα E { X by} E{ X} be{ Y} Μέση τιµή συνάρτησης E{ g X } i g Pr{ X g f d, i }, i για διακριτ ό Χ f df X, για συνεχή Χ

14 Μέση τιµή τ.µ. γεωµετρικής και εκθετικής κατανοµής X E } { : d d d d Απόδειξη: d X E f } { : d d Απόδειξη:

15 ιαδικασία αφίξεων Poion Pr{µία άφιξη } Pr{καµµία άφιξη } Οι αφίξεις είναι ενεξάρτητες! } Pr{ rrivl Poion diribuion Απόδειξη: Τ σχισµές διάρκειας Τ/, από αυτές µεάφιξη ί ξεις αφ!!!! } Pr{ αφού,!!, li, L

16 Μέση τιµή τ.µ. κατανοµής Poion P E } { ύ E!,!! } {, αφο µε Απόδειξη:

17 Inrrrivl i diribuion στην κατανοµή Poion αφίξεις Poion df : f Απόδειξη: CPD Pr{ > } Pr{ d d df CPD } E{ } E{ E{ } } σ

18 Υπο συνθήκη πιθανότητες Pr{ A B} Pr{ A nd Pr{ B} B} Α Β Pr{ A B}Pr{ B} Pr{ B A}Pr{ A} Pr{ A nd B}

19 Ανεξαρτησία τυχαίων µεταβητών Α, Β ανεξάρτητα γεγονότα iff Ισοδύναµα Pr{ A nd B} Pr{ A B} Pr{ A} Pr{ A}Pr{ B} Χ Pr{ X } i i Pr{ Y y } j M M j Υ Pr{ X Χ, Υ ανεξάρτητες τ.µ. im j i nd Y y j} M i M M E { XY} E{ X} E{ Y} j

20 Η Αναγεννητική µέθοδος για τον υποογισµό µέσων τιµών Εφαρµόζεται σε περιπτώσεις επανόδου σε καταστάσεις «ήθης» της ιστορίας oryl nw S - [ Τ nw ] - Αν η κατάσταση S είναι αναγεννητική, τότε Τ nw κατανεµηµένη όπως η Τ, άρα E{ } E{ } E{ } [ E{ } E{ }] E{ }

21 Μετασχηµατισµός Llc / ] [ * d f E X E! ]! [ * ] [ X E Ροπογεννήτρια συνάρτηση on gnring funcion * Παράδειγµα: εκθετική κατανοµή onnil diribuion f * * X E! ] [ σ

22 Μετασχηµατισµός Llc / Άθροισµα ανεξάρτητωντ.µ. Sg in rlll X n X X X ] [ * * *... * E n X X X n Παράδειγµα onnil g in nd:! * n f n n n... n n n L * n