Membranski procesi obrade voda

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Membranski procesi obrade voda"

Transcript

1 Membranski procesi obrade voda prof. dr. sc. Krešimir Košutić Sveučilište u Zagrebu, Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije, Zavod za fizikalnu kemiju, Marulićev trg 19, Zagreb kkosutic@fkit.hr Broj ugovora: HR Naziv projekta: Inovativna škola za zelenu budućnost

2 REZERVE VODE Zemlja 25% kopno 75% voda Sl.1. Pokrivenost površine Zemlje vodom Hrvatska spada u red zemalja bogatih vodom 5. u Europi, 46. u svijetu Rezerve Hrvatske pitkom vodom: 9,1 mlrd. m 3

3 97.5% oceani i mora slatke vode 2.5% 0.3% rijeke i jezera 31% podzemne vode 69% ledenjaci i stalni snježni pokrivač Sl.2. Udio slane/slatke vode

4 MORE- golemi potencijal za obivanje pitke vode membranskom Tehnologijom reverzne osmoze Salinitet morske /oceanske vode: Baltičko more: mg /L Sredozemno more: mg/l Crveno more: mg/l i > mg/l Tablica 1: Prosječni sastav morske vode Element c/ ppm (mg L -1 Kemijski oblik ) pojavljivanja Glavni 1. Klor Cl - 2. Natrij Na + 3. Magnezij Mg 2+, MgSO 4 4. Sumpor SO 4 5. Kalcij 400 Ca 2+, CaSO 4 6. Kalij 380 K + Sporedni 7. Brom 65 Br - 8. Ugljik 28 HCO 3 -, H 2 CO 3, CO 3 2-,org. spojevi 9. Stroncij 13 Sr 2+, SrSO Bor 4,6 B(OH) 3, B(OH) 2 O Si 3 Si(OH) 4, Si(OH) 3 O - U tragovima (30 elemenata) 16. Litij 0,01 Li Jod 0,05 J Bakar 0,003 Cu Fluor 0,001 F -, MgF Srebro 0,0003 Ag Zlato 0, Au

5 OPSKRBA PITKOM VODOM Uzroci krize Industrijalizacija Porast ljudske populacije Klimatske promjene 2,5 mlrd ljudi suočeno je s nedostatkom vode Upitna kakvoća (kada je ima dovoljno na određenim lokacijama) uzrokuju brojne bolesti (malarija, tifus, diarea) Statistika: smrtnost povezana s vodom na visokom je trećem mjestu

6 OPĆI INTERES Na globalnoj, državnoj, lokalnoj razini ULAGANJE U INFRASTRUKTURU ULAGANJE U NOVE TEHNOLOGIJE Membranske tehnologije Sl.3. Izlaz - smjernice

7 DESALINACIJA Postupak uklanjanja mineralnih tvari iz vode u užem smislu i svih ostalih tvari, u širem smislu Ukupan broj desalinacijskih postrojenja = (izvor: IDA, Dubai, XI 2009) 80% Membranska desalinacija RO & EDR 20% Termička desalinacija destilacija RO 90% EDR 10% Sl.4. Prikaz desalinacijskih postrojenja u funkciji na globalnoj razini

8 Tablica 2 : Primjeri najvećih RO membranskih industrijskih postrojenja Postrojenje (investicija/mil. $) Kapacitet (m 3 dan -1 )/ Cijena/$ m -3 U funkciji od Sorek, Izrael (463) Hadera, Izrael (425) Ashkelon, Izrael Barcelona, Španjolska (159) Thames Gateway, Vel. Brit. (389) (0,50) (0,57) (0,53) Tuas, Singapur Cartagena/Murcia, Španjolska Fujairah, UAE Tampa Bay, USA Alicante, Španjolska Carboneras-Almeria, Španjolska Point Lisas, Trinidad Larnaca, Cipar (0,79) Al Jubai III, Saudijska Arabia Murcia, Španjolska Palma de Mallorca, Španjolska

9 Sl. 5. ASHKELON, Izrael: Investicija: 212 mil. $; Površina: 75,000 m² ; Kapacitet: m 3 /dan, 110 mil. m 3 /god, c ulaz =40700 ppm TDS, R=99,9%; Cijena vode: 0,527 $/m 3 ; troškovi energije: 4 kwh/ m 3

10 Sl.6. Pogled u unutrašnjost RO postrojenja (Ashkelon, 32 RO linije s membranskih elemenata)

11 ,3 KAPACITET POSTROJENJA [m 3 /dan] Španjolska 608,6 229, ,7 195,6 145,2 102,1 52,6 33,4 25, ,3 11 6,4 1,5 1,5 Italija Njemačka Velika Britanija Nizozemska Francuska Malta Cipar Grčka ZEMLJE Češka Republika Poljska Danska Austrija Portugal Belgija Švedska Slovenija Sl. 7. Grafički prikaz kapaciteta (>700 m 3 /dan) desalinacijskih postrojenja u europskim zemaljama

12 Dobivanje vode membranskim tehnologijama na svjetskoj razini Stanje (2015): 100 mil. m 3 /dan ,3 mil. m 3 /dan ( 61 %, u odnosu na ) u odnosu na Kapitalna ulaganja: 41,4 mlrd. do kraja Cijena : Ashkelon: 0,5 $ m -3 (32 membranska modula, godišnji kapacitet: 110 mil. m 3 15% Izraelovih potreba tj. za stanovnika) Manja postrojenja: do 2 m -3 HRVATSKA: Lastovo: kapacitet 900 m 3 /dan, Mljet (oko 1500 m 3 /dan, Dugi Otok (3-5 dm 3 /s, tj m 3 /dan; ljeto-zima)

13 Membranske operacije (procesi) Svaki je membranski separacijski proces karakteriziran upotrebom membrane za postizanje određene separacije. Membrana ima sposobnost prenijeti jednu komponentu puno lakše od drugih zbog razlika u fizičkim i/ili kemijskim svojstvima između membrane i permeabilnih komponenata. Prijenos kroz membranu događa se kao rezultat pokretačke sile koja djeluje na komponente u ulaznoj struji (feed), tj. fazi 1. U mnogim je slučajevima brzina permeacije kroz membranu proporcionalna pokretačkoj sili, tj. veza fluks-pokretačka sila može se opisati fenomenološkom jednadžbom. Proporcionalnost između fluksa (J) i pokretačke sile dana je: dx J = A dx gdje je: A-fenomenološki koeficijent, a dx/dx pokretačka sila izražena kao gradijent od X (temperatura, koncentracija, tlak) duž koordinate x okomite na transportnu barijeru

14 Fenomenološke jednadžbe nisu ograničene samo na opisivanje prijenosa mase već se koriste i za opisivanje toplinskog fluksa, volumnog fluksa, fluksa količine gibanja i električnog fluksa. Fenomenološki koeficijenti koji povezuju fluks i silu jesu difuzijski koeficijent (D, Fick-ov zakon), koeficijent permeabilnosti (L p, Darcy-ev zakon), toplinska difuzivnost (λ, Fourierov zakon), kinematička viskozitet (ν=η/ρ, Newtonov zakon) i električna vodljivost (1/R, Ohmov zakon). Tablica 3: Fenomenološke jednadžbe Maseni fluks J m =-D dc/dx Fick Volumni fluks J v =-L p dp/dx Darcy Toplinski fluks J m =- λ dt/dx Fourier Fluks kol. gibanja J m =- ν dv/dx Newton Električni fluks J m =-1/R de/dx Ohm Korištenjem ovih jednadžbi proces prijenosa dan je s makroskopskog stanovišta, a membrana kao crna kutija.

15 Tablica 4. Lista najvažnijih membranskih postupaka Membranski postupak Pokretačka sila Mehanizam separacije Struktura membr../ Veličina pora Ulaz Faza Permeat Mikrofiltracija P Isključenje prema veličini Makropore, >50 nm L L Ultrafiltracija P Isključenje prema veličini Mezopore, 2-50 nm L L Isključenje prema veličini, Nanofiltracija P Isključenje nabojem, Mikropore, <2 nm L L Interakcije membrana-otopina Reverzna osmoza P Isključenje prema veličini, Interakcije membrana-otopina (otapanje-difuzija?) Mikropore, <2 nm L L Pervaporacija Membranska destilacija Dijaliza p- aktivitet (parcijalni tlak) T/ p -aktivitet (temperatura) c-aktivitet (koncentracija) Difuzija Guste ( dense ) L G Isparavanje Makropore L L Difuzija Mezopore L L

16 Membranska operacija definira se kao operacija gdje se pomoću membrane ULAZNA STRUJA (pojna kapljevina, feed ) dijeli na dvije struje: PERMEAT- dio ulazne struje koji je prošao kroz membranu (npr. čista voda) i RETENTAT- dio ulazne struje koji je membrana zadržala (koncentrat, koncentrirana otopina). POJNA KAPLJEVINA RETENTAT MEMBRANA PERMEAT Sl. 8. Shematski prikaz struja u membranskoj operaciji

17 faza 1 membrana faza 2 feed permeat Pokretačaka sila c, p, T, E Sl. 9. Shematski prikaz dvofaznog sustava razdvojenog membranom

18 Pokretačka sila L L G faza 1 membrana L G G faza 2 Sl. 10. Shematski prikaz faza razdijeljenih membranom

19 Od ostalih membranskih operacija interesantne su operacije za separaciju plinova: membranska separacija plinova i permeacija pare. Kod membranske separacije plinova koriste se dvije potpuno različite vrste membrana; guste (dense) membrane gdje se prijenos odvija difuzijom te porozne membrane gdje dolazi do Knudsenovog protoka koji je određen veličinom pora (malih) pri čemu dolazi do sudara molekula plina sa stijenkom pore Komercijalna primjena plinskih membranskih separacija: obnavljanje vodika, separacija zraka (O 2 /N 2 ), separacija CH 4 /CO 2. Pervaporacija je jedini membranski proces gdje se prijenos faza zbiva između tekuće (feed) i plinovite faze (permeat) (L-G) što znači da za provedbu tog procesa treba najmanje onoliko energije koliko iznosi energija isparavanja permeata. Pervaporacija se uglavnom koristi za dehidriranje organskih smjesa (alkoholnih azeotropa). Pri membranskom isparavanju (destilaciji) dvije su vodene otopine pri različitim temperaturama razdvojene poroznom hidrofobnom membranom, a zbog razlike parcijalnog tlaka Otopina ne smije močiti membranu, isparavanje tekućine se događa na strani više temperature dok se kondenzacija pare događa s druge strane gdje je temperatura niža Membranska se destilacija koristi za koncentriranje i pročišćavanje vodenih (anorganskih) otopina.

20 MEMBRANSKE TEHNOLOGIJE KORISTE SE ZA: 1. Dobivanje čiste vode za piće Javno zanimanje za opskrbu vodom sve je izraženije u gradovima. Sve više i više područja, regija na sjevernoj hemisferi okreće se membranskim tehnologijama uklanjanja širokog spektra koloidnih tvari, patogenih uzročnika uključujući protozoe: giardia lamblia i cryptosporidium parvum (uzročnici diareje (proljeva) i gastroenterititisa), viruse i bakterije. Mutnoća, obojenost i minerali također se uklanjanju iz izvora namijenjenih piću (bilo površinskih ili podzemnih). 2. Desalinacija morske vode Različite vodom osiromašene regije pretvaraju bočatu i morsku vodu u svježu pitku vodu koristeći se membranskom tehnologijom. Desalinacijska tehnologija u uporabi je već 50-tak godina RO desalinacijski sustavi koriste se u turističkim naseljima, hotelima i na brodovima za kružna putovanja (cruise ships) iz razloga što osiguravaju sigurnu opskrbu pitkom vodom i što su isplativiji naspram drugih metoda pročišćavanja vode. RO sustavi dizajnirani su tako da se mogu prilagoditi različitim razinama slanosti morske vode. Njihove terenski ispitane performance idealne su za postavljanje na udaljenijim mjestima.

21 3. Industrija hrane i pića Stalna visoka kvaliteta vode poboljšava izgled, okus i čuvanje pića te spriječava neželjene druge učinke kao što su promjena mirisa i pojava taloga na bocama. Membranske tehnologije zabilježile su uspjeh kod različitih proizvođača pića, u mljekarskoj industriji i industriji vina diljem svijeta. Membranski separacijski sustavi osiguravaju pouzdane, visoko kvalitetne proizvode neovisno o lokalnoj opskrbi vodom. Membranska se tehnologija puno koristi u industriji mlijeka, za frakcioniranje i koncentriranje sirutke i za separaciju mliječne masti. Kod proizvodnje sokova i vina, glavna je primjena pri bistrenju i koncentriranju. Ponovno dobivanje proteina iz salamure u industrijskoj preradbi ribe 4. Laboratorijska i farmaceutska industrija Referentni standardi krajnje su važni za mnoge testove i procese kao što su spremnici za ispiranje i voda za injekcije. Membranske tehnologije i RO sustavi široko se koriste za uklanjanje zagađivala, virusa i bakterija.

22 5. Elektronička industrija RO tehnologija praktički jedina u kombinaciji s ionskom izmjenom udovoljava standardima i potrebama industrija poluvodiča Prisutnost čestica glavni je razlog visokim gubicima u proizvodnji mikroelektronskih komponenata. Doprinos potpunom reduciranju čestica u tu svrhu glavni je prioritet budući da voda dolazi u kontakt s tankim pločicama (poluvodičkim materijalom) nekoliko puta tijekom proizvodnje kompjutorskih čipova. Potrebna je 18 MΩ voda koja zadovoljava ASTM standarde za proizvodnju poluvodiča, pločica sklopova, kompjutorskih čipova i perifernih komponenata. Proizvodnja ultračiste vode stoga zahtijeva brojne različite tehnologije, a membranske tehnologije upravo su dizajnirane kako bi zadovoljile najviše standarde proizvodnje ultračiste vode. Visoka pouzdanost membranskih tehnologija smanjit će troškove proizvodnje u ovoj industrijskoj grani, sačuvati vodu i uštedjeti energiju. 6. Parni kotlovi i energetika Zahtjevi za kvalitetom vode uglavnom su u vezi sa sprječavanjem nastajanja kamenca, sa zaštitom od korozije i kontrolom kotlova. Najjednostavniji način kontrole ovih problema je reverzna osmoza, RO. RO sustavi idealni su za dobivanje pouzdano dobre kvalitete vode što se tiče energetskih zahtjeva.

23 7. Uklanjanje tzv. novih (nesvrstanih, neozakonjenih) organskih zagađivala iz voda Farmaceutici Lijekovi: humani i veterinarski antibiotici-biološki aktivni organski spojevi Lijekovi koji djeluju na rad endokrinih žlijezda Sredstva za osobnu higijenu Njihov utjecaj na zdravlje predmet je najnovijih istraživanja te raste zabrinutost zbog njihove štetnosti Prisutni u vodama u niskim koncentracijama (< 1 mg L -1 ), Neki slabo razgradljivi ili pak se veća brzina razgradnje nadoknađuje stalnim dospijevanjem novih količina u vodu

24 Karakteristike i prednosti membranskih separacija Optimalan odabir (selekcija) membrana Dizajn koji jamči pouzdanost i visoku učinkovitost Jednostavnost u operacijskom smislu i lakoća održavanja Operacije s nižim tlakovima uz najbolju uštedu energije Niska nabavna cijena u usporedbi s drugim tehnologijama Čvrsta i otporna konstrukcija Rad bez prekida (non-stop) i nadgledanja Najbolje usklađen protok i moguća separacija Sustav samopročišćavanja Modularni dizajn, lako proširivi sustavi Iznimna garancija (jamstvo) za membrane i odgovarajuću opremu Ekološki održive tehnologije (utrošak kemikalija sveden na minimum)

25 Tablica 5. Tlačni membranski postupci Membranski postupak Područje tlakova/ bar Područje protoka / L m -2 h -1 bar -1 Mikrofiltracija, MF 0,1-2,0 >50 Ultrafiltracija, UF 1,0-5, Nanofiltracija, NF 5,0-20 1,4-12 Reverzna osmoza, RO Bočata voda Morska voda ,05-1,4

26 Osmoza i reverzna osmoza H 2 O Sl.10. Shematski prikaz osmoze i reverzne osmoze

27 Koncentrat Čista voda Koncentrat Čista voda protok protok Semipermeabilna membrana Semipermeabilna membrana OSMOZA REVERZNA OSMOZA Sl. 11. Shematski prikaz rada osmoze i reverzne osmoze

28 Membrana je srce svake membranske operacije i definira se kao tanki film (međufaza) koja dijeli dvije faze i/ili djeluje kao aktivna ili pasivna tanka fizikalna pregrada prijenosu tvari između dviju faza! Ova se definicija odnosi na PERMSELEKTIVNE membrane i podrazumijeva da postoji razlika kemijskog potencijala između dviju faza. Membrana je funkcionalan, aktivan, rjeđe pasivan, materijal! Do separacije dolazi jer membrana ima sposobnost da prenese jednu komponentu pojne kapljevine, smjese mnogo lakše nego ostale komponente. Performansa ili učinkovitost dane membrane određena je s dva važna parametra: 1. Selektivnošću i 2. Protokom (ili fluksom ili brzinom permeacije, koji ima jedinicu ako se radi o volumnom fluksu: l m -2 s -1 ; cm 3 cm -2 hr -1 ; gal ft -2 day -1 ; l m -2 hr -1 ; l m -2 day -1 ). Selektivnost membrane prema smjesi općenito se izražava pomoću dva parametra: faktorom zadržavanja ili retencije, R ili faktorom separacije, α. c f c p c R = = 1 c c f p f gdje je c f - koncentracija ulazne otopine, a c p -koncentracija permeata.

29 Selektivnost membrane prema smjesama plinova ili organskih tekućina obično se izražava pojmom faktora separacije, α. Za smjesu koja se sastoji od komponenata A i B, faktor selektivnosti dan je jednadžbom: ya / y α B A/ B = x / x gdje su y A i y B koncentracije A i B komponente u permeatu, a x A i x B koncentracije komponenata A i B u ulaznoj struji. Koncentracije mogu biti izražene kao masena ili molarna koncentracija, a sastav smjese u molarnim, masenim ili volumnim udjelima. Membrane uz dobru selektivnost i što bolju produktivnost (permeabilnost) moraju imati: stabilna separacijska svojstva pri dugotrajnoj primjeni (5-8 godina), mehaničku, kemijsku i biološku otpornost, A slabu podložnost taloženju koloidnih i suspendiranih tvari (tzv. fouling) pristupačnu (nisku) cijenu, što se danas već postiglo B

30 Klasifikacija membrane Permselektivne membrane mogu se klasificirati prema različitim kriterijima, a to su: A) mehanizam separacije, B) fizikalna morfologija i C) kemijska priroda A) Klasifikacija membrane prema separacijskom mehanizmu: Tri su glavna mehanizma separacije koja ovise o specifičnim svojstvima komponenata koje treba selektivno ukloniti ili zadržati pomoću membrane: 1) separacija temeljena na razlici u veličini čestica i veličini pora membrane, tzv. efekt prosijavanja ( sieve efekt) Ovdje je riječ o poroznim membranama koje mogu imati makropore čija je veličina >50 nm i nanopore (mezopore) veličine 2-50 nm. Operacije: mikrofiltracija (MF), ultrafiltracija (UF), nanofiltracija (NF) i dijaliza (DIA)

31 2) Separacija koja se temelji na razlici u topljivosti i difuzivnosti materijala membrane i otopine koja dolazi u kontakt s membranom- tzv. mehanizam otapanja/difuzije U ovom slučaju govorimo o gustim, tzv. dense membranama, a pripadajuće operacije su: permeacija plina, GP, pervaporacija, PV i reverzna osmoza, RO. 3) Separacija koja se temelji na razlici u naboju čestica koje treba separirati (elektrokemijski učinak). Pripadajuće membrane su električki nabijene membrane, tzv. ionsko izmjenjivačke membrane, a operacije elektrodijaliza, ED, Donnanova dijaliza, ali i nanofiltracija, NF. Ionsko izmjenjivačke membrane specijalna su vrsta gustih membrana koje su napravljene od gelova jako sklonih bubrenju koji nose fiksan pozitivan ili negativan naboj. Membrane s fiksnim pozitivnim nabojem (npr. RN 3+ ) nazivaju se anionsko izmjenjivačke membrane i permeabilne su za anione, npr. Cl -, SO 4 2-, a nepermeabilne su za katione. Membrane s fiksnim negativnim nabojem, (npr-so 3- ), zovu se kationskoizmjenjivačke membrane i one su permeabilne za katione, Na +, Ca 2+, Mg 2+, a odbijaju anione.

32 B) Klasifikacija membrana prema morfologiji - Anizotropne membrane (različite poroznosti po poprečnom presjeku membrane, tanki aktivni gornji sloj, tzv. skin i podloga znatno veće poroznosti, supporting sublayer ). - Izotropne membrane jednake poroznosti po cijelom presjeku. Anizotropne : -asimetrične membrane (od jednog materijala) -sastavljene (kompozitne)

33 Slika 12: Shematski prikaz presjeka tankoslojne sastavljene (kompozitne) membrane (TFC)

34 Slika 13: SEM celulozno acetatne membrane Slika14 : Presjek asimetrične membrane

35 3. Klasifikacija membrana prema kemijskoj prirodi Organske-polimerne- dominiraju- praktično može biti upotrijebljen bilo koji polimer: -celuloza i njezini derivati -aromatski poliamidi (hidrofilni karakter) - izvrsna permselektivna svojstva, bolja termička i kemijska svojstva i bolja hidrolitička stabilnost od celuloznih estera, ali jako osjetljive na klor i okidativnu degradaciju -poliakrilnitril (PAN)- UF i hemodijaliza -polisulfon (PSf) i polietersulfon (PES)-hidrofobne, UF, sklone adsorpciji, dobrih kem., meh. i term. Svojstava Politetraflouretilen (PTFE), poliviniliden flourid (PVDF), polietilen (PE), polikarbonat (PC), izotaktički polipropilen (PP) Anorganske: najvećim dijelom keramičke Oksidi, nitridi i karbidi Al, Zr i Ti) Primjenjuju se za separaciju organskih otapala koje nije moguće separirati polimernim membranama (došlo bi do otapanja polimernog materijala od kojeg je membrana napravljena 4. Klasifikacija membrana prema geometriji Membrane se danas proizvode u dvije forme: a) ravne _( flat ) membrane (plosnate, u obliku plahte) i b) cilindrične: cijevne( 2r >mm) i kao šupljikava vlakanca tzv. hollow fibers (2r <3 mm)

36 Membranski moduli Modul - najmanja praktična jedinica koja sadrži jednu ili više membrana i potpornu građu pri čemu se od potpornom građom smatraju se čeone ploče i ostali potporni materijal potreban za mogućnost rada jedinice nezavisno od ostatka postrojenja. U praksi se koriste: Modul na principu filter preše Spiralni modul Cijevni modul Modul sastavljen od šupljih vlakana Karakteristike modula Gustoća pakiranja (m 2 membrane/ m 3 volumen modula ) Energetska upotreba Upravljanje fluidom i kontrola pogreške Standardizacija, zamjena, čišćenje, jednostavnost proizvodnje

37 Sl. 15. Modul u obliku spiralnog namotaja: sastoji se od ravnih membrana međusobno odvojenih poroznim nestlačivim materijalom; obično je po nekoliko parova membrana spiralno namotano oko centralne cijevi (cijevi za odvod permeata)

38 Modul u obliku šupljih vlakanaca Sl. 16. Modul u obliku šupljikavih vlakanaca: sastoji se od šupljih vlakana smještenih u tlačnoj posudi, pojna voda prolazi kroz snop vlakana, a permeat izlazi na čeonim stranama tlačne posude u kojoj su vlakna smještena

39 Dizajn membranskih sustava Dizajniranje membranskih sustava može se značajno razlikovati zbog velikog broja aplikacija i konfiguracija modula. Modul je centralni dio membranskog uređaja i često se imenuje separacijskom jedinicom. Broj modula (separacijskih jedinica) povezanih zajedno bilo serijski bilo paralelno čini stupanj nekog membranskog postrojenja, tzv. stage. Zadaća je inženjera urediti module na takav način da se dobije optimalni dizajn uz najnižu cijenu produkta. Najjednostavniji je dizajn jednoizlazni protok ( dead-end ) ili operacija gdje se sva ulazna struja (feed) tjera kroz membranu što podrazumijeva da se koncentracija zadržanih komponenata u ulaznoj struji povećava te posljedično kvaliteta permeata smanjuje s vremenom. Ovaj se način još uvijek vrlo često rabi pri mikrofiltraciji.

40 ulaz ulaz retentat permeat Jednoizlazni tok dead-end permeat Ukriženi tok cross-f low Sl. 17. Shematski prikaz dva temeljna rada modula: jednoizlazni i ukriženi tok

41 Dizajniranje parametara RO/NF sustava 1. Selekcija membrana: celulozno acetatne i poliamidne kompozitne membrane; spiralno namotani moduli te moduli u obliku šupljikavih vlakanaca, visoko protočne, selektivne i energijski štedljive 2. Životni vijek membrane: 5 do 10 godina 3. Predobrada smanjenje mutnoće (NTU, SDI); uklanjanje Fe i Mn soli, antiscaling - sprječavanje formiranja kamenca, mikrobiološka kontrola, uklanjanje slobodnog Cl 2 (za PA kompozitne membrane), ph podešavanje. koagulacija s flokulacijom, multimedijsku filtracija te patronska filtracija 4. Učinkovitost obrade: RO: R (anorg.tv.): 85 % do 99 %. R(org.tv.): 99% do manje od 50 % 5. Optok (''bypass'') vode: Reverznom osmozom praktički se dobije 99% čista voda pa se njezinim miješanjem s dijelom sirove vode koja ne sadrži neprihvatljive komponente, odnosno onečišćenja može poboljšati ekonomičnost procesa u smislu nižih energetskih troškova i veličine samog postrojenja

42 6. Završna obrada permeata: otplinjavanje CO 2 (ako je u suvišku) i H 2 S ako je prisutan, podešavanje ph i tvrdoće radi kontrole korozije te dezinfekcija 7. Odlaganje retentata: Faktor smanjenja volumena (omjer početnog volumena pojne kapljevine i volumena dobivenog retentata) varira Volumen retentata: % bočate vode: V R = 10 do 25%, morska voda: V R = do 60 %. Metode odlaganja: odvodnja u kanalizacijski sustav, odvodnja u more, injektiranje u dubinske bušotine. 7. Studija na pilot uređaju: scale up postupak: laboratorijsko ispitivanje na modelnim i realnim vodama pilot RO/NF ispitivanja konačni izvedbeni projekt (najpogodniji tip membrane, način predobrade kao i način postobrade, omjer optoka, konverzija, učinkovitost procesa i drugi parametri)

43 BLOKIRANJE membrana Taloženje materijala na površini i/ili u porama, što izaziva promjene radnih svojstava membrane anorgansko/organsko/biološko taloženje tvari koja premaši vrijednost produkta topljivosti (tzv. ''scaling'') depozicija koloidnog materijala kemijska reakcija otopljenih tvari na membranskoj površini (npr. stvaranje Fe-hidroksida iz topljivih oblika željeza) kemijska reakcija otopljene tvari s membranom adsorpcija nisko molekulnih tvari na membrani ireverzibilno stvaranje gela makromolekulnih supstanci kolonizacija bakterija (većinom hidrofobne interakcije)

44 Tablica 5. Vrste blokirajućih tvari i načini sprječavanja i smanjenja blokiranja membrana Blokirajuća tvar općenito anorganske tvari (kamenac): CaSO 4, BaSO 4, H 4 SiO 4, CaCO 3, Ca 3 PO 4 organska koloidi (<0,5 µm) biološka Kontrola blokiranja Hidrodinamika/smicanje, rad ispod kritičnog fluksa, kemijsko čišćenje Rad ispod granice topljivosti, predobrada, redukcija ph na 4-6 (zakiseljavanje s HCl ili H 2 SO 4 ), manja koverzija, aditiviantiskalanti (anorganski i organski fosfati, polikarbonske kiseline Neki metali se mogu oksidirati s kisikom Predobrada biološka, aktivnim ugljenom, ionskom izmjenom, ozonom, pojačanom koagulacijom (FeCl 3 ) Predobrada koagulacijom i filtracijom, mikrofiltracija, ultrafiltracija Predobrada dezinfekcijom (kloriranje, dekloriranje s aktivnim ugljenom ili NaHSO 3 ), filtracija, mikrofiltracija, ultrafiltracija

45 Primjer desalinacije morske vode Desalinacija morske vode jedan je od najvažnijih primjena membranskih procesa. Sl. 18. Shematski prikaz RO desalinacije mora RO membrane visokih performansi imaju svojstvo zadržavanja soli >99% što znači da jednostupanjski RO sustav može dati produkt čistoće od oko 300 ppm soli. Da bi se kvaliteta vode dalje poboljšala, dizajnira se dvostupanjski ili višestupanjski sustav. Iako je morska voda relativno čista pojna struja, ipak je nužna predobradba kako bi se reduciralo blokiranje membrana i izbjeglo njihovo oštećenje.

46 Prije ulaza u membransku sekciju morska voda prolazi proces predobradbe kako bi se iz nje uklonile tvari koje loše djeluju na membrane. Morska se voda u postrojenje u pravilu ne dobavlja izravno iz mora, već iz bunara iskopanih neposredno na morskoj obali. Prolazom kroz sloj zemlje i šljunka, morska voda se očisti od grubih onečišćenja i većeg dijela biološkog materijala. Ulazna voda tada ide na kemijsku predobradbu, koja može biti vrlo jednostavna, ali i dosta složena, što ponajviše ovisi o tipu upotrijebljenih membrana. Kompleksniju obradbu traže membrane u obliku šupljih vlakana zbog malih unutarnjih dimenzija vlakana i mogućnosti njihovog začepljenja, te membrane građene od materijala osjetljivih na prisutnost klora. Osnovna je svrha predobradbe da se iz slane vode uklone tvari, koje razaraju membranski materijal i koje pokazuju težnju za taloženjem na membranama (fouling).

47 To su, uz grubo dispergirani materijal, koloidne tvari kemijskog (silicijev dioksid, teški metali, organske tvari) i biološkog (mikroorganizmi, plankton) porijekla, te teško topljive soli (gips, karbonati). Kemijska predobradba se sastoji od dodavanja koagulanata (Fekloridi, polielektroliti) i može biti vrlo osjetljiva i važna, naročito da se izbjegne precipitacija karbonata (scaling), ali za svaku napojnu slanu vodu potreban je specifičan niz operacija. Pri jednostavnijoj kemijskoj predobradbi slana voda iz bunara najprije se klorira radi uklanjanja biološkog materijala i podešava na pravi ph dodatkom kiseline. Nakon uklanjanja nastalog taloga filtracijom, u slanu se vodu dodaje natrijev bisulfit radi uklanjanja suviška klora i natrijev heksametafosfat koji sprječava taloženje teško topljivih kalcijevih soli. Tada se slana voda kroz zaštitne filtere vodi u deaerator i zatim u glavni spremnik za opskrbljivanje membranske sekcije sirovinom.

48 Složenija predobradba započinje standardnim kemijskim postupcima čišćenja uz dodatak željeznog ili aluminijskog klorida i sulfata uz polimerne flokulante. Nakon koagulacije taloga i filtriranja uklanja se biološki materijal ili kloriranjem, ili dodatkom modre galice, ili ultravioletnim zračenjem. Nakon završene reverzno osmotske desalinacije dobiveni permeat po potrebi se otplinjava, dezinficira i podešava na potrebni ph. Preostali retentat prolazi kroz turbinu za rekuperaciju energije nakon čega se vraća u more.

49 Elektrodijaliza (električki membranski proces) Sl. 19. Shematski prikaz procesa elektrodijalize

50 U procesu elektrodijalize električki nabijene membrane koriste se za uklanjanje iona iz otopine. U višekomorni elektrodijalizator smjesti se određeni broj kationskih i anionskih ionsko izmjenjvačkih membrana između katode i anode. Nalazi li se u elektrodijalizatoru ionska otopina, npr. NaCl, ništa se neće dogoditi sve dok se izravno ne primjeni električna struja. Pusti li se struja, pozitivni ioni (Na + ) će migrirati prema katodi, a negativni Cl - ioni prema anodi. Klorid ioni ne mogu proći kroz negativno nabijenu membranu (kationsku) dok kationi ne mogu proći kroz pozitivno nabijenu membranu (anionsku). Ukupni je efekt da koncentracija iona raste u jednom odjeljku, a u drugom pada pa se stvaraju naizmjenično u odjeljcima koncentrirane i razrijeđene otopine.

51 Elektroliza se događa na elektrodama, H 2 i OH - ioni se formiraju na negativnoj elektrodi (katodi), dok se Cl 2, O 2 i H + ioni stvaraju na pozitivnoj elektrodi (anodi). K: 2 H e - H 2 +2OH - A: 2Cl - Cl 2 + 2e - H 2 O 1/2O 2 +2H + +2e -. U praktičnoj (komercijalnoj primjeni) nekoliko stotina parova ćelija je složeno u komore i na taj način primjenjena struja iskorištena je na najefektivniji način

52 Primjena elektrodijalize Dobivanje pitke vode iz bočate vode, ali još više dobivanje soli (koncentriranje) Demineralizacija sirutke Odkiseljavanje voćnih sokova Proizvodnja pojne vode za bojlere Uklanjanje organskih kiselina pri postupcima fermentacije (npr. separacija amino kiselina)

53 Membranska elektroliza Kod membranske elektrolize elektrolitički je proces povezan s membranskim separacijskim procesom. Klasičan je primjer kloralkalijski proces u kojem je NaCl konvergiran u klor i kaustičnu sodu, a ostali primjeri su elektrolitičko obnavljanje teških metala te proizvodnja kiselina i baza iz odgovarajućih soli. Sl. 20. Shematski prikaz klor-alkalijskog procesa

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA

Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Relativna skala masa elemenata: atomska jedinica mase 1/12 mase atoma ugljika C-12. Unificirana jedinica atomske mase (u)

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK DIPLOMSKI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK DIPLOMSKI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK DIPLOMSKI RAD Osijek, 10. rujan 2015. Bruno Kufner SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE. Elektrolitička disocijacija. čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost

ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE. Elektrolitička disocijacija. čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE Elektrolitička disocijacija čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost otopine kiselina, lužina ili soli = elektroliti pozitivni i negativni ioni povećavaju

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKT UREĐAJA ZA DESALINIZACIJU BOČATE VODE REVERZNOM OSMOZOM DIPLOMSKI RAD. Mentor: Zagreb 2008.

PROJEKT UREĐAJA ZA DESALINIZACIJU BOČATE VODE REVERZNOM OSMOZOM DIPLOMSKI RAD. Mentor: Zagreb 2008. PROJEKT UREĐAJA ZA DESALINIZACIJU BOČATE VODE REVERZNOM OSMOZOM DIPLOMSKI RAD Mentor: Doc.Dr.Sc. Slaven Dobrović Boris Crnobrnja Zagreb 28. Izjavljujem da sam ovaj rad radio samostalno, primjenom znanja

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml)

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL 198-1 Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) */200 ml Hrana za posebne medicinske potrebe Prehrambeno cjelovita

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Voda za piće. Otpadne vode. Procesno ekoinženjerstvo voda. Ø otpadne vode iz domaćinstva. Ø industrijske otpadne vode. Ø kanalizacijske otpadne vode

Voda za piće. Otpadne vode. Procesno ekoinženjerstvo voda. Ø otpadne vode iz domaćinstva. Ø industrijske otpadne vode. Ø kanalizacijske otpadne vode Procesno ekoinženjerstvo voda Voda za piće Otpadne vode Ø otpadne vode iz domaćinstva Ø industrijske otpadne vode Ø kanalizacijske otpadne vode Ø slivne vode Shema tipičnog sustava za pripravu pitke vode

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

A B C D. v v k k. k k

A B C D. v v k k. k k Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a

Διαβάστε περισσότερα

ZAKLJUČNI PROCESI V BIOTEHNOLOGIJI. Membranski separacijski procesi: diafiltracija, elektrodializa, reverzna osmoza, pervaporacija

ZAKLJUČNI PROCESI V BIOTEHNOLOGIJI. Membranski separacijski procesi: diafiltracija, elektrodializa, reverzna osmoza, pervaporacija ZAKLJUČNI PROCESI V BIOTEHNOLOGIJI Membranski separacijski procesi: diafiltracija, elektrodializa, reverzna osmoza, pervaporacija Membranski separacijski procesi v biotehnologiji proces mikrofiltracija

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

NEKONVENCIONALNI POSTUPCI OBRADE (OBRADA ODNOŠENJEM) (DIREKTNO ENERGETSKI POSTUPCI OBRADE)

NEKONVENCIONALNI POSTUPCI OBRADE (OBRADA ODNOŠENJEM) (DIREKTNO ENERGETSKI POSTUPCI OBRADE) dr.sc. S. Škorić NEKONVENCIONALNE pojam NEKONVENCIONALNI POSTUPCI OBRADE (OBRADA ODNOŠENJEM) (DIREKTNO ENERGETSKI POSTUPCI OBRADE) alat za obradu ne mora biti tvrđi od obratka nema klina praktički nema

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Deformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε

Deformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε Deformae. Duljinska (normalna) deformaa. Kutna (posmina) deformaa. Obujamska deformaa Θ Tenor deformaa tenor drugog reda 9 podatakamjerna jedinia Simetrinost tenora deformaa 6 podataka 4. Duljinska deformaa

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα