υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 12.

Transcript

1 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

2 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγν Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All right reerved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσες εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσες, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα

3 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Εκπαιδευτική Ενότητα 1 η Μετασχηµατισµός Laplace Γενικά Στις προηγούµενες Εκπαιδευτικές Ενότητες, παρουσιάσθηκαν οι εξής µέθοδοι υπολογισµού της δυναµικής απόκρισης ενός συστήµατος: Μέθοδος Προσδιοριστέν Συντελεστών Μέθοδος Ιδιοανυσµατικού Μετασχηµατισµού Μέθοδος Συνάρτησης Μεταφοράς Ένας επιπρόσθετος, εναλλακτικός, τρόπος υπολογισµού είναι η Μέθοδος Μετασχηµατισµού Laplace. Η ιδιαίτερη αξία αυτού του τεχνικού τρόπου επίλυσης ιαφορικών Εξισώσεν (.Ε. στη υναµική έγκειται στο γεγονός ότι: Αποτελεί ένα εξαιρετικά πιο σύντοµο και περιεκτικό εργαλείο επίλυσης (.Ε.. Συµβάλλει στην αναπαράσταση, µε πολύ συνοπτικό τρόπο, της φυσικής συµπεριφοράς ενός δυναµικού συστήµατος. Αυτοί είναι και οι λόγοι, για τους οποίους θα ασχοληθούµε µε το Μετασχηµατισµό Laplace στο πλαίσιο του µαθήµατος υναµική Μηχανών Ι. ιατύπση Μετασχηµατισµού Laplace Η µαθηµατική διατύπση του Μετασχηµατισµού Laplace µίας, χρονικά µεταβαλλόµενης, ποσότητας x( t είναι: { } t L x t = = = e x t dt (1 όπου x( t είναι µια συνάρτηση στο χρόνο και είναι ένας µιγαδικός αριθµός, δηλαδή µία ποσότητα µε ένα πραγµατικό µέρος σ και ένα φανταστικό µέρος j : Χρησιµοποιώντας τη γραφή Euler ενός µιγαδικού αριθµού, ισχύει: j ( σ j t σ Euler: e θ cθ j inθ σ 0 = σ + j ( ( c in t + t j t = + t t e e e e e e t j t = = = (3 Ο συνδυασµός τν Εξ.(1,3 δίδει: = ( = σt σt σt x t e ct j int dt x t e ctdt j x t e intdt (4 Έπεται, λοιπόν, ότι το µιγαδικό ολοκλήρµα της Εξ.(1 ανάγεται στην ολοκλήρση δύο τµηµάτν: στην ολοκλήρση του πραγµατικού µέρους και στην ολοκλήρση του φανταστικού µέρους (βλ. Εξ.(4. Ο βασικός λόγος, για τον οποίο χρησιµοποιούµε την αναπαράσταση µε µιγαδικούς αριθµούς, είναι το γεγονός ότι επιτυγχάνεται η συµπύκνση δύο πληροφοριών (πραγµατικό µέρος και φανταστικό µέρος στην ίδια µεταβλητή. Πιο Re Im

4 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: συγκεκριµένα, στην ίδια αναπαράσταση, συνυπάρχει ένα σήµα (όρος µειώνεται εκθετικά, και ένα σήµα (όρος ( ct j int e σt, το οποίο, το οποίο εκφράζει ταλάντση. Ανάλογα µε τις τιµές που λαµβάνουν οι µεταβλητές σ και (βλ. Εξ.(, περιγράφεται µία χαρακτηριστική δυναµική συµπεριφορά ενός συστήµατος. Συνεπώς, στην ίδια αναπαράσταση είναι δυνατόν να συµπεριληφθεί ο µεταβατικός όρος και ο µόνιµος όρος της απόκρισης ενός δυναµικού συστήµατος. Από φυσικής απόψες, η Εξ.(1 δηλώνει πόσο µοιάζει η απόκριση x( t στην ταλάντση t e. Με άλλα λόγια, ο Μετασχηµατισµός Laplace αποτελεί µία ποιοτική γενίκευση της ανάπτυξης Furier. Στις εφαρµογές του Μηχανικού, χρησιµοποιούµε τυποποιηµένους πίνακες, στους οποίους αναγράφονται οι Μετασχηµατισµοί Laplace διαφόρν συναρτήσεν. Για τις ανάγκες του µαθήµατος υναµική Μηχανών Ι, χρήσιµοι είναι οι ακόλουθοι Μετασχηµατισµοί Laplace: Ιδιότητα γραµµικότητας: { } { } { } 1 L a 1x1 t + ax t = a1l x 1 t + al x t = 1 + (5 Πρώτη χρονική παράγγος: { } { } L x t = L x x 0 = x 0 = x (6 Ως x συµβολίζεται η τιµή της συνάρτησης τη χρονική στιγµή t= 0, ενώ παρατηρείται ένα πολύ ενδιαφέρον χαρακτηριστικό του Μετασχηµατισµού Laplace: αυτό που στο πεδίο του χρόνου είναι παράγγος (όρος x ( t, στο πεδίο συχνότητας µεταφράζεται ς πολλαπλασιασµός της µιγαδικής ποσότητας ( επί τον µιγαδικό αριθµο. Μετασχηµατισµός συνάρτησης ηµιτόνου: Ω = Ω +Ω { in( t } Μετασχηµατισµός συνάρτησης συνηµιτόνου: L (7 Ω = +Ω { c( t } * Μετασχηµατισµός συνάρτησης Heaviide H ( t : L (8 { H ( t } = L (9 *

5 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Από τις Εξ.(7,8,9, διαπιστώνουµε ότι ο Μετασχηµατισµός Laplace µίας συνάρτησης, οριζοµένης στο πεδίο του χρόνου, είναι ένα κλάσµα, στο οποίο ο αριθµητής και ο παρονοµαστής είναι, εν γένει, πολυώνυµα της µιγαδικής µεταβλητής. Μετασχηµατισµός Laplace και συµπεριφορά µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος Κατά τα γνστά (π.χ. βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 0, η εξίσση ισορροπίας ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος σε αρµονική διέγερση είναι: mx + cx + kx= F c( Ωt (10 Η αδιαστατοποιηµένη έκφραση της Εξ.(10 (βλ. Παράρτηµα Α, Εξ.(Α.1-Α.6, είναι: ζ c x+ x + x= Ωt (11 Εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(11, και λαµβάνοντας υπόψη τις Εξ.(5,6,8, προκύπτει (αναλυτικός υπολογισµός παρατίθεται στο Παράρτηµα Α/Εξ.(Α.1: x x + ζ x + = +Ω Οµαδοποιώντας τους όρους της Εξ.(1, προκύπτει: (1 + ζ + = + ζ + + x x +Ω Επιλύοντας την Εξ.(13 ς προς την µεταβλητή, προκύπτει: ( = + ζ x+ x + + ζ + + ζ + +Ω απ κρισησεαρµονικ δι γερση απόκρισησε ελεύθερηταλάντση ό ή έ (14 Στην Εξ.(14 εµφανίζεται ο όρος ( ζ + +, ο οποίος δεν είναι άλλος από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος. 1 Η θέση τν ριζών του συγκεκριµένου όρου, στο µιγαδικό επίπεδο, είναι εκείνη που προσδιορίζει πλήρς τη συµπεριφορά του δυναµικού συστήµατος (οι εν λόγ ρίζες καλούνται πόλοι του συστήµατος. Αναλυτικά, όλες οι δυνατές περιπτώσεις απεικονίζονται στο Σχήµα 1 και περιγράφονται στον Πίνακα 1. εδοµένου ότι το µιγαδικό επίπεδο καλείται και επίπεδο συχνότητας, έπεται ότι µε το Μετασχηµατισµό Laplace επιτυγχάνεται η µετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Αυτό, πρακτικά, σηµαίνει ότι µία ποσότητα, η οποία περιγράφεται ς συνάρτηση στο πεδίο του χρόνου, εκφράζεται, µέσ του Μετασχηµατισµού Laplace, ς πολυώνυµο της µιγαδικής µεταβλητής στο πεδίο συχνότητας. Τέτοια πολυώνυµα, εκτός 1 Στην Εκπαιδευτική Ενότητα 0/Εξ.(13 είχε χρησιµοποιηθεί η µεταβλητή για τη γραφή του χαρακτηριστικού πολυνύµου. Η επιλογή του συµβολισµού δεν ήταν τυχαία, διότι αντιστοιχεί στο σύµβολο του Μετασχηµατισµού Laplace

6 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: της µεγάλης ευχέρειας που παρέχουν στο µαθηµατικό χειρισµό (εκτέλεση υπολογισµών, αποτελούν έναν πολύ συνοπτικό τρόπο περιγραφής της συµπεριφοράς ενός δυναµικού συστήµατος. Σχήµα 1: υνατές θέσεις πόλν (σηµειώνονται ς αστερίσκοι δυναµικού συστήµατος Η φυσική σηµασία της θέσης τν πόλν ενός συστήµατος περιγράφεται στον Πίνακα 1. Πίνακας 1: Πόλοι δυναµικού συστήµατος στο µιγαδικό επίπεδο Θέση Περιγραφή πόλν Φυσική σηµασία (a (b (c (d (e δύο πραγµατικοί πόλοι, µε αρνητικό πραγµατικό µέρος δύο πόλοι, συµµετρικοί, µε αρνητικό πραγµατικό µέρος δύο πόλοι, συµµετρικοί, µε µηδενικό πραγµατικό µέρος δύο πόλοι, συµµετρικοί, µε θετικό πραγµατικό µέρος δύο πραγµατικοί πόλοι, µε θετικό πραγµατικό µέρος Ταλάντση µε υπερκρίσιµη απόσβεση Ταλάντση µε υποκρίσιµη απόσβεση (εκθετικά αποσβενόµενη ταλάντση Ταλάντση µηδενικής απόσβεσης (ελεύθερη ταλάντση µε συχνότητα την ιδιοσυχνότητα του συστήµατος Ταλάντση µε αυξανόµενο πλάτος ταλάντσης Ταλάντση µε εκθετική αύξηση του πλάτους ταλάντσης

7 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Καθίσταται, λοιπόν, φανερό, από το Σχήµα 1 και τον Πίνακα 1, ότι: Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυνύµου ( ζ + + στο µιγαδικό επίπεδο καλούνται πόλοι του συστήµατος και η θέση τους στο µιγαδικό επίπεδο προσδιορίζει πλήρς τη δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος. Με βάση το Σχήµα 1 και τον Πίνακα 1, προκύπτει ότι: Αρνητικό πραγµατικό µέρος της µιγαδικής µεταβλητής (δηλαδή σ < 0, βλ. Εξ.(, δηλώνει θετική απόσβεση. Ισοδύναµα, θετικό πραγµατικό µέρος της µιγαδικής µεταβλητής (δηλαδή σ > 0, βλ. Εξ.(, δηλώνει αρνητική απόσβεση. Σε αυτήν την περίπτση, στο σύστηµα προσδίδεται ενέργεια (δεν καταστρέφεται ενέργεια, µε αποτέλεσµα την αύξηση του πλάτους της ταλάντσης (αύξηση του πλάτους της απόκρισης. Ύπαρξη συζυγών µιγαδικών ριζών, δηλαδή µη-µηδενικό φανταστικό µέρος της µιγαδικής µεταβλητής (δηλαδή 0, βλ. Εξ.(, δηλώνει ταλανττική συµπεριφορά. Μηδενικό φανταστικό µέρος της µιγαδικής µεταβλητής (δηλαδή = 0, βλ. Εξ.(, δηλώνει µη-ταλανττική συµπεριφορά. Παρατηρήσεις επί του Μετασχηµατισµού Laplace Με τον Μετασχηµατισµό Laplace επιτυγχάνεται η µετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Το αντίστροφο, δηλαδή η µετάβαση από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου, επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια του Αντιστρόφου Μετασχηµατισµού Laplace. Και σε αυτήν την περίπτση, για τις εφαρµογές του Μηχανικού, χρησιµοποιούµε έτοιµους πίνακες, από τους οποίους αντλούµε τη σχέση για τον Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace που µας ενδιαφέρει. Για παράδειγµα, από πίνακες βρίσκουµε ότι ισχύουν οι αντίστροφοι µετασχηµατισµοί (αναλυτικός υπολογισµός παρατίθεται στο Παράρτηµα Β: 1 ζt ζ e c = ( nt in( nt + ζ+ n L, n = 1 ζ ( = e in ( t 1 ζt L n, + ζ+ n n = 1 ζ (16 Υπενθυµίζεται ότι ς n συµβολίζεται η συχνότητα αποσβενόµενης ταλάντσης (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03, Πίνακα. Εφαρµόζοντας τις Εξ.(15,16 στην Εξ.(14, επιτυγχάνεται η επιστροφή από το πεδίο συχνότητας στο πεδίο του χρόνου. Ως χαρακτηριστικό παράδειγµα, παρατίθεται στο Παράρτηµα Γ η αναλυτική εφαρµογή του αντιστρόφου Μετασχηµατισµού Laplace στον υπολογισµό της απόκρισης µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k υποκρίσιµης απόσβεσης και υπό αρµονική διέγερση

8 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Εν γένει, ένα δυναµικό σύστηµα διαθέτει ιδιοσυχνότητες και µη-µηδενικό λόγο απόσβεσης. Στην περίπτση της υποκρίσιµης απόσβεσης, η θέση τν πόλν του συστήµατος στο µιγαδικό επίπεδο και η αντίστοιχη πολική αναπαράσταση απεικονίζονται στο Σχήµα. Σχήµα : Πολική αναπαράσταση στο µιγαδικό επίπεδο µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k µε υποκρίσιµη απόσβεση Η απόσταση τν πόλν από την αρχή τν αξόνν (βλ. Σχήµα εκφράζει τη φυσική συχνότητα του συστήµατος (εξ ου και η ονοµασία του µιγαδικού επιπέδου ς επίπεδο συχνότητας. Η εφαπτοµένη της γνίας θ, η οποία σχηµατίζεται µεταξύ του ευθυγράµµου τµήµατος, που εκφράζει τη φυσική συχνότητα, και του άξονα τν φανταστικών αριθµών (βλ. Σχήµα σχετίζεται µε το λόγο απόσβεσης ζ του συστήµατος. Μηδενική γνία θ αντιστοιχεί σε µηδενικό λόγο απόσβεσης ( ζ = 0, ενώ γνία θ = 90 αντιστοιχεί σε µοναδιαίο λόγο απόσβεσης ( ζ = 1. Αναλυτικός υπολογισµός παρατίθεται στο Παράρτηµα. Επίσης, επισηµαίνεται ότι ο Μετασχηµατισµός Laplace: Αποτελεί τον πιο σύντοµο τεχνικό δρόµο επίλυσης ιαφορικών Εξισώσεν. Για τεχνικές εφαρµογές Μηχανικού, είναι εξαιρετικά απλός στην εφαρµογή του, διότι η συνδυασµένη χρήση της τεχνικής τν µερικών κλασµάτν και έτοιµν πινάκν µε µετασχηµατισµούς Laplace βασικών συναρτήσεν απαλλάσσει από τον αναλυτικό υπολογισµό τν εµπλεκοµένν ολοκληρµάτν. Με συνοπτικό τρόπο, εκφράζει τη δυναµική συµπεριφορά ενός συστήµατος: από τη θέση τν πόλν του δυναµικού συστήµατος (ρίζες του αντιστοίχου χαρακτηριστικού πολυνύµου στο µιγαδικό επίπεδο, προσδιορίζεται η δυναµική απόκριση του συστήµατος σε ελεύθερες ταλαντώσεις. Υπολογισµός χρονικής απόκρισης µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος µε Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace Η απόκριση του µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος στο πεδίο συχνότητας (βλ. Εξ.(14, η οποία επαναλαµβάνεται εδώ για την πληρότητα του κειµένου είναι: 1 1 = + ζ x+ x + + ζ + + ζ + +Ω απόκρισησεαρµονικήδιέγερση απόκρισησεελεύθερεςταλαντώσεις (

9 Στο δεξί µέλος της Εξ.(17 διακρίνονται δύο όροι: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Ο πρώτος όρος περιγράφει την απόκριση του συστήµατος σε ελεύθερη ταλάντση, ενώ οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυνύµου (πόλοι του συστήµατος καθορίζουν τον τύπο της δυναµικής συµπεριφοράς. Ο δεύτερος όρος περιγράφει την απόκριση του συστήµατος σε αρµονική διέγερση. Η Εξ.(17 (ισοδύναµα, η Εξ.(14 προέκυψε από την εφαρµογή του Μετασχηµατισµού Laplace, µέσ του οποίου µεταβαίνουµε από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας. Για τη µετάβαση από το πεδίο συχνότητας στο πεδίο του χρόνου χρησιµοποιούµε τον Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace. Στις επόµενες δύο παραγράφους περιγράφεται αναλυτικότερα η εφαρµογή του Αντίστροφου Μετασχηµατισµού Laplace σε κάθε έναν από τους δύο προαναφερθέντες όρους (όρος ελεύθερης ταλάντσης και όρος αρµονικής διέγερσης. Υπολογισµός χρονικής απόκρισης µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος λόγ ελεύθερης ταλάντσης µε Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace Στην περίπτση απουσίας εξτερικής αρµονικής διέγερσης, η τιµή της µεταβλητής (πλάτος αρµονικής διέγερσης είναι µηδενική και η Εξ.(17 δίδει: 1 = + x + x ( ζ + ζ+ (18 Ωστόσο, ισχύει: ( + ζ x + x = x + ζ x + x = x + ( ζ x + x (19 Ο συνδυασµός τν Εξ.(18,19 δίδει: 1 = x + x + x ( ζ ( ζ ( ζ (0 Η εφαρµογή του Αντίστροφου Μετασχηµατισµού Laplace στην Εξ.(0, δίδει: x( t = L x ( x + L ζ + x ( (1 + ζ+ + ζ+ Από την εφαρµογή της Ιδιότητας της Γραµµικότητας (βλ. Εξ.(5, στην Εξ.(1, προκύπτει: x( t = xl ( x + ζ + x L ( ( + ζ+ ( + ζ+ Από την Εξ.(Β.18 (βλ. Παράρτηµα Β, ισχύει: ζ e c t in t, 1 = = + ζ+ n ( n ( n n ( ζ 1 ζ L (

10 Επίσης, από την Εξ.(Β.1 (βλ. Παράρτηµα Β, ισχύει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: = e in, = 1 ( nt n ( ζ L (4 1 ζt + ζ+ n Τονίζεται ότι, όπς φαίνεται στο Παράρτηµα Β, οι Εξ.(Β.1, Β.18,, ισχύουν για: 1 ζ 0 1 ζ 1 ζ 1 (5 Υπενθυµίζεται ότι η Εξ.(5 καλύπτει και στην περίπτση της υποκρίσιµης απόσβεσης (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 0, σελ..6. Ο συνδυασµός τν Εξ.(,3,4 δίδει: ζ 1 x t xe nt nt x x e nt n n ζt ζt = c( in( + ( ζ + in( Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(6, προκύπτει: (6 1 x( t e ζt ζ x c t in ( t nt e ζ = x nt + ζx+ x e ζ in( nt n n ζt ζt 1 ζ x( t = e x c( nt + e ( ζ x + x x in( nt n n ζt ζt ζ x x ζx x( t e x c( nt e + = + in( nt n ζt ζtζx+ x x( t = e x c( nt + e in( nt n ζx + x x t = e x t + t = n ζ t c n in ( n, n ( 1 ζ (7 Παρατηρούµε ότι η Εξ.(7 δεν είναι άλλη από την Εξ.(15 της Εκπαιδευτικής Ενότητας 0. Υπολογισµός χρονικής απόκρισης µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος λόγ αρµονικής διέγερσης µε Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace Σε περίπτση απουσίας ελεύθερν ταλαντώσεν, δηλαδή για µηδενικές αρχικές συνθήκες ( x = x = 0, η Εξ.(17 δίδει: 1 = + ζ + +Ω (8 Αναπτύσσοντας το δεξί µέλος της Εξ.(18 σε µερικά κλάσµατα, προκύπτει: A + A B + B +Ω + ζ+ 1 1 = + ος 1 όρος ος όρος (

11 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Υπενθυµίζεται ότι σύµφνα µε την τεχνική τν µερικών κλασµάτν, σε κάθε µερικό κλάσµα, το πολυώνυµο του αριθµητή είναι µικρότερο κατά ένα βαθµό από το αντίστοιχο πολυώνυµο του παρονοµαστή. Ο αναλυτικός προσδιορισµός τν αριθµητικών συντελεστών A, A, B, B της Εξ.(9 παρατίθεται στο Παράρτηµα Γ. 1 1 Στην Εξ.(19 παρατηρούµε ότι: Ο παρονοµαστής του πρώτου όρου έχει προέλθει από τον συνηµιτονικό όρο της εξτερικής διέγερσης µε συχνότητα διέγερσης Ω (βλ. Εξ.(10. Συνεπώς ο εν λόγ όρος αντιστοιχεί στη µόνιµη απόκριση του συστήµατος λόγ της εξτερικής αρµονικής διέγερσης. Ο πολυνυµικός παρονοµαστής του δεύτερου όρου αντιστοιχεί στο χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος, άρα αντιστοιχεί στην ελεύθερη ταλάντση του συστήµατος µε ιδιοσυχνότητα (ισοδύναµα, αντιστοιχεί στη µεταβατική απόκριση του συστήµατος. Με βάση τα αντέρ, προκύπτει ότι ( p x t : µερική λύση, x h t :οµογενής λύση: A + A B + B +Ω + ζ+ 1 1 = + xp t xh t (30 Εάν, λοιπόν, µε τη βοήθεια του Μετασχηµατισµού Laplace, µεταβούµε από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας και στη συνέχεια, µε τη βοήθεια του Αντίστροφου Μετασχηµατισµού Laplace, µεταβούµε από το πεδίο συχνότητας στο πεδίο του χρόνου, τότε: Από τον όρο c ( t + Ω θα προκύψουν όροι της µορφής in( t Ω (συνηµιτονικός όρος. Από τον όρο ( ζ όρος και c Ω (ηµιτονικός όρος και + + θα προκύψουν όροι της µορφής in nt (συνηµιτονικός όρος, όπου αποσβενοµένν ταλαντώσεν. nt (ηµιτονικός n = 1 ζ είναι η συχνότητα τν Στο Παράρτηµα Γ παρουσιάζεται και η εφαρµογή του Αντίστροφου Μετασχηµατισµού Laplace στον όρο x όπου p t της Εξ.(0. Το τελικό αποτέλεσµα της εν λόγ εφαρµογής είναι: p c( ϑ x t = t (31 = ( Ω + ( ζω και ϑ= tan 1 ζω ( Ω (3 Υπενθυµίζεται ότι ς S συµβολίζεται το Στατικό Πλάτος της ταλάντσης. ιαπιστώνουµε ότι οι Εξ.(31,3 είναι ίδιες µε εκείνες, οι οποίες εµφανίζονται στον Πίνακα 3 της

12 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Εκπαιδευτικής Ενότητας 03 και χρησιµεύουν για τον υπολογισµό του πλάτους ταλάντσης λόγ εξτερικής αρµονικής διέγερσης και της διαφοράς φάσης ϑ στη µόνιµη κατάσταση, αντίστοιχα. Επίσης, στο Παράρτηµα Γ παρουσιάζεται η εφαρµογή του Αντίστροφου Μετασχηµατισµού Laplace στον όρο x όπου h t της Εξ.(0. Το τελικό αποτέλεσµα της εν λόγ εφαρµογής είναι: h ζt in( ϕ x t = Ae t+ (33 ( q 1 ζ ( q + 1 A= + (( 1 q ( ζ + n ( ( 1 q + ( ζ, ϕ= tan 1 ζ + n ( q 1 ( q 1 (34 Υπενθυµίζεται ότι στην Εκπαιδευτική Ενότητα 03 (Εξ.18, είχε ορισθεί ο λόγος q ς: Ω q= (35 όπου Ω είναι η συχνότητα του διεγέρτη και είναι η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος. Παράδειγµα Έστ µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα µε µηδενικές αρχικές συνθήκες ( x = x = 0, µε µηδενικό λόγο απόσβεσης ( 0 * ζ = και µε βηµατική διέγερση Heaviide F( t F H ( t =. Ζητείται ο υπολογισµός, µε τη βοήθεια του Μετασχηµατισµού Laplace, της απόκρισης του δυναµικού συστήµατος. Λύση Από την Εξ.(10, για µηδενικό λόγο απόσβεσης (άρα για µηδενική απόσβεση και για διέγερση Heaviide, προκύπτει ότι η εξίσση ισορροπίας του συστήµατος είναι: (36 * mx+ kx= F H t Αδιαστατοποιώντας την Εξ.(36 δια της µάζας m του συστήµατος (βλ. Παράρτηµα Α, προκύπτει: * (37 x+ x= H t Εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(37 (βλ. και Εξ.(5,9, προκύπτει: + = 1 (

13 Οµαδοποιώντας τους όρους της Εξ.(38, προκύπτει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: = + (39 Εφαρµόζοντας της τεχνική τν µερικών κλασµάτν στην Εξ.(39, προκύπτει: A + A1 B = + + (40 Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(40, προκύπτει: ( A + A1 + B( + A + A1 B A + A1 + B + B + = = A + A1 B A + B + A1 + B + = + ( + (41 Από το συνδυασµό τν Εξ.(39,40,41, προκύπτει: A + B = A 0 A B A1 B = A 1= A 1 0 ( + ( + = B = B (4 Η ορίζουσα του γραµµικού συστήµατος της Εξ.(4 ισούται µε: Εποµένς, θα ισχύει: για τον αριθµητικό συντελεστή D= = = 1 0 ( A για τον αριθµητικό συντελεστή A A = = = ( 0 1 A = (44 D A1 = = = 0 0 A1 = 0 (45 D

14 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: για τον αριθµητικό συντελεστή B Ο συνδυασµός τν Εξ.(40,44,45,46, δίδει: B1 = = = 0 B1 = (46 D 1 A + A1 B 1 = + = + = xp xh (47 Στην Εξ.(47 αναγνρίζουµε τη µερική λύση x p (ο αντίστοιχος όρος έχει προκύψει από την επιβολή της εξτερικής βηµατικής διέγερσης Heaviide και την οµογενή λύση x h (ο αντίστοιχος όρος έχει προκύψει από την ελεύθερη ταλάντση του δυναµικού συστήµατος. Εφαρµόζοντας τον Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(47, και αξιοποιώντας τους µετασχηµατισµούς Laplace τν Εξ.(8,9, προκύπτει: L { } = L = + L L L { } = L L = L L + + ξ ξ Ε = Ε (48. 8 * x( t. 9 H ( t c( t Μετασχηµατισµός Laplace και συµπεριφορά πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος Σε ένα σύστηµα πολλών Βαθµών Ελευθερίας και µε απόσβεση, η εξίσση ισορροπίας είναι: M x+ C x + K x= F Για λόγους απλότητας, έστ ότι οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές. Η εφαρµογή του Μετασχηµατισµού Laplace στην Εξ.(34 επιτυγχάνεται εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Laplace σε κάθε µία συνιστώσα του διανύσµατος x. Με άλλα λόγια, σε ένα δυναµικό σύστηµα µε N Βαθµούς Ελευθερίας, η διάσταση του διανύσµατος θα είναι N 1 και ο x Μετασχηµατισµός Laplace θα πρέπει να εφαρµοσθεί σε κάθε έναν Βαθµό Ελευθερίας (άρα, συνολικά θα εφαρµοσθεί N φορές. Σε µητρϊκή γραφή, ισχύει: { } { } { } { } { } { } L M x+ C x + K x = F t M x + C x + K x = F t L L L L L (50 Εκτελώντας πράξεις (αναλυτικός υπολογισµός παρατίθεται στο Παράρτηµα Ε, προκύπτει: ( M + C + K = f + M x + x + C x (49 (51

15 όπου = υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: είναι ένα διάνυσµα, κάθε στοιχείο του οποίου προέρχεται από την εφαρµογή του Μετασχηµατισµού Laplace στον αντίστοιχο Βαθµό Ελευθερίας: Οµοίς, f ( L x 1 t 1 L( x t = = ( x N N t L είναι ένα διάνυσµα κάθε στοιχείο του οποίου προέρχεται από την εφαρµογή του Μετασχηµατισµού Laplace στην εξτερική διέγερση του αντίστοιχου Βαθµού Ελευθερίας. f ( L F1 t f1 L( F t f = = ( F fn N t L (5 (53 Αξιοποιώντας την έννοια της Συνάρτησης Μεταφοράς (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 10: = H f όπου H( είναι ο πίνακας τν Συναρτήσεν Μεταφοράς του συστήµατος. Αντιστρέφοντας τον πίνακα H(, προκύπτει: (54 1 H = M + C+ K (55 Για να είναι δυνατή η αντιστροφή του πίνακα H(, πρέπει η ορίζουσά του να είναι διαφορετική του µηδενός. Η εν λόγ ορίζουσα µηδενίζεται όταν ισχύει: ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις: ( M C K Η απόσβεση του συστήµατος είναι µηδενική Σε αυτήν την περίπτση ισχύει: Ο συνδυασµός τν Εξ.(56,57 δίδει: det + + = 0 (56 C= 0 (57 ( M K Από την Εκπαιδευτική Ενότητα 07 (Εξ.43, προκύπτει ότι: det + = 0 (58 ( M K det + = 0 (

16 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Συγκρίνοντας τις Εξ.(58,59 µεταξύ τους, προκύπτει ότι ισχύει: = 1 = = = =± (60 j j j j Για την ειδική περίπτση µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος, βλ. Σχήµα 1 και Παράρτηµα. Η απόσβεση του συστήµατος είναι µη-µηδενική Σε αυτήν την περίπτση ισχύει: C 0 (61 Και πάλι καταλήγουµε σε πολυνυµικές εξισώσεις, οι ρίζες τν οποίν καλούνται πόλοι του πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος και είναι, εν γένει, µιγαδικοί αριθµοί. Το διάγραµµα για τη θέση τν πόλν ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος (βλ. Σχήµα 1 επεκτείνεται και στην περίπτση τν πολυβάθµιν δυναµικών συστηµάτν. Οι πόλοι ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος προκύπτουν από την επίλυση της Εξ.(51, ενώ η θέση τους στο µιγαδικό επίπεδο χαρακτηρίζουν τη δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος. ιευκρινίζεται ότι σε κάθε Βαθµό Ελευθερίας αντιστοιχεί ένα ζεύγος πόλν, το οποίο τοποθετείται στο µιγαδικό επίπεδο σύµφνα µε έναν από τους πέντε διαφορετικούς τρόπους που απεικονίζονται στο Σχήµα 1. Για παράδειγµα, ένα διβάθµιο δυναµικό σύστηµα µε υποκρίσιµη απόσβεση, διαθέτει δύο Βαθµούς Ελευθερίας, σε κάθε έναν από τους οποίους αντιστοιχεί ένα ζεύγος πόλν. Η, δε, θέση κάθε ζεύγους πόλν στο µιγαδικό επίπεδο αποτυπώνεται, ποιοτικά, στο Σχήµα 3. Σχήµα 3: Πόλοι διβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k µε υποκρίσιµη απόσβεση Στην περίπτση, λοιπόν, πολυβάθµιν δυναµικών συστηµάτν, η Συνάρτηση Μεταφοράς είναι µιγαδική. Εάν, δε, αντικαταστήσουµε στην εν λόγ Συνάρτηση Μεταφοράς τη µεταβλητή του Μετασχηµατισµού Laplace µε την µιγαδική ποσότητα jω, τότε προκύπτει: ( 1 j Ω H = M + C+ K H jω (

17 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Αποδεικνύεται (βλ. Παράρτηµα ΣΤ ότι η ποσότητα H = H( jω περιγράφει τον Πίνακα µε τις Συναρτήσεις Μεταφοράς ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος (για την έννοια της Συνάρτησης Μεταφοράς, βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 10. Την ίδια έννοια συναντούµε και στη Θερία του Αυτοµάτου Ελέγχου, στα λεγόµενα ιαγράµµατα Bde, τα οποία εκφράζουν τις συναρτήσεις µόνιµης απόκρισης ενός δυναµικού συστήµατος σε αρµονική διέγερση. Περί της Συνάρτησης Μεταφοράς H( σε µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα Για µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα και για µηδενικές αρχικές συνθήκες, η Συνάρτηση Μεταφοράς H( ισούται µε (βλ. Παράρτηµα Α, Εξ.(Α.15: H = + ζ+ (63 Η µεταβλητή είναι ένας µιγαδικός αριθµός. Θερώντας ότι η µεταβλητή έχει µόνο φανταστικό µέρος (δηλαδή ότι = jω, τότε η Εξ.(63 γράφεται ς εξής: j = 1 H( jω = H ( jω = ( jω + ζ jω+ Ω + ζ jω+ (64 Στην Εκπαιδευτική Ενότητα 0 (βλ. Εξ.18, είχε ορισθεί ο λόγος q ς εξής: Ω q= (65 Μετά από πράξεις και εισάγοντας την Εξ.(65 στην Εξ.(64, προκύπτει: H( jω = H( jω = Ω Ω q + ζ jq+ 1 + ζ j + 1 Ω 1 q= 1 (66 Ισοδύναµα, η Εξ.(66 γράφεται ς εξής: H Ω = ( j 1 q j ( 1 q + ( ζ (67 Στην Εξ.(67 παρατηρούµε ότι ο αριθµητής είναι πραγµατικός αριθµός, ενώ ο παρονοµαστής είναι µιγαδικός αριθµός. Σύµφνα µε τη Θερία τν Μιγαδικών Αριθµών, µια πιο βολική γραφή της Εξ.(67 προκύπτει πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το δεξί µέλος της Εξ.(67 µε τον συζυγή του µιγαδικού παρονοµαστή: H ( j ( 1 q ( ζ ( ( ζ 1 q j Ω = ( 1 q + ( ζ j 1 q q j (

18 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(68, προκύπτει: ( ζ 1 q q j 1 q ( ζ q H( jω = H ( jω = + j 1 q + ζ q 1 q + ζ q ( 1 q + ( ζ ( ( Ω ( ( Ω Re H j Im H j (69 Υπενθυµίζεται ότι το γινόµενο ενός µιγαδικού αριθµού επί τον συζυγή του ισούται µε το µέτρο του εν λόγ µιγαδικού αριθµού. Στην Εξ.(69 αναγνρίζουµε το πραγµατικό (Re και το φανταστικό (Im µέρος της συνάρτησης H( jω. Με βάση αυτές τις πληροφορίες, θα υπολογισθεί το µέτρο και η πολική γνία της H( jω (πολική γραφή. Ειδικότερα, ισχύει: Για το µέτρο H( jω : H ( j ( ζ 1 q ( ζ q 1 q + q Ω = + = 1 q ζ q ( 1 q ( ζ q + ζ q ( j H Ω = ( 1 q + ( ζ ( 1 q + ( ζ ( j H Ω = 1 ( 1 q + ( ζ (70 Παρατηρούµε ότι η Εξ.(70 εκφράζει το µέτρο της Συνάρτησης Μεταφοράς H( jω και ισούται µε τον Συντελεστή υναµικής Ενίσχυσης του µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος, όπς αυτός είχε ορισθεί στην Εκπαιδευτική Ενότητα 03/ Εξ.1. Για την πολική γνία (διαφορά φάσης µεταξύ διέγερσης και απόκρισης: Im( H( jω ( 1 q + ( ζ tan Re( H( jω ( 1 q ( 1 q + ( ζ ϑ= tan = 1 1 ( ζ 1 ζ q ϑ= tan ( 1 q (71 Παρατηρούµε ότι η Εξ.(71 εκφράζει την πολική γνία της Συνάρτησης Μεταφοράς H jω και ισούται µε τη διαφορά φάσης διέγερσης-αποκρίσες του µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος, όπς αυτή (η διαφορά φάσης είχε ορισθεί στην Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.30. Ειδικά για την περίπτση µηδενικού λόγου απόσβεσης ( ζ = 0, η Εξ.(63 γράφεται:

19 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: = = + ζ+ + ζ= 0 H H (7 Για την εύρεση τν ριζών του χαρακτηριστικού πολυνύµου, το οποίο εµφανίζεται στον παρονοµαστή της Εξ.(7, ισχύει: 0 0 ζ = 0 j + ζ + = + = = =± (73 Οι πόλοι του συστήµατος, σε αυτήν την περίπτση και για απεικόνιση στο µιγαδικό επίπεδο, βρίσκονται επί του άξονος τν φανταστικών αριθµών (βλ. Σχήµα 1, περίπτση (c. Περί της Συνάρτησης Μεταφοράς H( σε πολυβάθµιο δυναµικό σύστηµα Σε ένα πολυβάθµιο δυναµικό σύστηµα, ισχύει (βλ. Παράρτηµα Ε, Εξ.(Ε.9: ( + ( + = M x x C x K f Για µηδενικές αρχικές συνθήκες ( x = x = 0, η Εξ.(74 γράφεται ς εξής: M + C + K = f M + C+ K = f Με βάση την Εξ.(75, η απόκριση του συστήµατος ισούται µε: (74 (75 1 = M + C+ K f Από την Εξ.(76 και µε βάση την έννοια της Συνάρτησης Μεταφοράς (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 10, προκύπτει: (76 1 H = M + C+ K (77 όπου H( είναι ένας πίνακας, κάθε στοιχείο H ij του οποίου αποτελεί την αντίστοιχη Συνάρτηση Μεταφοράς. Στην περίπτση αρµονικής διέγερσης, η µεταβλητή έχει µόνο φανταστικό µέρος (δηλαδή = jω, οπότε η Εξ.(77 γράφεται ς εξής: 1 H jω = Ω M + jω C+ K H( jω = K Ω M + jω C Re Im 1 (78 Συνοψίζοντας, στην περίπτση αρµονικής διέγερσης, υπολογίζοντας τον πίνακα H( και γνρίζοντας την αρµονική διέγερση, µέσ της Εξ.(76 είναι δυνατόν να υπολογισθεί η απόκριση του συστήµατος στο πεδίο συχνότητας. Στη συνέχεια, µέσ του αντίστροφου µετασχηµατισµού Laplace, είναι δυνατόν να υπολογισθεί η απόκριση του συστήµατος στο πεδίο του χρόνου. Ένας τρόπος υπολογισµού του πίνακα H = H( jω παρουσιάζεται στο Παράρτηµα ΣΤ

20 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηµατισµός Laplace µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k σε αρµονική διέγερση και Συνάρτηση Μεταφοράς Η εξίσση ισορροπίας ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος σε αρµονική διέγερση είναι (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03, Εξ.(8: mx + cx + kx= F c( Ωt (Α.1 όπου m είναι η µάζα του συστήµατος, c είναι η σταθερά απόσβεσης, k είναι η σταθερά του ελατηρίου, x είναι η απόκριση του συστήµατος, F είναι το πλάτος της διέγερσης και Ω είναι η συχνότητα του διεγέρτη. ιαιρώντας την Εξ.(Α.1 δια της µάζας m, προκύπτει: Από τον ορισµό του λόγου απόσβεσης ζ, προκύπτει: F c k x+ x+ x= c( Ωt m m m (Α. c = c c = = = c m m ccritical m ζ ζ ζ critical (Α.3 Από την επίλυση της εξίσσης ισορροπίας του απλού αρµονικού ταλανττή, προκύπτει: k 1 = = m m k (Α.4 Σχετικά µε το πλάτος της δύναµης διέγερσης, ισχύει: F 1 Εξ.( A.4 F F F = F = F = = m m m k k m S (Α.5 Στην Εξ.(Α.5 αναγνρίζουµε τον όρο ( F k S = ς το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03, Εξ.(10. Ο συνδυασµός τν Εξ.(Α.,Α.3,Α.4,Α.5 δίδει: ζ S c x+ x + x= Ωt (Α.6 Εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(Α.6, προκύπτει: { x ζ x x} { c} { } { } { } { S t x ζx x S c( t } L + + = L Ω L L + + L = L Ω { } { x} ζ { x } { x} c( t L + L + L = L Ω (Α.7 Για τον υπολογισµό της Εξ.(Α.7, αρκεί να υπολογισθεί κάθε ένας όρος. Ειδικότερα, ισχύει: Για την πρώτη χρονική παράγγο: { x } = x S L (Α

21 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Για τη δεύτερη χρονική παράγγο, θερώντας την ς την πρώτη χρονική παράγγο της ποσότητας ẋ και εφαρµόζοντας την Εξ.(Α.8, προκύπτει: χ= x { } { } { } { } L x L χ = L χ χ.( A.8 = L x x = x x = x x Εξ (Α.9 Για τον συνηµιτονικό όρο: Ω = +Ω { c( t } Ο συνδυασµός τν Εξ.(Α.7,Α.8,Α.9,Α.10 δίδει: Η Εξ.(Α.11 γράφεται και ς εξής: L { x } L (Α.10 x x x +Ω (Α.11 + ζ + = S x x + ζ x + = S + (Α.1 Για µηδενικές αρχικές συνθήκες, η Εξ.(Α.1 γράφεται και ς εξής: + + ζ + = S (Α.13 Επιλύοντας την Εξ.(Α.13 ς προς =, προκύπτει: S = + ζ+ + F H (Α.14 Συνεπώς, µε την εφαρµογή του Μετασχηµατισµού Laplace στην εξίσση ισορροπίας ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k σε αρµονική διέγερση, προέκυψε η Εξ.(Α.14, η οποία περιγράφει την απόκριση του συστήµατος στο πεδίο τν συχνοτήτν. Τέλος, στο αριστερό µέλος της Εξ.(Α.14 αναγνρίζουµε την απόκριση του συστήµατος (, ενώ στο δεξί µέλος της ίδιας εξίσσης αναγνρίζουµε µία αρµονική δύναµη διέγερσης F( πλάτους S. Από τον ορισµό της Συνάρτησης Μεταφοράς (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 10, Εξ.(14 και από την Εξ.(Α.14 προκύπτει: H = + ζ+ (Α.15 Η Εξ.(Α.15 περιγράφει τη Συνάρτηση Μεταφοράς ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος

22 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B: Χρήσιµοι Αντίστροφοι Μετασχηµατισµοί Laplace στη υναµική Στο παρόν Παράρτηµα θα εξετασθούν δύο Αντίστροφοι Μετασχηµατισµοί Laplace, οι οποίοι είναι εξαιρετικά χρήσιµοι στη υναµική. Πρόκειται για τους µετασχηµατισµούς: και ζ+ L (Β ζ+ L (Β. Για τον µετασχηµατισµό της Εξ.(Β.1 ισχύει: L = L = L (Β.3 + ζ+ + ζ+ ( ζ ( ζ + ( + ζ + ( ζ ( + ζ Ωστόσο, ισχύει: ( ζ = 1 ζ = 1 ζ = 1 ζ (Β.4 Στην Εξ.(Β.4 έχουµε υποθέσει ότι ισχύει: 1 ζ 0 1 ζ 1 ζ 1 (Β.5 Ο συνδυασµός τν Εξ.(Β.3, Β.4 δίδει: L = L (Β.6 + ζ+ ( + ζ + ( ( 1 ζ Θέτουµε: a= ζ και b= ( 1 ζ (Β.7 Εισάγοντας την Εξ.(Β.7 στην Εξ.(Β.6, προκύπτει: b L = L = L (Β.8 + ζ+ ( + a + b b ( + a + b Από Πίνακες Μετασχηµατισµών Laplace, βρίσκουµε ότι ισχύει:

23 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: b = ( + a + b Ο συνδυασµός τν Εξ.(Β.7,Β.8, Β.9 δίδει: in ( bt 1 at L e (Β.9 1 ( 1 1 at 1 1 in 1 ζt L e bt e in 1 ζ t = ζ b L = (Β.10 ζ ( 1 ζ Ωστόσο, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 0, Εξ.(16: Υπενθυµίζεται ότι ς ( 1 ζ = n (Β.11 n συµβολίζεται η συχνότητα αποσβενόµενης ταλάντσης (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03, Πίνακα. Εισάγοντας την Εξ.(Β.9 στην Εξ.(Β.8, προκύπτει: 1 1 = e in, = 1 ( nt n ( ζ L (Β.1 1 ζt + ζ+ n Για τον µετασχηµατισµό της Εξ.(Β. ισχύει: 1 Εξ.( B.6, B a a L L = L = + ζ+ ( + a + b ( + a + b ( + a 1 + a a 1 1 a = L = L L (Β.13 ( + a + b + a + b + a + b Από Πίνακες Μετασχηµατισµών Laplace, βρίσκουµε ότι ισχύει: ( + a ( + + = a b c ( bt 1 at L e (Β.14 Επίσης, ισχύει: 1 a a 1 b L = L (Β.15 ( a b b + + ( + a + b Ο συνδυασµός τν Εξ.(Β.9, Β.15 δίδει: Ο συνδυασµός τν Εξ.(Β.13, Β.14, Β.16 δίδει: a a e in bt ( + a + b b 1 at L = (Β

24 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: a a c e ( bt e in( bt e c( bt in( bt + ζ+ b b 1 at at at L = = (Β.17 Αντικαθιστώντας στην Εξ.(Β.17 µε τις Εξ.(Β.7, προκύπτει: ζ e c t in t, 1 = = + ζ+ n ( n ( n n ( ζ 1 ζt L (Β

25 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Laplace στην απόκριση µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k υποκρίσιµης απόσβεσης και υπό αρµονική διέγερση Με τη βοήθεια του Μετασχηµατισµού Laplace, η απόκριση ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k υπό αρµονική διέγερση (µόνον ισούται µε (βλ. Εξ.(14 ή Εξ.(18: 1 = + ζ + +Ω (Γ.1 Εφαρµόζοντας την τεχνική τν µερικών κλασµάτν, η απόκριση ( γράφεται όπς φαίνεται στην Εξ.(19, η οποία επαναλαµβάνεται εδώ για λόγους πληρότητας του κειµένου: A + A B + B +Ω + ζ+ 1 1 Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(Γ., προκύπτει: = + ος 1 όρος ος όρος A + A + ζ+ + B+ B1 +Ω ζ ( ζ ( + ζ + + 1( + ζ + + ( +Ω + 1 +Ω ( +Ω ( + ζ+ A + A B + B + = = +Ω + + +Ω + + ( A A B ( B ( = = 3 3 A + ζ A + A + A1 + ζ A1 + A1 + B + BΩ + B1 + B1Ω = = ( +Ω ( + ζ+ 3 ( A + B + ( ζ A + A1 + B1 + ( A + ζ A1 + BΩ + ( A1 + B1Ω ( +Ω ( + ζ+ = (Γ. (Γ.3 Εξισώνοντας τα δεξιά µέλη τν Εξ.(Γ.1, Γ.3, προκύπτει: 3 ( A + B + ( ζ A + A1 + B1 + ( A + ζ A1 + BΩ + ( A1 + B1Ω ( ζ = ( + ζ+ ( +Ω +Ω + + A + B = 0 A + B = 0 ζ A A1 B1 0 A1 ζ A B = + + = (Γ.4 A + ζ A1 + BΩ = ζ A1 + A + BΩ = A1 + B1Ω = 0 A1 + B1Ω = 0 Η Εξ.(Γ.4, σε µητρϊκή µορφή, γράφεται ς εξής:

26 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: A1 0 1 ζ 1 0 A 0 = ζ 0 Ω B 1 0 Ω 0 B 0 Η ορίζουσα του συστήµατος της Εξ.(Γ.5 ισούται µε: D ζ ζ 1 = = ζ 0 Ω ζ 0 = ζ 0 Ω Ω 0 0 Ω 0 Ω ζ 1 ζ 4 = Ω +Ω =Ω ( Ω ( 0 +Ω ( 4ζ Ω 0 ζ 4 Ω q= Ω Ω Ω D=Ω + Ω + Ω ζ = ζ D= ( q + 1 q + ( ζ = q q + 1+ ζ q D= 1 q + ζ q ( 1 q Ο αριθµητικός συντελεστής A 1ισούται µε: ζ ζ 1 0 ζ 0 Ω Ω 0 0 Ω 0 0 Ω ζ Ω A1 = = = = (Γ.7 D D D D Ο αριθµητικός συντελεστής A ισούται µε: ζ 0 0 Ω ζ 0 ζ + 0 Ω 0 0 Ω 0 Ω 0 ( Ω A0 = = = = (Γ.8 D D D D Ο αριθµητικός συντελεστής B ισούται µε: ζ 0 0 ζ ζ 0 Ω ζ 0 ζ B1 = = = = (Γ.9 D D D D Ο αριθµητικός συντελεστής B 1ισούται µε: (Γ.5 (Γ

27 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ζ ζ 0 1 ζ Ω 0 0 Ω Ω ( Ω B = = = = (Γ.10 D D D D Εισάγοντας την Εξ.(Γ.6 στις Εξ.(Γ.7, Γ.8, Γ.9, Γ.10, προκύπτει: A B 3 3 Ω Ω ζ Ω q= ζ qω A 1= 4 ζ A1 = = D 1 q + ζ q 1 q + ζ q ( 4 Ω 1 ( Ω Ω q= = = ( 1 q A D 4 = 1 q + ζ q 1 q + ζ q B 1 ζ = = D ( ζ ( 5 4 B1 = 4 ( 1 q + q (( 1 q + ( ζ ( ζ 4 Ω 1 ( Ω Ω q= = = ( q 1 B D 4 = 1 q + ζ q 1 q + ζ q ( ζ ( (Γ.11 (Γ.1 (Γ.13 (Γ.14 Συνεπώς, έχουν πλέον προσδιορισθεί οι αριθµητικοί συντελεστές της Εξ.(Γ.. Με αντικατάσταση τν εν λόγ συντελεστών στην Εξ.(Γ., προκύπτει η απόκριση ( του δυναµικού συστήµατος στο πεδίο τν συχνοτήτν: ( ( 1 q ζ qω q 1 ζ + ( 1 q + ζ q (( 1 q + ( ζ ( 1 q + ζ q (( 1 q + ( ζ (Γ.15 = + +Ω + ζ+ ος ος 1 όρος όρος Η αντίστροφη πορεία, δηλαδή εκκίνηση από την έκφραση της απόκρισης ( στο πεδίο τν συχνοτήτν και κατάληξη στην απόκριση x( t του δυναµικού συστήµατος στο πεδίο του χρόνου, υλοποιείται εφαρµόζοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace. Για την περίπτση της Εξ.(Γ.15, ισχύει: ( 1 q ζ qω ( 1 q ζ + ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ = + +Ω + ζ+ ος ος 1 όρος όρος

28 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ( 1 q ζ qω ( 1 q ζ ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ = + + +Ω +Ω + ζ+ + ζ+ ( ( ζ ( ζ 1 q ζ q Ω = + + +Ω +Ω { } ( 1 q + q (( 1 q + ( ζ q 1 ζ ζ+ ( 1 q + q ζ (( 1 q + ( ζ ( 1 q ζ q Ω ( ( 1 q + ( ζ +Ω (( 1 q + ( ζ +Ω 1 1 L = L + + ( q 1 ζ 1 + (( 1 q + ( ζ ζ + + (( 1 q + ( ζ + ζ+ ( ζ 1 q 1 1 ζ q 1 Ω L { } = L + L 1 q + q +Ω 1 q + q +Ω βλ Εξ L βλ. Εξ.( 15 ( ( ζ βλ Εξ ( q 1 1 ζ L ( 1 q + ( ζ + ζ+ (( 1 q + ( ζ + ζ + ( 1 q ζ q x( t = c in Ω t + t Ω + ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ x ( t p βλ. Εξ.( 16 ( q 1 ζt ζ ζ 1 ζt + c in e nt nt e (( 1 q ( ζ in ( nt + n ( ( 1 q + ( ζ n x ( t όπου = 1 ζ (βλ. Εξ.(15,16 και 1 ζ 1 n στη µόνιµη απόκριση, ενώ ο όρος x h (βλ. Εξ.(Β.5. Ο όρος x h p (Γ.16 t αντιστοιχεί t αντιστοιχεί στη µεταβατική απόκριση. Υπενθυµίζεται ότι η Εξ.(Γ.16 προέκυψε θερώντας µηδενικές αρχικές συνθήκες. Οι όροι x ( t και x p Για τον όρο x h t είναι δυνατόν να γραφούν και µε πιο συνοπτικό τρόπο. Πιο συγκεκριµένα: p t (µερική λύση ή απόκριση στη µόνιµη κατάσταση Αξιοποιώντας βασικές τριγνοµετρικές ταυτότητες, ο όρος x δυνατόν να γραφεί ς: p c( ϑ p t της Εξ.(Γ.16 είναι x t = t (Γ

29 Ειδικότερα, ισχύει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: x t = c t ϑ = c t c ϑ + in t in ϑ = c ϑ c t + in ϑ in t (Γ.18 p Ορίζουµε τις εξής µεταβλητές: Από την Εξ.(Γ.19, προκύπτει ότι: A c( ϑ ( = και B in( ϑ ( = (Γ.19 c ϑ in ϑ c ϑ in ϑ A + B = + = + = = A + B (Γ.0 Επίσης, διαιρώντας κατά µέλη τις Εξ.(Γ.19, προκύπτει: ( ϑ ( ϑ B in B 1 B = tan( ϑ = ϑ= tan A c A A (Γ.1 Με βάση τα παραπάν, ο όρος x p t της Εξ.(Γ.16 είναι δυνατόν να γραφεί ς εξής: ( 1 q ζ q x( t = c in Ω t + t Ω ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ A B c in x t = A Ω t + B Ω t (Γ. όπου A = ( 1 q ( 1 q + ( ζ και B = ζ q (( 1 q + ζ q (Γ.3 Ο συνδυασµός τν Εξ.(Γ.0, Γ.3 δίδει: A B ( 1 q ( 1 ( + ζ q q + ζ q ( 1 q + ( ζ ( 1 q + ( ζ ( 1 q ζ q ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ = + = + = = = 1 ( 1 q + ( ζ (Γ

30 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το δεξί µέλος της Εξ.(Γ.4 µε την ποσότητα προκύπτει:, Ω q= + 4 Ω 4 Ω = = ( 1 q ( ζ 1 + ζ = = Ω Ω Ω Ω ( 1 + ( ζ + ζ = ( Ω + ( ζω (Γ.5 Υπενθυµίζεται ότι ς S συµβολίζεται το Στατικό Πλάτος της ταλάντσης. ιαπιστώνουµε ότι η Εξ.(Γ.5 είναι ίδια µε εκείνην, η οποία εµφανίζεται στον Πίνακα 3 της Εκπαιδευτικής Ενότητας 03 και χρησιµεύει για τον υπολογισµό του πλάτους ταλάντσης λόγ εξτερικής αρµονικής διέγερσης. Επίσης, ο συνδυασµός τν Εξ.(Γ.1, Γ.3 δίδει: B ϑ= tan = tan A 1 1 ζ q (( 1 q + ζ q Ω ζ Ω 1 ζ q q= 1 tan ϑ tan = = ( 1 q ( 1 q Ω 1 (( 1 q + ( ζ Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το δεξί µέλος της Εξ.(Γ.6 επί την ποσότητα προκύπτει: (Γ.6, Ω ζ 1 1 ζω ϑ= tan ϑ tan = ( Ω Ω 1 (Γ

31 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ιαπιστώνουµε ότι η Εξ.(Γ.7 είναι ίδια µε εκείνην, η οποία εµφανίζεται στον Πίνακα 3 της Εκπαιδευτικής Ενότητας 03 και χρησιµεύει για τον υπολογισµό της διαφοράς φάσης στη µόνιµη κατάσταση, µεταξύ της συχνότητας του διεγέρτη και της απόκρισης του συστήµατος. Για τον όρο x h t (οµογενής λύση ή απόκριση στη µη-µόνιµη κατάσταση Αξιοποιώντας βασικές τριγνοµετρικές ταυτότητες, ο όρος x δυνατόν να γραφεί ς: Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(Γ.8, προκύπτει: h h ζt in( ϕ h t της Εξ.(Γ.16 είναι x t = Ae t+ (Γ.8 ζt ζt in( ϕ in( c( ϕ c( in( ϕ x t = Ae t+ = Ae t + t xh t = e A t + A t xh t = e A t + B t A B ζt ζt c( ϕ in( in( ϕ c( in( c( (Γ.9 Κατ αντιστοιχία µε τις Εξ.(Γ.0, Γ.1, ισχύει: ( ( c ϕ in ϕ c ϕ in ϕ A + B = A + A = A + = A A= A + B (Γ.30 ( ϕ ( ϕ B Ain B 1 B = tan( ϕ = ϕ = tan A Ac A A (Γ.31 Επίσης, από την Εξ.(Γ.16, ισχύει: ( q 1 ζt ζ ζ 1 ζt xh( t = c in in e nt nt e nt (( 1 q ( ζ + n ( ( 1 q + ( ζ n ( q 1 ( q 1 ζt ζtζ ζ 1 xh( t = e c in nt e nt (( 1 q ( ζ + + n ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ n ( q 1 ( q 1 ζt ζtζ xh( t = e c in nt e nt (( 1 q ( ζ + + n ( ( 1 q + ( ζ ( ( 1 q + ( ζ ( ζ ( ζ q 1 q 1 ζt ζtζ + h c( in n n n ( x t = e t e t 1 q + q 1 q + q ( ζ ( ζ q 1 q 1 ζt ζtζ + h c( in n n n ( x t = e t e t 1 q + q 1 q + q

32 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ( q 1 ( q 1 ζt ζ + xh( t = e c in nt + nt (( 1 q ( ζ + n ( ( 1 q + ( ζ Συγκρίνοντας µεταξύ τους τις Εξ.(Γ.9, Γ.3, προκύπτει: ( q 1 A = (( 1 q ( ζ και B + Ο συνδυασµός τν Εξ.(Γ.30,Γ.33 δίδει: ζ ( q + 1 = n ( ( 1 q + ( ζ ( q 1 ζ ( q + 1 A= + (( 1 q ( ζ + n ( ( 1 q + ( ζ Ο συνδυασµός τν Εξ.(Γ.30,Γ.31 δίδει: ϕ = tan 1 ζ ( q + 1 n (( 1 q + ζ q ζ ( q n ϕ tan = ( q 1 ( q 1 (( 1 q + ζ q (Γ.3 (Γ.33 (Γ.34 (Γ

33 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Αναλυτικός υπολογισµός της γνίας στην πολική αναπαράσταση στο µιγαδικό επίπεδο µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k µε υποκρίσιµη απόσβεση Κατά τα γνστά (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 01, η εξίσση ισορροπίας ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k είναι: mx + cx + kx= 0 (.1 Εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(Β.1, προκύπτει: L { mx cx kx} L{ 0} L{ mx } L { cx } L{ kx} L{ 0} ml{ x} L c { x } kl{ x} L{ 0} + + = + + = + + = (. Για τον υπολογισµό της Εξ.(., αρκεί να υπολογισθεί κάθε ένας όρος. Ειδικότερα, ισχύει: Για την πρώτη χρονική παράγγο: { x } = x L (.3 Για τη δεύτερη χρονική παράγγο, θερώντας την ς την πρώτη χρονική παράγγο της ποσότητας ẋ και εφαρµόζοντας την Εξ.(.3, προκύπτει: χ= x { } { } { } { } L x L χ = L χ χ.( B.3 = L x x = x x = x x Εξ (.4 Για τον µηδενικό όρο, εξ ορισµού ισχύει: Ο συνδυασµός τν Εξ.(.,Β.3,Β.4,Β.5 δίδει: { } 0 = 0 L { x } L (.5 ( ( m x x + c x + k = 0 (.6 Για µηδενικές αρχικές συνθήκες ( x = x = 0, η Εξ.(.6 δίδει: m c k m c k + + = = 0 (.7 Για να ισχύει η Εξ.(.7 για κάθε χρονική στιγµή, δηλαδή για κάθε τιµή, πρέπει να ισχύει: ( m c k Οι ρίζες του τρινύµου στην Εξ.(.8 ισούνται µε: λ 1, + + = 0 (.8 β± β± β 4αγ c± c 4mk = = = (.9 α α m Στην περίπτση όπου η διακρίνουσα είναι αρνητική (υποκρίσιµη απόσβεση, ισχύει:

34 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: j = 1 0 c 4mk 0 4mk c 0 j 4mk c 0 < = < = < = < (.10 Ο συνδυασµός τν Εξ.(.9, Β.10 δίδει: λ 1, ( 4 β± β± β 4αγ c± j mk c = = = α α m ( 4mk c c λ1, = ± j (.11 m m Η Εξ.(.11 περιγράφει δύο συζυγείς µιγαδικές ρίζες, µε αρνητικό πραγµατικό µέρος, οι οποίες απεικονίζονται, ς κόκκινοι αστερίσκοι, στο Σχήµα.1. c m ( 4mk c m Σχήµα.1: Αναπαράσταση στο µιγαδικό επίπεδο µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k µε υποκρίσιµη απόσβεση Η εφαπτοµένη της γνίας θ ισούται µε: c m tanθ = c c c = = = ( 4mk c 4mk c c c 4mk1 4mk 1 m 4mk 4mk c c 4 4mk tanθ = mk = c 1 c 1 4mk 4mk Ωστόσο, ο λόγος απόσβεσης ζ ορίζεται ς ίσος µε: k c = c c c m 4 (.1 ζ = ζ = = ζ = (.13 m k mk m m k 4 m m

35 Ο συνδυασµός τν Εξ.(.11, Β.1 δίδει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: tanθ = Από την Εξ.(.13 προκύπτουν τα ακόλουθα: ζ ( 1 ζ (.14 Για γνία θ = 0, η αντίστοιχη εφαπτοµένη έχει µηδενική τιµή, άρα ο αριθµητής του κλάσµατος στο δεξί µέλος της Εξ.(.13 πρέπει να είναι µηδενικός. Έπεται, λοιπόν, ότι ο αντίστοιχος λόγος απόσβεσης ζ ισούται µε: ζ = 0 (.15 Για γνία θ = 90, η αντίστοιχη εφαπτοµένη απειρίζεται, άρα ο παρονοµαστής του κλάσµατος στο δεξί µέλος της Εξ.(.13 πρέπει να είναι µηδενικός. Έπεται, λοιπόν, ότι ο αντίστοιχος λόγος απόσβεσης ζ ισούται µε: ζ ζ ζ : εξορισµο ύ ζ = = = 1 (

36 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε: Μετασχηµατισµός Laplace σε πολυβάθµιο δυναµικό σύστηµα Από την Εξ.(49, προκύπτει: { } { } { } { } { } { } { } { } L M x + C x + K x = F t M x + C x + K x = F t L L L L L L L (Ε.1 Θα υπολογισθεί κάθε µετασχηµατισµός Laplace στο αριστερό µέρος της Εξ.(Ε.1. Για τον όρο L { ẋ } Σύµφνα µε την Εξ.(Α.9, για τη βαθµτή ποσότητα x ισχύει: { } x = x x L (Ε. Συνεπώς, για τη διανυσµατική ποσότητα x, η Εξ.(Ε. λαµβάνει τη µορφή: { } x = x x L (Ε.3 Για τον όρο L { } ẋ Σύµφνα µε την Εξ.(Α.8, για τη βαθµτή ποσότητα x ισχύει: { x } = x L (Ε.4 Συνεπώς, για τη διανυσµατική ποσότητα x, η Εξ.(Ε.4 λαµβάνει τη µορφή: { x } = x Για τον όρο L { } x Εξ ορισµού, για τη βαθµτή ποσότητα x ισχύει: L (Ε.5 { x} = L (Ε.6 Συνεπώς, για τη διανυσµατική ποσότητα x, η Εξ.(Ε.6 λαµβάνει τη µορφή: { x} Ο συνδυασµός τν Εξ.(Ε.1,Ε.3,Ε.5,Ε.7 δίδει: Εάν ορίσουµε L L (Ε.7 = ( + ( + = { } M x x C x K F t { F t } = f, τότε προκύπτει: ( + ( + = M x x C x K f Αναδιατάσσοντας τους όρους της Εξ.(Ε.9, προκύπτει: ( M+ C+ K = f + M( x + x + C( x L (Ε.8 (Ε.9 (Ε

37 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ: Συνάρτηση Μεταφοράς πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος Ο τύπος του Euler για µιγαδικούς αριθµούς δίδεται από τη σχέση: Κατ αντιστοιχία, ισχύει: jϑ ϑ= t jt e = cϑ+ j inϑ e = c t + j in t (ΣΤ.1 jt ( ( ( ( jt e = c t + j in t e = c t j in t (ΣΤ. Αθροίζοντας κατά µέλη τις Εξ.(ΣΤ.1, ΣΤ., προκύπτει: ( ( ( ( ( jt jt jt jt e + e = c t j in t + c t j in t e + e = c t (ΣΤ.3 Αφαιρώντας κατά µέλη τις Εξ.(ΣΤ.1, ΣΤ., προκύπτει: jt jt jt jt e e = c t j in t c t j in t e + e = j in t (ΣΤ.4 Έστ η ακόλουθη µιγαδική ποσότητα P : P= PRe + jp Im (ΣΤ.5 Η ποσότητα είναι ένα διάνυσµα, κάθε στοιχείο του οποίου ανήκει στο σύνολο τν P µιγαδικών αριθµών. Ως συµβολίζεται το πραγµατικό µέρος του, ενώ ς P Re P συµβολίζεται το φανταστικό µέρος του P. Από τον ορισµό του συζυγούς ενός µιγαδικού αριθµού, έπεται ότι το συζυγές µιγαδικό διάνυσµα P ισούται µε: Αποδεικνύεται ότι η απόκριση x( t P= PRe jp Im Im P (ΣΤ.6 ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος σε περιοδική διέγερση, µε τη βοήθεια του µιγαδικού διανύσµατος, γράφεται ς εξής: P ( + ( + a j t a j t x t = P e + P e Για την απόδειξη της Εξ.(ΣΤ.7, εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(ΣΤ.7, προκύπτει: ( + ( + Ε ξ.( ΣΤ.5 ( + ( + Εξ ΣΤ Re Im Re Im a j t a j t a j t a j t x t = P e + P e x t = P + jp e + P + jp e.(.6 (ΣΤ.7 xy= x y ( a j t ( a j t ( a j t ( a j t x t = PRe + jpim e + + PRe + jpim e + = PRe + jpim e + + PRe jpim e ( a+ j t ( a+ j t ( a j t ( a j t x( t = PRee + jpime + PRee jpime at jt at jt at j t at j t x t PRee e jpime e PRee e = + + jpime e at ( j t j t Re at Im ( j t j t x t = P e e + e + jp e e e Ο συνδυασµός τν Εξ.(ΣΤ.3, ΣΤ.4, ΣΤ.8 δίδει: at at at c( in( c( in( (ΣΤ.8 x t = PRee t + jpime j t x t = e PRe t + j PIm t

38 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Ορίζουµε τις ακόλουθες µεταβλητές: ( Re Im at c( in( x t = e P t P t (ΣΤ.9 PC = P Ο συνδυασµός τν Εξ.(ΣΤ.9, ΣΤ.10 δίδει: Re και PS = P at = c( + in( Im ( C S x t e P t P t Η Εξ.(ΣΤ.11, για a= 0, λαµβάνει την ακόλουθη µορφή: ( C S = c( + in( x t P t P t (ΣΤ.10 (ΣΤ.11 (ΣΤ.1 Ωστόσο, η Εξ.(ΣΤ.1 περιγράφει την απόκριση ενός πολυβάθµιου συστήµατος υπό περιοδική διέγερση. Συνεπώς, και η Εξ.(ΣΤ.7, από την οποία προέρχεται η Εξ.(ΣΤ.1, θα εκφράζει την απόκριση ενός πολυβάθµιου συστήµατος υπό περιοδική διέγερση. Άρα, ισχύει: 0 ( C S ( ( at c( in( x t P e P e e P t P t = a+ j t + a+ j t = + a= jt jt c( in( x t = P e + P e = PC t + PS t (ΣΤ.13 Συνεπώς, η απόκριση ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος υπό περιοδική διέγερση είναι δυνατόν να περιγραφεί από την Εξ.(ΣΤ.13. Στην περίπτση ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος υπό αρµονική διέγερση, η απόκριση του συστήµατος και πάλι περιγράφεται από την Εξ.(ΣΤ.13, αφού πρώτα αντικατασταθεί η συχνότητα µε τη συχνότητα Ω της αρµονικής διέγερσης: j Ω t jωt = + = c( Ω + in( Ω x t P e P e PC t PS t (ΣΤ.14 Ακριβώς µε το ίδιο σκεπτικό, η αρµονική διέγερση ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος F είναι δυνατόν να γραφεί ς εξής: jωt jωt c in F t = f e + f e = fc Ω t + fs Ωt Σχετικά µε τις χρονικές παραγώγους της Εξ.(ΣΤ.14: Για την πρώτη χρονική παράγγο ισχύει: d d j t j t j t j t d Ω Ω Ω Ω = + = + x t P e P e x t P e P e dt dt dt (ΣΤ.15 (ΣΤ.16 Ο πρώτος όρος του δεξιού µέλους της Εξ.(ΣΤ.16 ισούται µε: d dt d dt d e + P e = j P e dt jωt ( P e = ( P j Ω t j Ω t j Ω t (ΣΤ.17 Ο δεύτερος όρος του δεξιού µέλους της Εξ.(ΣΤ.16 ισούται µε:

39 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: j t j Ω d d P e = P e t = ( P ( ( d d d dt dt dt j t j t j t j t j t e Ω + P e Ω = P e Ω = j P e Ω = j P e Ω dt dt Ω = ( d P e j P e dt j t j Ω t Ο συνδυασµός τν Εξ.(ΣΤ.16, ΣΤ.17, ΣΤ.18 δίδει: jωt jωt jωt jωt = Ω Ω = Ω( x t j P e j P e x t j P e P e (ΣΤ.18 (ΣΤ.19 Για τη δεύτερη πρώτη χρονική παράγγο ισχύει: d ξ d d d x( t = x ( t jω P e jω P e = jω P e jω P e dt dt dt dt Ο συνδυασµός τν Εξ.(ΣΤ.17, ΣΤ.18, ΣΤ.0 δίδει: Ε.( ΣΤ.18 jωt jωt jωt jωt jωt jωt jωt jωt j = 1 x t = jω jω P e jω jω P e = j Ω P e + j Ω P e jωt jωt x t = Ω P e + P e (ΣΤ.0 (ΣΤ.1 Η εξίσση ισορροπίας ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος (βλ. Εξ.(49 είναι: M x t + C x t + K x t = F Εισάγοντας τις Εξ.(ΣΤ.13, ΣΤ.15, ΣΤ.19, ΣΤ.1 στην Εξ.(ΣΤ., προκύπτει: ( M Ω P e + P e + C jω P e P e + K P e + P e = f e + f e j Ω t j Ω t j Ω t j Ω t j Ω t j Ω t j Ω t j Ω t (ΣΤ. (ΣΤ.3 Ωστόσο, για έναν µιγαδικό αριθµό z= a+ jb, ισχύουν τα εξής: Το άθροισµα ενός µιγαδικού αριθµού µε τον αντίστοιχο συζυγή του, ισούται µε το πραγµατικό µέρος του µιγαδικού αριθµού: Re z+ z = a+ jb + a+ jb = a+ jb + a jb = a z+ z = z (ΣΤ.4 Η διαφορά ενός µιγαδικού αριθµού από τον αντίστοιχο συζυγή του, ισούται µε το φανταστικό µέρος του µιγαδικού αριθµού: Im z z = a+ jb a+ jb = a+ jb a jb = jb z z = z (ΣΤ.5 Η εφαρµογή τν αντέρ ιδιοτήτν (βλ. Εξ.(ΣΤ.4,ΣΤ.5 στην Εξ.(3 δίδει: ( ( Re Im Re Re jωt jωt jωt jωt Ω M P e + jω C P e + K P e = f e (ΣΤ

40 Η ποσότητα ( j t P e Ω υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: γράφεται και ς εξής: jωt P e = PRe + jpim ( c Ω t + j in Ω t = PRe c( Ω t + jpim c( Ω t + PRe j in( Ω t + jpim j in( Ωt jωt ( P e = PRe c( Ω t + j PIm in( Ω t + j( PIm c( Ω t + PRe in( Ωt jωt P e = PRe c Ωt PIm in Ω t + j PIm c Ω t + PRe in Ωt jωt jωt Re( P e Im( P e (ΣΤ.7 Κατ αντιστοιχία, ισχύει: j t Ω f e = fre c t fim in t j fim c t fre in t Ω Ω + Ω + Ω jωt jωt Re( f e Im( f e (ΣΤ.8 Εισάγοντας τις Εξ.(ΣΤ.7, ΣΤ.8 στην Εξ.(ΣΤ.6, προκύπτει: ( Re c Im in Im c Re in ( Re c Im in Re c Im in M P t P t j C P t P t Ω Ω + Ω Ω + Ω + + K P Ωt P Ω t = f Ωt f Ωt Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(ΣΤ.9, προκύπτει: Ω MPRe c Ω t +Ω MPIm in Ω t + jωcpim c Ω t + jωcpre in Ω t + + KPRe c Ωt KPIm in Ω t = fre c Ωt fim in Ωt ( MP j CP KP f ( t ( MP j CP KP f ( t Re Im Re Re Im Re Im Im (ΣΤ.9 Ω + Ω + c Ω + Ω + Ω + in Ω = 0 (ΣΤ.30 Η Εξ.(ΣΤ.30 πρέπει να ισχύει για κάθε χρονική στιγµή t. Αυτό σηµαίνει ότι οι συντελεστές τν χρονικών (τριγνοµετρικών όρν στην Εξ.(ΣΤ.30 θα πρέπει να είναι µηδενικοί: Ω MPRe + jω CPIm + KPRe fre = Ω MPIm + jωcpre KPIm + fim = Ισοδύναµα, η Εξ.(ΣΤ.31 γράφεται και ς εξής: Ω MPRe + jω CPIm + KPRe = fre Ω MPIm jω CPRe + KPIm = fim Η Εξ.(ΣΤ.3, σε µητρϊκή γραφή, λαµβάνει την ακόλουθη µορφή: Ω M + K jωc P f Re Re = jωc Ω M + K PIm fim P 0 0 f (ΣΤ.31 (ΣΤ.3 (ΣΤ.33 Στην Εξ.(ΣΤ.33 αναγνρίζουµε ότι η µιγαδική ποσότητα f αφορά στην αρµονική διέγερση του συστήµατος (βλ. Εξ.(ΣΤ.16, ενώ η µιγαδική ποσότητα P αφορά στην αντίστοιχη

41 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: απόκριση του δυναµικού συστήµατος (βλ. Εξ.(ΣΤ.14. Επιλύοντας την Εξ.(ΣΤ.33 ς προς P, προκύπτει: 1 PRe Ω M + K jωc fre = PIm jωc Ω M + K fim P H f (ΣΤ.34 Ο πίνακας H είναι ίδιος µε εκείνον της Εξ.(11 στην Εκπαιδευτικής Ενότητας 10. Επίσης, 1 PRe M + K C fre = PIm C M + K fim P H f (ΣΤ.35 Ο πίνακας H( εκφράζει τον Πίνακα τν Συναρτήσεν Μεταφοράς ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος υπό αρµονική διέγερση και είναι εκείνος της Εξ.(6 και της Εξ.(77 της παρούσας Εκπαιδευτικής Ενότητας