TEORIA ERORILOR DE MĂSURARE ŞI METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE

Transcript

1 TEORIA ERORILOR DE MĂSURARE ŞI METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE

2 Itrodcere Iforaţle, care cotte baza cocretă de date eceară rezolăr robleelor geodezce, fotograetrce ş toografce, ro d oberaţle efectate ara or ăr c care e lcrează frecet ş care, î rcal, t rerezetate de ărătorle de ghr ş dtaţe. Caltatea foraţlor obţte d acete ărător ete fcţe drectă de oll oberaţlor ş de recza tretelor de ărat. Se e aşadar, ca ord de la col etr care t efectate ărătorle ă e tableacă alorle corezătoare ca ăre ş recze, lâd î coderare aectl ecooc refertor la oll trct ecear ş fcet al oberaţlor care e. Teora erorlor de ărare a teora relcrăr ărătorlor geodezce tere c cce ş rezolă faorabl acete aecte. Itretl rcal de coaştere a l aterale îl cotte oberarea ş î cadrl acetea, ărarea. Oeraţa de ărare rereztă roce eeretal de obţere a foraţe b fora raort erc, ître aloarea ăr fzce ărate ş aloarea e alte ăr de acelaş ge coderată dret tate de ără. Scol e cercetăr ştţfce cotă î decoerrea leglor care drjează feoeele atrale, re a f e î ljba acttăţ ae. Petr aceata, ete eceară îbarea cercetăr ştţfce c alcaţa tehcă ractcă, fără de care orce eclaţe abtractă dee terlă. Petr realzarea acet dezderat, ra codţe î alegerea ărlor fzce, îţelegâd r aceata ş ărle care ter î tehcă ş î ractcă, ete ca ele ă fe ărable. Teora erorlor de ărare reztă o ortaţă deoebtă etr ractca ărătorlor teretre, datortă oll reoat de oberaţ ce trebe eectate, relcrate ş coeate î ederea obţer alorlor lor celor a robable, ca ş etr ealarea cât a corectă ş a coletă a recze. Cocâd-e cât a eact ărle erorlor ed ale fecăr arget ărabl î arte, e oate detera eroarea ede a e fcţ de acete argete. Î acet fel, e oate rezola roblea eră a erorlor de ărare, î cadrl cărea, faţă de o eroare aă ă aror e fcţ ce rează a e detera, e a tabl îcă d faza de roect, care trebe ă fe erorle ae c care e or ăra e tere argetele cooete. Aceata dă obltatea tablr recze ote de ărare, c aataje ecooce ortate. Atfel, la realzarea e reţele de traglaţe, eceară rdcărlor toografce, a e reţele de crotraglaţe eceară etr rărrea coortăr e cotrcţ etc., tdl recze de deterare a ozţe ctelor reţele e face îcă d faza de roectare, fcţe de cofgraţa reţele ş de recza c care e or eecta ărătorle e tere. Acet td a răr ca erorle î ozţa ctelor ă e îcadreze î toleraţele e atcat. La fârşt, r coararea erorlor ot-coeate c erorle tablte atcat, e a tea areca corecttdea tdl făct. Stdl erorlor de ărare reztă o ortaţă c totl deoebtă î acele doe ale ărătorlor teretre (Geodeze, Fotograetre, Geodeze ş Toografe alcată î cotrcţ), î care egeţele e î rţa recze t deoebt de rdcate.

3 SCURT ISTORIC AL TEORIEI ERORILOR DE MĂSURARE ŞI A METODEI CELOR MAI MICI PĂTRATE Problea relcrăr oberaţlor a aărt îtâ î doel atrooe, î ecal dă decoerrea lete de către Galleo-Galle (564 64) ş erfecţoarea cotă a tretelor ş aaratelor de ără. Dă ce teora greştă a tel geocetrc, elaborată ş rezetată de Clad Ptolee (9 68) î lcrarea a Megale Byta, a doat coaşterea ştţfcă crca ecole, ea ete frată de către Ncola Coerc ( ), care elaborează teora tel helocetrc ş e care o fdaetează î lcrarea Dere şcărle de reolţe ale corrlor cereşt. Marele atroo Johae Keler (57 63), dcoll ş cotatorl l Tycho Brahe (546 6), e baza ărătorlor îataşl ă, dar ş d deterăr eroale, cofră deft teora helocetrcă a l Coerc, decoeră fora eltcă a orbtelor laetelor ş forlează cele tre leg e baza cărora are loc şcarea laetelor î jrl Soarel. A deet clar că etr jta îţelegere a tel de alcătre a Uerl, ete eoe de eectarea ăr are de ărător, c o recze cât a bă ş a căror relcrare ă e facă dă crter cât a corecte. Îăş cofrarea leg atracţe erale, decoertă de Iaac Newto (64 77), -a tt face 8 a a târz, dă ce î Fraţa -a deterat detl de rec, aloarea raze Păâtl. De lte or, recza fcetă a ărătorlor efectate a cod la cotradcţ ître teore ş ractcă. A fot eoe ă e cotracă trete ş aarate de ără c caractertc eroare ş î acelaş t, ă e elaboreze ş o teore adecată a ărătorlor ş a erorlor de ărare. O dezoltare rearcablă a teore erorlor ş a etode celor a c ătrate, a at loc la fârştl ecoll al XVIII lea ş îcetl ecoll al XIX-lea, fd legată de ele l A.M.Legedre, K.F. Ga ş P.S.Lalace. Adre Mara Legedre (75-833) fdaetează etr ra dată teora relcrăr oberaţlor făcâd td ara erorlor ş alcâd-le lteror la relcrarea ărătorlor atrooce. Acete td, îreă c dezoltarea rclor etode celor a c ătrate t cre î lcrarea a No etode etr deterarea orbtelor coetelor aărtă î al 86. Ideedet de A.M.Legedre, ateatcal Karl Frederch Ga ( ) decoeră etoda celor a c ătrate, e care o alcă tot la relcrarea ărătorlor atrooce. Teora a ete cră î lcrarea Teora şcăr corrlor cereşt ce e rotec î jrl Soarel dă ecţ coce, blcată î 89. Pe lâgă lte alte roblee teoretce, K.F.Ga roe ş forla care e î edeţă reartţa orală a erorlor aleatoare. Î lcrărle ale lteroare, K.F.Ga arofdează latra algebrcă a etode celor a c ătrate, dedcâd o ere de forle eceare ealăr recze ărătorlor. Perre So Lalace (749 87), î tratatl ă de bază Teora aaltcă a robabltăţlor, dă o oă fdaetare teoretcă etode celor a c ătrate, care cotte de fat reza dezoltăr teoretce lteroare. El are ertl de a f făct ş legătra trâă dtre eror ş robabltate, r defrea corectă a forle robabltăţ e eror. Mărarea arcelor de erda ş a lattdlor, ca ş relcrarea acetora, a er deterarea fore ş delor Păâtl e baza cărora -a elaborat tel etrc, te ractc de ăr b etr toate trle ş etr toate ooarele.de aeeea, îtocrea hărţlor ş larlor toografce ale ţărlor, a a îtâ, crearea reţelelor de traglaţe geodezcă de rj. Calclele de coeare a arlor reţele de traglaţe a ecetat dezoltarea corezătoare ş a teore erorlor. Alcarea teore erorlor de ărare ş a etode celor a c ătrate î doel ărătorlor teretre, î ecal al geodeze ş toografe, a fot făctă de retaţ ecalşt roâ Ştefa Parachec, Theodor Poe, Ioa Vrgl, Cotat Motaş, Ioa Plăcţea, Mha P.Botez, dtre e fd ş cadre ertare c lcrăr ştţfce teoretce ş ractce de retg.

4 Catoll Obectl teore relcrăr ărătorlor geodezce Î geeral, orce roce de ărare ete îoţt de eror, a căror re rcale ot f tetzate dă c rează: caltăţle oeratorl (regătrea rofeoală, tarea a de oet etc.) erforaţele ş tarea de îtreţere ale aaratr tlzate edl îcojrător (clă, egetaţe, zbltate etc.). Ara fecăre re de eror e a ree î cadrl aall î a lte râdr. Petr cşorarea fleţelor dăătoare ale erorlor de ărare, î geodeze î geeral, dar ş î orcare cooetă a acetea (toografe, cadatr, fotograetre ş.a..d.) e eectă ăr lt a are de deterăr decât cel trct ecear ş fcet, î fcţe de recza e care acetea trebe ă o abă la fârşt (dată de trcţ a tabltă r tea lcrăr). U r co rcal al relcrărlor ărătorlor geodezce cotă î deterarea celor a be (a a celor a robable) alor etr fecare dtre ărle ărate. U alt co rcal al orcăre relcrăr de ărător geodezce cotă î deterarea or etator a recze de ărare, care artajează ărătorle efectate d ctl de edere al eacttăţ c care acetea a fot eectate. Î aceată categore de reocăr e oate clde ş deterarea recze rezltatelor fale obţte r relcrare. Calcll recze ete ecear î dferte etae ale relcrăr, dtre care cele a efcate t: relcrăr locale, câd e are î edere, earat, câte et de ărător dtr-o lcrare a are (de eel, deterarea recze de ărare a drecţlor a ghrlor efectată îtr-o gră taţe dtr-o reţea geodezcă de traglaţe) relcrăr î reţea, câd e deteră aţ etator de recze a etr ărle ărate c ş etr rezltatele fale ale lcrăr (de eel, calcll recze coordoatelor ctelor î care -a efectat ărătorle). Prelcrărle ărătorlor geodezce a caracter cole, fd bazate e rc teoretce care a fot eţate aroae î aceeaş eroadă de t, de către Legedre (86) ş Ga (89). 3

5 Acete rc a fot relate, dezoltate ş coletate, rezltâd etoda de calcl coctă b derea de Metoda celor a c ătrate a Metoda ătratelor e. Pr alcarea acete etode, e realzează obţera or corecţ etr ărle ărate drect (care rec atrbtl fal de ăr coeate). Corecţle ărătorlor care e deteră î dferte etae ale relcrăr, atfac dezderat eeţal ş ae: a ătratelor lor tde către, ceea ce rereztă, î e larg, o codţe îtr- roce de otzare. Pr reectarea acet rc fdaetal, la care e a adagă ş altele, etoda la care e refer a rt derea eţoată a îate. Dtre rcle geerale de bază, e care le reectă orce relcrare a ărătorlor geodezce trebe eţoate char la îcetl catoll, rcl care oate f arecat ca fdaetal: recza fală a e ăr coderate a a lcrăr î aabll e, ete deterată î rocel de ărare ş î cel de calcl. C alte cte, d ărător rece ot rezlta ăr î care tlzatorl ă oată aea îcredere delă. Petr clarfcarea ddactcă a celorlate rc care ta la baza etode celor a c ătrate, t eceare defţ ş clafcăr ale ărătorlor geodezce rec ş ale erorlor care le îoţec... Crter rcale de clafcare a erorlor de ărare Mărea a aloarea e ate ettăţ fzce ărable oate f coctă de către cercetătorl care eectă ărarea, doar î ate lte, orcât de dezoltate ar f tehologle folote la deterarea acetea. Î fcţe de araetr eţoaţ la îcetl catoll, care declaşează aarţa erorlor de ărare, rezltatl fal ete a lt a a ţ rec, dar îtotdeaa afectat de eror. De aceea, a dtre defţle le, dar getă ş corectă î acelaş t, care e oate da etr eroarea de ărare ete rătoarea: Eroarea de ărare = Valoarea ărată a ăr coderate - Valoarea de referţă a ăr coderate (.) Î od aeăător, etr oţea de corecţe a ărător e oate da rătoarea defţe: Corecţa e ărător = - Eroarea e ărător (.) 4

6 Defţle de a coţ oţea de aloare de referţă a ăr coderate, î raort de care e ot face lte artclarzăr ş clafcăr a erorlor de ărare, dtre care e or rezeta î cotare cele a de tlzate.... Clafcarea erorlor î raort de ărea lor Î raort de crterl eţoat e ot deoeb doă tr rcale de eror.... Eror etable, categore î care e ot crde, de eel, erorle de de eobşt de ar, datorate eateţlor oeratorl care eectă ărarea, a defecţlor grae ale aaratr, îregtrarea greştă î caretele de tere (de eel c ăr de grade a e lectr e cercrle teodoltelor) a lectr greşte (de ordl etrlor) e rele de elet ş.a. Atfel de eror e ot de greşel ş caracterzează ărătorle geodezce ş, de aceea, or tra î reocărle catolelor aall.... Eror etable. Acetea t eror care ter î toate ărătorle geodezce, dferet de regătrea a îdearea oeratorl, de erforaţele aaratr a de tarea edl î care e efectează. Degr, ărea lor ete dfertă, î fcţe de aceşt araetr, de tehologle de ărare ş de relcrare locală. Practca a arătat că eele + a ale erorlor etable t reartzate aroat egal.... Clafcarea erorlor î raort de odl lor de acţe Erorle etable ot aea rătoarele odaltăţ de acţoare, care deteră ş derea acetora.... Eror teatce. Erorle teatce t fleţate (atât ca ăre cât ş ca e) de at araetr. Acet ge de eror oate f declaşat de orcare dtre rele eţoate la îcetl catoll, fd tce etr orce rocede de ărare folot î geodeze. Ca eel, e oate reat ac eroarea teatcă de ărare a e dtaţe c o aglcă de oţel (coctă de la crl de Toografe), î fcţe de dfereţa care etă ître teeratra de ărare ş cea de etaloare. Dă c e ede, char d acet eel l, erorle teatce îş ot chba el e arcrl e zle de lcr (deţa teeratra la care e face ărarea oate f a că decât teeratra de etaloare ş atc eroarea are at e, ar e ără ce teeratra eteroară e ăreşte, erorle teatce reecte ot căăta e dfert). Pr rare, e oate ete oteza că fleţa erorlor teatce ara ărătorlor e coaşte, ar efectl acetora trebe elat, total a arţal, r tehologle adecate folote la 5

7 eectarea ărătorlor ror-ze, a r ate corecţ (obţte r calcl) care e adagă lteror: erfcarea ş rectfcarea aaratelor de ără, de erorle roete d dereglarea ator ărţ cooete. De eel, rectfcarea teodoltl datorată eror de colaţe, a eror de de, rectfcarea tretelor de elet datorată eror de earalel dtre drectrcea ele torce ş aa de zare etc alcarea e etode corezătoare de ărare. Deoarece dă rectfcarea aaratl, ot răâe dereglăr rezdale, î geeral c, e oate da fleţa erorlor teatce reaete r odl de lcr, adotâd o etodă de ărare adecată. De eel, erorle rezdale de colaţe, e ot ractc îdeărta r ărarea drecţlor orzotale î abele ozţ ale lete. Aalog, fleţa eror de earalel dtre drectrcea ele torce ş aa de zare a lete tretl de elet, la ărarea dfereţe de el dtre doă cte, e oate ractc ela r elet geoetrc de jloc alcarea lteroară, dă arare, a or corecţ ecfce fecăr t de ărător. De eel, la ărarea recă a dtaţelor c aglca de oţel, e calclează ş e alcă corecţle de etaloare, de teeratră, de ăgeată etc. Aalog, dfereţele de el, ărate r elet trgooetrc geodezc, la dtaţe de 3 k, e or corecta c corecţle de crbră a Păâtl ş de refracţe atofercă.... Eror îtâlătoare (aleatoare). Datortă factorlor eţoaţ la îcetl catoll, c toate ărle de recaţe care e a î orce categore de ărător geodezce, erorle îtâlătoare (aleatoare) ot f etate. Dacă e accetă ca aloare de referţă, de eel, eda artetcă a ăr oarecare de ărător reetate efectate ara e ăr, atc dfereţele de fora (.) a, î geeral, caracter îtâlător (aleator), care ete ecfc etr orce roce de ărare. Ara acete robleatc e a ree î.4, deoarece tdl erorlor aleatoare (îtâlătoare) rereztă obect rcal al Teore relcrăr ărătorlor geodezce. Deş d ct de edere ddactc, odl de clafcare a erorlor de ărare folot î acet aragraf ete ecear, î acttatea ractcă e oate face o deltare recă ître acete categor de eror. Atfel, dacă e chbă codţle de ărare, ate ereor aleatoare ot dee eror teatce ş er. 6

8 Î îcheere la acet aragraf e or def aţ tere care t foloţ frecet î relcrarea ărătorlor geodezce. Ecartl ete dfereţa dtre doă alor oarecare, dtr- şr de ărător reetate, efectate ara aceleaş ăr. Ecartl a ete rerezetat de dfereţa dtre aloarea aă ş aloarea ă (coderate î aloare aboltă), obţte dtr- şr de ărător reetate efectate ara aceleaş ăr. Toleraţa ete lta adă (de trcţ, reglaete a caete de arc) e care o oate la ecartl a. Dfereţa dtre ecartl a ş toleraţa adblă ete dcator deoebt î ceea ce reşte caltatea ărătorlor: c cât aceată dfereţă ete a are, e e că ărătoarea ete a recă, ş er...3. Clafcarea erorlor î raort de odaltatea de erare a acetora..3.. Eror erate erc. Î raort de defţa (..) ş de dferte ăr de referţă, rezltă dferte alor etr erorle coreodete Eror relate. Eroarea relată e r a e ărător rereztă raortl dtre aloarea ercă a eror e ş ărea ărător ror ze : e e r. (.3) De reglă, erorle relate a caracter forat ş de aceea e eră b foră rotjtă, ca de eel: :, :5 ş.a..d. ş ter î geodeze î od deoebt la ărătorle de dtaţe...4. Clafcarea erorlor î raort de ră La acet ge de clafcare e-a refert char la îcetl catoll. Ree, î cotare, c ele detaler...4. Eror eroale. Acetea e datorează calfcăr rofeoale a oeratorl a t cazate de defceţe de edere a de cocetrare ale aceta. De eel, defceţele de edere a o ată fleţă ara arecer cttorlor e cercrle gradate ale teodoltl Eror tretale. Datortă or erfecţ de cotrcţe a de dereglare î t a ator ărţ cooete ale tretelor ş aaratelor de ără, rezltatl ărătorlor dee a rec. Eelfcărle ot f foarte eroae ş a a fot atte ateror: eroarea de earalel dtre drectrcea ele de recze ş aa de zare la aarat 7

9 de elet, eroarea de colaţe la teodolt, odfcarea lg e aglc de oţel de 5 dă rearare ş î taţa că -a făct o reetaloare etc Eror de ed. Atfel de eror t datorate araţlor î codţle de ed îcojrător (eteror) î care e eectă ărătoarea. De eel, araţle de teeratră, ree, dtate, loztate, etc, rodc odfcăr ale aaratelor de ără, care a fot etaloate etr ate codţ tadard (de laborator)... Clafcarea ărătorlor geodezce Dă eţarea rcalelor tr+ de eror, ete tlă ş rezetarea or crter rcale de clafcare a ărătorlor geodezce, etr a e tea rezeta î cotare a şor ele coderaţ teoretce.... Clafcarea ărătorlor î raort de codţle de efectare... Mărător drecte ot f coderate acele ărător î care ărea fzcă coderată e coară c tatea de ără. Eell clac ete rerezetat de ărarea e dtaţe c ajtorl aglc de oţel de 5. Tot ca ărător drecte ot f coderate ş fcţle le de ărle ărate drect. Atfel, de eel, deterarea e dfereţe de el r elet geoetrc ete coderată ărătoare drectă, deş î od trct rgro, ca ărare drectă t fecare dtre cele doă ctr efectate e fecare ră.... Mărător drecte t coderate acele ărător care cotrbe la deterarea altor ăr care e ot ăra drect acete lte ăr t legate de cele ărate drect r relaţ ateatce de deedeţă. De eel, deterarea alttdlor reerlor dtr-o reţea de elet geoetrc (care ot f deterate drect, c recza adecată), tlzâd dfereţele de el ître reer reţele care t coderate ărător drecte Mărător codţoate. Acet t de ărător oate f coderat ca caz artclar al ărătorlor drecte ş ae atc câd acetea t legate ître ele r ate relaţ de codţe geoetrce a aaltce. De eel, dacă îtr- trgh la a fot ărate drect toate ghrle, atc a lor trebe ă fe egală c g (î gradaţa ceezală).... Clafcarea ărătorlor î raort de recza acetora... Mărător de aceeaş recze, atc câd, de eel, ărătorle t efectate rgro î aceleaş codţ, atfel îcât ărătorlor l e oate acorda acelaş grad de îcredere. Aeeea taţ ter relat rar î acttatea cretă. 8

10 ... Mărător oderate a ărător de recze dfertă, ter atc câd l dtre factor declaşator de eror dferă de la o ărătoare la alta. Î acet fel, ele dtre ărător t a rece decât altele, ceea ce corede taţlor reale d acttatea cretă. Caractertc etr atfel de ărător t oderle care e ataşează acetora î col artajăr lor, ş la care e o refer de a lte or î cadrl aall...3. Clafcarea ărătorlor î raort de gradl de deedeţă tattcă..3.. Mărător corelate a deedete tattc, ter î taţle î care aabll de codţ î care e efectează o ărătoare fleţează total a arţal rezltatl altea (a altora) dtre ărător. Corelaţa a deedeţa tattcă etetă ître ărătorle ţale (orgare), e eră c ajtorl coefcet de corelaţe, la care e o refer î catoll Mărător deedete ter î relcrărle î care e coderă că odaltatea de realzare a e ărător fleţează rezltatl celorlalte. De eel, la ărarea dfereţelor de el r tlzarea or eler de lge coeablă, are ca rezltat efectarea radă ş foră a lcrărlor, rec ş la ătrarea codţlor de lcr, ceea ce are ca efect fal obţerea or ăr care ot f accetate ca deedete. Aalzâd-e trct rgro roceele de ărare, cerectărle efectate î ltele dece a cod la coclza că de fat etă ărător deedete, deoarece erorle tretale reaete, ca ş codţle eteroare de lcr, deteră caltatea rezltatelor obţte, grâd-le d acet ct de edere. Aceata rereztă, de fat, o legătră de atră tochatcă ître oberaţle cre îtr- at gr. Totş foarte lte relcrăr efectate î geodeze egljează acete corelaţ, deoarece acetea t gre de deterat ş îcarcă efcat atât oll de lcrăr cât ş cotl acetora. 9

11 Catoll Noţ eleetare de teora robabltăţ ş tattcă Mărătorle geodezce a roţat caracter aleator (îtâlător). Stdl feoeelor a eeetelor aleatoare ete abordat î od deoebt î Teora robabltăţ ş reect î Stattcă... Câ de eeete Eeetl ete rezltatl eeret ş ete o oţe fdaetală î teora robabltăţ. Eell clac ete rerezetat de eeetl care e oate rodce la eeret foarte l ş ae la arcarea zar c şae feţe. Se ot forla dferte eeete oble: aarţa e ate feţe, care e otează: (), (),,(6) rodcerea eeet a cole, deft, de eel, r obltatea de a aărea or faţa 4 or faţa 6 a zarl, ete otată (4,6). Aalog obltatea de a aărea a dtre feţele,3 a 5, ete otată (,3,5) ş.a..d. la eeetele de a e adagă eeetl gr, otat (,,3,4,5,6), deft r certtdea că la fecare arcare a zarl a aărea o ată faţă a a, caracterzată de l dtre cele 6 ere. La aceata e adagă eeetl obl, deft r deearea fatl de a aărea c a dtre feţele zarl la orcare dtre arcăr, a de a aărea o cfră dfertă de cele 6 ecfce etr orcare zar obşt. Eeetl gr e a ota c S ar eeetl obl c Ø. Acttatea aă oate f decră ca şr de atfel de eeete, care a at ecfc etr fecare ector de acttate. Ma ot f eţoate, î acete oţ trodcte, eeetele coatble, care t acele eeete care a roretatea de a e tea realza lta ş reect eeetele coatble, care a aceată roretate. Rezltatl eeretl, lat re eelfcare, oate f erat rtr-o cfră, care a rt derea de arablă îtâlătoare a arablă aleatoare *). Î taţle eaate a îate e a e că arabla aleatoare are caracter dcret, deoarece ărl de eeete oble la arcarea c zarl are caracter ft. Totaltatea eeetelor care ot aea loc îtr- eeret ete detă olaţe.

12 Î eell coderat olaţa ete cotttă d rătoarele eeete: (), (), (3), (4), (5), (6) (,), (,3),, (,6),, (,6),, (5,6) (,,3), (,,4),, (4,5,6) (,,3,4), (,,3,5),, (3,4,5,6) (,,3,4,5), (,,3,4,6),, (,3,4,5,6) (,,3,4,5,6) cobărle de eleete, late câte k e deteră c forla:! C k. (.) k!k! Rezltă că î eelfcarea ată î edere or eta a rătoarele taţ oble: 6! C 6 6 5!! 6! C 6 5 4!! 3 6! C 6 3!3! 4 6! C 6 5!4! 5 6! C 6 6!5! 6 6! C 6.!6! *) Erea roe de la câtl lat alea, care îeaă zar Pr rare, totaltatea eeetelor oble care ot aea loc î acet eeret ete: C C C C C C 64, ceea ce coferă eeretl caracter ft. Î tehcă, cl î doel geodeze, eeetele a arablele aleatoare a caracter cot, a ale câd eeretl ete realzat c aaratră de rezolţe eroară. Atfel, la ărarea reetată a e dtaţe, ca rezltat e oate obţe, î rc orce aloare. Î l, ărl eeetelor oble îtr- aeeea eeret oate f coderat ca ft a cot, deoarece dtaţa oate f reărată de ăr orcât de are.

13 Teora relcrăr arătorlor geodezce are î edere, aroae fără eceţe, arable aleatoare c caracter cot. U te a câ de eeete a o olaţe otat(ă) C ete rerezetat(ă) de lţea eeetelor care ot aărea îtr- at eeret. De cele a lte or, cel care eectă eeretl reect e lţeşte doar c o ată arte oarecare a a, detă eşato de odaj a a l eşato. Î acet caz eeretl oedă caracter ft (ceea ce ete ecfc etr eeretele crete d acttăţle de atră tehcă). Rezltatele fale ale or aeeea eerete e ec etaţ, deoarece e referă doar la tderea (ărarea) eşato d îtreaga olaţe. De aceea e e că etaţa are o aloare cattată tattcă, adcă abolt eactă a abolt gră c a (foarte) robablă. Etaţa oate f coderată corectă, atc câd elecţa ete rerezetată. Petr aceata ete ecear ca eleetele care co elecţa ă fe fcet de eroae ş atfel alee îcât ă abă caracter aleator, robabltc, ceea ce a erte decrerea cât a fdelă a olaţe. Prcalele roretăţ ale eeetelor Ilcarea: e coderă doă eeete A ş B d acelaş eeret. Dacă odată c eeetl A ete realzat ş eeetl B e e că eeetl A ete lcat de eeetl B a că eeetl A ete o arte a eeetl B ş e cre A B a B A. Î eell arcăr zarl e ot eelfca: () (,5) (,3) (,,3,5) ş.a..d. (.) Trazttatea: coderâd eeetele A, B, D care aarţ acelaş eeret, î care: A B B D, atc A D. Petr eelfcare, ree la eereţa arcăr c zarl: () (,3) (,3) (,,3,4) () (,,3,4). (.3) Cotrarl eeetl A ete rerezetat de eeetl care cotă î erealzarea aceta ş e otează c Ā. Ca eelfcare, î eeretl at î edere âă ac, e oate cre: dacă A ete (,6) atc Ā ete (,3,4,5). (.4) Cotrarl eeetl gr S ete eeetl obl Ø. Reea: dacă A ş B t doă eeete d acelaş eeret, rodcerea fe a eeetl A, fe a eeetl B e otează AB fd roţat A a B ş e eşte reea celor doă eeete.

14 Edet: A Ø = A, (.5) etr orcare eeet A. Se ot da ş alte eele de re: (3) (5) = (3,5) (,6) (3,4,6) = (,3,4,6). (.6) Reea ttror eeetelor eleetare (a e edea defţa acetora ţ a jo) dtr- câ de eeete ete eeetl gr S. Î eereţa arcăr zarl c şae feţe, eeetele eleetare fd (), (), (3), (4), (5), (6), rezltă: () () (3) (4) (5) (6) = (,,3,4,5,6), (.7) ceea ce rereztă eeetl gr S. Iterecţa: dacă e a î edere aceleaş eeete A, B d eeretele ateroare, eeetl care cotă î rodcerea lor ltaă e otează AB, fd roţat A ş B ş e eşte terecţa acetora. Ca eelfcare, d eeretl arcăr zarl c 6 feţe e oate cre: (4) (,4,6) = (4) (,5) (,3,4) = (). (.8) Dacă A B = Ø, eeetele e ec djcte a coatble. Ca eelfcare: (,4) (,3,6) = Ø. (.9) Eeetl eleetar: eeet A C, A Ø e eşte eeet eleetar dacă faţă de orcare alt eeet BC, BA îdeleşte a d taţle: A B = Ø A B. (.) Defţa de a ete alablă ş etr cârle fte de eeete. Se cotată c şrţă că eeetele (), (), (3), (4), (5), (6) t eeete eleetare deoarece atfac ra codţe d (.). Pr rare, eeetele eleetare t eeete djcte (coatble)... Freceţă Să ree că e cotă eeretl arcăr zarl c 6 feţe, î el că e reetă arcarea a de ăr ft de or (de eel de or). Se a cotata, de eel, că îtr-o atfel de ere de de arcăr cfra aare de 5 or. Reetâd eeretl ateror, î aceleaş codţ ( arcăr), ete obl ă e obţă ăr dfert de aarţ ale cfre, care îă, or ocla î jrl alor 5: de eel de 4 or, de or, de 6 or ş.a..d.. Nărl de aarţ ale cfre d cele de arcăr reetate ale zarl ete det freceţă aboltă a aarţe 3

15 cfre. Raortl dtre fecare dtre acete ere de aarţ ş ărl total de arcăr (de eel 5 / =.5 4 / =.4 / =. 6 / =.6 ş.a..d.) e eşte freceţă relată a, a l, freceţă. Raţoaetl ş defţle de a e ot alca ş î cazl arablelor aleatoare cote, c ar f, de eel, ărarea reetată de ăr eagerat de or a e ăr X, etr care rezltatele obţte e ordoează î orde crecătoare: X, X,..., X, (.) de ete ăr ft. Aceta acoeră at teral e cara erelor reale (raortate, de eel, e aa abcelor X, ca î Fg. ). Iterall are lta a b X (aă). X (ă) ş reect Fg.. Rezltatele e ărător reetate Mărătorle ate î edere t cre î terall eţoat: a X b, =,,,. (.) Deeor ete tl ca terall coderat ă fe îărţt îtr- ăr oarecare de clae a de terale, de lăţe ΔX, c cetrele î ctele,,,. Î fecare dtre acete bterale e or afla ăr dfert k, k,, k de ărător. Coderetele de a e ot forla tetc b fora: k k. (.3) Nărl de clae e oate tabl c dferte forle, dec are caracter arbtrar. Î (Fotec & De e. Sălec, 988, g..) e recoadă: = l (). (.4) 4

16 (.8) Se otează c h (, X) fcţa freceţelor (relate) ale claelor atfel cottte, care e a detera aalog c -a rocedat ş î eeretl c caracter dcret: rezltâd edet: k h (, X), (.5) h (, X), (.6) h ( (.7), X) k. Aşa c rezltă char d relaţa de defţe, fcţa freceţelor relate dede a de cetrl clae coderate I c ş de ărea X a terall dtre clae, care a fot ale arbtrar. Dacă e ordoează îtr- tablo rezltatele obţte etr arabla aleatoare cotă ată î edere ş ae cetrele claelor coderate ş freceţele acetora: h (, X) h (, X)... h (, X), e e că -a obţt reartţa arable aleatoare cote X. Rerezetarea grafcă a reartţlor erce (rezltate d ărător) e oate realza î a lte odr, dtre care crba freceţelor (tă ş htograă - Fg. a) rec ş olgol freceţelor (Fg. b) t cele a gete. Fg.. Rerezetarea grafcă a fcţe freceţelor e arable aleatoare cote: a) htograa b) olgol freceţelor 5

17 Rerezetarea d Fg. are caracter ddactc deotrat, efd rezltatl or ărător cocrete, îă ajortatea eeretelor ractce t caracterzate de cofgraţ aeăătoare. Htograa e cotreşte atfel: e îcr e abcă ltele claelor etr fecare claă e cotreşte dretgh, care are ca bază (e abcă) terall clae ş ca îălţe freceţa clae. Aeăător c htograa e rereztă grafc ş olgol freceţelor (Fg. b) care rezltă d rea ctelor defte e abcă r cetrl clae ar î ordoată r freceţa clae..3. Probabltate.3.. Probabltatea teoretcă Atc cîd ărl ete fcet de are, dec atc câd eşatol tde ă a dele îtreg olaţ d care roe, fcţa freceţelor relate tde către fcţa de robabltate (care rereztă, e rîd, robabltatea clae la care e refer): l h k X P(, X). (.9), Se cotată atfel că fcţa de robabltate P(, X), la fel ca ş fcţa de freceţă h(,x) dede a de ozţa cetrl clae de care aceata aarţe ( ) c ş de ărea terall (ΔX) care, aşa c -a tablt, ete ale arbtrar. Petr a ela acet eaj, e îarte fcţa de robabltate c o cotată oarecare, de eel c lăţea terall Δ. Rezltã la ltă o altă fcţe f( ), care ete detă detate de robabltate a detate de reartţe: f P, X l, (.) d X care, ca ş robabltatea P(, X), ete o fcţe cotă, tegrablă. Î cotare e oate e îtrebarea: care ete robabltatea ca o ărătoare oarecare ă e afle tată b o ltă dată. Răl ete obţt r tegrarea corezătoare a detăţ 6

18 de robabltate / de reartţe f(). Fcţa F() obţtă ete detă fcţe de dtrbţe a arable aleatoare ată î edere Pelzer, 98, g. 36: F() = P = P - f () d. (.) Pr artclarzarea relaţe de a e ot obţe răr la ele îtrebăr care ter deeor î acttatea cretă: care ete robabltatea teoretcă ftezală dp, ca o ată ărătoare (î cazl cocret eaat ac o dtaţă d oarecare) ă e teze ître ltele ş + d: dp d + d = f()d (.) robabltatea teoretcă etr ca o ărătoare oarecare ă e afle ître doă lte a ş b: P a Fb Fa f a b P b P b a d. (.3).3.. Probabltatea lă Petr cazrle care ter frecet î acttatea ractcă cretă, de ete ăr foarte are dar ft, e accetă, de cele a lte or, că robabltatea ete eda artetcă a freceţelor relate ale eeetelor eleetare coderate. Coderaţle de a t alable câd e îdelec ate codţ. De eel, î cazl eeretl cottt d arcarea lă, reetată, a zar, trebe reectate rătoarele codţ ale ş oblgator: zarl trebe ă fe etrc (ca foră) ş ooge (ca trctră) ărl de eerete trebe ă fe cât a are. Eeretele reale atfac colet cele doă codţ eeţale eţoate a, ş ca rare, derlarea ş oberarea acetora ot f coderate colete. Probabltatea lă ete rerezetată de raortl dtre ărl cazrlor faorable ş ărl cazrlor oble, î oteza că toate cazrle t egal oble. D acet ot -a re a îate că robabltatea (freceţa ede) de aarţe a cfre la arcarea zar cât a corect cotrt (etrc ş ooge) ete de /6,5. Se ot da ş alte eele de calcl al robabltăţ le de rodcere a or eeete d ate eerete: robabltatea de a aărea o cfră ară (a ară) la arcarea zarl ete 3/6,5 7

19 îtr-o ră e află a ble albe ş b ble egre. Probabltăţle de etragere a e ble albe P(a) a a e ble egre P (b) e deteră c relaţle: P (a) = a a b P (b) = b a b, (.4) ş ded de erele de ble albe, reect egre, care e află î ră. Defţa clacă a robabltăţ le, rezetate ateror, oferă obltatea calclăr ale î area ajortate a cazrlor îtâlte î ractcă. Totş, etr ele taţ, aceata oate da răr eacte ş atfăcătoare. Atfel, de eel, c defţa eţoată a îate e oate detera robabltatea obţer e ate alor robable atc câd o ată dtaţă ete ărată î od reetat. De o ortaţă deoebtă etr ceea ce e a rezeta î cotare î aal ete rătoarea Defţe Doă eeete A ş B ale câ C e ec deedete dacă are loc egaltatea: P(A B) = P(A) * P(B). (.5) Recatlâd, e ot def rătoarele roretăţ ale robabltăţ le P e cî de eeete C (Mhoc, 954, Mhoc ş Urea, 96, Şabac, 965 ş. a.): P (Ø) = (.6) P(Ā) = - P (A) P (A) A C (.7) AC (.8) P(A) P (B) dacă A B A C B C. (.9).4. Eror îtâlătoare (aleatoare) Aşa c -a arătat î..., î otezele tlzate î aalzele care e or efecta î Teora relcrăr ărătolor geodezce e a ree că ărătorle t corectate de fleţele erorlor teatce. Fecare arablă îtâlătoare, î cazl otr - fecare ărătoare geodezcă, ete îoţtă de o eroare îtâlătoare (aleatoare), care are re ltle ş colee de rodcere, deedete de ecfcl ărător, î rl rîd, rec ş de odaltatea î care aceata ete obţtă ş e 8

20 care le-a eţoat î ca.. Pr defţe o arablă aleatoare X ete detă - deoală atc câd fecare dtre cooetele ale X ( =,,, ) ete o arablă aleatoare deoală. Petr fecare dtre acetea e oate detera robabltatea P( X ). Proretatea eţoată oate f terretată ş î rătorl e: rezltatele ărătorlor reetate ara e ate ăr arază ître ele, dar t ltate î terorl dtrbţe de robabltate aferete. Î od zal, erorle aleatoare oedă rătoarele caractertc a roretăţ coe: a.- erorle aleatoare c, î aloare aboltă, t lt a frecete a lt a robable decît erorle ar (rcl cazalt) b. - erorle aleatoare t a c decît o ată ltă (rcl ltat) c. - î cazl ăr are de deterăr, efectate ara e ate ăr, ărl erorlor aleatoare ozte ete egal c ărl erorlor aleatoare egate (rcl dtrbt) d. - robabltatea de a e rodce o ată eroare aleatoare ete fcţe a de ărea eror reecte (rcl robabltc). Î od oral, erorle ar e rodc a rar (t a ţ robable) î coaraţe c erorle c (care a o robabltate a are). Fcţa care eră otal roretăţle eţoate a ale erorlor aleatoare ete rerezetată î Fg. 3 fd coctă b derea de crba cloot Ga (Ga, 89) ş are ecaţa: î care: e aa t rerezetate ărle erorlor aleatoare e aa y t rerezetate ărl acetora y h Ce, (.3) C ş h t cotate, ara cărora e or rezeta ele efcaţ î cele ce rează e rereztă baza logartlor atral e =.7888 Coecţă: l e =. A e edea ş Aea 4. Rerezetarea grafcă a crbe cloot Ga ete dată î fgra de a jo, d care e oate cotata c şrţă erfcarea celor atr roretăţ rcale ale erorlor aleatoare. 9

21 Fg. 3. Grba cloot Ga Dacă e coară crba cloot Ga c rerezetarea grafcă a reartţe freceţelor relate ale e arable aleatoare cote (Fg. ) e cotată aeăăr edete. Aceata cofră afraţa că taţle care ter î ractcă rează legtăţ robabltce, a ale câd oll eeretl ete fcet de are (atfel îcât relaţa (.9) oate f terretată ş r efcaţle ale grafce)..4.. Probabltatea ftezală a e eror aleatoare Probabltatea ftezală a e eror aleatoare rereztă robabltatea dp ca o eroare ă abă ărea cră î terall ş reect +d d Fg.3. Aceata e oate detera c regla de calcl a robabltăţ le dată ţ a, raortâd rafaţa dretghl haşrat d Fg. 3 (care rereztă ărl de eror aleatoare cre î terall ftezal eţoat) ş rafaţa S a îtregl doe d terorl crbe Ga (care rereztă totaltatea erorlor aleatoare d îtregl eeret): dp = yd. (.3) S Coderâd S =, rezltă : dp = C e h d. (.3).4.. Probabltatea ftă a e eror aleatoare Probabltatea ftă ca o eroare ă fe cră ître ltele a ş b (Fg. 3) e oate obţe r tegrarea, î ab ebr, a relaţe de a : P(a, b) = C b e d. (.33).4.3. Certtdea rodcer e eror aleatoare Prodcerea e eror aleatoare c certtde are robabltatea P (S) = : a h

22 P(-, +) = C e h d =. (.34).4.4. Deedeţa dtre cotatele C ş h Se ree coct de la crl de Aalză ateatcă (a e edea ş Aea 3) rezltatl tegrale Eler - Poo: t e dt π. (.35) Dacă e efectează chbarea de arablă: relaţa (.34) dee: P(-, +) = ş r tlzarea olţlor (.36) ş (.37) e obţe: h = t (.36) h d = dt, (.37) C Relaţa de a edeţază deedeţa dtre cotatele C ş h. e t dt =, (.38) h h C. (.39) Pr rare, robabltatea ftă a e eror aleatoare e oate cre ş b fora: P(a, b) b h e a h d, (.4) î care tere a gr araetr ş ae h. Aceta ete det dce de recze, deoarece caracterzează recza e ărător, aşa c e a arăta ţ a dearte. Probabltatea rodcer e eror aleatoare î terall - ş reect + (dec î aloare aboltă eroarea ) e oate obţe d relaţle (.3) ş (.37). P h h h h e d e d. (.4) Deoarece erorle aleatoare a alor c, erea d terorl tegrale ateroare e oate dezolta î ere (a e edea ş Aea 4): e h - h rezltîd r tegrare ş ordoarea terelor: P h..., (.4) h3.... (.43) 3

23 .4.4. Eroarea ede robablă E a e gre ărător. Poder teoretce Eroarea ede robablă E a e gre ărător ete acea eroare etr care ărl erorlor a c, reect a ar, decît aceata t egale. Pr rare, î terorl doel deft de crba cloot Ga, eroarea ede robablă E a e gre ărător îarte cele doă rafeţe î cîte doă ărţ egale ( ' S S ş reect ' S S - î Fg. 4). Rezltă că robabltatea de rodcere a eror E, î abele taţ, făcâd abtracţe de e, ete egalã c /. Fg. 4. Eroarea ede robablă a e gre ărător. Marea eror robable a e gre ărător e oate dedce d rezolarea ecaţe E : de gradl III (.43), coderîd-e robabltatea P h h 3 3. (.44) Solţa ecaţe de a ete h =.4769, a îtr-o aroaţe fcetă: E,48. (.45) h D relaţa de a rezltă că etr eror robable E d ce î ce a c, factorl h dee d ce î ce a are. Aceata ete otaţa etr care, aşa c -a a eţoat ateror, aceta a rt derea de dce de recze.

24 Dacă e trodce otaţa de ete îtodeaa ăr ozt. Nărl h, e obţe d forla ateroară: c h, (.46) E h e eşte oderea teoretcă a ărător coderate, fd er roorţoal c ătratl eror ed robable a trata ş î alte ãrţ ale aall. E a e gre ărător. Dere oder e a Dacă e rereztă grafc rezltatele obţte etr doă eerete dferte (de eel er de ărător efectate ara e ate ăr), acel rezltat care are ordoata la orge a are (dacă = atc d relaţle (.3) ş (.39) rezltă y C h ) ete a rec (eeretl () î Fg. 5., î care h > h ). Fg. 5. Rerezetarea grafcă a erorlor obţte î doă er de ărător efectate ara e ate ăr.5. Paraetr (etator) tattc Varablele aleatoare care decr olaţle (î dezoltărle de atră teoretcă) a elecţle / odajele (î aalzele eeretale cocrete) e caracterzează rtr-o ere de araetr (etator) tattc, care ş-a găt o a are a o a că alcabltate î derele rar ale tehc. Î cotare e or eaa ace araetr tattc care t a de tlzaţ la relcrarea ărătorlor geodezce. 3

25 .5.. Paraetr tedţe cetrale Petr deterarea cele a be alor a e arable aleatoare (îtâlătoare) atc câd e de de ărător reetate ale e ate ăr, e foloec derş etator, char dacă aceşta oedă, î ele taţ, ş ate coeete Meda artetcă a eda ercă. Se coderă ăr ft de ăr aleatoare (îtâlătoare) rezltate d ărător reetate, efectate ara e ăr: Oberaţ o T Î aal e or tlza rătoarele coeţ de crere:,,...,. (.47) ector ş atrcle e or cre c caractere (c, reect ar) de t bold (de eel: a, B). Acetea trebe cofdate c ate ltere P, S, C, E, ş.a. folote etr a deea ate bolr a aţ oerator dcele eror T la ector a atrc dcă traa acetora (de eel: a T, B T ) atrcea eră a f otată c B -, ar atrcea eră geeralzată c B - Aşa c -a eţoat î trodcerea la acet catol, fecare cooetă d ectorl (.47) rezltă dtr- roce a lt a a ţ cole de ărare, î care ter ăr oarecare de oberaţ eleetare, fecare dtre acetea fd îoţtă de o eroare eleetară ecfcă. Acetea răâ, î geeral, acceble coaşter ae, dar, edet, fleţează rezltatl ărăr. O aloare de referţă oblă î relaţa (.), tă î acet catol araetr al tedţe cetrale, ete cottt de eda artetcă detă ş ede ercă, otată eaat: j j 4 T a eşatol. (.48) Î relaţa de a -a folot boll [ ], trod de către Ga, care e cteşte ă ş ete folot frecet î Teora relcrăr ărătorlor geodezce. C -a otat ectorl tate: = [... ] T. (.49) Deoarece eda artetcă e calclează c şrţă, a răa ş î rezet cel a folot araetr al tedţe cetrale. Î oteza că ărătorle reetate coderate t afectate de fleţe teatce, eda artetcă ete coderată etator ot (Neeer, ).

26 Alcaţa Se coderă rătoarele ărător reetate: 43.55, 43.57, 43.59, 43.55, 43.5, 43.6, 43.65, efectate ara e dtaţe. Se cere calcll ede artetce. Solţa rezltă d alcarea forle (.48) ş ete: colee: de D alcaţa lă de a, e ot dedce ele regl tle ş î alte taţ a atc câd toate ărle ate î edere la calcll ede artetce a o arte coă (î alcaţa coderată: 43 ), eda artetcă e realzează a etr cfrele arable (de dă rglă) dacă la îărţrea eceară la calcll ede artetce rezltă eact acelaş ăr de zecale c cel e care le-a at datele ţale, ete dcat ca rezltatl ă fe lat c o zecală î l Medaa ete acea aloare a e er tattce, ca de eel cea rerezetată dtaţele cre î (.47), c tere aşezaţ î orde crecătoare, care îarte era reectă î doă gre egale ca ăr de alor (Ceaşec, 98). Se dtg doă taţ: ărl ete ar ş atc : ărl ete ar ş atc : Alcaţa ( )/ (.5) / / Să e calcleze edaa etr datele ate î edere la Alcaţa.. (.5) Petr îcet e or ordoa datele î orde crecătoare: 43.5, 43.55, 43.55, 43.57, 43.59, 43.6, Medaa e a detera, î aceată alcaţe, c forla (.5) fd : Medaa are o roretate rearcablă care cotă î fatl că ete fleţată de alorle etree ale arablelor coderate, roretate e care o are eda artetcă. Valorle etree ot rooca (abtracţe făcâd de e) aarţa or eror ar (te eor ş eror groolae) î calclarea recze ărătorlor, aect care a f tratat î aragrafl rător. Datortă roretăţ eţoate, edaa ete coderată araetr robt (Neeer, ). 5

27 Meda a a eda terall, otată I, e deteră, de aeeea, dă ce arablele aleatoare a fot aşezate î orde crecătoare. Meda a a eda terall e deteră ca ede artetcă a alorlor etree: Alcaţa 3 o I a. (.5) Să e calcleze eda a (eda terall) etr datele ate î edere la Alcaţa. Rezltatl ete : Coetar Ce 3 araetr de etare a tedţe cetrale oferă răr dferte la o ră îtrebare eeţală care e e î Teora relcrăr ărătorlor geodezce, ş ae cea refertoare la deterarea cele a be alor dtr- şr de arable aleatoare (îtâlătoare). Î eell cocret eaat, rezltatele dferă lt ître ele, ceea ce e etrece, î rc, î ajortatea cazrlor îtâlte î ractcă. Deş eda artetcă îdeleşte caltatea rearcablă a edae, aceata răâe cel a folot araetr de etare a tedţe cetrale î cadrl Teore relcrăr ărătorlor geodezce Meda teoretcă E( ). Să adte că cele ărător coderate âă ac acoeră îtreaga olaţe. Petr dezoltărle lteroare e or aea î edere ăr oarecare de arable aleatoare tate îtr- teral ftezal d. robabltăţ le e oate cre: dp de de rezltă, r tlzarea relaţe (.): D defţa, (.53) = dp * = f ( ) d. (.54) Edet, etr îtreaga olaţe, rerezetată r îtregl eget, etă ăr de ărător. Meda acetora î cazl deal re ac ete detă î odr dferte î lba roâă: aloarea aştetată / cotată, eraţă ateatcă ş.a. Bjerhaar (973) tlzează terel de ede teoretcă e care îl o rela ş î acet aal, folod etr aceta otaţa ~. Aalog c ( - 48) e oate cre r rare: 6

28 d f ~ l l f d = E( ), (.55) de E rereztă oeratorl ede teoretce î coeţa eţoată a. Î cazl e arable aleatoare dcrete, eda teoretcă ete: Oberaţe Î eroae cazr eda teoretcă ăr ărate ~ = E ( ) = f. (.56) ~ ete detă ş aloare reală a aloare adeărată a ş care a f otată l c. Codţa de egaltate eţoată e îdeleşte îă îtodeaa. Itre cele doă ăr etă deeor factor de ecetrctate δ (det ba î lba egleză) - Pelzer, 98 g. 3: ~. (.57) Atc câd aloarea adeărată ş eda teoretcă ale e arable aleatoare cocd, aceata d ră e eşte edeforată. I Teora relcrăr ărătorlor geodezce e coderă, aroae fără eceţe, că arablele aleatoare oedă aceată roretate, deoarece, î caz cotrar, calclele -ar colca etre de lt. I cotare e reztă, fără deotraţ (care ecetă aţ corezătoare ş ot f rărte î aalele de tattcă) ele regl eleetare de acţoare c edle teoretce. Se a î edere arablele aleatoare de fora c detatea de robabltate f( ) ş eda teoretcă a acetora ~ deftă de (.55). Fe o altă arablă aleatoare de fora y deedetă de ra arablă rtr-o relaţe lară oarecare: Atc: y = ( ). (.58) detatea de robabltate f (y ) a arable aleatoare y e calclează c relaţa: d f f ' dy f y (.59) y eda teoretcă y~ e deteră c forla: y~ E y f d. (.6) - Forla de a ete alablă etr orce taţe î geeral. Petr lte taţ artclare, câd fcţle ate î edere t oarecar, alcarea forle (.5) ete dfcl de realzat. De 7

29 aceea î Teora relcrăr ărătorlor geodezce fcţle care ter t ade, î realabl, la o foră lară (a e edea ş Aea 4), ceea ce adce lfcăr rearcable î calcle. Atfel, dacă e are î edere o relaţe de fora: y = a + b, (.6) de arablele ş y a îtodeaa alor c, ar cotatele a ş b t cocte a şor de deterat, forla geerală (.6) ete îloctă de o relaţe lt a l de alcat: y~ E(y ) = a + b ~. (.6) Partclarzare: Fe arabla aleatoare y rezltatl e e de arable aleatoare : Meda teoretcă y k. (.63) y~ e obţe îâd edle teoretce ale arablelor aleatoare y~ E k y E. k ~ : ~ (.64) Î taţa î care arabla alearoare y roe d rodl or arable aleatoare : eda teoretcă k o y, (.65) y~ e obţe r ltlcarea, ître ele, a edlor teoretce ale arablelor aleatoare Oberaţ ~ : y~ = E k y E k ~. (.66) Sboll de ltlcare are efcaţa k... k. O alcaţe a relaţlor dede ateror a e î edeţă o roretate rearcablă a ede artetce. Dacă e accetă oteza ca c a dtre arablele aleatoare ate î edere î relaţa (.47) ete afectată de eror teatce, atc toate acetea t caracterzate de aceeaş ede teoretcă: ~ ~ ~ ~. (.67)... Ca rare, aloarea de aştetare a ede artetce (.48) e a tea detera atfel: 8

30 E E j j * ~ ~ E. (.68) j j C alte cte, atc câd î arablele aleatoare etă fleţe teatce, eda artetcă ete o etare edeforată a ede teoretce.5. Paraetr îrăşter 9 ~ (a e edea ş 3...). Aşa c -a ecfcat îcă d rele aragrafe ale aall, deterarea tedţe cetrale a a alor jloc a a cele a be alor etr o ere de arable ată re aalză (la ltă etr îtreaga olaţe) cotte grl obect al teore relcrărlor ărătorlor geodezce. Ete eceară, î aceeaş ără, coaşterea îrăşter a a arabltăţ ărlor care co era coderată, î raort de tedţa cetrală. Î lbajl tlzat î od obşt î teora erorlor, acet obect ete echalet c deterarea or araetr care ot face etăr ara recze e care o a fecare dtre arablele aleatoare ate î edere, rec ş ara recze lor î aabl. Î acet aragraf e or rezeta etr îcet oţle ş defţle folote frecet î tattcă, dă care e or face artclarzăr ş coletăr c ceea ce -a folot ş e foloeşte îcă, de o eroadă are de t, î teora erorlor Altdea. Dacă e refer, î cotare, la şrl de arable (.47), altdea a ete deftă de relaţa: a. (.69) a Dacă e refer cocret la ărătorle ate î edere î cele 3 alcaţ ateroare, altdea a =.5. Noţ de altde d tattcă î corede oţea de ecart de teora erorlor, la care ea refert î Dera (araţa). Abaterea tadard. Aşa c eda artetcă ete araetrl rcal folot etr etarea tedţe cetrale, dera ete araetrl cel a tlzat etr etarea îrăşter. Dera a araţa ercă a e elecţ, D( ), otată, ete rerezetată de eda ătratelor abaterlor acetora faţă de eda lor teoretcă. Coderâd aceeaş elecţe (.47) rezltă r defţe: o - ~. (.7)

31 Abaterea tadard ercă, otată, a aceleaş elecţ ete rerezetată de rădăca ătrată a dere: = - ~. (.7) Pr defţe, atât dera cât ş abaterea tadard erce a a el ozt. Atc câd, dec atc câd e aalzează îtreaga olaţe, e obţ araţa (dera) teoretcă ş reect abaterea tadard teoretcă: o. (.7) Î lte doe ete fcetă a deterarea ror-ză a araetrlor global (.7) ş (.7). Î teora relcrăr ărătorlor geodezce ete eceară o aalză de aăt a cooetelor acetora. Petr a e da, î cotare, eer caracter a aroat de acttatea ractcă d geodeze, e a îloc ectorl teoretc (.47) c ector al ărătorlor, otat : T,,...,. (.73) Raortâd ărătorle ( =,,, ) la eda teoretcă 3 ~ (care îdeleşte ac roll alor de referţă d forla (.)) e obţ erorle adeărate a erorle teoretce, e care le o ota : ε - ~ =,,,. (.74) Acete ăr a caracter teoretc, abtract, deoarece aloarea de referţã ecoctă d ct de edere ractc. Scre relaţ (.74) a dezoltat: Îâd relaţle (.74) rezltă: ε ε ~ ~ ~ răâe (.75). ~ ~ D defţa ede artetce (.48) e oate cre :. (.76), (.77)

32 atfel îcât relaţa (.76) dee: ~. (.78) Erea d lta arateză ete eroarea teoretcă a ede artetce, aâd foră lară c orcare dtre relaţle (.74). Rezltă:. (.79) Pr defţe, care are orgle î lcrărle l Ga, araţa ercă obţtă d tlzarea erorlor teoretce e dedce d (.7) fd eda ătratelor erorlor teoretce: j j ε T ε. (.8) Aşa c -a a eţoat, atc câd (dec câd e aalzează îtreaga olaţe), araţa ercă ete îloctă de araţa teoretcă otată dera arable aleatoare ş e otează D ( ) :, care a ete detă ş D ( ) = = l ( ε T ε). (.8) Petr araţa teoretcă a dera ete tl ă e a reţă ş rătoarele obltăţ de erare, care e ot erfca c şrţă d relaţle ee ateror: = l E(ε T ε) = E(( - ~ ) ) = E( ) - ( ~ ). (.8) Ete eceară blerea e roretăţ a erorlor reale. Plecâd de la relaţa de defţe (.7) rezltă etr orcare dtre erorle reale: a : E ( ) E ( ) - E ( ~ E l Ecaţa de a e î edeţă fatl că E 3 ) ~ - adeărate ε, adcă de recza de ărare. Pr rare E recze.. Relaţa (.79) rdcată la ătrat oate f cră detalat b fora:... ~ =, (.83) (.84) dede de ărea ror ză a eror oate f folot ca etator de. (.85)

33 Terel d artea tâgă a relaţe de a are rezltatl eact: ε (.86) Deoarece erorle teoretce a caracter aleator, acetea îdelec crterle d.4., atfel îcât arateza d ebr dret al relaţe (.86 tde către zero. De aceată roretate a erorlor teoretce e a face z î a lte râdr î aal. Î acete codţ, d ltle relaţ e obţe:. (.87 Rezltă rătoarele relaţ ître araţa ede artetce ş araţa ercă, otată c î relaţle (.7 ş.8):. (.88) Abaterea tadard ercă, otată c î relaţa (.7) ete detă î Teora relcrăr ărătorlor geodezce eroarea ede a e gre ărător, fd rerezetată de radcall de ordl do d araţa ercă coreodetă:. (.89) Deoarece erorle teoretce t deterable, forlele (.8) ş (.89) a caracter teoretc, abtract. De aceea, etr alcaţ ractce ete eceară dedcerea, î cotare, a or forle î care ă e oereze c alte tr de eror, care ot f calclate. Dfereţele dtre ărătorle ddale ec eror aarete : o j, (j =,,, ) ş eda artetcă e e = e e e = -. (.9) Oberaţ Trecerea de la erorle aarete e, la corecţle aarete e realzează doar r chbarea eelor: e = -. 3

34 I Teora relcrăr ărătorlor geodezce corecţle aarete ter î dere tad ale relcrărlor, c ar f: * î aşa tele relcrăr locale, care a loc, de eel, la coearea î taţe a oberaţlor ghlare, a la relcrarea ărătorlor efectate reetat ara e ăr (dtaţe, dfereţe de el ş. a.. d.) * la relcrarea ărătorlor efectate î reţelele geodezce, î care ot tere a lte tr de ărător. I lcrăr a dezoltate (Pelzer, 98, Ghţã, 983 ş.a.) etr cele doã tr de corecţ aarete e foloec otaţ dferte ' ş reect, etr a cta deoebrle eeţale ître acete doă categor de corecţ aarete. Petr a îcărca î od letar aall de faţã c otaţ rea dere, corecţle aarete or f otate îtotdeaa c, lăâd cttorl ă facă adatărle care e. Erorle aarete defte r relaţle (.9) îdelec roretatea geeral alablă etr ărle care e calclează ca abater faţă de eda artetcă. Iâd e râd ărle d acete relaţ rezltă: e. (.9) Degr, relaţa de a ete îdeltă ş de a corecţlor aarete:. Dfereţa dtre eroarea teoretcă j, deftă c relaţa (.74) ş eroarea aaretă e j, deftă c relaţa (.9) ete: a î detal: j j j ~ j e, (.9) e ~ e 33 e e e e e. Pr rdcarea la ătrat a ltelor relaţ ş îarea coreodetă a rezltatelor e obţe: εε ee ε e ε (.83). (.94 Deoarece erorle aarete îdelec roretatea (.9) lta forlă dee: εε ee ε. (.95)

35 b fora: Dacă e a î edere, cce, forlele (.87) ş (.88), relaţa de a e oate cre ş ee. (.96) Itrodcâd acet rezltat î relaţa (.89) e obţe dă rdcarea la ătrat: de de e obţe: ee, (.97) ee. (.98) D relaţle (.98) ş (.89) ş îreă c oberaţa e e ot cre rătoarele egaltăţ: 34 ee. (.99) Relaţle de a a o releaţă ecfcă î calclele ractce, de e foloec cret corecţle aarete a ', dă caz, ş erorle e. Pr rare, relaţle folote î Teora relcrăr ărătorlor geodezce t: araţa ercă: - - T (.) abaterea tadard ercă tă î od cret eroarea ede ( ătratcă) a e gre ărător:. (.) Î lcrăr a dezoltate de Teora erorlor ş etoda celor a c ătrate (Botez, 96, g. 44) e arată că raortl dtre eroarea ede a e gre ărător ş eroarea ede robablă ete: E 3. (.) E Pr rare, etarea r eroarea ede a recze de ărare ete a acoertoare decât r eroarea ede robablă E. Ecartl a a deft î... ecfc at şr de ărător trebe ă fe a c decât toleraţa. Î lcrărle a ech (Botez, 96, Wolf, 968 ş.a..) -a tlzat î acet co relaţa:

36 a toleraţa = 3, (.3) care deş are caracter erc, a at ş a are îcă o alcabltate rearcablă. Eroarea ede a ede artetce Folod forla e fcţ de ăr ărate drect (a e edea ş aragrafl 3..), rezltă forla de deterare a eror ed a ede artetce: a a î detal: (.4). (.5) Pr rare, raortl r dtre ş ete : r, (.6) ceea ce e oferă ele coclz de ord ractc, ce ot f rărte ş î Fg. 6. Fg. 6. Rerezetarea grafcă a raortl r Decreşterea abater tadard erce a ede artetce î raort de cea a e gre ărător ete edet fcţe de ărl de ărător. Dar, aceată decreştere ete foarte roţată doar etr taţa câd ete c, deed d ce î ce a ţ efcată e ără ce ărl de ărător creşte. D aceată oberaţe e derde coclza că creşterea ărl de ărător ete ate lte a adce îbătăţr releate î aloarea ede artetce. 35

37 Petr realzarea acet dezderat ete lt a efcetă creşterea recze de ărare rorză (o eroare cât a că) ceea ce e realzează r tlzarea e aaratr a erforate a / ş a eroal a be regătt ş.a..d. Alcaţa 4 Se coderă ărătorle reetate ara dtaţe, c care -a efectat Alcaţa. Acetea t trecte î tabell (coloaa ). Se cere ă e detere eda lor artetcă ş rcal dcator de recze eaaţ î acet catol Tabell. Calcll ede artetce ş al dcatorlor de recze zal Nr. Mărător Corecţ aarete crt. I d c a t o r d e r e c z e [] [] Abaterea tadard ercă (eroarea ede (ătratcă)) a e gre ărător (.): = Eroarea ede robablă a e gre ărător (.): E = Eroarea ede a ede artetce (.5) = Raortl r (.6): r = Toleraţa (.3): 3 = Ecartl a d şrl de ărător: a = Coclze: ărătoarea e îcadrează î toleraţa = =. ecfcă (.3): a 3.6. Moetele e reartţ Î cotare e a aea î edere o ere tattcă aeăătoare c era (.47), care coţe cooete, a căror freceţe relate t otate c: h. Se eşte oet de ordl k î raort c o aloare de referţă, eda artetcă a terlor k a abaterlor alorlor ere 36

38 tattce coderate faţă de o aloare de referţă (Ceaşec, 98). Eoetl k e eşte ordl oetl. Atc cîd aloarea de referţă ete =, oetl a f otat k ş a f îoţt de c atrbt letar. Dacă aloarea de referţă ete = (eda artetcă) oetl a f otat M k ş e a oet cetrat. Se reztă î cotare câtea eele: h h ( ) (.7) (.9) M M h h ( ( - - ) ). (.8) (.) Se cotată că oetl de ordl ete eda artetcă a ere tattce. Moetl cetrat de ordl ete l (a abaterlor alorlor şr faţă de eda artetcă). Moetl cetrat de ordl ete dera ere. Se reztă deotrarea ea dtre afraţle de a : M Vector de ăr îtîlătoare (aleatoare) Î acet catol -a at î edere, âă ac, ărător reetate ara e gre ăr. Î acttatea ractcă ter, de reglă, ărător reetate, corezător, ara ăr oarecare de ăr, reetare care e oate face lta (de către a lţ oerator) a cce de către acelaş oerator. Rezltă atfel ector de ăr îtâlătoare (aleatoare) care ete îoţt de ectorl erorlor aleatoare coreodete. Proretăţle, oţle de bază ş coecţele care -a ded î aragrafele ateroare e or geeralza ş coleta, dă caz, î cotare, î aceată oă oteză..7.. Prcl etode celor a c ătrate Se ree că -a ărat ăr (de eel dtaţe) de ăr oarecare de or. Fecare ăre ărată are o ată robabltate fteală de rodcere de fora (.3). Ete tl ca î cotare ă e trodcă totş ele odfcăr ş artclarzăr faţă de taţa teoretcă ată î edere î.4.. : trecerea de la eleete ft c dp la eleete fte P oerarea c corecţ aarete î locl erorlor 37