Continutul tematic al cursului

Transcript

1 MATEMATICI FINANCIARE ŞI ACTUARIALE Obectvul prcpal al cursulu este de a asgura baza teoretcă de îtelegere ş fudaetare a aparatulu ateatc utlzat î cadrul uor dscple de specaltate. Cursul este structurat î raport cu obectvul dotăr vtorlor ecooşt ş specalşt cu struetele ateatce de operare ş gâdre, petru a f capabl să fudaeteze deczle adecvate, opte, î doele lor de actvtate. Aceste captole sut drect oretate spre aplcarea lor î ecooe ş corelate cu dscplele de bază ş de specaltate pe care le vor parcurge studeţ, cofor plaulu de îvăţăât. Cotutul teatc al cursulu Eleete de teora probabltăţlor ş statstcă ateatcă cu aplcaţ î ecooe. Eveete, câp de eveete. Defţa clască ş defţa aoatcă a probabltăţ. Propretăţ. Câp de probabltate. Probabltate codţoată. Varable aleatoare udesoale, defţe, propretăţ. Fucţa de repartţe. Valor ed ş oete ale ue varable aleatoare. Propretăţ. Fucţa caracterstcă. Varable aleatoare bdesoale. Corelaţe. Schee clasce de probabltate: Beroull, Posso, repartţa orală, repartţa χ, Studet ş repartţa F. Eleete de statstcă ateatcă: Teora selecţe. Teora estaţe. Metoda verosltăţ ae Eleete de teora grafurlor petru fudaetarea decze î MFC. Grafur: cocepte, defţ. Matrcea druurlor totale, teorea Che petru druur haltoee. Graf codesat: algortul Che, algortul Kauffa. Druur e ş ae îtr-u graf: algortul Bella - Kalaba, algortul Ford. Stud de caz 6. Reţele de trasport: flu a îtr-o reţea; algortul Ford - Fulkerso. Aplcaţ î fudaetarea deczlor Mateatc facare 7. Dobâda splă. Defţe, forule de calcul. Operaţu echvalete cu reg de dobâdă splă. Dobâdă copusă. Defţe, forule de calcul. Operaţu echvalete cu reg de dobâdă copusă 8. Procet ş rsc de plasare. Devalorzare. Scot splu ş scot copus 9. Plăţ eşaloate, atcpate ş postcpate. Valoarea actuală ş valoarea fală. Operaţu echvalete. Plăţ eşaloate fracţoate. Plăţ eşaloate geeralzate. Îpruutur Mateatc actuarale. Bazele ateatc actuarale: fucţ boetrce, fucţa de supraveţure, speraţa de vaţă. Propretăţ. Tabele. Asgurăr vagere: factor vager de actualzare

2 . Cotracte de asgurare vageră: tpur de cotracte ş autăţ vagere. Deducerea odelelor ateatce corespuzătoare. Folosrea tabelelor. Calculul factorlor de actualzare î cotractele de asgurare vageră câd u se pot folos tabelele estete. Rete vagere auale î progrese crescătoare. Tpur de cotracte. Deducerea odelelor ateatce corespuzătoare. Plăţ vagere fracţoate. Tpur de cotracte. Asgurarea de pes de-a lugul veţ actve. Asgurăr de deces. Bblografe a oblgatore. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. Mateatc petru ecooşt, Ed. FRM, Bucureşt,. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R., Eleete de ateatc ecooce, Ed. FRM, Bucureşt,.. BACIU A. Mateatc aplcate î ecooe ş faţe, Ed. FRM, Bucureşt,. DUDA I., Eleete de algebră petru ecooşt, Ed. FRM, Bucureşt, OPRESCU GH., Mateatc petru ecooşt, Ed. FRM, Bucureşt, Bblografe facultatva. PURCARU I. Mateatc facare, Vol I ş II, Ed. Ecoocă, 99.. POPESCU O. ş colab. Mateatc aplcate î ecooe, Vol. I ş II, Ed. Ddactcă ş Pedagogcă, Bucureşt, 99.. DANTZIG,G., B., ş colab., Prograarea lară a ssteelor a., (trad.)vol. I, II ş II,I Ed. Tehcă, Bucureşt, 99.. LENNARTH., JALMARSON, OPRESCU GH., ş colab., Macroecooe o abordare cattatvă, Ed. Oa, Bucureşt, 99.. Prezetarea lectlor (captolelor)

3 . Eleete de teora probabltãtlor s statstcã ateatcã cu aplcat î ecooe (DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. Mateatc petru ecoost, Ed. FRM, Bucurest, 7, pag. 8-) Cocepte chee Câp de eveete, eveetul sgur, eveetul posbl, eveete cotrare, eveete copatble, eveete copatble, eveete eleetare, eveete copuse, eveete depedete, probabltate codţoată, varable aleatoare, caracterstc uerce, fucte de repartte, varable aleatoare de tp cotuu, oetele ue varable de tp cotuu. Câp de eveete.. Câp de eveete. Probabltate Teora probabltăţlor studază legle după care evoluează feoeele aleatoare. Vo da eeple de feoee aleatoare: Defta. Pr epereţă î teora probabltăţlor se îţelege orce act care poate f repetat î codţ date. Defta. Toate stuaţle legate de epereţă ş despre care pute spue, cu certtude, că s-au produs sau u, după efectuarea epereţe, poartă uele de eveet. Defta. Eveetul sgur (otat Ω) este u eveet care se realzează cu certtude la fecare efectuare a epereţe. Defta. Eveetul posbl ( ) este eveetul care u se produce codată la repetarea epereţe. Eveete cotrare: Dacă otă cu A eveetul aparte uea d feţele, la arucarea uu zar ş B aparta uea d feţele,,, 6. Se observă că atuc câd u se produce eveetul A, adcă atuc câd u apar feţele sau, se produce eveetul B, adcă obţe ua d feţele,, sau 6 ş vers, câd u se produce eveetul B se produce A. Spue că eveetele A ş B sut cotrare. Defta. Îtotdeaua uu eveet î corespude u eveet cotrar, a căru producere îseaă, pr defţe, realzarea prulu. Eveetul cotrar lu A se otează cu A, CA, A C. Sut adevărate relaţle: A A, Ω, Ω. Eveete copatble. Eveete copatble Defta 6. Eveete A ş B se uesc copatble dacă se pot produce sulta, adcă dacă sut rezultate care favorzează atât pe A, cât ş pe B. Defta 7. Eveetele A ş C se uesc copatble dacă u se pot produce sulta, adcă dacă u se pot produce sulta, adcă dacă u estă rezultate care favorzează atât pe A cât ş pe C.

4 Eveet plcat de alt eveet Defta 9. Vo spue că eveetul A plcă eveetul B sau că eveetul B este plcat de eveetul A, dacă B se produce or de câte or de produce A. Orce eveet plcă eveetul sgur: A Ω, A. Operaţ cu eveete Defta. Fd date două eveete A ş B, u reuuea lor ş o otă cu A B, eveetul a căru producere costă d producerea a cel puţ uua d cele două eveete sau A sau B. Defta. Itersecţa eveetelor A ş B, otată cu A B, costă d producerea sultaă a eveetelor A, B. Eveete eleetare. Eveete copuse Defta. U eveet A Σ (ulţea eveetelor asocate uu eperet) este copus dacă estă două eveete B, C Σ, B A, C A astfel îcât A B C. Î caz cotrar eveetul se ueşte eleetar. Notă eveetele eleetare cu w, w,..., w, ar î acest caz Ω {w, w,..., w } ş Σ Ρ (Ω) (ulţea părţlor Ω). Defta. Mulţea eveetelor asocate uu eperet se ueşte câp de eveete al eperetulu respectv.... Probabltate pe u câp ft de eveete Defta. Se ueşte probabltatea eveetulu A, A Σ, raportul dtre uărul cazurlor favorable realzăr eveetulu A: ş uărul cazurlor totale:. Dec P ( A). Observat. Aceasta este defţa clască a probabltăţle ş se poate folos ua î eperete cu eveete eleetare egal posble.. P(Ω). P(A). Dacă A A A ş A A atuc P(A) P(A ) + P(A ).. Eveetele eleetare sut egal probable (au probabltatea /). Aşadar geeralzâd î cazul uu câp ft de eveete (Ω, Σ) o probabltate pe acest câp va f deftă astfel: Defta. Se ueşte probabltate pe Σ o aplcaţe P : Σ R care satsface aoele: () P(A) ( ) A Σ () P(Ω) () P(A A ) P(A ) + P(A ) ( )A, A Σ cu A A. Propretatea () se etde la orce uăr ft de eveete copatble două câte două.

5 Dec, dacă A A,,, PΥ A P( A ) Defta 6. Nu câp de probabltate ft, u câp ft de eveete (Ω, Σ) îzestrat cu o probabltate P, otat (Ω, Σ, P). Propretăţ: P ) ( )A Σ, P(A C ) P(A) P ) P( ) P ) ( )A Σ ave P(A) P ) ( )A, A Σ A A atuc P(A ) P(A ) P ) ( )A, A Σ ave P(A A ) P(A ) + P(A ) P(A A ) P 6 ) P(A A ) P(A ) + P(A ) ( )A, A Σ Eveete depedete. Probabltate codţoată Defta 7 Eveetele A, B ale câpulu de probabltate (Ω, Σ, P) sut depedete dacă: P(A B) P(A) P(B) Defta 8 Fe (Ω, Σ, P) u câp de probabltate, A,B Σ, P(B) Nu probabltate a eveetulu A codţoată de eveetul B(probabltatea sa reealzeze eveetula î poteza că eveetul B a avut loc) raportul P ( A B) otatp ( A / B ) P B Notă ş P( A / B) P (A) Obs. ) Aalog pute def P( A / B) B P ( A B) P( A), P(A) ) Î cazul î care eveetele A ş B sut depedete ave: P B (A) P(A) sau aalog P A (B) P(B)... Varable aleatoare. Caracterstc uerce Fucte de repartte Ua d oţule fudaetale ale teore probabltăţlor este aceea de varablă aleatoare. Eveetele uu câp de probabltate u sut, prcpal, ăr î îţelesul atrbut acestora î ştţele aturale sau tehcă; ele se descru îsă cu autorul uor ăr avâd valor reale ş care, î geeral, sut rezultatul uor ăsurător. Prcpalul ert al actuale ssteatzăr a calculu probabltăţlor costă î defrea varablelor aleatoare, dec a ărlor pe care le preztă eperetul drect, sau teorle destate să-l terpreteze. Dacă îţelege pr varablă aleatoare o fucţe reală deftă pe ulţea eveetelor eleetare asocate eperetulu cosderat vo putea lustra pr eeple tpce petru teora probabltăţlor cu se trece de la u eveet la o varablă aleatoare ş aue:

6 ... Varable aleatoare dscrete Fe { Ω,Σ, P} u σ câp de probabltate ş ( ) Σ I uărabl) de eveete. Ssteul uerc P A u sste coplet (ft sau p A, I, se ueşte dstrbuţa σ câpulu de probabltate. Defţe.9. Nu varablă aleatoare dscretă o fucţe ξ deftă pe ulţea eveetelor eleetare ω Ω cu valor reale dacă. ξ a valorle, I ; { } Σ. ωξ( ω), I. O varablă aleatoare dscretă petru care I este ftă se ueşte varablă aleatoare splă. Scheatc varabla aleatoare ξ se otează pr ξ : p, I I p. (.) Tabloul (.) se ueşte dstrbuţa sau repartţa varable aleatoare ξ. Nuărul produselor defecte dtr-u lot eaat, uărul de defecţu care apar îtr-o aută peroadă de fucţoare a uu dspoztv, dcatorul uu eveet A sut varable aleatoare dscrete. I Faptul că p e sugerează deea că această suă se repartzează îtr-u aut od ître aceste valor, dec d puct de vedere probablstc o varablă aleatoare este coplet deterată dacă se dă o astfel de repartţe. Vo stabl o astfel de lege de repartţe. Ua d forele cele a sple î care pute reprezeta o astfel de lege este fora scheatcă (.) sau sub fora uu tabel. Κ Κ p Κ p Κ p p p { } Defţe. Fe ξ ş η două varable aleatoare defte pr ξ ( ω) petru ω A, (,,... ) (.) η ( ω) y petru ω B (,,... ) B fd două sstee coplete de eveete. Spue că varablele aleatoare ξ ş η A ş { } sut depedete, dacă petru orce ş ave P( A I B ) P ( A ) P( B ). (.) Dstrbuţa lu ζ ξ + η se ueşte copuerea lu ζ ş η. Spre eeplu fe varablele aleatoare sple

7 ξ : Λ p Λ p, y Λ y η : q Λ q Varabla aleatoare ξ + η are tabloul de dstrbuţe + y + y Λ + y Λ + y ξ + η : p p Λ p Λ p ude p P ξ ω + η ω + y P ωξ ω Ι ωη ω y cu cu Dacă ξ ş η sut depedete ( ) ({ } { }) p. p p q. Varabla aleatoare ξη are tabloul de dstrbuţe y y Λ y ξη : p p Λ p ( ξ( ω) η( ω) y ) P ωξ( ω) Λ Λ p y ({ } { ωη( ω) y }) p P Ι Operaţle de suă ş produs se etd la orce uăr ft de varable aleatoare. Rezultă dec: Puterea ue varable aleatoare are tabloul de dstrbuţe k k k Λ ξ : p Λ pk k k deoarece P ( ξ ( ω) ) P( ξ( ω) ) p. Iversa ue varable aleatoare cu valor eule are tabloul de dstrbuţe ξ Λ :. p Λ p ξ Dacă varabla aleatoare η adte versă, atuc def câtul ξη ş are tabloul de η dstrbuţe ξ Λ Λ : y y y. η p Λ p Λ p O costată a poate f terpretată ca o varablă aleatoare deftă pe orce ulţe de eveete eleetare, ar tabloul e de dstrbuţe terpretată ca varablă aleatoare va f a a : dec vo putea face totdeaua operaţ cu varable aleatoare ş costate.

8 ... Moetele ue varable aleatoare dscrete Moetele ue varable aleatoare dscrete sut valorle tpce cele a frecvet utlzate î aplcaţ. Defţe. Fe ξ o varablă aleatoare dscretă care a valorle cu probabltăţle p, I. Dacă sera I este absolut covergetă, epresa p ( ξ) M p () se ueşte valoare ede a varable aleatoare dscrete ξ. Dacă ξ este o varablă aleatoare splă care a valorle p,..., I p, atuc valoarea ede va f M ( ξ),..., p. () Vo da î cotuare câteva propretăţ ale valorlor ed. cu probabltăţle (P). Dacă ξ ş η sut două varable aleatoare dscrete defte ş dacă M ( ξ) ş M ( η) estă, atuc estă valoarea ede M ( ξ + η) ş M ( ξ + η) M ( ξ) + M ( η). (6) Pr recureţă, se obţe: (P). Fe ξ k ( k,..., M ξ k k estă ş ) varable aleatoare dscrete. Dacă M k ξk k M ( ξ ) k. (7) M ξ estă, atuc (P). Fe ξ o varablă aleatoare dscretă ş c o costată. Dacă M ( ξ) estă, atuc M ( cξ) estă ş M ( cξ) cm ( ξ). (8) Propretatea rezultă edat d defţe ş aue M cξ p c c p cm ξ. Propretăţle (P) ş (P) coduc la: (P). Fe ξ k ( k,..., ) varable aleatoare dscrete ş k k c, costate. Dacă M ξ, ( k,..., ) estă, atuc M c k ξk estă ş k M ckξk ckm ( ξk ). k k (9) ξ M ξ este ulă. η se ueşte abaterea varable aleatoare ξ. (P). Valoarea ede a varable aleatoare η k

9 (P6). Deoarece ( ξ) M este o costată, valoarea ede a ue costate este aceea costată, dec ( ξ M ( ξ) ) M ( ξ) M ( ξ) M. Iegaltatea lu Schwarz. Fe ξ ş η două varable aleatoare dscrete petru care estă M ( ξ ) ş M ( η ). Atuc ( ξη) M ( ξ ) M ( η ) M. () (P7). Dacă ξ ş η sut două varable aleatoare dscrete depedete ş dacă M ( ξ) ş M ( η) estă, atuc M ( ξη) estă ş ( ξη) M ( ξ) M ( η) M. () Defţe. Fe ξ o varablă aleatoarea dscretă ş r u uăr atural. Dacă estă r valoarea ede a varable aleatoare ξ, atuc această valoare ede se ueşte oet de ord r al varable aleatoare ξ ş se otează α r r ( ξ) ( ξ ) Valoarea ede a varable aleatoare varable aleatoare ξ ş se otează β r r M k pk. () k r ( ξ) ( ξ ) r ξ se ueşte oet absolut de ord r al r M k pk. () k Defţe. Fe o varablă aleatoare dscretă ξ. Moetul de ordul r al varable aleatoare abatere a lu ξ se ueşte oet cetrat de ordul r a lu ξ ş se otează ( ξ) α ( ξ ( ξ) ) µ r M Moetul cetrat de ordul do a varable aleatoare dscrete ξ se ueşte dsperse r. sau varată ş se otează pr D ( ξ) sau ( ξ) σ µ ( ξ) Nuărul σ µ ( ξ) D. σ, dec D ξ se ueşte abatere ede pătratcă a lu ξ. Vo da î cotuare câteva propretăţ ale dsperse ş ale abater ed pătratce. (P). Are loc egaltatea D ( ξ) M ( ξ ) [ M ( ξ )]. Îtr-adevăr, ţâd seaa de defţe D (P). Dacă a ξ + b Ave de ude ( η) a D ( ξ) ( ξm ( ξ) + [ M ( ξ) ] ) [ ] M ( ξ ) M ( ξ) ( ξ) M [ ξ M ( ξ) ] M ξ M ξ [ M ξ ] + M ( ξ) µ cu a ş b costate, atuc ( η) a D( ξ) D. am ( ξ) b M η +, D. ( η ) a M ( ξ ) + abm ( ξ) b M + [ ]

10 Î partcular, petru D aξ a D ξ. ξk, varable aleatoare dscrete, două câte două depedete ş c,..., c k costate. Atuc D ckξk ck D ( ξk ). k k (P). Fe (P). b ave Iegaltatea lu Cebîşev. Fe ξ o varablă aleatoare. Atuc D ({ }) ( ξ) ω ξ ω M ξ ε <, P ε. petru orce ε >. Această egaltate poate f pusă sub o foră foarte des folostă î aplcaţ ş aue, ε ad ξ, (..) se scre P ( ξ M ( ξ) ad( ξ) ) < a. luâd... Varable aleatoare de tp cotuu Fe {,Σ, P} Ω u σ câp de probabltate. Defţe. Se ueşte varablă aleatoare o fucţe ξ : Ω (deftă pe ulţea eveetelor eleetare cu valor reale), astfel îcât toate ulţle de fora A ωξ ω < aparţ lu Σ, petru orce. { } Vo da î cotuare câteva propretăţ ale varablelor aleatoare. (P). Fe ξ o varablă aleatoare ş c o costată, atuc ξ + c, c ξ, ξ, sut varable aleatoare. ξ, cu ξ ξ ξ (P). Dacă ξ ş η sut două varable aleatoare, atuc ξ η, ξ + η, ξη, cu η, η sup ( ξ,η) ş ( ξ,η) f sut de aseeea varable aleatoare. Defţe. Vo spue că varablele aleatoare ξ,..., ξ sut depedete dacă petru toate ssteele reale,..., ave P ( ξ <,..., ξ < ) P( ξ < )... P( ξ < ).... Fucţe de repartţe Defţe. Se ueşte fucţe de repartţe a varable aleatoare ξ, fucţa ({ } ) P ωξ( ω) F < () deftă petru orce. D această defţe rezultă că orce varablă aleatoare poate f dată pr teredul fucţe sale de repartţe.

11 rezultă Dacă ξ este o varablă aleatoare dscretă cu p P( ξ ) F p <, I, atuc d () ş se ueşte fucţe de repartţe de tp dscret. Rezultă că î acest caz F este o fucţe î scară, adcă a valor costate pe tervalele deterate de puctele ( I ). () Teorea. Fucţa de repartţe a ue varable aleatoare are urătoarele propretăţ:. Dacă <, atuc F( ) F( ),,.. F ( ) F petru orce. l F... l F +. Teorea. Orce fucţe F ootoă, edescrescătoare, cotuă la stâga ş cu F ( ), F ( + ) este fucţa de repartţe a ue varable aleatoare deftă pe u câp de probabltate coveabl ales. Teorea. Fe ξ o varablă aleatoare a căre fucţe de repartţe este F. Fe a ş b două uere reale cu a < b. Au loc egaltăţle. P( a ξ < b) F( b) F( a) ;. P ( a < ξ < b) F( b) F( a) P( ξ a) ;. P ( a < ξ b) F( b) F( a) P( ξ a) + P( ξ b) ; P a ξ b F b F a + P ξ b.. Defţe 6. Fe ξ o varablă aleatoare a căre fucţe de repartţe este F. Dacă estă o fucţe reală f deftă ş tegrablă pe R aşa îcât f ( u) F du, (6.) atuc F se ueşte fucţe de repartţe absolut cotuă, ar ξ se ueşte varablă aleatoare absolut cotuă. Fucţa f se ueşte destate de probabltate (repartţe), ar epresa f d se ueşte lege de probabltate eleetară. Dacă F are o destate de probabltate f, atuc F ( + ) F P( ξ < + ) f F l l. Rezultă de ac că P ( ξ < + d) f d Destatea de probabltate are urătoarele propretăţ. f petru orce R;.

12 +. ( u) du f ;. Petru orce b a < real are loc relaţa ( a ξ < b) f... Moetele ue varable de tp cotuu Fe {,Σ, P} P d. Ω u σ câp de probabltate ş ξ o varablă aleatoare a căre fucţe de repartţe este F. Fe f destatea de repartţe a varable aleatoare ξ. Defţe 7. Se ueşte valoare ede a varable aleatoare ξ epresa + ( ξ) df f + M d. (7) Defţe 8. Se ueşte oet de ordul r, r, al varable aleatoare cotue ξ, epresa ar epresa + r r ( ξ) α ( ξ) df f + M r r d, (8) + r r ( ξ ) βr ( ξ) df f + M r d (9) se ueşte oet absolut de ord r al varable aleatoare ξ. Î acelaş od î care s-au deft oetul cetrat de ordul r, dspersa, abaterea ede pătratcă î cazul varablelor aleatoare dscrete, se defesc ş petru varable aleatoare de tp cotuu. Propretăţle valor ed ş ale dsperse date petru varable aleatoare de tp dscret se eţ petru varable aleatoare de tp cotuu. Î aplcaţ se îtâlesc ş urătoarele caracterstc: Defţe 9. Se uesc asetre, µ ( ξ) µ ( ξ) A, s E µ ξ, µ ξ A s, ş eces, E, uerele dacă oetele respectve estă. Defţe. Se ueşte oet cetrat î a de ordul r al varable aleatoare ξ, oetul de ordul r al varable aleatoare ξ a, ar oetele varablelor aleatoare r ξ a se uesc oete absolute cetrate î a de ordul r. care sau Defţe. Medaa ue varable aleatoare ξ este uărul P ( ξ M ) P( ξ ) e M e b a () M (sau ( ξ) e () µ ) petru

13 F ş M e F M e +. () Iegaltatea lu Markov. Fe ξ o varablă aleatoare poztvă a căre valoare ede este ftă. Petru orce λ > ave P ( ξ λm ( ξ) ). () λ Defţe. Moda, Mo, a ue varable aleatoare este valoarea varable aleatoare cea a probablă. Subecte petru pregătrea î vederea evaluăr fale Test de autoevaluare. O ură coţe de ble uerotate de la la. Se etrage o blă ş î reţe uărul. Eveetul sgur asocat acestu eperet este Ω {,,,,,..., 9, } R. A O ură coţe de ble uerotate de la la. Se etrage o blă ş î reţe uărul. Fe eveetele: A rezultatul este par {,, 6, 8,,, 6, 8, } B rezultatul este ultplu de {,,, } Atuc a) A B rezultatul este par sau ultplu de {,,, 6, 8,,,,, 6, 8, } b) A B rezultatul este ultplu de { } c)a C rezultatul este par {,,, 7, 9,,,, 7, 9} d)a C e) C ş B sut copatble. Raspusul corect este: I)a s c II)a,b s c III)b,c s d IV)a,b s e R: II. O ură coţe ble albe a, a, a, a ş ble egre,. Se etrag sulta două ble.atuc probele eperete sut: (a, a ), (a, a ), (a, a ), (a, a ), (a, a ), (a, a ), (a, ), (a, ), (a, ), (a, ), (a, ), (a, ), (a, ),(a, ), (, ). R: A.Fe (Ω, Σ, P) u cap de probabltate atuc ( )A Σ, P(A C ). a) + P(A) b) P(A) c) P(A)

14 d) -P(A) R: b). Fe (Ω, Σ, P) u cap de probabltate atuc ( )A Σ ave P(A) R: A 6.Fe (Ω, Σ, P) u cap de probabltate atuc ( )A, A Σ ave P(A A ) a) P(A ) + P(A ) + P(A A ) b) P(A ) + P(A ) P(A A ) c) P(A ) + P(A ) d) P(A ) + P(A ) P(A ) P(A ) R: b) 7. Do vâător trag sulta asupra ue ţte câte u foc fecare. Probabltăţle de erre a ţte sut:,8 petru prul vâător ş,6 petru al dolea. Care este probabltatea ca ţta să fe atsă de cel puţ u vâător. a) P(A A ) P(A ) - P(A ). b) P(A A ) P(A ) + P(A ) P(A A ).9 c) P(A A ) P(A ) + P(A ) P(A A ). d) P(A A ).8 R: b) 8. Se dau P(A), ş P(A B),6. Găsţ P(B) dacă A ş B sut copatble a)p(b) P(A B) P(A) +,6,, b) P(B) P(A B) + P(A) +,6 +,, P ( A B) P( A) P( B) P( A) c), 6,,,,, P d)p(b) ( A B ),6 P( A), R: a) ude 9. Fe varablele aleatoare sple ξ : Λ p Λ p, y Λ y η : q Λ q Varabla aleatoare ξ + η are tabloul de dstrbuţe + y + y Λ + y Λ + y ξ + η : p p Λ p Λ p

15 ({ ω ξ ( ω) } U { ω η ( ω) }) p P y R. F. Dacă ξ ş η sut două varable aleatoare dscrete ş dacă M ( ξ) ş ( η) estă valoarea ede M ( ξ + η) ş a) M ( ξ + η ) M ( ξ ) + M ( η ) b) M ( ξ + η ) M ( ξ ) M ( η ) c) M ( ξ + η ) M ( ξ ) M ( η ) R. a) M estă, atuc. Fe varabla aleatoare ξ :.,,,,, petru <, petru <. +, petru < Atuc fucta de repartte F. +, +, petru <. +, +, +, petru <, petru R. A. Fucţa de repartţe a ue varable aleatoare are urătoarea propretate: Dacă <, atuc F ( ) F ( ),,. R. F. Fucţa de repartţe a ue varable aleatoare are urătoarea propretate l F. R c) a) b) F l. c) F l.. Fe ξ o varablă aleatoare a căre fucţe de repartţe este F. Fe a ş b două uere reale cu a < b. Atuc are loc agaltatea: P a ξ < b F b F a a) b) P( a ξ < b) F ( b) + F ( a) c) P( a ξ < b) F ( b) F ( a)

16 R a) d) P( a ξ < b) F ( b) F ( a). Se cosderă fucţa F deftă pr relaţle petru < F a petru, petru > a costat. Să se detere costata a aşa îcât F să fe fucţe de repartţe. R c) a)a b)a- c)a d)a 6. Se cosderă fucţa F deftă pr relaţle petru < F a petru, petru > P, ξ <,. R a) ude a costat. Să se calculeze P(, ξ <,) F (,) F (,) a),7 P(, ξ <,) F (,) + F (,) b),77 P(, ξ <,) F (,) F (,) c) P(, ξ <,) F (,) F (,) d),7 7. Se cosderă fucţa f a s petru < petru π petru > π Să se detere costata reală a, astfel ca f să fe destatea de probabltate a ue varable aleatoare.

17 + π f d a s d a, a) adca a/ + b) π f d a s d a, adca a + c) π f d a s d a, adca a + d) ) π f d a s d a, adca a -/ R a) 8. Se cosderă fucţa petru < f s petru π petru > π π Să se calculeze P ξ <. π P ξ < s udu a) π P ξ < s udu b) π π P ξ s udu c) < R.b) π π

18 9. Fe ξ o varablă aleatoare a căre fucţe de repartţe (repartţe uforă) este F petru < petru < petru Să se calculeze fucta de repartţe a varable aleatoare η l. ξ R.a) F P ( η < ) P l < ξ a) P < e P( ξ e ) - e ξ F P( η < ) P l < ξ b) P < e P( ξ e ) e ξ F P( η < ) P l < ξ c) P < l Pξ ξ l l. Fe ξ o varablă aleatoare de tp cotuu cu destatea de probabltate f e,. Să se calculeze valoarea ede + M ( ξ ) e d a) + e d + e d b) + M ξ e d + e d e d + + ( ξ ) M e d c) + e d e d +

19 R.b). Eleete de teora grafurlor (DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. Mateatc petru ecoost, Ed. FRM, Bucurest, 7, pag. -) Cocepte chee ulţea vârfurlor (sau a odurlor), etretate ţală (sursă), etretate fală (destaţe),dru,dru splu, dru eleetar, uche, lat, atrcea coeulor drecte, atrcea druurlor,atrcea etsă a valorlor arcelor.. Itroducere. Defţ Pra referre la teora grafurlor a fost făcută î 76 de către Euler î lucrarea ută: Problea podurlor d Kögsberg. Î 87 Krchoff a abordat teora reţelelor electrce pr etoda grafurlor. Î 96 Ford ş Fulkerso au aplcat teora grafurlor î reţelele de trasport. Astfel, după această peroadă teora grafurlor a fost utlzată petru rezolvarea uor problee cu caracter ecooc, petru proectarea reţelelor electrce, de caalzare, de gaze sau a reţelelor de tehcă de calcul, or î edcă. Defţe. U graf G este o pereche de fora G ( X,Γ) ude: X este este o ulţe ftă ută ulţea vârfurlor (sau a odurlor); orce eleet X se ueşte vârf, Γ este o subulţe a lu X,,, X,,,,, ute arce. Petru u arc Γ, vârful X, ulţea perechlor ordoate se ueşte etretate ţală (sursă), ar vârful etretate fală (destaţe). Graful G adte o reprezetare geoetrcă î pla, obţută astfel: - vârfurle se plasează î pla î pozţ dstcte oarecare. - fecare arc (, ) Γ se repreztă prtr-o le ce ueşte cele etretăţ ş pe care se află sesul de la la. Eeplu: Fe graful G ( X,Γ) dat de X {,,,, } ar {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), ( )} Γ,. Cu reprezetarea geoetrcă: Fgura... Se observă că Γ poate f deftă ca o aplcaţe ultvocă : X P ( X ) Γ este ulţea tuturor odurlor fale ale arcelor ce au ca od ţal pe. Γ adcă,

20 Astfel, graful d eeplul de a sus poate f scrs ca X {,,,, }, Γ ( ) {, }, Γ ( ) { }, Γ ( ) {, }, Γ ( ) {, }, Γ( ) Dacă Γ, arcul (, ) Γ se ueşte buclă. Dacă graful G coţe arcul, vo spue că vârfurle ş sut adacete î G ş aâdouă sut cdete cu arcul (, ). Defţe. O succesue de arce î care vârful teral al uua este orge petru urătorul se ueşte dru. Defţe. U dru este splu dacă foloseşte u arc o sgură dată. Defţe. U dru este eleetar dacă u trece de două or pr acelaş vârf. Defţe U dru eleetar care cuprde toate vârfurle grafulu se ueşte haltoa. Defţe 6. Nuărul arcelor care copu u dru se ueşte lugea acelu dru. Petru eeplul grafulu d fgura., u dru eleetar poate f d : {,,, }, lugea druulu d este., de vârfur petru Îtr-u graf G, se ueşte uche o pereche de vârfur [ ] care ave propretatea că (, ) Γ sau (, ) Γ geoetrc se preztă ca şte segete eoretate. ; uchle uu graf reprezetat Defţe 7. Se ueşte laţ u şr de arce {( ), (, ),..., ( p )} propretatea că orcare arce vece ( ), ( ), +, + + l cu,, p+ au o etretate couă petru orce,,... p. Defţe 8. U laţ care u-ş repetă vârfurle se ueşte laţ eleetar, ar u laţ care u-ş repetă uchle se ueşte u laţ splu. Nuărul de uch care forează u laţ se ueşte lugea laţulu. Eeplu Î graful d fgura.. urătoarele şrur de arce sut laţur: :,,, :,, l :,,,,, l {( ) ( ) (, )}, l {( ) (, )}, {( ) ( ) (, )} l : {(, ), (, ), ( )}, Defţe 9. Se spue că u graf este coe dacă ître orcare două vârfur ale sale estă cel puţ u laţ care să le lege. Î caz cotrar graful este ecoe. U graf se ueşte tare coe dacă ître orcare două vârfur ale sale estă cel puţ u dru.

21 Fgura.. Eeplu Graful Fgura.a. este coe, ar graful u este coe. Fgura.b Defţe. Gradul uu vârf se otează g ş repreztă uărul de arce cdete cu. Gradul teror al uu vârf se otează cu g ş este uărul arcelor de fora ( y, ) Γ cu y X. Gradul eteror al uu vârf se otează cu g + ş este uărul de arce de fora (, y) Γ cu y X. Eeplu. Î graful d fgura.. g ( ) estâd două arce (, ), (, ) ş g + ( ) petru că Γ ( ) { }. Dec g ( ). cu destaţa

22 Defţe. Se ueşte subgraf G ( X, Γ ) al grafulu ( X,Γ) G u graf obţut d G pr suprarea autor vârfur ş arce. Dacă G se obţe d G pr suprarea autor vârfur ş a tuturor arcelor cdete cu acestea vo spue că subgraful G este dus sau geerat de ulţea de vârfur X. Subgraful G se ueşte graf parţal al lu G dacă se obţe d graful G, avâd aceleaş vârfur, dar ua cu o parte d arcelor acestua. Eeplu Fe graful Fgura.a. Î Fgura.b. este prezetat subgraful G geerat de odurle {,, },, Fdura.b. ar î Fgura.c. este prezetat graful parţal G fără arcele ( ) ş,,. Fgura.c.

23 Defţe. U graf oretat este coplet dacă orcare două vârfur sut adacete... Matrc asocate uu graf. Propretăţ ale grafurlor Î probleele ce pot f rezolvate cu autorul grafurlor apar aute atrc ce coţ foraţ asupra arcelor, druurlor sau altor eleete legate de grafur.... Matrcea coeulor drecte Fe u graf G ( X,Γ) cu X {,..., }. Asoce acestu graf o atrce, C. pătratcă C, ale căru eleete sut,, petru (, ) c petru (, ) c Matrcea C poartă uele de atrcea arcelor, atrcea coeulor drecte sau atrcea de adaceţă petru graful G Observaţ. Nuărul de cfre de pe la repreztă uărul de coeu drecte ale lu, ar uărul de cfre de pe coloaa repreztă uărul coeulor drecte cu. De eeplu, dacă odurle grafulu de a sus repreztă băc, ar arcele corespuzătoare repreztă relaţle de colaborare terbacare, atuc cfrele de de pe la ar putea reprezeta posbltăţle la care baca face plasaete, ar cfrele de de pe coloaa ar putea reprezeta posbltăţle de la care baca ar putea face îpruutur.. Dacă două grafur au aceeaş atrce a coeulor drecte (ş aceeaş ulţe de vârfur), atuc cele două grafur cocd.. Gradul eteror al vârfulu se obţe aduâd eleetele de pe la a atrce C, ar gradul teror al aceluaş vârf se obţe aduâd eleetele de pe coloaa a atrce C : g + c Γ Γ, g c k. k... Matrcea druurlor D atrcea coeulor drecte, pr aute operaţ se poate o atrce D ută atrcea druurlor sau atrcea coeulor totale î care ( d ),. dacă estă dru de la la

24 dacă estă dru de la la d dacă u estă dru de la la Defţe. Puterea de atgere p ( ) a vârfulu X î graful G ( X,Γ) este egală cu uărul de vârfur la care se poate auge d, adcă egală cu uărul de eleete de de pe la d atrcea D. Observaţ. Matrcea D a druurlor grafulu G poate dca abseţa sau prezeţa crcutelor î graful G astfel: - dacă d, ( ),, atuc graful G u are crcute; - dacă estă u dce,, petru care d, atuc estă î graful G u crcut care are ca vârf pe.. Dacă p ( ), atuc d vârful u se auge căer ş se ueşte eşre d reţea.. Dacă atrcea D are toate eleetele egale cu, atuc graful este tare coe. Dacă cel puţ u eleet este egal cu î D, graful u este tare coe. Petru elaborarea uu algort de deterare a atrc druurlor troduce o operaţe adecvată pe ulţea forată d eleetele ş, ută operaţe de aduare booleaă cu regulle urătoare: + Astfel algortul de deterare al atrc druurlor uu graf, pord de la atrcea coeulor drecte, este:. Petru costrurea le d atrcea D (, ) urăr eleetele egale cu de pe la d atrcea C : c d dacă c c α β γ atuc Μ, Μ d. Folosd aduarea booleaă, se aduă lle α, β, γ d atrcea C la la ; ole valor apărute se trec î la a atrce D ; fe k, l,..., pozţle ocupate de aceste o valor î cadrul le.. Aduă (boolea) lle k, l,..., d C la la trecâd ole valor de apărute î la a atrc D, cotuâd procesul pâă la aparţa uea d stuaţle: a) sau toate eleetele d (, ) dev egale cu. d α β γ

25 b) u a apare c u eleet egal cu, caz î care locurle răase lbere se copletează cu zerour ş se trece la la +, petru care se repetă procedeul... Deterarea druurlor haltoee î grafur fără crcute Dacă graful G u are crcute, vo scre atrcea D a druurlor grafulu, ordoâd î prealabl vârfurle grafulu î ordea descrescătoare a puterlor de atgere astfel toate valorle de d atrce vor apărea deasupra dagoale prcpale. Deoarece - dacă î graful G estă u dru de la la, atuc p ( ) < p( ), deoarece orce vârf ats d poate f ats ş d, prtr-u dru obţut î cadrul operaţe de coectare; - dacă ar a f posbl ca d cu p > p ceea ce cofor >, atuc rearaăr llor ş coloaelor u a este posbl. Acest procedeu se ueşte tragularzare ; atrcea D se va u foră trugularzată superor. Este evdet că dacă ordea {,,..., } a vîrfurlor grafulu coducere la o p p... p. atrce tragularzată atuc Această foră are propretatea că fecare eleet egal cu de pe fecare le a atrc druulu corespude uu dru forat dtr-u sgur arc. Îtr-adevăr, presupue că, pe la vârfulu costată că: d k, d > Să presupue că estă u dru de la la,,,. Atuc ave: eeplu druul { } k k d d k k k p ( ) > p( ) k forat d a ulte arce, de dec k este îatea lu ş dec valoarea d k ar f ateroară lu d, pe la vârfulu, ceea ce a presupus că u se îtâplă. Eeplu Fe atrcea D a druurlor uu graf p, D Petru a tragularza atrcea D e folos de relaţle p > p > p > p, ( ) ( ) ( ) ( ) vo scre vârfurle î ordea {,, } î loc de ordea {,, },,. Ave:

26 D care este atrcea tragularzată a druurlor. Aceste cosderaţ pert elaborarea algortulu de deterare a druurlor haltoee î grafurle fără crcute, astfel: Teorea (Y. CHEN). U graf fără crcute, care are vârfur, coţe u dru haltoa, dacă ş ua dacă ave: ( ) p. Deostraţe: d,..., druul haltoa î G, atuc: Fe { }, - dacă > d u se poate atge vârful, deoarece î caz cotrar î G ar esta crcute; - d vârful (, ) se pot atge vârfurle +, +,..., dec p( ) ; - d vârful u se poate atge c u vârf. Î total ave: ( ) p Recproc, presupue că p( ) ( ) ( ), atuc î atrcea D se găsesc eleete de. Tragularzâd superor această atrce, aceste eleete vor ocupa toate locurle dspoble de deasupra dagoale; î fal druul haltoa îsuş este dat de succesuea vârfurlor corespuzătoare atrc tragularzată superor. Observaţe. Îtr-u graf fără crcute, estă cel ult u dru haltoa. Dacă ar esta două druur haltoee d H ş d H, atuc î cele două druur ar esta cel puţ două vârfur, aşezate î orde versă, ceea ce ar face să apară u crcut ître ş. Algortul de deterare a druulu haltoa. Etapa D a druurlor. Dacă estă u dce petru care Se scre atrcea ( d ),, d, atuc graful are crcute ş algortul Y.Che u se poate aplca. Etapa

27 Î caz cotrar, dacă î atrce estă eleete de graful adte dru haltoa ş se trece la Etapa, ar dacă uărul de eleete este a c decât ( ) graful u are dru haltoa. Etapa Ordea vârfurlor î cadrul druulu haltoa este dată de ordea descrescătoare a puterlor de atgere... Deterarea druulu haltoa î graf cu crcute Algortul de deterare a atrc druurlor are u caracter prea stetc, î sesul că prezeţa ue valor de î atrcea druurlor u dă foraţ asupra vârfurlor d care se copu druurle corespuzătoare, beîţeles că c asupra uărulu de druur ître vârfurle care corespud acelor valor de. Ca u eeplu de algort capabl să răspudă acestor dezderate, prezetă algortul fudaetal datorat lu A.Kaufa (96) ut al îulţr late. Itroduce ca puct de plecare, o atrce M, care î locul valorlor de utlzate î atrcea obşută a arcelor, utlzează îsuş arcul respectv, reprezetat pr vârfurle care îl copu. M, ude ( ),, dacă estă arc de la la î rest ~ Pr suprarea pre ltere î atrcea M se obţe o atrce M ută a ~ destaţlor posble. Se copu atrcele M ş M pr operaţa de îulţre lată. M L M %. Îulţrea lată a atrclor se face foral ca ş îulţrea a două atrc, fără îsuare ş fără îulţre efectvă ţâd cot că: - produsul lat a două copoete partcpate la calcul este ul dacă cel puţ ua d ele este ulă. - produsul lat a două copoete partcpate este ul dacă au vârf cou. - rezultatul copuer costă î screrea î cotuare a vârfurlor copoete ale sbolurlor partcpate. Pr defţa produsulu lat ave M M L M%, M M L M%, Algortul cotuă pâă la obţerea atrc vârfur u dru haltoa are arce. ( ) M, deoarece îtr-u graf cu ( ) Î atrcea M ct, cofor odulu de screre de a sus toate druurle haltoee ale grafulu. ( ) ( ) Dacă toate eleetele lu M sut zerour ( M ), graful u adte dru haltoa. Observaţe. Procedeul este aplcabl petru orce tp de graf oretat (cu sau fără crcut), dar petru grafurle fără crcute se recoadă algortul lu Che, îtrucât petru grafur de desu ar, algortul îulţr late este greo (dar sgur).

28 Î cazul î care estă a ulte druur haltoee preztă teres ş oţuea de cel a bu dru haltoa ceea ce coduce la deea de druur opte îtr-u graf... Druur de valoare îtr-u graf ; algortul Bella-Kalaba G u graf, vo troduce o fucţe v : Γ ce asocază fecăru arc d Γ o valoare reală. v v, G v X,Γ, v graful valuat. Î cazurle reale valuarea poate Fe ( X,Γ) Notă ş reprezeta: dstaţa dtre două pucte (localtăţ); tp sau costur îtr-o reţea de trasport etc. d,,..., î graful G vo u valoare a druulu, Petru u dru { } sua valorlor arcelor copoete, adcă: v k d h k v h h+ Vre să deteră druul d de la u vârf oarecare la vârful valoarea lu v ( d ) să fe ă. dată de, petru care Petru aceasta troduce atrcea etsă a valorlor arcelor, V ( v ),, ( k ) v v petru petru petru (, ) Γ, (, ) Γ, ş otă cu valoarea ă a druulu d de la la î graful dat, cosderat î ulţea druurlor de cel ult k arce, cu valoarea ă a druulu de la la, cosderată î ulţea tuturor druurlor (dferet de uărul de arce copoete). Algortul de costrure a vectorlor ( ), Propozţe Petru orce k * N ave k+, ( k ) + se bazează pe urătoarele propozţ: { v } Deostraţe. Este evdet că u dru de cel ult k + arce cu destaţa se poate obţe dtr-u dru de cel ult k arce cu destaţa, pr adăugarea uu arc la îceputul său. Dec: ( k + ) ( k ) v v( d k ) + { v + }, d k, * ( k ) ( k +) Propozţe Dacă estă k N petru care, petru orce,, atuc: ( k ) ( s ) a),,, s k +

29 k b),,. Deostraţe. a) deostră pr ducţe după s. Petru s k + propretatea este adevărată cofor euţulu. Presupuâd propretatea adevărată petru o valoare s h ave: { } { } h+ h k k + + +,, v v b) rezultă î od evdet, petru că pr adăugarea de arce o u obţe druur de valoare a că. Algortul de deterare a druulu este: Etapa G v X,Γ, v X,..., se costrueşte Se cosderă graful valuat, { } atrcea estsă a valorlor arcelor V ( v ),,., Etapa Se adaugă atrc V, lle supletare a) la, ( ),, astfel: cocde cu traspusa coloae a atrc V, ( v ) t, ( k ) ( ), b) presupuâd copletată la se copletează la propozţe. k c) se cotuă aplcarea faze (b) pâă la obţerea a două l ; ( k+ ) ( ), ( k+) cofor ş detce Etapa Se deteră regresv druul de la la astfel: ( k+) - se aduă la d V cu la urărdu-se rezultatul ce se poate obţe. Să presupue că la la este arcul, ; - se adaugă la d V cu ( k + ) ( k +) v ( k+) + coloaa k, atuc al dolea arc va f k, atuc prul arc d druul de reţâd valoare ă, aflată de eeplu pe, ş.a..d. Ultul succesor deterat va f. Algortul de deterare a druulu a este Etapa Se costrueşte atrcea V a valorlor arcelor astfel: petru v v petru (, ) Γ petru, (, ) Γ Etapa Slar cu etapa d algortul ateror, dar la pasul b) la copletează pr { v } ( k + ) ( k ) a +, ( k+ ) ( ), se

30 Etapa Deterarea druulu a se deteră la fel ca la etapa ateroară. Subecte petru pregătrea î vederea evaluăr fale Test de autoevaluare. Matrcea coeulor drecte petru graful d fgura uratoare va f a) Fgura.. C, b) C, c) C, d) alt raspus Raspus corect a) Rezolvare. Petru graful d fgura. scre atrcea coeulor drecte C

31 Raspus corect a). Matrcea druurlor corespuzatoare grafulu d fg. va f D, D, D, d) alt raspus Raspus corect a) Rezolvare. Petru graful d Fgura. cu atrcea coeulor drecte C asocată, deteră atrcea druurlor D.. Costru la a atrc D pord de la la a atrc C. Observă că c ş c, restul eleetelor fd egale cu zero. Atuc aduă boolea la d C cu lle ş ale atrc C l : l l : : l : c C. Observă că la l dferă de l pr eleetul geerat pe pozţle () c ş. Trece la pasul d algort ş aduă boolea la l cu lle ş d l l l : : : l : Observă că s-a obţut o le cu toate eleetele egale cu, dec, la a ( D ) atrc D va f l :. Petru la a atrc D observă că c, c, restul eleetelor fd egale cu zero. Aduă boolea la d C cu lle ş.

32 l l l : : : l : Observă că la l dferă de la pr eleetele geerate de pozţle c () ş c () (). Aduă boolea l cu lle ş. l l : l : : l : D A obţut toate eleetele egale cu, dec l : Slar petru lle,, ş obţe atrcea D D Raspus corect a). Graful d fg. are crcute. Raspus corect: A Rezolvare Graful G are crcute, căc estă astfel îcât d (eeplu. Puterle de atgere ale vârfurlor d fg. sut Raspus corect: A p,,. p. Fe atrcea druurlor D deterat druul haltoa.

33 a) { } :,,, H d, b) { } :,,, H d, c) { },,, : d H, d) alt raspus Raspus corect c) Rezolvare Matrcea u coţe c o valoare pe dagoală, dec graful la care atrcea este asocată u coţe crcute. Ave p ; p ; p ; p ş astfel 6 p, ar petru rezultă 6. Dec, se poate aplca teorea lu Che, î G estă u dru haltoa, ar acesta este { },,, : d H. 6. Să se detere druurle haltoee petru graful d fgura. a), b), c), d) Raspus corect c) Rezolvare: Cu şt că, graful are crcute, vo folos etoda îulţr late. Matrcele M ş M % vor f: M ~ M M

34 M M Î graful dat estă druur haltoee. 6. Vârfurle 7,...,, repreztă îtreprder, ar pe arce este arcată durata eecutăr cotrolulu î puctul după efectuarea lu î puctul î utatea de tp corespuzătoare. Să se detere tpul de cotrol, dtre ş 7. Fgura.. a) { } 7 :,,, d, b) { } 7 :,,, d c) { } 7 :,,, d Raspus corect c) Rezolvare:

35 Etapa Costru atrcea V a valorlor arcelor: Etapa a) adăugă ( ) 9 9 ( ) ( ) la atrcea V, care este traspusă coloae ( v 7 ), b) copletă atrcea V cu lle Aşadar petru la le a atrc V cu cele ale le ( k ),7,, ( k+ ) ( k ),7 ştd că { v } +, prul eleet { v + } se deteră aduâd eleetele, cea a că fd eleetul căutat. { +, +, + 6, + 9,9 +, +, + } { v + } ( k ),7 { +, +, +,9 +,9 + 9, +, + } { v + } ( k ),7 { +, +, +,9 +,9 +, +, + } { v + } ( k ),7 { +, +, +,9 +,9 +, +, + } 9 { v + } ( k ),7 { +, +, +,9 + 6,9 +, +,9 + } ;

36 6 { v + } ( k ) 6,7 { +, +, +,9 +,9 +, +, + } 7 { v + } ( k ) 7 Petru la,7 { +, +, +,9 +, + 9, +, + } vo avea { v } +,7 { +, +, + 6,9 +, +, +, + } { +, +, +,9 +,9 +, +, + } ( ) {,,,9,,, } ( ) {,,,9,,, 9 } ( ) {,,,9 6,,, 9 } ( ) {,,,9,,, } { +, +, +,9 +, +, +, + } Petru la 7 vo avea { v } +,7 { +, +, + 6,9 +, +, +, + } ( ) {,,,9, 9,, } ( ) {,,,9,,, } { +, +, +,9 +, +, +, + 9} 9 ( ) {,,,9 6,,, 9 } ( ) {,,,9,,, } { +, +, +,9 +, +, +, + } Observă că lle Eleetele lu 7 ş Etapa Se aduă la d V cu arc va f (, ). Se aduă la d V cu Se aduă la d V cu cocd, teraţle se opresc. repreztă valoarea ă a fecăre dru care auge î 7 (, 7 ). Dec druul de la la 7 : :. urărdu-se rezultatul, care este, prul ( ), rezultatul fd, al dolea arc va f,., rezultatul fd 9, arcul corespuzător va f va f d :{,,, } cu ( d ) 7 7 v. 7. Se cosderă graful d fgura.să se detere valoarea aă a druulu de la la 6. a) d :{,,,,, 6}, b) d :{,,,,, 6} c) d :{,,,,, } 6

37 Raspus corect a) Fgura. Rezolvare. Aplcă algortul Bella-Kalaba. Calculele vor f ssteatzate î tabelul urător. V ( 6) a{ +, +,8 +,8 + 6, + 9, + } a{ + ( ), +,6 +, + 6, + 9,+ } 9

38 a{ + ( ),+ ( ), +,9 + 6, + 9, + } a{ + ( ), +, +, + 6,8 + 9,6 + } 7 ( ) { a +, +, +, + 6, + 9, + 9} 9 ( ) { 6 a +, +, +, + 6, + 9, + } a{ +,9 +,8 +,8 + 7, + 9, + } ( ) a {, 9,6, 7, 9, } ( ) a {, 9,,9 7, 9, } ( ) a {, 9,, 7,8 9,6 } ( ) a {, 9,, 7, 9,9 } ( ) a {, 9,, 7, 9, } a{ +, +,8 + 6,8 + 7, + 9, + } 6 ( ) a {,,6 6, 7, 9, } ( ) a {,, 6,9 7, 9, } ( ) a {,, 6, 7,8 9,6 } ( ) a {,, 6, 7, 9,9 } ( ) a {,, 6, 7, 9, } a{ 6 +, +,8 + 6,8 + 7, + 9, + } 7 ( ) a { 6,,6 6, 7, 9, } ( ) a { 6,, 6,9 7, 9, } ( ) a { 6,, 6, 7,8 9,6 } ( ) a { 6,, 6, 7, 9,9 } ( ) a { 6,, 6, 7, 9, } ( 6) a{ 7 +, +,8 + 6,8 + 7, + 9, + } 7 ( 6 ) a { 7,,6 6, 7, 9, } ( 6 ) a { 7,, 6,9 7, 9, } ( 6 ) a { 7,, 6, 7,8 9,6 } ( 6 ) a { 7,, 6, 7, 9,9 } ( 6 ) a { + 7, +, + 6, + 7, + 9, + } 6 Iteraţle se opresc ac, căc a obţut lle ( 6). Lugea aă a druulu de la la 6 este 7. Etapa Deteră succesuea arcelor î druul a astfel obţut. ) Aduă la ( 6) corespuzător e arcul, cu la d V, valoarea aă obţută este 7.

39 6 ) Aduă la cu la d V, valoarea aă obţută este, arcul va f (, ). ) Aduă la (, ). ) Aduă la (, ). ) Aduă la ( 6) cu la d V, valoarea aă obţută va f 6, arcul va f ( 6) cu la d V, valoarea aă 7, arcul corespuzător ( 6 ) cu la d V, valoarea aă va f 9, ar arcul,. 6 v d. Druul corespuzător va f, dec d : {,,,, } cu 7, 8. Se cosderă graful d fgura. Să se detere valoarea a a druulu de la la 6. a) d :{,, 6}, b) d :{,, 6} c) d :{,, 6} Raspus corect b) Etapele ş sut ssteatzate î tabelul de a os: 6 V Iteraţle se opresc, căc a obţut. Etapa Deteră succesuea druulu de la la 6. ) Aduă la obţă pe coloaa lu. ) Aduă la cu la, valoarea ă este 6, arcul va f, ş se cu la, valoarea ă este, arcul corespuzător va f. (, 6 ) ş se obţe pe coloaa lu 6 Dec, druul va f : {, } d., 6

40 9. U graf u are crcute daca atrcea druurlor are eleetele... Raspus corect. U graf are crcute daca atrcea druurlor are cel put u eleet... Raspus corect. Mateatc facare (DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. Mateatc petru ecoost, Ed. FRM, Bucurest, 7, pag. -78) Cocepte chee : dobâda, dobâda splă, scadeţă couă, scadeţă ede, procet edu îlocutor, dobâdă copusă, factor de fructfcare, factor de actualzare, scotul splu, scotul copus, valoarea oală a ue polţe, valoarea scotată a ue polţe. autăţ, autăţ atcpate, autăţ postcpate, valoarea fală uu şr de autăţ postcpate, valoarea actuală uu şr de autăţ postcpate.. DOBÂNDA SIMPLĂ Noţuea de bază a ateatclor facare este dobâda. Dobâda este sua de ba care se plăteşte de către debtor credtorulu petru u îpruut băesc. Dobâda utară este sua dată de o utate oetară pe tp de u a, este otată. Dobâda dată de de utăţ oetare pe tp de u a se ueşte procet, otat p. Dec p Petru S utăţ oetare (u..) pe tp de u a se obţe dobâda: Sp D S (..) Petru S u.. pe tp de t-a dobâda, ută dobâda splă este: S p t D S t (..) Observaţe. Î faţe, aul coercal are 6 zle ş fecare luă are de zle. Dacă S este sua depusă ţal pe peroada t cu dobâdă utară atuc sua fală sau valoarea fală este: S t S + D S + S t S ( + t) (..)

41 Scadeţă couă sau scadeţă ede Fe suele S,..., S plasate cu acelaş procet p pe duratele t,...,t. Sua dobâzlor aduse de cele sue pe cele durate o vo îlocu cu dobâda adusă de o suă S pe o peroadă t, atuc durata t va f: S t + S t S t t (..) S ş se va u scadeţă couă. Dacă S S + S S, atuc durata t va f: St St t (..) S S ş se va u scadeţă ede. Fe suele S,..., S plasate pe duratele t,...,t, cu procetele p, p,... p. Procetul edu îlocutor p petru care aceste sue plasate pe acelaş durate să dea aceeaş dobâdă totală va f: S t + St... + St p (..6) S t + S t S t.. DOBÂNDA COMPUSĂ O suă de ba este plasată cu dobâdă copusă (captalzată) dacă, la sfârştul pre peroade, dobâda splă a aceste peroade este adăugată la suă petru a produce la râdul e dobâdă î peroada urătoare: Fe S suă ţală; p procetul; p dobâda utară; t durata de plasaet a sue S (uăr îtreg) ş S t sua fală după t peroade, atuc: A Sua plasată la îceputul aulu S Dobâda produsă î tpul aulu S S ( + ) S S ( + ) Sua obţută la sfârştul aulu S S + S S S ( + ) Μ Μ Μ Μ t t S S ( t) t S S S S ( + ) t t + t + Dacă + u va f u factor de fructfcare găst î tabele facare petru t,,,... petru dferte procete atuc sua fală va f: t t ( + ) S u St S (..) t

42 ude Dobâda copusă va f petru t- îtreg: t t D S [( + ) ] S ( u ) (..) Sua ţală depusă va f: t S St S t tv (..) + v + factor de actualzare. Tpul se poate obţe d (..) pr terpolare. Eeple: Dacă durata de plasaet a sue S u este, î geeral, u uăr îtreg, c este de h fora t +. Ave două soluţ petru abordarea problee: k Soluţa raţoală poreşte de la fora (..) petru partea îtreagă de a, valoarea fală obţută petru plasarea sue ţală S va f: S S +. Această suă, S, î tpul fracţu h a aulu, cu dobâdă utară, va aduce o abordare k h splă, S. Astfel, se obţe: k h St S h S ( + ) + (..) + k k reprezetâd soluţa raţoală de calcul a sue fale câd se plasează o suă h S pe o durată t + î reg de dobâdă copusă. k h Soluţa coercală petru sua S plasată pe o peroadă t + este k h t + ( + ) S ( + ) k. St S Observaţ:. Cele două soluţ u sut detce.. Soluţa coercală este a des utlzată, deoarece factorul fructfcare + u este î tabele facare atât petru puter îtreg, cât ş fracţoare.. Valorle fale ale ue sue S depusă î reg de dobâdă splă sau î reg de dobâdă copusă dferă î fucţe de durată t. Procete proporţoale Defţe Spue că două procete p ş p corespuzătoare peroadelor dferte t ş t t sut proporţoale dacă p. t p Eeplu

43 Fe a dobâda utară auală ş s dobâdă utară seestrală. Atuc aş s s a proporţoale dacă. Observaţe u.. plasată î reg de dobâdă copusă cu dobâda auală a deve după u a ( + a ) u.. u.. plasată î reg de dobâdă splă cu dobâda seestrală s deve după u a ( + ) ( + ) u.. u.. s a u.. plasată î reg de dobâdă copusă cu dobâda seestrală s deve după u a a a s a a > + Procete echvalete Defţe Spue că două procete p ş p corespuzătoare peroadelor dferte t ş t sut echvalete î reg de dobâdă copusă dacă coduc la aceeaş valoare fală. t t p + ( + ) p ; ; (..) Dacă îpărţ aul î k părţ egale ş petru fecare fracţue de a se a dobâda atuc dobâda utară k este echvaletă cu dobâda auală utară, dacă k k + + k ; ude se ueşte procet oal ( reprezetâd sua dobâzlor percepute î cele k fracţu de a) Vo găs astfel relaţa dtre procetul efectv ş procetul oal k + k Dacă î relaţa ateroară face k obţe Observaţ. Dacă î relaţa e + e sau l ( + ) +, este dat î fecare terval de tp ( t, t dt ) percepe o dobâdă l ( ) (..6) + trebue să δ + petru a auge î tpul uu a la dobâda efectvă. ( δ se ueşte procet oal stataeu) δ l + e δ. Dezvoltă e δ î sere MacLaur ş obţe δ + δ δ +... > δ > δ

44 .. OPERAŢIUNI DE SCONT NOTAŢII ŞI DENUMIRI Operaţuea de scot este caracterstcă, î geeral Băclor Coercale, care cupără îate de scadeţă aute polţe cu scopul de a obţe o dobâdă. O polţă se cupără la u oet dat cu preţul sau sua S. Aceasta este evaluată cu procetul edu de esue p ş este scadetă după oetul sau durata θ. Valoarea fală la scadeţă a polţe, K va f: K S ( + θ ), θ u a sau K S + θ, θ u a (..) ude: K valoarea oală a polţe, S preţ de cupărare, dobâda utară auală. Dacă la u oet dat θ < θ, adcă la t θ θ pâă la scadeţă, polţa poate f vâdută ue băc coercale, atuc polţa va avea o valoare fală, sau curs K S + θ, θ u a sau K S ( + ) θ, θ u a (..) ude: K valoarea lu S la oetul θ Valoarea scotată a polţe la oetul θ θ t se otează cu K a.vo u scot dfereţa dtre valoarea oală K ş valoarea scotată K a, otat S. S K K a (..) Scotul splu raţoal, otat SSR va f dobâda dată de K a pe peroada t, cu dobâda utară SSR K a t (..) q K t SSR sau q + t Kt SSR, + t (..) ar K a K ş K K a + ( + t ) t (..6) ude: q procet de scot dobâda utară de scot t durata scotăr (ăsurată î a) Orce scot ce aproează scotul raţoal se ueşte scot coercal. Scotul splu coercal, otat SSC va f dobâda dată de valoarea oală K pe peroada t, cu dobâda utară SSC Kt (..7) ş K a K ( t), (..8) ar

45 K a K. (..9) t Scotul copus este cel î care calculelele se fac î reg de dobâdă copusă. Dacă dobâda se aplcă asupra valor K a cu dobâda utară, pe peroada t (î reg de dobâdă copusă) se obţe scotul copus raţoal, SCR. Orce scot ce aproează scotul copus raţoal se ueşte scot copus coercal, SCC. Scot copus raţoal t SCR K a ( + ) (..) ş ar ş ar Scot copus coercal ( ) a t +, (..) K K K a SCC K ( + ) t. (..) K a t (..) a ( ) K K + t, (..) K a K. + t (..).. ANUITĂŢI POSTICIPATE, TEMPORARE, IMEDIATE Plăţle eşaloate sut plăţle care se fac la aute peroade de tp avăd drept scop crearea uu fod băesc sau restturea ue dator. Itervalul de tp ître două plăţ repreztă o peroadă. Dacă peroada este aul plăţle se uesc autăţ, dacă peroada este seestrul plăţle se uesc seestraltăţ, dacă peroada este trestrul plăţle se uesc trestraltăţ, ar dacă peroada este lua plăţle se uesc esualtăţ. Tpur de plăţ. Plăţle pot f -varable dacă suele plătte sut varable, -costate dacă suele plătte sut costate.. Plăţle pot f cu dobâdă costată sau varablă.. Plăţle pot f - teporare dacă uărul de plăţ este ft (stablt î cotract) - vagere pe vaţă - perpetue dacă uărul plăţlor este eltat. Plăţle pot f - postcpate dacă plata se face la sfârştul fecăre peroade - atcpate dacă plata se face la îceputul fecăre fecăre peroade NOTAŢII S valoarea fală uu şr de autăţ postcpate P

46 A P valoarea actuală uu şr de autăţ postcpate T, T,... T autăţle,,... dobâzle utare pe fecare peroadă Autăţle sut edate dacă pra plată se face î prul a ş sut aâate dacă plata se face după u uăr de a r. a)autăţ varable ş dobâz varable S P T T T + + T, (..) Reat că - S S + S S + atuc vo găs P ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...( ) A T + + T T (..) b)autăţ varable ş dobâz costate S T + + T T + + T, (..) ar P P ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) A T + + T T +. (..) c)autăţ costate ş dobâz varable S P T T T + + T, (..) ar P ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...( ) A T + + T T (..6) d)autăţ costate ş dobâz costate S T + + T T + + T, (..7) P Calculâd vo obţe ar P Calculâd vo obţe Observaţ. Dacă Tu.. găs ( ) ( )... ( ) S P + T. ( ) ( )... ( ) (..8) (..9) A T T T A P + T, + s. valoarea fală a uu şr de autăţ postcpate utare.. Dacă uărul de plăţ este eltat, valoarea actuală va f (..) (..)

47 AP l T v T. Subecte petru pregătrea î vederea evaluăr fale (..) Test de autoevaluare. Sua de. u.. se plasează tp de zle, cu procetul aual de 8%. Care va f sua fală corespuzătoare aceste operaţu?(î reg de dobâdă splă, a 6 zle) a) u..; b) u..;c) u..; d) u.. Răspus corect c) Rezolvare DS t, ( reg de dobâdă splă ) S. u.., p 8%,8 ; t zle 6 a D. 8. D u.. 6 S f S +D, S f S +St, S f S ( +t ). S f. u.. Răspus corect c). Parteerul P urează să efectueze către parteerulu P plăţle urătoare: u.., u..,. u.., cu procetele auale de 9%, %, % avâd scadeţa (durata) de 6 zle, lu, respectv u seestru. Aflaţ scadeţa ede îlocutoare ( î codţ de echvaleţă î reg de dobâdă splă pr dobâdă) a) lu; b) u seestru;c) zle; d), zle. Răspus corect d) Rezolvare DS t, ( reg de dobâdă splă ) D S t ; S. u..; p 9%,9 ; t 6 zle 6 6 a D St ; S. u..; p %,; t lu a D St ; S. u..; p %, ; t seestru a D 8 u..; t k S k k k k S t k k D u..; D 6 u.. ; ()