CAPITOLUL 4 CERCETAREA STATISTICĂ PRIN SONDAJ
|
|
- Ἰωακείμ Φιλομηλος Δραγούμης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 CAPITOLUL 4 CERCETAREA STATISTICĂ PRIN SONDAJ Coderaţ prelmare Î captolele precedete am dcutat depre pobltăţle de culegere a datelor pe baza metodelor de obervare totală au parţală, ca ş depre modaltăţle de decrere a datelor pr dcator tattc, uzual obţuţ pe baza colectvtăţlor parţale. Am văzut, de aemeea, că fereţa tattcă repreztă proceul pr care obţem formaţ ş tragem cocluz refertoare la colectvtăţ geerale, pe baza eşatoaelor. Etă două tehc geerale petru realzarea fereţe tattce: proceul de etmare ş cel de tetare a potezelor tattce. Î captolul aceta vom urmăr ă cuoaştem fudametele proceulu de etmaţe ş ale celu de tetare a potezelor tattce, vtale petru defăurarea uor cercetăr tattce. Terme chee crteru de emfcaţe. dtrbuţe de eşatoare eroare de etmaţe eroare de geul I eroare de geul II eroare lmtă admblă eroare mede de reprezetatvtate eşato etmaţe etmator terval de îcredere poteză tattcă parametru probabltatea ue eror de geul I probabltatea ue eror de geul II elecţe tatcă odaj aleator mplu odaj aleator tpc odaj cu revere odaj fără revere odaj î cubur tet tattc volum al eşatoulu
2 STATISTICĂ ECONOMICĂ Noţu teoretce 4.. INTRODUCERE Cercetarea tattcă urmăreşte obţerea formaţlor ce permt caracterzarea, d puct de vedere cattatv, a feomeelor de maă. Etă două modaltăţ de obţere a acetor formaţ ş aume: e pot culege date depre toate utăţle ce alcătuec colectvtatea cercetată au e poate electa o ubcolectvtate pe care ă o aalzăm ş pe baza formaţlor obţute ă tragem cocluz, ă geeralzăm rezultatele petru colectvtatea de aamblu. Prma cale prezetată ete cea a ue cercetăr tattce totale, ar cea de-a doua a cercetăr tattce pr odaj. Î codţle ecoomco-ocale de atăz, câd ete evoe de formaţ rapde, multple ş complee, metoda prcpală de obţere a formaţlor tattce tde ă devă, practc, aceea a odajulu tattc, pr care e obţ date emprce ş, prtr-o terpretare probabltcă, e etmează dcator petru populaţa totală. Metoda odajulu poate aşadar ă alveze tmp ş ba oferd formaţ depre etur larg de date fără ca ă fe eceară obervarea ş cercetarea tuturor elemetelor ce alcătuec colectvtatea. Proceul va cuprde atuc două etape: etapa decrptvă, î care e culeg date ş e calculează dcator ce caracterzează ubcolectvtatea aalzată etapa fereţală, î care rezultatele obţute petru aceată ubcolectvtate e etd, î terme probabltc, la colectvtatea geerală. Ete de meţoat faptul că, dacă metodele tattce decrptve pot f aplcate atât ue colectvtăţ totale cât ş uea parţale, î chmb etapa de fereţă tattcă ete pecfcă cercetăr pr odaj. 4.. NOŢIUNI SPECIFICE DEFINIŢIE: Selecţa tattcă repreztă operaţa de etragere a ue părţ dtr-o colectvtate tattcă, a ue ubcolectvtăţ umtă ş eşato, motră, colectvtate parţală au colectvtate de elecţe.
3 Vom ota volumul colectvtăţ geerale cu N ş volumul colectvtăţ de elecţe cu, N-. Î cazul î care datele au fot tematzate î r grupe după varaţa ue caractertc de grupare, vom avea: r N N (4.) r (4.) Meda artmetcă, prcpalul dcator al tedţe cetrale, va f otat cu µ î cazul î care ete parametrul colectvtăţ totale ş cu î cazul î care ete u dcator obţut prtr-o cercetare tattcă pr odaj. Parametrul colectvtăţ geerale e calculează: N µ (4.3) N au dacă datele au fot tematzate î r grupe obţâdu-e o ere de dtrbuţe de frecveţe: r N µ, r (4.4) r N Idcatorul tattc obţut petru eşato meda etmatorul parametrulu, ete: (4.5) au î cazul ue er de dtrbuţ de frecveţe:
4 STATISTICĂ ECONOMICĂ r r (4.6) U alt dcator mportat, dpera, e va ota cu σ dacă ete parametru obţut î colectvtatea geerală ş cu dacă ete etmatorul parametrulu, obţut pe u eşato. Atfel, parametrul colectvtăţ geerale ete: N ) ( N µ σ (4.7) repectv î cazul datelor grupate: µ σ r r N N ) ( (4.8) ar etmatorul dpere d colectvtatea geerală, aume dpera eşatoulu: ) ( (4.9) au î cazul dtrbuţe de frecveţe:
5 r r r r r r ) ( (4.0) Atuc câd eşatoaele ut de volum mare (>30), e poate reuţa la căderea lu d umtorul dpere. Î cazul caractertclor bare (de tp alteratv), mbolurle perech utlzate petru parametr d populaţa geerală ş petru etmator obţuţ î eşato vor f: petru meda artmetcă: parametrul colectvtăţ geerale: N M p (4.) etmatorul obţut î eşato: m f (4.) Dpera caractertc alteratve e va ota î populaţa geerală cu: p) p( σ (4.3) ar î eşato (etmatorul dpere d colectvtatea geerală): ( ) f f (4.4)
6 STATISTICĂ ECONOMICĂ Populaþe (colectvtate geeralã) eºato Fg Proceul fereţe tattce 4.3. TIPURI DE SONDAJ Î elecţa aleatoare e dtg următoarele tpur de odaj: odajul mplu aleator; odajul tpc (tratfcat); odajul de er (cubur); odajul î ma multe trepte; odaj ecveţal DISTRIBUŢII DE EŞANTIONARE. PROPRIETĂŢI ALE DISTRIBUŢIILOR DE EŞANTIONARE Deoarece datele d eşatoae ut valor obervate ale varablelor aleatoare, dcator tattc calculaţ petru u eşato vor vara îtr-u mod aleator de la eşato la eşato. Populaţa tattcă (colectvtatea) Eşato Eşato Eşato Idcator Idcator Idcator
7 Î prvţa mede de elecţe, dcator tattc obţut pe eşato, trebue arătat că, dferet de forma dtrbuţe de frecveţe d colectvtatea geerală, meda dtrbuţe de eşatoare a mede de elecţe ( ) ete egală cu µ, meda colectvtăţ geerale (petru eşatoae mar). µ ( ) µ U alt parametru al dtrbuţe de eşatoare, dpera mede de odaj e calculează ca: σ σ (4.5) Eroarea tadard a mede de odaj ete σ, adcă abaterea mede pătratcă a mede de elecţe de la parametrul µ: σ σ σ (4.6) Evdet, cum σ (dpera colectvtăţ geerale) ş σ (abaterea mede pătratcă d colectvtatea geerală) ut ecuocute, ele e etmează pr (dpera de odaj) ş (abaterea mede pătratce de odaj). Se obţe, atfel, etmatorul dpere mede de odaj ( ): (4.7) ş etmatorul eror med a mede de odaj (adcă eroarea mede de reprezetatvtate):
8 STATISTICĂ ECONOMICĂ (4.8) Î prvţa dtrbuţe de eşatoare a mede de elecţe, ă ma otăm că î cazul populaţlor ormal dtrbute (cu dtrbuţ de probabltate ormală), dtrbuţa de eşatoare a mede de elecţe ete ormală, dferet de umărul elemetelor d eşato (de volumul eşatoulu) SONDAJUL ALEATOR SIMPLU REPETAT Determarea eror med de reprezetatvtate Î cazul ue varable cattatve, de tp ealteratv, petru etmarea parametrulu meda colectvtăţ geerale (µ) ete ecear ă calculăm meda de odaj ( ) (formulele 4.5 au 4.6). Dpera medlor de elecţe ete: (4.9) Eroarea mede de reprezetatvtate (abaterea mede pătratcă a mede de odaj) e determă pe baza datelor d eşato ca: (4.0) Determarea eror lmtă Petru a cotru acet terval de îcredere vom determa, îtâ, eroarea lmtă mamă admblă. Cum meda de odaj ( ) ete varablă aleatoare ormal dtrbută, de mede µ ş abaterea mede pătratcă σ σ /, îeamă că varabla ormală ormată (reduă) corepuzătoare ete:
9 µ z (4.) σ µ z (4.) Petru probabltatea cu care garatăm rezultatele 00(-α)%, eroarea lmtă (mamă) admblă ete: zα / zα / (4.3) Determarea tervalulu de îcredere petru meda µ Itervalul de îcredere calculat pe baza eror lmtă mamă admblă ete: ± zα / Petru u eşato de volum ormal au mare, mărmea relatvă a tervalulu de îcredere poate ă fe prezetată chematc atfel (Fg. 4.3) Iterval de îcredere petru -α0.999 Iterval de îcredere petru -α0.99 Iterval de îcredere petru -α0.95 Iterval de îcredere petru -α0.90 Meda eşatoulu Fg Mărmea relatvă a tervalulu de îcredere petru u eşato de volum mare
10 STATISTICĂ ECONOMICĂ < µ < + (4.4) Itervalul de îcredere ( ± ) ete garatat cu velul de îcredere ale, ceea ce face ca aceată etmare ă fe preferablă etmăr puctuale. Itervalul de îcredere petru velul total al caractertc ete: N( N ) < < N( + ) (4.5) EXEMPLUL 4.: Să e determe tervalul de îcredere, garatat cu o probabltate de 99%, petru meda ş velul total al ue caractertc umerce X, dacă eşatoul electat aleator repetat de 36 de utăţ, adcă 5% d colectvtatea geerală ete de mede 800 ş abatere mede pătratcă 60. Rezolvare: Eroarea mede de reprezetatvtate va f: Eroarea lmtă mamă admblă: α z / Itervalul de îcredere petru parametrul colectvtăţ geerale ete dat de: < µ < < m < < m < 85.8 ar petru velul total al caractertc tudate: N( ) < < N( < < ) Acet tervale de îcredere ut garatate cu o probabltate de 99%.
11 Determarea volumulu eşatoulu au z α / (4.6) L zα / (4.7) Soluţa poate f cră ca: au (zα / ) (4.8) 4(z α / ) L (4.9) Degur, ş ac e foloeşte ca o etmaţe a lu σ, î geeral ecuocută. Valoarea apromatvă a lu poate f cuocută dtr-o cercetare pr odaj ateroară. Ca o alteratvă, putem aproma ampltudea împrăşter A a obervaţlor ş apo, ub preupuerea tedţe de ormaltate a dtrbuţe, putem calcula: A / 6 (4.30) EXEMPLUL 4.: Să e determe volumul eşatoulu ecear petru a etma meda ue colectvtăţ (µ) cu o eroare lmtă de 0. ş o probabltate de garatare a rezultatelor de 95%, ştd dtr-o cercetare ateroară că dpera ete apromatv egală cu 6.. Aceaş cerţă petru lugmea tervalulu de îcredere de 0.. Rezolvare: Petru: 0. 00(-α)% 95% > z α/ z
12 STATISTICĂ ECONOMICĂ 6. rezultă: z / (.96) 6. α utăţ tattce (0.) Î cazul î care îtreaga lugme a tervalulu de îcredere ete de 0. (evdet o precze crecută), vom avea: 4 z α/ 4 (.96) utăţ tattce L (0.) Determarea probabltăţ de garatare a rezultatelor 00(-α)% Coefcetul de îcredere ete -α, petru care P(-z α/ < Z < z α/ )-α. Atuc, d formula eror lmtă (mamă) admblă rezultă: zα / (4.3) D tabelele prvd dtrbuţa ormală ormată e poate determa apo probabltatea 00(-α)% de garatare a rezultatelor. EXEMPLUL 4.3: Să e determe velul de îcredere petru etmaţa prvd meda colectvtăţ geerale (µ), dacă volumul eşatoulu ete 00 utăţ tattce, meda eşatoulu 58600, abaterea mede pătratcă 8000, ar tervalul de îcredere dort ete de Rezolvare: ş z α /.5 -αp(-.5<z<.5)(0.4938) Probabltatea cu care garatăm rezultatele ete de 98.76%.
13 Partculartăţ ale odajulu de volum redu Dacă eşatoul ete de volum redu (<30), ar abaterea mede pătratcă d colectvtatea geerală (σ) ete ecuocută ş îlocută cu ( µ ) cea d eşato ( ), tattca ete o tattcă t cu (-) grade / ( µ ) de lbertate. Dtrbuţa de eşatoare a tattc ete o / dtrbuţe de probabltate t cu codţa ca populaţa geerală ă fe ormal dtrbută. Itervalul de îcredere petru meda m d colectvtatea geerală ete, î acet caz: t t α /, < µ < + α /, (4.3) EXEMPLUL 4.4: Preupuem că u umăr de 5 mprmate ut electate petru a e calcula meda umărulu de caractere mprmate pâă la termarea cartuşulu de mprmare. Petru eşatoul electat e obţ:.3 mloae caractere; 0.7 mloae caractere. Să e formeze u terval de îcredere, garatat cu o probabltate de 99%, petru meda umărulu de caractere mprmate (m), î colectvtatea geerală. Rezolvare: Dacă preupuem că umărul de caractere mprmate ete ormal dtrbut, atuc, petru 5: t α/,- t 0.005;4.977 Itervalul de îcredere ete: t t α /, < µ < + α /, < µ < < µ <.44
14 STATISTICĂ ECONOMICĂ 4.6. SONDAJUL ALEATOR SIMPLU NEREPETAT Determarea eror med de reprezetatvtate Dpera mede de elecţe ete dată de relaţa: σ N σ (4.33) N ş etmată (î cazul σ ecuocută) pr: N (4.34) N Abaterea mede pătratcă a mede de elecţe (măurător al eror med de reprezetatvtate) ete: etmată pr: σ N σ (4.35) N N (4.36) N N N Termeul e umeşte coefcet de corecţe î populaţe N N ftă au factor de ehautvtate, ar raportul /N repreztă fracţa de odaj Determarea eror lmtă Determarea eror lmtă mamă admblă e face, î cazul odajulu fără revere, ţâd eama de eroarea mede de reprezetatvtate:
15 zα / ( ) zα / N (4.37) Determarea tervalulu de îcredere petru meda µ Itervalul de îcredere petru meda µ d colectvtatea geerală, corepuzător probabltăţ 00(-α)% de garatare a rezultatelor ete: < µ < + (4.38) zα / < µ < + zα / (4.39) N N N < < zα / N + zα / (4.40) N N N EXEMPLUL 4.5: U eşato aleator de 80 de obervaţ a fot electat erepetat dtr-o populaţe ormal dtrbută de volum N800 de utăţ. Î urma calculelor a rezultat valoarea mede a caractertc î eşato 4. ş abaterea mede pătratcă.6. Să e determe tervalul de îcredere, garatat cu o probabltate de 95%, petru meda colectvtăţ geerale (µ) ş petru valoarea agregată a caractertc N. Rezolvare: N 80 α z / z < µ < < µ <4.64
16 STATISTICĂ ECONOMICĂ 0848 N < < Determarea volumulu eşatoulu z N z α / α / (4.4) z + N z α / α / + N 4.7. ESTIMAREA PROPOR ŢIEI ÎN CAZUL SONDAJULUI ALEATOR SIMPLU Utlzarea lu f petru a etma populaţa p ete mlară cu utlzarea lu petru etmarea parametrulu µ Determarea eror med de reprezetatvtate Dpera medlor de elecţe (adcă dpera proporţlor eşatoaelor) va f atuc: p( p) σ f (4.4) etmată (petru că, de obce, proporţa p d colectvtatea geerală ete ecuocută), pr: f ( f ) f (4.43) Atuc, abaterea mede pătratcă a proporţlor d eşatoae, ce repreztă eroarea mede de reprezetatvtate ete calculată, pe baza datelor d eşato: f ( f ) f petru elecţe repetată (4.44) ş
17 f ( f ) f petru elecţe erepetată (4.45) N Determarea eror lmtă Îlocud eroarea mede de reprezetatvtate calculată ateror obţem eroarea lmtă (mamă admblă): ş f f ( f ) α / f zα / petru elecţe repetată (4.46) z f f( f) α / f zα / petru elecţe erepetată (4.47) N z Determarea tervalulu de îcredere petru proporţa p Itervalul de îcredere petru proporţa p d colectvtatea geerală ete dat de: adcă: f- f < p < f+ f (4.48) f ( f ) f ( f ) zα / < p< f + zα / petru elecţe repetată (4.49) f ş f( f) f( f) f zα / < p< f + zα / (4.50) N N petru elecţe erepetată, garatat cu o probabltate 00(-α)%. Petru etmarea umărulu de răpuur afrmatve, tervalul de îcredere ete dat de: N(f ) < M < N(f + ) (4.5) f f
18 STATISTICĂ ECONOMICĂ EXEMPLUL 4.6: Preupuem că d 00 de peroae electate aleator ş achetate, 30 au o ope favorablă depre u produ ou. Să e etmeze cu o probabltate de 90%, tervalul de îcredere petru proporţa oplor favorable d colectvtatea geerală (locutor uu oraş). Rezolvare: f ( f ) 0. f z z f α / f 0.05 f < p < < p < Determarea volumulu eşatoulu (7.5%) Petru elecţa aleatoare repetată volumul eşatoulu ete dată de relaţa: z f ( f ) (4.5) f ar petru elecţa fără revere ete dată de relaţa: z f ( f )N z f ( f ) (4.53) f N + z f ( f ) z f ( f ) f + N Determarea probabltăţ de garatare a rezultatelor 00(-α)% Petru a obţe velul de îcredere au probabltatea de garatare a rezultatelor, atuc câd folom proporţa f d eşato petru a etma proporţa p d colectvtatea geerală, vom rezolva ecuaţa: f zα / (4.54) f ( f )
19 ş apo vom determa: P(-z α/ < Z < z α/ ) -α 4.8. SONDAJUL ALEATOR TIPIC (STRATIFICAT) Varaţa ître tratur u flueţează, î cazul elecţe tratfcate, eroarea mede de reprezetatvtate, deoarece aeată varaţe ete prec reflectată î eşato. Cu alte cuvte, vom f gur că cel puţ d puctul de vedere al factorulu de tratfcare populaţa ete corect reprezetată î eşato ş crterul ale u ma cottue ură petru eroarea mede de reprezetatvtate. Coderâd dtrbuţa ue colectvtăţ după varabla X, putem reprezeta grafc efcactatea ue tratfcăr î cadrul odajulu ca î Fg a) b) Fg Sodaj tratfcat: a. odaj efcet; b. odaj efcet Calculu dcatorlor petru o varablă cattatvă Petru a calcula u etmator edeplaat al mede colectvtăţ geerale, vom determa meda artmetcă poderată a medlor traturlor. Atfel, î colectvtatea geerală, vom troduce otaţle:
20 STATISTICĂ ECONOMICĂ N µ meda tratulu (4.55) j j N h µ N µ h N Petru eşato vom ota: meda geerală (4.56) j j meda tratulu (4.57) h meda eşatoulu (4.58) h Putem cre eroarea mede de reprezetatvtate: σ σ (4.59) t σ, î geeral, ete ecuo- au, pe baza datelor d eşato (petru că cut): t (4.60) Atuc, eroarea lmtă (mamă admblă) ete: z α (4.6) t / t petru probabltatea 00(-α)% de garatare a rezultatelor.
21 Itervalul de îcredere petru meda colectvtăţ geerale ete dat de: t < µ < + (4.6) t t t Determarea volumulu eşatoulu e va efectua ş ac pord de la formula eror lmtă: t z α / t z α / care pr prelucrare coduce la: z / α (4.63) t Î cazul elecţe aleatoare tratfcate fără revere, e va ţe eama de coefcetul corecţe fte î populaţe ş vom avea: eroarea mede de reprezetatvtate: t N N (4.64) eroarea lmtă admblă la u coefcet de îcredere (-α): t zα / N (4.65) volumul eşatoulu:
22 STATISTICĂ ECONOMICĂ z α / (4.66) z α / + t N EXEMPLUL 4.7: U cercetător ete tereat î determarea alarulu medu petru agajaţ ue frme. Î frmă lucrează 850 de peroae, d care 500 agajaţ permaet ş 350 colaborator. Se electează aleator tratfcat proporţoal 0% d efectv: 50 de agajaţ permaet ş 35 colaborator ş e doreşte garatarea etmaţe cu o probabltate de 95%. Î urma prelucrăr datelor, e obţ următoarele rezultate: Agajaţ permaet Colaborator 60 m le 00 m le 35 m le 40 m le Rezolvare: N m le N t Eroarea mede de reprezetatvtate (e preupue elecţe erepetată) ete: t m le N 85 Eroarea lmtă petru α0.05 ete: zα z m le t / t 0.05 t
23 Itervalul de îcredere petru alarul medu d colectvtatea geerală: < µ < m le < µ < m le garatat cu o probabltate de 95% Alegerea umărulu de tratur ş repartzarea volumulu eşatoulu pe tratur Alegerea umărulu de tratur mpue două remarc. Prma ete de ord teoretc: deală ete tratfcarea la mamum, adcă alegerea uu umăr cât ma mare de grupe. Cea de-a doua ete de ord practc: rareor e pot depăş 0 tratur ş, de obce, lmtele traturlor ut mpue de formaţle dpoble d baza de odaj. Determarea volumulu eşatoulu î cazul elecţe aleatoare tratfcate mpue ş alocarea acetua pe tratur. Etă două pobltăţ de repartzare a volumulu eşatoulu () pe tratur: o repartţe proporţoală ş o repartţe optmă. Dacă dperle d terorul traturlor ut egale, petru u umăr dat de utăţ tattce eşatoate (), dpera pe aamblu ete mmă câd fracţle de odaj ut detce (elecţe tpcă proporţoală). Proporţle ut determate de poderle traturlor, adcă: N N (4.67) Cea de-a doua pobltate de repartzare (elecţe tpcă optmă) preupue o fracţe de odaj varablă de la u trat la altul. Petru o elecţe tpcă optmă, fracţle de odaj vor f proporţoale cu abaterle med pătratce.atuc, petru tratul volumul ubeşatoulu ete dat de: ş evdet h N (4.68) h N.
24 STATISTICĂ ECONOMICĂ Etmarea proporţe petru o varablă alteratvă Eroarea mede de reprezetatvtate, calculată pe baza datelor d eşato ete dată de: petru elecţe tratfcată repetată: ft f ( f ) (4.69) petru elecţe tratfcată erepetată: f ( f ) ft (4.70) N Eroarea lmtă (mamă admblă), la u prag de emfcaţe α, e calculează ca: zα (4.7) ft / ft ar tervalul de îcredere petru proporţa p d colectvtatea geerală: f p< f + (4.7) ft ft De aemeea, e adaptează corepuzător formulele petru determarea volumulu eşatoulu ş repartzarea acetua pe tratur SONDAJUL DE SERII (CUIBURI) Î odajul î cubur, populaţa, ma mult au ma puţ împrăştată, ete ubdvzată î cubur. Petru fecare atfel de cub e poate calcula o made. Î fecare d cuburle etrae toţ dvz ut obervaţ ş atuc meda, ete cuocută fără eroare (de odaj, eelmâdu-e pobltatea erorlor de obervaţe).
25 Hazardul poate alege u cub aemăător cu altul, dec î care cele două med de cub ă fe egale. De aceea fluctuaţa de eşatoaj depde de egaltatea medlor de grup. Dpera totală σ ete egală cu uma dperlor ître cubur (grupur) σ c ş tracubur. Cum σ ete fă, precza uu odaj î cubur ete cu atât ma buă cu cât σ c ete ma mcă ş cu cat varaţa î terorul cuburlor ete ma mare. (Fg. 4.5). 0 0 a. b. Fg Efcactatea uu odaj î cubur: a. cubur efcete: medle de grup marcate pr pucte ut puţ dperate; b. cubur efcete: medle cuburlor ut la fel de dperate ca ş valorle dvduale Dpera (varaţa) totală ete alcătută d do terme: dpera tercubur ş dpera tracubur: N N N σ (X X) + σ σc + σ, (4.73) N N N Dpera tergrupur eprmă egaltatea dverelor med de grupă ître ele TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE ÎN FUNDAMENTAREA DECIZIILOR
26 STATISTICĂ ECONOMICĂ Deeor, maager trebue ă fe pregătţ ă a decz prvd acţule vtoare pe baza formaţlor dpoble. Î proceul de luare a deczlor, e emt poteze pe care le pot teta ştţfc utlzâd metodele ş tehcle tattce. DEFINIŢIE: Ipoteza tattcă ete poteza care e face cu prvre la parametrul ue repartţ au la legea de repartţe pe care o urmează aumte varable aleatoare Cocepte ş eror î tetarea potezelor tattce Î tattcă, potezele apar îtotdeaua î perech: poteza ulă ş poteza alteratvă. Ipoteza tattcă ce urmează a f tetată e umeşte poteză ulă ş ete otată, uzual, H 0. Ea cotă îtotdeaua î admterea caracterulu îtâmplător al deoebrlor, adcă î preupuerea că u etă deoebr eeţale. Repgerea poteze ule care ete tetată mplcă acceptarea ue alte poteze. Aceată altă poteză ete umtă poteză alteratvă, otată H. Procedeul de verfcare a ue poteze tattce e umeşte tet au crteru de emfcaţe. O ecveţă geerală de paş e aplcă la toate tuaţle de tetare a potezelor tattce. ) Se detfcă poteza tattcă pecală depre parametrul populaţe au legea de repartţe (H 0 ). ) Îtotdeaua poteza ulă ete îoţtă de poteza alteratvă (de cercetat), H, ce repreztă o teore care cotrazce poteza ulă. Ea va f acceptată doar câd etă ufcete dovez, evdeţe, petru a e tabl că ete adevărată. 3) Se calculează dcator tattc î eşato, utlzaţ petru a accepta au a repge poteza ulă ş e tableşte tetul tattc ce va f utlzat drept crteru de acceptare au de repgere a poteze ule. 4) Se tableşte reguea crtcă, R c Reguea crtcă ete delmtată de valoarea crtcă, C puctul de tăetură î tablrea acetea.
27 Î baza leg umerelor mar, uma îtr-u umăr foarte mc de cazur puctul rezultat d odaj va cădea î R c, majortatea vor cădea î afara regu crtce. Nu ete îă eclu ca puctul d odaj ă cadă î reguea crtcă, cu toate că poteza ulă depre parametrul populaţe ete adevărată. Eroarea pe care o facem elmâd o poteză ulă, deş ete adevărată, e umeşte eroare de geul îtâ. Probabltatea comter ue atfel de eror repreztă rcul de geul îtâ (α) ş e umeşte vel au prag de emfcaţe. Nvelul de îcredere al uu tet tattc ete (-α) ar î epree procetuală, (-α)00 repreztă probabltatea de garatare a rezultatelor. Eroarea pe cere o facem acceptâd o poteză ulă, deş ete fală, e umeşte eroare de geul al dolea, ar probabltatea (rcul) comter ue atfel de eror e otează cu β. Puterea tetulu tattc ete (-β). f( ) H 0 H α β µ 0 C µ Fg Legătura dtre probabltăţle α ş β Cum, o dată cu creşterea volumulu al eşatoulu, abaterle med pătratce ale dtrbuţlor petru H 0 ş H dev ma mc ş, evdet, atât α, cât ş β decrec (Fg. 4.7).
28 STATISTICĂ ECONOMICĂ f( ) H 0 H α β µ 0 C µ Fg α ş β câd volumul eşatoulu ' > 5) După ce am tablt pragul de emfcaţe ş reguea crtcă, trecem la paul următor, î care vom face prcpalele preupuer depre populaţa au populaţle ce ut eşatoate (ormaltate etc.). 6) Se calculează apo tetul tattc ş e determă valoarea a umercă, pe baza datelor d eşato. 7) La ultmul pa, e deprd cocluzle: poteza ulă ete fe acceptată, fe repă, atfel: a) dacă valoarea umercă a tetulu tattc cade î reguea crtcă (Rc), repgem poteza ulă ş cocluzoăm că poteza alteratvă ete adevărată. Vom şt că aceată decze ete corectă doar î 00 α % d cazur; b) dacă valoarea umercă a tetulu u cade î reguea crtcă (Rc), e acceptă poteza ulă H 0. Ipoteza alteratvă poate avea ua d tre forme (pe care le vom eemplfca petru tetarea egaltăţ parametrulu meda colectvtăţ geerale, µ cu valoarea µ 0 ): ) H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 (µ < µ 0 au µ > µ 0 ); ş acet tet ete u tet blateral; ) H 0 : µ µ 0
29 H : µ > µ 0 care ete u tet ulateral dreapta; ) H 0 : µ µ 0 H : µ < µ 0 care ete u tet ulateral tâga. α/ α/ α α µ µ µ a) b) c) Fg Reguea crtcă petru: a) tet blateral; b) tet ulateral tâga; c) tet ulateral dreapta Tetarea poteze prvd meda populaţe geerale (µ) petru eşatoae de volum mare ) î cazul tetulu blateral, potezele ut: H 0 : µ µ 0 (µ - µ 0 0) H : µ µ 0 (µ - µ 0 0) (adcă µ < µ 0 au µ > µ 0 ); µ 0 µ 0 µ 0 z (4.74) σ σ Reguea crtcă Rc ete dată de: Rc: z< - z α/ au z> z α/ µ 0 Repgem H 0 dacă < zα / σ µ 0 au > zα / σ
30 STATISTICĂ ECONOMICĂ ) petru tetul ulateral dreapta, potezele ut: H 0 : µ µ 0 (µ - µ 0 0) H : µ > µ 0 (µ - µ 0 >0); Repgem poteza H 0 dacă µ 0 > z σ α ) Petru tetul ulateral tâga, potezele ut: H 0 : µ µ 0 (µ - µ 0 0) H : µ < µ 0 (µ - µ 0 <0); Repgem poteza H 0 dacă µ 0 σ < z α Tetarea poteze prvd dfereţa dtre două med petru eşatoae de volum mare U etmator al dfereţe (µ - µ ) ete dfereţa dtre medle eşatoaelor ( ). σ σ σ( ) + (4.75) ude σ ş σ ut dperle celor două populaţ eşatoate, ar ş ut volumele eşatoaelor repectve. Î cazul î care dperle celor două populaţ eşatoate ut egale, σ σ σ : σ( ) σ + (4.76) Î acete codţ, potezele tattce ce urmează a f tetate vor f: ) tet blateral
31 H 0 : (µ - µ ) D H : (µ - µ ) D [(µ - µ )>D au (µ - µ )<D] ) tet ulateral dreapta H 0 : (µ - µ ) D H : (µ - µ ) > D ) tet ulateral tâga H 0 : (µ - µ ) D H : (µ - µ ) < D Tetul tattc utlzat are forma: z ( ) D σ ( ) Reguea crtcă ete dată de: ) z< - z α/ au z> z α/ ) z> z α ) z< - z α Tetarea poteze prvd meda populaţe geerale (µ) petru eşatoae de volum redu Î locul tattc z care ecetă cuoaşterea (au o buă apromare) a lu σ, vom folo tattca: µ 0 µ 0 t (4.77) ( ) ude: ) tet blateral
32 STATISTICĂ ECONOMICĂ H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 (µ < µ 0 au µ > µ 0 ); ) tet ulateral dreapta H 0 : µ µ 0 H : µ > µ 0 ) tet ulateral tâga H 0 : µ µ 0 H : µ < µ 0 Tetul tattc utlzat: µ 0 µ 0 t Preupuerea pecală ce trebue făcută ete aceea că populaţa geerală ete ormal au apromatv ormal dtrbută. Reguea crtcă ete dată de: ) t > t α/,- au t < - t α/,- ) t > t α,- ) t < - t α, Tetarea poteze prvd dfereţa dtre două med petru eşatoae de volum redu Î codţle î care preupuem că cele două colectvtăţ geerale au dper egale ( σ σ σ ), u etmator al dpere (varabltăţ) totale d cele două populaţ combate ete: ( ) + ( ) c (4.78) +
33 au c ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) (4.79) + Ipotezele tattce vor f, î acete codţ: ) tet blateral H 0 : µ µ (µ - µ D) H : µ µ (µ - µ D) ) tet ulateral dreapta H 0 : µ µ (µ - µ D) H : µ > µ (µ - µ > D) ) tet ulateral tâga H 0 : µ µ (µ - µ D) H : µ < µ (µ - µ < D) t Tetul tattc t va avea forma: ( ) D ( ) c + ( ) + ( ) D ( + ) + Reguea crtcă ete dată de: ) t< - t au t> t α /,+ α /, + ) t> t α, + ) t< t + α,
34 STATISTICĂ ECONOMICĂ Îtrebăr recaptulatve. Defţ coceptul de elecţe tattcă.. Arătaţ avatajele utlzăr elecţe tattce. 3. Ce ete eşatoul? 4. Ce repreztă oţuea de eroare de etmaţe? 5. Arătaţ prcpalele oţu perech pecfce elecţe tattce. 6. Care ut prcpalele etape ale realzăr uu odaj tattc? 7. Pr ce e caracterzează o dtrbuţe de eşatoare? 8. Sodajul aleator mplu repetat: caractertc, eroare de reprezetatvtate, eroare lmtă admblă, terval de îcredere. 9. Cum e determă volumul eşatoulu î cazul odajulu aleator mplu repetat ş erepetat. De ce factor depde? 0. Determarea eror de reprezetatvtate, a eror mam admble ş a tervalulu de îcredere î cazul utlzăr odajulu mplu aleator erepetat.. Cum e determă probabltatea de garatare a rezultatelor î cazul odajulu aleator mplu repetat ş erepetat?. Determarea tervalulu de îcredere î cazul odajulu aleator mplu de volum redu. 3. Determaţ dcator de odaj, erorle ş tervalul de îcredere petru caractertca alteratvă î cazul odajulu mplu aleator. 4. Volumul eşatoulu ş probabltatea de garatare a rezultatelor petru caractertca alteratvă odaj mplu aleator. 5. Ce partculartăţ preztă odajul tratfcat? 6. Î ce codţ e foloeşte ş care ut avatajele utlzăr odajulu tpc î cercetarea tattcă? 7. Calculul dcatorlor de odaj petru o caractertcă cattatvă, î cazul odajulu tpc. 8. Cum e alege umărul de tratur ş cum e repartzează volumul eşatoulu pe tratur? 9. Calculul dcatorlor de odaj petru o caractertcă alteratvă î cazul odajulu tratfcat. 0. Sodajul de er cocept, utlzare, partculartăţ, avataje.. Ce repreztă poteza ulă îtr-u proce de tetare de poteze tattce?. Ce repreztă poteza alteratvă îtr-u proce de tetare de poteze tattce?
35 3. Ce repreztă tetul au crterul de emfcaţe? 4. Ce repreztă reguea crtcă? 5. Câd comtem o eroare de geul îtâ? 6. Câd comtem o eroare de geul al dolea? 7. Ce repreztă α ş β? 8. Care ut paş î cotrurea uu tet tattc? 9. Cum e tetează poteza prvd meda ue colectvtăţ geerale î cazul eşatoaelor mar? 30. Cum e tetează poteza prvd meda ue colectvtăţ geerale î cazul eşatoaelor de volum redu? 3. Cum e tetează poteza prvd dfereţa dtre medle a două colectvtăţ geerale, î cazul eşatoaelor mar? 3. Cum e tetează poteza prvd dfereţa dtre medle a două colectvtăţ geerale, î cazul eşatoaelor de volum redu?
Sondajul statistic- II
08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere
Διαβάστε περισσότεραTeste de autoevaluare
CAPITOLUL 4 Tete de autoevaluare 1. Maagerul ue compa de produe cometce doreşte ă ale vârta mede a emelor care achzţoează u produ recet promovat pe paţă. Petru aceata, e orgazează u odaj pe 100 de cumpărătoare
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni de verificare a ipotezelor statistice
Noţu de verfcare a potezelor statstce Verfcarea potezelor statstce este legată de compararea dfertelor poteze asupra ue populaţ statstce (ş u asupra uu eşato) cu datele obţute pr îcercăr expermetale Dacă
Διαβάστε περισσότεραSondajul statistic -III
STATISTICA Sodajul statstc -III tema 9 sapt.3-7 aprle 1 al.sac-mau www.amau.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studet/de.asp?tem=fsere&id=88 Dstrbuta ormala Dstrbuta ormala Cea ma mportata dstrbute cotua: umeroase
Διαβάστε περισσότεραProductia (buc) Nr. Salariaţi Total 30
Î vederea aalze productvtăţ obţute î cadrul ue colectvtăţ de salaraţ formată d 50 de persoae, s-a extras u eşato format d de salaraţ. Datele refertoare la producţa zle precedete sut prezetate î tabelul
Διαβάστε περισσότεραCercetarea prin sondajul II Note de curs prelegere master data 24 oct.2013
Cercetarea pr sodajul II ote de curs prelegere master data 4 oct.13 al.sac-mau www.amau.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studet/de.asp?tem=fsere&id=88.oct.13 1 Dstrbuta ormala.oct.13 Dstrbuta ormala Cea ma
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραAnaliza univariata a datelor
Aalza uvarata a datelor Chestu orgazatorce Nota: Exame fal (mart, 13 ma): 70% Proect semar: 30% Suport curs: Cătou I. (coord.), Băla C., Dăeţu T., Orza Gh., Popescu I., Vegheş C., Vrâceau D. "Cercetăr
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA
ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA Cursul CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA STATISTICA DESCRIPTIVA Populate, Caracterstca dscreta, cotua
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραStatistica matematica
Statstca matematca probleme de dfcultate redusa ) Dtr-o popula e ormal repartzat cu dspersa ecuoscut se face o selec e de volum. Itervalul de îcredere petru meda m a popula e cu dspersa ecuoscut s s este
Διαβάστε περισσότεραTEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE
TEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE Obectve Cuoaşterea metodelor umerce de descrere a datelor statstce Aalza rcalelor metode umerce etru descrerea datelor cattatve egruate Aalza
Διαβάστε περισσότεραANALIZA STATISTICĂ A VARIABILITĂŢII (ÎMPRĂŞTIERII) VALORILOR INDIVIDUALE
4. ANALIZA STATISTICĂ A VARIABILITĂŢII (ÎMPRĂŞTIERII) VALORILOR INDIVIDUALE Feomeele de masă studate de statstcă se mafestă pr utăţle dvduale ale colectvtăţ cercetate care preztă o varabltate (împrăştere)
Διαβάστε περισσότεραLUCRARE DE LABORATOR NR. 1 MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA
LUCRARE DE LABORATOR NR. MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA. OBIECTIVELE LUCRARII Isusrea uor otu refertoare la: - eror
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA PROAILITĂŢILOR Câmp de evemete U feome îtâmplător se poate observa, de regulă, de ma multe or Faptul că este îtâmplător se mafestă pr aceea că u ştm date care este rezultatul
Διαβάστε περισσότεραStatistica descriptivă. Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu
Statstca descrptvă Şef de Lucrăr Dr. Mădăla Văleau mvaleau@umfcluj.ro MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medaa, Modul, Meda geometrca, Meda armoca, Valoarea cetrala MĂSURI DE DE DISPERSIE Mm, Maxm,
Διαβάστε περισσότεραVII. STATISTICĂ 7.1. INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE Mărimile medii Media aritmetică
VII STATISTICĂ 7 INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE 7 Mărmle med Meda velurlor dvduale ale ue varable (caracterstc) statstce este epresa stetzăr îtr-u sgur vel reprezetatv a tot ceea ce este eseţal, tpc ş
Διαβάστε περισσότεραProcese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =
Xt () Procese stocastce (2) Fe u proces stocastc de parametru cotuu s avad spatul starlor dscret. Cu spatul starlor S = {,,, N} sau S = {,, } Defta : Procesul X() t este u proces Markov daca: PXt { ( )
Διαβάστε περισσότεραCURS 10. Regresia liniară - aproximarea unei functii tabelate cu o functie analitica de gradul 1, prin metoda celor mai mici patrate
Y CURS 0 Regresa lară - aproxmarea ue fuct tabelate cu o fucte aaltca de gradul, pr metoda celor ma mc patrate 30 300 90 80 70 60 50 40 30 0 y = -78.545x + 33.4 R² = 0.983 0 0. 0.4 0.6 0.8. X Fe o fucţe:
Διαβάστε περισσότερα2. Metoda celor mai mici pătrate
Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo
Διαβάστε περισσότεραSTATISTICĂ MARINELLA - SABINA TURDEAN LIGIA PRODAN
MARINELLA - SABINA TURDEAN LIGIA PRODAN STATISTICĂ STATISTICĂ CUPRINS Captolul NOŢIUNI INTRODUCTIVE... 5. Momete ale evoluţe statstc... 5. Obectul ş metoda statstc... 5.3 Noţu fudametale utlzate î statstcă...
Διαβάστε περισσότερα9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL
9. CRCE ELECRCE N REGM NESNSODAL 9.. DESCOMPNEREA ARMONCA Ateror am studat regmul perodc susodal al retelelor electrce, adca regmul permaet stablt retele lare sub actuea uor t.e.m. susodale s de aceeas
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)
Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Biostatistica: trecere in revista a metodelor statistice clasice
Curs 3. Bostatstca: trecere revsta a metodelor statstce clasce Bblo: W.Ewes, G.R. Grat Statstcal methods boformatcs, Sprger, 005 Cap. -3, cap.5 Structura Teste de asocere (depedeță) Teste de cocordață
Διαβάστε περισσότεραElemente de teoria probabilitatilor
Elemete de teora probabltatlor CONCEPTE DE BAZA VARIABILE ALEATOARE DISCRETE DISTRIBUTII DISCRETE VARIABILE ALEATOARE CONTINUE DISTRIBUTII CONTINUE ALTE VARIABILE ALEATOARE Spatul esatoaelor, pucte esato,
Διαβάστε περισσότεραECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ECUATII NELINIARE PE R. INTRODUCERE e D R D R : s sstemul: ( x x x ) ( x x x ) D () Daca se cosdera aplcata : D R astel ca: ( x x
Διαβάστε περισσότερα3. INDICATORII STATISTICI
3. INDICATORII STATISTICI 3.. Necestatea folosr dcatorlor statstc. Idcator statstc prmar. Idcator statstc dervaţ Am văzut că obectul de studu al statstc îl costtue feomeele ş procesele de masă. Acestea
Διαβάστε περισσότεραPentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:
etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru
Διαβάστε περισσότεραEvaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.
Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραCu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,
Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp:
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE ESTIMARE A PARAMETRILOR UNEI REPARTIŢII. METODA VEROSIMILITĂŢII MAXIME. METODA MOMENTELOR.
Curs 6 OI ETOE E ETIARE A ARAETRILOR UNEI REARTIŢII. ETOA VEROIILITĂŢII AIE. ETOA OENTELOR.. Noţu troductve Î legătură cu evaluarea ş optzarea proceselor oraţoale apar ueroase problee de estare cu sut:
Διαβάστε περισσότεραINTRODUCERE. Obiectivele cursului
STATISTICĂ ECONOMICĂ INTRODUCERE Deschderea ş mobltatea metodelor statstce de vestgare a feomeelor ş roceselor, î coferă acestea u caracter geeral de cercetare a realtăţ. Acest fat stă la baza dfertelor
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα1. Modelul de regresie
. Modelul de regrese.. Câteva cosderete de ord geeral La fel ca ş î multe alte dome, î domeul ecoomc ş î partcular î cel al afacerlor se îtâlesc deseor stuaţ care presupu luarea uor decz, care ecestă progoze
Διαβάστε περισσότεραProf. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Prof. univ. dr. Gabriela-Victoria ANGHELACHE Lector univ. dr. Florin Paul Costel LILEA
Metode ş procedee de ajustare a datelor pe baza serlor croologce utlzate î aalza tedţe dezvoltăr dfertelor dome de actvtate socal-ecoomcă Prof. uv. dr. Costat ANGHELACHE Uverstatea Artfex/ASE - Bucureșt
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic
Ssteme cu asteptare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc Dscpla cadrul cozlor de asteptate M / M / Modelul ( server, pozt de asteptare ) Aplcat modelarea trafculu de date la vel de pachete M / M
Διαβάστε περισσότεραPRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE
Lucrarea r. PRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE. GENERALITATI I electrotehcă ş electrocă terv umeroase mărm fzce ca: tesue, curet, rezsteţă, eerge, etc., care se caracterzează pr mărme ş pr aumte
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de ecuaţii neliniare
Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub
Διαβάστε περισσότεραProbabilități și Statistică 1.1. Metoda Monte-Carlo
Matematcă ș Iformatcă.. Metoda Mote-Carlo.. Metoda Mote Carlo. Aplcaţ. Precza metode. Termeul,,Metoda Mote Carlo este som cu termeul,,metoda epermetelor statstce. Aparţa aceste metode se raportează de
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Spaţii vectoriale
Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραTema 2. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE
Tea. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE. Eror de ăsură A ăsura o ăre X îseaă a copara acea ăre cu alta de aceeaş atură, [X], aleasă pr coveţe ca utate de ăsură. I ura aceste coparaţ se poate scre X=x[X]
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραStatistica descriptivă (continuare) Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu
Statstca descrptvă (contnuare) Şef de Lucrăr Dr. Mădălna Văleanu mvaleanu@umfcluj.ro VARIABILE CANTITATIVE MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medana, Modul, Meda geometrca, Meda armonca, Valoarea
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea din București, Facultatea de Chimie, Specializarea: Chimie Medicală/Farmaceutică
Uverstatea d Bucureșt, Facultatea de Chme, Specalzarea: Chme Medcală/Farmaceutcă Statstcă & Iformatcă TEME ș aplcaț Laborator (M. Vlada, 07 Laborator Tema. Calcule statstce, fucț matematce ș statstce facltăț
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραPRELEGEREA IX STATISTICĂ MATEMATICĂ
PRELEGEREA IX STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Eşatioarea şi ditribuţii de eşatioare Metodele tatitice, furizate de tatitica ifereţială, permit formularea uor cocluzii depre o populaţie pri ivetigarea uui eşatio
Διαβάστε περισσότεραBAZELE STATISTICII - Manual de studiu individual -
MARINELLA SABINA TURDEAN LIGIA PRODAN BAZELE STATISTICII - Maual de studu dvdual - MARINELLA SABINA TURDEAN LIGIA PRODAN BAZELE STATISTICII - Maual de studu dvdual - 3 Copyrght 0, Edtura Pro Uverstara
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE
METODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A 0. LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE Asura feomeelor de masă studate de statstcă acţoează u umăr de factor rcal ş secudar, eseţal ş eeseţal, sstematc ş îtâmlător, obectv ş subectv,
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα8.3. Estimarea parametrilor
8.3. Estmarea parametrlor Modelarea uu feome aleatoru real, precum trafcul ofert de o sursă formaţoală, ue reţele de comucaţ, îseamă detfcarea uu model probablstc, M, varablă aleatore sau proces aleatoru,
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραANALIZA UTILIZĂRII FORŢEI DE MUNCĂ ŞI A SALARIZĂRII MUNCII
ANALZA ULZĂR FORŢE DE MUNCĂ Ş A SALARZĂR MUNC 3. ANALZA ULZĂR EXENSVE A FORŢE DE MUNCĂ 3.. Efectvul ş calfcarea forţe e mucă Forţa e mucă e care pue u aget ecoomc e eveţază pr umărul peroalulu agajat,
Διαβάστε περισσότεραStatistică şi aplicaţii în ştiinţele sociale TESTE NEPARAMETRICE Teste parametrice versus teste neparametrice
Captolul 17 TESTE NEPARAMETRICE 17.1 Teste parametrce versus teste neparametrce T estele statstce abordate anteror sunt cunoscute ca teste parametrce. Acestea mplcă poteze ş/sau presupuner refertoare la
Διαβάστε περισσότεραIntroducere în Econometrie
SINTEZA CURS Econometre ş prevzune economcă (I) Structura cursulu Cursul de Econometre pe care îl vor parcurge studenţ anulu II Management va cuprnde următoarele captole mar: - Econometra defnţ ş obectve;
Διαβάστε περισσότεραSub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca:
Metoda gradetulu proectat (metoda Rose) Î cazul problemelor de optmzare covee ale căror restrcţ sut lare se poate folos metoda gradetulu proectat. Î prcpu, această metodă poate f folostă ş petru cazul
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραClasificarea. Selectarea atributelor
Clascarea Algortm de clascare sut utlzaț la împărțrea ue populaț î p clase de dvz. Fecare dvd este caracterzat prtr-u asamblu de m varable cattatve ş/sau caltatve ş o varablă caltatvă detcâd clasa d care
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραTeoria aşteptării- laborator
Teora aşteptăr- laborator Model de aşteptare cu u sgur server. Î tmpul zle la u ATM (automat bacar care permte retragerea de umerar s alte trazacţ bacare electroce) avem î mede 4 de cleţ pe oră, adcă.4
Διαβάστε περισσότερα9. SONDAJUL STATISTIC
9. SODAJUL STATISTIC 9.. Cosideraţii geerale Creşterea ecesarului de iformaţii ce trebuie obţiute cu maximă operativitate a codus la extiderea utilizării sodajului statistic. Această expasiue a sodajului
Διαβάστε περισσότεραDin această definiţie a probabilităţilor rezultă următoarele proprietăţi ale acestora:
FIABILIAE Î proectarea ş costrucţa dfertelor ecpamete este ecesară asgurarea sguraţe î fucţoare a acestora; această codţe a codus la utlzarea î proectare a aumtor coefceţ de sguraţă. Noţule de fabltate
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραII. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.
II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραB( t B 11. NOŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEOREMELE GENERALE ALE DINAMICII Lucrul mecanic. y O j
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam. NŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEREMELE GENERALE ALE DINAMIII Reolvarea problemelor de damă se fae u ajutorul uor teoreme, umte teoreme geerale, deduse pr aplarea
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE
CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue
Διαβάστε περισσότεραTEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ
TEMA 0 TESTE DE CONCORDANŢĂ Obiective Cuoaşterea coceptelor reritoare la testele de cocordaţă Aaliza pricipalelor teste de cocordaţă Aplicaţii rezolvate Aplicaţii propuse Cupris 0. Cocepte reritoare la
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραaşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe
Cuprs Prefaţă... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ... 7 Matrc... 8 Matrc partculare... 9 Iversa ue matrc... Ssteme de ecuaţ lare... 5 Problema compatbltăţ sstemelor... 7 Problema determăr sstemelor... 8
Διαβάστε περισσότεραCURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NELINIARE. 0 Norma unui vector şi norma unei matrici. n n cu elemente scalare (reale, complexe).
CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NEINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCouplage dans les applications interactives de grande taille
Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότερα