CURS 10. Regresia liniară - aproximarea unei functii tabelate cu o functie analitica de gradul 1, prin metoda celor mai mici patrate

Transcript

1 Y CURS 0 Regresa lară - aproxmarea ue fuct tabelate cu o fucte aaltca de gradul, pr metoda celor ma mc patrate y = x R² = X

2 Fe o fucţe: f:[a,b], [a,b] petru care este cuoscut u umăr dscret de valor y îtr-u umăr de pucte de reţea x [a,b]: Y x f(x )=y,, I geeral, valorle y sut afectate de eror de măsură sau de eror de calcul y Cum alegem fucta model? X Ce vrem? Aproxmarea aceste fucţ tabelate f cu o fucţe "model": α j - parametr a fucţe model De ce? F(x ; α j ) - permte cuoasterea valor orce puct x x - poate f dervata, tegrata sau folosta alte calcule F trebue să fe determată de feomeul fzc modelat F se va alege dtr-o clasă coveablă de fucţ care să ofere smpltate ş efceţă î prelucrăr ulteroare

3 α j => F Cum determam parametr fucţe model? Se defeşte o fucţoală care să reflecte gradul î care fucţa F aproxmează fucţa tabelată f. Dstaţa dtre fucţa tabelată ş fucţa model: Cazur: Iterpolare: grafcul fucte F trece pr toate puctele (x,y ) Ftare: grafcul fucte F u trece eaparat pr puctele (x,y )

4 Ftare - se mmzează suma abaterlor pătratce ale fucţe model faţă de fucţa tabelată: j S y F(x ; ) Codţle de obţere a parametrlor α j : S j 0; j, k = regrese (ajustare) pr metoda celor ma mc pătrate

5 Regresa lară Fucţa model = fucţe de gradul : F=ax+b F=F(x, α j ) j= Fucţoala S: S y (ax b) Codţle de obţere a parametrlor α j (a ş b): S a S b 0 0 y (ax b) ( x ) 0 y (ax b) 0 xy ax bx 0 y ax b 0 Notăm: x y Sxy x Sxx x Sx y Sy Tem cot că: b b

6 Sstemul de ecuaţ deve: Sxy asxx bsx 0 Sy asx b 0 Îmulţd prma ecuaţe cu ş a doua cu (-S x ) ş aduâdu-le se obţe: a S S S x y xy b Sy asx (S x ) Sxx Semfcata parametrlor de ft: a - pata drepte de regrese a=tg(α) α - ughul făcut de grafcul fucţe F cu axa abscselor b - valoarea la care grafcul fucţe tersectează axa ordoatelor (terceptor) U b =E-rI F=ax+b E=b r= tg() Valorle estmate de dreapta de regrese (y calc ) sut terpretate ca med ale valorlor y asocate cu o aumtă valoare x.

7 Cum se procedează atuc câd fucţa model u este o fucţe de gradul? Exemplu U set de măsurător de radoactvtate t(ore) Λ(mC) C = Bq (t) t 0e

8 t(ore) Λ(mC) l(λ)) l( (t)) l( 0) t l(λ 0 (t))=y y'=a-bt ude a=l(λ 0 ) ş b=λ Λ 0 =exp(6.9565)= l( 0 )

9 Coefcetul de corelare R - dă caltatea ue drepte de regrese R = => fucţa model explcă îtreaga varabltate a lu y R = 0 => u exstă c o relaţe lară ître varabla răspus ş varabla x (ître y ş x) R = 0.5 => aproxmatv 50% d varaţa varable răspus poate f explcată de către varabla depedetă

10 //regresa lara #clude <stdo.h> #clude <coo.h> #clude <graphcs.h> #clude<stdlb.h> #clude<math.h> t ma() { FILE *f; t,,xpm,xpmax,ypm,ypmax,xr,yr; float x,y,xd[0],yd[0],xdm,xdmax,ydm,ydmax; float Sx,Sy,Sxx,Sxy,a,b; float ymed, s,s,r; float ax,bx,ay,by; t xp[50],yp[50]; char f[0],stra[5], strb[5]; prtf("numele fserulu de trare: "); gets(f); f=fope(f,"r"); f(!f) { prtf("\fser exstet!"); getch(); ext(); } =0; Sx=Sy=Sxx=Sxy=0; whle(!feof(f)) { f(fscaf(f,"%f%f",&x,&y)==) { xd[]=x; yd[]=y; ++; Sx+=x; Sy+=y; Sxx+=x*x; Sxy+=x*y; } } =; a=(*sxy-sx*sy)/(*sxx-sx*sx); b=(sy-a*sx)/; fclose(f);

11 f=fope(f,"r"); s=s=0; ymed=sy/; whle(!feof(f)) { } R=-s/s; f(fscaf(f,"%f %f",&x,&y)==) { s+=(a*x+b-y)*(a*x+b-y); s+=(ymed-y)*(ymed-y); } prtf("===================================================\"); prtf("= %d",); for(=0;<;++) prtf("\%0.f\t%0.f",xd[],yd[]); prtf("\\parametr de ft sut:\a= %7.3f\tb= %7.3f\",a,b); prtf("\coefcetul de corelare: R= %g\",r); prtf("===================================================\"); fclose(f); xdm=xdmax=xd[0]; ydm=ydmax=yd[0]; for(=0;<;++) { f(xd[]>xdmax) xdmax=xd[]; else f(xd[]<xdm) xdm=xd[]; f(yd[]>ydmax) ydmax=yd[]; else f(yd[]<ydm) ydm=yd[]; }

12 //Dmesule ferestre de afsare s coefcet de scalare xpm=60;xpmax=440; ypm=85;ypmax=365; ax=(xpmax-xpm)/(xdmax-xdm); bx=xpm-ax*xdm; ay=(ypmax-ypm)/(ydm-ydmax); by=ypmax-ay*ydm; for(=0;<;++) { xp[]=(t)(ax*xd[]+bx); yp[]=(t)(ay*yd[]+by); } twdow(800,500,"regresa lara",5,5); xpmax=getmaxx(); ypmax=getmaxy(); setcolor(green); xr=4;yr=4; for(=-;<=;++) rectagle(50+,75+,450-,375-); for(=0;<;++) { fllellpse(xp[], yp[], xr, yr); delay(500); } setcolor(yellow); setlestyle(0,0,); //Trasarea drepte de regrese le(xp[0],(t)(ay*(xd[0]*a+b)+by),xp[-],(t)(ay*(xd[-]*a+b)+by)); delay(000); //Tparrea formatlor pe grafc settextstyle(4,horiz_dir,); outtextxy(70,390,"i (ma)"); settextstyle(,horiz_dir,3);

13 outtextxy(50,0,"regresa lara"); settextstyle(6,horiz_dir,); outtextxy(50,40,"exemplu: potetometrul compesator"); settextstyle(4,vert_dir,); outtextxy(0,70,"u (V)"); settextstyle(8,horiz_dir,); outtextxy(460,00,"fucta de ft:"); outtextxy(460,30,"f(x) = "); gcvt(a,5,stra); gcvt(b,7,strb); outtextxy(530,30,stra); outtextxy(60,30,"x +"); outtextxy(650,30,strb); gcvt(r,5,stra); outtextxy(460,60,"r^ = "); outtextxy(530,60,stra); outtextxy(460,30,"e = "); outtextxy(500,30,strb); outtextxy(570,30," V"); outtextxy(460,350,"r = "); gcvt(-a,5,stra); outtextxy(500,350,stra); outtextxy(580,350," ohm"); setcolor(red); rectagle(455,30,650,376); whle(!_kbht()); closegraph(); retur 0; }

14 Devaţa stadard (abaterea stadard) = dstaţa mede dtre meda valorlor uu set de date ş datele setulu respectv - măsoară împrăşterea datelor dtr-u set (dspersa faţă de mede) valor, meda = 5 0 valor, meda =

15 Formula X X Numtorul: - - dacă datele X repreztă u eşato - dacă datele X repreztă îtreaga populaţe (petru -mare, -) Semfcate

16

17 _ x x S a er _ S xx S x S a er _ x x x S b er _ x xx xx S S S S b er y b x a S ude: Eroarea estmar parametrlor de ft Sut ecesare mm tre pucte petru aputea folos regresa lara!

18 Exemplu Presupuem că s-au obţut ma multe valor petru E ş petru r, d măsurător repetate. Rezultatul fal se raportează ca ş valoarea mede +/- devaţa stadard.

19 Aalza rezduurlor y = x R² = y = 9.776x x R² = y = 049.9e -0.5x R² = Ft lar Ft expoetal Ft parabolc

20 Dstrbuţa ormală (Gaussaă) Fucţa destăţ de probabltate (destatea ue varable aleatoare cotue) este o fucţe care descre probabltatea relatvă petru ca respectva varablă sa abă o aumtă valoare. Probabltatea ca varabla aleatoare să abă valor îtr-u aumt terval este dată de tegrala destăţ varable respectve pe tervalul dat. Fucţa destăţ de probabltate este eulă pe îtreg domeul său de defţe, ar tegrala sa pe îtreg spaţul este egală cu uu. Fucţa destăţ de probabltate petru dstrbuţa Gaussaă cu meda ş devaţa stadard ( x;, ) exp ( x ) Dstrbuţa Gaussaă stadard (=0 ş =) x ( x) exp