Proprietatile descriptorilor statistici pentru serii univariate

Transcript

1 Revsta Ioratca Ecooca, r. (3) / Proretatle descrtorlor statstc etru ser uvarate Pro.dr. Vergl VOINEAGU, co.dr. Tudorel ANDREI Catedra de Statstca s Prevzue Ecooca, A.S.E. Bucurest Studerea uu eoe se realzeaza r cosderarea uu set de varable asurate etru utatle ue oulat Γ costtute d utat eleetare. Vo cosdera ca varablele sut î uar de. Caracterstcle curse î rograul observar statstce sut dete r uratoarele eleete:. Satul observatlor, otat r ΩΩ Ω Ω.. Structura algebrca trodusa î satul de observat, otata r SS S S. 3. Alcata v:γ Ω, care atrbue ecare utat d cadrul oulate valor etru caracterstcle d laul observar, sub ora vectorulu v()(v (),v (),,v ()). S-a cosderat Γ. Cuvte chee: utate, scala, varabla, observate, descrtor statstc, sere uvarata. Î ucte de caracterstcle ult Ω s de structura S, se dstg uratoarele tur de varable:. Caltatv oale. Î acest caz vo avea o ulte orata dtr-u uar t de codur uerce. Aceste varable sut asurate e o scala oala. Pe aceasta scala u se troduce structura de orde d corul uerelor reale s c oeratle obsute de aduare, scadere etc. Scala este olosta ua etru eectuarea oeratlor de clascare s gruare a utatlor oulate.. Caltatv ordale. Î cadrul aceste varable, asurata e o scala ordala, este ersa troducerea oerate de orde de e aa uerelor reale. Nc î acest caz u are ses eectuarea de calcule drecte asura valorlor varable, îtrucât u este ersa calcularea dstate dtre valor. 3. Cattatve asurate e o scala de terval. Î acest caz se troduce dstata ître valor, dar u are ses raortul dtre a- cestea, îtrucât valoarea ula este arbtrara. 4. Cattatve asurate e o scala de raort. Î acest caz ΩR este o ulte îzestrata cu o structura de cor ordoat. Structura asocata ult Ω este îtotdeaua dusa de seatca subaceta araetrulu aalzat, otv etru care o u structura aradgatca. De eelu, araetrulu vârsta se asocaza: varabla caltatva ordala (clase de vârsta erate r cuvte); o varabla cattatva asurata e o scala de raort (vârsta eacta a ue ersoae asurata î a îtreg). Pot utlzate doua tehc etru trasorarea varablelor: r schbarea structur s r dverse oerat de codcare. Fe varabla deta r alcata v:γ Ω, care este îzestrata cu o structura S. Î acest caz vo sue ca varabla este suusa ue trasorar r schbarea structur, daca aceasta se îlocueste r varabla v / :Γ Ω care are structura S /, astel îcât v()v / () etru orce Γ. Petru a de schbarea de varabla r codcare de u alt satu al observatlor Ω /, îzestrat cu structura S /. Î aceste codt, de alcata c:ω Ω /. Astel, oua varabla este î at obtuta r couerea uctlor v s c. Valorle celor varable observate sut ordoate etru cele utat ale oulate îtr-o atrce de ora: j,...,,...,... j,...,,..., X... j,...,,...,

2 68 ude: j este u vector coloaa de desue, cotâd valorle ue caracterstc d laul de observare etru utatle oulate; I este vector le de desue, cu valor ale caracterstclor d laul observar etru o utate statstca d cadrul oulate Γ. Daca I sut oder (recvete relatve), cu, atuc vo de atrcea oderlor astel: Ddag( I ) Se observa ca î cazul î care utatle oulate au aceas odere, atuc D I, ude I este atrcea utate. Pr etode adecvate, vo relucra serle de date etru ecare caracterstca î arte, cât s etru ecare utate statstca. Detera î egala asura dcator etru asurarea deedetelor dtre caracterstc, a slartatlor utatlor statstce etc. Petru relucrarea serlor de date vo troduce: descrtor s etrc î satul utatlor; descrtor s etrc î satul varablelor. Proretat ale descrtorulu () Vo rezeta î cotuare câteva roretat care ot luate î cosderare etru alegerea ue asur etru tedta ue ser uvarate. De asura statstca a tedte cetrale r alcata: : Ω j R j, ude () (,,, ). Revsta Ioratca Ecooca, r. (3) / 000 Deostra etru ecare asura statstca, ca tedta cetrala satsace ua sau a ulte d aceste roretat. Norul de ucte asocat ult utatlor d Γ etru o caracterstca d laul de observare se oteaza cu: N (, ), Petru asablul caracterstclor d laul observar de orul de ucte r: N{( I, ), }. Î cazul î care do vector (, y) sut coarat sau sut olost î cadrul ue eres algebrce, vo cosdera ca acest lucru este osbl atât d uct de vedere algebrc, cât s ecooc. Petru a asgura coarabltatea ecooca etru ce do vector vo olos e doua ser de date etru aceeas caracterstca, e vo recurge la dverse trasorar. Pr trasorar de orge s testate, vo obte u vector de valor oralzate d tervalul [0, ]. Î cele ce ureaza vo rezeta roretatle a ortate e care o asura statstca a tedte cetrale le îdel-este. Precza ca aceste roretat sut use î dscute etru cazul serlor de dstrbute uodale. Proretatea [P ]. Masura statstca () alcata vectorlor asablulu Ω îdeleste roretatea de teredartate daca s ua daca Ω ave ca aceasta se îcadreaza ître cele doua valor etree: ( ) ( ) a( ). Toate asurle statstce ale tedte cetrale oloste î statstca descrtva satsac aceasta roretate. Daca Ω, atuc u este lct s atul ca () Ω. Aceasta este o restrcte robusta etru o asura a tedte cetrale a ue ser de date. Proretatea [P ]. O asura statstca satsace roretatea de ootoe daca, doua ser de date ale aceleas caracters-

3 Revsta Ioratca Ecooca, r. (3) / tc,, y Ω cu y, atuc ( ) ( y). Daca ra roretate este satsacuta de tot dcator tedte cetrale olost î statstca descrtva, u acelas lucru se îtâla s î cazul aceste roretat. Este cazul, de eelu, al valor odale, care u satsace roretatea etru orce sere de valor. Daca etru do vector, y Ω, y, s î lus esta valor î s y astel îcât y, atuc >y. Proretatea 3 [P 3 ]. O asura statstca satsace roretatea de regulartate daca s ua daca,y Ω, cu > y, se obte () > (y). Aceasta roretate este ult a robusta decât P. Astel, ajortatea dcatorlor calculat e baza structurlor de orde satsac P, dar u s roretatea P 3. Este cazul, sre eeu, cel al edae care verca P dar u s roretatea de regulartate. Proretatea 4 [P 4 ]. Masura statstca a tedte cetrale îdeleste roretatea de oogetate daca s ua daca Ω s λ R * este satsacuta egaltatea: (λ)λ () Se deostreaza ara dcultate ca aceasta roretate este îdelta de eda artetca s de dcator ed de ozte. De regula etru a asgura λ Ω vo * cosdera cazul artcular λ R + Proretatea 5 [P 5 ]. Petru u asablu Ω vo sue ca asura statstca este setrca daca Ω, atuc: ( ) (). Î at, aceasta roretate este u caz artcular al roretat P 4, stuate î care vo lua λ. Proretatea este deosebt de restrctva daca, e lâga egaltatea de a sus, se adauga s codta de aarteeta Ω. Proretatea 6 [P 6 ]. Masura () satsace roretatea de adtvtate daca,y Ω do vector etru care are ses sa de oerata de aduare, atuc: (+y) ()+ (y). Vo arata ca u toate asurle care vor utlzate etru aalza tedte cetrale a serlor de date satsac roretatea de adtvtate. De accea, vo troduce cocetele de asura a tedte cetrale subadtva s suraadtva. O asura a tedte cetrale este sub-adtva daca,y Ω, atuc (+y) ()+ (y). Î od aseaator de ca o asura este suraadtva daca,y Ω, ave ca (+y) () + (y). Petru a rezeta roretatea uratoare se oteaza u (,,,). Proretatea 7 [P 7 ]. O asura statstca acceta o schbare de orge, de altude h R, daca Ω s h R ave ca (+hu) h+ (). Daca etru o asura a tedte cetrale sut vercate sulta P 4 s P 7, atuc Ω s h, λ R, ave (λ+hu) h+ λ(). De cele a ulte or dcator tedte cetrale olost î statstca descrtva au aceasta roretate. Î cazul î care λ0 vo obte (hu) h, dec cetrul de greutate al uu sr de valor costate este îsas valoarea care costtue sera de date. Descrtor a tedte cetrale Vo rezeta î cele ce ureaza câteva asur ale tedte cetrale osbl de utlzat etru o sere uvarata de valor. ( ), utlzâd oderle ( ),, Ssteul de oderare, care oate costtut e baza recvetelor relatve sau robabltatlor, este det r vectorul (,,, ) cu 0 s. Petru a de u descrtor statstc este asablu de valor d VΩ vo cosdera, î cazul î care Ω R, ucta d(,y) de doua varable vectorale s y care satsace roretatle: ) d(,y)>0, y;

4 70 ) d(,y)0, y; )d(,y) d(y,); v) d(,z) d(,y)+ d(y,z),,y,z Ω. Fucta cu roretatle de a sus se ueste etrca sau dstata eucldaa. Cosderâd aceasta ucte vo cauta sa detera vectorul b(b,b,,b) R astel îcât d(,b) sa e a. Vo arata ca d, b d,, ude r (, b ( ) ( ).,,) s-a det u vector desoal, cu o valoare obtuta r alcarea asura sere a ue asur a tedte cetrale. Petru cosdera ca satul vectoral R este îzestrat cu ora: L ( ). Vo esta tedta cetrala r tere- L ( tu) tu t dul descrtorulu ()tu. Vo detera t R d codta de a ucte. Daca, atuc ul ucte L (-tu) se stueaza î tervalul eda; etru > valoarea a a ucte este uca. Petru valoarea ota a lu t de a- tuc dstata dtre vectorul observatlor s vectorul (), r: d (, ()) u () Î ractca sut utlzate uratoarele cazur artculare etru araetrul R: ), atuc valoarea a a erese este edaa sere de valor, ar dcatorul etru asurarea dserse sere de valor este: e (). ) Petru vo obte etrca eucldaa. Î acest caz d codta de a ucte L (-tu) vo detera: Revsta Ioratca Ecooca, r. (3) / 000 ar dcatorul etru caracterzarea gradulu de dsersare este abaterea stadard. )Daca atuc, dsue de etrca covergete uore, ar: ( ( ) + a( ) ) este cetrul de greutate al tervalulu î care sut lasate observatle caracterstc. Petru caracterzarea dserse se va utlza asura: e ( ) ( a( ) ( ) ). Petru vectorul orat d uere reale de urator descrtor statstc: ) eda de ordul : ( ) L ( ), R * ; Petru 0 vo obte orula ede geoetrce: 0 l. 0 ( ) Î tabelul vor trecute dverse artcularzar ale ede de ordul. Tabelul. α Meda obtuta Forula de calcul - Mul sere ( ) ( ) - Meda aroca ( ) Meda artetca Meda atratca Maul sere ( ) ( ) ( ) ( ) a( ) Se deostreaza ca eda de ordul, î raort cu ordul, este o ucte ooto crescatoare. Petru cazurle artculare d tabelul, se verca relata de orde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a( ) 0

5 Revsta Ioratca Ecooca, r. (3) / ) eda logartca de ordul, este deta etru orce vector R care are oderle (,,, ), r relata: l ( ) log e, Daca 0, atuc l ( ) l ( ) ( ) 0. l 0 0 Î at, ître ultele doua ed rezetate se verca relata: l log e, ( ) ( ( ) e ude ( e e, e,..., e ). Descrtor geeral Petru orul de ucte N de cetrul de greutate, care cocde cu vectorul edlor artetce calculate etru cele varable: G I I.. D. Petru a de dstata dtre doua utat îzestra satul cu o etrca seccata de atrcea M, setrca s oztv deta. Produsul scalar al do vector se era r < I, j > M j, ar dstata dtre doua utat este data de : d ( I, j ) I - j M( I - j ) M( I - j ). Î ractca, cele a utlzate etrc sut: MI, stuate î care se utlzeaza rodusul scalar obsut; Mdag(/s j ), j,, ceea ce reve la a dvza valorle observate ale varablelor r abaterle lor stadard. Avatajul aceste etrc este ca dstata dtre doua utat u dede de utatea de asura, varablele d echvalete ca ortata, deedet de altudea sau gradul de dsersare a valorlor. Se deeste astel erta totala a orulu de ucte r eda oderata a atratelor dstatelor uctelor ata de cetrul lor de greutate: I g ( I -g) M( I -g). Î geeral î raort cu u uct oarecare h erta I g se deeste r: I h ( I -h) M( I -h). Ître I g s I h esta relata: I h I g +(g-h) M(g-h). D ulta relate obte ca erta î raort cu cetrul de greutate este a. Î cazul î care g 0, atuc I g ( I ) M( I ). Bblograe Bezecr, J-P., Hstore et rehstore de l aalyse des doees, Duod, Pars, 983. Isac-Mau, Al.; Mtrut, C.; Voeagu, V., Statstca etru aageetul aacerlor, Edta a II-a, Edtura Ecooca, Bucurest, 999. Saorta, G., Probabltes, aalyse des doees et statstque, Tech, Pars, 990. Srcu, L, Calcu, M., Srcu, T., Aalza datelor de arketg, ALL, Bucurest, 994.