Teorema de punct fix a lui Banach
|
|
- Ἰωσήφ Παπάζογλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 CURSUL 8 Teorema de punct fix a lui Banach Teorema de punct fix a lui Banach, cunoscută şi sub denumirea de principiul contracţiilor, este un instrument important în teoria spaţiilor metrice; ea garantează existenţa şi unicitatea soluţiilor ecuaţiilor de forma x = f(x) pentru o clasă largă de aplicaţii f şi furnizează totodată o metodă constructivă de determinare a acestor soluţii. Teorema a fost formulată şi demonstrată în anul în 1922 de către Ştefan Banach ( ), fondatorul analizei funcţionale. Principiul contracţiilor este o abstractizare a metodei aproximaţiilor succesive, metodă utilizată în mod empiric încă din antichitate pentru rezolvarea ecuaţiilor numerice, şi care a fost utilizată cu succes, de exemplu, şi la rezolvarea ecuaţiei lui Kepler E = M + e sin E pentru determinarea poziţiei planetelor pe orbită. În cazul ecuaţiilor diferenţiale, metoda aproximaţiilor succesive a fost introdusă de Joseph Liouville în 1837 şi dezvoltată sistematic de Émile Picard începând cu anul Generalităţi despre spaţii metrice Vom reaminti, pentru început, câteva noţiuni şi rezultate de bază din teoria spaţiilor metrice. Definiţia 1. Numim spaţiu metric o mulţime nevidă X dotată cu o metrică d, adică cu o funcţie d : X X R care satisface următoarele axiome: i) x X, y X, d(x, y) 0 şi d(x, y) = 0 x = y; ii) x X, y X, d(x, y) = d(y, x); iii) x X, y X, z X, d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Metrica d din definiţia de mai sus mai este numită şi distanţă pe X, axiomele ei reţinând proprietăţile esenţiale ale noţiunii comune de distanţă dintre două puncte. Pentru a desemna în acelaşi timp şi mulţimea suport şi metrica considerată, vom folosi notaţia (X, d). Dintre spaţiile metrice uzuale amintim doar următoarele: mulţimea numerelor reale R cu distanţa obişnuită d(x, y) = x y ; mulţimea numerelor complexe C 1
2 cu d(z, w) = z w ; spaţiile R n cu metrica euclidiană d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2, şi spaţiul C [a,b] al funcţiilor continue x : [a, b] R dotat cu metrica convergenţei uniforme d(x, y) = sup x(t) y(t). t [a,b] Pentru orice punct x 0 al unui spaţiu metric X definim sfera de rază r > 0 şi centru x 0 prin S(x 0, r) = x X d(x 0, x) < r. Fie A X. Punctul x 0 X este punct interior mulţimii A dacă există r 0 > 0 astfel încât S(x 0, r 0 ) A. Mulţimea punctelor interioare lui A formează interiorul lui A, notat cu A. Punctul x 0 X este punct aderent lui A dacă, pentru orice r > 0, S(x 0, r) A. Mulţimea punctelor aderente lui A formează închiderea lui A, notată A. Un punct aderent lui A dar care nu este şi punct interior lui A se numeşte punct de frontieră, mulţimea lor formând frontiera lui A, notată A. Au loc egalităţile: A = A\ A= A X \ A. In cazul particular când A este o sferă, avem: S (x 0, r 0 ) = S(x 0, r 0 ), şi S(x 0, r 0 ) = x X d(x 0, x) r 0 S(x 0, r 0 ) = x X d(x 0, x) = r 0. O submulţime A X se numeşte deschisă dacă A = A, şi se numeşte închisă dacă A = A. Se poate arăta că A este deschisă dacă şi numai dacă complementara sa, X \ A, este închisă. Clasa submulţimilor deschise defineşte o topologie pe X, numită topologia indusă de metrică. În această topologie, V X este o vecinătate a punctului x 0 X dacă conţine o sferă centrată în x 0. Prin definiţie, un şir (x n ) din X este convergent la x X dacă în orice vecinătate V a lui x se găsesc toţi termenii şirului începând de la un rang n V N încolo. In acest caz x se numeşte limita şirului şi notăm lim n x n = x. Convergenţa şirului de puncte (x n ) în spaţiul metric X este caracterizată de şirul numeric al distanţelor dintre termenii şirului şi limita sa. Mai precis, avem echivalenţa lim x n = x lim d(x n, x ) = 0. n n 2
3 Un şir (x n ) din X se numeşte şir fundamental sau şir Cauchy dacă pentru orice ε > 0 există un rang n ε N de la care începând distanţa dintre oricare doi termeni ai şirului este mai mică decât ε. Pe scurt: (x n ) şir Cauchy ε > 0 n ε N a.î. n n ε şi m n ε d(x n, x m ) < ε. Este uşor de văzut că orice şir convergent este şi fundamental, dar reciproca nu este valabilă în orice spaţiu metric. De exemplu, în mulţimea numerelor raţionale dotată cu distanţa obişnuită, şirul n 1 x n = este fundamental fără să fie convergent. 10 k2 k=0 Definiţia 2. Numim spaţiu metric complet un spaţiu metric în care orice şir Cauchy este convergent. Toate exemplele de spaţiile metrice uzuale amintite mai sus, (R, d), (C, d), (R n, d) şi (C [a,b], d) sunt spaţii metrice complete. Fie (X 1, d 1 ) şi (X 2, d 2 ) două spaţii metrice. O funcţie f : X 1 X 2 este continuă dacă din x n x în X 1 rezultă că f(x n ) f(x ) în X 2. Definiţia 3. Funcţia f : X 1 X 2 este lipschitziană cu constanta Lipschitz L 0 dacă pentru orice x şi y din X 1 are loc majorarea d 1 (x, y) Ld 2 (x, y). O funcţie lipschitziană cu constanta Lipschitz L < 1 se numeşte contracţie. Orice funcţie lipschitziană este continuă, reciproca nu are loc în general. Am ajuns să precizăm acum o ultimă noţiune pregătitoare: Definiţia 4. Fie f : X X o funcţie oarecare. Elementul x X se numeşte punct fix al aplicaţiei f dacă satisface egalitatea x = f(x ). 2. Metoda aproximaţiilor succesive Pentru a uşura întelegerea Teoremei de punct fix a lui Banach, vom prezenta mai întâi metoda generală de rezolvare a ecuaţiilor numerice prin aproximaţii succesive, aşa cum apare ea pentru prima oară în scrierile rămase de la Heron din Alexandria (circa d.h.) şi anume chiar în Metrica, o culegere de formule şi metode de calcul pentru lungimi, arii şi volume, multe dintre ele preluate de la babilonieni. Printre acestea se află şi următoarea metodă de extragere a rădăcinei pătrate formulată, în exemplul următor, în limbajul matematic actual. 3
4 Exemplul 1 (Heron). Ecuaţia x 2 = a poate fi rezolvată (în mulţimea numerelor reale strict pozitive) astfel: o scriem în mod echivalent sub forma problemei de punct fix x = 1 ( x + a ), 2 x şi, pentru funcţia f : (0, + ) (0, + ) dată de f(x) = 1 ( x + a 2 x calculăm în mod recurent, pentru n = 0, 1, 2,..., aproximaţiile x n+1 = f(x n ), ), (1) unde termenul iniţial x 0 > 0 este ales arbitrar (dar cu cât mai aproape de a, cu atât mai bine). Obţinem un şir convergent la un număr x 0 care verifică ecuaţia x = f(x ), adică x = a. Vom opri calculul efectiv al aproximaţiilor x n când observăm că s-au stabilizat un număr suficient de zecimale. Să verificăm printr-un program C # care scrie în consola de ieşire valorile şirului (x n ) şi reprezintă grafic comportarea acestuia (vezi Figura 1). public class Heron : FractalForm double a = 16; double f(double x) return 0.5 * (x + a / x); public override void makeimage() double x, y, x0, y0; setxminxmaxyminymax(-1, 30, -1, 30); //TRASAM GRAFICUL LUI f //clearscreen(); setaxis(); setline(xmin, Ymin, Xmax, Ymax, pencolor); x0 = 0.1; y0 = f(x0); for (int ix = geti(x0) + 1; ix < imax; ix++) x = getx(ix); y = f(x); setline(x0, y0, x, y, Color.Red); x0 = x; 4
5 y0 = y; resetscreen(); //TRASAM SIRUL CARE PLEACA DIN xvechi double xnou, xvechi = 29; Console.WriteLine("x0=" + xvechi); int k = 1; while (true) xnou = f(xvechi); Console.WriteLine("x0=1", k++, xnou); if (Math.Abs(xnou - xvechi) < ) break; setline(xvechi, 0, xvechi, xnou, Color.Blue); setline(xvechi, xnou, xnou, xnou, Color.Blue); setline(xnou, xnou, xnou, 0, Color.Blue); xvechi = xnou; resetscreen(); Conţinutul consolei de ieşire: x0=29 x1= x2= x3= x4= x5= x6= x7=4 Press any key to continue... Justificarea convergenţei şirului x n este lăsată cititorului, ea poate fi stabilită prin studierea mărginirii şi a monotoniei şirului. Să ilustrăm acum aplicarea metodei aproximaţiilor succesive pentru rezolvarea unei ecuaţii funcţionale (în care necunoscuta este o funcţie). Mai precis vom considera ecuaţia diferenţială φ (t) = f(t, φ(t)), (2) cu f : R R R continuă, şi vom căuta soluţii φ : I R de clasă C 1 care să satisfacă şi condiţia iniţială φ(τ 0 ) = ξ 0. (3) 5
6 Figura 1. Metoda lui Heron, a = 16 şi x 0 = 29. Este uşor de văzut că problema Cauchy (2) şi (3) este echivalentă cu următoarea ecuaţie integrală de tip Volterra φ(t) = ξ 0 + t care poate fi scrisă sub forma problemei de punct fix τ 0 f(τ, φ(τ)) dτ, (4) φ = Γφ cu ajutorul operatorului liniar Γ definit de egalitatea (Γφ)(t) = ξ 0 + t τ 0 f(τ, φ(τ)) dτ. După cum ştim din teorema de existenţă şi unicitate Cauchy Lipschitz Picard, în anumite condiţii bine precizate, ecuaţia (4) are soluţie unică pe un interval I, obţinută ca limita uniformă a şirului de funcţii (φ n ) n definit astfel: φ n+1 (t) = (Γφ n )(t) = ξ 0 + t τ 0 f(τ, φ n (τ)) dτ, unde ca aproximaţie iniţială poate fi luată funcţia constantă pentru orice t I. φ 0 (t) = ξ 0, 6
7 3. Principiul contracţiilor Am văzut în secţiunea precedentă cum sunt generate, prin metoda aproximaţiilor succesive, şiruri de numere sau de funcţii care determină, la limită, punctele fixe ale unor anumite aplicaţii. Scopul nostru este să prezentăm o nouă categorie de fractali, definiţi ca puncte fixe ale unor transformări care duc mulţimi în mulţimi de puncte, şi în acest caz vom folosi şiruri de mulţimi. Pentru a nu repeta raţionamentele în fiecare caz în parte, demonstrăm aici forma abstractă dată de Banach a metodei aproximaţiilor succesive: Teorema 1. Dacă (X, d) este un spaţiu metric complet iar f : X X este o contracţie, atunci f are un punct fix unic în X. Mai mult, pentru orice punct iniţial x 0 X, şirul aproximaţiilor succesive x 0 X (5) x n+1 = f(x n ), n N, este convergent la punctul fix x X al lui f, viteza de convergenţă fiind dată de estimarea d(x n, x ) d(x 0, x 1 ) 1 q qn, (6) unde q [0, 1) este constanta Lipschitz a lui f. Demonstraţie. Considerăm un punct x 0 X fixat arbitrar şi definim şirul (x n ) prin relaţia (5). Vom arăta, pentru început, că (x n ) este un şir Cauchy. Deoarece f este o contracţie, avem, pentru orice n N, d(x n+1, x n+2 ) = d(f(x n ), f(x n+1 )) qd(x n, x n+1 ), de unde rezultă d(x n, x n+1 ) q n d(x 0, x 1 ), pentru orice n N. De aici obţinem imediat, pentru orice n, m N cu n m, d(x n, x m ) m 1 i=n m 1 d(x i, x i+1 ) d(x 0, x 1 ) i=n Am folosit majorarea dată de suma seriei geometrice m n 1 q i q i = 1 1 q, i=0 i=0 q i d(x 0, x 1 ) 1 q qn. (7) care este convergentă deoarece constanta Lipschitz q este în intervalul [0, 1). d(x Fie ε > 0 fixat arbitrar. Deoarece lim 0,x 1 ) n q n = 0 rezultă că există un 1 q n ε N astfel încât n n ε implică d(x 0,x 1 ) q n < ε. Din (7) urmează că, pentru 1 q orice n n ε şi m n ε, avem d(x n, x m ) < ε, şi deci (x n ) este şir Cauchy. Spaţiul 7
8 metric X fiind complet, rezultă că (x n ) este convergent, adică există x X astfel încât lim x n = x. n În sfârşit, deoarece f este o contracţie, este continuă, şi trecând la limită în relaţia de recurenţa (5), obţinem egalităţile x = lim n x n+1 = lim n f(x n ) = f( lim n x n ) = f(x ), care arată că x este punct fix pentru f. Pentru a demonstra unicitatea punctului fix, fie x X, cu x x, un alt punct fix al lui f. Atunci d(x, x ) > 0 şi obţinem imediat că d(x, x ) = d(f(x ), f(x )) qd(x, x ) < d(x, x ), de unde rezultă o contradicţie. Estimarea (6) se obţine din (7) prin trecere la limită cu m. Observaţia 1. Pentru şirul aproximaţiilor succesive sunt valabile egalităţile: x 1 = f(x 0 ), x 2 = f(f(x 0 )) = (f f)(x 0 ), x 3 = f(f(f(x 0 ))) = (f f f)(x 0 ) ş.a.m.d. Definim şirul iteratelor funcţiei f ca fiind şi avem f n = f f f (de n ori), x n = f n (x 0 ), pentru orice n 1, adică x n este şirul valorilor în x 0 ale iteratelor funcţiei. Exemplul 2. Definim f : C C prin f(z) = az + i, unde a = 9 10 (cos π 7 + i sin π 7 ). Deoarece f(u) f(v) = a u v 9 u v, 10 pentru orice u şi v din C, f este o contracţie. Unicul său punct fix este soluţia ecuaţiei z = az + i, adică z = i/(1 a). Clasa C # următoare reprezintă grafic, pentru funcţia f de mai sus, comportarea şirului aproximaţiilor succesive pentru diverse valori ale datei iniţiale: 8
9 public class Banach : FractalForm static Complex i = new Complex(0, 1); static Complex a = Complex.setRoTheta(0.9, Math.PI / 7); Complex f(complex z) return a * z + i; void transformasitraseaza(ref ComList li) ComList rez = new ComList(); Complex z,zprim; int k=1; for (z = li.firstzet;!li.ended; z = li.nextzet) rez.nextzet = zprim = f(z); setline(z,zprim,getcolor(100*k++)); li = rez; public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-5.1, 2.1, -2.1, 5.1); setaxis(); ComList fig = new ComList(); fig.nextzet=-1 - i; fig.nextzet= i; fig.nextzet= i; fig.nextzet=0.2 - i; fig.nextzet=0.6 - i; fig.nextzet=1 - i; int nretape = 100; for (int k = 0; k < nretape; k++) transformasitraseaza(ref fig); resetscreen(); Rezultatul este dat în Figura 2, în care vârfurile celor şase linii poligonale reprezintă punctele succesive ale şirului z n+1 = f(z n ), pentru şase valori iniţiale diferite ale lui z 0. Găsirea unei contracţii potrivite pentru rezolvarea unei anumite ecuaţii este, în general, o chestiune dificilă, de multe ori următoarea variantă locală este salvatoare: dacă ştim că o aplicaţie f : X X are un punct fix x undeva 9
10 Figura 2. Iteraţii trasate de clasa Banach. în spaţiul metric complet (X, d), şi dacă reuşim să arătăm că există r 0 > 0 şi q [0, 1) astfel încât d(f(x), f(y)) qd(x, y) pentru orice x şi y din S(x, r 0 ), atunci rezultă mediat că f este o contracţie pe X 0 = S(x, r 0 ) şi, prin urmare, pentru orice x 0 suficient de aproape de x (adică x 0 X 0 ) şirul valorilor în x 0 ale iteratelor lui f este convergent la x. În cazurile numerice X = R sau X = C avem chiar un rezultat mai precis: Teorema 2. Fie funcţia f : R R (sau f : C C) derivabilă cu derivata continuă şi fie x R (respectiv x C) un punct fix al său. Dacă f (x ) < 1, atunci există r 0 > 0 astfel încât, pentru orice x 0 cu x 0 x r 0 avem lim f n (x 0 ) = x. n Demonstraţie. Fixăm o constantă q astfel încât f (x ) < q < 1. Din continuitatea derivatei în x, rezultă că există r 0 > 0 astfel încât f (x) q pentru orice x S(x, r 0 ). Din teorema creşterilor finite urmează că f(x) f(y) q x y pentru orice x şi y din S(x, r 0 ), şi aplicăm în continuare varianta locală a principiului contracţiilor. În cazul unei contracţii f : X X, spunem că punctul să fix, x X, este un atractor global, deoarece are proprietatea că pentru orice x 0 X şirul iteratelor (f n (x 0 )) converge la x. Se mai spune că x este atractorul contracţiei f. In cazul Teoremei 2 spunem că punctul fix x este un atractor local, deoarece convergenţa lui (f n (x 0 )) la x este asigurată numai pentru x 0 dintr-o vecinătate a punctului fix. Tot în cazul funcţiilor numerice, un punct fix x este numit repulsor dacă f (x ) > 1 şi neutru dacă f (x ) = 1. In cazul când x este repulsor se poate arăta că pentru orice x x dar suficient de apropriat de 10
11 acesta, d(x, x ) < d(f(x), x ), şi, prin urmare, un şir de iterate x n = f n (x 0 ) poate să conveargă la x numai dacă x n = x de la un loc încolo. Observaţia 2. Din definiţia derivatei rezultă imediat că, dacă o funcţie lipschitziană definită pe R sau pe C este derivabilă, atunci derivata sa este mărginită în modul de constanta Lipschitz a funcţiei. Reluând Exemplul 1, constatăm că funcţia f dată de (1) nu este o contracţie pe X = (0, + ), derivata sa f (x) = 1 (1 a ), (8) 2 x 2 fiind nemărginită pentru x 0. Totuşi, deoarece în punctul fix x = a avem f ( a) = 0, Teorema 2 este aplicabilă şi justificăm astfel foarte uşor convergenţa metodei lui Heron, dar numai pentru datele iniţiale x 0 suficient de apropriate de a. Este interesant de văzut că metoda lui Heron de extragere a rărăcinii pătrate funcţionează şi în mulţimea numerelor complexe dar numai pentru valori iniţiale din vecinătatea punctelor fixe, iar justificarea convergenţei este dată tot de Teorema 2. Spre exemplificare, următorul program are rezultatul din Figura 3. public class HeronComplex : FractalForm static Complex i = new Complex(0, 1); static Complex a = (1 + i) * (1 + i); Complex f(complex z) return (z + a / z) / 2; public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-0.1, 2, -0.1, 2); setaxis(); Complex z = * i; for (int k = 1; k < 10; k++) setpixel(z, getcolor(100 * k)); Console.WriteLine(z); z = f(z); resetscreen(); 11
12 Figura 3. Consola de ieşire pentru clasa HeronComplex. 12
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R
3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραTeorema lui Peano de existenţă
Universitatea Alexandru Ioan Cuza Lucrare de licenţă Teorema lui Peano de existenţă locală Student: Cosmin Burtea Coordonator ştiinţific: Prof. Ioan I.Vrabie 2 Prefaţă Lucrarea de faţă tratează problema
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραLecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu
Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραexistă n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).
TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse
Διαβάστε περισσότεραMulţimea lui Mandelbrot
Cursul 12 Mulţimea lui Mandelbrot După cum ştim, mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui von Koch, funcţiile lui Weierstrass şi Takagi, curba lui Peano, mulţimile
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE
Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Noţiunea de derivată, elementul fundamental al calculului diferenţial, are o deosebită importanţă în studiul matematic al mărimilor variabile. Problemele principale care
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότερα1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότερα1Ecuaţii diferenţiale
1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile
Διαβάστε περισσότεραVII. Metode numerice de rezolvare a problemelor de optimizare fără restricţii
Metode de Optimizare Curs 1 VII. Metode numerice de rezolvare a problemelor de optimizare fără restricţii Considerăm X o submulţime convexă deschisă a lui R n, f: X R o funcţie convexă diferenţiabilă şi
Διαβάστε περισσότεραCURS 11. Rădăcină unei ecuatii: Cum se defineste o rădăcină aproximativă?
CURS 11 Rezolvarea ecuaţiilor transcendente Fie ecuatia: f(x)=0 algebrică - dacă poate fi adusă la o formă polinomială transcendentă dacă nu este algebrică Ecuaţii algebrice: 3x=9; 2x 2-3x+2=0; x5=x(2x-1);
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραPROGRAMARE MATEMATICĂ SPAŢII NORMATE INFINIT DIMENSIONALE
PROGRAMARE MATEMATICĂ ÎN SPAŢII NORMATE INFINIT DIMENSIONALE COLECŢIA: ANALIZĂ MODERNĂ ŞI APLICAŢII CONSTANTIN ZĂLINESCU PROGRAMARE MATEMATICĂ ÎN SPAŢII NORMATE INFINIT DIMENSIONALE E D I T U R A A C
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE
MIHAI TURINICI MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE Partea II: Programare neliniară şi dinamică Casa de Editură VENUS Iaşi 1999 Cuprins 4 Complemente de analiză 1 4.1 Structuri de convergenţă pe spaţii
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότερα