KONVEKSNOST I OPTIMIZACIJA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KONVEKSNOST I OPTIMIZACIJA"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marijana Slišković KONVEKSNOST I OPTIMIZACIJA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Marko Vrdoljak Zagreb, veljača, 2017.

2 Ovaj diplomski rad obranjen je dana u sastavu: pred ispitnim povjerenstvom 1., predsjednik 2., član 3., član Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom. Potpisi članova povjerenstva:

3 Ovaj rad posvećujem svojoj obitelji.

4 Sadržaj Sadržaj iv Uvod 1 1 Konveksni skupovi Geometrijsko svojstvo konveksnih skupova Konveksna funkcija Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem Afina geometrija Topologija konveksnih skupova Diferencijabilnost Subdiferencijal Matematičko programiranje Linearna optimizacija Dualnost Nelinearna optimizacija Metode optimizacije Bibliografija 27 iv

5 Uvod U diplomskom radu proučit ću konveksnost i optimizaciju. Teorija konveksnosti je relativno novo područje matematike u kojem se isprepliću svojstva iz geometrije, analize, linearne algebre, topologije i kombinatorike. Bazirana je na jednostavnom geometrijskom konceptu koji joj i daje ime. Teorija konveksnosti je fundamentalna u mnogim područjima optimizacije, a od važnosti je i u statistici, matematičkoj ekonomiji, funkcionalnoj analizi, teoriji aproksimacija,itd. Ona je osnovni matematički alat za linearno programiranje. U ovom radu se ograničavamo na konveksnost u konačno-dimenzionalnom vektorskom prostoru R n. 1

6 Poglavlje 1 Konveksni skupovi Definicija i primjeri Definicija Za x, y R n skup [ x, y ] := {(1 λ)x + λy : λ [0, 1]} nazivamo segment (ili spojnica) s krajevima x i y. Kažemo da je skup K R n konveksan ako vrijedi ( x, y K) [ x, y ] K Primjer Prazan skup ( po definiciji ),jednočlan skup {a} i R n su konveksni skupovi. Primjer Kugla sa centrom u x 0 i polumjerom r: B (x 0, r) = x 0 + r B gdje je B i = Zaista, za x 1, x 2 B, λ [0, 1] imamo B (0, 1) jedinična kugla. 0 (1 λ)x 1 λx 2 (1 λ) x 1 + λ x 2 (1 λ) 1 + λ 1 = Geometrijsko svojstvo konveksnih skupova Skup K je konveksan ako za svake svoje dvije točke sadrži i segment koji spaja te dvije točke. Očito je da je jednočlan skup konveksan. Prazan skup takoder smatramo konveksnim. Definicija Konveksna kombinacija vektora x 1,..., x m R n je svaki vektor x oblika 2

7 POGLAVLJE 1. KONVEKSNI SKUPOVI 3 Slika 1.1: Primjeri konveknih skupova u ravnini x = m λ i m i i=1 gdje su λ i 0, i = 1,..., m realni brojevi takvi da je m i=1 λ i = 1. Skup svih konveksnih kombinacija točaka iz skupa K R n naziva se konveksna ljuska skupa K i označava sa convk. Propozicija Skup K R n je konveksan i ako i samo ako se podudara sa svojom konveksnom ljuskom. Dokaz. Ako je K = convk, budući da je convk konveksan, K je konveksan skup. Obratno, pretpostavimo da jek konveksan skup i pokažimo da je K = convk. Kako je K convk preostaje pokazati da je convk K. Dokaz provodimo pomoću matematičke indukcije po m, gdje m označava broj točaka koje ulaze u konveksnu kombinaciju. Za m = 1 i m = 2 tvrdnja proizlazi iz definicije konveksnosti.

8 POGLAVLJE 1. KONVEKSNI SKUPOVI 4 Pretpostavimo da je tvrdnja dokazana za prirodni broj m i pretpostavimo da je x konveksna kombinacija od m + 1 vektora iz S. Tada postoje vektori x 1,..., x m+1 K takvi da je Pri čemu je Zapišimo vektor x = µy + λ m+1 x m+1 gdje su x = m+1 i=1 λ i x i m+1 i=1 λ i = 1 µ = m i=1 λ i i y = m λ i i=1 x µ i. Budući je vektor y konveksna kombinacija od m vektora iz K, po pretpostavci indukcije on leži u skupu K. No tada i vektor x kao konveksna kombinacija vektora y i x m+1 takoder pripada skupu K. Teorem Konveksna ljuska skupa K R n je najmanji konveksan skup koji sadrži K tj. presjek svih konveksnih skupova koji sadrže K. Dokaz. Neka je W presjek svih konveksnih skupova iz R n koji sadrže skup K. Treba pokazati da je convk = W. Iz K W slijedi convk convw, a zbog konveksnosti skupa W i propozicije je convw = W. Dakle, convk W. Kako je K convk konveksan skup te kako jew najmanji konveksan skup koji sadrži K, slijedi W convk. Primjer Neka su zadani vektor a R n i realan broj β. Skup nazivamo hiperravnina, a skupovi H α,β = {x R n : a, x i = β} H α,β = {x Rn : a, x i β} H + α,β = {x Rn : a, x i β} nazivaju se zatvoreni poluprostori odredeni hiperravninom H α,β. Vektor a R n zovemo vektor normale na hiperravnine H α,β. Hiperravnine i poluprostor su konveksni skupovi. Primjer Neka su A R n m, b R n. Skup P = {x R n : Ax b} zovemo poliedar u R n. Uočimo da je po definiciji poliedar presjek konačno mnogo zatvorenih poluprostora. Zato je on takoder konveksan i zatvoren, a zovemo ga još i konveksni poliedar.

9 POGLAVLJE 1. KONVEKSNI SKUPOVI Konveksna funkcija Definicija Za funkciju f : K R definiranu na konveksnom skupu K R n da je konveksna ako za sve x, y K i za svaki λ [0, 1] vrijedi: kažemo f (λx + (1 λ) y) λ f (x) + (1 λ) f (y). Fukcija f je konkavna ako je funkcija - f konveksna. Teorem Ako je f konveksna funkcija definirana na konveksnom skupu K, onda je skup K točaka u kojima f prima minimum konveksan i svaki lokalni minimum je ujedno i globalni minimum. Dokaz. Dokažimo prvo da je K konveksan skup. Ako je K prazan ili jednočlan skup, po definiciji on je konveksan. Neka su x, y K. To znači da vrijedi odakle slijedi λ [0, 1] dobivamo: odakle slijedi i zato je: to jest f (x) f (x ) = f (y ), K f (x ) f (λx + (1 λ) y ) λ f (x ) + (1 λ) f (y ) = f (x ) f (λx + (1 λ) y ) = f (x ) f (x) f (λx + (1 λ) y ) x K λx + (1 λ) y K. Sada ćemo pokazati da je svaki lokalni minimum x K ujedno i globalni minimum. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji točka y K za koju je f (y ) < f (x ). Neka je ɛ > 0 bilo koji realan broj, a B (x, ɛ) otvorena kugla radijusa ɛ s centrom u točki x. Pokazat ćemo da je λy + (1 λ) x B (x, ɛ), λ (0, ɛ/ y x ). Zbog konveksnosti funkcije f i f (y ) < f (x ) za svaki realan broj λ (0, ɛ/ y x ) što je kontradikcija činjenici da je x lokalni minimum.

10 Poglavlje 2 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem 2.1 Afina geometrija Skup K R n je afin ako za sve x, y K vrijedi: {(1 λ) x + λy : λ R} K. Najjednostavniji primjeri afinog skupa su pravac i hiperravnina. Propozicija Neka je M R n. Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne: 1. K je afin skup, 2. Za svaki x 0 K, skup K x 0 je vektorski potprostor od R n. Osim toga, za svaki y 0 K je K y 0 = K x 0, 3. Postoji r N, r n, matrica A R n m ranga r i vektor b R n takvi da je sustav Ax = b konzistentan i i K = x R n : Ax = b. Definicija Pod dimenzijom afinog skupa K podrazumijevamo dimenziju vektorskog potprostora L := K x 0 gdje je x 0 K proizvljna točka. Dakle, dimk := diml. Definicija Afina kombinacija vektora x 1,..., x m R n je svaki vektor x oblika 6

11 POGLAVLJE 2. KONVEKSNA LJUSKA I CARATHÉODORYJEV TEOREM 7 x = m i=1 λ i m i gdje su λ i realni brojevi takvi da je m i=1 λ i = 1 Skup svih afinih kombinacija točaka iz skupa K R n naziva se afina ljuska skupa K označava s affk. Definicija Skup K R n je konus s vrhom u nuli ako za svaki x K i za svaki λ 0 vrijedi λx K. Ako je x 0 R n i K R n konus s vrhom u nuli, onda skup K x0 := x 0 + K = {x 0 + x : x K} zovemo konus s vrhom u x 0. Ako je konus ujedno i konveksan skup, onda se on naziva konveksni konus. Primjer Prazan skup takoder smatramo konusom. Primjer Za zadane x 0, q R n, q 0 skup je konveksan konus s vrhom u nuli, a skup {λq : λ 0} x 0 + {λq : λ 0} = {x 0 + λq : λ 0} je konveksan konus s vrhom u x 0. Zovemo ga još i zraka ili polupravac u R n, te kažemo da je točka x 0 ishodište zrake, a q vektor smjera te zrake. Propozicija Skup K R n je afin ako i samo akoje K = affk. Teorem Afina ljuska skupa K R n je najmanji afin skup koji sadrži K, tj. presjek svih afinih skupova koji sadrže K. Definicija Za točke x 1,..., x m položaju ako su jednakosti: R n kažemo da su afino nezavisne ili u općem m i=1 λ i x i = 0 moguće jedino za λ 1 = λ 2 = = λ m = 0. U suprotnom kažemo da su afino zavisne. i m i=1 λ i = 0 Definicija Za dimenziju skupa K R n uzima se dimenzija njegove afine ljuske, tj. dimk = dim (affk).

12 POGLAVLJE 2. KONVEKSNA LJUSKA I CARATHÉODORYJEV TEOREM Topologija konveksnih skupova Konveksnost je čisto algebarsko svojstvo, za njegovo potpunije razumijevanje potrebna je i topologija (inducirana euklidskom metrikom). U daljnjem tekstu koristit ćemo sljedeće oznake: Int za nutrinu (interior) skupa K, Cl za zatvarača skupa K, Bd za rub (granicu) skupa K. Podsjetimo se da jebdk = ClK \ IntK. Sa B (x 0, ε) označavat ćemo otvorenu kuglu u R n s centrom u x 0 R n i radijusom ɛ. U relativnoj topologiji na affk otvoreni skupovi su oblika O affk, gdje je O otvoren u R n. Specijalno, skup B (x 0, r) affk = {x affk : x x 0 < r} je otvorena kugla (s centrom u x 0 i radijusa r > 0 ) u relativnoj topologiji na affk. Interior skupa K u relativnoj topologiji affk označavat ćemo sa RelIntK, zatvarač s RelClK, a rub s RelBdK. Sve točke gomilanja skupa K nalaze se u affk i zato je RelClK = ClK RelBdK = ClK \ RelIntK. Lema Neka je K = conv{x 0,..., x m } m-dimenzionalni simpleks iz R n generiran s afino nezavisnim točkama x 0,..., x m R n. Tada jek zatvoren skup Dokaz. Uočimo da je RelIntK = { m i=0 λ i x i : m i=0 λ i = 1, λ i > 0 i }, RelBdK = { m i=0 λ i x i : m i=0 λ i = 1, λ i = 0 za barem jedan i }. K = { x 0 + m i=0 λ i (x i x 0 ) : m i=1 λ i 1, λ i [0, 1] } Sada definirajmo neprekidnu funkciju f : R m affk formulom Tada je gdje je f (λ 1,..., λ m ) = x 0 + m i=0 λ i (x i x 0 ) f (Λ) = K Λ = { (λ 1,..., λ m ) R m : m i=1 λ i 1, λ i [0, 1] }

13 POGLAVLJE 2. KONVEKSNA LJUSKA I CARATHÉODORYJEV TEOREM 9 Uočimo da je Λ zatvoren skup u R m i IntΛ = { (λ 1,..., λ m ) R m : m i=1 λ i 1, λ i (0, 1) } Koristeći afinu nezavisnost točka x i x 0, i = 1,..., m lako je pokazati da je f homeomorfizam( f i f 1 su neprekidne funkcije) Zato f komutira s interiorom i zatvaračem, tj. RelInt f (A) = f (IntA), Cl f (A) = f (ClA) za svaki A R n. Specijalno, za A = Λ dobivamo RelIntK = RelInt f (Λ) = f (IntΛ) Propozicija Ako je K R n neprazan i konveksan skup, onda je RelIntK i dim (RelIntK) = dimk. Dokaz. Neka je m = dimk. Tada K sadrži m + 1 afino nezavisnih točaka x 0, x 1,..., x m takvih da je Skup K je konveksan pa sadrži politop affk = aff {x 0, x 1,..., x m }. S := conv ({x 0, x 1,..., x m }). Znamo da je aff S = aff K i S K pa dobivamo RelIntS RelIntK. Prema lemi je RelIntS pa je zato RelIntK. Prije dokaza jednakosti dim (RelIntK) = dimk prisjetimo se da se dimenzija dima nekog skupa A R n definira kao dimenzija njegove afine ljuske aff A ; dimenzija dima je za jedan manja od maksimalnog broja afino nezavisnih vektora iz skupa A. Dimenzija ima svojstvo monotonosti, tj. A B dima dimb. Kako je RelIntK K monotonost dimenzije daje dim (RelIntK) dimk = m. Lema (Princip linijskog segmenta) Neka je K R n konveksan skup,x RelIntK i x ClK. Tada je poluotvoreni segment sadržan u RelIntK. [x, x ] := {αx + (1 α) x : 0 < α 1}

14 POGLAVLJE 2. KONVEKSNA LJUSKA I CARATHÉODORYJEV TEOREM 10 Dokaz. Kako je x RelIntK postoji ɛ > 0 takav da je B (x, ɛ) aff K K. Neka je y = αx + (1 α) x, 0 < α < 1. Kako je x ClK postoji niz ( x k) točaka iz K koji konvergira prema x k. Neka je tada je x k = 1 α ( y (1 α) x k), k N, lim k x k = x pa možemo pretpostaviti da je k dovoljno velik tako da bude tada dobivamo: B ( y, αɛ 2 ) = y + B ( 0, αɛ 2 B ( x k, ɛ 2) B (x, ɛ) ) = (1 α) xk + αx k + B ( 0, αɛ 2 B ( ) y, αɛ 2 aff K K ) = ( 1 αx k) + αb ( xk, ɛ 2), Korolar Neka je K R n konveksan skup. Zraka s početkom u točki x RelIntK može sjeći relativnu granicu RelBdK = ClK \ RelIntK u najviše jednoj točki. Propozicija Ako je K R n konveksan skup,onda je i ClK = { x aff K : y K, [ y, x) K } RelIntK = {x aff K : y aff K \ {x}, z (x, y), [x, z] K}. Dokaz. Neka je B desna strana prve jednakosti. Ako je x aff K takav da je [ y, x) K, y x, onda je ϑ K za svaku okolinuϑ točke x, pa je zato x ClK. Time smo pokazali da je B ClK. Za dokaz obratne inkluzije uzmimo bilo koji x ClK. Prema propoziciji postoji y RelIntK, a prema lemi je [ y, x) RelIntK K. Time smo dokazali prvu jednakost. Za dokaz druge jednakosti, neka je C desna strana te jednakosti. Očigledno je RelIntK C. Za dokaz obratne inkluzije uzmimo bilo koji x C. Odaberimo bilo koju točku y RelIntK, y x. Po definiciji skupa C, za točku 2x y aff K postoji z (x, 2x y) takva da je [x, z] K. Uočimo da je x (y, z). Zaista, kako je z (x, 2x y) postoji λ > 0 takav da je z = x + λ(x y), odakle se dobiva

15 POGLAVLJE 2. KONVEKSNA LJUSKA I CARATHÉODORYJEV TEOREM 11 x = 1 1+λ z + λ 1+λ y Konačno, kako je z K ClK i y RelIntK prema lemi je x RelIntK. Korolar Ako je K R n onda su konveksni njegova relativna nutrina RelIntK i zatvorač ClK. Dokaz. Konveksnost skupa RelIntK slijedi direktno iz leme Korolar Ako je K R n konveksan skup, onda je ClK = Cl(RelIntK), RelIntK = RelInt(ClK). Dokaz. Očito je Cl(RelIntK) ClK. Neka je x ClK. Prema propoziciji postoji y RelIntK, a prema lemi [y, x) RelIntK. Kako je RelIntK konveksan skup, prema propoziciji je x Cl(RelIntK). Očigledno vrijedi RelIntK RelInt(ClK). Neka je x RelInt(ClK). Odaberimo y RelIntK, y x. Neka je ɛ > 0 dovoljno malen, tako da bude x + ɛ(x y) RelInt(ClK). Ako primjenimo propoziciju na konveksan skup ClK, dobivamo točku z ClK takvu da je z (x + ɛ(x y), x). Tada je x (y, z) pa je po lemi x RelIntK Teorem (Carathéodoryjev teorem za konveksne skupove) Neka je K R n. Svaka točka x convk može se prikazati kao konveksna kombinacija od najviše dimk + 1 afino nezavisnih točaka iz skupa K. Dokaz. Neka je x convk oblika x = m i=1 λ i x i, pri čemu je x i K, λ i 0, m i=1 λ i = 1. Ako su vektori x 1,..., x m afino nezavisni, onda je m dimk + 1 i dokaz je gotov. Zato nadalje pretpostavimo da su x 1,..., x m afino zavisni vektori. Tada postoje skalari µ 1,..., µ m koji nisu svi jednaki nuli, takvi da je m i=1 µ i x i = 0, m i=1 µ i = 0. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je µ 1 > 0. Neka je Definirajmo nenegativne brojeve τ = min { λ i µ i > 0 } = λ i 0 µ i0 > 0.

16 POGLAVLJE 2. KONVEKSNA LJUSKA I CARATHÉODORYJEV TEOREM 12 λ i := λ i τµ i, i = 1,..., m. Uočimo da je λ i0 = 0 i zato je: pri čemu je: x = m i=1 λ i x i = m i=1 λ i x i τ m i=1 µ i x i = m i=1 λ i x i, i i 0 m i=1 λ i x i = m i=1 λ i = m i=1(λ i τµ i ) = 1. Dobili smo novi prikaz od x kao konveksne kombinacije od m 1 točaka iz K. Korolar Neka je K R n.vrijedi: 1. Ako je K otvoren, onda je i convk otvoren skup. 2. Ako je K kompaktan, onda je i convk kompaktan skup. Dokaz. 1. Neka je x convk oblika x = m i=1 λ i x i, pri čemu je x i K, λ i 0 i x = m i=1 λ i = 1. Zbog otvorenosti skupa K postoji ɛ > 0 takav da je Tada je x i + B(0, ɛ) K, i = 1,..., m. B(x, ɛ) = x + B(0, ɛ) = m i=1 λ i (x i + B(0, ɛ)) convk. 2. Standardni n- dimenzionalni simpleks = {(λ 1,..., λ n+1 R n+1 : n+1 i=1 λ i = 1, λ i 0, i = 1,..., m} je kompaktan skup. Kao Kartezijev produkt kompaktnih skupova, kompaktan je i skup K n+1 Funkcija f : K n+1 R n definirana formulom f (x 1,..., x n+1, λ 1,..., λ n+1 ) = n+1 i=1 λ i x i je neprekidna, pa je njezina slika f (K n+1 ) kompaktan skup. Očito je f (K n+1 ) convk. Obratna inkluzija slijedi iz Carathéodoryjev-og teorema.

17 POGLAVLJE 2. KONVEKSNA LJUSKA I CARATHÉODORYJEV TEOREM Diferencijabilnost Kao prvo ustanovimo da konveksna funkcija f u unutrašnjoj točki x 0 domene, u svakom smjeru v, ima (jednostranu) derivaciju: f (x 0, v) = lim t 0+ f (x 0 +tv) f (x 0 ) t Naime, postoji ɛ takav da je x 0 + tv K za sve t ɛ. Funkcija g : [0, ɛ] R g(t) = f (x 0+tv) f (x 0 ) t je ne padajuća jer za ɛ < t 1 < t 2 ɛ nejednakost g(t 1 ) g(t 2 ) glasi f (x 0 + t 1 v) ( 1 t 1 t 2 ) f (x0 ) + t 1 t 2 f (x 0 + tv) a ona vrijedi zbog konveksnosti funkcije f. Iz toga slijedi da postoji lim t 0+ g(t), koji je konačan, budući je g(t 0 ) g(t) za sve t [0, ɛ] i fiksiran t 0 [ ɛ, 0]. Dakle, f (x 0, v) = lim x 0+ g(t) = in f 0<t ɛ g(t). Uočimo da je za svaki x K vektor v = x x 0 dopustiv smjer, pri čemu je f (x 0, x x 0 ) = lim x 0+ g(t) = in f 0<t 1 g(t) g(1) Teorem Neka je f diferencijabilna na K. Nejednakosti: 1. f (x 2 ) f (x 1 ) + f (x 1 ), x 2 x 1 2. f (x 2 ) f (x 1 ), x 2 x 1 0 vrijede za sve x 1, x 2 K, ako i samo ako je f konveksna nak. Teorem Neka je f neprekidna na K i dva puta neprekidno diferencijabilna na intk. Tada je f konveksna na K ako i samo ako za sve x intk, v R n vrijedi 2 f (x)v, v 0.

18 POGLAVLJE 2. KONVEKSNA LJUSKA I CARATHÉODORYJEV TEOREM Subdiferencijal Prema nejednakosti f (x 2 ) f (x 1 ) + f (x 1 ), x 2 x 1 za diferencijabilnu konveksnu funkciju,za fiksiran x 0 K i svaki x K vrijedi: f (x) f (x 0 ) f (x 0 ), x x 0. Definicija Kažemo da je s R n subgradijent konveksne funkcije f : K R (K R n konveksan skup) u točki x 0 K ako za svaki x K vrijedi f (x) f (x 0 ) + s τ (x x 0 ). Skup svih subgradijenata funkcije f u x 0 zovemo subdiferencijalom i označavamo s f (x 0 ). Teorem Subdiferencijal je zatvoren i konveksan skup. Dokaz. Neka je f (x 0 ) 0 Prvi dio tvrdnje slijedi iz neprekidnosti skalarnog produkta u nejednakosti iz definicije. Dalje, uzmimo y 0, y 1 f (x 0 ) i λ 0, 1. Kako za sve x D( f ) i za i [0, 1] imamo: f (x) f (x 0 ) y i, x x 0 te nakon množenja sa 1 λ (za i = 0), a sa λ (za i = 1) te zbrajanja dobijemo: odakle je f (x) f (x 0 ) (1 λ)y 0 + λy 1, x x 0. (1 λ)y 0 + λy 1 f (x 0 ). Teorem Neka je f konveksna na x 0 K, K R n.tada je y 0 f (x 0 ) ako i samo ako za svaki dopustivi smjer v vrijedi y 0, v f (x 0, v). Dokaz. Neka je y 0 subgradijent i v dopustiv pravac Tada za sve t [0, t 0 ] je

19 POGLAVLJE 2. KONVEKSNA LJUSKA I CARATHÉODORYJEV TEOREM 15 i x 0 + tv K, f (x 0 + tv) f (x 0 ) y 0, tv. Odakle je dijeljenjem s t > 0 i prelaskom na limes kada t pada prema nuli. Zaključujemo : f (x 0, v) y 0, tv Obratno,neka za svaki dopustiv smjer v vrijedi y 0, v f (x 0, v) što povlači da je f (x 0, v) konačan. Neka je x K i v := x x 0 (dopustiv smjer) jer je funkcija g u prethodnoj točki neopadajuća. Dakle f (x) f (x 0 ) < (y 0, x x 0 )

20 Poglavlje 3 Matematičko programiranje Problem matematičkog programiranja sastoji se u odredivanju ekstremnih vrijednosti (minimuma ili maksimuma) realne funkcije f : D R definirane na nepraznom skupu D iz euklidskog prostora R n. Zbog jednakosti: max x D f (x) = min x D ( f (x)) dovoljno je ograničiti se na problem minimizacije, koji se kratko matematički zapisuje kao: uz ograničenja min f (x) x D. Problem matematičkog programiranja sastoji se u pronalaženju svih točaka globalnog minimuma, zajedno s odgovarajućom minimalnom vrijednosti funkcije f. Nažalost, problem je taj što većina numeričkih metoda za minimizaciju funkcije cilja daje samo lokalno optimalno rješenje. U primjenama je vrlo važan tzv. slučaj konveksnog programiranja, u kojem se minimizira konveksna funkcija na konveksnom skupu. 3.1 Linearna optimizacija Teorem (Osnovni teorem linearnog programiranj) Za zadane A R m n, b R m i c R n promotrimo kanonski oblik zadaće linearnog programiranja: max c T x Ax = b, x 0. 16

21 POGLAVLJE 3. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE 17 Označimo li a i i-ti stupac matrice A, onda sustav Ax = b, x 0 možemo zapisati u vektorskom obliku kao b = x 1 a x n a n, x i 0. Vidimo da se problem nalaženja mogućih rješenja LP problema svodi na nalaženje svih mogućih prikaza vektora b kao linearne kombinacije stupaca matrice A s nenegativnim koeficijentima. Svako rješenje sustava u prvom je redu rješenje matrične jednadžbe Ax = b, x 0 Ax = b. Definicija Neka je x = (x 1,..., x n ) T rješenje sustava i tj. Ax = b, x 0 b = x 1 a x n a n. Ako su linearno nezavisni vektori a i za koje je x 1 0, onda kažemo da je x bazično rješenje sustava jednadžbi Ax = b Za bazično rješenje koje zadovoljava i ograničenja nenegativnosti x 0 kažemo da je bazično dopustivo rješenje skupa uvijeta Ax = b, x 0. Kako izgledaju bazično dopustiva rješenja? Pretpostavimo da je skup dopustivih rješenja neprazan, tj. da je sustav Ax = b, x 0. konzistentan. Tada matrica A i proširena matrica [A, b] imaju isti rang r. Ako je r < m, onda je m r jednadžbi u sustavu Ax = b suvišno i one se mogu izostaviti. Bez smanjenja općenitosti, možemo pretpostaviti da je r = m. Ako je r = m = n, onda sustav Ax = b ima jedinstveno rješenje x = A 1 b pa u tom slučaju preostaje samo da se vidi da li je x 0 ili nije. Dakle, od interesa je samo slučaj r = m < n. Odaberimo m linearno nezavisnih stupaca a 1,..., a m matrice A i od njh napravimo matricu B = [a i1,..., a im ]. U teoriji linearnog programiranja matrica B se zove matrica baze ili kraće samo baza. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da su prvih a i1,..., a im stupaca matrice A linearno nezavisni. Tada, uz oznake

22 POGLAVLJE 3. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE 18 sustav jednadžbi možemo pisati kao B := [a 1,..., a m ], N := [a m+1,..., a n ], x B := (x 1,..., x m ) T, x N := (x m+1,..., a n ), Ax = b, x 0 Bx B + Nx N = b. Varijable x 1,..., x m zovemo bazične varijable, dok su preostale varijable x m+1,..., x n nebazične varijable. Kako je B regularna matrica, množenjem slijeva gornje jednakosti inverzom B 1 i nakon toga sredivanjem, dobivamo: x B = B 1 (b Nx N ). Veza izmedu bazičnih (vektor x B ) i nebazičnih (vektor x N ) varijabli govori nam da su bazične varijable na jedinstven način odredene s vrijednostima nebazičnih varijabli. Zato, na bazične varijable možemo gledati kao na zavisne, a na nebazične kao na nezavisne varijable. 3.2 Dualnost U ovom poglavlju bavit ćemo se dualnošću u linearnom programiranju i odnosima primarnog i dualnog problema. Neka su b R m, c R n i A M m,n (R). Zadaću linearne optimizacije c τ x max Ax b (3.1) x 0 nazivat ćemo primarnom zadaćom. Pridružujemo joj dualnu zadaću b τ y min A τ y c (3.2) y 0.

23 POGLAVLJE 3. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE 19 Označimo dopustive skupove primarne i dualne zadaće s P, odnosno D: P = {x R n : Ax b, x 0} D = {y R m : A τ y c, y 0}. Teorem (slaba dualnost). Ako su x P i y D onda je Dokaz. Uzmimo x P i y D. Vrijedi c τ x b τ y. c τ x y τ Ax y τ b. Dakle, prema prethodnom teoremu, vrijednost primarne funkcije cilja nije veća od vrijednosti dualne funkcije cilja. Korolar Ako za neke x P i y D vrijedi c τ x = b τ y, onda je x rješenje primarne zadaće, a y dualne zadaće. Zadaći (3.2) takoder možemo pridružiti dualnu zadaću, ali je prvo moramo zapisati u formi zadaće (3.1), što činimo uobičajenim transformacijama: b τ y min A τ y c y 0. pa dualna zadaća dualne zadaće glasi ( c) τ x min ( A τ ) τ x b x 0. b τ y max A τ y c y 0. c τ x max Ax b x 0, što predstavlja primarnu zadaću (3.1). Stoga govorimo jednostavno da su zadaće (3.1) i (3.2) u dualnosti (dual jedne je ona druga). Primjer Napišite dualnu zadaću sljedećeg problema linearnog programiranja: x 1 x 2 + x 3 min 3x 1 x 2 + x 3 0 2x 1 x 3 12 x 1, x 2, x 3 0

24 POGLAVLJE 3. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE 20 Rješenje: Dualna zadaća glasi: 12y 2 max 3y 1 + 2y 2 1 y 1 1 y 1 y 2 1 y 1, y 2, y 3 0 Teorem (jaka dualnost). Neka su P i D neprazni. Tada (3.1) i (3.2) imaju rješenja i vrijedi max x P cτ x = min y D bτ y. Dokaz teorema nećemo provoditi, a može se naći u [2]. 3.3 Nelinearna optimizacija Problemi nelinearnog programiranja su znatno teži za rješavanje od problema linearnog programiranja, jer se rješenje nelinearnog problema može naći u unutrašnjoj točki ili na granici dopustivog skupa. Problemi nelinearne optimizacije često javljaju u prirodnim znanostima. Dopustivi skup K R n, problema minimizacije zadajemo na sljedeći način K := {x R n : g i (x) 0, i = 1,..., m}, gdje su g i : R n R zadane funkcije. Elemente dopustivog skupa zovemo dopustivim točkama. Imajući u vidu definiciju dopustivog skupa K problem minimizacije finkcije f uz uvjete g i (x) 0, i = 1, 2,..., m možemo zapisati u skraćenom obliku: min x K f (x). U praksi, problem optimizacije smatramo rješenim ukoliko smo našli točku globalnog minimuma (maksimuma), odnosno sve točke globalnog minimuma (maksimuma), ukoliko ih ima više, kao i vrijednost funkcije u tim točkama. Medutim, u praksi je često vrlo teško naći globalne minimume, te se često zadovoljavamo nalaženjem točaka lokalnog minimuma (maksimuma). Primjer Pretpostavimo da na raspolaganju imamo karton povšine A od koga želimo napraviti kutiju maksimalnog volumena. Pretpostavimo da se stranice kutije posebno lijepe nekom trakom, pa se karton dodatno ne troši za spojeve. Napravite matematički model koji

25 POGLAVLJE 3. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE 21 odgovara ovom problemu! Rj: Obilježimo dužinu, širinu i visinu kutije sa x, y i z. Volumen kutije dobije se pomoću formule V = xyz. Površinu definiramo sa P = 2xy + 2yz + 2xz. Imamo model: min V = xyz 2xy + 2yz + 2xz A x, y, z > 0. Primjer Ako neka tvrtka naplaćuje svoj proizvod p i ako dnevno troši a na reklamiranje tog proizvoda, očekivan broj prodanih proizvoda iznosi p.Ako se za proizvodnju jednog proizvoda dnevno potroši 10eura, koliku cjenu kompanija treba zadati kako bi maksimizirala svoj profit? Rj: Model: uz ograničenja 3.4 Metode optimizacije max f (p) = ( p) (p 10) a p 10 Uvom poglavlju promatrat ćemo neke numeričke metode za probleme optimizacije. Spomenimo najprije metode kod kojih nije potrebno poznavanje derivacije minimizirajuće funkcije. To su: metoda polovljenja ili bisekcija, metoda zlatnog reza, metoda parabole, Brentova metoda te Newtonovu metodu koja pretpostavlja dovoljnu glatkoću minimizirajuće funkcije. U višedimenzionalnoj optimizaciji koristimo metodu najbržeg spusta, gradijentnu metodu i Broydenovu metodu. Mi ćemo se zadržati na metodama jednodimenzionalne minimizacije. Neka je zadana je funkcija f : [a, b] R koja općenito nije derivabilna i koja u nepoznatoj točki x postiže strogi lokalni minimum. Problem pronalaženja točke x nećemo moći riješiti primjenom metoda koje se zasnivaju na poznavanju derivacije funkcije f, zato ćemo promotriti dvije jednostavne metode za odredivanje minimuma takve funkcije: metodu zlatnog reza i metodu parabole. Definicija Za funkciju f : [a, b] R kažemo da je unimodalna na intervalu [a, b] ako f postiže minimum u nekoj točki x [a, b] i ako za svake dvije točke x 1 < x 2 vrijede svojstva:

26 POGLAVLJE 3. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE ako je x 1 < x 2 x tada je f (x 1 ) > f (x 2 ) tj. funkcija je padajuća na [a, x ] 2. ako je x x 1 < x 2 tada je f (x 1 ) < f (x 2 ) tj. funkcija je rastuća na [x, b]. Metoda polovljenja ili bisekcije Metodu nazivamo metodom polovljenja jer u svakom koraku interval dijelimo na dvije polovine. Ako je δ manji, time je dijeljenje intervala bliže raspolavljanju. Najbolja točnost koja se može postići je točnost δ > 0. Zadana je konveksna funkcija f : [a, b] R. Cilj je odrediti točku x = argmin x [a,b] f (x) s točnošću δ > 0. Označimo: x a = a, x b = b te sa x m = 1 (a + b) 2 1. Izračunajmo: F a = F (x a ), F b = F (x b ) te F m = F (x m ) 2. Definirajmo: x l = 1 2 (x a + x m ) i x r = 1 2 (x m + x b ) i izračunajmo F l = F (x l ) i F r = F (x r ) Neka je F min = min{f a, F b, F m, F l, F r } Ako je F min = F a ili F min = F l tada definiramo: x b := x m, x m = x l, F b = F m, F m = F l Inače, ako je F min = F m tada definiramo: x a = x l, x b = x r, F a = F l, F b = F r Inače (ako je F min = F r ili F min = F b ) onda definiramo x a = x m, x m = x r, F a = F m, F m = F r Korak 2. ponavljamo sve dok x b x a nije manji od δ. Metoda parabole Promotrimo još jednu jednostavnu metodu za odredivanje točke x u kojoj se postiže minimum zadane funkcije f : [a, b] R. Za početak odedimo realni broj c a, b tako da je f (a) > f (c) i f (c) < f (b). Za točke A = (a, f (a)), C = (c, f (c)) i B = (b, f (b)) sa zadanim svojstvom postoji jedinstveni polinom drugog stupnja P 2 (x) = αx 2 + βx + γ čiji graf prolazi danim točkama. Za koeficijente α, β i γ polinoma P 2 dobivamo:

27 POGLAVLJE 3. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE 23 f (a) α = (a c)(a b) + f (c) (c a)(c b) + f (b) (b a)(b c) ( ) b f (a) + c f (a) a f (c) + b f (c) a f (b) + c f (b) β = + + (a c)(a b) (c a)(c b) (b a)(b c) γ = cb f (a) (a c)(a b) + ab f (c) (c a)(c b) + ac f (b) (b a)(b c) (3.3) (3.4) (3.5) Metoda zlatnog reza Korekcija prethodno pokazane metode polovljenja sastoji se u tome da točke oko polovišta intervala biramo u smislu omjera zlatnog reza. Neka je f : [a, b] R zadana funkcija te neka je [a k 1, b k 1 ] [a, b] interval takav da je f : [a k 1, b k 1 ] R unimodalna na [a k 1, b k 1 ]. Za početak promatrajmo nepoznatu točku x [a k 1, b k 1 ] kojoj se postiže lokalni minimum funkcije f na segmentu [a k 1, b k 1 ]. Vrijednost funkcije izračunat ćemo u dvije točke y k < z k gdje su y k, z k [a k 1, b k 1 ] za koje vrijedi: 1. y k i z k jednako su udaljeni od krajeva segmenta [a k 1, b k 1 ] tj. vrijedi y k a k 1 = b k 1 z k 2. y k je bliže lijevom rubu segmenta [a k 1, b k 1 ], a z k je bliže desnom rubu segmenta [a k 1, b k 1 ] tj. za neki c ( 0, 1 2) vrijedi y k = a k 1 + c (b k 1 a k 1 ), z k = b k 1 c (b k 1 a k 1 ) = a k 1 + (1 c) (b k 1 a k 1 ) = a k 1 + b k 1 y k 3. Mogu pri tome nastupiti dva slučaja: a) Ako je f (y k ) f (z k ) zbog unimodalnosti funkcije f je x [a k 1, z k ] stavljamo a k :=a k 1 b k :=z k x k :=y k. Tada je x k nova aproksimacija točke x, koja je bolja od prethodne x k 1. b) Ako je f (y k ) > f (z k ) zbog unimodalnosti funkcije f je x [ y k, b k 1 ], pa stavljamo

28 POGLAVLJE 3. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE 24 a k :=y k b k :=b k 1 x k :=z k. Došli smo do segmenta [a k, b k ] za koji očito vrijedi [a k, b k ] [a k 1, b k 1 ]. Kako vrijednost funkcije ne bismo u svakom intervalu morali računati u dvije točke proširit ćemo 3) i to na sljedećii način. U slučaju a) kada je f (y k ) f (z k ) stavljamo još z k+1 :=y k. Ovdje smo pretpostavili još jedan uvjet, a to je da točka y k leži bliže točki z k nego točka a k 1, što je zadovoljeno dobrim izborom broja c. U slučaju b) kada je f (y k ) > f (z k ) stavljamo još y k+1 :=z k. Ovdje smo pretpostavili da točka z k leži bliže točki y k nego točka b k 1. Sredivanjem relacija u prvom i drugom slučaju, te uspredujući ih dobivamo: c = 3 5, 2 a taj c je u smislu omjera zlatnog reza. Brentova metoda se zasniva na kombinaciji metode zlatnog reza i metode parabole. Kompromis izmedu dviju navedenih metoda sastoji se utome da se obje koriste ovisno o tome koja se metoda u danom koraku učini pogodnijom. Prilikom optimizacijskog procesa pratimo 6 točaka: a, b, x, u,v i w. Minimum se nalazi unutar intervala (a,b). x je posljednja točka gdje je vrijednost funkcije bila najmanja, a w je sljedeća točka iza x koja odgovara drugoj po veličini funkcijskoj vrijednosti. v je prethodna vrijednost od w, u je točka u kojoj je vrijednost funkcije izračunata zadnji put; obično se u algoritmu prati i točka koja je u sredini intervala a, b, ali se u njoj vrijednost funkcije ne mora računati. Newtonova metoda Newtonova metoda jedna od najčešće korištenih metoda za odredivanje lokalnog minimuma ili maksimuma dva puta derivabilne funkcije. Pretpostavimo da je f C 2 (a, b) i da u točki β a, b postiže jedinstveni lokalni minimum. Neka x 0 aproksimira minimum finkcije f. Ponovimo za k = 0, 1, 2,... x k+1 = x k f (x k ) f (x k ) (3.6) sve dok f (x k+1 ne postane jako mali.

29 POGLAVLJE 3. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE 25 Ovaj algoritam je dobiven razvojem f (x) u Taylerov red po x k : odnosno za f : f (x k + h) = f (x k ) + h f (x k ) + h2 2 f (x k ) + O(h 3 ), f (x k + h) = f (x k ) + h f (x k ) + O(h 2 ) Pretpostavimo da je h takav da je f (x k + h) = 0. Ako zanemarimo član O(h 2 ) onda iz prethodne jednakosti slijedi h = f (x k ) f (x k ) što smo koristili u (3.6). Neka je S = [a, b] zatvoreni interval realnih brojeva i φ : S S. Točku x S takvu da je φ(x) = x zovemo čvrsta točka od φ. Preslikavanje φ : S S nazivamo kontrakcija ako postoji pozitivni broj q < 1 takav da za svake dvije točke x 1 i x 2 iz S vrijedi φ(x 1 ) φ(x 2 ) q x 1 x 2. (3.7) Neka je φ : S S kontrakcija na S = [a, b] R i neka je x 0 S, x k+1 = φ(x k ) za k N 0. Tada postoji jedinstvena čvrsta točka x preslikavanja φ te niz { x k} konvergira u x i x k+1 x (q) k+1 x 0 x, k = 0, 1,... (3.8) Dokaz. Kako je φ kontrakcija to slijedi odnosno za m > n imamo x k+1 x k q x k x k 1 q k x 1 x 0, (3.9) x m x n x m x m x n+1 x n ( q m 1 + q m q n) x 1, x 0 = qn 1 q x 1 x 0. (3.10) Stoga je (x n ) Cauchyjev niz, odnosno konvergira prema x S. Zbog neprekidnosti funkcije φ je x n+1 = φ (x n ) φ (x ) pa je φ (x ) = x, zbog jedinstvenosti limesa niza (x n ). Dakle, x k+1 x (q) k+1 x 0 x, k = 0, 1,... (3.11)

30 POGLAVLJE 3. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE 26 Pretpostavimo su- sada lako slijedi.na kraju trebamo jos dokazat da je x jedinstven. protno:neka sux i y dvije čvrste točke. Tada je: x y = φ(x ) φ(y ) q x y < x y (3.12) Pretpostavit ćemo da je promatrana funkcija f :R n R n dvostruko neprekidno diferencijabilna i da za neke M > m > 0 vrijedi: Posebno, f je strogo konveksna. m y 2 ( f (x)y, y) M y 2, x, y R n (3.13) Teorem Neka funkcija f C 2 (R n ) zadovoljava uvjet m y 2 ( f (x)y, y) M y 2, x, y R n (3.14) za neke M > m > 0 i neka se parametri duljine koraka α k biraju iz uvjeta f (x) f (x k ) α f (x k )p k, p k = f (x k ) f (x k ) (3.15) Tada neovisno o izboru početne aproksimacije x 0, iterativni proces konvergira prema jedinstvenoj točki minimuma x. gdje α k 0 za k. x k+1 = x k + α k p k, k = 0, 1,..., (3.16) x k+1 x α k x k x (3.17)

31 Bibliografija [1] J. M. Borwein, A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, Springer, [2] M. Florenzano, C. L. Van, Finite dimensional convexity and optimization, Springer, [3] B. Guljaš, Matematička analiza I i II (web izdanje), Zagreb, [4] J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemarèchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer,

32 Sažetak U ovom diplomskom radu u prvom poglavlju smo definirali konveksni i skup te promatrali osnovna geometrijska svojstva konveknih skupova te konveksne funkcije. U drugom poglavlju definirali smo konveksnu ljusku te dokazali Carathéodoryjev teorem. U zadnjem poglavlju poglavlju diplomskog rada proučavali smo linearnu i nelinearnu optimizaciju. Opisali smo osnovne metode jednodimenzionalne minimizacije. Na kraju poglavlja smo obradili dualnost u linearnoj optimizaciji.

33 Summary In this thesis in the first chapter, we define convex sets and we introduce basic geometric properties of convex sets and convex functions. In the second chapter we define the convex hull and prove Carathéodory theorem. In the last chapter we study linear and nonlinear optimization. We describe one-dimensional methods of minimization. On the end of the chapter, we study some duality results in linear optimization.

34 Životopis Rodena sam g u Novoj Gradišci kao prvo dijete Dubravke i Braminira Piškor. U prvi razred krećem 1991.g u Osnovnu školu Rešetari jer smo u Rešetarima boravili kao prognanici. Nakon Bljeska moja obitelj se vraća kući i tada u peti razred krećem u Osnovnu školu Okučani. Nakon završene osnovne škole, upisujem Opću gimnaziju Nova Gradiška koju uspjesno završavam. Zatim upisujem integrirani preddiplomski i diplomski sveučilišni studij matematike i fizike na matematičkom odjelu Prirodoslovnomatematičkog fakulteta u Zagrebu.

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Dragan Jukić. y 3 E 2. y 4. Nerecenzirano F 2 F 1. y 1 E 1 KONVEKSNI SKUPOVI OSIJEK, 2015.

Dragan Jukić. y 3 E 2. y 4. Nerecenzirano F 2 F 1. y 1 E 1 KONVEKSNI SKUPOVI OSIJEK, 2015. Dragan Jukić E 2 F 2 F 1 y 3 y 4 y 1 E 1 y 2 KONVEKSNI SKUPOVI OSIJEK, 2015. prof.dr.sc. Dragan Jukić KONVEKSNI SKUPOVI Osijek, 2015. D. Jukić Konveksni skupovi. Izdavač: Sveučilište J. J. Strossmayera,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNO PROGRAMIRANJE

KONVEKSNO PROGRAMIRANJE KONVEKSNO PROGRAMIRANJE 1 Sadržaj Konveksni skupovi Konveksne funkcije Optimalnost Dualnost Neke metode u (KP) Rješenja Osnovni pojmovi Simboli Uvod Neka je f realna funkcija sa domenom D(f) R n, i neka

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

2. Konvergencija nizova

2. Konvergencija nizova 6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Linearno programiranje Ivana Kuzmanović, Kristian Sabo Radni materijal za predavanja

Linearno programiranje Ivana Kuzmanović, Kristian Sabo Radni materijal za predavanja Linearno programiranje Ivana Kuzmanović, Kristian Sabo Radni materijal za predavanja 1 Problem linearnog programiranja Linearno programiranje optimizacijska je metoda kojom se odreduje optimalna vrijednost

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Literatura Spisak pojmova

Literatura Spisak pojmova KONVEKSNA ANALIZA 1 Sadržaj Konveksni skupovi Definicija, primjeri, Konveksni omotać,topološka svojstva, Projekcija, Ekstremalne tacke, Teoreme razdvajanja, teoreme alternative, Polarni skupovi, Poliedri

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015. Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

REKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.

REKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc

Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne

Διαβάστε περισσότερα

1 Obične diferencijalne jednadžbe

1 Obične diferencijalne jednadžbe 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα