1. Topologija na euklidskom prostoru R n
|
|
- Κάδμος Μελετόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x n ) : x 1,...,x n R}. Skup R n je snabdjeven strukturom realnog vektorskog prostora. Osim vektorske strukture, za matematičku analizu su važne metrička i iz nje izvedena topološka struktura prostora R n. Te strukture će nam omogućiti da se mnogi osnovni pojmovi matematičke analize (npr. limes niza, neprekidnost funkcije i limes funkcije) puno jednostavnije definiraju i dalje izučavaju Euklidski prostor R n Skup R n zajedno sa sljedeće dvije operacije: (i) zbrajanje + : R n R n R n definirano formulom (x 1,...,x n )+(y 1,...,y n ) := (x 1 +y 1,...,x n +y n ) (ii) množenje realnim brojevima : R R n R n definirano formulom λ (x 1,...,x n ) := (λx 1,...,λx n ) je realan vektorski prostor. Kratko ga označavamo s (R n,+, ). U vektorskom prostoru (R n,+, ) (ili kraće: prostoru R n ) uvodi se skalarni produkt kao preslikavanje ( ) : R n R n R definirano formulom (x y) := p x i y i. Prostor R n s ovako definiranim skalarnim produktom zove se n-dimenzionalni euklidski prostor. Skalarno množenje u R n ima ova svojstva: (U1) (x x) 0 (pozitivna semidefinitnost) (U2) (x x) = 0 x = 0 (pozitivna definitnost) (U3) (x y) = (y x) (simetričnost) (U4) (x+y z) = (x z)+(y z) (aditivnost u odnosu na prvu varijablu) (U5) (λx y) = λ(x y) (homogenost u odnosu na prvu varijablu).
2 2 1. TOPOLOGIJA NA EUKLIDSKOM PROSTORU R N 1.2. Euklidska norma na R n Svakom vektoru x R n možemo pridružiti nenegativan realan broj x := (x x). Tako definirana funkcija : R n R zove se euklidska norma na R n i ima ova svojstva: (N1) x 0 (pozitivna semidefinitnost) (N2) x = 0 x = 0 (pozitivna definitnost) (N3) λx = λ x (homogenost ) (N4) x+y x + y (nejednakost trokuta). Primjedba 1.1. Lako je provjeriti svojstva (N1) - (N3). Nadalje, nejednakost trokuta možemo dokazati Bunyakovsky-CauchySchwarzove (BCS) nejednakosti: (x y) x y, x,y R n, pri čemu jednakost vrijedi onda i samo onda ako su vektori x i y kolinearni. BSS nejednaksot se može dokazati na više načina. Jedan jednostavan i vrlo elegantan način je da se pode od jednakosti: n x 2 i n ( n ) 2 yi 2 1 x y y i = 2 n (x i y j x j y i ) 2, i,j=1 koju je lako provjeriti raspisivanjem desne strane. Napravite to! Gore navedena svojstva euklidske norme uzimaju se za definiciju općeg pojma norme na vektorskom prostoru: Definicija 1.2. Neka je (X,+, ) bilo koji realan vektorski prostor. Norma na X je svako preslikavanje : X R koje zadovoljava svojstva (N1)-(N4). Primjer 1.3. Neka je 1 p <. Definirajmo funkciju p : R n R formulom: ( n ) 1/p x p := x i p. Lako je pokazati da je p norma na R n. Nejednakost trokuta nije ništa drugo nego li tzv. nejednakost Minkowskog: Neka su x = (x 1,...,x n ),y = (y 1,...,y n ) R n. Za p > 1 vrijedi ( n ) 1/p ( n ) 1/p ( n ) 1/p x i +y i p x i p + y i p.
3 1.3. Euklidska metrika na R n 3 Ako je 0 < p < 1, onda vrijedi suprotna nejednakost. U oba slučaja jednakost nastupa onda i samo onda ako su x i y proporcionalni vektori (vidi npr. [1]) I funkcija : R n R zadana formulom x = max{ x 1,..., x n } ima svojstva norme (N1)-(N4), pa je (R n, ) jedan normirani prostor. Štoviše, vrijede nejednakosti x x 2 n x. Naime, očito je x i = x 2 i n j=1 x2 j = x 2, odakle slijedi prva nejednakost. Druga nejednakost se dobiva ovako: n n x 2 = x 2 j (max x j ) 2 = n x 2 = n x. j=1 j=1 j Definicija 1.4. Neka su i norme na vektorskom prostoru (X,+, ). Kažemo da je norma ekvivalentna s normom ako postoje realni brojevi m,m > 0 takvi da za svaki x X vrijedi m x x M x. Lako je pokazati da je ekvivalencija normi relacija ekvivalencije. U primjeru 1.3. smo pokazali da su norme 2 i ekvivalentne. Ako u prostoru R n ne specificiramo normu, onda uvijek mislimo na euklidsku normu, koju ćemo označavati s Euklidska metrika na R n Neka je euklidska norma na R n. Preslikavanje d : R n R n R zadano formulom d(x,y) := x y zove se euklidska udaljenost ili euklidska metrika na skupu R n. Euklidska metrika ima sljedeća svojstva: (EM1) d(x,y) 0 (EM2) d(x,y) = 0 x = y (EM3) d(x, y) = d(y, x) (simetrija) (EM4) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (nejednakost trokuta). Gore navedena svojstva euklidske metrike uzimaju se za definiciju općeg pojma metričkog prostora:
4 4 1. TOPOLOGIJA NA EUKLIDSKOM PROSTORU R N Definicija 1.5. Neka je X bilo koji neprazan skup. Metrika na skupu X je bilo koja funkcija d : X X R za koju vrijedi: (M1) d(x,y) 0 (M2) d(x,y) = 0 x = y (M3) d(x,y) = d(y,x) (M4) d(x,y) d(x,z)+d(z,y). Par (X, d) zovemo metrički prostor. Primjer 1.6. Neka je 1 p <. Definirajmo funkciju d p : R n R n R formulom: ( n ) 1/p d p (x,y) := x i y i p. Pokazati da je d p metrika na R n. Primjer 1.7. Neka je X bilo koji skup, a d : X X R preslikavanje definirano formulom: { 1, x y d(x,y) := 0, x = y. Pokazati da je d metrika na X, koja se inače zove diskretnametrika, a (X,d) diskretni metrički prostor. Uputa: Lako je provjeriti da funkcija d ima svojstva (M1) - (M3). Svojstvo (M4) je lako provjeriti ako se posebno razmotre slučajevi x y i x = y. Primjer 1.8. Neka je ϕ : X R bilo koja nenegativna injekcija. Funkcija d : X X R definirana formulom { max{ϕ(x),ϕ(y)}, x y d(x,y) := 0, x = y je metrika na X. Uputa: Za provjeru svojstva (M4) posebno razmotrite slučajeve (a) z = x ili z = y i (b) z x & z y. Primjer 1.9. Neka je preslikavanje d : R 2 R 2 R definirano formulom d((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )) := x 1 x 2. Da li je d metrika na R 2? Znaš li kako se definira pseudometrika?
5 1.4. Topologija na R n Topologija na R n U ovoj točki ćemo pokazati kako se pojam metričkog prostora može još dalje poopćiti do pojma topološkog prostora. Pri tome najviše pažnje posvećujemo topologiji na euklidskom prostoru R n. Definicija Neka je (X,d) metrički prostor, x 0 X točka i r > 0. Skup K(x 0,r) := {x X : d(x,x 0 ) < r} zovemo otvorena kugla sa središtem u točki x 0 radijusa r. Na slici 1 su prikazane otvorene kugle u R 2 u različitim metrikama d 1,d 2 i d. Slika 1. Primjer Na Slici 2 su prikazane otvorene kugle K(x 0,r) u euklidskom prostoru R n za n = 1,2,3. x 0 x 0 x 0 r x 0 x 0 + r Slika 2. Otvorene kugle u euklidskom prostoru R n Definicija Skup U X iz metričkog prostora (X,d) je otvoren ako za svaku točku x 0 U postoji r > 0 takav da je K(x 0,r) U. Prazan skup takoder smatramo otvorenim.
6 6 1. TOPOLOGIJA NA EUKLIDSKOM PROSTORU R N Propozicija Otvorena kugla K(x 0,r) iz metričkog prostora (X,d) je otvoren skup. Dokaz. Neka je y 0 K(x 0,r). Treba pokazati da postoji δ > 0 takav da je K(y 0,δ) K(x 0,r). U tu svrhu stavimo δ := r d(x 0,y 0 ) (vidi Sliku 3). x 0 δ {}}{ x y 0 Slika 3. Za svaki x K(y 0,δ) je d(x,y 0 ) < δ, pa pomoću nejednakosti trokuta dobivamo d(x,x 0 ) d(x,y 0 )+d(y 0,x 0 ) < δ +d(y 0,x 0 ) = r, što dokazuje da je K(y 0,δ) K(x 0,r). Sljedeći primjer nam govori da svojstvo otvorenosti ovisi o tome u kojem prostoru promatramo zadani skup. Primjer Skup (a,b) (c,d) R je otvoren u R, ali nije otvoren u R 2 (s obzirom na euklidsku metriku). Primjer a) Skup {(x,y) R 2 : x > 0} je otvoren u R 2. Da li je taj skup otvoren u R 3? b) Je li skup {(x,y) R 2 : x 0} otvoren u R 2? Propozicija Skup U X iz metričkog prostora (X,d) je otvoren onda i samo onda ako se može prikazati kao unija neke familije otvorenih kugala. Dokaz. Neka je U otvoren skup. Prema definiciji otvorenog skupa za svaku točku x U postoji otvorena kugla K(x,r x ) U. Tada je očito x U K(x,r x) U. S druge strane je U = x U {x} x U K(x,r x). Dakle, U = x U K(x,r x). Obrnuto, pretpostavimo da je U = α A K α, gdje je (K α,α A) neka familija otvorenih kugala. Tada za svaki x U postoje barem jedan α A takav da je x K α α A K α = U.
7 1.4. Topologija na R n 7 Primjer Produkt intervala I := (a 1,b 1 ) (a 2,b 2 )... (a n,b n ) R n se zove otvoreni paralelepiped. Za točku x = (x 1,...,x n ) I stavimo r := min{ x i a i, x i b i : i = 1,...,n}. Lako je pokazati da je K(x,r) I, što povlači da je I otvoren skup. Propozicija Neka je U familija svih otvorenih skupova u metričkom prostoru (X, d). Familija U ima sljedeća svojstva: (T1) Unija svake familije članova iz U je član iz U, (T2) Presjek konačno članova iz U je član iz U, (T3),X U. Dokaz. (T1) Ovo svojstvo je posljedica propozicije (T2) Neka su U 1,...,U n otvoreni skupovi i U := n U i. Nadalje, neka je x 0 U. Treba pokazati da postoji otvorena kugla oko x 0 koja će biti sadržana u U. Kako su skupovi U 1,...,U n otvoreni, po definiciji postoje otvorene kugle Neka je r 0 := min{r 1,...,r n }. Tada je K(x 0,r i ) U i, i = 1,...,n. K(x 0,r 0 ) K(x 0,r i ) U i, i = 1,...,n, pa je K(x 0,r 0 ) n U i = U. (T3) Prazan skup je otvoren po definiciji. Cijeli skup X je otvoren, jer je svaka otvorena kugla oko točke x X sadržana u X. Familija U svih otvorenih skupova metričkog prostora (X, d) zove se topološka struktura ili topologija prostora (X, d). Primjedba Ako je (X, d) pseudometrički prostor, otvorene kugle i otvorene skupove definiramo na isti način kao u slučaju metričkog prostora. Lako je vidjeti da Propozicija vrijedi i za pseudometriku d. Primjer Neka je ((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )) := x 1 x 2 pseudometrika na R 2 (vidi Primjer 1.9.). Na Slici 4 je prikazana otvorena kugla K((x 0,y 0 ),r) u pseudometri-
8 8 1. TOPOLOGIJA NA EUKLIDSKOM PROSTORU R N čkom prostoru (X, ). y 0 (x 0, y 0 ) x 0 r x 0 +r x 0 Slika 4. Svojstva otvorenih skupova iz propozicije uzimaju se za definiciju topološkog prostora: Definicija Neka je X neprazan skup. Familija U podskupova od X sa svojstvima (T1) - (T3) se zove topološka struktura ili topologija na X. Uredeni par (X, U) se zove topološki prostor. Članove familije U zovemo otvoreni skupovi. Primjer Neka je X bilo koji neprazan skup, a U njegov partitivni skup. Lako je provjeriti da familija U ima svojstva (T1) - (T3). Za ovaj topološki prostor kažemo da je diskretan. Interior skupa. Neka je (X,U) topološki prostor i A X. Najveći otvoreni skup iz X koji je sadržan u A zovemo interior ili nutrina skupa A i označavamo s IntA. Uočimo da je IntA jednak uniji svih otvorenih skupova koji su sadržani u A. Okolina točke x 0 X je svaki skup O X čiji interior sadrži točku x 0, tj. x 0 IntO. Primjer A = (a,b) R, IntA = (a,b); A = [a,b) R, IntA = (a,b); A = (a,b] R, IntA = (a,b); A = [a,b] R, IntA = (a,b). 2. A = {(x,y) R 2 : 0 < x 1}, IntA = {(x,y) R 2 : 0 < x < 1} R A = Q R, IntA =.
9 1.4. Topologija na R n 9 Teorem Interior ima sljedeća svojstva: (a) IntA A (b) IntX = X (c) A B = IntA IntB (d) Skup A je otvoren onda i samo onda ako je A = IntA (e) Int(IntA) = IntA (f) Int(A B) = IntA IntB. Dokaz. Očito vrijede svojstva (a)-(c). (d) Ako je A otvoren skup, onda je A očito najveći otvoren skup sadržan u A pa je IntA = A. Obrnuto, ako je IntA = A, onda je A otvoren skup jer je IntA otvoren skup. (e) slijedi iz (d). (f) Prema (a) je IntA A i IntB B, odakle dobivamo IntA IntB A B. Kako je IntA IntB otvoren skup sadržan u A B, prema definiciji interiora je IntA IntB Int(A B). Nadalje, kako je A B A i A B B, primjenom svojstva (c) dobivamo Int(A B) IntAiInt(A B) IntB, odakleslijediobratna inkluzijaint(a B) IntA IntB. Primjedba Općenito je Int(A B) IntA IntB. Npr, ako je A = [0,1] i B = [1,2], onda je Int(A B) = (1,2), a IntA IntB = (0,1) (1,2). Zatvoreni skupovi. Neka je (X,U) topološki prostor. Za skup F X kažemo da je zatvoren, ako je njegov komplement F c = X\F otvoren. Primjer U metričkom prostoru (X,d) svaka točka x 0 X je zatvoren skup jer je skup U := X\{x 0 } otvoren. To je zato jer za svaki x U je K(x,d(x,x 0 )) U. Specijalno, svaka točka u R n je zatvoren skup. 2. Svaki segment [a,b] je zatvoren u R. 3. Skup K(x 0,r) := {x R n : d(x,x 0 ) r} je zatvoren u R n. Zovemo ga zatvorena kugla sa središtem u x 0 radijusa r.
10 10 1. TOPOLOGIJA NA EUKLIDSKOM PROSTORU R N Pomoću de Morganovih formula ( ) c F α = F c α A α A & ( ) c F α = α A α A F c i svojstava (T1) - (T3) otvorenih skupova lako se dokaže sljedeći teorem: Teorem Familija svih zatvorenih skupova ima sljedeća svojstva: (T1) Presjek svake familije zatvorenih skupova je zatvoren skup. (T2) Unija konačno zatvorenih skupova je zatvoren skup. (T3) i X su zatvoreni skupovi. Primjedba Postoje skupovi koji nisu niti otvoreni niti zatvoreni: 1. Primjer jednog takvog skupa je poluotvoreni interval (a, b] R. S druge strane skupovi i R su i otvoreni i zatvoreni. 2. Skup A = {(x,y) R 2 : 0 < x 2,0 y 1} R 2 nije zatvoren niti je otvoren. 1 A 2 Slika 5. Neka je A X. Najmanji zatvoreni skup iz X koji sadrži A zovemo zatvarač ili zatvorenje (clausura) skupa A i označavamo s ClA. Uočimo da je ClA jednak presjeku svih zatvorenih skupova koji sadrže A. Primjer A = (a,b) R, ClA = [a,b]; A = [a,b) R, ClA = [a,b]; A = (a,b] R, ClA = [a,b]; A = [a,b] R, ClA = [a,b]. 2. A = {(x,y) R 2 : 0 < x 1}, ClA = {(x,y) R 2 : 0 x 1} R A = Q R, ClA = R. Teorem Zatvarač ima sljedeća svojstva: (a) A ClA
11 1.4. Topologija na R n 11 (b) ClX = X (c) A B = ClA ClB (d) Skup A je zatvoren onda i samo onda ako je A = ClA (e) Cl(ClA) = ClA (f) Cl(A B) = ClA ClB. Primjedba Općenito je Cl(A B) ClA ClB. Npr, ako je A = (0,1) i B = (1,2), onda je Cl(A B) =, dok je ClA ClB = {1}. Teorem Neka je A podskup topološkog prostora X. Tada je x 0 ClA onda i samo onda ako je A O za svaku okolinu O točke x 0. Dokaz. Neka je x 0 ClA i O bilo koja okolina od x 0. Treba pokazati da je A O. Pretpostavimo suprotno, tj. da je A O =. Zbog IntO O tada je A IntO =, pa je zato A X\IntO. Kako je X\IntO zatvoren skup, prema tvrdnjama (c) i (d) Teorema je ClA Cl(X\IntO) = X\IntO, odakle slijedi ClA IntO =. To je kontradikcija, jer je x 0 ClA i x 0 IntO. Obratno, pretpostavimo da svaka okolina točke x 0 siječe skup A i pokažimo da je x 0 ClA. U suprotnom bi imali x 0 X\ClA, pa bi skup U := X\ClA bio otvorena okolina točke x 0. To je kontradikcija, jer je U A (X\ClA) ClA =. Dakle, x 0 ClA. Rub skupa. Neka je A podskup topološkog prostora X. Rub (granica ili fronta) skupa A je skup A = ClA Cl(X\A). Iz definicije vidimo da je A = (X\A). Primjer Ako je X = R i A = (a,b], onda je A = Cl((a,b]) Cl((,a] (b, )) = [a,b] ((,a] [b, )) = {a,b}. 2. Ako je X = R i A = Q, onda je A = ClQ Cl(R\Q) = R R = R. 3. Neka je K(x 0,r) otvorena kugla u R n. Tada je K(x 0,r) = {x R n : d(x,x 0 ) = r}
12 12 1. TOPOLOGIJA NA EUKLIDSKOM PROSTORU R N Gomilište skupa Definicija Neka je (X,U) topološki prostor i A X. Točka x 0 X je gomilište (ili točka gomilanja) skupa A ako svaka okolina točke x 0 sadrži barem jednu točku iz A različitu od x 0. Za točku skupa A koja nije njegovo gomilište kažemo da je izolirana točka skupa A. Primjetimo da gomilište skupa A ne mora pripadati skupu A, dok izolirana točka mora. Skup svih gomilišta skupa A označavat ćemo s A. Primjer Ako je A = (0,1] {3}, onda je A = [0,1]. Točka x 0 = 3 je izolirana točka. { } 1 2. Jedino gomilište skupa A = n : n N R je Jednočlan skup A = {x} R n nema gomilišta. 4. A = N R, A =. 5. A = Q R, A = R. Sljedeći korolar je posljedica Teorema 1.32.: Korolar ClA = A A. Korolar Skup A je zatvoren onda i samo onda ako sadrži sva svoja gomilišta. Dokaz. Prema tvrdnji (d) Teorema skup A X zatvoren onda i samo onda ako je A = ClA, a zbog Korolaru to je onda i samo onda ako je A A. Definicija Neka je (X,d) metrički prostor. Za skup A X kažemo da je omeden ili ograničen ako postoje točka x 0 i realan broj r > 0 takav da je A K(x 0,r). Lako je dokazati sljedeću propoziciju: Propozicija (Dokaz na vježbama) (i) Skup A iz metričkog prostora (X,d) je omeden onda i samo onda ako za svaku točku x 0 postoji realan broj r > 0 takav da je A K(x 0,r). (ii) Unija konačno mnogo omedenih skupova je omeden skup. (iii) Svaki podskup omedenog skupa je i sâm omeden.
13 1.4. Topologija na R n 13 Definicija Dijametar skupa A u metričkom prostoru (X, d) se definira kao diama := sup{d(x,y) : x,y A}. Propozicija (Dokaz na vježbama) Neka je (X, d) metrički prostor. Skup A X je omeden onda i samo onda ako je diama <. Zadaci 1. Za vektor x = (3,2,1) R 3 odredite x 1, x 2 i x. 2. Neka je X realni vektorski prostor sa skalarnim produktom ( ). Dokažite da norma inducirana tim skalarnim produktom zadovoljava tzv. jednakost paralelograma: x+y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2). (Uputa: x+y 2 + x y 2 = (x+y x+y)+(x y x y) =... = 2 ( x 2 + y 2.) 3. Pokažite primjerom da jednakost paralelograma ne vrijedi za norme 1 i? (Uputa: Promotrite vektore x = (1,0,...,0) i y = (0,1,0,...,0).) 4. Neka je X realan vektorski prostor s normom koja zadovoljava jednakost paralelograma. Dokažite da postoji skalarni produkt na X koji inducira normu, tj. takav da vrijedi x = (x x). (Uputa: Stavite (x y) = 1 4( x+y 2 x y 2).) 5. Dokažite da u svakom unitarnom vektorskom prostoru (X, +, ) vrijedi Schwarzova nejednakost: (x y) x y, x,y X. Pri tome jednakost vrijedi onda i samo onda ako su x i y kolinearni vektori. (Uputa: Lako je pokazati da za sve x,y X i za sve λ,µ R vrijedi (λx+µy λx+µy) = λ 2 (x x)+2λµ(x y)+µ 2 (y y). Specijalno za λ = (x y) i µ = (x x) se dobiva ( (λx+µy λx+µy) = (x x) (x x) (y y) (x y) 2), odakle je lako dokazati traženu nejednakost.) 6. Neka je (X, ) normiran vektorski prostor. Dokažite da je zatvorena jedinična kugla K(0,1) = {x X : x 1} konveksan skup, tj. x,y K(0,1), 0 λ 1 λx+(1 λ)y K(0,1). (Uputa: λx+(1 λ)y λx + (1 λ)y = λ x ( 1 λ) y λ+(1 λ) = 1.)
14 14 1. TOPOLOGIJA NA EUKLIDSKOM PROSTORU R N 7. (a) Dokažite da su norme 1 i 2 na R n ekvivalentne. (b) Dokažite da su norme i 1 ekvivalentne. (Uputa: (a) Neka je x = (x 1,...,x n ) R n. Aritmetičko-kvadratna nejednakost daje x x n x x n 2, n n odakle slijedi x 1 n x 2. Nadalje, iz nejednakosti x x n 2 ( x x n ) 2 slijedi x 2 x 1. (b) Ekvivalencija normi je relacija ekvivalencije. Tvrdnja slijedi iz (a) i Primjera 1.3.) 8. Dokazati da je formulom zadana metrika na R n. (x,y) = max,...,n x i y i (Uputa: Lako je provjeriti svojstva (M1)-(M3). Za provjeru svojstva (M4) iskoristite nejednakost trokuta a b a c + c b, koja vrijedi za sve a,b,c R. Pri tome jednakost vrijedi onda i samo onda ako se c nalazi izmedu a i b.) 9. Neka je X R i f : X R funkcija. (a) Pronadite uvjete na funkciju f tako da formulom (x,y) := f(x) f(y) bude definirana metrika na X. (b) Za x,y (0, ) definirajte (x,y) = 1/x 1/y. Da li je metrika na (0, )? (c) Za x,y R definirajte (x,y) = Da li je metrika na R? x 1+ 1+x y y 2 (Uputa: (a) Lako je provjeriti da ima svojstva (M1), (M3) i (M4). Nadalje, ako je x = y, onda je očito (x,y) = 0. Prema tome, će biti metrika na X onda i samo onda ako iz jednakosti (x,y) = 0 slijedi da je x = y, tj. ako je f injekcija. (b) Funkcija f(x) = 1 x, x (0, ), strogo pada pa je injekcija. (c) x Neka je f(x) = 1+ 1+x 2. Pokažite da je f (x) > 0 za svaki x R.) 10. Neka je (X, ) metrički prostor. Pokažite da je formulom zadana nova metrika na X. d(x,y) = (x,y) 1+ (x,y) (Uputa: Lako je provjeriti da d ispunjava uvjete (M1)-(M3). (M4) Funkcija f(t) = t 1+t strogo raste na [0, ), jer je f (t) = 1 (1+t). Zato je f( (x,y)) 2 f( (x,z)+ (z,y)), tj. (x, y) 1+ (x,y) (x,z)+ (z,y) 1+ (x,z)+ (z,y),
15 1.4. Topologija na R n 15 odakle pomoću nejednakosti (x,y) (x,z)+ (z,y) dobivamo (x, y) 1+ (x,y) (x,z)+ (z,y) 1+ (x,z)+ (z,y) (x,z) 1+ (x,z) + (z,y) 1+ (z,y). Dakle, d(x,y) d(x,z)+d(z,y).) 11. (a) Pokažite da je formulom d((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )) = x 1 x 2 + y 1 y 2 zadana metrika na R 2. (b) Pokažite da funkcija (x,y) = x + y nije norma na R 2. (Uputa: (b) Funkcija nema svojstvo (N3).) 12. Neka su x,y,u,z točke iz metričkog prostora (X,d). Dokažite: (a) d(x,z) d(y,u) d(x,y)+d(z,u) (b) d(x,z) d(y,z) d(x,y). (Uputa: (a) Nejednakost trokuta daje d(x,z) d(x,y) + d(y,u) + d(u,z), odakle je d(x,z) d(y,u) d(x,y)+d(u,z). Slično se pokaže da je d(y,u) d(x,z) d(x,y)+d(u,z). (b) Slijedi iz (a).) 13. Neka je X skup svih m n realnih matrica. Dokažite da je formulom zadana metrika na X. d(a,b) = max a ij b ij i,j 14. Dokažite da je skup {(x,0) : x R} R 2 zatvoren u R neka je A = [0,1] R. Pokažite da se A može prikazati kao presjek otvorenih skupova. (Rješenje: A = ( ) n=1 1 n,1+ 1 n.) 16. Neka je X topološki prostor, a A X proizvoljan podskup. Dokažite: (a) ClA = X\Int(X\A). (b) IntA = X\Cl(X\A). (Uputa: (a) Kako je Int(X\A) otvoren skup i Int(X\A) (X\A), to je X\Int(X\A) zatvoren skup koji sadrži A i zato je ClA X\Int(X\A). Obratno,X\ClAjeotvorenskupsadržanuX\A. ZatojeX\ClA Int(X\A), odakle slijedi Cl A X\Int(X\A). (b) Postupite slično kao pod (a).) 17. Dokažite: (a) A = ClA\IntA. (b) ClA = A A. (Uputa: Iskoristimo li zadatak 16, dobivamo: (a) A = ClA Cl(X\A) = ClA\(X\Cl(X\A)) = ClA\IntA. (b) ClA = X\Int(X\A) = ( A (X\A) ) \Int(X\A) = ( A\Int(X\A) ) ( (X\A)\Int(X\A) ) = A (X\A) = A A.) 18. Neka je A = [0,1] Q. Pokažite da je A = [0,1].
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραZadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematičke analize
Osnove matematičke analize prof.dr.sc. Nikola Koceić Bilan FPMOZ Sveučilište u Mostaru FPMOZ Sveučilište u Mostaru 1 / Sadržaj 1 Topološka i metrička struktura normiranog vektorskog prostora R n. Konvergencija
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραMETRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.
METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI Šime Ungar http://www.mathos.unios.hr/~sime/ Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. Š. Ungar. Matematička analiza 3, PMF-Matematički
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMatematička Analiza 3
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime Ungar Matematička Analiza 3 Zagreb, 2002. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραNermin Okičić Vedad Pašić. Metrički prostori
Å Ì Å ÌÁÃ Nermin Okičić Vedad Pašić Metrički prostori 2016 Å Ì Å ÌÁÃ Sadržaj 1 Metrički prostori 1 1.1 Metrika i osobine......................... 2 1.2 Konvergencija u metričkim prostorima.............
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala
Διαβάστε περισσότεραDragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i )
Dragan Jukić α 2 f = 3 α i χ Ai 3 fdλ = α i λ(a i ) α 1 α 3 A 1 A 2 A 3 MJERA I INTEGRAL OSIJEK, 2012. prof.dr.sc. Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL Osijek, 2012. D. Jukić Mjera i integral. Izdavač: Sveučilište
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότεραKOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.
KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Monika Jović. Skalarni produkt.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Monika Jović Skalarni produkt Završni rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).
DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalna geometrija u fizici
Diferencijalna geometrija u fizici Bilješke, skice i škrabotine Ivica Smolić 2018 Ožujak 28 Kada narastem, bit ću knjiga Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-Matematički fakultet cbnd Creative Commons licences
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότεραKONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραR ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti
Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραBaza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.
Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραTOPOLOŠKA POTPUNOST LOGIKA DOKAZIVOSTI
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Luka Mikec TOPOLOŠKA POTPUNOST LOGIKA DOKAZIVOSTI Diplomski rad Voditelji rada: izv. prof. dr. sc. Mladen Vuković doc. dr. sc.
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότερα