( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
|
|
- Ονησίφορος Γιάνναρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom, ako je ( ) = () Funkcija () = sin je neparna: sin ( ) = sin Funkcija () = cos je parna: cos( ) = cos Umjesto uvrstimo u jednadžbu: Funkcija je parna cos( sin ) sin ( cos) cos ( sin ) sin ( cos ) = = = cos sin sin cos = Vježba 08 Je li unkcija () = cos (sin ) cos (cos ) parna ili neparna? Rezultat: Parna je Zadatak 08 (Maturanti, TUPŠ) Ako je =, koliko je +? Rješenje 08 n m n + m a a = a, a = a ( + ) + + = = = = = = 6 = = Vježba 08 Ako je, koliko je? = ( + ) + Rezultat: Zadatak 08 (Rogi, VTŠ) Odredi inverznu unkciju unkcije = log 4 log Rješenje 08 m n m n a = a n, log n log a, log a n log a, log a log a log a a = n = = c n n m n m l og a c b a, a, a a a b a n + = = = = Najprije transormiramo zadanu unkciju uporabom svojstava logaritma: = log 4 log log 4 log log 4 log = = 4 4 = log 4 log = log = log
2 Sada tražimo inverznu unkciju: 4 pišemo 4 zamijenimo i 4 = log log log = = = c 4 4 log a = c b = [ računamo ] = / = 4 b 4 pišemo = = 4 = = = = Vježba 08 Odredi inverznu unkciju unkcije Rezultat: 4 = log = Zadatak 084 (Rogi, VTŠ) Odredi inverznu unkciju unkcije Rješenje 084 = + c log a c b a b = = Tražimo inverznu unkciju: pišemo zamijenimo i = = = + = + + [ ] računamo = / ( + ) ( + ) = + = = + Vježba 084 c izlučimo ( ) log a c b a = = = = b pišemo log = log = = Odredi inverznu unkciju unkcije = log Rezultat: = + Zadatak 085 (Ivan, maturant) Odredi sve realne brojeve a i b za koje je unkcija () = a sin + b cos parna Rješenje 085 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom, ako je ( ) = () Funkcija () = sin je neparna: sin ( ) = sin Funkcija () = cos je parna:
3 Umjesto uvrstimo u jednadžbu pa dobijemo: cos( ) = cos = a sin + b cos = a sin + b cos a sin + b cos = a sin + b cos a sin + b cos = a sin + b cos a sin = a sin a sin a sin = 0 ( ) a sin = 0 /: a sin = 0 Budući da sin može imati vrijednosti izmeñu i, nužno mora biti a = 0 Dakle, zadana unkcija je parna ako je: a = 0 b bilo koji realan broj Vježba 085 Odredi sve realne brojeve a i b za koje je unkcija () = a sin + b cos neparna Rezultat: Funkcija je neparna ako je a bilo koji realan broj, b = 0 Zadatak 086 (Ksenija, srednja škola) Odredi temeljnu periodu unkcije () = sin 4 + sin 6 Rješenje 086 Funkcija je periodična s periodom P (P 0), ako za svaki vrijedi: Ako je unkcija deinirana u jednoj od točaka, + P, onda je deinirana u obje te točke i vrijedi ( + P) = () Broj P zove se perioda unkcije Najmanja pozitivna perioda unkcije (ako postoji) zove se temeljna perioda unkcije Ako za unkciju : D R postoji P > 0 takav da je ( + P) = (), za svaki D, tada unkciju nazivamo periodična unkcija Pozitivni brojevi P za koje vrijedi ( + P) = () nazivaju se periode unkcije Ako postoji najmanji takav pozitivan broj P, tada se taj P naziva temeljna perioda Trigonometrijske unkcije su periodične Temeljna perioda za sinus je π Ako je P temeljna perioda unkcije = (), tada je temeljna perioda unkcije = (a ) Ako su P i P periode dviju unkcija, te onda je P, a > 0 a P m = Q, P n P = n P = m P perioda zbroja tih unkcija Funkcija () = sin ima temeljnu periodu π pa perioda unkcije () = sin 4 iznosi = sin P = π π π = sin 4 P = P 4 = Funkcija () = sin ima temeljnu periodu π pa perioda unkcije () = sin 6 iznosi = sin P = π π π = sin 6 P = P 6 =
4 Perioda zadane unkcije iznosi: π π π P = = π P P P = = = P = P = P ili P π P π P π P = = π Vježba 086 Odredi temeljnu periodu unkcije () = sin 4 + sin 8 π Rezultat: Zadatak 087 (Ivana, maturantica) Odredi područje deinicije (domenu) unkcije zadane ormulom: = Rješenje 087 ln = 0, ln ln g g, sin 4 ln sin = ln sin ln sin 0 ln sin ln sin sin π sin = = + k π, k Z Domena unkcije iznosi: π D( ) = + k π, k Z Vježba 087 Odredi područje deinicije (domenu) unkcije zadane ormulom: = Rezultat: D( ) = { k π, k Z } ln cos Zadatak 088 (Ante, gimnazija) π Koji osnovni period ima unkcija = cos( ) + 5 sin? 4 Rješenje 088 Funkcija je periodična s periodom P (P 0), ako za svaki vrijedi: Ako je unkcija deinirana u jednoj od točaka, + P, onda je deinirana u obje te točke i vrijedi ( + P) = () Broj P zove se period unkcije Najmanji pozitivni period unkcije (ako postoji) zove se temeljni period unkcije Ako za unkciju : D R postoji P > 0 takav da je ( + P) = (), za svaki D, tada unkciju nazivamo periodična unkcija Pozitivni brojevi P za koje vrijedi ( + P) = () nazivaju se periodi unkcije Ako postoji najmanji takav pozitivan broj P, tada se taj P naziva temeljni period Trigonometrijske unkcije su periodične Temeljni period za sinus je π Ako je P temeljni period unkcije = (), tada je temeljni period unkcije = (a ) Ako su P i P periodi dviju unkcija, te P, a > 0 a
5 onda je period zbroja tih unkcija P m = Q, P n P = n P = m P Funkcija () = cos ima temeljni period π pa period unkcije iznosi = cos( ) = cos = cos P = π π = cos P = Funkcija () = sin ima temeljni period π pa period unkcije π π = sin sin = 4 iznosi = sin P = π π π sin 4 = P = = π Period zadane unkcije iznosi: π π π P = 6 = 4 π P P P P = = = = P = 6 P = P ili P π P π P P 4 π P = = 4 π Vježba 088 π Koji osnovni period ima unkcija = cos( 5) + 7 sin? 4 Rezultat: 4 π Zadatak 089 (Matea, gimnazija) Neka je () =, h() =, te neka vrijedi jednadžba ( h g) + ( g ) =, neku unkciju g Ako je g() = 5, koliko je g( )? Rješenje 089 Za kompoziciju unkcija i g vrijedi: ( g) = ( g ) ( g ) = g ( ), za Postavimo jednadžbu: h = ( h g ) + ( g ) = h( g ) + g ( ) = = g + g = g + g = g + g = 5
6 Budući da je g() = 5, slijedi: g g g = g = g ( ) g = g ( ) 5 = g ( ) 5 = g ( ) = 6 g = 5 = Vježba 089 za Neka je () =, h() =, te neka vrijedi jednadžba ( h g) + ( g ) =, neku unkciju g Ako je g() = 5, koliko je g(7)? Rezultat: 6 Zadatak 090 (Sanja, gimnazija) Zadana je unkcija = Odredi a, b, c i d tako da vrijedi + ( g ), a + b = c + d g Rješenje 090 Domena unkcije = iznosi: + a b a n =, = n c c b { } + 0 D = R \ Pretpostavimo da postoji unkcija g() traženih osobina Tada bi vrijedilo: = ako je a + b a + b c + d g ( g c d c d ) = = + = + = g + a + b a + b + ( c + d ) + c + d c + d a + b c d a + b c d c d a b c d c d + + = + = = a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d c + d c + d ( a c) + ( b d ) a c + b d = = a + c + b + d a + c + b + d Da bi lijeva strana jednakosti bila jednaka desnoj mora biti: a c = a c = a + c = 0 a + c = 0 metoda suprotnih a = a = /: b d = 0 koeicijenata b = b = /: b d = 0 b + d = b + d = 6
7 a =, 0 0 a = a + c = + c = c = c = b = b =, b d = 0 d = 0 d = / ( ) d = Rješenje sustava daje unkciju g: Vježba 090 a =, b =, c =, d = + ( + ) g g = = a + b g = + ( + ) c + d ( + ) + + g = g = g =, + ( + ) Zadana je unkcija = Odredi a, b, c i d tako da vrijedi + a + b = c + d g Rezultat: g + = Zadatak 09 (Mala, maturantica gimnazije) Odredi unkciju koja zadovoljava danu jednakost: Rješenje 09 Ako u danu jednakost umjesto stavimo, dobije se: + 5 = g =, ako je + 5 = 6 + ( ) + 5 = = = 6 + Rješavamo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice () i ( ): = 6 + metoda suprotnih + 5 = koeicijenata + = = 6 / = = 6 48 /: ( 4) = = = + tražena unkcija Vježba 09 + = + Odredi unkciju koja zadovoljava danu jednakost: Rezultat: = + Zadatak 09 (Mala, maturantica gimnazije) Odredi unkciju koja zadovoljava danu jednakost: + =
8 Rješenje 09 Ako u danu jednakost umjesto stavimo, dobije se: + = + = + = + = Rješavamo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice i : + = + = metoda suprotnih koeicijenata + = + = / ( ) + = 6 = /: ( ) = + = 6 4 = Vježba 09 Odredi unkciju koja zadovoljava danu jednakost: Rezultat: = Zadatak 09 (Vlado, maturant) Izračunati (7) ako je ( + 8) = Rješenje 09 ( a b) = a a b + b + = Budući da računamo (7), stavimo da je + 8 = 7 i riješimo kvadratnu jednadžbu + 8 = = 0 + = 0 = 0 / = 0 = Sada je: = ( + 8) = = = = = 7 Vježba 09 Izračunati (9) ako je ( + 0) = Rezultat: 7 8
9 Zadatak 094 (Meg, studentica) Neka je R skup realnih brojeva Funkcije i g deinirane su na sljedeći način: a) : R R, = sin + cos, b) g : R R, g = Jesu li unkcije i g jednake? Rješenje 094 Osnovni trigonometrijski identitet: sin + cos = Neka su A i B dva neprazna skupa Ako je svakom elementu A pridružen točno jedan element B kažemo da je deinirana, zadana unkcija sa skupa A u skup B i označavamo ovako : A B Skup A zove se domena, područje deinicije ili ulazni skup Skup B zove se kodomena, područje vrijednosti unkcije ili izlazni skup Ako je unkcija elementu pridružila element pišemo = () Jednakost unkcija Za unkcije : A B, g : C D kažemo da su jednake i pišemo = g, ako su ispunjena tri uvjeta: ) imaju jednake domene: A = C, ) imaju jednake kodomene: B = D, ) () = g() za svaki R Uočimo da je jednakost unkcija primjer relacije ekvivalencije jer je releksivna, simetrična i tranzitivna: releksivnost: = simetričnost: = g g = tranzitivnost: = g i g = h = h Funkcije i g jednake su jer: ) imaju jednake domene, R = R ) imaju jednake kodomene, R = R ) = g za svaki R, sin + cos = je trigonometrijski ident itet Vježba 094 Neka je R skup realnih brojeva Funkcije i g deinirane su na sljedeći način: 4 a) : R R, =, b) g : R R, g = + Jesu li unkcije i g jednake? Rezultat: Funkcije su jednake Zadatak 095 (Marin, tehnička škola) Zadana je unkcija ( ) = Rješenje 095 = + Dokažite da je za sve 0 zadovoljena relacija n n a a = n b b 9
10 = + = + = + = + = + = + Vježba 095 Zadana je unkcija ( ) = Rezultat: Dokaz analogan = + = = + = + Dokažite da je za sve 0 zadovoljena relacija Zadatak 096 (Nena, gimnazija) Odredite koje su sljedeće unkcije parne, koje neparne, a koje nisu ni parne ni neparne: a) =, b) =, c) = Rješenje 096 Funkcija : a, a R je parna, ako vrijedi ( ) = za svako a, a Gra parne unkcije je simetričan u odnosu na os O Funkcija : a, a R je neparna, ako vrijedi ( ) = za svako a, a Gra neparne unkcije je simetričan u odnosu na ishodište koordinatnog sustava O 0
11 4 + + a) Da bismo ispitali je li unkcija = + računamo njezinu vrijednost za pa slijedi: parna, neparna ili ni jedno, ni drugo, ( ) + ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) Funkcija je parna b) Da bismo ispitali je li unkcija = + parna, neparna ili ni jedno, ni drugo, računamo njezinu vrijednost za pa slijedi: ( ) + ( ) + ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = Funkcija je neparna c) Da bismo ispitali je li unkcija računamo njezinu vrijednost za pa slijedi: ( ) = + ( ) = = parna, neparna ili ni jedno, ni drugo, = = Funkcija nije niti parna, niti neparna jer ( ) nije jednako niti (), niti () Vježba 096 Odredite koje su sljedeće unkcije parne, koje neparne, a koje nisu ni parne ni neparne: a) =, b) =, c) = Rezultat: a) parna b) neparna c) ni parna, ni neparna Zadatak 097 (Nena, gimnazija) Dokažite da je zbroj parnih unkcija parna unkcija Rješenje 097 Neka su i g parne unkcije Zbroj unkcija i g neka je unkcija h, tj ( ) = ( ) =, g g h = + g Dokažimo da je unkcija h takoñer parna Računamo njezinu vrijednost za pa slijedi: unkcije i h( ) = ( ) + g ( ) h( ) = + g g su parne h = + g h = h h
12 Time je dokazano da je unkcija h kao zbroj parnih unkcija i g takoñer parna unkcija Vježba 097 Dokažite da je zbroj neparnih unkcija neparna unkcija Rezultat: Dokaz analogan Zadatak 097 (Nena, gimnazija) Dokažite da je unkcija () = + 6 strogo rastuća unkcija Rješenje 097 Funkcija : D R je strogo rastuća na D ako vrijedi, D, < < Takoñer slijedi: < < ( ) < ( ) ( ) ( ) O < Dokazujemo da je unkcija () = + 6 strogo rastuća: nejednadžbi 6 < + < / 6 pribrojimo 6 + < < < < Funkcija je strogo rastuća < /: < Vježba 097 Dokažite da je unkcija () = + 8 strogo rastuća unkcija Rezultat: Dokaz analogan Zadatak 098 (Ante, student) Dokažite da je unkcija () = za < < 0 strogo padajuća Rješenje 098 a > 0 a < 0 a b = ( a b) ( a + b), a b > 0 ili b > 0 b < 0 Funkcija : D R je strogo padajuća na D ako vrijedi, D, > <
13 ( ) > ( ) ( ) O < ( ) Dokazujemo da je unkcija () = strogo padajuća na intervalu, 0 > > > 0 + > 0 Budući da je unkcija () = deinirana na intervalu, 0 njihov zbroj + takoñer negativan broj, Da bi umnožak bio pozitivan, tj da vrijedi mora biti + < 0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) > 0 < 0 <, brojevi i su negativni pa je Znači O > < pa je unkcija () = strogo padajuća na intervalu, 0 Vježba 098 Dokažite da je unkcija () = za 0 < < strogo rastuća Rezultat: Dokaz analogan
14 Zadatak 099 (Nina, gimnazija) Za realni broja a deiniramo preslikavanja a : R R i ga : R R sa a () = + a, g a () = a Koliko ima brojeva a za koje vrijedi da je a ga = ga a Rješenje 099 = 0 = 0 ili = 0 il i = = 0 Neka su S, S i S neprazni skupovi i : S S, g : S S unkcije zadane na S, odnosno na S sa vrijednostima u S, odnosno u S Tada je sa ( ) ( ), h = g h = g S zadana unkcija h : S S koja se zove kompozicija ili složena unkcija, unkcija i g a = + a, ga = a a = + a, ga = a a ga = ga a ( a ga ) = ( ga a ) ( ) ( ) 4 a = + a, ga = a a = + a, ga = a a ga = ga a ga + a = a a a + a = a + a a + a = a + a a + a = a + a a= a a = 0 a = 0 a = a a a = 0 a ( a ) = 0 a = 0 a = Postoje dva broja a za koje vrijedi da je a ga = ga a Vježba 099 Deiniramo preslikavanja : R R i g : R R sa () =, g() = Uvjeri se da vrijedi g = g Rezultat: Jednakost vrijedi Zadatak 00 (Kate, studentica) + Je li unkcija = ln parna ili neparna? Rješenje 00 a b n =, ln a = n ln a b a Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom, ako je ( ) = () Umjesto uvrstimo u jednadžbu: ( ) = ln ( ) = ln ( ) = ln ( ) = ln ( ) = ln ( ) = ln ( ) =
15 Funkcija je neparna Vježba 00 Je li unkcija = ln + Rezultat: Neparna je parna ili neparna? 5
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότερα3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραPojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija
Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE
Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραPeriodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb
Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότερα3.1 Elementarne funkcije
3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραZadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a
Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne
Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.
Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα