Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.

Transcript

1 Zadatak Prvi kolokvij travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem. Definirajte E[X G]. (b) (4 boda) Iskažite i dokažite uvjetnu Fatouovu lemu. (c) (3 boda) Neka je X slučajna varijabla s uniformnom razdiobom na intervalu (0, 2) i neka je Y = X, gdje x označava najveće cijelo broja x R. Izračunajte E[X 2 Y]. (d) (3 boda) Neka su X i Y kvadratno integrabilne slučajne varijable takve da je E[X Y] = Y i E[Y X] = X. Dokažite da je X = Y P-g.s. Rješenje: (a) Uvjetno očekivanje E[X G] je g.s. jedinstvena slučajna varijabla koja je G-izmjeriva te zadovoljava E[E[X G];A] = E[X;A] za sve A G. (b) Teorem. (Fatou) Neka su X n, n 0 integrabilne i g.s. nenegativne slučajne varijable takve da je liminf X n integrabilna. Tada vrijedi E[liminf X n G] liminf E[X n G]. Dokaz. Budući inf X k sup inf X k = liminf X n, iz uvjetnog Lebesgueovog teorema o k n k n monotonoj konvergenciji slijedi E[liminf X n G] = E[lim inf X k G] = lim E[inf X k n k G] k n }{{} E[X k G] for all k n lim inf k n E[inf k n X k G] = liminf E[X n G]. (c) Primijetimo da Y poprima samo dvije vrijednosti: 0 i, odakle slijedi da je σ(y) = σ({y = 0},{Y = }) = σ({x < },{X }) generirana konačnom particijom particijom {{X < },{X }} pa je E[X 2 Y] = E[X 2 X < ] {X<} +E[X 2 X ] {X } = E[X2 ;X < ] {X<} + E[X2 ;X ] P(X < ) P(X ) 2 0 = x2 dx 2 2 {X<} + x2 dx 2 = 3 {X<} {X }. 2 {X } {X }

2 (d) Vrijedi E[(X Y) 2 ] = E[X 2 ] E[XY] E[XY]+E[Y 2 ] = E[X 2 ] E[E[XY X]] E[E[XY Y]]+E[Y 2 ] = E[X 2 ] E[X 2 ] E[Y 2 ]+E[Y 2 ] = 0 pa je (X Y) 2 = 0 g.s., tj. X = Y g.s..

3 Zadatak 2 Prvi kolokvij travnja 205. (a) (3 boda) Definirajte pojam submartingala. (b) (6 bodova) Iskažite i dokažite teorem o Doobovoj dekompoziciji submartingala. (c) (3 boda) Neka je X = {X n : n 0} slučajni proces adaptiran obzirom na filtraciju F = {F n : n 0} i neka je H = {H n : n 0} predvidivi slučajni proces. Definirajte martingalnu transformaciju (H X) slučajnog procesa H po slučajnom procesu X. (d) (3 boda) Neka je {Y n : n } niz nezavisnih slučajnih varijabli takvih da je EY n = 0 i EYn 2 = σ2 za sve n N. Definiramo X 0 = 0 i X n = n j= Y j za n te filtraciju F = {F n : n 0}, gdje su F 0 = {,Ω} i F n = σ(y,...,y n ) za n. Za ograničeni predvidivi proces H = {H n : n 0} izračunajte proces kvadratne varijacije (H X) martingalne transformacije. Rješenje: (a) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor i F = {F n : n 0} filtracija na njemu. Slučajni proces X = {X n : n 0} je submartingal ako za sve n 0 vrijedi (i) X n je F n -izmjeriva slučajna varijabla (ii) E X n < (iii) E[X n+ F n ] X n. (b) Teorem. (Doobova dekompozicija) Neka je X = {X n : n 0} submartingal. Tada postoje jedinstveni martingal M = {M n : n 0} i predvidivi neopadajući slučajni proces A = {A n : n 0} takvi da je X n = M n +A n za sve n 0. Dokaz. Definiramo A 0 = 0 i M 0 = X 0, a za n A n = A n +E[X n F n ] X n }{{} 0, jer je X submartingal i M n = X n A n. Vidimo da je A = E[X F 0 ] X 0 F 0 -izmjeriva i dalje slijedi matematičkom indukcijom da je A n F n -izmjeriva za sve n. Preostaje dokazati martingalnost procesa M. Neka je n. Tada je E[M n F n ] = E[X n F n ] A n = (X n +A n A n ) A n = X n A n = M n.

4 Dokažimo jedinstvenost. Pretpostavimo da je M n +A n = X n = M n +Ãn za sve n 0, gdje su M, M martingali, a A,Ã predvidivi neopadajući procesi. Tada je za svaki n 0 A n+ Ãn+ = E[A n+ Ãn+ F n ] = E[ M n+ M n+ F n ] = M n M n = A n Ãn =... = A 0 Ã0 = 0, gdje smo u prvoj jednakosti koristili predvidivost, a u trećoj martingalnost. (c) Martingalna transformacija slučajnog procesa H po slučajnom procesu X je slučajni proces (H X) = {(H X) n : n 0} definiran s (H X) 0 = H 0 X 0 n (H X) n = H 0 X 0 + H k (X k X k ), za n. k= (d) Primijetimo da je X martingal, jer je EY n = 0 za sve n pa je (H X) submartingal. Trebamo izračunati predvidivi neopadajući proces iz Doobove dekompozicije submartingala (H X) 2 n =Ä nj= H j Y j ä 2, n 0. Iz dokaza u dijelu (b) znamo da je taj proces dan s Računamo (H X) n = (H X) n +E[(H X) 2 n F n] (H X) 2 n. E[(H X) 2 n F n ] (H X) 2 n = E[((H X) n +H n Y n ) 2 F n ] (H X) 2 n = 2E[(H X) n H n Y n ] F n ]+E[Hn 2 Y n 2 ] F n ] = 2(H X) n H n E[Y n F n ] = 0+σ 2 H 2 n, } {{ } =EY n=0 budući je Y n nezavisna od F n, a H n i (H X) n su F n -izmjerive. Dakle (H X) n = (H X) n +σ 2 Hn 2 =... = n σ2 Hk 2. k= +H 2 ne[y 2 n F n ] }{{} =E[Y 2 n ]=σ2

5 Zadatak 3 Prvi kolokvij travnja 205. (a) (3 boda) Neka je X = {X n : n 0} slučajni proces koji je adaptiran obzirom na filtraciju F = {F n : n 0} i neka je T vrijeme zaustavljanja. Definirajte proces X zaustavljen u vremenu T, X T. (b) (4 boda) Ako je X martingal, dokažite da je i zaustavljeni proces X T martingal. (c) (4 boda) Neka je X = {X n : n 0} supermartingal. Dokažite da za omedena vremena zaustavljanja S i T takva da je S T g.s. vrijedi E[X S ] E[X T ]. Rješenje: (a) Slučajni proces X T = {X T n : n 0} je definiran s Xn T := X X n n < T T n = X T n T, n 0. (b) Definiramo H 0 = 0 i H n = {n T} za n. Budući je {n T} = {T n } c F n, slijedi da je slučajni proces H = {H n : n 0} predvidiv. Njegova martingalna transformacija po X je martingal, a jednaka je n T n (H X) n = {k T} (X k X k ) = (X k X k ) = X T n X 0, k= k= odakle slijedi da je X T martingal. (c) Neka je N N takav da je S,T N g.s.. Definiramo H 0 = 0 i H n = {n T} {n S} za n. Budući je {n S} = {S n } c F n, slijedi da je slučajni proces H = {H n : n 0} predvidiv, a zbog S T g.s je H n 0 g.s.. Njegova martingalna transformacija po X je supermartingal. Stoga je [ N ] N 0 = E[(H X) 0 ] E[(H X) N ] = E (X k X k ) (X k X k ) k=t k=s = E[X T X S ]. Dakle, E[X T ] E[X S ].

6 Zadatak 4 Prvi kolokvij travnja 205. (a) (4 boda) Neka je {Y n : n 0} niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli s funkcijom gustoće f Yn (y) = e y (0, ) (y). Neka je T = min{n 0 : Y n < }. Dokažite da slučajni proces X = {X n : n 0} definiran s konvergira g.s. i odredite mu limes. X n = e n {T>n}, n 0 (b) (3 boda) Iskažite teorem o L p -konvergenciji martingala. (c) (4 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, F = {F n : n 0} filtracija na njemu i X slučajna varijablatakva dajee[ X p ] < zaneki p >. DefiniramoX n := E[X F n ] za n 0 i F = σ( n=0 F n ). Dokažite da je Rješenje: lim X n = E[X F ] g.s.. (a). način. Dokazat ćemo da je je X nenegativni martingal u odnosu na filtraciju F = {F n : n 0} definiranu s F n := σ(y 0,...,Y n ), n 0. Nenegativnost, adaptiranost (T je F-vrijeme zaustavljanja!) i integrabilnost su jasne. Provjerimo martingalno svojstvo. Neka je n 0. Tada je E[X n+ F n ] = E[e n+ {T>n+} F n ] = E[e n+ {T>n} {Yn+ } F n ] = e n+ {T>n} E[ {Yn+ } F n ] = ex n P(Y n+ ) = ex n e y dy = X n. Dakle, X je nenegativni martingal pa konvergira g.s., tj. postoji X = lim X n g.s.. Neka je ω Ω takav da X (ω) = lim X n (ω) postoji. Ako bi X (ω) 0, onda bi postojao n 0 N takav da je X n (ω) 0 za sve n n 0, tj. što ne konvergira. Stoga je X = 0 g.s.. 2. način. Budući je, zbog nezavisnosti, X n (ω) = e n za sve n n 0, Å n P(T > n) = P(Y,...,Y n ) = P(Y ) n = e dyã y = e n,

7 slijedi ET = P(T > n) = e n < pa je T < g.s., odakle slijedi da je n= n= X n = e n {T>n} jednak 0 počevši od nekog n g.s.. Dakle, lim X n = 0 g.s.. (b) Neka je X = {X n : n 0} martingal takav da za neki p > vrijedi supe[ X n p ] <. Tada postoji slučajna varijabla X takva da lim E[ X n X p ] = 0. (c) Primijetimo da je X n,n 0 martingal. Koristeći uvjetnu Jensenovu nejednakost, slijedi sup E[ X n p ] = sup E[ E[X n F n ] p ] supe[e[ X p F n ]] = E[ X p ] < pa iz teorema o L p -konvergenciji martingala slijedi da postoji slučajna varijabla X takva da je X = lim X n g.s. i u L p. Neka je A F n. Tada je zbog Hölderove nejednakosti ( p + q = ) odakle je Dakle, E[ X m X ;A] E[ X m X p ] /p P(A) /q m 0, 0 = lim E[X m X ;A] = lim E[X m;a] E[X ;A] m m = lim E[E[X F m];a] E[X ;A] = E[X;A] E[X ;A]. m E[X;A] = E[X ;A] za sve A F n. n= Budući je n= F n π-sustav koji generira σ-algebru F, slijedi da vrijedi E[X;A] = E[X ;A] za sve A F pa je E[X F ] = X g.s..