Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.

Transcript

1 Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić 2 Antonija Kranjec 6 Ivana Legac 35 Ariana Linić 32 Jasmina Marijanović 26 Josipa Matešić 8 Marta Medić 27 Andrea Milišić 4 Marina Mišura 1 Matteo Mravić 16 Elizabeta Poropat 20 Ivan Pribanić 3 Doris Puž 17 Andrea Radočaj 12 Helen Rakas 37 Tihana Sabo 24 Morena Simčić 25 Krešimir Sinković 11 Valentino Skobljanec 15 Agata Starčević 30 Doris Strčić 26 Tin Šesnić 9 Pamela Šimić 28 Helena Škunca 22 Nikolina Šneler 34 Matea Špoljarić 10 David Tarandek 18 Radoslav Tičić 21 Ivana Vrban 29 Ana Vrcelj 14 Tina Zenzerović 36 Tin Zrinski 38 Samanta Zulijani 33 Vendi Žigman 23

2 Zadatak 1. Neka je f(x) = sin x, x [0, π]. Pripada li f kugli K d2 (g, 1), gdje je g(x) = cos x, x [0, π], a metrika d 2 na C([0, π]) definirana kao ( π d 2 (f, g) = f(x) g(x) 2 dx 0 ) 1 2.

3 Zadatak 2. Pokažite da je skup A = {f C([ 1, 1]) : 1 1 f(x)dx 5} zatvoren u metričkom prostoru C([ 1, 1], d 1 ), gdje je metrika d 1 definirana sa d 1 (f, g) = i to korištenjem: 1 1 f(x) g(x) dx, (a) definicije otvorenog (odnosno zatvorenog) skupa u metričkom prostoru, (b) karakterizacije zatvorenog skupa pomoću nizova.

4 Zadatak 3. Neka je f(x) = x 2 + 1, x R. Pokažite da je f neprekidna funkcija na R (s obzirom na standardnu metriku). Ako je g restrikcija funkcije f na [0, 1], navedite neku funkciju koja pripada kugli K d (g, 1).

5 Zadatak 4. Pokažite da je skup A = {f C([0, 1]) : 1 < f(x) 1, x [0, 1]}. nije ni otvoren ni zatvoren u metričkom prostoru (C[0, 1], d ), gdje je d (f, g) = max{ f(x) g(x) : x [0, 1]}.

6 Zadatak 5. Neka je T topologija konačnih komplemenata na skupu N, tj. familija skupova U takvih da je U = ili U = N \ K, za neki konačan K. (a) Je li skup {n N : n je prost broj} otvoren skup? Je li zatvoren? (b) Ako je A = {1, 2, 3}, odredite IntA, ClA, A. (c) Pokažite kontraprimjerom da presjek otvorenih skupova u ovoj topologiji ne mora biti otvoren skup. (d) Je li (N, T ) Hausdorffov prostor?

7 Zadatak 6. Neka je T topologija ne R 2 generirana bazom B = {[a, b [c, d : a, b, c, d R, a < b, c < d}. Odredite IntA, ClA, A sljedećih skupova: (a) A = {(x, 0) : 0 x < 1} (b) A = {(x, y) : 0 x < 1, 0 y < 1} (c) A = n N {(x, y) : x R, n y < n + 1} 2

8 Zadatak 7. (a) Pokažite da postoji niz (A n ) nepraznih zatvorenih podskupova nekog metričkog prostora (X, d) takav da je A n+1 A n, n, n=1a n = i (X, d) je potpun. (b) Pokažite da postoji niz (A n ) nepraznih zatvorenih podskupova nekog metričkog prostora (X, d) takav da je A n+1 A n, n, diama n 0, kada n i n=1a n =.

9 Zadatak 8. Neka je d : R + R + R definirana sa d(x, y) = x 1 y 1. Pokažite da skup A = 2N nije ni otvoren ni zatvoren u R +.

10 Zadatak 9. Neka je T topologija ne R 2 generirana bazom B = {[a, b [c, d : a, b, c, d R, a < b, c < d}. Odredite IntA, ClA, A sljedećih skupova: (a) A = {(x, y) : 0 x < 1, x Q, y R} (b) A = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1} (c) A = {(x, y) : x y < x + 1}.

11 Zadatak 10. Neka je (X, ) normirani vektorski prostor pretpostavimo da je (a n ) n niz u X koji konvergira prema a 0 X, te (b n ) n niz u X koji konvergira prema b 0 X. Pokažite da niz (a n + b n ) n konvergira prema a 0 + b 0.

12 Zadatak 11. Pokažite da funkcija f : 0, + 0, + definirana s nije uniformno neprekidna. f(x) = 1, x 0, + x

13 Zadatak 12. Pokažite da niz funkcija (f n ), f n (x) = xn, x [0, 1] n konvergira prema funkciji n(x) = 0, x [0, 1] u metričkom prostoru (C([0, 1]), d ).

14 Zadatak 13. Neka je (X, d) metrički prostori i neka su f, g : X R neprekidne funkcije. Pokažite da je funkcija h : X R definirana sa h(x) = f(x) + g(x), x X neprekidna funkcija.

15 Zadatak 14. Neka je A = {f C([0, 1]) : f(x) = 0, x [ 1, 1]}. Pokažite da je A 2 zatvoren u (C[0, 1], d ), gdje je d (f, g) = sup{ f(x) g(x) : x [0, 1]}. (Koristite karakterizaciju zatvorenog skupa pomoću nizova).

16 Zadatak 15. Neka je d metrika na X i A X. Pokažite da je funkcija f : X R definirana s f(x) = d(x, A) uniformno neprekidna funkcija na X.

17 Zadatak 16. Pokažite da je produkt dva Hausdorffova topološka prostora Hausdorffov prostor.

18 Zadatak 17. Ispišite sve topologije na skupu X = {a, b, c}.

19 Zadatak 18. Neka je C([a, b]) prostor neprekidnih funkcija na [a, b] s metrikom d. Pokažite da je funkcija F : C([a, b]) R definirana s F (f) = b a f(x)dx neprekidna (s obzirom na metriku d i standardnu metriku na R).

20 Zadatak 19. Neka su A Y i B Y takvi da je A B X Y. Pokažite da vrijedi: Cl(A) Cl(B) = Cl(A B).

21 Zadatak 20. Neka su T 1 i T 2 dvije topologije na istom skupu X i neka je T 1 T 2. Pokažite, ako je (X, T 1 ) Hausdorffov, onda je i (X, T 2 ) Hausdorffov.

22 Zadatak 21. Neka su (X, d X ) i (Y, d Y ) metrički prostori. Pokažite da je preslikavanje f : X Y neprekidno ako i samo ako za svaki podskup B od Y vrijedi f 1 (IntB) Intf 1 (B).

23 Zadatak 22. Neka je (X, d) metrički prostor. Neka su (x n ) i (y n ) nizovi u X takvi da je (y n ) Cauchyjev niz i d(x n, y n ) 0 kada n. Pokažite da je (1) (x n ) Cauchyjev niz u X, (2) (x n ) konvergira prema x ako i samo ako (y n ) konvergira k x.

24 Zadatak 23. Neka su X i Y metrički prostori i f neprekidna surjekcija sa X ns Y. Pokažite: ako je D gust podskup od X, onda je f(d) gust podskup od Y. Mora li tvrdnja vrijediti ako f nije surjekcija? Uputa: Koristite karakterizaciju: D X je gust u X ako i samo ako U D za svaki otvoreni U X.

25 Zadatak 24. Pokažite da je za svaki a, b R, a < b, a, b homeomorfan R (tj. postoji homeomorfizam sa a, b na R).

26 Zadatak 25. Pokažite da je podskup regularnog prostora regularan prostor.

27 Zadatak 26. Neka su (X, d X ) i (Y, d Y ) metrički prostori i f, g : X Y neprekidna preslikavanja. Pokažite: ako je skup F = {x X : f(x) = g(x)} gust u X, onda je f = g (tj. f(x) = g(x), za svaki x X).

28 Zadatak 27. Promotrimo prostor neprekidnih funkcija na [a, b] s metrikom d (f, g) = sup f(x) g(x). x [a,b] Neka je (f n ) niz u C([a, b]) koji konvergira uniformno nekoj funkciji f na [a, b]. Pokažite da je f neprekidna funkcija na [a, b].

29 Zadatak 28. Neka su f, g : X R neprekidne funkcije na prostoru X. Pokažite da je skup {x X : 3(f g)(x) + g(x) < 1} otvoren u X.

30 Zadatak 29. Neka je b a < 1 i d metrika na C([a, b]) definirana s d (f, g) = sup f(x) g(x). x [a,b] Neka je h C([a, b]). Pokažite da je preslikavanje F : C([a, b]) C([a, b]) definirano sa za x [a, b], g C([a, b]) a) kontrakcija, b) neprekidno preslikavanje. F(g)(x) = h(x) + x a g(t)dt,

31 Zadatak 30. Neka je (X, d) metrički prostor. Pokažite da je za svaki x X, funkcija F : X R, definirana s F (y) = d(x, y), y X neprekidna.

32 Zadatak 31. Neka su d 1 i d 2 topološki ekvivalentne metrike na X. Pokažite da niz {x n } iz X konvergira prema a X u (X, d 1 ) ako i samo ako konvergira u (X, d 2 ).

33 Zadatak 32. Neka je D R takav da je D = k i=1 D i i neka je {f n } niz funkcija f n : D R koji uniformno konvergira prema funkciji f na D i, za svaki i = 1, 2,..., n. Pokažite da je {f n } uniformno konvergentan.

34 Zadatak 33. Neka su (X, T ) i (Y, S) topološki prostori. Pokažite da je svako preslikavanje f : X Y neprekidno ako i samo ako je (X, T ) diskretan ili je (Y, S) indiskretan topološki prostor.

35 Zadatak 34. Neka je (X, d) potpun metrički prostor takav i (x n ) niz u X takav da postoji θ 0, 1 sa svojstvom Pokažite da je (x n ) konvergentan. d(x n+2, x n+1 ) θd(x n+1, x n ), n N.

36 Zadatak 35. Neka su d i d uniformno ekvivalentne metrike na X. Pokažite da je (x n ) Cauchyjev s obzirom na metriku d ako i samo ako je Cauchyjev s obzirom na metriku d.

37 Zadatak 36. Dokažite ili opovrgnite: funkcija f : [1, + R definirana s f(x) = 1 x, x [1, + je uniformno neprekidna.

38 Zadatak 37. Neka je f : [1, + [1, + definirana s f(x) = x + 1 x. Pokažite da vrijedi f(x) f(y) < x y, x, y [1, +, x y. Pokažite da je [1, + potpun, ali f nema fiksnu točku.

39 Zadatak 38. Neka je (X, d) metriški prostor i d metrika na X definirana s d (x, y) = d(x, y), x, y X. 1 + d(x, y) Pokažite da je preslikavanje f : X X definirano sa f(x) = x, x X homeomorfizam na X. Uputa: Koristite karakterizaciju neprekidnosti pomoću nizova.