ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τοµέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτοµάτου Ελέγχου Αν. Καθηγητής Χρ.

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τοµέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτοµάτου Ελέγχου Αν. Καθηγητής Χρ. Προβατίδης ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Βελτιστοποίηση Κατασκευών Ακαδηµαϊκό έτος: , Εξάµηνο: Εαρινό ΘΕΜΑ Βελτιστοποίηση 2 -δικτυώµατος µε τη Μέθοδο των Πεπερασµένων Στοιχείων ΜΕΡΟΣ Α: Ανάλυση διδιάστατου (2 ) δικτυώµατος δέκα ράβδων (10-bar truss) Έστω το δικτύωµα του Σχήµατος 1 (οι διαστάσεις σε in). Οι ράβδοι είναι κατασκευασµένες από υλικό µέτρου ελαστικότητας E=10 7 psi και πυκνότητας ρ=0.1lb/in 3. Τα εµβαδά των ράβδων περιγράφονται στον Πίνακα 1, ενώ το δικτύωµα φορτίζεται εξωτερικά ως ο Πίνακας 2 ορίζει. P 1 P 1 P 2 P 2 (α) (β) Σχήµα 1. ικτύωµα 10 ράβδων (10-bar): α) Τοπολογία και β) Φόρτιση Πίνακας 1: Εµβαδά διατοµών ράβδων Πίνακας 2: Εξωτερική φόρτιση Ράβδος ιατοµή [in 2 ] Συνιστώσα Τιµή [kips] 1, 6 πλήθος γραµµάτων ονόµατος P , 7 πλήθος γραµµάτων επωνύµου P , 8 πλήθος γραµµάτων µητρωνύµου 4,9 πλήθος γραµµάτων πατρωνύµου 5, 10 µήνας γέννησης ΖΗΤΕΙΤΑΙ: i. Να υπολογισθούν οι κοµβικές µετατοπίσεις και να βρεθεί ποιος (ποιοι) κόµβος (κόµβοι) εµφανίζει (εµφανίζουν) τη µέγιστη µετατόπιση. ii. Να υπολογισθούν οι τάσεις των ράβδων, να βρεθεί ποιες ράβδοι εφελκύονται (θλίβονται) και ποια (ποιες) ράβδος (ράβδοι) καταπονούνται περισσότερο. iii. Να υπολογισθούν οι δυνάµεις στήριξης και να βρεθεί µε τι ισούται το άθροισµα των δυνάµεων στήριξης. iv. Να υπολογισθεί το βάρος του δικτυώµατος

2 ΜΕΡΟΣ Β: Βελτιστοποίηση διδιάστατου (2 ) δικτυώµατος δέκα ράβδων (10-bar truss) Έστω το δικτύωµα του Σχήµατος 1 και έστω ότι τίθενται οι ακόλουθοι περιορισµοί: Ελάχιστο εµβαδόν διατοµών: A min = 0.1 Μέγιστη επιτρεπόµενη τάση: σ = psi Μέγιστη επιτρεπόµενη κοµβική µετατόπιση: u = v = ± 2.0in o o o in 2 Ζητείται η ελαχιστοποίηση του βάρους του δικτυώµατος εφαρµόζοντας: 1. τη µέθοδο Μεγίστης Κλίσεως (Steepest Descent Method) 2. τη µέθοδο των Hooke - Jeeves 3. τη µέθοδο της Προσοµοιούµενη Ανόπτηση (Simulated Annealing) 4. τη µέθοδο Sequential Quadratic Programming (υπορουτίνα fmincon, περιβάλλον Matlab, Optimization toolbox) 5. τη µέθοδο των Γενετικών Αλγορίθµων (Genetic Algorithms, εντολή gatool, περιβάλλον Matlab, GADS toolbox ) Πιο συγκεκριµένα, ζητείται η εκτέλεση των ακολούθων βηµάτων: Β1. Κατασκευή ενός πίνακα διάστασης 20x10. Τα στοιχεία του πίνακα θα είναι τυχαίοι αριθµοί από το 0.1 έως και το 10. Κάθε γραµµή του πίνακα (δεκάδα τυχαίων αριθµών) θα αποτελεί και ένα αρχικό διάνυσµα σχεδίασης (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, Πίνακας 1). Β2. Προγραµµατισµός της πρώτης µεθοδολογίας βελτιστοποίησης (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, Πίνακας 2). Β3. Εκτέλεση του προγράµµατος του Β2 µε όλα τα αρχικά διανύσµατα σχεδίασης και καταγράφονται τα τελικά αποτελέσµατα βέλτιστα βάρη W i (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, Πίνακας 3) καθώς και το πλήθος των επαναλήψεων Ν i που απαιτήθηκαν µέχρι συγκλίσεως. (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, Πίνακας 4). Β4. Επανάληψη των Β2 και Β3 για τις υπόλοιπες µεθοδολογίες βελτιστοποίησης. Β5. Μεταξύ των τιµών W i του πίνακα 5, εντοπισµός και καταγραφή της ελάχιστης τιµής W min. Β6. Μεταξύ των τιµών Ν i του πίνακα 6, εντοπισµός και καταγραφή της ελάχιστης τιµής Ν min. Β7. Υπολογισµός των ανηγµένων τιµών W i /W min και κατάλληλη συµπλήρωση του αντιστοίχου Πίνακα (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, Πίνακας 5). Β8. Υπολογισµός των ανηγµένων τιµών Ν i /Ν min και και κατάλληλη συµπλήρωση του αντιστοίχου Πίνακα (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, Πίνακας 6). Β9. Για κάθε µία µεθοδολογία βελτιστοποίησης, και µε βάση τις τιµές W i /W min, υπολογισµός του µέσου όρου x, της τυπικής απόκλισης s και του συντελεστή µεταβλητότητας CV και κατάλληλη συµπλήρωση του αντιστοίχου Πίνακα (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, Πίνακας 5). Β10. Για κάθε µία µεθοδολογία βελτιστοποίησης, και µε βάση τις τιµές Ν i /Ν min, υπολογισµός του µέσου όρου x, της τυπικής απόκλισης s και του συντελεστή µεταβλητότητας CV και κατάλληλη συµπλήρωση του αντιστοίχου Πίνακα (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, Πίνακας 6). Β11. Ταξινόµηση των τιµών W i /W min κατά αύξουσα σειρά και απεικόνιση αυτών (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, ιάγραµµα 1). Β12. Ταξινόµηση των τιµών Ν i /Ν min κατά αύξουσα σειρά και απεικόνιση αυτών (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, ιάγραµµα 2)

3 Β13. Απεικόνιση της στατιστικής επεξεργασίας των τιµών W i /W min (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, ιάγραµµα 3). Β14. Απεικόνιση της στατιστικής επεξεργασίας των τιµών Ν i /Ν min (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, ιάγραµµα 4). Β15. Σχολιασµός των ιαγραµµάτων (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β, ιάγραµµα 1 έως και ιάγραµµα 4)! ΠΡΟΣΟΧΗ! Ειδικά για τις µεθόδους της Προσοµοιούµενης Ανόπτησης και των Γενετικών Αλγορίθµων, έχει έννοια η χρήση αρχικού διανύσµατος σχεδίασης; Αν όχι, πώς µπορεί να τροποποιηθεί το Β3 για αυτές τις δύο µεθόδους; - 3 -

4 ΜΕΡΟΣ Γ: Ερωτήσεις θεωρίας και κρίσεως Βελτιστοποίηση Κατασκευών - Απρίλιος ) Πόσους και ποιους βαθµούς ελευθερίας έχει ένα στοιχείο ράβδου σε δύο διαστάσεις και σε τρεις διαστάσεις; 2) Εξαρτάται το µητρώο δυσκαµψίας της ράβδου από το λόγο Poisson ή όχι και γιατί; 3) Τι επίπτωση έχει στην επίλυση ενός δικτυώµατος η ύπαρξη ράβδου µε εξαιρετικά µικρό (απειροστό) µήκος; 4) Με ποιον τρόπο είναι δυνατή η αύξηση της δυσκαµψίας ενός δικτυώµατος, οι κόµβοι του οποίου έχουν συγκεκριµένη και αµετάβλητη θέση; 5) Ποια η διαφορά µεταξύ κοµβικών δυνάµεων και δυνάµεων αναπτυσσοµένων στις ράβδους ενός δικτυώµατος; 6) Για ποιο λόγο είναι χρήσιµη η γνώση των δυνάµεων στήριξης ενός δικτυώµατος; 7) Για ποιο λόγο είναι χρήσιµη η γνώση των κοµβικών µετατοπίσεων και των τάσεων σε ένα δικτύωµα; 8) Για ποιο λόγο είναι χρήσιµη η γνώση του βάρους ενός δικτυώµατος και γενικότερα µίας κατασκευής; 9) Στο Σχήµα 1, οι ράβδοι 4 και 9 τέµνονται αντίστοιχα µε τις ράβδους 5 και 10. Ωστόσο, στα σηµεία τοµής δεν έχουν τοποθετηθεί κόµβοι. Μπορείτε να δώσετε µία εξήγηση γι αυτό; 10) Πώς αλλάζουν τα αποτελέσµατα του Μέρους Α εάν στο εξεταζόµενο δικτύωµα προστεθεί µία ράβδος µεταξύ των κόµβων 1 και 4; 11) Βάσει ποιου κριτηρίου χαρακτηρίζεται µία κατασκευή ως (εσωτερικά) υποστατική, ισοστατική ή υπερστατική; 12) Να εξετάσετε, από πλευράς επάρκειας στήριξης, τις παρακάτω περιπτώσεις: F (α) (β) (γ) 13) Να υπολογισθεί το µητρώο δυσκαµψίας µίας ράβδου σε τρεις διαστάσεις (οι ενδιάµεσες πράξεις είναι δυνατόν να παραληφθούν). F F - 4 -

5 14) Εν γένει, είναι πολύ πιθανό οι διαδικασίες βελτιστοποίησης να οδηγήσουν σε ένα τοπικό ακρότατο. Πρακτικά, τι µπορεί να κάνει ο µηχανικός προκειµένου να αντιµετωπίσει αυτόν τον κίνδυνο; 15) Ποιους τρόπους µπορείτε να σκεφθείτε για τη διατύπωση των µη γραµµικών περιορισµών τάσεων και µετατοπίσεων; Αφού τους δοκιµάσετε τροποποιώντας κατάλληλα κάθε φορά τον κώδικα του Τµήµατος Β2 και αποτυπώνοντας γραφικά την πορεία σύγκλισης του βάρους της κατασκευής, να τους σχολιάσετε. 16) Ποια επίπτωση έχει στην πορεία σύγκλισης η επέκταση του πεδίου ορισµού των µεταβλητών σχεδιασµού από [0.1, 100] σε [0.1, ]; 17) Θα µπορούσε ως κάτω όριο του πεδίου ορισµού των µεταβλητών σχεδιασµού να τεθεί µία αρνητική ή µηδενική ποσότητα; Να τεκµηριωθεί πλήρως η απάντηση. 18) Με ποιόν τρόπο επηρεάζει η ακρίβεια (tolerance) την πορεία σύγκλισης; 19) Θα µπορούσε το άνω όριο του πεδίου ορισµού των µεταβλητών σχεδιασµού να τεθεί ίσο µε 0.2 ή όχι και γιατί; 20) Ποιες είναι η βασική διαφορά µεταξύ αιτιοκρατικών και στοχαστικών µεθοδολογιών βελτιστοποίησης; - 5 -

6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Μέγιστος αριθµός ατόµων ανά οµάδα: 2 Ηµεροµηνία Παράδοσης: Ηµεροµηνία γραπτής εξέτασης Ηµεροµηνία Προφορικής Εξέτασης: Κατόπιν συνεννοήσεως Κάθε οµάδα παραδίδει ΜΙΑ έκθεση, η οποία πρέπει να περιέχει: i) τις απαντήσεις των ζητουµένων στα Μέρη Α, Β και Γ (ΕΙΤΕ σε χειρόγραφη ΕΙΤΕ σε ηλεκτρονική µορφή) ii) τον αντίστοιχο κώδικα (σε έντυπη ΚΑΙ σε ηλεκτρονική µορφή) Κάθε οµάδα θα υποστηρίξει προφορικά την εργασία της σε προκαθορισµένο χρόνο και τόπο. Η υποστήριξη, µεταξύ άλλων, θα περιλαµβάνει επίδειξη εκτέλεσης του κώδικα, επεξήγηση τµηµάτων του και επί τόπου υλοποίηση αλλαγών, οι οποίες θα ζητηθούν από την εξεταζόµενη οµάδα. ΕΡΓΑΣΙΑ Η ΟΠΟΙΑ ΕΝ ΘΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΧΘΕΙ ΕΝ ΘΑ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΘΕΙ. Η συνεργασία µεταξύ των οµάδων προβλέπεται και επιβάλλεται, ωστόσο, για λόγους προφανείς, δεν ενδείκνυται η µη εποικοδοµητική αντιγραφή. Η συµµετοχή του παρόντος θέµατος στην τελική βαθµολογία ισούται µε 50% (5% για το Μέρος Α, 35% για το Μέρος Β και 10% για το Μέρος Γ). Στην αξιολόγηση κάθε εργασίας, µεταξύ άλλων παραγόντων, θα ληφθεί σοβαρά υπ όψιν η ορθότητα των αριθµητικών αποτελεσµάτων, η λακωνική αλλά εύστοχη και πλήρης απάντηση των ερωτήσεων, όπως επίσης και η επιµέλεια της εργασίας. Τυχόν συντακτικά, ορθογραφικά και γραµµατικά σφάλµατα, όπως επίσης και η προχειρότητα στη σύνταξη της εργασίας, θα έχουν ΑΡΝΗΤΙΚΗ επίδραση στη βαθµολογία. ΕΙ ΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Στην ιστοσελίδα έχουν αναρτηθεί ένας κώδικας Matlab για την επίλυση διδιάστατου δικτυώµατος καθώς και συνοδευτικό επεξηγηµατικό υλικό. Προτείνεται η κατάλληλη τροποποίηση αυτού του κώδικα προς αντιµετώπιση των ζητουµένων. Ωστόσο, κάθε άλλη προσπάθεια σύνταξης κώδικα είτε σε Matlab είτε σε οποιοδήποτε άλλο περιβάλλον (υπολογιστικό ή προγραµµατιστικό) είναι ευπρόσδεκτη. Υπενθυµίζεται ότι 1kip=1000lb. Για τη συµπλήρωση του Πίνακα 1 (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β), προτείνεται η αποθήκευσή του σε ένα αρχείο txt και κατόπιν η εκτύπωσή του χρησιµοποιώντας γραµµατοσειρά µε µικρό αριθµό στιγµών) Προς διευκόλυνση, προτείνεται τα ιαγράµµατα (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β) να κατασκευασθούν στον Excel και, εάν θεωρηθεί σκόπιµο για εποπτικούς λόγους, να χρησιµοποιηθεί λογαριθµική κλίµακα. Σαφώς, ιαγράµµατα κατασκευασµένα µε διαφορετικό λογισµικό είναι αποδεκτά. Προς διευκόλυνση, προτείνεται οι Πίνακες (Φύλλο Απαντήσεων, Μέρος Β) να κατασκευασθούν στο Excel ή σε κάποιο άλλο αντίστοιχο λογισµικό

7 ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Μέρος Α: Υπολογισµός (2 ) δικτυώµατος δέκα ράβδων (10-bar truss) Κοµβικές µετατοπίσεις (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) Μετατόπιση κατά Μετατόπιση κατά Συνισταµένη α/α κόµβου τη x-διεύθυνση [in] τη y-διεύθυνση [in] µετατόπιση [in] Η µέγιστη µετατόπιση κατά τη x-διεύθυνση εµφανίζεται στον κόµβο.... Η µέγιστη µετατόπιση κατά τη y-διεύθυνση εµφανίζεται στον κόµβο.... Η µέγιστη συνισταµένη µετατόπιση εµφανίζεται στον κόµβο.... Τάσεις στις ράβδους (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) Αξονική τάση Ε Εφελκυσµός α/α ράβδου [psi] Θ Θλίψη Η ράβδος που καταπονείται περισσότερο είναι η ράβδος.... υνάµεις στήριξης (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) ύναµη κατά τη ύναµη κατά τη Το άθροισµα των δυνάµεων στήριξης α/α κόµβου x-διεύθυνση [kips] y-διεύθυνση [kips] ισούται µε ΑΘΡΟΙΣΜΑ Βάρος κατασκευής:... lb

8 ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Μέρος Β: Ελαχιστοποίηση βάρους (2 ) δικτυώµατος δέκα ράβδων (10-bar truss) Πίνακας 1: Αρχικά διανύσµατα σχεδίασης (σηµεία εκκίνησης) α/α Α1 Α2 Α3 Α4 Α5 Α6 Α7 Α8 Α9 Α Πίνακας 2: Υλοποιηµένες µεθοδολογίες (να συµπληρωθεί κατάλληλα ο Πίνακας µε ) Μεθοδολογία Βελτιστοποίησης Steepest Descent Method Hooke Jeeves Simulated Annealing SQP Genetic Algorithm Υλοποιήθηκε πλήρως Υλοποιήθηκε µερικώς εν υλοποιήθηκε Πίνακας 3: Καταγραφή βελτίστων βαρών W i και εντοπισµός, µεταξύ αυτών, της ελάχιστης τιµής Βέλτιστα Βάρη W i για κάθε µία εκτέλεση Μεθοδολογία βελτιστοποίησης Steepest Descent Method Hooke Jeeves Simulated Annealing SQP Genetic Algorithm Ελάχιστη τιµή W min [lb] Πίνακας 4: Καταγραφή επαναλήψεων Ν i και εντοπισµός, µεταξύ αυτών, της ελάχιστης τιµής Επαναλήψεις Ν i για κάθε µία εκτέλεση Μεθοδολογία βελτιστοποίησης Steepest Descent Method Hooke Jeeves Simulated Annealing SQP Genetic Algorithm Ελάχιστη τιµή N min - 8 -

9 Πίνακας 5: Βέλτιστα Βάρη ανηγµένα ως προς την τιµή W min και στατιστική επεξεργασία αυτών Μεθοδολογία βελτιστοποίησης Steepest Descent Method Hooke Jeeves Simulated Annealing SQP Genetic Algorithm Ανηγµένες τιµές W i / W min για κάθε µία εκτέλεση Στατιστική επεξεργασία x s CV Πίνακας 6: Επαναλήψεις ανηγµένες ως προς την τιµή Ν min και στατιστική επεξεργασία αυτών Ανηγµένες τιµές N i / N min Ν i για κάθε µία εκτέλεση Στατιστική επεξεργασία Μεθοδολογία βελτιστοποίησης x s CV Steepest Descent Method Hooke Jeeves Simulated Annealing SQP Genetic Algorithm ιάγραµµα 1: Απεικόνιση των ταξινοµηµένων, κατά αύξουσα σειρά, τιµών W i / W min Τύπος γραφήµατος: scatter with data lines connected by lines Περιεχόµενα: οι τιµές των γραµµών Ανηγµένες τιµές W i / W min για κάθε µία εκτέλεση του Πίνακα 5, αφού προηγουµένως αυτές ταξινοµηθούν κατά αύξουσα σειρά Παρατήρηση: το διάγραµµα θα απεικονίζει µία κατανοµή 20 τιµών για κάθε µέθοδο βελτιστοποίησης ιάγραµµα 2: Απεικόνιση των ταξινοµηµένων, κατά αύξουσα σειρά, τιµών Ν i / Ν min Τύπος γραφήµατος: scatter with data lines connected by lines Περιεχόµενα: οι τιµές των γραµµών Ανηγµένες τιµές Ν i / Ν min για κάθε µία εκτέλεση του Πίνακα 6, αφού προηγουµένως αυτές ταξινοµηθούν κατά αύξουσα σειρά Παρατήρηση: το διάγραµµα θα απεικονίζει µία κατανοµή 20 τιµών για κάθε µέθοδο βελτιστοποίησης - 9 -

10 ιάγραµµα 3: Απεικόνιση της στατιστικής επεξεργασίας των τιµών W i / W min Τύπος γραφήµατος: clustered column with secondary axis Περιεχόµενα: για κάθε µεθοδολογία, οι τιµές x και CV του Πίνακα 5 Παρατηρήσεις: 1) οι µεθοδολογίες βελτιστοποίησης θα φαίνονται στον άξονα των τετµηµένων 2) ο όρος secondary axis σηµαίνει ότι θα χρησιµοποιηθούν δύο άξονες τεταγµένων (ένας αριστερά και ένας δεξιά του άξονα των τετµηµένων), 3) ο αριστερός άξονας τεταγµένων να χρησιµοποιηθεί για τις τιµές x και ο δεξιός άξονας των τεταγµένων να χρησιµοποιηθεί για τις τιµές CV ιάγραµµα 4: Απεικόνιση της στατιστικής επεξεργασίας των τιµών Ν i / Ν min Τύπος γραφήµατος: clustered column with secondary axis Περιεχόµενα: για κάθε µεθοδολογία, οι τιµές x και CV του Πίνακα 6 Παρατηρήσεις: 1) οι µεθοδολογίες βελτιστοποίησης θα φαίνονται στον άξονα των τετµηµένων 2) ο όρος secondary axis σηµαίνει ότι θα χρησιµοποιηθούν δύο άξονες τεταγµένων (ένας αριστερά και ένας δεξιά του άξονα των τετµηµένων), 3) ο αριστερός άξονας τεταγµένων να χρησιµοποιηθεί για τις τιµές x και ο δεξιός άξονας των τεταγµένων να χρησιµοποιηθεί για τις τιµές CV Συµπεράσµατα Από το ιάγραµµα 1 προκύπτει ότι: Από το ιάγραµµα 2 προκύπτει ότι: Από το ιάγραµµα 3 προκύπτει ότι: Από το ιάγραµµα 4 προκύπτει ότι:

11 Μέρος Γ: Ερωτήσεις θεωρίας και κρίσεως Βελτιστοποίηση Κατασκευών - Απρίλιος 2005 ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Ερώτηµα 1:... Ερώτηµα 2:... Ερώτηµα 3:... Ερώτηµα 4:... Ερώτηµα 5:... Ερώτηµα 6:... Ερώτηµα 7:... Ερώτηµα 8:

12 Ερώτηµα 9:... Ερώτηµα 10:... Ερώτηµα 11:... Ερώτηµα 12:... Ερώτηµα 13: (µόνο για το Ε13, εάν κριθεί απαραίτητο, να επισυναφθούν επιπρόσθετες σελίδες)

13 Ερώτηµα 14:... Ερώτηµα 15:... Ερώτηµα 16:... Ερώτηµα 17:... Ερώτηµα 18:... Ερώτηµα 19:... Ερώτηµα 20: