ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE TEORIA PORTOFOLIULUI

Transcript

1 EI E SUII EONOIE EOI OOFOLIULUI ro. uiv. dr. oisă ltăr 00 by oisă ltar. ll rights rsrvd. Short sctios o tt, ot cdig two aragrahs may b quotd without rmissio rovidd that ull crdit, icludig th otic, is giv to th sourc. oyright 00, oisă ltar. oat drturil asura acsti lucrări aarţi autorului. Scurt ragmt d tt, car u dăşsc două aragra ot i citat ără rmisiua autorului dar cu mţioara sursi. ucurşti, iauari 00

2 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L -9 EOI OOFOLIULUI ro. uiv. dr. oisă ltăr uris IOLUL I - OOFOLII EFIIENE. FONIE KOWIZ ISUL ŞI ENILIE UNEI ŢIUNI EI, VINŢ ŞI OVINŢ EUŢIILE OOFOLIULUI E ŢIUNI LIŢI OOFOLII EFIIENE EOE ELO OUĂ OOFOLII FUNENLE (FONUI UULE) (I) OIEĂŢI LE FONIEEI KOWIZ EOE ELO OUĂ OOFOLII FUNENLE (FONUI UULE) (II) LIŢIE OVINŢ INE OUĂ OOFOLII EFIIENE. OOFOLII ONJUGE UN OEL E EVLUE IVELO FINNIE LIŢIE IOLUL II OOFILII OIE. E FUNENLĂ IEŢEI E IL IL KE LINE (L) INOUEE FONIE OOFOLIILO EFIIENE ENU ZUL ÎN E E IŢĂ EXISĂ ŞI UN IV FĂĂ IS E FUNENLĂ IEŢEI E IL (L IL KE LINE) OILIE OOFOLIILO SIUE E L LIŢIE IOLUL III OELUL (IL SSES IING OEL) EHILIUL IEŢEI FINNIE OELUL LIŢIE: IOLUL IV - OLIGŢIUNI EVLUE UNEI OLIGŢIUNI U UNEI OLIGŢIUNI OIEĂŢILE UEI... 89

3 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 3-9 EOI OOFOLIULUI aitolul I - ortoolii icit. Frotira arowitz. ro. uiv. dr. oisă ltăr. iscul şi rtabilitata ui acţiui. S va cosidra că iaţă cotază u umăr d acţiui. tabilitata acţiuii i ), î itrvalul d tim d la t0 la t, st dată d următoara ormulă: ( i ( 0 ) () 0 i u 0 şi s-a otat cursul acţiuii la momtl t0, rsctiv t, iar cu s-a otat mărima dividdului. Î ormula () mărimil şi sut variabil alatoar, ca c ac ca şi variabilă alatoar. i să i Vom rsuu că tru momtul viitor t au ost idtiicat u umăr d q stări osibil al coomii, rcum şi robabilităţil d ralizar a icări stări. Î idtiicara stărilor osibil s va lua î calcul şi situaţia ramurii coomic î car s ală îtrridra mittă a acţiuii i. tru icar star, baza idtiicării cursurilor i şi al dividdului calculat rtabilităţil. Î acst mod, s ormază distribuţia: i i vor i i : i i,...,,..., q iq () ud 0,, q şi q.

4 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 4-9 tabilitata mdi (aşttată) a acţiuii i st: E( ) i q i (3) batra rtabilităţii aţă d mdi st: i E( ) : i i E( ) i i E( ) i,...,,..., iq q E( ) i iar variaţa (disrsia) rtabilităţii st: i var( ) E([ E( )] ) (4) i i i oorm covţii adotată î domiul iaciar-motar i var( i ) cuatiică mărima riscului acţiuii i. u cât mărima lui i st mai mar cu atât riscul asumat d u ivstitor car achiziţioază acţiua i st mai mar. irmaţia d mai sus st valabilă umai dacă ivstitorul achiziţioază acţiua i ără a o itroduc îtr-u ortooliu î car s ală şi alt acţiui. iiţi: S umşt ortooliu d acţiui u vctor,,..., ) cu..., ud cu i acţiua i î totalul sumi ivstit. ( ( i, ) s-a otat odra sumi ivstit î Obsrvaţi: Î cazul î car rglmtăril iţi rmit oraţii d tiul short sllig ul ditr comotl vctorului ot i gativ.. dia, variaţa şi covariaţa. tru scrira cuaţiilor uui ortooliu vor i ramitit ul ditr rorităţil mdii, rsctiv al variaţi ui variabil alatoar. u litra z vor i otat variabill alatoar, iar cu litra c vor i otat costat. rorităţil mdii E ( c) c E ( c z) ce( z) E z z ) E( z ) E( ( z ) (5)

5 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 5-9 rorităţil variaţi var( c ) 0 var( c z) c var( z) var( z z) var( z) var( z) cov( z, z) ovariaţa a două variabil alatoar st, ri diiţi: (6) cov( z, z) E[( z E( z))( z E( z))] (7) ovariaţa ditr două variabil alatoar cuatiică ivlul ddţi ditr cl două variabil. acă ij 0, atuci rzultă că cl două variabil voluază rlativ iddt ua d calaltă. acă ij > 0, rzultă că variabill alatoar z i şi z voluază î aclaşi ss, iar dacă < 0 j ij atuci s oat trag cocluzia că variabill alatoar voluază î ss cotrar. mlu, dacă cov( i, j ) < 0, atuci rzultă că dacă rtabilitata i a acţiuii i va crşt, rtabilitata acţiuii j ) va ava tdiţa d a scăda. ( j oicitul d corlaţi ditr două variabil alatoar zi şi z j st: ρ ij cov( z, z i i j j ) (8) oicitul d corlaţi ρ ij variază î itrvalul [-, ]. S şti di toria robabilităţilor atul că dacă ρ ij, atuci îtr variabill alatoar z i şi z j istă o ddţă liiară d orma: zi a z j b (9) cu a > 0 dacă ρ şi cu a < 0 dacă rorităţi al covariaţi ij ρ. ij cov( z, z ) E[( z E( z ))( z E( z )) (0) ii ij ji i j i i j j ()

6 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 6-9 ij ρ ij i j i galitata avâd loc dacă şi umai dacă ρ j ij () Î cazul î car variabila alatoar alatoar, rsctiv: z j st o combiaţi liiară d alt variabil z c z c z... c j z (3) atuci: z, z ) c cov( z, z ) c cov( z, z )... c cov( z, z ) (4) cov( i j i i i roritata (4) rzultă di ormula (7) car dişt covariaţa: E[( z i E( z ))( c z i i c c... c i c z i... c z c E( z ) c E( z )... c E( z )) (5) Vom ac obsrvaţia că ormull (5) s ot graliza tru u umăr d variabil alatoar: E c z c z... c z ) c E( z ) c E( z )... c E( z ) (6) ( var( c z cz... cz) c var( z) c var( z)... c var( z) c c cov( z, z) cc cov( z, z)... cc cov( z, z) c c cov( z, z ) c c cov( z, z )... c c cov( z, z ) (7) Formula (7) s mai oat scri astl: var( c z cz... c z ) c cc j j (7 ) j acă s otază cu matrica d variaţă-covariaţă : ( ) j (8) şi cu c vctorul coloaă (cu "" s otază vctorul trasus) ormula (7 ) s mai oat scri matrical astl: atuci c c, c,... ) ( c

7 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 7-9 var( c z cz... cz) c c (9) Î ormula (9) s-a ţiut sama că matrica d variaţă-covariaţă st simtrică, rsctiv, i, j,. ij ji 3. Ecuaţiil ortooliului d acţiui. Vom rsuu u ortooliu (,,..., ) ormat di acţiui. tru icar acţiu s cuoaşt rtabilitata mdi E ( i ) şi riscul i ( i, ). asma, s rsuu cuoscut covariaţl ( i, j, ). ij zultă că tru activl car ot itra î structura ortooliului s cuoaşt: Vctorul rtabilităţilor aşttat ( E ( ), E( ),..., E( )) atrica d variaţă-covariaţă (0) () amitim că matrica st simtrică, rsctiv lmtl simtric aţă d diagoala ricială sut gal:, i, j,. licâd rorităţil rztat î aragraul rzt, rzultă: ij ji E( ) E( ) () (3) j j j (4)

8 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 8-9 u E( ) şi s-au otat rtabilitata, rsctiv riscul ortooliului. Ecuaţiil ()-(4) rrzită cuaţiil ortooliului d activ iaciar şi ot i scris matricial astl: E ( ) (5) (6) (7) u ost utilizat următoarl otaţii: (,,..., ) ( E( ), E( ),..., E( )) (,,...,) (8) u s-a otat vctorul coloaă al rtabilităţilor, iar cu u vctor - coloaă dimsioal avâd toat comotl gal cu uu. Ecuaţia (3) s oat scri: j j j (9) Vom mai scri cuaţia (9) şi astl: (... ) (... (... )... ) (30) Ţiâd sama d rorităţil covariaţi, rztat î aragraul, avm că rsia... rrzită covariaţa ditr activul iaciar şi îtrgul ortooliu. Vom ota acastă covariaţă cu, rsctiv:

9 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L ), cov( (3) u acastă otaţi variaţa ortooliului s mai oat scri:... (30 ) sau: (30 ) Vom calcula szitivitata riscului ortooliului,, î raort cu variaţia odrii activului i î ortooliu. Î ralabil, vom obsrva utilizâd ormula (3) că: i i (3 ) Folosid ormula (3 ) avm succsiv: ( ) i i i i i i i i i i i i i i Ţiâd sama d rlaţia (3 ), şi rarajâd trmii di ormula d mai sus rzultă: ( ) i i i i i ii i i i i ) ( Vom ota: i i i γ i, (3) oicitul i γ va i umit coicit d szitivitat a riscului ortooliului î raort cu activul i.

10 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 0-9 Vom obsrva că st o ucţi omogă d gradul uu î raort cu Utilizâd ormula lui Eulr tru ucţiil omog, rzultă:,...,,.... şi, utilizâd (3) s obţi: γ γ... γ Obsrvaţii: (33). laţia (33) s oat obţi dirct şi di (30 ) ri îmărţira ambilor mmbrii cu i,.. oiciţii γ i sut idicatori d risc, i cuatiicâd riscul icărui activ i î raort cu ortooliul cosidrat. 3. Î raort cu ormula obişuită a riscului j i j ij car st o ormulă liiară, ormula (33) ar avatajul că st o ormulă liiară. 4. Îmărţid ambii mmbrii ai ormuli (33) cu s obţi: β β... β (34) S-a otat: γ i β i i (35) Idicatorul β i va i umit volatilitata activului i î raort cu ortooliul.

11 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L licaţia. Vom cosidra u ortooliu ormat di tri activ. S cuosc următoarl lmt: E ( ) 4%, E ( ) 6%, E ( 3 ) 0%. oiciţii d risc itrisc sut: 0%, 5%, 3 30%. oiciţii s rsuu a i: ρ 0, 5, ρ 3 0, ρ 3 0, 5. oiciţii d covariaţă vor i: ρ 3 ρ3 3 3 ρ3 3 0, ,05 atrica d variaţă-covariaţă st: 0,0 0, , ,0 0,05 0 0,05 0,09 S va cosidra u ortooliu avâd următoara structură: 40%, 30%, 3 30%. zultă că ortooliul st: ( 0, 4 ;0,3 ;0,3 ) Variaţa ortooliului va i:. 0,0 0, ,4 (0,4;0,3;0,3) 0, ,0 0,05 0,3 () 0 0,05 0,09 0,3 0,0055 (0,4;0,3;0,3) 0,005 0,005 0, iscul ortooliului va i: 0, , 096.

12 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L -9 tabilitata aşttată a ortooliului st: E ( ) 0,4 0,4 0,3 0,6 0,3 0, 0,60. şadar, ortooliul costruit ar o rtabilitat E ( ) 6,0% şi u risc 9,6%. i calcull ctuat mai sus (ormula () rzultă următorii coiciţi d corlaţi ditr icar activ şi ortooliul : 0,0055 ; 0, 005 ; 3 0, 005. oiciţii d szitivitat sut: γ 0,0553 5,53% γ 0,06,6% γ 3 γ 3 0,87,87% iar coiciţii d volatilitat a activlor î raort cu ortooliul sut: γ γ γ 3 β 0,597, β 0, 749, β 3, 368. Obsrvaţi: Vom obsrva că dşi activul ar riscul itrisc 5%, rsctiv d,5 ori mai mar dcât riscul activului ( 0%), coicitul d szitivitat γ st mult mai mic dcât γ. casta îsamă că di uct d vdr al riscului ortooliului, activul s comortă mult mai bi dcât activul. casta coduc la cocluzia că idicatorii d risc itrisc urizază iormaţii dstul d sumar, l trbuid să i corrlat cu iormaţiil urizat d idicatori γ şi β.

13 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L ortoolii icit iiţi: U ortooliu d activ iaciar s umşt icit (otim arto) dacă u s oat orma ici u ortooliu Q car să aibă acaşi rtabilitat cu, dar să aibă u risc mai mic dcât acsta. Î mod chivalt s oat su că ortooliul st icit (otim arto) dacă u s oat orma ici u ortooliu Q car să aibă aclaşi risc cu, dar să aibă o rtabilitat mai mar dcât acsta. tru a gra ortoolii icit, vom calcula structura uui ortooliu car să asigur o rtabilitat mdi gală cu ρ (mărim dată) cu u risc miim. licâd cuaţiil d ortooliu () - (4) şi otâd tru uşurara scririi: E ( ) (37) vom ormula următoara roblmă d miim: mi ρ mi j j j (38) Lagragaul roblmi st: L j j ρ j (39)

14 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 4-9 u şi s-au otat multilicatorii Lagrag corsuzători clor două rstricţii al roblmi d otim. odiţiil csar d otim, dsr car s dmostrază uşor că sut şi suicit sut: L L 0; L L L 0; K K 0; 0; 0 (40) vm: L j j j j 0,, (4) Ţiâd sama că rzultă că cl două sum di ormula (4) sut gal; j j rzultă: j j j 0,, (4) Sistmul d cuaţii cu cuoscut d mai sus s oat scri matricial astl: 0 (43),, K, iar st vctorul coloaă d dimsiu cu toat S-a otat ( ) K comotl gal cu uu ( (,, KK, ) S obţi: d ud: ). (44)

15 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 5-9 Soluţia (44) coţi două cuoscut, rsctiv multilicatorii şi. tru calculul lui şi vom olosi ultiml două cuaţii di (38). csta s ot scri vctorial astl: ρ (45) (46) i (44) rzultă : (47) i rlaţiil (45)-(46) rzultă: ρ (48) Vom utiliza următoarl otaţii: şi ; ; (49) ţioăm că, şi sut scalari. Sistmul d cuaţii (48) dvi: ρ (50) Soluţia tru ci doi multilicatori şi st: ρ ρ

16 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 6-9 ρ ρ (5) Utilizâd valoril tru multilicatori şi dat d (5), soluţia (44) dvi: ( ) ( ) [ ] ρ ρ (5) oorm ormuli (3), vctorul coicit d covariaţă a icărui activ cu ortooliul car asigură rtabilitata ρ cu u risc miim va i: ( ) ( ) [ ] ρ ρ K (53) Variaţa ortooliului va i: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ρ ρ ρ ρ ( ) ( )( ) ( ) [ ] ρ ρ ρ ρ [ ] [ ] 3 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( ) ( ) [ ] ) ( ρ ρ

17 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 7-9 Ţiâd sama că coorm (46) avm, rzultă: [ ρ ] ρ (54) Formula (54) u î vidţă rlaţia ditr rtabilitata ρ a ortooliului şi riscul miim obtabil corsuzător. Graicul ucţii (54) st rztat î igura, a iid o hirbolă. ρ Figura ortooliul V cu cl mai mic risc osibil (risc miim global) corsud valorii: ρ V (55) iscul ortooliului cu cl mai mic risc osibil (ortooliul d risc miim) st:

18 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 8-9 V (56) Îlocuid î (5) ρ V di ormula (55) rzultă că ortooliul d risc miim global ar următoara structură: V (57) Ţiâd sama d (49), ormull (55)-(57) car caractrizază ortooliul d risc miim global V s ot scri: ρv ; V V (58) Obsrvaţii:. alcull d mai sus au ost ctuat î iotza că matrica d variaţăcovariaţă u st dgrată ( dt 0 ), şi dci a st ivrsabilă. Î cazul î car dt 0, calculul ctuat trbui rluat şi trbui ţiut sama d atul că matrica d variaţă-covariaţă u st ivrsabilă. tru mliicar acst lucru va i ăcut tru cazul. Î acst caz dacă ρ, matrica d variaţă-covariaţă dvi: trmiatul matrici st zro.. Vom obsrva că mărima:

19 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 9-9 st gală cu suma tuturor lmtlor matricii. Ersia st u vctor coloaă avâd comotl gal cu suma lmtlor liii al matricii. cst obsrvaţii rmit o mai buă itrrtar iaciară a ormullor (58). Vctorii (,, K, ) şi (,, K,) s umsc oratori d îsumar, datorită atului că îmulţiţi cu o matric ctuază oraţia d aduar a lmtlor liii, rsctiv coloa, al matrici. 6. orma clor două ortoolii udamtal (oduri mutual) (I) Formula (44) car urizază rsia grală tru u ortooliu icit, s scri: (59) ud şi sut multilicatorii Lagrag. Vom rsuu că: 0 0 Î acst caz ormula (59) s mai oat scri: ( ) ( ) (60) (6) Obsrvăm că: V coicid cu a tria ormulă di (58), şi st ormula car dă structura ortooliului d risc miim global. Vom ota cu W ortooliul avâd structura:

20 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 0-9 W (6) Vom mai ac obsrvaţia că ormula a doua di (50) arată că (63) a c arată că oric ortooliu icit s oat scri ca o combiaţi covă a ortooliilor şi (rlaţia (6)). V W ( ) W V (64) ud s-a otat cu, rsctiv. şadar st suicit să cuoaştm structura ortooliilor V şi W tru a i î măsură să utm scri cuaţia oricărui ortooliu icit (car sut î umăr iiit) utilizâd ormula (64). mlu, algâd 0, 5 utm scri: 0,5 V 0, 5 W (64 ) vm siguraţa că ormula (64 ) urizază structura uui ortooliu icit. Obsrvaţi imortată: di uct d vdr iaciar, ormula (64) vidţiază atul că tru a obţi u ortooliu icit st suicit să ivstim roorţia : ( ) î ortooliil (oduril mutual) car au structura V, rsctiv W. Î ucţi d algra lui vom obţi o rtabilitat dată cu u risc miim. tru a vidţia rtabilitata ortooliului î ucţi d aramtrul, vom utiliza rlaţia (50): ρ Ştiid că şi obţim: ( ) ρ ri calcul obţim: ρ [ ρ] (65) (65 )

21 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L -9 acă ivstitorul stabilşt rtabilitata ρ car dorşt să o obţiă, atuci va olosi ormula (65) tru a dduc c odr să ivstască î odul mutual V, iar ( ) va ivsti î odul mutual W. şi ( ) Î cazul î car s-a ivstit o odr î odul mutual V î odul mutual W, utilizâd ormula (65 ) vom calcula rtabilitata ρ a ortooliului. mlu, dacă, di (65 ) obţim: ρ V, rsctiv ρ V, ca c coicid cu rima ormulă di (58). acă 0, obţim: ρ W zultă că rtabilitata ortooliului st: W ρw Obsrvăm că, di ormula (65) rzultă ρ 0, ca c imlică ρ ρ W (66) (67) i (66) rzultă că ortooliul W st ortooliul icit car asigură ca mai mar rtabilitat iaţă, cluzâd biîţls oraţiuil d ti short-sllig îtr cl două ortoolii (V şi W). Î cazul î car s admit oraţiui d ti short-sllig, multilicatorul oat i surauitar şi, î cosciţă, s ot obţi rtabilităţi mai mari dcât ρ W tru a calcula variaţa ortooliului W vom olosi ormull (54) şi (66): W d ud

22 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L -9 W W ρ zultă că ortooliul W ar următoarl caractristici: ( ) ρ ; W W W (68) i atul că: > 0 rzultă că : >, rsctiv W V > ca c st ormal, îtrucât ortooliul W ar o rtabilitat aşttată mai mar. ovariaţa ditr ortooliil V şi W st: W V VW ( ) VW rzultă că: VW (69) Vom dmostra că ortooliul cu cl mai mic risc global V ar roritata că ar acaşi covariaţă cu oric ortooliu icit. Îtr-advăr, i u ortooliu icit: ( ) W V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vw V W V V V W V V V V zultă aşadar că oricar ar i ortooliul icit ( ) w v,

23 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 3-9 v, costat (70) roritata (70) rrzită o caractristică rmarcabilă a ortooliului V (cu cl mai mic risc global).

24 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L rorităţi al rotiri arowitz La l ca şi îait, s va cosidra că iaţă cotază u umăr d activ cu risc (acţiui). tru icar activ s cuoaşt: tabilitata aşttată: E( ) ;, iscul, măsurat ri abatra mdi ătratică: ;, oiciţii d covariaţă a icărui activ cu cllalt activ: ; j, j,, j u ajutorul coiciţilor d variaţă ( ormază matrica d variaţă-covariaţă: ( j ) ) şi al clor d covariaţă s Vom ac obsrvaţia că î cazul î car î locul coiciţilor d covariaţă s dau coiciţii d corlaţi ρ (, j ) matrica (ρ j ) j, j, atuci cu ajutorul acstora s ormază (7) iar matrica d variaţă-covariaţă s scri: S S (7) S ud S st matrica diagoală: (73)

25 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 5-9 Vom ac obsrvaţia că: S S (74) S atrica S s ivrsază uşor, rsctiv: (75) Îtrucât matrica S st îtotdaua ivrsabilă, tru ca matrica să i ivrsabilă st csar ca matrica să i ivrsabilă. trior s-a dmostrat că oric ortooliu icit (otim arto) d rtabilitat (iată og) ar următoara structură (vzi ormula (5)): [( ) ( ) ] (76) Notaţiil utilizat sut următoarl: ( ),,..., (,,..., ) (77) S obsrvă că şi sut vctori coloaă cu comot, iar,, şi sut scalari (umr).

26 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 6-9 acă matrica > 0 şi > 0 st ozitiv-diită atuci avm: (78) iar di igalitata auchy-uiaowsi-schwarz rzultă: > 0 (79) i ormula (76) rzultă că î cazul î car s cuosc lmtl d structură a iţi d caital:,,, şi, tru icar mărim a rtabilităţii a ortooliului stabilită î mod og d cătr ivstitor, s oat calcula vctorul d structură a ortooliului icit. cst ortooliul asigură obţira rtabilităţii cu cl mai mic risc ( ) osibil. rtabilitata oorm ormuli (54), tru oric ortooliul icit rlaţia ditr şi variaţa acstuia st dată d rlaţia: [ ] (80) Îtrucât discrimiatul triomului di mmbrul drt al ormuli (80) st < 0 iar > 0, rzultă că acst triom st ozitiv, oricar ar i rtabilitata. Î sistmul d coordoat (, ) di laul iaciar, ormula (80) rrzită o hirbolă. Îtr-advăr, ormula (80) s mai oat scri, succsiv:

27 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 7-9 (8) rsctiv: (8) car rrzită orma caoică a ui hirbol. i ormula (8) rzultă: ± (83) Est vidt că ditr cl două ormul (83), di uct d vdr al itrrtării iaciar ar smiicaţi umai aca cu smul lus, rsctiv: (84) Formula (84), valabilă tru, urizază tru oric ortooliu icit mărima rtabilităţii î ucţi d riscul asumat. tru oric ortooliu icit variaţia rtabilităţii î ucţi d riscul asumat st dată d ormula:

28 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 8-9 (85) S obsrvă că: > 0 şi < 0 (86) i ormull (86) rzultă că ucţia (84) car dă valoara a rtabilităţii uui ortooliu icit î ucţi d riscul asumat st o ucţi crscătoar şi cocavă. u alt cuvit, tru oric ortooliu icit uui risc mai mar îi corsud şi o rtabilitat mai mar, sorul d rtabilitat iid îsă o ucţi dscrscătoar. Ţiâd sama d atul că drivata ui ucţii rrzită, di uct d vdr gomtric ata tagti dusă la graicul ucţii î uctul rsctiv, rzultă că cuaţia tagti dusă î uctul (, ) la hirbola (8), rsctiv (84) car rrzită rotira arowitz (rotira ortooliilor icit) va i: ( ) (87) agta (87) va itrscta aa vrticală (d risc zro) î uctul: 0 (88) Ţiâd sama d ormula (84), rzultă:

29 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L (88 ) tru a vda oziţia uctului (, ) d rotira arowitz di car tagta dusă trc ri origi, vom lua 0. zultă: iar di ormula (84) rzultă: şadar ortooliul avâd caractristicil: W : W W (89) ar roritata că tagta dusă la hirbolă (rotira arowitz) î uctul rsctiv trc ri origia alor d coordoat. Vârul ramurii (84) a hirboli (8), rsctiv (83) ar caractristicil:

30 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 30-9 V V : V (90) şi st aclaşi cu ortooliul d risc miim global dscris d (58). i (85) mai rzultă că: (9) lim şi dci cuaţia asimtoti dusă la ramura (84) a rotiri arowitz st: (9) tru a uta trasa cât mai act hirbola (83), vom calcula şi coordoatl uctului î car acasta itrsctază aa orizotală ( 0 ). Evidt că aa orizotală st itrsctată d ramura: Făcâd 0 rzultă: (93)

31 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 3-9 Făcâd î (84), rzultă: V (94) u alt cuvit ortooliul icit car corsud ramura surioară a hirboli uctului î car ramura irioară a hirboli itrsctază aa orizotală corsud ui rtabilităţi gal cu dublul rtabilităţii corsuzătoar vârului (ortooliul corsuzător clui mai mic risc osibil). W V

32 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L orma clor două ortoolii udamtal (oduri mutual) (II) Î cazul î car rtabilitata ortooliului icit ( ) st iată, structura acstuia st dată d ormula (76). tru ortooliul V, coorm (90) avm coorm ormuli (76), va i: V V, iar structura acstuia, rsctiv: V (95) tru ortooliul W, coorm (89), avm W, iar structura acstuia va i: W (96) şa cum s-a arătat atrior, oric ortooliu icit oat i rimat astl (vzi ormula (6)): V ( ) W (97) ud aramtrul st dat d ormula (vzi ormula (65)): [ ] (98)

33 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 33-9 Formull (97) şi (98) arată că î cazul î car u ivstitor dorşt să-şi asigur o rtabilitat (aşttată) st suicit să ivstască o odr [ ] di totalul ivstiţii î odul mutual (ortooliul) V şi o odr [ ] î odul mutual (ortooliul) W. odalitata d ivstir rrztată mai sus st ralizabilă umai î cazul iaţă istă oduril mutual V şi W car asigură rtabilităţil, rsctiv. Vom rsuu că iaţă u ucţioază oduril mutual V şi W, î schimb istă alt două oduri mutual H şi G cu rtabilităţil aşttat H, rsctiv G. Îtrucât oric od mutual st u ortooliu icit, coorm ormuli (97), utm scri: H G H V ( H ) W ( G ) W G V (99) ud: [ ] H H [ ] G G (00) Vom arăta că, tru a obţi o rtabilitat aşttată, ivstitorul trbui să ivstască o odr di totalul ivstiţii î odul mutual H şi o odr (-) î odul mutual G. Îtr-advăr avm: H ( ) G (0) Ţiâd sama d (99), avm:

34 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 34-9 ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] W G H V G H W G V G W H V H (0) acă s otază: ( ) G H l (03) atuci (0) s oat scri: ( ) W V l l (04) oorm ormuli (98) avm: [ ] l (05) i (03) rzultă: G H G l (06) Ţiâd sama d ormull (00) şi (05), di (06) rzultă: H G G (07) zultă că tru a obţi o rtabilitat (aşttată) d, ivstitorul trbui să ivstască o odr gală cu H G G di totalul ivstiţii î odul mutual H şi o odr gală cu H G H î odul mutual G.

35 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L licaţi Vom rsuu că iaţă cotază u umăr d tri activ. atrica-diagoală a coiciţilor d risc st: S iar matrica coiciţilor d corlaţi st: atrica d variaţă-covariaţă, coorm ormuli (7) va i: S S Ivrsa matricii d variaţă-covariaţă st: Obsrvaţi imortată: tru alicaţiil d calcul matricial s rcomadă utilizara rogramlor H sau L. Evidt că tru matrici d dimsiui rdus s ot utiliza şi calculatoarl d buzuar. Vctorul coiciţilor d rtabilitat st: ( ) Vctorul st:

36 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 36-9 ( ) Vom ota cu, rsctiv vctorii: vm: ; cu ajutorul vctorilor şi vom calcula: ( ρ j ) ortooliil udamtal sut: ortooliul icit cu cl mai mic risc global (vârul hirboli ortooliilor icit): 0.38 V V avâd riscul: 6.% şi rtabilitata: V.94%

37 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 37-9 W ortooliul W (car ar roritata că tagta dusă la hirbolă ri uctul ( avâd riscul: W, W 6.4% W ) trc ri origia alor d coordoat): şi rtabilitata: W 3.04 % Vom rsuu acum că u ivstitor dorşt să-şi ormz u ortooliu car săi asigur o rtabilitat aşttată d 5.40%. oorm ormullor (97) şi (98), ortooliul 5.40% va i: ud: V ( ) W [ ] W, iar car asigură rtabilitata [ ] [ ] V Ectuâd calcull rzultă:.797 şi zultă că

38 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 38-9 iscul corsuzător ortooliului st: 4.6% cst risc oat i calculat şi cu ajutorul ormuli (80) obţiâdu-s aclaşi rzultat şadar, tru a obţi o rtabilitat d 5,40% ivstitorul trbui să cumr 3,797 uităţi di odul mutual W şi vid (short-sllig),797 uităţi di odul mutual V. Vom rsuu acum că iaţă ucţioază două oduri mutual (ortoolii icit) G şi H avâd rtabilităţil aşttat 4%, rsctiv 6.5%. Structura clor două ortoolii, calculat baza ormullor (97) şi (98) sut: ; G G 9. 66; G şi G 8.44% ; H H ; H şi H 0.3% licâd ormull (0) şi (07) avm: H ( ) G G H G G zultă: H H G 0.56 şadar, d acastă dată ivstitorul îşi va asigura rtabilitata dorită cumărâd 0,64 uităţi di odul mutual H şi 0,36 uităţi di odul mutual G.

39 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L ovariaţa ditr două ortoolii icit. ortoolii cojugat. Fi şi două ortoolii icit. oorm clor stabilit, cl două ortoolii s ot rima î ucţi d ortooliil V şi W astl: ( ) W V ( ) W V ovariaţa ditr l st: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] W V W V, cov ( ) ( ) ( )( ) W W W V V W V V (08) S şti că: V V V V W W V W W W (09) Ţiâd sama d (09), ormula (08) dvi: ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ), cov ( ) [ ] ( )( ), cov Idicii şi car îsoţsc, u au ici o lgătură cu umrl şi diit atrior.

40 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 40-9 cov cov (, ) ( )( ) d ud: (0) (, ) ( )( ) S şti că (ormula 98): rsctiv: ( ) şi dci: cov [ ] (, ) zultă: cov (, ) () S şti că: V d ud: cov (, ) [ V ][ V ] () i ormula () s obsrvă că tru două ortoolii şi tru car > V şi V >, rsctiv uctl (, ) şi (, ) sut situat ramura surioară a hirboli (vzi ormula (84)) car dscri rotira arowitz, (, ) 0 cov >.

41 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 4-9 Fi acum ortooliul iat, cu (, ) 0 cov Z >. Vom căuta ortooliul Z astl îcât: V (3) Z < V Est vidt că tru ortooliul Z vom ava: (4) u alt cuvit, ortooliul Z va i situat ramura irioară a hirboli, rsctiv ramura (vzi ormula (83)): (5) Z vm: cov (, ) [ ][ ] zultă: Z V rsctiv: Z zultă: Z Şi dci: Z V V Z V [ ] [ ] (6) ortooliul Z a cărui rtabilitat st dată d ormula (6) s umşt cojugatul ortooliului.

42 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 4-9 Vom obsrva că ormula (6) s mai oat scri: Z rsctiv: V W V Z (7)

43 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L U modl d valuar a activlor iaciar. odlul c va i aalizat î acst aragra rmit valuara rtabilităţii oricărui activ î ucţi d rtabilitata uui ortooliu talo şi al cojugatului său Z. tru îcut vom valua dirţa: Z Ţiâd sama d ormula (80), rzultă: Z rsctiv: Z (8) d altă art, îtrucât ormuli (3) covariaţa ditr u activ şi ortooliul î car l st iclus st dată d ormula:... (9) rzultă că vctorul ar drt comot coiciţii d covariaţă, ditr activ şi ortooliul., Utilizâd ormula (76) avm: [( ) ( ) ] d ud avm succsiv: [( ) ( ) ]

44 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 44-9 ( ) Ţiâd sama d ormula (6) rzultă: [ Z ] Ţiâd sama şi d ormula (8) rzultă: sau, î sârşit: Z Z [ ] Z ( ) (0) Z Formula (0) rrzită orma vctorială a uui modl d valuar a activlor iaciar. Vom ota vctorul: E () u otaţia (), modlul (0) s scri: Z ( ) E () Z Scriid cuaţia () comot avm: ( ), Z β Z, (3) Îtrucât E( ) (3) s mai oat scri: E, iar şi ( ) E( ) [ E( ) E( )], Z Z, Z sut î at rtabilităţil aşttat, cuaţia β (4)

45 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 45-9 β ud, coorm () avm: (5) aramtrul cu ortooliul-talo. Ersia: E ( ) E( ) Z β s umşt coicitul d volatilitat al activului î raort (6) rrzită o rimă d risc. zultă că ormula (4) arată că: tabilitata (aşttată) a oricărui activ trbui să i gală cu rtabilitata ortooliului-cojugat Z la car s adaugă rima d risc multilicată cu coicitul β d volatilitat a activului La râdul său coicitul d volatilitat raortâd coicitul d covariaţă β s obţi coorm ormuli (5), a activului cu ortooliul la variaţa ortooliului,. ri covţi activl tru car β > s umsc activ agrsiv. Q oicitul d volatilitat a uui ortooliu Q avâd structura Q st: β β β... β (7) ud,...,, sut comotl vctorului Q. β Vom obsrva că coicitul d volatilitat a ortooliului talo st: (8) Îtr-advăr, di (), îmulţid la stâga cu vctorul-lii [ ] obţim: Z E Z (9)

46 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 46-9 Ţiâd sama că: şi E β β Z 0 rzultă: sau β β Z [ ] ca c trbui dmostrat. Î mod asmăător s dmostrază că: Z (30) Obsrvaţii imortat:. odlul udamtal (4) rmit valuara activlor orid d la u ortooliu-talo. Î acastă situaţi, st vidt că volatilităţil did d modul d algr a ortooliului-talo.. Fi Q vctorul d structură a uui ortooliu icit Q. i ormula (): β Q Q E β Q ud β Q st volatilitata ortooliului Q. licâd ormula () rzultă:

47 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 47-9 cov (, ) Q β Q var( ) (3) Q Formula (3) rmit calculul raid al volatilităţii uui ortooliu Q. Î cazul î car s cuosc rtabilităţil (aşttat) i ormula (3) s vd uşor că: β şi 0 Z şi Q. β doarc cov (, ) 0. Q ot di ormula (3) rzultă că β V (doarc iar tru ortooliil situat ramura irioară a hirboli avm Q V V ), β < β, doarc î acst caz Q < V. asma, di (3) s vd că cu cât u ortooliu Q ar o rtabilitat mai mar, cu atât volatilitata lui va i mai mar.

48 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L licaţi. Vom cosidra aclaşi dat olosit î acst caitol. rt ortooliu-talo vom cosidra ortooliul d rtabilitat ( ) 5% E. licâd ormula (76) obţim structura ortooliului-talo: iscul ortooliului st.7%. oorm ormuli (6) rtabilitata ortooliului-cojugat va i: Z.9% Vctorul d covariaţă va i: Ştiid că variaţa lui st oorm ormuli () vctorul E va i: E rsctiv: β.7376; β şi β rima d risc st: E ( ) E( ) % Z

49 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 49-9 Vom rsuu acum că u ivstitor dorşt să-şi ormz u ortooliu icit, asumâdu-şi u risc 4%. oorm ormuli (84) rtabilitata ortooliului va i 5.58%. Q Q licâd ormula (5) obţim structura ortooliului: Q Volatilitata ortooliului Q va i: β Q E.36 Q zultă că î raort cu ortooliul talo a cărui rtabilitat st ( ) 5% E şi volatilitat β, ortooliul Q a cărui rtabilitat st ( ) 5.58% E ar coicitul d volatilitat cu,36% mai mar. Q

50 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 50-9 EOI OOFOLIULUI aitolul II ortoilii otim. rata udamtală a iţi d caital aital art Li (L). Itroducr Î aragraul 5 al caitolului rcdt s-a rztat u modl d valuar a activlor orid d la u ortooliu icit si d la cojugatul său Z. Est vidt că acst modl d valuar st u modl,,subictiv, doarc icar ivstitor oat alg u aum ortooliu icit, şi astl sa obţiă roriul său modl d valuar a activlor d iaţă. Î acst caitol s va arăta că istă u modl d valuar,,obictiv car-l olossc toţi oratorii d iaţă. csta st modlul udamtat î aul 964 d cătr W. Shar, laurat al rmiului Nobl aul 989 (îmruă cu H. arowitz şi H. illr).rbui mţioat că iddt d W. Shar, la cocluzii asmăătoar au ajus, tot î aul 964, şi J.Litr, rcum şi J. ossi.

51 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 5-9. Frotira ortooliilor icit tru cazul î car iaţă istă şi u activ ără risc. Î acst aragra s va rsuu că iaţă istă u activ al cărui radamt st crt şi al cărui risc st zro. tru acasta utm gâdi la u lasamt î bouri d tzaur sau î o casă d coomii, al cări dozit sut garatat d stat. Nu s va lua î calcul roblma ilaţii car oat roda valoara ivstiţii. a şi î caitoll rcdt, vom rsuu că ivstitorii au u comortamt d ti arowitz, rsctiv car să asigur o rtabilitat dată: E ( ) ρ () cu u risc miim: miim () Notâd ca şi î caitoll rcdt cu,, mărima ivstiţii î activul cu risc(acţiua) raortată la totalul ivstiţii şi cu 0 odra ivstiţii î activul ără risc, avm: (... ) (3) 0 odlul d rogramar car trbui să-l soluţioz ivstitorul st: mi mi j j ρ j (4)

52 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 5-9 a şi î caitoll rcdt, cu j s-a otat covariaţa ditr activl cu risc şi j, iar cu ( ) E s-a otat rtabilitata aşttată a activului. odlul (4) s mai oat scri: ( ) j j j mi mi ρ (5) Lagragaul sistmului st: ( ) ( ) j j j L ρ (6) u s-a otat multilicatorul Lagrag. odiţiil csar d otim sut: 0, 0, L L (7) S dmostrază că acst codiţii rrzită şi codiţii suicit d otim. Ţiâd sama d (6), codiţiil d otim dvi: ( ) j j j, (8)

53 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 53-9 l codiţii (8), dsăşurat s scriu: ( ) ( ) ( ) (9) Utilizâd otaţiil dja itrodus î caitoll rcdt, sistmul (9) matricial s scri astl: ( ) (0) ud: ( ij ) st matrica d variaţă-covariaţă; ( ),,..., ( ),...,, (,, )..., u alt cuvit, rrzită vctorul-coloaă al odrilor ivstiţiilor î activ cu risc, iar vctorul coloaă al rtabilităţilor aşttat al activlor cu risc. u s-a otat, ca şi âă acum, u vctor coloaă cu comot, avâd toat comotl gal cu uu. a şi âă acum, s va rsuu că matrica d variaţă-covariaţă st ivrsabilă ( dt 0). i rlaţia (0) rzultă:

54 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 54-9 ( ) () doua rlaţi di (5), s oat scri vctorial astl: ( ) ρ () Ţiâd sama d rlaţia (), rlaţia () dvi: [ ] [ ] ρ (3) vm: [ ] [ ] ρ (4) ri calcul rzultă: [ ] [ ] (5) S-a ţiut sama că matrica st simtrică şi dci: (6) Ţiâd sama că î caitoll rcdt s-a otat: (7)

55 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 55-9 avm: [ ] [ ] (5 ) laţia (4) s scri: ρ (8) sau: ( ) E (8 ) Ţiâd sama d rlaţia (8), vctorul d structură (structura activ cu risc a ortooliului) s scri (vzi ()): [ ] ρ (9) Ţiâd sama că odra ivstiţiilor î activul ără risc st: 0 (3 ) rzultă:

56 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 56-9 [ ] ρ 0 d ud: ( )( ) 0 ρ (0) Ţiâd sama d (9), variaţa ortooliului s scri: ( ) ( ) ( ) [ ] ρ ( ) ( ) ( ) ρ Ţiâd sama d (5 ) rzultă: ( ) ρ () i () rzultă: ( ) ρ () sau

57 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 57-9 [ E( ) ] ( ) Formula ( ) u î vidţă atul că îtr riscul uui ortooliu şi csul d rtabilitat E( ) a ortooliului î raort cu rtabilitata activului ără risc istă o rlaţi liiară (d roorţioalitat), coicitul d roorţioalitat iid costat: (3) laţia () s mai oat scri: ρ (4) rsctiv: E ( ) (5) i (4) mai rzultă: ( ρ ) (6) Ţiâd sama d (6) rlaţia (9) dvi: [ ] (7) Formula (7) rmit calculul structurii ortooliului î ucţi d riscul asumat.

58 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L rata udamtală a iţi d caital (L aital art Li). i ormula (5) rzultă atul că oricar ar i două ortoolii icit şi Q avm: E ( ) E( ) Q Q d ud: E E ( ) Q ( ) (8) Q ( ) Ersia: E Q Q (9) rzită rima d risc a ortooliului Q. zultă că ormula (8) rimă rtabilitata ortooliului icit î ucţi d rtabilitata ără risc, d riscul ortooliului şi d rima d risc a ortooliului Q. Structura uui ortooliu icit st coorm (9) şi (0) următoara: 0 ρ [ ] ( ρ )( ) (30) iiţi: U ortooliu icit (30) s umşt ortooliul iţi şi s otază cu dacă odra activlor ără risc st zro, rsctiv 0 0. ortooliul iţi va i otat cu.

59 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 59-9 Vom obsrva că dacă 0 0 rzultă: ( )( ) 0 ρ d ud: ( ) E ρ (3) i rima rlaţi di (30) rzultă că structura ortooliului iţi st: [ ] (3) iar rtabilitata sa st: [ ] rsctiv ( ) E (33) i (33) rzultă: ( ) E, iar di () rzultă că riscul ortooliului iţi st: (34) tralizâd rzultatl avm:

60 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 60-9 [ ] ( ) E (35) Î cazul î car î ormula (8) vom îlocui ortooliul Q cu ortooliul iţi, obţim: ( ) ( ) E E (36) Formula (36) rrzită cuaţia drti udamtal a iţi d caital (L). Vom arăta că drata L st tagtă la rotira arowitz î uctul d coordoat ( ) ( ) E,. Îtr-advăr, coorm clor arătat î caitolul rcdt (ormula 85), ata tagti la rotira arowitz î uctul st: ( ) E (37) vm: ( ) şi dci

61 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 6-9 ( ) E d ud: ( ) E (38) d altă art avm: ( ) E d ud: ( ) E şi dci: ( ) E (39) omarâd (38) cu (39) rzultă că ( ) ( ) E E (40) şi dci drata (36) st tagtă la rotira arowitz î uctul. S obsrvă că drata (36) trc ri uctul ( ), 0, d ud cocluzia: rata L st tagta la rotira arowitz dusă ri uctul d coordoat ( ), 0. castă drată trc ri uctul (ortooliul iţi)

62 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 6-9 L. O altă obsrvaţi imortată rivşt structura uui ortooliu situat drata i ormula (7), car dă structura activlor cu risc î ortooliu: [ ] (4) rzultă: [ ] Ţiâd sama d rima şi a tria ormulă di (35) rzultă: (4) Formula (4) arată că vctorul (odra activlor cu risc î ortooliul ) st roorţioal cu vctorul, coicitul d roorţioalitat iid. tru a calcula odra activului ără risc î ortooliul vom ori d la rlaţia (3 ). vm: 0 (43) doarc. şadar, rzultă următoara cocluzi: U ivstitor car dorşt să-şi ormz u ortooliu situat drata udamtală a iţi d caital (L) şi car-şi asumă u risc urmază a ivsti o odr gală cu î ortooliul iţi şi o odr

63 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 63-9 gală cu î activul ără risc. El va obţi o rtabilitat gală cu ca dată d ormula (36). Î vdra alicării tormi clor două oduri mutual tru ortooliul iţi (caitolul I, aragraul 8) vom obsrva că rima ormulă di (35) s mai oat scri: Notăm cu: (44) ormula d mai sus s scri: V ( ) W (45) ud ortooliil V şi (96)). W sut cl diit î caitolul rcdt (ormull (95) şi zultă că, dacă ivstitorul u găsşt iaţă u od mutual car să aibă structura ortooliului iţi, l va uta ivsti î oduril mutual V şi W, algâd odra, rsctiv, ud st dat d ormula (44). şa cum s-a arătat î aragraul 8 di caitolul rcdt, dacă ici oduril mutual V şi W u sut disoibil iaţă, ivstitorul oat ivsti î oricar două oduri mutual G şi algâd odril corsuzătoar cu ormula (06) di caitolul rcdt. H

64 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L Otimalitata ortooliilor situat L. Î acst aragra vom rsuu că oric ivstitor raţioal st caractrizat d o ucţi d utilitat d orma: U ( E( ) ) U (45), avâd următoarl rorităţi: a) U E ( ) U > 0; < 0 (46) b) ucţia U st cocavă î asamblul argumtlor. Fucţia d utilitat U arată modul î car ivstitorul rc raortul ditr rtabilitata şi riscul uui ortooliu. Notâd cu o costată oarcar, cuaţia U ( E( ) ), (47) rrzită o izocuată î laul iaciar di igura O izocuată st ormată di totalitata ortooliilor, rsctiv a uctlor d coordoat car asigură ivstitorului acaşi utilitat. Î igura sut rrztat mai mult izocuat al ucţii U.

65 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 65-9 E ( ) Figura Î acst cadru roblma d otim a uui ivstitor st: mau E( ) ( E( ), ) j j j (48) Vom arăta că ortooliul otim tru oric ivstitor, car rrzită soluţia roblmi (48), s ală î uctul d tagţă al izocuatlor ucţii U cu drata L (ig. ).

66 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 66-9 E ( ) izocuat Frotira arowitz Figură Îtr-advăr, codiţiil csar d otim tru roblma (48) sut: U E ( ) sau E ( ) U E U 0,, E ( ) U,, ( ) (49) (50) Î ormull (50) valoril drivatlor sut calculat î uctul d otim. Îtrucât raortul dat d cl două drivat st o costată corsuzâd valorilor drivatlor î uctul d otim, vom ota:

67 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 67-9 U U E( ) > 0 (5) Î acst caz, sistmul (50) dvi: E ( ),, (5) Est uşor d arătat că sistmul (5) st idtic cu sistmul (9). Î acastă situaţi rzultă că soluţia roblmi (48) st, la l ca şi î cazul roblmi (4), dată d rlaţiil (9) şi (0). Î ca c rivşt coicitul d substituir: U U E( ) (53) Valoara acstuia va i dată d rlaţia (8), rsctiv: ( ) U U E E( ) (54) Îlocuid î (54), coorm rlaţii ( ): [ E( ) ] cuaţia (5) ar o sigură cuoscută, rsctiv ρ E ). ( alculâd ρ E ) rzultat di cuaţia (54) şi îlocuid î rlaţiil (9) şi ( (0), soluţia roblmi d otim (48) st comlt dtrmiată. oorm clor dmostrat î aragraul rcdt soluţia roblmi d otim (48) s va ala drata udamtală a iţi d caital (L), ca c trbuia dmostrat.

68 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L licaţi. Vom rsuu că matrica d variaţă-covariaţă st acaşi ca şi î alicaţiil rcdt: 0,0576 0,034 0,008 0,034 0,096 0,05 0,008 0,05 0,034 iar vctorul rtabilităţilor st: ( 0,70 0,0 0,450) uă cum s-a mai calculat, avm: 58, ,4504 4,364 8,948 Vom rsuu acum că rtabilitata activului ără risc st: 0% licâd ormull (35) rzultă că ortooliul iţi ar următoara structură: ( ) u alt cuvit ortooliul iţi ar î comoţa sa 0.6% di activul uu, 46.34% di activul doi şi 33.04% di activul tri. tabilitata ortooliului iţi st: E ( ) 3.39% iar riscul acstuia st: 6.68%

69 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 69-9 Ecuaţia drti udamtal a iţi d caital st (L) st, coorm ormuli (34), următoara: E ( ) 0.0 rsctiv: E ( ) Vom rsuu că u ivstitor dorşt să-şi asum u risc d 5.50% Î acst caz, rtabilitata ortooliului car va situat L st: E ( ).79% iar structura sa va i: ( ) iar odra ivstiţii î activul ără risc st: 0 7.7% Î cazul î car ivstitorul dorşt să-şi asum u risc gal cu 9%, atuci ortooliul său va i: ( ) iar ivstiţia î activul ără risc va i: % (short sllig) 0 tabilitata oului ortooliu va i: E ( ) 4.57%

70 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 70-9 EOI OOFOLIULUI aitolul III odlul (aital ssts ricig odl) Î acst caitol va i aalizat modul d ormar a cursului d chilibru o iaţă iaciară. La baza aalizi va sta modlul.. Echilibrul iţi iaciar odlul rmit valuara activlor iaciar o iaţă î chilibru. Echilibrul iţi iaciar s caractrizază astl: E: cursul icări acţiui s stabilşt astl îcât crra să i gală cu orta E: icar agt s ală îtr-o situaţi d otim, rsctiv l dţi u ortooliu otim. Î cotiuar va i usă î vidţă rlaţia ditr rtabilitat şi risc, d o art, şi chilibru, d altă art. odlul orşt d la admitra următoarlor iotz:. Iotz cu rivir la iaţa iaciară. iaţa iaciară st rctă.. odlul s rră la o iaţă iaciară c ucţioază u orizot d tim dtrmiat ( modlul st u modl static). Iotza imlică următoarl lmt:. iaţa st d ti cocurţial.. itluril iaciar sut rct divizibil. 3. Oratorii d iaţă au accs limitat la iormaţiil iaciar. 4. osturil tru obţira iormaţiilor sut ul. 5. ursuril d chilibru rlctă îtraga iormaţi isttă iaţă.

71 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L iaţă cotază activ cu risc (acţiui) şi activ ără risc (bouri d tzaur, tc.) 7. tabilitata activului ără risc st gală cu rata dobâzii iaţa motară. ata activă a dobâzii st gală cu rata asivă a dobâzii. 8. glmtăril iţi rmit oraţii d ti short-sllig. 9. osturil d trazacţii bursir sut ul.. Iotz cu rivir la oratorii d iaţa iaciară. Oratorii au u comortamt otimal d ti arowitz.. Oratorii au aclaşi ti d aticiări (aticiăril sut omog). oţi oratorii d iaţă au aclaşi aticiări cu rivir la rtabilităţil şi riscul activlor iaciar, rcum şi cu rivvir la covariaţa ditr acsta. Iotza s rră la iormaţia rctă iaţa iaciară. şa cum s-a arătat î aitolul II, rotira ortooliilor icit (rotira arowitz) s vidţiază u ortooliu scial dumit ortooliul iţi, avâd următoara structură (vzi ormula 35 di aitolul II): ( ) () tabilitata, rsctiv riscul acstui ortooliu sut: E( ) () (3) şa cum s vd di ormull () (3), atât structura ortooliului iţi, cât şi rtabilitata şi riscul acstuia did î mod sţial d rtabilitata activului ără risc, rtabilitat c rzultă di chilibrul crrii şi al orti tru acst ti d activ. Î codiţiil valabilităţii iotzlor d chilibru al iţi rztat mai sus, s dmostrază următoara roritat imortată: odra icărui activ cu risc î ortooliul iţi st gală cu odra valorii caitalizat a activului (a irmi) î valora caitalizată totală a iţi.

72 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 7-9 sus rzultă: Notâd cu odra activului î ortooliul iţi, coorm clor d mai N, W, (4) ud: W j j N j (5) S-au utilizat următoarl otaţii: - cursul acţiuii iaţă N - umărul d acţiui al irmi W valoara caitalizată a iţi. odlul Î aragraul al caitolului II, s-a ddus următorul modl d valuar a activlor iaciar: E ) (6) z ( z ud: X E (7) odlul d valuar (6) ar la bază ortooliul icit (umit ortooliu talo ). u Z s-a otat ortooliul cojugat lui. oorm ormuli (6) di caitolul I avm: Z (8) Scriid modlul (6) comot, avm (vzi ormull 4 şi 5 di caitolul I):

73 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 73-9 E( ) E( ) β [ E( ) E( )],, (9) Z Z ud coicitul d volatilitat β st dat d ormula: β, (0), Vom cosidra î cotiuar ca ortooliu talo ortooliul iţi. Ţiâd sama d ormull şi 8, rzultă: Z ud: E( E( E( ) ) ) Ectuâd calcull rzultă: Z u acsta modlul dvi (vzi ormull (6) şi (7)): E E( ) ] () ud: [ E () comot avm: E( ) β [ E( ) ],, (3) ud: β,, (4) activului. oicitul d volatilitat β rrzită o măsură a riscului sistmatic al

74 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 74-9 Î sistmul d a d coordoat ( β E( ) ), cuaţia (3) rrzită graic o, drată, umită drata udamtală a activlor iaciar (SL Scuritis art Li) vzi ig.. E() SL E( ) β ig. Ţiâd sama că: ρ (5) ud ρ st coicitul d corlaţi ditr activul şi ortooliul iţi. Ţiâd sama d (5), rlaţia (4) s scri: β ρ (6) Ţiâd sama d d (6), modlul (3) s scri:

75 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 75-9 E( ) E( ) ρ,, Notâd cu: π E( ) Formula (7) s scri: (7) cu E( ) π ρ,, (8) ărima π rrzită rima d risc. i ormula (8) rzultă că, tru icar activ, rima d risc st roorţioală ρ, şi u cu îtrgul risc al activului. rima d risc va i roorţioală cu îtrgul risc umai tru acl activ car au coicitul d corlaţi cu ortooliul iţi gal cu ( ρ ). Vom rsuu acum că rtabilitata activului s calculază baza ui cuaţii d rgrsi: ud distribuit şi: a) E( ε ) 0 a b ε (9) ε rrzită abatri alatoar. sr ε s va rsuu că sut ormal b) < c) cov(, ε ) 0 oiciţii statistică s şti că: b a şi b s calculază utilizâd mtoda clor mai mici ătrat. i cov(, ) (0) Formula (0) u î vidţă că b β ()

76 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 76-9 Ţiâd sama d (), ormula (9) dvi: a β ε (9 ) licâd ormuli (9 ) oratorul d variaţă obţim: β () ε Formula () u î vidţă atul că variaţa (riscul) uui activ s oat dscomu î două comot: iscul sistmatic: β iscul sistmatic (divrsiicabil): ε iscul sistmatic (divrsiicabil) u st lătit d o iaţă iaciară î chilibru. Î îchira acstui aragra vom rzta modul î car modlul oat i utilizat tru valuara cursului d chilibru al ui acţiui. oorm ormuli () di aitolul I avm: ( 0 ) (3) 0 ud şi 0 rrzită cursul acţiuii la momtl t, rsctiv t 0, iar rrzită mărima dividdului. Formula (3) s mai scri: 0 (4) licâd oratorul d aticiar avm: E( ) [ E( ) E( )] (5) d ud: E( ) E( ) 0 E( ) 0 Ţiâd sama d ormula (3) obţim: 0 E( ) E( ) β [ E( ) ] (6)

77 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 77-9 Formula (6) arată că rţul d chilibru 0 st suma ditr rţul aticiat şi dividdul aticiat, actualizat cu ajutorul coicitului d actualizar: h β [ E( ) ] (7) 3. licaţi: Vom cotiua alicaţia di caitolul rcdt, ud s-a cosidrat că rtabilitata activului ără risc st: 0% otooliul iţi st: ( ) 3304 tabilitata, rsctiv riscul ortooliului iţii, sut: E( ) 3.39%, 6.68% Vctorul coiciţilor d covariaţă ditr activ şi ortooliul iţi st: ( ) 0059 iar variaţa ortooliului iţi: Vctorul E st: E 36 rsctiv: β.068, β 0.947, β 3 ( ).36 Vom rsuu acum că tru activul rţul viitor aticiat st: E ( ) 0u. m. iar mărima aticiată a dividdului st E ( ) 7u. m.

78 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 78-9 Ştiid că volatilitata activului st β. 068, alicâd ormula (6) rzultă următorul curs d chilibru: ( ) şadar, î codiţiil dat, cursul d chilibru rzt al activului st Î cazul î car cursul va i mai mar dcât , va rzulta că activul st suravaluat, şi dci oratorii vor i itrsaţi să vâdă activul, âă câd crra şi orta vor aduc rţul activului la valoara sa d chilibru. Ivrs, dacă cursul iaţă va i mai mic dcât , va rzulta că activul st subvaluat. Î acastă situaţi, oratorii d iaţă vor i itrsaţi să cumr activul. 8%. Vom rsuu acum că rtabilitata activului ără risc scad d la 0% la uă cum s şti, î acst caz s va rduc cursul tuturor activlor d iaţă. Î oua situaţi ortooliul iţi va i: ( ) 393 iar rtabilitata, rsctiv riscul ortooliului iţi vor i: E( ) 3.%, 6.39% oiciţii d volatilitat vor i: β.778, β , β rsuuâd că aticiăril tru rţul viitor, rsctiv tru dividdul activului sut aclaşi ca mai sus, rsctiv E ) 0u. m., E( ) 7u.., alicara ormuli (6) arată că: ( ) 0 ( m 99.99

79 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 79-9 EOI OOFOLIULUI aitolul IV - Obligaţiui Obligaţiuil ocuă o odr imortată iţl d caital dzvoltat, iar rtabilitata acstora dăşşt adsa rtabilitata acţiuilor. Î ortooliul d activ iaciar al uor ivstitori istituţioali obligaţiuil dţi o odr oart mar. ritr acsta mţioăm î rimul râd oduril rivat d sii, istituţiil d asigurări, ş.a. şi obligaţiuil sut umit adsa activ ără risc, l au cl uţi două tiuri d risc, rsctiv: riscul d rată a dobâzii; riscul d rtabilitat; Î lus, obligaţiuil cororativ au şi aşa umitul risc d alimt, rsctiv riscul ca mittul să u oată să-şi oorz obligaţiil asumat atuci câd a ăcut misiua d obligaţiui. Î cadrul acsui caitol vor i abordat următoarl roblm:. odul d valuar a ui obligaţiui;. iuril d rtabilităţi al ui obligaţiui car sut imortat tru ivstitori; 3. octul d durată al ui obligaţiui, modul d calcul şi actorii d car did mărima acstui idicator; 4. octul d covitat al ui obligaţiui, modul d calcul şi actorii d car did mărima acstui idicator; 5. Utilizara durati şi a covităţii î maagmtul orooliului d obligaţiui.

80 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L Evaluara ui obligaţiui Vom utiliza următoarl otaţii: F - valoara omială a obligaţiuii (î glză ac valu sau ar valu sau valu at maturity ); - valoara cuoului tru aul t; t - valoara d iaţă a obligaţiuii; - umărul d ai âă la scadţa (maturitata) obligaţiuii; o, - valoara stimată (aşttată) a rati dobâzii tru o obligaţiu misă î aul t t cu scadţa st u a; riciiul gral d valuar al oricărui activ iaciar st următorul: Valoara d iaţă a uui activ iaciar o iaţă î chilibru st gală cu valoara actualizată a tuturor viturilor car activul l grază. Ţiâd sama d cl d mai sus, s oat scri: t t j t ( F 0, j ) ( 0, j ) j () Î cazul î car avm: 0, 0,... 0, ( ) ormula () dvi: F t t t ( ) ( ) ()

81 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 8-9 Formula () rrzită ormula obişuită d actualizar, utilizâd o rată a dobâzii r. tru o obligaţiu, idicatorii d rtabilitat cl mai ds utilizaţi d cătr ivstitori sut următorii: rtabilitata curtă: c, t t rtabilitata la maturitat ( yild to maturity ): y. ărima lui y s calculază ca soluţi a cuţii: F t t t ( y) ( y) (3) rbui obsrvat că dşi ormull () şi (3) ar idtic, di uct d vdr iaciar l diră udamtal. Î tim c î ormula () s cosidră că ivstitorul a ralizat o rogoză tru rata dobâzii şi baza acstia calculază rţul corct car-l oat acorda tru obligaţiu, î ormula (3) mărima lui st cosidrată ca dată d iaţă. baza cuoaştrii rţului, ivstitorul calculază cuoscuta y, rsctiv rtabilitata la scadţă. zultă că rtabilitata la scadţă, y, rrzită o rată a dobâzii car utilizată tru actualizar coduc la galitata ditr rţul lătit şi valoara actualizată a viturilor obţiut. Î cotiuar vom rsuu că toat cuoal au acaşi valoar, rsctiv:... c F (4) ud cu c s-a otat rata cuoului. Î acst caz, ormula (3) dvi: F c t t ( y) ( y) (5) Ţiâd sama d ormula car dă suma ui rogrsii gomtric:

82 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 8-9 q q q 3... q ormula (5) dvi: v F c y v q q q (6) v u v s-a otat actorul d actualizar: y (7) F Formula (6) s mai oat scri: [ v ] v c (8) y i ormula (8) rzultă următoarl cocluzii imortat: a) dacă c y atuci F, rsctiv rţul st la aritat. b) dacă c < y atuci < F, rsctiv avm subaritat; c) dacă c > y atuci > F, rsctiv avm suraaritat. Î ca c rivşt calculul ctiv al lui y, î riciiu acsta s ac baza cuaţii (8), car s mai oat scri astl: F y c y ( y) (8 ) uă aducra la aclaşi umitor şi dzvoltara lui ( y), cuaţia (8 ) dvi o cuaţi d gradul. castă cuaţi st, î riciiu, gru d soluţioat. aca, s-a

83 EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 83-9 ddus următoara ormulă car aroimază dstul d bi soluţia cuaţii (8 ) car rrzită rtabilitata la scadţă: F y (9) F ud st valoara cuoului rsctiv: c F (0) LIŢII. Vom rsuu că o obligaţiu ar următoarl caractristici: rata cuoului: c 8% ; scadţa: 0 ai; valoara omială: 000 u.m. Vom rsuu că rţul d iaţă al obligaţiuii st 900 u.m. oorm ormuli (9) avm: , y ,47% 950 Î cazul î car rţul d iaţă al obligaţiuii st 50, rtabilitata la scadţă dvi: , y ,04%