Modele stochastice în evaluarea derivatelor financiare. de Eduard-Paul Rotenstein

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Modele stochastice în evaluarea derivatelor financiare. de Eduard-Paul Rotenstein"

Transcript

1 Modele stochastice în evaluarea derivatelor financiare de Eduard-Paul Rotenstein Iaşi, 217

2 There are many paths, but only one journey. Naomi Judd

3 Cuprins Introducere 1 1 Probabilităţi şi procese stochastice Variabile aleatoare; caracteristici numerice şi funcţionale Media condiţionată Procese stochastice; martingale Mişcarea Browniană Integrala stochastică Ecuaţii diferenţiale stochastice şi formula lui Itô Mişcarea Browniană geometrică Formula lui Itô Scurtă descriere a pieţelor financiare 25 3 Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere spot) Machetă de piaţă financiară Măsuri martingale în pieţele spot Absenţa arbitrajului în piaţa financiară Machetă de piaţă pentru opţiuni americane Inegalităţi generale în absenţa arbitrajului Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) Construcţia modelului Evaluarea preţului opţiunilor europene Proprietatea martingală a modelului CRR Opţiuni americane în modelul CRR Timpi de oprire; înfăşurătoarea Snell a proceselor stochastice Modelul financiar ii

4 5 Modelul Black-Scholes Comportamentul asimptotic al modelului Cox-Ross-Rubinstein Modelul continuu Black-Scholes Strategii de schimb autofinanţante; măsuri martingale pentru o piaţă spot Formula Black-Scholes de evaluare a preţului în timp continuu EDP Black Scholes Indici de senzitivitate ai modelului Black-Scholes Pieţe de instrumente financiare cu venit fix Obligaţiuni financiare cu venit fix, nepurtătoare de dividende. Modelul matematic Determinarea preţului obligaţiunilor şi măsuri martingale Modele de dobânzi pe termen scurt short-term rate models) Clasa modelelor Heath-Jarrow-Morton Măsuri martingale forward de risc neutru Determinarea preţului şi acoperirea la risc pentru derivate financiare cu active suport obligaţiuni Contracte Swaps Analiza riscului în pieţele financiare Procese Markov Descrierea intuitivă a riscului şi a noţiunilor auxiliare Procesul numărului solicitărilor de despăgubire Modelarea matematică Intervalul între apariţii ale solicitărilor de despăgubire Procesul omogen al numărului de solicitări de despăgubire; timpul operaţional. 96 Bibliografie 99

5 Capitolul 1 Probabilităţi şi procese stochastice Pentru înţelegerea noţiunilor şi a rezultatelor cuprinse în cadrul acestui capitol este necesară parcurgerea în prealabil a unui curs introductiv de Teoria probabilităţilor. Cu toate acestea voi rezuma informaţiile prezentate în aceasta parte doar la strictul necesar dezvoltării teoriilor şi a modelelor ulterioare. 1.1 Variabile aleatoare; caracteristici numerice şi funcţionale Fie Ω un spaţiu arbitrar, ale cărui elemente le vom nota cu ω. O submulţime a lui Ω o vom numi în cele ce urmează eveniment. Menţionăm că, în cele mai multe cazuri, structura lui Ω nu este importantă. Totuşi, în situaţia în care se doreşte construirea unei variabile aleatoare având o lege dată, este importantă cunoşterea structurii spaţiului Ω al evenimentelor elementare. Definiţia 1.1. O σ-algebră F pe Ω sau σ-corp) este o familie de părţi ale lui Ω, ce conţine mulţimea vidă, este stabilă prin trecerea la complementară, la reuniuni numărabile şi la intersecţii numărabile. Mai precis, F PΩ) este o σ-algebră pe Ω dacă F; A F A c F; {A i } i=1,2,.. F A i F. i=1 Un spaţiu măsurabil este un spaţiu înzestrat cu o σ-algebră. Definiţia 1.2. Cea mai mică σ-algebră ce conţine o familie de mulţimi este intersecţia tuturor σ-algebrelor ce conţin această familie. σ-algebra generată de o familie de mulţimi A este cea mai mică σ-algebră ce conţine această familie şi o vom nota cu σ A). Ea concide cu intersecţia tuturor σ-algebrelor ce conţin mul ţimea A: σ A) := σ. σ:σ ag.,a σ Exemplul 1.1. Un exemplu important de σ-algebră generată de o familie de mulţimi este σ-algebra Borel pe R, notată B R : B R := σ{a R A este mulţime deschisă în R}). Ea este cea mai mică σ-algebră ce conţine toate intervalele deschise sau închise, sau deschise la dreapta şi închise la stânga). 1

6 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 2 Un concept fundamental necesar introducerii noţiunii de variabilă aleatoare este acela de funcţie măsurabilă, după cum vedem în cele ce urmează. Definiţia 1.3. Fie Ω, F) şi E, E) două spaţii măsurabile. O aplicaţie f : Ω E spunem că este F, E)-măsurabilă dacă f 1 A) F, A E, unde f 1 A) := {ω Ω : f ω) A}. O funcţie f : R R spunem că este boreliană dacă ea este B R, B R )-măsurabilă. Această proprietatea este suficient să fie verificată pentru intervalele mulţimii R. Definiţia 1.4. O variabilă aleatoare este o funcţie X : Ω, F) R, B R ) măsurabilă. Vom prezenta în continuare trei repartiţii importante două de tip discret şi una de tip absolut continuu), repartiţii ce vor fi utilizate frecvent pe parcursul acestei lucrări. 1. Repartiţia Bernoulli. Spunem că o variabilă aleatoare X : Ω, F) {, 1} este o v.a. repartizată Bernoulli sau binară) de parametru p, 1) vom scrie X Bp)) dacă P{X = }) = p şi P{X = 1}) = q = 1 p. Funcţia de repartiţie a v.a. X este F X : R [, 1],, x, F X x) = p, < x 1, 1, x > 1, iar EX = p şi D 2 X) = pq. 2. Repartiţia binomială. Fie n N şi p, 1). Spunem că o variabilă aleatoare X : Ω, F) {, 1,..., n} este o v.a. repartizată binomial de parametrii n şi p vom scrie X Bn, p)) dacă tabloul său de repartiţie este X : k C k np k 1 p) n k ). k=,n 1 Funcţia de repartiţie a v.a. X este F X : R [, 1],, x, F X x) = p p k, k < x k + 1, k =, n 1 1, x > n, unde p k = P{X = k}) = C k np k 1 p) n k, iar EX = np şi D 2 X) = np1 p). Menţionăm că o variabilă aleatoare repartizată binomial de parametrii n şi p poate fi scrisă ca o sumă de n variabile aleatoare independente, identic repartizate Bernoulli de parametru p. 3. Repartiţia normal ă. Spunem că o variabilă aleatoare X : Ω, F) R este repartizată normal sau Gaussian) de parametrii m şi σ 2 vom scrie X Nm, σ 2 )) dacă densitatea sa de repartiţie este dată de f : R R +, fx) := 1 m)2 x e 2σ 2. 2πσ Media sa este EX = m, iar dispersia D 2 X) = σ 2. Dacă m = şi σ = 1, atunci despre v.a. X N, 1) spunem că este repartizată normal standard. În modelarea matematică a activelor financiare, informaţiile din piaţă la un moment dat sunt interpretate drept submulţimi, cu caracteristici speciale, ale lui P Ω). Aceste submulţimi sunt generate de istoricul pieţei financiare considerate.

7 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 3 Definiţia 1.5. σ-algebra generată de o variabilă aleatoare X definită pe Ω, F) este mulţimea de părţi ale lui Ω, de tipul X 1 A), unde A B R. Vom nota această σ-algebră cu σ X). Ea este şi cea mai mică σ-algebră pe Ω în raport cu care variabila aleatoare X este măsurabilă. Observaţia 1.6. O variabilă aleatoare reală X este G măsurabilă dacă σ X) G. Definiţia 1.7. σ-algebra generată de o familie de variabile aleatoare X t ) t [,T ] definite pe acelaşi spaţiu măsurabil este cea mai mică σ-algebră ce conţine mulţimea { Xt 1 A) } t,a, pentru orice t [, T ] şi A B R. Vom nota această σ-algebra cu σ X t, t [, T ]). Definiţia 1.8. O probabilitate sau măsură de probabilitate) pe spaţiul măsurabil Ω, F) este o funcţie P : F [, 1] cu proprietăţile: a) P Ω) = 1, ) b) P A n = n P A n ), unde mulţimile A n F sunt disjuncte două câte două. n= i=1 Vom spune că o proprietate este adevărată aproape sigur a.s.) dacă ea este adevărată în afara unei mulţimi neglijabile adică mulţime de măsură nulă). Vom spune de asemenea că proprietatea este adevărată pentru aproape toţi ω. Un spaţiu câmp) de probabilitate Ω, F, P) este complet dacă el conţine toate mulţimile G cu proprietatea că inf {P F ) : F F, G F }} =. Definiţia 1.9. Două măsuri de probabilitate P 1 şi P 2, definite pe acelaşi spaţiu măsurabil Ω, F), spunem că sunt echivalente dacă au aceleaşi mulţimi neglijabile, adică P 1 A) = P 2 A) =. O proprietate adevărată P 1 -a.s. este deci adevărată P 2 -a.s. Vom reaminti în cele ce urmează definiţiile câtorva dintre principalele caracteristici numerice şi funcţionale ale unei variabile aleatoare. Fie X o variabilă aleatoare reală, definită pe un câmp de probabilitate Ω, F, P). Definiţia 1.1. Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este funcţia crescătoare dată de F = F X : R [, 1], F x) = P X x). Putem scrie că P X A) = A f x) dx în ipoteza că această integrală există; cu f am notat densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare absolut continue X). Dacă două variabile

8 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 4 aleatoare au aceeaşi lege sau aceeaşi funcţie de repartiţie sau aceeaşi densitate) spunem că ele sunt egale în lege. Remarcăm că dacă X, Y sunt două variabile aleatoare astfel încât P X a) = P Y a), a R, atunci X şi Y au aceeaşi lege de repartiţie şi notăm X L = Y. Trebuie subliniat faptul că, dacă două variabile aleatoare au aceeaşi lege de repartiţie, aceasta nu înseamnă că cele două variabile aleatoare sunt egale! Definiţia Media v.a. X este definită prin Ω Xω)dPω) şi o vom nota cu E X) sau, eventual, cu E P X), pentru a sublinia faptul că integrala se realizează sub măsura de probabilitate P. Integrala anterioară trebuie înţeleasă în sens larg, în sensul că ea este o sumă în cazul unei variabile aleatoare discrete şi o integrală clasică în situaţia variabilelor aleatoare de tip absolut continuu. În această din urmă situaţie, E X) = R xf x) dx, unde cu f am notat densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare absolut continue X. Propoziţia Media unei variabile aleatoare satisface următoarele proprietăţi: a) EaX + by ) = aex) + bey ), a, b R, X, Y - variabile aleatoare reale. b) Dacă X Y a.s., atunci E X) E Y ). c) Inegalitatea lui Jensen: dacă Φ este o funcţie convexă astfel încât Φ X) este integrabilă, atunci Φ E X)) E Φ X)). Dacă P 1, P 2 sunt două măsuri de probabilitate echivalente, atunci există o variabilă aleatoare Y, strict pozitivă, F-măsurabilă, de medie 1 în raport cu P 1 adică E P1 Y ) = 1), astfel încât dp 2 = Y dp 1 sau P 2 A) = A Y ω)dp 1ω), pentru A F. Reciproc, dacă Y este o variabilă aleatoare strict pozitivă, F-măsurabilă, de medie 1 în raport cu P 1, relaţia E P2 Z) = E P1 ZY ) defineşte pe spaţiul măsurabil Ω, F) o probabilitate P 2, echivalentă cu P 1. Are deci loc relaţia E P2 Z) = ZdP 2 = Z dp 2 dp 1 = ZY dp 1 = E P1 ZY ). Ω Ω dp 1 Ω Dacă variabila aleatoare Y este doar pozitivă nu strict pozitivă), atunci P 1 A) = P 2 A) = şi spunem că măsura de probabilitate P 2 este absolut continuă în raport cu P 1 nu mai are loc deci echivalenţa celor două măsuri de probabilitate). Definiţia Funcţia caracteristică a v.a. X este transformata Fourier a legii lui X, adică funcţia ϕ : R C, ϕ t) = E e itx) = R eitx P X dx). Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare caracterizează legea lui X în sensul că dacă ştim această funcţie, atunci putem determina legea variabilei aleatoare. 1.2 Media condiţionată Fie A, B două evenimente submulţimi ale lui Ω, mai precis, A, B F PΩ)). Probabilitatea P A B) evenimentului A condiţionat de B este PA B) =, pentru P B). Aplicaţia P B) funcţia) P B) : Ω, F) [, 1] definită în modul anterior este o probabilitate pe Ω, F). Într-adevăr, PΩ B) = P Ω B) P B) = P B) P B) = 1

9 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 5 şi, pentru o familie numărabilă de evenimente {A n } n N F, disjuncte două câte două, avem P n N A n B ) = P B n N A )) n = P n N B A n) ) n N = P B A n) P B) P B) B A i ) B A j )= P B) = n N P B A n ) P B) = n NPA n B). Putem astfel defini media unei variabile aleatoare în raport cu această lege de probabilitate. Considerăm cazul unei variabile discrete X, cu valori în mulţimea {x 1,..., x n }. Fie evenimentul B F fixat şi definim probabilitatea Q : Ω, F) [, 1], Q A) = P A B). Deci, pentru variabila aleatoare reală X, definită pe Ω, F), media sa în raport cu Q este E Q X) = j=1,n x j Q X = x j ) = j=1,n P X = x j ) B) x j. P B) Avem P X = x j ) B) = B 1 {X=x j }ω)dpω) = B 1 {X=x j }dp, unde 1 {X=xj } este funcţia indicatoare a evenimentului mulţimii) {X = x j } = {ω Ω Xω) = x j }, mai precis 1 {X=xj } ω) = 1 dacă X ω) = x j şi în caz contrar. Obţinem, prin urmare, E Q X) = 1 XdP, P B) B din nou, integrala anterioară trebuind a fi înţeleasă în sens larg. Vom nota E X B) = E Q X). Fie B, σ-algebra generată de B F şi definim variabila aleatoare E X B) = E X B) 1 B + E X B c ) 1 B c. Avem EX B)dP = EX)dP, D B. D D Numim EX B) media condiţionată a lui X în raport cu σ-algebra B. Aceasta este o variabilă aleatoare B măsurabilă. Considerăm acum două v.a. X şi Y, definite pe acelaşi spaţiu măsurabil Ω, F), cu valori în mulţimile {x 1,..., x n }, respectiv {y 1,..., y d }, astfel încât P Y = y i ), i = 1, d. Definim P X = x j Y = y i ) = P X = x j) Y = y i ) P Y = y i ) =: µ x j, y i ). Prin urmare, pentru toate valorile y i, i = 1, d, funcţia µ, y i ) defineşte o măsură de) probabilitate pe {x 1,..., x n }. Vom defini media condiţionată a lui X, E X Y = y i ) = = j=1,n x j P X = x j Y = y i ) = 1 P Y = y i ) Y =y i XdP. Definim funcţia Ψ y i ) := E X Y = y i ) şi vom obţine j=1,n x j µ x j, y i ) = P Y = y i ) E X Y = y i ) = P Y = y i ) Ψ y i ) = E Ψ Y )) = i=1,d i=1,d = E E X Y )) = E X). Prin urmare, Ψ Y ) = E X Y ) reprezintă media condiţionată a variabilei aleatoare X în raport cu variabila aleatoare Y.

10 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 6 Fie acum X o variabilă aleatoare reală, integrabilă, definită pe câmpul de probabilitate Ω, F, P) şi G o sub σ-algebră a lui F. Vom introduce în continuare noţiunea, foarte importantă, de medie condiţionată a unei variabile aleatoare în raport cu o σ-algebră. Definiţia Media condiţionată EX G) este unica variabilă aleatoare definită pe câmpul de probabilitate Ω, F, P) astfel încât: a) aceasta este G măsurabilă; b) are loc A EX G)dP = A EX)dP, A G. Media condiţionată EX G) este, de asemenea, unica variabilă G-măsurabilă, ce satisface E E X G) Y ) = E XY ), pentru toate variabilele aleatoare Y, G-măsurabile, definite, evident, pe acelaşi spaţiu de probabilitate. În plus, dacă X este de pătrat integrabil adică EX 2 < + ), atunci E X G) este proiecţia ortogonală a lui X pe subspaţiul variabilelor aleatoare G-măsurabile, de pătrat integrabil. Definiţia Media condiţionată a variabilei aleatoare X în raport cu o variabilă aleatoare Y va fi notată cu E X Y ) şi este tot o variabilă aleatoare, măsurabilă în raport cu σ-algebra generată de Y, deci este o funţie de Y. Mai precis, există aplicaţia ψ : R R, boreliană, astfel încât E X Y ) = ψ Y ). Propoziţia În ipoteza că toate variabilele aleatoare ce apar în acest rezultat sunt integrabile, următoarele egalităţi au loc P-a.s.: i) Liniaritatea) Date a 1, a 2 două constante.reale, avem unde G este o sub σ-algebră a lui F; E a 1 X 1 + a 2 X 2 G) = a 1 E X 1 G) + a 2 E X 2 G), ii) Monotonia) Fie X, Y două v.a. astfel încât X Y a.s.. Atunci iii) EEX G))=EX); E X G) E Y G) ; iv) Dacă X este o v.a. G-măsurabilă, atunci EX G)=X; v) Dacă X este o v.a. G-măsurabilă şi Y este o v.a. oarecare independentă de G), atunci EXY G)=XEY G); vi) Dacă X este o v.a. independentă de G,atunci EX G)=EX); vii) Dacă G, H sunt două sub σ-algebre ale lui F astfel încât G H F, atunci E E X G) H) = E E X H) G) = E X G) ; viii) Inegalitatea lui Jensen pentru media condiţionată) Dacă f : R R este o funcţie convexă pentru care fx) este o variabilă aleatoare integrabilă, atunci fex G)) EfX) G).

11 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 7 Demonstraţie. i) Notând Y i = EX i G), i = 1, 2, rezultă că a 1 Y 1 + a 2 Y 2 este o variabilă aleatoare măsurabilă în raport cu G şi, din liniaritatea mediei obţinem, pentru orice A G, Conform definiţiei avem Ea 1 Y 1 + a 2 Y 2 A) = a 1 EY 1 A) + a 2 EY 2 A) = a 1 EX 1 A) + a 2 EX 2 A) = Ea 1 X 1 + a 2 X 2 A). Ea 1 X 1 + a 2 X 2 G) = a 1 Y 1 + a 2 Y 2 = a 1 E X 1 G) + a 2 E X 2 G). ii) Variabila aleatoare Y X a.s. şi, prin urmare, EY X G). De aici, folosind liniaritatea mediei condiţionate obţinem rezultatul dorit. iii) Din definiţia mediei condiţionate obţinem EEX G)) = EEX G) Ω) = EX Ω) = EX). iv) Cum v.a. X este măsurabilă în raport cu σ-algebra G şi verifică trivial) egalitatea EX A) = EX A), A G, atunci, conform definiţiei mediei condiţionate rezultă EX G) = X. vi) Cum EX este o variabilă aleatoare constantă, ea este în particular G-măsurabilă. Pentru A G, cum X şi G sunt independente, rezultă că X şi 1 A sunt variabile aleatoare independente şi deci obţinem EX A) = EX 1 A ) = EX)E1 A ) = EX)PA) = EEX A). Conform definiţiei mediei condiţionate rezultă EX G) = EX). viii) Cum f este o funcţie convexă, pentru orice x R arbitrar fixat există c = c x R astfel încât fx) fx ) + cx x ), x R. Înlocuind x = Xω) şi x = EX G)ω) obţinem fxω)) fex G)ω)) + c EX G)ω) Xω) EX G)ω)), de unde, aplicând media condiţionată şi folosind proprietăţile de liniaritate şi monotonie ale acesteia, obţinem EfX) G) E{fEX G)) + c EX G) X EX G)} G) = EfEX G)) G) + E{c EX G) X EX G)} G) = fex G)) + c EX G) E{X EX G)} G) = fex G)) + c EX G) EX G) EX G)) = fex G)) + c EX G) = fex G)). În demonstraţia anterioară am folosit faptul că c EX G) este o variabilă aleatoare G-măsurabilă. Aceasta rezultă din faptul că aplicaţia x c x este o funcţie măsurabilă şi din faptul că EX G) este o variabilă aleatoare G-măsurabilă. 1.3 Procese stochastice; martingale

12 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 8 Accesul la informaţii complete, exacte este în mod clar esenţial pentru oricine implicat activ în activitatea financiară sau de tranzacţionare. Într-adevăr, informaţia este probabil cel mai important factor determinant al succesului in viaţa financiară. Pentru simplitate şi pentru a reflecta legislaţia şi reglementările împotriva tranzacţiilor ilegale, ne vom limita la situaţia în care agenţii pot lua decizii pe baza unor informaţii din domeniul public, informaţii aflate la dispoziţia tuturor. Vom presupune, de asemenea, că informaţiile, odată cunoscute rămân cunoscute, nu sunt uitate şi pot fi accesate în timp real aceasta ar corespunde pieţelor financiare fără pierdere de memorie şi, aşa cum vom vedea, filtrărilor fără pierdere de memorie). În realitate, desigur, problemele sunt mult mai complicate. Supraîncărcarea cu informaţii este la fel de mare pericol precum deficitul de informaţii. Capacitatea de a reţine informaţia, de a o organiza, şi de a o accesa rapid, este unul dintre principalii factori care vor diferenţia abilităţile diverşilor agenţi economici, de a reacţiona la condiţiile de piaţă în schimbare. Cu toate acestea, ne vom limita la situaţia cea mai simplu posibilă şi nu vom diferenţia agenţii economici, pe baza abilităţii lor de procesare a informaţiilor. Astfel, pe măsură ce trece timpul, noi informaţii devin disponibile pentru toţi agenţii, care actualizează continuu informaţiile lor. Ceea ce avem nevoie este un limbaj matematic adecvat prin care să modelăm acest flux de informaţii, cu trecerea timpului. Acest lucru este furnizat de noţiunea de filtrare; vom prezenta în continuare elementele fundamentale ale acestei noţiuni. Tripletul Ω, F, P) câmpu de probabilitate) şi media condiţionată EX B) furnizează instrumentele de care avem nevoie pentru a face faţă situaţiilor care implică fenomenul aleatoriu. Pentru a gestiona situaţiile dinamice, care implică hazardul, avem nevoie de structura definită în cele ce urmează. Fără a restrânge generalitatea, putem considera timpul iniţial, de plecare, t =. Modelele financiare pot fi considerate ca evoluând în timp discret sau în timp continuu. Dorim să modelăm o situaţie care implică aleatoriul desfăşurabil în timp. Vom presupune, pentru simplitate, că informaţiile nu se pierd: astfel, pe măsură ce timpul evoluează, vom afla mai multe informaţii privitoare la activele financiare tranzacţionate în piaţa financiară. Reamintim că σ-algebrele vor reprezenta / modela matematic informaţiile sau cunoştinţele asupra pieţei. Avem nevoie astfel de o familie crescătoare {F n n =, 1, 2,...} de sub-σalgebre ale lui F F n F n+1, pentru n =, 1, 2,..., unde F n reprezintă, în interpretarea economică, informaţiile disponibile investitorilor la momentul n. Vom presupune întotdeauna că toate σ-algebrele sunt complete acest lucru poate fi evitat şi nu este întotdeauna adecvat realităţilor din pieţele financiare, dar acestă presupunere simplifică aspectele implicate şi este suficientă pentru scopurile noastre). Astfel, F reprezintă informaţia iniţială aflată la dispoziţia tuturor investitorilor dacă aceasta nu există, atunci considerăm F = {, Ω} ca fiind σ-algebra trivială). Pe de altă parte, ) F : = lim F n = σ F n n reprezintă tot ce vom şti privitor la dinamica pieţei financiare analizate aşa numita Doomsday σ-algebră). Definiţia O astfel de familie F: = {F n n =, 1, 2,...} va fi numită în cele ce urmează filtrare, iar un spaţiu de probabilitate înzestrat cu o astfel de filtrare, Ω, F, P, F) se numeşte bază stochastică sau spaţiu de probabilitate filtrat. Spunem că filtrarea F este continuă la dreapta dacă, oricare ar fi n N, avem F n+ := m>nf m = F n. n

13 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 9 Spunem că filtrarea F este completă dacă, oricare ar fi n N, F n conţine toate mulţimile P-neglijabile, adică toate mulţimile N Ω cu proprietatea că inf{pn) N F F} =. aceasta nu implică însă faptul că N F, adică mulţimea N nu este neapărat măsurabilă). Spunem că filtrarea F verifică condiţiile uzuale dacă ea este continuă la dreapta şi conţine toate mulţimile P-neglijabile Pentru cazul particular al unui spaţiu de probabilitate finit Ω = {ω 1,..., ω n } şi o anumită σ-algebră F pe Ω, există întotdeauna o partiţie unică finită, P = {A 1,..., A l } a lui Ω, corespunzătoare lui F. Prin urmare, o filtrare F corespunde unui şir de partiţii {P n } n=,1,2,..., din ce în ce mai fine în raport cu incluziunea). La momentul iniţial t = agenţii ştiu doar că un anumit eveniment ω Ω se va întâmpla, iar la momentul T < se ştie ce eveniment particular ω s-a întâmplat. Pe parcursul trecerii timpului, jucătorii din piaţa financiară află structura specifică a σ-algebrelor F n, ceea ce înseamnă că învaţă partiţiile corespunzătoare P. Cunoaşterea informaţiilor din F n este echivalentă cu cunoaşterea în care mulţime A n) i P n se regăseşte evenimentul ω. Deoarece partiţiile devin din ce în ce mai fine odată cu trecerea timpului, informaţiile cu privire la evenimentul ω devin mai detaliate odată cu fiecare pas. Din nefericire, această interpretare facilă nu mai poate fi oferită atunci când spaţiul evenimentelor, Ω, devine infinit. Se pare că noţiunea de filtrare, mai degrabă decât cea de partiţii este relevantă pentru situaţia mai generală cu Ω infinit, T infinit şi procese aleatoare continue în timp. În cele ce urmează vom introduce noţiunea de proces stochastic în timp discret. Termenul stochastic derivat din limba greacă) este aproximativ sinonim cu aleatoriu. Vom construi un cadru care poate gestiona situaţii dinamice, în care timpul evoluează, şi în care noi informaţii se generează în timp. În special, trebuie să fim capabili să vorbim în termeni de informaţii disponibile la momentul n sau ceea ce ştim în momentul n ). Mai mult, trebuie să fim în măsură să incrementăm parametrul temporal n, crescând astfel informaţiile disponibile atunci când informaţii noi apar şi să vorbim despre fluxul de informaţii în timp. Ceea ce este necesar este o construcţie matematică precisă, care pot fi manipulată convenabil. Acum informaţia nu este doar un cuvânt obişnuit, ci chiar devine un termen tehnic în matematică lucrări ample au fost dedicate teoriei informaţiei). Definiţia Un proces stochastic X = {X n n I} este o familie de variabile aleatoare, definite pe un spaţiu comun de probabilitate Ω, F, P), indexate după o mulţime de indici temporali I, mulţime care poate fi {, 1, 2,...T } în cazul perioadei orizont finite sau {, 1, 2,...} în situaţia celei infinite. În ambele situaţii este vorba despre procese stochastice în timp discret. În situaţia în care mulţimea de indexare nu este o mulţime numărabilă este de exemplu un interval) vorbim despre procese stochastice în timp continuu. Spunem că procesul stochastic X = {X n } n= este adaptat filtrării F = {F n} n= dacă variabila aleatoare X n este F n -măsurabilă, pentru toţi n =,...,, adică, oricare ar fi mulţimea Boreliană B B R, X 1 n B) = {ω Ω X n ω) B} F n, Exemplul 1.2. Să considerăm cazul aruncării de două ori a unei monede, şi să notăm prin Ω = {B, S} mulţimea evenimentelor elementare ce pot avea loc la fiecare aruncare B pentru apariţia banului, S pentru apariţia stemei) şi considerăm F = P{SS, SB, BS, BB}). După prima aruncare ştim că s-a obţinut banul sau stema, dar nu ştim nimic despre rezultatul celei de a doua aruncări. Cu alte cuvinte, după prima aruncare a banului ştim dacă au avut loc sau nu următoarele evenimente: evenimentul imposibil), {SS, SB} evenimentul

14 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 1 apariţiei stemei la prima aruncare), {BS, BB} evenimentul apariţiei banului la prima aruncare) şi Ω evenimentul sigur). Informaţia cunoscută după prima aruncare este deci conţinută în σ-algebra F 1 dată de F 1 = {, {SS, SB}, {BS, BB}, Ω}. După a doua aruncare cunoaştem rezultatul atât a primei cât şi a celei de a doua aruncări şi deci această informaţie este conţinută în σ-algebra F 2 = F. Este evident faptul că F 1 F 2. Considerând variabilele aleatoare X n ca reprezentând numărul de feţe stemă obţinute în primele n aruncări n = 1, 2), avem,, 1 / B X1 1 B) = {BS, BB}, B, 1 / B F {SS, SB}, / B, 1 B 1 Ω,, 1 B, pentru orice mulţime Boreliană B B R şi deci X 1 este o v.a. măsurabilă în raport cu σ-algebra F 1. Cum F 2 = PΩ), este evident că variabila aleatoare X 2 este F 2 -măsurabilă, fără a fi însă măsurabilă în raport cu F 1 nu putem determina numărul de steme în cele două aruncări cunoscând numai rezultatul primei aruncări). Pentru a observa acest lucru considerăm B = {1} şi avem că X2 1 B) = X 1 2 {1}) = {BS, SB} / F 1, ceea ce spune că v.a. X 2 nu este măsurabilă în raport cu σ-algebra F 1. Dată o familie de v.a. X n ) n N, putem întotdeauna determina o filtrare în raport cu care familia de v.a. este adaptată, aşa cum vedem în cele ce urmează. Definim σ-algebra F n = σ{x,..., X n }) ca fiind filtrarea naturală a procesului stochastic X. Astfel, un proces stochastic este întotdeauna adaptat filtrării sale naturale. O clasă particulară şi importantă de procese stochastice o constituie procesele martingale, sau, pe scurt, martingalele, procese utilizate în special în modelarea jocurilor echitabile fair games) şi a pieţelor financiare. Definiţia Un proces stochastic X = {X n } n I este o martingală în raport cu {F n } n I, P) dacă: i) X este adaptat filtrării {F n } n I ; ii) E X n <, pentru orice n I; iii) EX n F n 1 ) = X n 1, P-a.s., pentru orice n 1. Definiţia 1.2. Un proces stochastic X = {X n } n I este o supramartingală dacă au loc condiţiile i), ii) şi EX n F n 1 ) X n 1, P-a.s., pentru orice n 1. Un proces stochastic X = {X n } n I este o submartingală dacă au loc condiţiile i), ii) şi EX n F n 1 ) X n 1, P-a.s., pentru orice n 1.

15 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 11 Ca şi interpretare empirică, procesele martingale modelează jocurile corecte, supramartingalele modelează jocurile nefavorabile, iar submartingalele pe cele favorabile. Considerând X t ca fiind averea unui jucător la momentul t şi F t informaţia disponibilă despre joc până la acest moment de timp, putem gândi martingala ca fiind modelul matematic al unui joc echitabil, deoarece relaţia de definiţie arată că valoarea aşteptată a câştigului la momentul t din viitor, dată fiind informaţia despre joc până la momentul prezent s informaţie conţinută în σ-algebra F s ), este egală cu valoarea X s a averii la momentul prezent. În mod similar, putem gândi submartingalele şi supermartingalele ca fiind jocuri ce favorizează, respectiv defavorizează jucătorul. După cum vom vedea, martingalele definite mai sus) nu iau valori foarte mari sau foarte mici cu probabilitate apropiată de 1, fiind constante în medie. O altă semnificaţie a termenului martingală este legată de jocurile de noroc, şi reprezintă o strategie de pariere populară în Franţa secolului 18. În această strategie, jucătorul dublează miza după fiecare joc pierdut, astfel încât la primul joc câştigat să îşi recupereze toate pierderile anterioare plus un câştig egal cu miza pariată iniţial. Modelul matematic al acestui joc constituie o martigală, în sensul definiţiei de mai sus. Prezentăm în continuare două exemple de martingale: o martingală în timp discret şi una în timp continuu. Exemplul 1.3. Considerăm următorul joc: se aruncă în mod repetat o monedă şi la fiecare aruncare jucătorul câştigă 1 leu dacă apare stema şi pierde 1 leu în caz contrar. Notând prin X n variabila aleatoare reprezentând rezultatul celei de-a n-a aruncări considerăm X n = +1 în cazul apariţiei stemei şi X n = 1 în caz contrar) pentru n 1 şi X = şi definind M n := n X i, n N, i= {M n } n N este o martingală în raport cu filtrarea F = {F n := σx i i =, 1,..., n) n N} deoarece M n este o variabilă aleatoare integrabilă şi măsurabilă în raport cu F n oricare ar fi n N, şi oricare ar fi m, n N cu m < n avem presupunând că aruncările succesive ale monedei sunt independente): EM n F m ) = EX X n F m ) = X X m + EX m X n F m ) = M m + EX m X n ) = M m + = M m deoarece variabilele aleatoare X i sunt F m -măsurabile pentru i =,..., m şi independente de F m pentru i = m + 1,..., n şi deoarece oricare ar fi i N. EX i = +1) PX i = 1)+ 1) PX i = 1) =+1) ) 1 2 =, Ca un exemplu de martingală în timp continuu prezentăm: Exemplul 1.4. Fie Y o variabilă aleatoare integrabilă pe spaţiul de probabilitate Ω, F, P) şi {F t } t o filtrare. Atunci M t := EY F t ) este o martingală în raport cu filtrarea {F t } t. Într-adevăr, din definiţia mediei condiţionate rezultă că variabila aleatoare M t este măsurabilă în raport cu σ-algebra F t şi integrabilă, iar din proprietăţile mediei condiţionate avem, pentru s < t: EM t F s ) = EEY F t ) F s ) = EY F s ) = M s. Alte două exemple importante de procese martingale sunt prezentate în cele ce urmează.

16 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 12 Exemplul 1.5. Fie Y 1, Y 2,... un şir de variabile aleatoare independente, identic repartizate, astfel încât EY i = pentru fiecare i şi considerăm {F t } t< filtrarea sa naturală. Atunci X t = t j=1 Y j este o martingală. Exemplul 1.6. Fie Y 1, Y 2,... un şir de variabile aleatoare independente, identic repartizate, astfel încât EY i =, EYi 2 = σ 2 <, pentru fiecare i şi considerăm {F t } t< filtrarea sa naturală. Atunci procesul 2 t σ 2 t este o martingală. 1.4 Mişcarea Browniană j=1 Y j În poemul ştiinţific De rerum natura Asupra naturii lucrurilor), filosoful şi poetul roman Titus Lucretius Carus ca. 99 BC ca. 55 BC) a făcut o descriere remarcabilă a mişcării Browniene a particulelor de praf, el folosind-o apoi ca pe o demonstraţie a existenţei atomilor: Observaţi ce se întâmplă atunci când razele de soare pătrund într-o încăpere şi luminează colţurile întunecate. Veţi observa nenumărate particule minuscule amestecându-se într-o multitudine de moduri...dansul lor este de fapt un indicator al mişcării materiei, ascunsă privirilor noastre...ea îşi are originea chiar în mişcarea spontană a atomilor. Apoi, aceste corpuri mărunte formate sunt puse în mişcare de către impactul ciocnirilor lor invizibile privirii. Astfel, mişcarea evoluează de la nivelul atomilor la o scară perceptibilă simţurilor noastre, putând justifica mişcările ce se petrec în acele raze de soare. Cu toate că Jan Ingenhousz a descris în 1785 mişcarea iregulată a unor particule de cărbune pe o suprafaţă de alcool, botanistul scoţian Robert Brown a fost creditat, în 1827, cu descoperirea mişcării Browniene, el observând mişcarea neregulată a unor granule mici de polen aflate pe suprafaţa unui lichid această mişcare neregulată este rezultatul coliziunilor aleatoare dintre granulele de polen şi moleculele lichidului). Ca obiect matematic, mişcarea Browniană a fost studiată pentru prima dată de către Louis de Bachelier 19) în legătură cu teoria bursei de valori, şi de către Albert Einstein 195), care a folosit-o pentru a verifica teoria moleculară a căldurii. Ei au conjecturat multe din proprietăţile mişcării Browniene, dar a durat mult timp până când s-a putut demonstra existenţa procesului cu proprietăţile specificate. În 1923, Norbert Wiener a demonstrat consistenţa definiţiei cu proprităţile specificate din acest motiv mişcarea Browniană este numită uneori şi proces Wiener), şi mai târziu, în 1951, Monroe David Donsker a dat o demonstraţie completă a convergenţei drumurilor aleatoare către mişcarea Browniană. Mişcarea Browniană paote fi considerată ca fiind limita unui drum aleator, după cum urmează: pe un spaţiu de probabilitate Ω, F, P) fixat, considerăm variabilele aleatoare Y n ) n N, independente şi identic repartizate, cu P Y n = 1) = P Y n = 1) = 1 2, n N şi definim drumul aleator S n ) n N prin { n S n = i=1 Y i, n N, n =, n N. Unind punctele n, S n ) n=,1,2,... prin segmente de dreaptă, obţinem un grafic asemănător traiectoriei neregulate descrise de granulele de polen observate de Brown.

17 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 13 Cum EY i = şi D 2 Y i ) = 1 pentru orice i N, obţinem că iar din Teorema Limită Centrală rezultă că ES n = şi D 2 S n ) = n, S n n B 1 N, 1). n Putem extinde construcţia anterioară pentru a obţine un proces stochastic B t definit pentru toţi timpii t, considerând S [nt] B t := lim, t, n n unde am notat prin [x] partea întreagă a numărului real x. Se poate demonstra că procesul stochastic {B t } t astfel construit este o mişcare Browniană în sensul definiţiei următoare. Definiţia O mişcare Browniană 1-dimensională cu startul în R este un proces stochastic {B t } t pe Ω, F, P) cu următoarele proprietăţi: i) P B = ) = 1; ii) Pentru orice s < t, variabila aleatoare B t B s N, t s) este independentă de σ-algebra σb r r s); iii) Pentru aproape orice ω Ω, funcţia t [, ) B t ω) este continuă. Câteva dintre proprietăţile mişcării Browniene sunt prezentate în rezultatul următor. Propoziţia Fie B t o mişcare Browniană 1-dimensională cu startul în R. a) EB t =, covb s, B t ) = s t, pentru oricare s, t ; b) Pentru aproape toţi ω Ω, traiectoriile t [, ) B t ω) mişcării Browniene nu sunt diferenţiabile în nici un punct t [, ); c) Variaţia totală pe orice interval finit [, T ] este infinită, adică sup n B ti B ti 1 = i=1 a.s., unde supremumul este considerat pentru toate partiţiile : = t < t 1 <... < t n ale intervalului [, T ]; d) Variaţia pătratică corespunzătoare unei partiţii : = t < t 1 <... < t n a intervalului [, T ] converge în L 2 Ω [, T ] ; R) către T, adică n ) 2 ) E 2 Bti B ti 1 T k=1 când n := max 1 i n t i t i 1. Dacă în plus n 1 n <, atunci convergenţa precedentă este aproape sigură.

18 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice Integrala stochastică În această secţiune vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H s dm s, unde M s este o martingală cel mai adesea mişcarea Browniană) iar H s este un proces stochastic adaptat filtrării corespunzătoare lui M s. Deoarece traiectoriile mişcării Browniene B t nu au variaţie finită, nu putem defini H s db s ca fiind o integrală de tip Lebesgue-Stieltjes. Cheia construcţiei este izometria în L 2, care ne va permite să definim integrala stochastică ca fiind limita în L 2 P) a unui şir de variabile aleatoare convenabil alese. Definim I clasa integranzilor ca fiind clasa funcţiilor ce verifică următoarele condiţii: ft, ω) : [, ) Ω R i) funcţia t, ω) ft, ω) este măsurabilă în raport cu σ-algebra produs B R+ F; ii) ft, ) este o variabilă aleatoare măsurabilă în raport cu σ-algebra F t, pentru orice t ; iii) E f 2 s, ω)ds <. Numim proces elementar un proces stochastic ft, ω) I de forma ft, ω) = ϕω)1 [a,b) t). Observăm că proprietăţile ii) şi iii) de mai sus revin în acest caz la faptul că variabila aleatoare ϕ = ϕω) este o variabilă aleatoare măsurabilă în raport cu σ-algebra F a, respectiv că variabila aleatoare ϕ 2 este integrabilă. Definim în acest caz integrala stochastică prin ϕω)1 [a,b) s)db s ω) = ϕω)b b t ω) B a t ω)). Numim proces simplu un proces stochastic ft, ω) I ce poate fi scris ca o combinaţie liniară de procese elementare, adică ft, ω) = N ϕ i ω)1 [ai,b i )t), i=1 unde ϕ i = ϕ i ω) sunt variabile aleatoare F ai -măsurabile, de pătrat integrabil, 1 i N şi a 1 < b 1... a N < b N. Definim integrala stochastică în acest caz prin liniaritate, adică N i=1 ϕ i ω)1 [ai,b i )s)db s ω) = N ϕ i ω)b bi tω) B ai tω)). i=1 Integrala definită anterior are următoarele proprietăţi. Propoziţia Dacă f I este un proces simplu, mărginit, atunci integrala stochastică N t ω) = fs, ω)db s ω)

19 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 15 este o martingală continuă şi are loc următoarea proprietate de izometrie: [ ) 2 ] E fs, ω)db s ω) = E f 2 s, ω)ds. 1.1) Demonstraţie. Pentru a demonstra prima afirmaţie, datorită liniarităţii integralei stochastice, este suficient să considerăm cazul în care f I este un proces elementar mărginit ft, ω) = ϕω)1 [a,b) t), unde ϕω) este o variabilă aleatoare F a -măsurabilă, mărginită, de pătrat integrabil şi a < b. Dacă procesul ϕ este mărginit de constanta K, obţinem N t N s = ϕω)b b t ω) B a t ω)) ϕω)b b s ω) B a s ω)) K B b t ω) B b s ω) + K B a t ω) B a s ω), iar continuitatea procesului N t rezultă din continuitatea mişcării Browniene B t. Pentru a arăta că N t este o martingală în raport cu filtrarea {F t } t trebuie să arătăm că, oricare ar fi s < t avem EN t F s ) = N s. În funcţie de poziţiile relative ale numerelor a, b, s şi t distingem următoarele situaţii: 1. a < s < t < b Avem EN t F s ) = Eϕω)B t ω) B a ω)) F s ) = ϕω) E B t ω) B s ω) F s ) + E B s ω) B a ω) F s )) = ϕω) E B t ω) B s ω))) + B s ω) B a ω) = ϕω) + B s ω) B a ω)) = ϕω) B s ω) B a ω)) = N s, deoarece, în acest caz, B t B s este o variabilă aleatoare independentă de σ-algebra F s iar B s B a este o variabilă aleatoare F s -măsurabilă. 2. a < s < b < t Avem EN t F s ) = Eϕω)B b ω) B a ω)) F s ) = ϕω) E B b ω) B s ω) F s ) + E B s ω) B a ω) F s )) = ϕω) E B b ω) B s ω))) + B s ω) B a ω) = ϕω) + B s ω) B a ω)) = ϕω) B s ω) B a ω)) = N s, deoarece, în acest caz, B b B s este o variabilă aleatoare independentă de σ-algebra F s iar B s B a este o variabilă aleatoare F s -măsurabilă. 3. Pentru celelalte patru cazuri rămase demonstraţia este similară şi o vom putea omite.

20 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 16 Pentru a demonstra ultima afirmaţie din enunţul Propoziţiei, considerăm un proces simplu f I, dat de N ft, ω) = ϕ i ω)1 [ai,b i )t), i=1 unde ϕ i ω) sunt variabile aleatoare F ai -măsurabile, mărginite, de pătrat integrabil, 1 i N şi a 1 < b 1... a N < b N. Folosind independenţa creşterilor mişcării Browniene şi faptul că variabilele aleatoare ϕ i şi ϕ j sunt F ai, respectiv F aj -măsurabile, obţinem: E [ ϕ i ω)ϕ j ω) B bi tω) B ai tω)) B bj tω) B aj tω) )] { E ϕ 2 i ω) ) b i t a i t), i = j =, i j, de unde rezultă că [ ) 2 ] [ N ] E fs, ω)db s ω) = E ϕ 2 i ω) B bi tω) B ai tω)) 2 + 2E i=1 1 i<j N ϕ i ω)ϕ j ω) B bi tω) B ai tω)) B bj tω) B aj tω) ) [ N ] = E ϕ 2 i ω) b i t a i t) = E i=1 f 2 s, ω)ds, demonstraţia fiind în acest moment încheiată. Pentru a extinde definiţia integralei stochastice la cazul general al unui proces f I introducem, pentru început, următorul rezultat. Lema Dacă f I, atunci există un şir de procese simple, mărginite, f n I astfel încât E fs, ω) f n s, ω)) 2 ds pentru n. 1.2) Folosind acest rezultat, putem demonstra următoarea Teoremă. Teorema Oricare ar fi procesul f I şi şirul de procese simple f n ) n N I cu procesul N n t ω) = E fs, ω) f n s, ω)) 2 ds pentru n, f n s, ω)db s ω) converge în L 2 P), uniform în raport cu t [, ), către o martingală continuă N t ω). Mai mult, limita este independentă de alegerea şirului f n ) n N folosit în aproximarea funcţiei f. Putem enunţa, înainte de a trece la demonstraţia Teoremei anterioare, următoarea Definiţie.

21 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 17 Definiţia 1.26 Integrala stochastică Itô). Definim integrala stochastică Itô a unui proces stochastic f I, în raport cu mişcarea Browniană B t prin fs, ω)db s = lim n f n s, ω)db s, unde f n este un şir de procese simple, mărginite, ce verifică relaţia 1.2). Demonstraţie. Să observăm că, dacă g I este un proces simplu, mărginit, rezultă că M t = gs, ω)db s ω) este o martingală continuă şi are loc egalitatea şi deci [ ) 2 ] EMt 2 = E gs, ω)db s ω) = E sup EMt 2 E t g 2 s, ω)ds <. g 2 s, ω)ds < Conform teoremei de convergenţă a martingalelor rezultă că limita M = lim t M t există aproape sigur şi avem EM 2 = lim E gs, ω)db s ω) t E t = lim = E g 2 s, ω)ds g 2 s, ω)ds <. Cum diferenţa a două procese simple este tot un proces simplu, aplicând rezultatul anterior procesului gs, ω) = f n s, ω) f m s, ω) şi folosind inegalitatea lui Doob, obţinem ) E sup Nt n Nt m ) 2 ce f n s, ω) f m s, ω)) 2 ds t 2cE ) 2 f n s, ω) fs, ω)) 2 ds + 2cE f m s, ω) fs, ω)) 2 ds pentru n, m. Rezultă deci că Nt n ω) este un şir Cauchy în L 2 P), uniform în raport cu t. Cum L 2 P) este un spaţiu metric complet rezultă că Nt n converge în L 2 P) către un proces pe care îl vom nota cu N t = N t ω). Procesul limită N t este, de asemenea, un proces continuu în variabila t. Deoarece Nt n este o martingală, oricare ar fi s < t, avem E N n t F s ) = N n s, de unde, prin trecere la limită pentru n, rezultă că N t este tot o martingală. Faptul că E N n t F s ) E N t F s ) pentru n

22 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 18 rezultă din E ENt n F s ) EN t F s )) 2) = E E Nt n N t F s )) 2) )) E E N t n N t ) 2 F s = E Nt n N t ) 2). n Pentru a demonstra independenţa limitei de şirul de aproximare f n ) n N I considerat, fie un alt şir de procese simple, mărginite, f n ) n N I, cu şi să notăm Ñ n t = E fs, ω) f n s, ω)) 2 ds pentru n f n s, ω)db s ω). Conform demonstraţiei anterioare avem, folosind din nou inegalitatea lui Doob, ) ) 2 E Nt n Ñ t n ce f n s, ω) f ) ) 2 n s, ω) ds sup t pentru n şi deci limita N t este independentă de alegerea şirului de aproximare N n t ) n N considerat. Exemplul 1.7. Calculaţi valoarea integralei stochastice B sdb s folosind definiţia integralei stochastice. Demonstraţie. Considerăm ft, ω) = B t şi definim şirul f n t, ω) = B tj 1 [tj,t j+1 )t), 2 n 1 unde t j = t n j = t j 2 n. Din independenţa creşterilor mişcării Browniene obţinem j= ) E fs, ω) f n s, ω)) 2 ds = E = = 2 n 1 j+1 j= t j j+1 2 n 1 j= 2 n 1 j= t j = t2 2 2 n B tj B s ) 2 ds s t j )ds 1 2 t j+1 t j ) 2 pentru n şi deci f n este un şir de aproximare al procesului f în sensul relaţiei 1.2).

23 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 19 Conform definiţiei integralei stochastice avem B s db s = lim n = lim n 1 = lim n 2 = n 1 f n s, ω)db s ω) B tj B tj+1 B tj ) j= 2 n 1 j= B 2 t B 2 ) 1 2 t. B 2 tj+1 B 2 tj B tj+1 B tj ) 2 ) Observaţia În exemplul anterior am obţinut B t db t = 1 2 formulă care diferă de formula obişnuită de integrare B 2 t B 2 ) 1 2 t, B t db t = 1 2 B2 s s=t s= = 1 2 B2 t B 2 ), în cazul integralei Lebesgue-Stieltjes dacă această integrală s-ar fi aplicat procesului B). Aceasta se datorează faptului că procesul B nu este un proces cu variaţie mărginită, dar este 1 un proces cu variaţie pătratică mărginită, fapt care conduce la apariţia termenului 2 t din calculul integralei anterioare. Observaţia Spre deosebire de integrala de tip Lebesgue-Stieltjes, alegerea punctului intermediar s i produce valori diferite ale integralei stochastice. Integrala Itô corespunde alegerii punctului intermediar ca limita inferioară a intervalului considerat, adică s i = s i. Există şi alte construcţii ale integralei stochastice, spre exemplu alegerea punctului s i = s i+s i+1 2 conduce la integrala stochastica Stratonovich. 1.6 Ecuaţii diferenţiale stochastice şi formula lui Itô Teoria ecuaţiilor diferenţiale stochastice EDS) este un cadru pentru descrierea sistemelor dinamice care includ forţe atât aleatoare cât şi nealeatoare. Teoria are ca suport integrala stochastică Itô. Formula lui Itô este o formulă de diferenţiere stochastică, similară situaţiei diferenţierii funcţiilor compuse din cazul determinist. O EDS de tip Itô are forma care, scrisă sub formă integrală devine X T X = dx t = a t, X t ) dt + σ t, X t ) dw t, T a t, X t ) dt + T σ t, X t ) dw t, unde prima integrală este o integrală Riemann iar cea de a doua o integrală stochastică de tip Itô. Condiţia iniţială este X = u x), unde u x) este densitatea de probabilitate a lui X la

24 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 2 momentul de start. Coeficientul a t, X t ) este coeficientul de drift iar σ t, X t ) este coeficientul de volatilitate. Termenul σ t, X t ) dw t este termenul martingal al procesului X Mişcarea Browniană geometrică Considerăm EDS { dxt = µx t dt + σx t dw t X = 1, 1.3) ceea ce defineşte o mişcare Browniană geometrică. În formularea generală anterioară a t, x) = µx şi σ t, x) = σx. Dacă W t ar fi o funcţie diferenţiabilă în raport cu t, soluţia ecuaţiei 1.3) ar fi Pentru a verifica acest lucru considerăm funcţia cu X t = e µt+σwt. ceea ce este greşit!!!) 1.4) xω, t) = e µt+σω, ω x = x ω = σx, t x = x t = µx ωω x = x ωω = σ 2 x. Prin urmare, diferenţierea funcţiei 1.4) conduce la dx t W t ) = µxdt + σxdw t + σ2 2 Xdt. Putem înlătura ultimul termen nedorit) prin multiplicarea cu e σ2 t 2, ceea ce sugerează că formula X t = e µt σ2 t 2 +σwt satisface 1.3). Să considerăm acum cazul simplu în care µ = şi σ = 1, adică { dxt = X t dw t X = 1. Soluţia este mişcarea Browniană X t = e Wt t ) Privind formula 1.5) în relaţie cu proprietatea martingală X t este o martingală deoarece termenul de drift este zero), obţinem, după un calcul simplu, că W X t+t = e t t 2 + W t W t t t 2 )), şi că E [X t+t F t ] = X t.

25 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice Formula lui Itô Formula lui Itô prezintă forme diverse, cea mai simplă dintre acestea fiind prezentată în cele ce urmează. Teorema Fie u : R [, ) R o funcţie continuu diferenţiabilă până la ordinul doi în x şi până la ordinul întâi în t şi considerăm W un proces Wiener mişcare Browniană). Notăm cu u t, u x şi u xx derivatele de ordinul întâi respectiv doi ale funcţiei u în raport cu variabilele t şi x. Atunci are loc formula uw t, t) u, ) = u x W s, s)dw s + u t W s, s)ds sau, scrisă sub formă diferenţială duw t, t) = u t W t, t) + 1 ) 2 u xxw t, t) dt + u x W t, t)dw t. Pentru un caz mai general, formula lui Itô are următoarea formă. Teorema 1.3. Fie X un proces stochastic ce verifică următoarea EDS: { dxt = at, X t )dt + σ t, X t ) dw t, X = u, u xx W s, s)ds, unde coeficienţii de drift şi de difuzie verifică condiţiile necesare şi suficiente ce asigură existenţa soluţiei EDS considerate. Fie u : R [, ) R o funcţie continuu diferenţiabilă până la ordinul doi în x şi până la ordinul întâi în t. Atunci u X t, t) este un proces Itô ce satisface EDS: du X t, t) = u x X t, t) dx t + u t X t, t) dt u xx X t, t) σ 2 t, X t ) = u x X t, t) σ t, X t ) dw t + u x X t, t) at, X t ) + 1 ) 2 u xx X t, t) σ 2 t, X t ) + u t X t, t) dt. Exemplul 1.8. Fie u x, t) = x 2 t. Avem u t x, t) = 1 u x x, t) = 2x u xx x, t) = 2. În consecinţă, conform formulei lui Itô remarcăm că u t u xx = ) de unde rezultă imediat că W 2 t t = 2 W s dw s = 1 2 W s dw s, W 2 t t ). Exemplul 1.9. Fie α, β R doi scalari determinişti fixaţi. Considerăm ux, t) = e αx+βt

26 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 22 şi avem Formula lui Itô conduce la u W t, t) = 1 + α u t x, t) = βux, t) u x x, t) = αux, t) u xx x, t) = α 2 ux, t). u W t, t) dw t + β + 12 ) α2 u W t, t) dt. 1.6) Notând S t = u W t, t), ecuaţia 1.6), scrisă sub formă diferenţială, devine În particular, dacă ds t S t = αdw t + α = σ şi β = µ σ2 2 atunci S t este soluţia ecuaţiei 1.3). Dacă α = θ şi β = θ2 2 pentru θ R, atunci ecuaţia 1.7) capătă forma simplificată sau, echivalent, e {θwt θ2 t 2 } = 1 + θ β + 12 α2 ) dt. 1.7) ds t S t = αdw t, e {θws θ2 s 2 } dw s. Prin urmare, procesul e {θwt θ2 t 2 } este o martingală în raport cu filtrarea naturală. Exemplul 1.1. Un proces Itô cu multiple aplicaţii atât în modelarea proceselor fizice cât şi în evaluarea derivatelor financiare este procesul Ornstein Uhlenbeck. Acesta este un proces stochastice care satisface EDS: dx t = θ µ X t ) dt + σdw t, 1.8) unde θ, µ, σ sunt parametri strict pozitivi iar W este un proces Wiener real. Procesul Ornstein Uhlenbeck reprezintă una dintre abordările utilizate în modelarea dobânzilor, a ratelor de schimb intermonetar şi al preţurilor activelor primare din pieţele financiare. Parametrii ce intervin în ecuaţia de stare modelează valoarea medie a activelor, gradul de volatilitate al activelor primare şi rata cu care aceste active se depărtează sau apropie de valoarea medie. Pentru a obţine soluţia ecuaţiei 1.8) facem apel tot la formula lui Itô şi considerăm funcţia u X t, t) = X t e θt.

27 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 23 Obţinem, prin diferenţiere, du X t, t) = θx t e θt dt + e θt dx t = θx t e θt dt + e θt θ µ X t ) dt + σdw t ) = θx t e θt dt + e θt θ µ X t ) dt + e θt σdw t = e θt θµdt + e θt σdw t. Integrăm de la la t şi obţinem, ţinând cont de formula lui u X t, t): X t e θt = X + e θs θµds + de unde, înmulţind cu e θt, obţinem formula lui X: X t = X e θt + µ 1 e θt) + e θs σdw s, σe θs t) dw s. Revenim în cele ce urmează la demonstraţia Teoremei Pentru simplitate vom considera t = 1 şi presupunem că derivatele parţiale u t şi u xx sunt uniform mărginite şi uniform continue. PEntru orice n 1 fie D n = D n [, 1] partiţia diadică a intervalului [, 1], adică partiţia în intervale [t j, t j+1 ], unde t j = j 2 n. Lema Pentru orice funcţie g : R [, ) R nenegativă, uniform continuă şi uniform mărginită au loc 2 n 1 lim g ) ) 1 2 W tj, t j Wtj+1 W tj = g W t, t) dt şi 1.9) n j= j= 2 n 1 lim o n Wtj+1 W ) ) 2 t j =, 1.1) unde prin notaţia o y) înţelegem faptul că termenul este de un ordin de magnitudine mai mic decât y atunci când n, adică oy) y atunci când n. Remarcă. Relaţia 1.9) este o generalizare a formulei variaţiei pătratice deja studiate şi este baza ecuaţiei euristice dw t ) 2 = dt. Demonstraţie. Schiţă) Exprimăm diferenţa u W 1, 1) u, ) ca o sumă telescopică şi obţinem u W 1, 1) u, ) = = + 2 n j=1 2 n j=1 2 n j=1 u Wtj, t j ) u Wtj 1, t j 1 )) u Wtj, t j ) u Wtj, t j 1 )) u Wtj, t j 1 ) u Wtj 1, t j 1 )) := S n) 1 + S n) 2.

28 Capitolul 1. Probabilităţi şi procese stochastice 24 Termenii primei sume S n) 1 pot fi aproximaţi folosind dezvoltarea Taylor a funcţiei u x, t) în punctul t: u W tj, t j ) u Wtj, t j 1 ) = ut Wtj, t j ) tj t j 1 ) + o t j t j 1 ) = u t Wtj, t j ) 2 n + o 2 n). Eroarea o 2 n ) este, în mod uniform, suficient de mică dacă ţinem cont de preupunerea că termenul u t x, t) este uniform mărginit; în consecinţă, dacă sumăm aceste 2 n erori după indicele j eroarea totală este o 1). Prin urmare, în urma sumării obţinem o sumă Riemann ce aproximează integrala 1 S n) 1 = 2 n u s W s, s) ds: 2 n j=1 u t Wtj, t j ) + o 1) n 1 u s W s, s) ds. Termenii celei de a doua sume S n) 2 pot fi aproximaţi folosind dezvoltarea Taylor a funcţiei u x, t) în prima variabilă, de data aceasta utilizând primii doi termeni ai dezvoltării pentru a pastra eroarea suficient de mică: u W tj, t j 1 ) u Wtj 1, t j 1 ) = ux Wtj 1, t j 1 ) Wtj W tj 1 ) u ) ) 2 xx Wtj 1, t j 1 Wtj W tj 1 Wtj ) ) 2 + o W tj 1. Conform Lemei anterioare şi ţinând cont de definiţia integralei stochastice, obţinem, pentru n, 2 n j=1 2 n j=1 2 n j=1 u x Wtj 1, t j 1 ) Wtj W tj 1 ) n 1 u xx Wtj 1, t j 1 ) Wtj W tj 1 ) 2 o Wtj W tj 1 ) 2 ). n n 1 u x W s, s) dw s, u xx W s, s) ds şi Concluzionând, obţinem că u W 1, 1) u, ) = lim = ceea ce încheie demonstraţia Teoremei. n 1 1 ) S n) 1 + S n) 2 u s W s, s) ds + u xx W s, s) ds, 1 u x W s, s) dw s

29 Capitolul 2 Scurtă descriere a pieţelor financiare Tranzacţiile cu opţiuni au apărut încă de la începutul sec al-xii-lea şi au fost legate de comerţul cu lalele care se practica în Olanda. De exemplu, un exportator de bulbi de lalele se putea proteja împotriva pierderii mărfii pe timpul transportului prin cumpărarea de la un producător a unei cantităţi de bulbi echivalentă cu cea expediată, la un anumit preţ, la opţiunea sa. Astfel exportatorul cumpărător putea înlocui marfa dacă aceasta se deprecia sau distrugea pe timpul transportului sau putea să renunţe la acest drept dacă marfa ajungea în bună stare la destinaţie. Deci cei care tind să asocieze opţiunile cu speculaţia greşesc în oarecare măsură deoarece opţiunile au apărut ca modalitate de acoperire a riscului la care te expune specificul afacerii proprii, nu ca un instrument speculativ. Instrumentele financiare derivate se tranzacţionează pe pieţe reglementate la termen, valoarea acestora derivând din preţul de tranzacţionare al activelor suport instrumente financiare, valute, indici bursieri, rate ale dobânzii, mărfuri, etc.), cotate pe o piaţă spot instantanee, la vedere). În accepţiunea referenţialului contabil internaţional, un instrument derivat este un instrument financiar care întruneşte toate cele trei caracteristici de mai jos: 1. valoarea sa se modifică ca reacţie la variaţiile în anumite rate ale dobânzii, preţul unui instrument financiar, preţul mărfurilor, cursurile de schimb valutar, indicii de preţ sau rată, ratingul de credit sau indicele de creditare, sau în alte variabile, cu condiţia ca, în cazul unei variabile nefinanciare, aceasta să nu fie specifică unei părţi contractuale uneori denumită suport); 2. nu solicită nicio investiţie iniţială netă sau solicită o investiţie iniţială netă care este mai mică decât s-ar cere pentru alte tipuri de contracte care se aşteaptă să aibă reacţii similare la modificările factorilor pieţei; 3. este decontat la o dată viitoare. Ca active financiare derivate, opţiunile dau posibilitatea reversibilităţii asupra proiectului iniţial de investiţii, aceasta fiind o diferenţă faţă de contractele cunoscute, în care una din caracteristici era tocmai ireversibilitatea investiţiei de capital. Interesul pentru corectitudinea evaluării opţiunilor de către operatorii de pe piaţa financiară derivă din posibilitatea operaţiunilor de arbitraj în cazul unei supraevaluari sau subevaluari. Există două modele de evaluare a opţiunilor: modelul Black - Scholes şi modelul binomial. Cele două tipuri de modele se bazează pe raţionamente de arbitraj şi hedging şi pornesc de la premisa că piaţa nu permite operaţiuni de arbitraj. Opţiunile au fost tranzacţionate în mod organizat, pentru prima dată în 26 aprilie 1973, iar apoi The Chicago Board Options Exchange CBOE) a creat liste standardizate cu opţiuni. De atunci se semnalează o creştere vertiginoasă pe piaţa opţiunilor. În acest moment ele sunt tranzacţionate în majoritatea burselor din lume. În Statele Unite ale Americii opţiunile sunt tranzacţionate la: CBOE, The American Stock Exchange, The Pacific Stock Exchange şi The Philadephia Stock Exchange. Pe data de 1 iulie 1998, la un an de 25

30 Capitolul 2. Scurtă descriere a pieţelor financiare 26 la lansarea contractelor futures, Bursa Monetar-Financiară şi de Mărfuri Sibiu, a lansat, în premiera pentru România, opţiunile pe contracte futures. La baza apariţiei contractelor futures au stat contractele forward. Deşi există o tendinţă, mai ales în literatura de specialitate din România, de a fi tratate separat, aceste două tipuri de contracte sunt, în esenţă, asemănătoare, în sensul că în cazul ambelor contracte se încheie tranzacţii la termen asupra unui activ de bază, numit şi activ suport underlying asset). Atât cel care doreşte să cumpere activul de bază cât şi cel care doreşte să îl vândă convin asupra cantităţii ce urmează să fie schimbată, asupra preţului şi asupra scadenţei a datei la care livrarea şi plata vor avea loc efectiv). Astfel, atât printr-un contract forward cât şi prin unul futures, se fixează - în prezent - preţul ce urmează a fi plătit pentru o cantitate definită din activul suport, preţ ce urmează a fi plătit la o dată ulterioară, în viitor. Contractele futures reprezintă contracte standardizate care creează pentru părţi cumpărător şi vânzător) angajamentul de a cumpăra respectiv de a vinde o anumită cantitate din activul suport la o dată viitoare numită data scadenţei) şi la un preţ negociat în momentul încheierii tranzacţiei. Cu excepţia preţului care se negociază între părţi, toate elementele sunt standardizate scadenţa, volumul contractului, paşii de cotaţie, fluctuaţia maximă admisă, riscul de scădere/creştere) în baza specificaţiilor fiecărui tip de contract futures. În mod uzual sunt tranzacţionate două categorii de contracte futures, în raport cu natura activului suport: financial futures - sunt contracte futures având drept active suport variabile financiare acţiuni, indici bursieri, rate ale dobânzii, indici de preţ, cursuri valutare, etc.) şi commodities futures - sunt contracte futures având drept active suport mărfuri precum cereale, produse din carne, petrol şi produse derivate, energie, cafea, cacao, unt, zahăr, bumbac, etc. În raport cu modul de decontare a tranzacţiilor, pot fi identificate: contracte futures lichidate prin livrarea fizică a activului suport în practică, numai 2-3% dintre contractele futures se execută prin livrare efectivă în marfă, restul se lichidează prin compensare) şi contracte futures lichidate prin compensare presupune plata cash a diferenţelor între preţul de deschidere a unei poziţii de cumpărare sau vânzare şi preţul de lichidare la scadenţă a acestor contracte). Elementele tehnice de bază ale unui contract futures sunt: 1. Activul suport : este reprezentat de marfa sau activul financiar valori mobiliare, valute, rate ale dobânzii, indici bursieri, etc.), asupra căruia se încheie contractul. Cantitatea şi caracteristicile activului suport reprezintă clauze standardizate conform specificaţiilor fiecărui tip de contract futures. 2. Scadenţa: ultima zi de tranzacţionare din luna de lichidare a contractului futures. La data scadenţei Casa Română de Compensaţie lichidează automat toate poziţiile deschise, la preţul de executare, stabilindu-se câştigurile şi pierderile reale. 3. Marja riscul de creştere/scădere): reprezintă suma de bani depusă iniţial de către investitor în contul în marjă şi menţinută pe toată perioada de timp în care poziţiile de cumpărare sau vânzare sunt deschise. Astfel, la deschiderea unui cont pentru derularea tranzacţiile pe o piaţă reglementată de mărfuri şi instrumente financiare derivate, clientul va depune o sumă de bani reprezentând riscul de creştere sau scădere a preţurilor contractelor futures marja), conform specificaţiilor contractelor futures, pe baza evaluărilor făcute de către Sistemul de Evaluare a Riscurilor administrat de către Casa Română de Compensaţie şi Bursa Monetar Financiară şi de Mărfuri Sibiu. Marja va trebui menţinută la nivelul impus de specificaţiile contractelor futures, pe toată durata existenţei unor poziţii deschise, indiferent dacă sunt long risc de scădere) sau short risc de creştere). 4. Preţul futures: preţul la care este deschisă o poziţie fie de cumpărare fie de vânzare), respectiv preţul la care se încheie o tranzacţie cu contracte futures. Reflectă preţul convenit de parteneri care va fi încasat/plătit la scadenţă pentru activul suport. Pe piaţa futures, există o limită de variaţie în cadrul unei şedinţe de tranzacţionare, din motive ce ţin de asigurarea unei pieţe ordonate şi lichide, dar şi pentru a limita influenţele pe care tranzacţiile cu contracte futures le-ar putea avea asupra tranzacţiilor derulate

31 Capitolul 2. Scurtă descriere a pieţelor financiare 27 pe piaţa spot cu activul suport în cauză. Preţul futures este strâns legat de perioada rămasă până la scadenţă dar şi de evoluţia preţului activului suport, deoarece există o aşa numită proprietate de convergenţă între preţul futures şi preţul activului suport cele două preţuri tind să se apropie, devenind identice, sau aproape identice la scadenţă). Părţile contractante într-o astfel de tranzacţie sunt: cumpărătorul contractului futures se angajează să cumpere activul suport la maturitatea contractului futures, deschizând o poziţie long futures şi expunându-se astfel la riscul de scădere şi vânzătorul contractului futures se angajează să vândă activul suport la aturitatea contractului futures, deschizând o poziţie short futures şi expunându-se la riscul de creştere. Cumpărătorii de contracte futures îşi deschid o poziţie tip long atunci când estimează că până la data scadenţei, preţul activului suport şi implicit al contractului futures va marca o creştere, în timp ce vânzătorii de contracte futures care îşi asumă o poziţie de tip short) mizează pe o scădere a preţului activului suport. Orice poziţie poate fi închisă până la data scadenţei, printr-o operaţiune de sens contrar, marcânduse astfel pierderea reală sau câştigul real. La scadenţa contractelor futures, poziţiile deschise pe piaţa futures vor fi închise automat la un preţ mediu de tranzacţionare comunicat de către Bursa de Valori Bucureşti pentru ziua scadenţei în cazul contractelor futures pe acţiuni) sau la cursul de referinţă comunicat de către Banca Naţională a României în cazul contractelor futures pe valute). Important de reţinut faptul că la data scadenţei, nu are loc decontarea prin livrare fizică a activului suport, ci se plătesc diferenţele în lei între preţurile la care au fost deschise poziţiile de cumpărare/vânzare şi preţurile la care aceste poziţii au fost închise. La sfârşitul fiecărei sesiuni de tranzacţionare pe piaţa instrumentelor financiare derivate, Casa Română de Compensaţie instituţia de clearing) realizează operaţiunea de marcare la piaţă engl. marked to market), care constă în reevaluarea tuturor poziţiilor de cumpărare / vânzare deschise în funcţie de preţul de cotare ultimul preţ de tranzacţionare din ziua respectivă), stabilindu-se astfel pierderile sau câştigurile potenţiale pentru fiecare participant la piaţă. În cazul unei pierderi potenţiale care nu poate fi acoperită pe seama disponibilului existent în contul clientului, Casa Română de Compensaţie va trimite, prin societatea de brokeraj la care este deschis contul clientului respectiv, un apel în marjă margin call), în scopul refacerii marjei la nivelul de menţinere. Dacă nu se răspunde la acest apel în marjă până a doua zi lucrătoare, Casa Română de Compensaţie va lichida automat un anumit număr de poziţii deschise, cu scopul de a reduce expunerea la risc din partea societăţii de brokeraj, până la nivelul marjei care să acopere poziţiile rămase deschise. După cum s-a prezentat anterior, opţiunea este un derivat financiar standardizat ce reprezintă dreptul de a cumpăra sau a vinde un activ underlying asset) la un anumit preţ şi în decursul unei perioade prestabilite. General vorbind opţiunile se pot clasifica în două grupuri: opţiuni de cumpărare CALL option) şi opţiuni de vănzare PUT option). O optiune de cumpărare este un contract, în formă negociabilă care dă cumpărătorului dreptul ca într-o perioadă de timp să cumpere de la vânzătorul opţiunii, activul de bază, la un preţ prestabilit. Vânzătorul acţiunii CALL îşi asumă obligaţia de a onora solicitarea cumpărătorului prin vânzarea activului suport. Opţiunea de vânzare este un contract care dă dreptul cumpărătorului opţiunii ca, într-o anumită perioadă de timp, să vândă activul suport partenerului său din contractul de opţiune, la un preţ prestabilit si în schimbul unei prime plătite iniţial. Totodată vânzătorul unui PUT îşi asumă obligaţia de a cumpăra activul de bază de la cumpărătorul opţiunii la preţul prestabilit, dacă opţiunea este exercitată într-un anumit interval de timp. În urma executării ordinului, clientul dobândeşte o poziţie pe opţiune, iar aceasta poate fi long, dacă a cumpărat sau short, dacă a vândut. Preţul la care vânzarea activului suport se poate realiza se numeşte preţ de exerciţiu exercise price sau strike price) iar data la care deţinătorul unei opţiuni poate exercita opţiunea, se numeşte data de exerciţiu expiration date sau expiry). Cumpărătorul unei opţiuni are dreptul, dar nu şi obligaţia să cumpere sau să vândă la termenul stabilit, la preţul de exerciţiu, o anumită cantitate de active suport. Vânzătorul unei opţiuni îşi asumă irevocabil obligaţia de a vinde

32 Capitolul 2. Scurtă descriere a pieţelor financiare 28 sau cumpăra activele suport în condiţiile din contractul opţional, indiferent dacă la momentul exercitării opţiunii, piaţa îi este sau nu favorabilă, asumându-şi în acest fel un anumit risc. Asumarea acestui risc se face în schimbul încasării de la început a unei prime care este preţul opţiunii, deci vânzătorul obţine câştiguri limitate, dar certe în condiţiile asumării de riscuri nelimitate. Pe de altă parte, cumpărătorului, prima plătită la cumpărarea opţiunii poate să-i aducă câştiguri aproape nelimitate în cazurile când piaţa e favorabilă, sau să-l apere de pierderi dacă piaţa ar acţiona negativ. Se poate spune că tranzacţiile de opţiuni sunt de fapt operaţii de vânzare-cumpărare de risc. Cumpărătorul opţiunii are aversiune faţă de risc şi îl vinde în timp ce vânzătorul opţiunii are preferinţă faţă de risc şi îl cumpără. Pentru cumpărarea şi vânzarea de opţiuni, clientul trebuie să constituie anumite garanţii şi anume: 1. La cumpărarea de opţiuni investitorul trebuie să plătească integral preţul opţiunii, respectiv prima. 2. La vânzarea de opţiuni CALL pentru care clientul deţine în momentul vânzării activul de bază, nu trebuie depusă decât marja contractului, dacă preţul de exercitare al opţiunii este cel puţin egal cu cursul titlului suport. Dacă preţul de exercitare este mai mic decât cursul titlului suport, gradul admis de îndatorare al investitorului faţă de broker depinde de preţul de exercitare şi nu de cursul opţiunii. 3. La vânzarea de opţiuni CALL neacoperite pentru care clientul nu deţine în momentul vânzării activul de baza), investitorul trebuie să constituie un depozit de garanţie stabilit la valoarea de piaţă a activului suport. Bursa stabileşte limitele de poziţie, adică numărul maxim de opţiuni pe care un investitor le poate deţine, pe acelaşi tip de poziţie virtuală, la activul de bază. Totodată, se stabileşte şi limita de exercitare, adică numărul maxim de opţiuni care poate fi exercitat în fiecare 5 zile consecutive de bursă, de către un investitor sau un grup de investitori care actionează împreună. Scopul stabilirii acestor limite este de a contracara posibiltatea ca un investitor, sau un grup de investitori să capete o influenţă semnificativă asupra pieţei. Casa de compensaţie joacă un rol esenţial în procesul executării contractelor de opţiuni. Constituită ca o instituţie autonomă, aceasta se interpune în toate tranzacţiile încheiate în bursă, devenind vânzătorul pentru toţi cumpărătorii de CALL care exercită opţiunea şi cumpărătorul pentru toţi vânzătorii de PUT care exercită opţiunea. Membrii casei de compensaţie deschid conturi clienţilor prin intermediul cărora efectuează cliringul, ţinând evidenţa tuturor poziţiilor long şi short pe opţiuni ale membrilor săi numarul contractelor de cumpărare trebuie să fie egal cu cel al contractelor de vânzare). Executarea contractelor de opţiuni se poate face prin: lichidarea opţiunii, exercitarea opţiunii sau prin expirarea opţiunii. Tehnicile moderne de stabilire a preţurilor unei opţiuni sunt adesea considerate, din punct de vedere matematic, printre cele mai complexe probleme din toate domeniile matematicilor financiare. Analiştii financiari au atins punctul în care sunt în măsură să calculeze, cu precizie, valoarea unui activ. Cele mai multe dintre modele şi tehnicile folosite de analiştii de astăzi sunt înrădăcinate într-un model dezvoltat de Fischer Black şi Myron Scholes în Ideea de opţiuni nu este, cu siguranţă, nouă. Opţiunile au existat, cel puţin conceptual, încă din antichitate. Modelul Black-Scholes nu a apărut peste noapte. De fapt, Fisher Black a inceput sa lucreze pentru a crea un model de evaluare a warrant-ului. Acest lucru implică calcularea unui derivat pentru a măsura modul in care rata de actualizare a unui warrant variază în funcţie de timpul şi preţul unei actiuni. Rezultatul acestui calcul seamănă cu o bine-cunoscută ecuaţie de transfer de căldură. La scurt timp după această descoperire, Myron Scholes s-a alăturat lui Black şi rezultatul muncii lor este un model precis de stabilire a preţurilor opţiunilor, rezultat publicat într-un articol apărut în anul 197. În 1997, Robert Merton Universitatea Harvard) şi Myron Scholes Universitatea Stanford) primesc premiul Nobel pentru metoda de determinare a valorii

33 Capitolul 2. Scurtă descriere a pieţelor financiare 29 derivativelor financiare. Modelul binomial este bazat pe aceleaşi presupuneri ca modelul Black- Scholes, dar ajustat ca să permită evaluarea opţiunilor americane; de asemenea, are o mai bună integritate în timp. Patiţionează intervalul până la expirare într-o serie de paşi, construind un arbore de preţuri ale activului suport. La fiecare preţ, activul suport este considerat a merge în sus sau în jos. Totuşi, nu pune preţ pe faptul că pieţele, în cea mai mare parte a timpului, nu se mişcă. Aceasta este limita peste care trece următorul model, modelul trinomial, care ţine cont de faptul că pieţele pot sta pe loc. Pentru ca modelul trinomial a fost foarte eficient în modelarea pieţelor financiare, s-a trecut la utilizarea a mai multe noduri, ceea ce a condus la apariţia modelului reţelei adaptive. În 1998, la doar un an după obţinerea de către Merton şi Scholes a premiului Nobel, fondul de hedging protecţie împotriva riscului) Long Term Capital Management LTCM), la care cei doi sunt principalii acţionari, a trebuit să fie salvat contra unui cost de 3,5 miliarde $ deoarece exista temerea că colapsul acestuia ar avea un efect dezastruos asupra instituţiilor financiare din întreaga lume. Era o distanţă de doar 1 ani de o nouă griză globală a cărei apariţie se consideră că a fost cauzată şi de generarea exagerată de instrumentele financiare derivate. Întrebarea firească care ar urma ar fi: De ce un fond de investiţii, incluzând 2 câştigători ai premiului Nobel ca şi acţionari principali, realizează pierderi surprinzătoare tranzacţionând instrumente financiare create special pentru a reduce riscul? Se presupune că nu a existat nimic rău din perspectiva tehnicilor folosite ci doar modul cum au fost folosite. Există spre exemplu opinia conform căreia măsurile menite să îmbunătăţească siguranţa pasagerilor la bordul unei maşini ex. existenţa centurii de siguranţă) vor creşte riscul deoarece şoferii conduc cu viteze mai mari decât ar face-o dacă nu ar avea centura de siguranţă. Astfel, nişte tehnici create să reducă riscul sunt prea des folosite ca un instrument similar jocurilor de noroc. Dacă jocurile de noroc pot aduce în pragul falimentului un jucător înrăit care nu ştie unde să se oprească, ele nu afectează persoanele prudente care nu cred şi, implicit, nu participă la jocurile de noroc. Nu putem considera adevărat acelaşi raţionament şi în cazul derivatelor pentru că angajarea în joc a unui număr foarte mare de investitori lacomi implicit sume semnificative) care nu au un capital de acoperire pentru contractele licitate poate cauza un dezechilibru major pe piaţa financiară, iar odată ce instituţiile financiare sunt puse în pericol mai este doar un singur pas până la o criză economică care poate fi una globală. Altfel spus derivatele financiare, neinterpretate şi utilizate aşa cum ar trebui pot fi mult mai periculoase decât jocurile de noroc, ceea ce impune atenţie şi cumpătare în tranzacţionarea lor.

34 Capitolul 3 Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere spot) 3.1 Machetă de piaţă financiară Opţiunile de vânzare call option) şi de cumpărare put option) sunt exemplele standard de derivate financiare, adică active a căror valoare depinde de preţul altor active financiare de bază active suport), ce plătesc sau nu dividende numite şi common stock), precum stocuri şi bonduri certificate emise de guverne sau companii publice ce promit răscumpărarea banilor împrumutaţi la o dată prestabilită, cu o dobândă fixată), purtătoare sau nu de dobândă. Opţiunile de tip call respectiv put) oferă deţinătorului dreptul, dar nu şi obligaţia de a cumpăra vinde) activul suport la un moment viitor momentul de exercitare al opţiunii, sau momentul de maturitate al opţiunii), cu un preţ fixat K preţul de exercitare, strike price). Obligaţia celui de al doilea investitor implicat în tranzacţionare derivatului financiar este aceea de a vinde cumpăra) activul suport. Atât opţiunile call cât şi cele put pot fi de tip european European put/call option) sau american American put/call option). Derivatele financiare de tip european permit exercitarea doar la momentul de maturitate al opţiunii, pe când cele de tip american oferă dreptul deţinătorului de a le exercita la orice moment premergător datei de maturitate. Pentru o înţelegere mai clară a modelelor ce vor fi descrise vom începe expunerea cu un model de piaţă financiară fără fricţiuni, cu o perioadă, în care se tranzacţionează doar un singur activ de bază şi opţiuni call şi put europene.instantanee, la vedere call and put spot options). Vom intitula acest model simplu Toy-model pentru opţiuni europene OE). Prin model de 3

35 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 31 piaţă financiare fără fricţiuni înţelegem o piaţă de tranzacţionare în care toţi investitorii au acces la acelaşi informaţii din piaţă, nu există comisioane pentru tranzacţii, toate activele sunt perfect divizibile şi lichide, nu sunt limitări în ceea ce priveşte dimensiunea creditului, dobânzile la depozite şi credite sunt egale. Într-o astfel de piaţă, prin poziţia short înţelegem poziţia vânzătorului activului financiar, iar poziţia long este aceea a cumpărătorului. Pentru o opţiune de call europeană OCE), cu momentul de maturitate T şi preţul de exercitare K, funcţia utilitate de plată) la momentul de expirare al opţiunii este g S T ) = S T K) + = max{s T K, }, 3.1) iar pentru o opţiune de put europeana OPE) funcţia de plată este { h S T ) = K S T ) +, S = T K opţiunea este abandonată), K S T, S T < K opţiunea este exercitată), Evident, are loc următoarea egalitate, numită formula de paritate put-call g S T ) h S T ) = S T K) + K S T ) + = S T K, adică o OPE poate fi evaluată prin intermediul unei OCE având acelaşi activ suport, aceeaşi dată de maturitate şi acelaşi preţ de exercitare. Se observă că o opţiune de tip call oferă deţinătorului său dreptul, dar nu şi obligaţia de a cumpăra activul suport, obligaţia celui de la care a cumpărat opţiunea de tip call dreptul de a cumpără) fiind de a-i furniza activul suport la preţul de exercitare prestabilit K. Astfel, dacă la momentul T preţul pe piaţa spot la vanzare liberă) al activului suport este mai mare decăt preţul prestabilit de cumpărare K, deţinătorul opţiunii call adică a dreptului de a cumpăra) poate obţine un profit imediat prin achiziţionarea unităţilor de stoc la preţul K şi vinderea lor pe piaţa liberă spot la preţul pieţei S T, obţinând un profit imediat în valoare de S T K. În caz contrar opţiunea este abandonată. Prin urmare funcţia utilitate a deţinătorului opţiunii call europene este dată prin formula 3.1). Situaţia opţiunilor put europene este interpretată în mod similar. Exemplul 3.1. Considerăm un activ primar nepurtător de dividende common stock) al cărui preţ la momentul actual este 28$, iar peste 3 luni el poate deveni 32$ sau 26$. Calculăm preţul raţional adică preţul corect de tranzacţionare la momentul actual) pentru o OCE cu preţul de exercitare K = 28$, dacă rata dobânzii la creditare pe 3 luni este r = 5%. Considerăm că probabilitatea subiectivă actual probability, real-world probability, statistical probability), individuală a investitorului), de creştere a preţului activului suport este.2, iar de scădere a lui este.8. Pentru descrierea modelul matematic considerăm spaţiul de probabilitate Laplace: Ω = {ω 1, ω 2 }, F = P Ω), P : Ω R, P ω 1 ) =.2 = 1 P ω 2 ). Dinamica preţului stocului este modelată de variabila aleatoare { S S T : Ω, F) R +, S T ω) = u = 32, ω = ω 1, S d = 26, ω = ω 2, iar funcţia utilitate este X = C T ω) = S T ω) K) + = { C u = 4, ω = ω 1, C d =, ω = ω 2,

36 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 32 valoarea medie cu discount discounted option s payoff ), a utilităţii fiind E P 1 + r) 1 C T ) = ) 1 = 7.62 depinde de alegerea lui P!). Este evident că stabilirea astfel a preţului depinde de percepţia subiectivă asupra pieţei a fiecărui investitor în parte, lucru nepermis în stabilirea unui preţ corect, unic, al derivatului financiar. Problema ce apare constă în asigurarea, la momentul tranzacţionării, a unicităţii preţului activelor derivate, lucru ce se poate realiza prin utilizarea portofoliilor replicante replicating portfolios). Pentru a realiza acest lucru, se construieşte la momentul, de către investitorul ce se află într-o poziţie short pe o OCE vânzătorul activului financiar), un portofoliu = = α, β ) R 2, ce simulează valoarea la momentul terminal a funcţiei utilitate. Valoarea wealth) sa este V ) = α S + β şi V T ) = α S T + β 1 + r). Mai precis, α reprezintă numărul de unităţi de activ primar deţinute la momentul, iar β este suma împrumutată suma depozitată intr-o bancă, sumă la care se aplică dobanda r aceeaşi la depozit sau credit). Definiţia 3.1. Spunem că portofoliul reproduce valoarea funcţiei de plată la momentul T replicates the option s terminal payoff) dacă V T ) = C T. În cazul exemplului anterior, { V V T ) ω) = u ) = α S u r) β = C u, ω = ω 1, V d ) = α S d r) β = C d, ω = ω 2, adică α = 2/3 şi β = Concluzionând, pentru fiecare OCE vândută se păstrează α unităţi de activ suport hedge ratio) şi suma β în bonduri fără risc, adică, alături de prima încasată prin vânzarea opţiunii de call europeană, se împrumută cash şi se achiziţionează acţiuni. Vom defini costul de achiziţie valoarea) pentru o OCE ca fiind investiţia iniţială necesară pentru construirea portofoliului replicant. În cazul de faţă C = V ) = α S + β = nu depinde de probabilitatea subiectivă P!) Sumarizând, tranzacţiile şi fluxul de cash devin, din perspectiva poziţiei short nu sunt necesare investiţii suplimentare pentru construcţia portofoliului replicant): prima pentru opţiunea vândută : C pentru t = : α unităţi de activ cumpărate : α S β unităţi de cash împrumutate : β pentru t = T : plata pentru opţiunea de call exercitată : C T α unităţi de activ suport vândute : α S T împrumutul plătit : ˆrβ, unde ˆr = 1 + r 3.2 Măsuri martingale în pieţele spot SOLUŢIA pentru stabilirea preţului just al derivatelor financiare : utilizarea măsurilor martingale, care, intuitiv, modelează probabilistic un joc corect fair game). Trebuie determinată o măsură de probabilitate P P, pentru care preţul cu discount al activului primar al stocului), definit de

37 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 33 devine o P martingală, adică S = S şi S T = 1 + r) 1 S T S = E P S T ). În cazul modelului de piaţă considerat, cu 2 stări şi 1 perioadă, ea este determinată de de unde rezultă S = 1 + r) 1 p S u + 1 p ) S d), p = P ω 1 ) = 1 P ω 2 ), P ω 1 ) = 1 + r) S S d S u S d şi P ω 2 ) = Su 1 + r) S S u S d. Evident, C = C : ) C = E P 1 + r) 1 C T = E P 1 + r) 1 S T K) +) = 1 + r) 1 p C u + 1 p ) C d) = = C! Definiţia 3.2. Numim economie cu risc neutru risk-neutral economy) un model stochastic de piaţă financiară în care fluctuaţiile viitoare ale preţurilor activelor suport sunt determinate de măsura martingalăp risk-neutral probability). 3.3 Absenţa arbitrajului în piaţa financiară Considerăm, din nou, modelul de piaţă cu două stări, o perioadă Ω = {ω 1, ω 2 }, F = {, Ω}, F T = 2 Ω şi presupunem existenţa a două active primare în modelul de piaţă considerat: 1. un activ riscat stoc), a cărui preţ e modelat de un proces stochastic discret, strict pozitiv S = S t ) t {,T }, adaptat filtrării F = {F, F T }, adică v.a. S t F t măsurabilă, t {, T }: S R şi S T ω) = { S u, ω = ω 1 S d, ω = ω 2 cu S u > S d. 2. un activ fără risc risk-free bond), dat de: B = 1, B T = 1 + r, cu r. Fie Φ spaţiul liniar al portofoliilor = α, β ) stoc,bond) şi vom urmări stabilirea preţului derivatelor financiare în modelul de piaţă M = S, B, Φ). Definiţia 3.3. Prin derivat financiar contingent claim) cu momentul de maturitate T se înţelege o variabilă aleatoare X F t măsurabilă. Spunem că derivatul financiar X estereplicabilattainable) dacă există un potofoliu replicant pentru acesta al valorii acestuia). Similar cazului opţiunilor europene X ω) = { X u, ω = ω 1, X d, ω = ω 2,

38 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 34 iar portofoliul replicant este determinat de { α S u r) β = X u cu soluţia unică α S d r) β = X d, α = Xu X d S u S d şi β = Xd S u X u S d 1 + r) S u S d ). Costul derivatului financiar X în piaţa M este: Definiţia 3.4. π X) := V ) = α S + β = Xu X d S u S d S + Xd S u X u S d 1 + r) S u S d ). 3.2) 1. Spunem că modelul de piaţă M este fără arbitraj dacă nu există Φ pentru care V ) =, V T ) şi P{V T ) > } >. 3.3) Un portofoliu pentru care 3.3) are loc se numeşte oportunitate de arbitraj. 2. Se numeşte oportunitate tare de arbitraj un portofoliu pentru care V ) < şi V T ). Dacă modelul de piaţă M este fără arbitraj, notăm cu π X) preţul de arbitraj preţul just) al derivatului financiar X în M. Observaţia 3.5. Replicarea este o metodă optimală de hedging, adică de asigurare şi de acoperire a riscului investitorului. Definiţia 3.6. Spunem că un portofoliu realizează un hedging perfect al derivatului financiar X perfect hedging against the contingent claim X) dacă V T ) X, adică { α S u r) β X u α S d r) β X d 3.4), Costul iniţial minim al creării unui portofoliu -phx se va numi preţul vânzătorului derivatului financiar X şi se va nota cu π s X). Pentru a arăta că are loc egalitatea πs X) = π X), notăm c = V ), iar relaţia 3.4) se rescrie { α S u 1 + r) S ) + c 1 + r) X u α S d 1 + r) S ) + c 1 + r) X d 3.5). Evident, cel mai mic număr c R pentru care are loc 3.5) este acela pentru care avem egalitate în 3.5). Din punctul de vedere al cumpărătorului derivatului financiar X ce poate fi privit ca vânzătorul lui X), problema asociată revine la a minimiza c R pentru care are loc 3.5) cu X u X u şi X d X d, cu soluţia π s X) = π X) = π X), adică replicarea este optimală şi pentru cumpărător. Definim preţul cumpărătorului lui X ca fiind π b X) = πs X) şi obţinem π s X) = π b X) = π X),

39 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 35 adică preţul minimal pe care vânzătorul este decis să îl accepte coincide cu preţul maximal pe care cumpărătorul este dispus să îl ofere pentru derivatul financiar X. Următorul rezultat explică rolul aşa-numitei economie cu risc neutru risk-neutral economy) în stabilirea preţului corect al derivatelor financiare. Utilizarea măsurii martingale P în stabilirea preţului activelor financiare corespunde situaţiei în care toţi investitorii sunt supuşi aceluiaşi risc în faţa aprecierii sau deprecierii activelor primare tranzacţionabile, atunci când dobânda la credit sau depozit este aceeaşi pentru fiecare a se consulta Cox, Ross [3]). Teorema 3.7. Modelul de piaţă M = S, B, Φ) este fără arbitraj dacă şi numai dacă preţul cu discount S admite o măsură martingală P P. În acest caz, preţul de arbitraj la momentul al oricărui derivat financiar X, cu momentul de maturitatea T este dat de formula de evaluare în caz de risc-neutru risk-neutral valuation formula): π X) = E P ) 1 + r) 1 X u X = p 1 + r + 1 p ) Xd 1 + r = 1 + r) S S d S u S d X u 1 + r + Su 1 + r) S S u S d X d 1 + r. Demonstraţie. Măsura martingală P a lui S există dacă şi numai dacă. p, 1). Presupunem, prin reducere la absurd că nu există măsura martingală P, considerând, de exemplu că p 1. Vom construi o oportunitate de arbitraj în M = S, B, Φ), ceea ce este imposibil într-o piaţă fără arbitraj. Avem astfel că p r) S S u > S d. Portofoliul = 1, S ) se împrumută o unitate de activ primar, adică de stoc, se vinde şi se depozitează banii) satisface V ) = şi { S u r) S, ω = ω 1, V T ) = S d r) S >, ω = ω 2, adică este o oportunitate de arbitraj. Dacă presupunem p, obţinem că S u > S d 1 + r) S, iar = 1, S ) se împrumută bani şi se cumpără o unitate de stoc) constituie o oportunitate de arbitraj, ceea ce conduce la o contradicţie. Considerând acum p, 1), pentru orice Φ, datorită relaţiei 3.2) avem p V u ) + 1 p ) V d ) =, adică ) V d ) < pt. V u ) > V d ) > pt. V u ) < Prin urmare nu există oportunităţi de arbitraj în M dacă p, 1). Pentru a demonstra 3.6), pentru fiecare portofoliu replicant = α, β ) pentru derivatul financiar X avem ) ) E P 1 + r) 1 X = E P 1 + r) 1 V T ) = E P α ST + β ) ceea ce conduce la concluzia rezultatului enunţat. = α S + β = V X) = π X), Observaţia 3.8. Alegerea activului fără risc în raport cu care se face discount-ul nu este esenţială. De exemplu, se poate alege preţul stocului S drept numerar, situaţie în care se ). 3.6)

40 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 36 consideră preţul bond-ului B având ca discount pe cel al stocului: B := B t /S t, pentru t {, T }. Măsura martingală P pentru procesul B va fi determinată de relaţia B = E PB T ), sau, explicit, Aceasta conduce la p 1 + r S u + r + 1 p)1 S d = 1. S ) 1 P{ω 1 } = p = S d 1 S u S d 1 + r)s S u S d şi ) 1 P{ω 2 } = 1 p = S u 1 S u S d 1 + r)s S d S u. În această situaţie, formula de evaluare în caz de risc neutru devine π X) = S E P S 1 T X), unde X este derivatul financiar cu perioada de maturitate T. În modelul de piaţă discutat, plata la momentul T pentru o opţiune de vânzare de tip put european, OPE) este: { P T ω) = K S T ω)) + P = u =, ω = ω 1, P d = 2, ω = ω 2. Portofoliul replicant = α, β ) este dat de { 32α + 1.5β = 26α + 1.5β = 2, cu soluţia = 1/3, 11.59) se împrumută α unităţi de activ suport, se intră într-o poziţie short-selling iar venitul, împreună cu prima încasată pentru opţiunea put se introduc într-un depozit plătitor de dobândă). Preţul de arbitraj al OPE este P = 1/ = 8.25, valoare ce se poate obţine şi prin intermediul formulei 3.6), pentru X = P T se aplică formula 3.6) pentru derivatul financiar X = S T K) : ) P = E P 1 + r) 1 P T = Machetă de piaţă pentru opţiuni americane Considerăm acelaşi model de piaţa financiară cu o perioadă, două stări şi două active financiare tranzacţionabile ca şi în cazul opţiunilor europene M = S, B, Φ) şi notăm cu C a t şi P a t, t {, T }, preţul de arbitraj al opţiunilor americane de tip call OCA), respectiv put OPA). Este evident că C a T = C T şi P a T = P T, în caz contrar existând oportunităţi de arbitraj. Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că S d < S 1 + r) < S u şi S d < K < S u,

41 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 37 în caz contrar existând oportunităţi de arbitraj. Teorema 3.9. În modelul de piaţă M = S, B, Φ), preţul de arbitraj Ca al unei OCA având ca activ suport un stoc ce nu plăteşte dividende coincide cu preţul C al unei OCE ce are acelaşi preţ de exercitare K. Demonstraţie. Presupunem, prin reducere la absurd că C a C pp. că C a > C ). C = p S u K 1 + r = 1 + r) S S d S u S d S u K 1 + r > S K 3.7) pentru r. Construim o oportunitate de arbitraj prin vinderea unei OCA cu C a şi cumpărarea unei OCE cu C. Situaţia în care C a < C se tratează în mod similar, putând şi în acest caz să construim oportunităţi de arbitraj, lucru imposibil într-o piaţă fără arbitraj. Este de subliniat faptul că relaţia 3.7) are loc şi într-un cadru mai general: OCA) Pentru r, S > K, S T P v.a. integrabilă: C = E P 1 + r) 1 S T K) +) ) = E P 1 + r) 1 C T ) ) + E P 1 + r) 1 S T 1 + r) 1 K ineg. Jensen = S 1 + r) 1 K) + S K. Concluzionăm faptul că OCA şi OCE sunt echivalente. Dacă însă 1 < r < atunci a doua inegalitate nu mai este întotdeauna adevărată, nemaiavând echivalenţă între opţiunile de cumpărare europene şi americane. Situaţia stă diferit însă dacă discutăm de opţiunile de vânzare de tip european OPE) şi cele de tip american OPA), după cum vedem în cele ce urmează. OPA) În această situaţie lucrurile stau diferit! P = E P 1 + r) 1 K S T ) +) ) = E P 1 + r) 1 P T )) + E P 1 + r) 1 K 1 + r) 1 S T ineg. Jensen = 1 + r) 1 K S ) + > K S pentru r 1, ). Pentru r = avem că E P 1 + r) 1 K S T ) +) = K S.În final, pentru r > nu există relaţie evidentă între P şi S K, ceea ce sugerează că, atunci când există dobânzi strict pozitive, situaţia OPA devine mult mai interesantă. Are loc următorul rezultat. Teorema 3.1. Presupunem că r >. Atunci P a = P dacă şi numai dacă K S Su 1 + r) S S u S d K S d 1 + r = P. 3.8) În caz contrar, P a = K S > P. Dacă r = atunci, invariant, P a = P. Demonstraţie. Relaţia 3.8) este echivalentă cu P K S. Presupunem, pentru început, că ultima inegalitate are loc. Dacă în plus P a > P respectiv, P a < P ), vânzând o OPA şi cumpărân o OPE se generează situaţia unei strategii fără risc, deci prin urmare, P a = P. Presupunem acum că P < K S şi că P a K S adică 3.8) nu are loc). Dacă P a

42 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 38 este strict mai mare decât K S, vânzătorul OPA poate genera un profit prin realizarea hedging-ului cu OPE cumpărată la un preţ mai mic P. Dacă, în schimb, P a < K S este convenabil sa se cumpere OPA şi să se exercite imediat, situaţie în care, din nou, se poate obţine un profit sigur. Dacă r =, inegalitatea 3.8), care acum se poate citi K S Su S S u S d K Sd ) este în mod clar satisfăcută prin alegerea convenabilă a preţului de exercitare K. Definiţia Un derivat financiar de tip American American contingent claim, AC) este o pereche X a = X, X T ), cu X R şi X T variabilă aleatoare F T măsurabilă X şi X T sunt plăţile efectuate în condiţia în care cererea este exercitată la momentele, resp. T ). Vom nota cu T = {, T } mulţimea timpilor de oprire de exercitare). 3.5 Inegalităţi generale în absenţa arbitrajului Vom prezenta în cele ce urmează inegalităţi generele necesare absenţei arbitrajului într-o piaţă financiară. Spre deosebire de cazurile analizate până acum nu mai presupunem că preţul activului de bază admite doar două valori terminale posibile. În plus, tranzacţionarea poate fi realizată în timp continuu, impunând totodată condiţii de autofinanţare în timp a portofoliului, fără a fi nevoie de infuzie sau retragere de capital din acesta. Un principiu general valabil este enunţat în cele ce urmează. Regula de monotonie a preţului : În orice model de piaţă fără arbitraj, dacă X T, Y T sunt două OCE, cu X T Y T, atunci π t X T ) π t Y T ), t [, T ]. În plus, dacă X T > Y T, atunci π t X T ) > π t Y T ), t [, T ]. Ca şi convenţie în cele ce urmează, notând cu r dobânda compusă continuu în timp continuously compounded rate of interest), valoarea la momentul t a unui dolar ce se primeşte la momentul T este egală cu e rt t), adică contul de economii este dat de B t := e rt, t [, T ]. Următorul rezultat oferă relaţii între preţurile opţiunilor de cumpărare şi de vânzare de tip european şi american. Versiuni în timp discret ale acestor relaţii se pot deduce cu uşurinţă.

43 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 39 Teorema Fie C t, P t, Ct a, Pt a preţurile de arbitraj la momentul t pentru OCE, OPE, OCA, OPA, cu preţul de exercitare K şi data de maturitate T. Pentru t [, T ] au loc: a) b) Formulele de paritate put-call devin: St Ke rt t)) + Ct = C a t S t, Ke rt t) S t ) + Pt K, c) K S t ) + P a t K. C t P t = S t Ke rt t) şi S t K C a t P a t S t Ke rt t). 3.9) Demonstraţie. În demonstrarea fiecărei relaţii se construiesc, la momentul t, portofolii ce se păstrează până la momentul T, după care se aplică regula de monotonie a preţului. Construim la momentul t portofoliile: { A : 1 OCE şi Ke rt t) cash; B : 1 acţiune de activ suport stoc). Valoriile portofoliilor la momentul final satisfac relaţiile V T A) = C T + K = S T K) + + K = max{s T, K} S T = V T B), de unde π t A) π t B), adică C t + Ke rt t) S t, t [, T ]. Pentru egalitatea C a t = C t, construim la momentul t, portofoliile: { A : 1 OCA şi Ke rt t) cash; B : 1 acţiune de activ suport stoc). Dacă OCA este exercitată la un moment t [t, T ], atunci V t A) = S t K + Ke rt t ) şi V t B) = S t. Are loc următoarea relaţie între valoarile portofoliilor la momentul final: V T A) = max{s T, K} = S T K) + + K S T = V T B). Obţinem deci că o exercitare timpurie a OCA ar contrazice regula de monotonie a preţului. Prima relaţie din formula de paritate 3.9) rezultă imediat deoarece C T P T = S T K. Pentru cea de a doua relaţie, datorită faptului că Pt a P t, obţinem a doua inegalitate din formula de paritate put-call: P a t P t C a t + Ke rt t) S t, t [, T ]. Pentru a demonstra prima inegalitate considerăm portofoliile: { A : 1 OCA şi K cash; B : 1 OP A şi 1 acţiune de activ suport stoc). Dacă OPA este exercitată la un moment t [t, T ], atunci V t B) = K. Pe de altă parte, V t A) = C t + Ke rt t) K.

44 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 4 Prin urmare, portofoliul A este mai valoros la momentul iniţial t decât portofoliul B, adică toerema fiind deci prin urmare demonstrată. C a t + K P a t + S t, În ceea ce priveşte dependenţa de timp şi de preţul de exercitare a preţului opţiunilor, are loc următorul rezultat de comparaţie a preţurilor derivatelor financiare. Teorema Notând cu C S, T, K) şi C a S, T, K) preţurile pentru o OCE şi o OCA, sunt evidente relaţiile, pentru T 1 T 2 şi K 1 K 2 : C a S, T 1, K) C a S, T 2, K) C S, T, K 2 ) C S, T, K 1 ) C a S, T, K 2 ) C a S, T, K 1 ). Presupunem că are loc relaţia K 1 < K 2. Au loc următoarele inegalităţi: e rt K 1 K 2 ) C S, T, K 2 ) C S, T, K 1 ) K 1 K 2 C a S, T, K 2 ) C a S, T, K 1 ). şi Demonstraţie. Pentru situaţia OCE considerăm, la momentul, portofoliile: { A : 1 OCE cu preţul de exercitare K2 şi e rt K 2 K 1 ) cash; B : 1 OCE cu preţul de exercitare K 1. Valorile portofoliilor la momentul de expirare a opţiunilor sunt: V T A) = S T K 2 ) + + K 2 K 1 ) S T K 1 ) + = V T B) V T B) = S T K 1 ) + Conform cu regula de monotonie a preţului rezultă Similar se analizează a doua inegalitate. C S, T, K 2 ) + e rt K 2 K 1 ) C S, T, K 1 ). Teorema Preţul unei opţiuni europene sau americane) call sau put) este o funcţie convexă în raport cu preţul de exercitare K. Demonstraţie. Să considerăm, pentru exemplificare, cazul unei OPE şi notăm cu P S, T, K) preţul său la momentul. Fie K 1 < K 2 şi K 3 := λk λ)k 2, cu λ [, 1]. Considerăm următoarele două portofolii: λ OP E cu preţul de exercitare K 1 şi A : 1 λ) OP E cu preţul de exercitare K 2 ; B : 1 OP E cu preţul de exercitare K 3. La momentul de maturitate T are loc λk 1 S T ) λ)k 2 S T ) + λk λ)k 1 ) S T ) + deoarece funcţia de plată fx) = K x) + P S, T, K) este o funcţie convexă în K. este convexă în K. Obţinem deci că preţul

45 Capitolul 3. Opţiuni de vânzare şi cumpărare în pieţe financiare la vedere 41 Observaţia O problemă mai dificilă, dar ce se poate demonstra în majoritatea tipurilor de pieţe financiare, este convexitatea preţului opţiunilor ca funcţie de preţul iniţial al stocului.

46 Capitolul 4 Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 4.1 Construcţia modelului Considerăm un model de piaţă financiară în care momentele de tranzacţionare sunt, 1,..., T, nu doar şi T ca în exemplele precedente. În această piaţă considerăm tranzacţionabile două active financiare primare: 1. un activ neriscant bond, cont de economii), a cărui dinamică este dată de: B t := 1 + r) t = ˆr t, t =, T ; 2. un activ cu risc stoc), preţul său având dinamica: S t+1 S t {u, d}, < d < u, t =, T, S >. Presupunem, de asemenea, că are loc condiţia de nedegenerare: P{S t+1 = us t S,...S t } > şi P{S t+1 = ds t S,...S t } > Pentru construirea modelul probabilistic fie p, 1) şi considerăm şirul de variabile aleatoare independente, identic repartizate ξ t : Ω, F, P) R, cu repartiţia Formal, preţul activului cu risc se scrie P ξ t = u) = p = 1 P ξ t = d), t = 1, T. S t = S t ξ j, t =, T şi j=1 P{S t+1 = us t S,..., S t } = P ξ t+1 = u) = p > P{S t+1 = ds t S,..., S t } = P ξ t+1 = d) = 1 p >. Echivalent, avem următoarea reprezentare t ) S t = S exp j=1 ς j, unde ς 1,..., ς T sunt v.a.independente, identic repartizate, definite prin 42

47 Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 43 P ς t = ln u) = p = 1 P ς t = ln d), t = 1, T numite şi exponential random walk. Pentru determinarea preţurilor opţiunilor la momentele, 1,..., T vom utiliza o procedură recursivă de construire a preţurilor. Vom genera un portofoliu replicant care, la fiecare moment t T va conţine α t acţiuni de activ suport deţinute pe intervalul [t, t + 1) şi suma β t investită în active fără risc pe acelaşi interval. Vom determina, prin inducţie, preţul unei OCE, ajustând potofoliul dinamic } := { t = α t, β t ) t=,t 1 la începutul fiecărei perioade. Funcţia utilitate C T = S T K) + va avea un unic portofoliu replicant, dinamic se ajustează la începutul fiecărei perioade), autofinanţant nu sunt acceptate infuzii sau retrageri de capital din portofoliu). Pe intervalul [T 1, T ] construim portofoliul T 1 = α T 1, β T 1 ) ce va replica funcţia utilitate la momentul final, adică pentru care V T ) = α T 1 S T + β T 1ˆr = C T = S T K) +. Detaliind, obţinem sistemul { αt 1 us T 1 + β T 1ˆr = us T 1 K) + cu soluţia explicită α T 1 ds T 1 + β T 1ˆr = ds T 1 K) +, α T 1 = us T 1 K) + ds T 1 K) + S T 1 u d) β T 1 = u ds T 1 K) + d us T 1 K) +, ˆr u d) iar valoarea portofoliului la începutul perioadei este unde am notat C T 1 = V T 1 ) = α T 1 S T 1 + β T 1 = ˆr 1 p us T 1 K) + 1 p ) ds T 1 K) +), p := ˆr d u d = 1 + r d u d. Pe intervalul [T 2, T 1] construim portofoliul replicant T 2 = α T 2, β T 2 ), ce va replica funcţia utilitate de la sfârşitul acestei perioade, adică pe C T 1 : α T 2 S T 1 + β T 2ˆr = C T 1 = V T 1 ). Trebuie subliniată, la momentul T 1 proprietatea de autofinanţare a portofoliului dinamic adică nu sunt infuzii sau retrageri de capital la momentele intermediare): α T 2 S T 1 + β T 2ˆr = α T 1 S T 1 + β T 1. Echivalent: { αt 2 us T 2 + β T 2ˆr = CT u 1 α T 2 ds T 2 + β T 2ˆr = CT d 1,

48 Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 44 unde am notat C u T 1 C d T 1 sistem ce are soluţia explicită := p u 1ˆr 2 S T 2 K ) p ) uds T 2 K) +) := p uds T 2 K) 1ˆr p ) d 2 S T 2 K ) ) + α T 2 = Cu T 1 Cd T 1 S T 2 u d) Avem, de asemenea, V T 2 ) = C T 2. şi β T 2 = ucd T 1 dcu T 1. ˆr u d) 4.2 Evaluarea preţului opţiunilor europene Procedura recurentă introdusă în secţiunea precedentă conduce la o formulă explicită a preţului de arbitaj a unei OCE şi, ca o consecinţă imediată, a unei OPE. Acest model de piaţă financiară va fi numit modelul CRR. Pentru început introducem câteva notaţii uzuale, folosite în cele ce urmează. Pentru fiecare m N fixat, definim funcţiile a m : R + N, şi considerăm a m x) := inf{j N : xu j d m j > K} a d := a m dx) şi a u := a m ux). Se observă că, pentru x >, a d = a u sau a d = a u + 1. De asemenea, notăm m x, j) := C j mp j 1 p ) m j u j d m j x K ). Formula de evaluare e preţului unei OCE, precum şi conţinutul pe parcursul fiecărei perioade a portofoliului dinamic replicant asociat sunt date de următorul rezultat. Teorema 4.1. Pentru orice m = 1,..., T, preţul de arbitraj la momentul t = T m pentru o OCE este dat de formula de evaluare CRR: m C T m = S T m Cm j p j 1 p) m j Kˆr m m Cmp j j 1 p ) m j, 4.1) j=a unde a := a m S T m ), p := ˆr d u d, p := p u. La momentul t = T m 1, strategia unică) ˆr replicantă T m 1 = α T m 1, β T m 1 ) este dată de: m α T m 1 = Cm j p j 1 p) m j + δ m us T m 1, au ) şi S T m 1 u d) j=a d β T m 1 = K m ˆr m+1 Cmp j j 1 p ) m j δd m us T m 1, au ), ˆr u d) j=a d unde a d := a m ds T m 1 ), a u := a m us T m 1 ) şi δ = a d a u. Demonstraţie. Un calcul imediat conduce la 1 p = d1 p )/ˆr şi obţinem j=a p j 1 p) m j = p j 1 p ) m j u j d m j /ˆr m.

49 Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 45 Formula 4.1) se rescrie sub forma echivalentă C T m = 1 m ˆr m Cmp j j 1 p ) m j u j d m j S T m K) j=a = 1 m ˆr m Cmp j j 1 p ) m j u j d m j S T m K) +. j= În continuare, demonstraţia se face prin inducţie după m. Pentru m = avem, evident C T = S T K) +. Presupunem acum că C T m este preţul de arbitraj al unei OCE la momentul T m şi construim portofoliul T m 1 = α T m 1, β T m 1 ) pentru perioada [T m 1, T m) astfel încât, la momentul T m el să replicheze valoarea C T m a opţiunii la finalul intervalului: α T m 1 S T m + β T m 1ˆr = C T m. Scriind detaliat, aceasta conduce la sistemul liniar { αt m 1 us T m 1 + β T m 1ˆr = C u T m α T m 1 ds T m 1 + β T m 1ˆr = C d T m, unde am notat CT u m := 1 m ˆr m Cmp j j 1 p ) m j u j+1 d m j S T m 1 K) + j= = 1 m ˆr m Cmp j j 1 p ) m j u j+1 d m j S T m 1 K) j=a u CT d m := 1 m ˆr m Cmp j j 1 p ) m j u j d m j+1 S T m 1 K) + j= = 1 m ˆr m Cmp j j 1 p ) m j u j d m j+1 S T m 1 K) +. j=a d

50 Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 46 Soluţia explicită a acestui sistem este, notând q = 1 p : α T m 1 = Cu T m Cd T m S T m 1 u d) 1 m = ˆr m C u d) mp j j q m j u j+1 d m j u j d m j+1 ) + δ mus T m 1, a u ) S T m 1 u d) j=a d m = Cm j p j 1 p) m j + δ mus T m 1, au ). S T m 1 u d) j=a d β T m 1 = ucd T m dcu T m ˆru d) 1 m = ˆr m+1 C u d) mp j j q m j dk uk) δd mus T m 1, a u ) ˆru d) j=a d = K m ˆr m+1 Cmp j j q m j δd mus T m 1, a u ). ˆru d) j=a d Valoarea portofoliului la momentul T m 1 devine, utilizând formulele deduse, C T m 1 = α T m 1 S T m 1 + β T m 1 = 1 m+1 ˆr m+1 C j m+1 pj q m+1 j u j d m+1 j S T m 1 K) +, j= ceea ce încheie demonstraţia teoremei. 4.3 Proprietatea martingală a modelului CRR Analizăm proprietatea de absenţă a arbitrajului în modelul CRR construind câmpul de probabilitate Ω ca spaţiul canonic al lui S. Pentru T N fixat, fie spaţiul de probabilitate finit Ω := {ω = a 1,..., a T ) : a j {, 1}}, F := P Ω) şi considerăm mulţimea P := {P : Ω, F) R P este măsură de probabilitate}, elementele sale fiind definite astfel: T T P ω) := p j=1 a j 1 p) T j=1 a j, ω Ω şi p, 1) fixat Este clar că fiecare P P este unic determinată de p, 1). Pentru fiecare j = 1, T, fie evenimentele independente, de probabilitate p : A j := {ω Ω a j = 1}. Definim acum variabilele aleatoare independente, identic repartizate ξ j, j = 1, T, ξ j ω) := ua j + d 1 a j ), ω Ω, variabile a căror repartiţie este: Pξ j = u) = p = 1 Pξ j = d). În cele ce urmează arătăm că unica măsură martingală pentru S = S/B aparţine mulţimii P.

51 Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 47 Revenind la modelul CRR, variabila aleatoare S t : Ω, F, P) R, t =, T este dată de: S t+1 = ξ t+1 S t, t < T, cu S >. Considerăm preţul cu discount al activului primar S t := S t B t = S t ˆr t, t T şi notăm cu D S t familia de descompuneri a lui Ω generată de variabila aleatoare S u, u t, adică D S t = D S,..., S t ), u t. În interpretare financiară, DS t reprezintă informaţiile din piaţă accesibile investitorilor la momentul t. Considerăm filtrarea naturală a lui S : F S t := σ D S t ) = σ S,..., S t ) = σ S,..., S t ) = F S t, t T. Definiţia 4.2. O măsură de probabilitate P P se numeşte măsură martingală pentru preţul cu discount al stocului dacă E P S t+1 F S t ) = S t, t < T ) Problema existenţei şi unicităţii unei măsuri martingale pentru preţul cu discount al stocului este complet rezolvată, după cum rezultă şi din rezultatul următor. Teorema 4.3. Există o măsură martingală P pentru S dacă şi numai dacă d < 1 + r < u. În acest caz, măsura martingală P este unicul element din P, care corespunde lui p = p = 1 + r d u d. Demonstraţie. Condiţia 4.2) se rescrie E P ˆr t+1) ξ t+1 S t Ft S ˆr t+1) S t E P ξt+1 Ft S ) = ˆr t S t, t < T 1, adică ) = ˆr t S t, t < T 1, ceea ce conduce la E P ξt+1 Ft S ) = 1 + r = EP ξ t+1 ). Prin urmare variabila aleatoare ξ t+1 este independentă de Ft S sub probabilitatea P, deci este independentă de ξ 1,..., ξ t. Prin inducţie se obţine imediat că variabilele aleatoare ξ 1,..., ξ T sunt independente sub probabilitatea P ). Determinăm repartiţia sub P a variabilei aleatoare ξ t. Avem, pentru orice t = 1, T : cu soluţia În plus, P P şi demonstraţia fiind încheiată E P ξ t ) = up {ξ t = u} + d 1 P {ξ t = u}) = 1 + r, P {ξ t = u} = p = 1 + r d, t = 1, T. u d P P d < 1 + r < u, Am utilizat în demonstraţia anterioară următorul rezultat.

52 Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 48 Lema 4.4. Fie ξ o variabilă aleatoare definită pe câmpul de probabilitate Ω, F, P), astfel încât P ξ = a)+p ξ = b) = 1, pentru a, b R şi G o sub-σ algebră a lui F. Dacă E P ξ G) = E P ξ), atunci ξ este independentă de G. Corolarul 4.5. Preţul stocului S şi preţul cu discount S sunt procese Markov sub măsura martingală P, în raport cu filtrarea F S = F S. Corolarul 4.6. Modelul binomial CRR în piaţa financiară M = S, B, Φ) este fără arbitraj dacă şi numai dacă d < 1 + r < u. Demonstrăm că formula CRR de determinare a preţului opţiunilor de tip european poate fi dedusă, în mod alternativ, prin evaluarea directă a mediei condiţionate, sub măsura martingală P, a funcţiei utilitate supusă discount-ului. Teorema 4.7. Considerăm o OCE, cu data de maturitate T şi preţul de exercitare K, având ca activ suport un stoc al cărui preţ S urmează modelul binomial CRR. Atunci, pentru orice m =,..., T, preţul de arbitraj C T m calculat anterior prin formula 4.1) coincide cu media condiţionată CT m = E P ˆr m S T K) + FT S ) m. 4.3) Demonstraţie. Calculăm formula 4.3) în mod explicit. Avem astfel S T = S T m ξ T m 1...ξ T =: S T m η m, unde S T m este o variabilă aleatoare FT S m măsurabilă şi η m este o variabilă aleatoare independentă de FT S m. Prin urmare, formula 4.3) devine C T m = E P ˆr m S T m η m K) + FT S ) m = EP ˆr m S T m η m K) +). Variabilele aleatoare ξ T m 1,..., ξ T sunt independente şi ceea ce conduce la P ξ j = u) = p = 1 P ξ j = d), m CT m = ˆr m Cmp j j 1 p ) m j S T m u j d m j K ) +. j= u Folosind notaţiile p = p r şi 1 p = 1 p ) d, obţinem reprezentarea ˆr C T m = m j=a C j m S T m p j 1 p) m j Kˆr m p j 1 p ) m j), unde a := a m S T m ) = inf{j N : S T m u j d m j > K}. Observaţia 4.8. Formula 4.3) poate fi rescrisă sub forma C t = B t E P B 1 T S T K) + Ft S ) = Bt E P B 1 T X F t S ), unde X = S T K) +, dar poate fi înlocuită cu orice derivat financiar european. Observaţia 4.9. Formula de paritate put-call ce permite determinarea preţului just al OPE este: C t P t = S t Kˆr T t), t T.

53 Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 49 Demonstraţie. Într-adevăr, πt C T P T ) = E P ˆr T t) S T K) Ft S ), adică C t P t = E P S T ˆr t Ft S ) Kˆr T t), ceea ce conduce la C t P t = S t Kˆr T t). 4.4 Opţiuni americane în modelul CRR Timpi de oprire; înfăşurătoarea Snell a proceselor stochastice O variabilă aleatoare τ : Ω, F, P) {, 1, 2,... } se numeşte timp de oprire stopping time) dacă {τ n} = {ω Ω τω) n} F n, n. Deoarece {τ = n} = {τ n} {τ n 1} şi {τ n} = k n{τ = k}, obţinem următoarea caracterizare echivalentă a timpilor de oprire: {τ = n} F n, n. Spunem că un timp de oprire τ este mărginit dacă există o constantă K astfel încât Pτ K) = 1. Exemplul 4.1. Fie X un proces stochastic adaptat şi ne interesează momentul primei intrări a lui X într-o mulţime B, măsurabilă Borel de regulă B = [c, ) B R ): τ = inf{n X n B}. Avem că {τ n} = k n {X k B} F n şi τ = dacă X nu ajunge în mulţimea B. Variabila aleatoare τ este un timp de oprire. Intuitiv, v.a. τ poate fi interpretată ca momentul în care un jucător se decide să părăsească un joc la care participă. Părăsirea jocului la momentul n depinde, prin urmare, doar de istoricul jocului până la acel moment inclusiv, nu şi de viitor. Teorema 4.1 Principiul lui Doob al timpilor de oprire). Fie τ un timp de oprire mărginit şi X o martingală. Atunci X τ este integrabilă şi EX τ ) = EX ). Demonstraţie. Presupunem τω) K pentru toţi ω, unde K este un întreg şi avem X τω) ω) = X k ω)1 {τω)=k} = k= K X k ω)1 {τω)=k}. k=

54 Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 5 Folosind proprietatea de liniaritate a mediei, proprietatea martingală a lui X, F k -măsurabilitatea lui {τ = k} şi definiţia mediei condiţionate, obţinem [ K ] EX τ ) = E X k 1 {τ=k} = = = E k= K E [ ] X k 1 {τ=k} k= K E [ ] K E X K F k ) 1 {τ=k} = E [ ] X K 1 {τ=k} k= [ k= K ] X K 1 {τ=k} = E X K ) = E X ). k= Definiţia Fie τ un timp de oprire. Sigma algebra F τ considerat este definită în modul următor generată de timpul de oprire F τ = {A F A {τ n} F n, pentru toţi n}. Propoziţia Pentru un timp de oprire τ, F τ este σ-algebră. Demonstraţie. Verificăm proprietăţile σ-algebrei. În mod evident, Ω F τ. De asemenea, pentru A F τ obţinem A c {τ n} = {τ n} A {τ n}) F n, adică A c F τ. Pentru o familie A i F τ, i = 1, 2,...avem ) {τ ) A i n} = A i {τ n} F n, adică i=1 A i F τ. i=1 Propoziţia Fie σ şi τ doi timpi de oprire care verifică σ τ. Atunci F σ F τ. Demonstraţie. Deoarece σ τ avem {τ n} {σ n}. Pentru A F σ obţinem adică A F τ. i=1 A {τ n} = A {σ n}) {τ n} F n, Vom introduce în cele ce urmează noţiunea de înfăşurătoare Snell a unui proces stochastic, un instrument important în evaluarea derivatelor financiare de tip american. Definiţia Dacă X = X n ) N n= este un şir adaptat filtrării F = {F n} n=,n, cu E X n ) < petru toţi n =, N, şirul Z = Z n ) N n= definit prin { ZN := X N Z n := max{x n, E Z n+1 F n )} n N 1) este numit înfăşurătoare Snell a procesului X. Teorema Înfăşurătoarea Snell Z a procesului X este o supramartingală şi este cea mai mică supramartingală care domină procesul X adică pentru care are loc relaţia Z n X n, pentru toţi n).

55 Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 51 Demonstraţie. Pentru început Z n E Z n+1 F n ), deci Z este o supramartingală şi Z n X n pentru toţi n. Considerăm acum Y = Y n ) n o altă supramartingală care domină procesul X. Pentru început, deoarece Z N = X N şi Y domină pe X, rezultă că Y N Z N. Presupunem, inductiv, că Y n Z n şi, deoarece Y este o supramartingală, avem Y n 1 E Y n F n 1 ) E Z n F n 1 ). Cum Y domină pe X, Y n 1 X n 1, şi, combinând relaţiile anterioare, Y n 1 max{x n 1, E Z n F n 1 )} = Z n 1. Repetând argumentul anterior obţinem că Y n Z n pentru toţi întregii n. Exemplul 4.2 Problema ruinării jucătorului). Doi jucători, Păcălă şi Tândală, sunt angajaţi în următorul joc: Păcălă aruncă în mod repetat o monedă ideală. După fiecare aruncare, dacă iese stema, Păcălă plăteşte lui Tândală un Euro, iar dacă iese banul, Tândală plăteşte lui Păcălă aceeaşi sumă. Jocul continuă până când unul dintre jucători rămâne fără bani. Stiind că Păcălă porneşte jocul cu A Euro iar Tândală cu B Euro, să se determine: i) probabilitatea ca atunci când jocul se încheie, Păcălă să aibă întreaga sumă. ii) durata medie aşteptată a jocului. Demonstraţie. Fie X 1, X 2,... şirul de creşteri/descreşteri ale averii lui Păcălă, adică X i = ±1, corespunzător cazului în care la aruncarea numărul i iese stema sau banul. După n aruncări schimbările din averea lui Păcălă sunt date de către variabila aleatoare S n = n X i. i=1 Jocul continuă până la momentul τ, unde τ = min{n S n = +A sau B}.

56 Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein CRR) 52 Se poate demonstra uşor că τ este un timp de oprire relativ la filtrarea naturală F n = σ X 1, X 2,..., X n ). În plus, şirul S n ) n este o martingală relativ la filtrarea naturală. Conform Teoremei de oprire în timp optimal, pentru n <, = ES = ES τ n = A P{τ n şi S τ = A} B P{τ n şi S τ = B} + ES n 1 {τ>n}. Pentru n, P{τ > n}) deoarece, dacă la fiecare moment sunt A+B steme sau ban consecutive, atunci jocul se încheie deoarece unul dintre jucători va fi ruinat. Pentru n suficient de mare, probabilitatea de a nu se întâmpla acest lucru este foarte mică. Acum, deoarece S n trebuie să ia valori cuprinse între A şi -B pentru evenimentul {τ > n} rezultă că ultima medie din formula anterioară converge către pentru n. Prin urmare, = A P{S τ = A} B P{S τ = B}. Deoarece S τ ia valorile A sau -B, cele două probabilităţi anterioare dau suma 1. Prin urmare, rezolvând acest sistem liniar de două ecuaţii cu două necunoscute, obţinem: P{S τ = A} = B A + B, ceea ce finalizează demonstraţia punctului i). Pentru a demonstra punctul ii) utilizăm pentru început tot Teorema de oprire în timp optimal, folosind martingala S 2 n n. Obţinem, pentru n = 1, 2,... de unde E S 2 τ n τ n ) =, Eτ n) = ES 2 τ n = ES 2 τ 1 {τ n} + ES 2 n1 {τ>n}. Cum τ n τ şi Sτ 2 1 {τ n} S τ 2 dominate pentru n, atunci datorită Teoremei convergenţei lim Eτ n) = Eτ şi 4.4) n lim n ES2 τ 1 {τ n} = ES 2 τ = A 2 B A + B = AB. ) ) A + B A + B Deoarece S 2 n este mărginit pe evenimentul {τ > n} şi P{τ > n}) pentru n, atunci ES 2 n1 {τ>n} pentru n, ceea ce conduce la faptul că din 4.4) rezultă că pentru n. Eτ = AB Modelul financiar text

57 Capitolul 5 Modelul Black-Scholes 5.1 Comportamentul asimptotic al modelului Cox-Ross-Rubinstein Determinăm formula de evaluare a preţului opţiunilor în modelul Black-Scholes, prin studierea comportamentului asimptotic al modelului CRR, alegând convenabil şirul de modele binomiale. Fie T > fixat, arbitrar ales şi, pentru fiecare n de forma n = 2 k, considerăm partiţia intervalului [, T ] în n subintervale de lungime n = T/n : I j = [j n, j + 1) n ], j =, n 1. Introducem, pentru început, factorul de acumulare modificat. Pentru aceasta, pe fiecare interval I j vom nota cu r n dobânda instantanee corespunzătoare acestui interval, iar preţul activului fără risc este dat de şirul B n ) n de conturi de economii savings accounts): B n j n = 1 + r n ) j, j =, n. Pentru fiecare n presupunem că preţul stocului S n se poate aprecia pe intervalul I j cu rata u n sau deprecia cu rata d n, putându-se reprezenta prin: S n j+1) n = ξ n j+1s n j n, j =, n 1, unde, pentru întregii fixaţi j şi n, ξj n este o variabilă aleatoare repartizată Bernoulli cu valorile u n şi d n. Putem presupune că pentru fiecare n, variabilele aleatoare independente ξj n, j = 1, n sunt definite pe acelaşi câmp de probabilitate Ω n, F n, P n ) şi P{ξ n j = u n } = p n = 1 P{ξ n j = d n }, j = 1, n, pentru p n, 1). Observaţia 5.1. Pentru a asigura convergenţa modelului CRR la modelul Black-Scholes BS) impunem următoarele condiţii restrictive privitoare la comportamentul asimptotic al cantităţilor r n, u n şi d n : 1 + r n = e r n, u n = e σ n, d n = u 1 n, unde r, σ > sunt constante date. 5.1) Remarcăm că, pentru fiecare n > r 2 σ 2 T avem că d n = u 1 n < 1 + r n < u n, iar modelul CRR S n, B n, Φ n ) este fără arbitraj, pentru n suficient de mare. În plus, prin calcule 53

58 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 54 elementare obţinem: lim p 1 + r n d n,n = lim n n u n d n lim p n = lim n n p,n u n 1 + r n = 1 2. = lim n e r n e σ n e σ n e σ n = 1 2 şi Studiem în continuare comportamentul asimptotic al preţului unei opţiuni de call european atunci când n. Presupunem t = jt/2 k şi considerăm şirul m n t) = n T t), n N, T remarcând că m n t) N pentru n = 2 l suficient de mare. În plus, T t = m n t) n şi lim 1 + r n) mnt) = lim n n e r nmnt) = e rt t). Cantitatea m n t) reprezintă numărul de perioade de tranzacţionare pe intervalul [t, T ] pentru l suficient de mare). Definim, la momentul t, pentru activul cu risc s := S t = S T mnt) n cantitatea { } b n t) = inf j N : su j nd mnt) j n > K. 5.2) Teorema următoare furnizează formula clasică Black-Scholes de evaluare a preţului opţiunilor de vânzare şi de cumpărare europene, instrumentul utilizat fiind comportamentul asimptotic al modelului CRR. Teorema 5.2. Pentru fiecare punct diadic t [, T ] are loc: m nt) lim C j n m nt) j=b nt) { S t p j n q mnt) j n Kˆr mnt) n } p j,nq,n mnt) j = C t, unde q,n = 1 p,n, q n = 1 p n şi C t este dat de formula Black-Scholes: C t = S t N d 1 S t, T t)) Ke rt t) N d 2 S t, T t)), cu d 1 s, t) = ln s/k) + r σ2) t σ, t d 2 s, t) = d 1 s, t) σ t = ln s/k) + r 1 2 σ2) t σ. t Funcţia N este funcţia de repartiţie Gaussiană standard: N x) = 1 2π x e u2 /2 du, x R. Demonstraţie. Fie S t = s valoarea generică a preţului stocului la momentul t. Primul pas constă în demonstrarea faptului că lim m nt) n j=b nt) C j m nt) pj n 1 p n ) mnt) j = N d 1 s, T t)). 5.3)

59 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 55 Observăm iniţial că m nt) j=b nt) C j m nt) pj n 1 p n ) mnt) j = Q {b n t) γ n m n t)}, unde, pentru fiecare întreg n, variabila aleatoare γ n B m n t), p n ) sub măsura de probabilitate Q. Notăm σ n := p n 1 p n ) şi considerăm variabila aleatoare.normalizată γ n = γ n E Q γ n ) V arq γ n ) = ) ςj n p n mnt) γ n m n t) p n mn t) p n 1 p n ) = j=1 σ n mn t) unde ς n j, j = 1,..., n sunt variabile aleatoare independente, identic repartizate B p n) : Q{ς n j = 1}= p n = 1 Q{ς n j = }. Teorema Limită Centrală conduce la convergenţă în repartiţie a şirului de variabile aleatoare { γ n } n N : rep γ n Z N, 1) pentru n. În plus,avem că lim n utilizând 5.2), obţinem m n t) m n t) p n mn t) p n 1 p n ) = lim m n t) p 1 n 1 p n ) = + şi, n, deoarece lim n lnk/s)+m nt)σ n b n t) m n t) p n mn t) p n 1 p n ) = lim 2σ n n mn t) p n 1 p n ) m n t) p n ln K/s) + m n t) σ n 1 2 p n ) = lim n 2σ m n t) n p n 1 p n ) = ln K/s) r σ2) T t) σ T t lim m n t) r n 1 2 p n ) = T t) n σ + σ ). 2 = d 1 s, T t) Convergenţa în repartiţie a şirului de variabile aleatoare { γ n } n N şi relaţia 1 N x) = N x), x R conduce la lim Q {b n t) γ n m n t)} = 1 N d 1 s, T t)) = N d 1 s, T t)), n adică formula 5.3) este demonstrată. Într-o manieră similară se demonstrează că lim m nt) n j=b nt) C j m nt) pj,n 1 p,n ) mnt) j = N d 2 s, T t)). Membrul stâng al egalităţii anterioare se poate scrie sub forma m nt) j=b nt) C j m nt) pj,n 1 p,n ) mnt) j = Q {b n t) γ n m n t)}

60 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 56 unde, pentru fiecare întreg n, variabilele aleatoare γ n B m n t), p,n ) sub probabilitatea Q. Prin calcule asemănătoare cazului anterior obţinem lim n b n t) m n t) p,n mn t) p,n 1 p,n ) = d 2 s, T t) şi lim Q {b n t) γ n n m n t)} = 1 N d 2 s, T t)) = N d 2 s, T t)), demonstraţia fiind în acest moment completă. 5.2 Modelul continuu Black-Scholes Considerăm în cele ce urmează o piaţă financiară perfectă, adică o piaţă în care tranzacţiile au loc continuu în timp, nu sunt restricţii la credite sau depozite, dobânzile sunt egale, şi nu sunt taxe sau costuri la tranzacţionarea activelor financiare. Ca şi în situaţiile anterioare există două active tranzacţionabile în acest model de piaţă financiară, tranzacţiile şi dinamica preţului fiind date în timp continuu. Cele două active sunt caracterizate prin: 1. activul primar fără risc corespunde unui cont de economii savings account, a money market account, a risk-free bond), pentru care dobânda instantanee short-term interest rate) r este constantă pe intervalul [, T ]. Acest activ este continuu compus în timp, dinamica sa fiind guvernată de ecuaţia diferenţială db t = rb t dt, B = 1, cu soluţia explicită B t = e rt, t [, T ]. Considerăm spre exemplu un instrument de trezorerie, nepurtător de dividende zero-coupon bond) cu maturitatea T, al cărui preţ la momentul t [, T ] este B t, T ) = e rt t), t [, T ]. Pentru orice moment T fixat, preţul bond-ului satisface ecuaţia diferenţială db t, T ) = rb t, T ) dt, B, T ) = e rt. 2. activul cu risc underlying stock asset), a cărui evoluţie în timp continuu fiind dată de procesul stochastic S t ) t [,T ] ce satisface ecuaţia diferenţială pe scurt, EDS) liniară: ds t = µs t dt + σs t dw t, S >, 5.4) unde µ > este rata de apreciere a preţului acţiunii, σ > este volatilitatea şi S este preţul iniţial al acţiunii. Ecuaţia anterioară admite o soluţie unică, a cărei formă explicită este dată prin următorul rezultat. Propoziţia 5.3. Ecuaţia 5.4), scrisă sub formă integrală S t = S + µs u du + σs u dw u, t [, T ] admite o soluţie unică dată prin formula S t = S exp σw t + µ 12 ) ) σ2 t, t [, T ]. 5.5)

61 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 57 Demonstraţie. Folosind formula lui Itô se arată că procesul stochastic definit prin 5.5) satisface ecuaţia 5.4). Fie dx t = µ 12 ) σ2 dt + σdw t. Considerând funcţia g : R, g x) = S e x, avem că S t = g X t ) şi ds t = dg X t ) = g X t ) µ 12 ) σ2 dt + g X t ) σdw t g X t ) σ 2 dt = g X t ) µdt + σdw t ) = S t µdt + σdw t ). Unicitatea soluţiei rezultă datorită coeficienţilor Lipschitz ai ecuaţiei 5.4). Observaţia 5.4. Este important de subliniat faptul că F W t = σ {W u : u t} = σ {S u : u t} = F S t, adică filtrarea generată de preţul acţiunilor de stoc coincide cu filtrarea naturală a mişcării Browniene W, adică F S = F W = F. Definim procesul auxiliar M t = exp σw t 1 ) 2 σ2 t, t [, T ] 5.6) şi demonstrăm că el este un caz particular de proces stochastic. Propoziţia 5.5. Procesul M definit anterior este o martingală sub măsura de probabilitate P, în raport cu filtrarea F. Demonstraţie. Observăm că ) E P e σwt Wu) F u = E P e σwt Wu)) ) 1 = exp 2 σ2 t u) deoarece W t W u N, t u). Cum S t = e µt M t, avem, pentru fiecare u t T, E P S t F u ) = E P e µt M t F u ) = e µt M u = S u e µt u). Preţul stocului S este o martingală sub probabilitatea P în raport cu filtrarea F dacă şi numai dacă rata de apreciere µ este. Dacă µ > res. µ < ) atunci E P S t F u ) > S u resp. < S u ), pentru t > u, adică preţul stocului S este o submartingală resp. o supramartingală) sub măsura de probabilitate subiectivă P. 5.3 Strategii de schimb autofinanţante; măsuri martingale pentru o piaţă spot În cele ce urmează vom utiliza tot instrumentul portofoliilor replicante pentru a modela preţul opţiunilor call şi put europene. Ideea avută în vedere vizează asigurarea lipsei oportunităţilor de arbitraj în piaţa financiară considerată. Definiţia 5.6.

62 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 58 Prin strategie de schimb înţelegem o pereche de procese stochastice progresiv măsurabile φ = φ 1, φ 2 ) definite pe spaţiul de probabilitate Ω, F, P). Spunem că o strategie de schimb φ = φ 1, φ 2 ) pe intervalul [, T ] este autofinanţantă dacă valoarea portofoliului satisface condiţia V t φ) = V φ) + V t φ) := φ 1 t S t + φ 2 t B t, t [, T ] φ 1 uds u + φ 2 udb u, t [, T ], prima integrală fiind interpretată în sens Itô, iar a doua în sens Lebesgue. Vom nota cu Φ mulţimea strategiilor autofinanţante, mulţime ce nu coincide cu R 2, după cum se poate observa din modelul de suicid al lui Harrison & Pliska, 1981). În mod uzual, notăm S := S/B preţul cu discount al acţiunilor de stoc şi obţinem că, pentru orice t [, T ], St = S exp σw t + µ r 12 ) ) σ2 t, adică, echivalent, S este soluţia unică a EDS ds t = µ r) S t dt + σs t dw t, S = S, iar proprietatea martingală a lui S sub P poate fi analizată în aceeaşi manieră ca şi în cazul lui S. Definiţia 5.7. O măsură de probabilitate P pe Ω, F), echivalentă cu P, se numeşte măsură martingală pentru S dacă S este o martingală locală sub P. Definiţia 5.8. O măsură de probabilitate P pe Ω, F), echivalentă cu P, se numeşte o măsură martingală spot dacă valoarea cu discount a portofoliului Vt φ) := V t φ) /B t oricărei strategii autofinanţante φ este o martingală locală sub P. Are loc următorul rezultat de caracterizare a măsurilor martingale spot. Lema 5.9. O măsură de probabilitate pe câmpul Ω, F) este o măsură martingală spot dacă şi numai dacă este o măsură martingală pentru S. Demonstraţie. Fie o strategie de schimb φ Φ. Utilizăm formula lui Itô şi obţinem ştim că dbt 1 = rbt 1 dt): dvt = d V t Bt 1 ) = Vt dbt 1 + Bt 1 dv t = φ 1 t S t + φ 2 ) t B t db 1 t + Bt 1 φ 1 t ds t + φ 2 ) t db t = φ 1 t B 1 t ds t + S t db 1 ) = φ 1 t dst, adică V t φ) = V φ) + t φ 1 uds u, t [, T ]. Cum integrala stochastică Itô este o martingală locală obţinem rezultatul dorit.

63 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 59 Lema 5.1. Unica măsură martingală P pentru S este dată de derivata Radon-Nikodym: ) dp dp = exp r µ σ W T 1 r µ) 2 2 σ 2 T, P a.s. Sub această măsură martingală P, preţul cu discount S satisface ecuaţia diferenţială stochastică liniară ds t = σs t dw t, iar procesul W t = W t r µ) σ 1 t, t [, T ] este o mişcare Browniană pe Ω, F, P ). Preţul cu discount S este sub măsura P o martingală strict pozitivă deoarece, pentru orice t [, T ], St = S exp σwt 1 ) 2 σ2 t = SM t, unde M este definit prin 5.6), cu procesul Wiener W înlocuit de W. Preţul stocului la momentul t este deci S t = St B t = S exp σwt + r 12 ) ) σ2 t, adică Este important de subliniat faptul că ds t = rs t dt + σs t dw t, S >. F = F W = F W = F S = F S. Definiţia O strategie φ Φ se numeşte P admisibilă dacă Vt φ) := Bt 1 V t φ) este o martingală sub P. Notăm cu Φ P ) mulţimea strategiilor P admisibile. Tripletul M BS := S, B, Φ P )) este numit modelul de piaţă fără arbitraj Black-Scholes. Următorul rezultat oferă o metodă de calcul a preţului de arbitraj, folosind media condiţionată sub măsura martingală, a oricărui derivat financiar european. Lema Fie X un derivat financiar european, replicabil, cu momentul de maturitate T. La fiecare moment t, preţul său de arbitraj notat cu π t X)), considerat în modelul M BS este dat de π t X) = B t E P B 1 T X F t), t [, T ]. Demonstraţie. Fie φ o strategie admisibilă, replicantă pentru derivatul financiar X. Pentru orice t [, T ], avem, conform lemei 5.9), π t X) B t = Vt φ) = E P VT φ) F t ) = E P B 1 T X F t), adică π t X) = B t E P B 1 T X F t). 5.4 Formula Black-Scholes de evaluare a preţului în timp continuu Vom considera o opţiune de tip call european având ca activ suport un activ primar stoc) S ce nu plăteşte dividende, cu maturitatea T şi preţul de exercitare K. Funcţia de plată şi preţul

64 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 6 opţiunii) la momentul T este, aşa cum se ştie, S T K) +. Fie funcţia c : R +, T ] R definită prin c s, t) := sn d 1 ) Ke rt N d 1 ), 5.7) unde N este funcţia de repartiţie normală standard şi d 1,2 := d 1,2 s, t) = ln s/k) + r ± 1 2 σ2) t σ. 5.8) t Notăm în continuare prin C t preţul de arbitraj arbitrage price, fair price) al unui call european în modelul continuu Black-Scholes. Enunţăm şi demonstrăm în cele ce urmează rezultatul principal al acestei secţiuni. Teorema La fiecare moment t < T, preţul de arbitraj al opţiunii de call european cu maturitatea T şi preţul de exercitare K) este dat de formula C t = c S t, T t), t [, T ], unde funcţia c : R +, T ] R este definită prin formula 5.7). Mai explicit, avem, pentru fiecare t < T, C t = S t N d 1 S t, T t)) KB t, T ) N d 2 S t, T t)), 5.9) cu cantităţile d 1,2 definite prin 5.8). În plus, unica strategie replicantă admisibilă φ = φ 1, φ 2) pentru opţiunea de call european este φ 1 t = c s S t, T t) = N d 1 S t, T t)) şi φ 2 t = e rt c S t, T t) φ 1 t S t ). Demonstraţie. Vom prezenta două metode de demonstraţie: prima metodă se bazează pe determinarea directă a strategiei replicante alături de preţul opţiunii, iar cea de a doua abordare utilizează formula de evaluare în caz de risc neutru; având determinat preţul opţiunii putem obţine apoi portofoliul replicant. Metoda 1. Presupunem că preţul opţiunii, notat cu C t, se poate reprezenta sub forma C t = v S t, t), pentru o funcţie v : R +, T ] R şi că strategia replicantă căutată are forma φ t = φ 1 t, φ 2 t ) = g St, t), h S t, t)), pentru t [, T ], unde g, h : R +, T ] R sunt funcţii necunoscute. Cum strategia φ este autofinanţantă, atunci valoarea portofoliului satisface ecuaţia diferenţială V t φ) = g S t, t) S t + h S t, t) B t = v S t, t) 5.1) dv t φ) = g S t, t) ds t + h S t, t) db t 5.11) = µ r) S t g S t, t) dt + σs t g S t, t) dw t + rv S t, t) dt deoarece din a doua egalitate din 5.1) obţinem că φ 2 t = h S t, t) = B 1 t v S t, t) g S t, t) S t ).

65 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 61 Căutăm în continuare funcţia v din spaţiul C 2,1, ), T )). Aplicăm formula lui Itô şi obţinem dv S t, t) = v t S t, t) + µs t v s S t, t) + 1 ) 2 σ2 St 2 v ss S t, t) dt + σs t v s S t, t) dw t. Împreună cu 5.11) obţinem, aplicând formula lui Itô procesului Y := v S t, t) V t φ), dy t = v t S t, t) + µs t v s S t, t) + 1 ) 2 σ2 St 2 v ss S t, t) dt + σs t v s S t, t) dw t + r µ) S t g S t, t) dt σs t g S t, t) dw t rv S t, t) dt. Dar, conform cu 5.1), dy t = şi, datorită unicităţii descompunerii canonice a semimartingalelor continue, termenul de difuzie din descompunerea anterioară a procesului Y dispare. Aceasta înseamnă că, pentru orice t [, T ], σs u g Su, u) v s S u, u) ) dw u =, t [, T ], sau, echivalent, în virtutea proprietăţilor integralei Itô proprietatea de izometrie), T S 2 u g Su, u) v s S u, u) ) 2 du =, adică e necesar şi suficient ca funcţia g să satisfacă relaţia g s, t) = v s s, t), s, t) R + [, T ]. 5.12) Obţinem, prin urmare, reprezentarea lui Y : { Y t = v t S u, u) + 1 } 2 σ2 Suv 2 ss S u, u) + rs u v s S u, u) rv S u, u) du. Rezultă că procesul Y dispare atunci când funcţia v satisface următoarea ecuaţie cu derivate parţiale, numită şi EDP Black-Scholes: v t s, t) σ2 s 2 v ss s, t) + rsv s s, t) rv s, t) =. 5.13) Cum C T = v S T, T ) = S T K) + impunem şi condiţia terminală v s, T ) = s K) +, pentru s R +. Se verifică, prin calcul direct, că funcţia v s, t) = c s, T t) verifică problema de mai sus. Rămâne doar de justificat că strategia replicantă φ dată de formulele: φ 1 t = g S t, t) = v s S t, t), φ 2 t = h S t, t) = B 1 t v S t, t) g S t, t) S t ), este o strategie admisibilă. Pentru început arătăm că ea este auto-finanţantă. Pentru aceasta, verificăm că dv t φ) = φ 1 t ds t + φ 2 t db t. Deoarece V t φ) = φ 1 t S t + φ 2 t B t = v S t, t), aplicând formula lui Itô obţinem dv t φ) = v s S t, t) ds t σ2 S 2 t v ss S t, t) dt + v t S t, t) dt.

66 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 62 care, utilizând 5.13), devine şi deci dv t φ) = v s S t, t) ds t + rv S t, t) dt rs t v s S t, t) dt dv t φ) = φ 1 t ds t + rb t v S t, t) S t φ 1 t B t dt = φ 1 t ds t + φ 2 t db t, adică strategia construită anterior este auto-finanţantă. Pentru admisibilitatea sa, verificăm că V t φ) = V φ) + v s S u, u) ds u, este o martingală sub măsura martingală P. Prin calcul direct se obţine că pentru fiecare pereche s, t) R + [, T ] şi V t φ) = V φ) + v s s, t) = N d 1 s, T t)) σs u N d 1 S u, T u)) dw u =: V φ) + ζ u dw u, adică V φ) este o P martingală este chiar o martingală de pătrat integrabilă). Egalitatea c s S t, T t) = N d 1 S t, T t)) se verifică prin calcularea directă a derivatei parţiale în raport cu s a funcţiei preţ c. Metoda 2. Punem accent prin această abordare pe evaluarea directă a funcţiei c. Arătăm că derivatul financiar X = S T K) + este replicabil în modelul Black Scholes. Acest lucru rezultă din teorema de reprezentare a martingalelor, combinată cu integrabilitatea, sub probabilitatea P, a variabilei aleatoare X = B 1 T S T K) +. Din teorema de reprezentare rezultă existenţa unui proces predictibil θ astfel încât integrala stochastică V t = V + θ u dw u, t [, T ] este o P martingală continuă, de pătrat integrabilă şi X = B 1 T S T K) + = E P X + T unde am considerat h t := θ t / σs t ). Notăm V t := B t V t θ u dw u = E P X + T h u ds u, şi considerăm strategia dată de φ 1 t = h t, φ 2 t = V t h t S t = B 1 t V t h t S t ). Verificăm că această strategie φ este auto-finanţantă. dv t φ) = d B t Vt ) = B t dvt + rvt B t dt = B t h t dst + rv t dt = B t h t B 1 t ds t rbt 1 S t dt ) + rv t dt = h t ds t + r V t h t S t ) dt = φ 1 t ds t + φ 2 t db t. Este evident faptul că V T φ) = V T = S T K) + şi că φ este strategie admisibilă replicantă pentru derivatul financiar X, deci opţiunea de call european este replicabilă în modelul de piaţă M BS. Evaluăm în cele ce urmează preţul de arbitraj al lui X folosind formula de evaluare la

67 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 63 risc neutru. Deoarece Ft W = Ft S pentru fiecare t [, T ], avem C t = B t E P ST K) + B 1 T F t S ) = c St, T t) 5.14) pentru o funcţie c : R + [, T ] R. Cea de a doua egalitate din relaţia de mai sus are loc invocând proprietatea Markov a procesului stochastic S. Din proprietăţile mediei condiţionate rezultă că E P ST K) + Ft S ) = H St, T t), 5.15) unde funcţia H s, T t) este definită de { ) } H s, T t) = E P se σw T W t )+r σ 2 + /2)T t) K pentru fecare pereche s, t) R + [, T ]. Pentru t = obţinem, din formula 5.14), E P ST K) + B 1 ) T = EP ST B 1 T 1 D) EP KB 1 T 1 D) = J1 J 2, unde D := {S T > K}. Pentru cantităţile J 1 şi J 2 avem estimările ce urmează: J 2 = e rt KP {S T > K} = e rt KP { S exp σw T + r 1/2σ 2 )T ) > K } = e rt KP { σwt < ln S /K) + r 1/2σ 2 )T } { = e rt KP ξ < ln S } /K) + r 1 2 σ2 )T σ T = e rt KN d 2 S, T )) deoarece v.a. ξ = W T / T N, 1) sub măsura martingală P. Pentru a doua integrală obţinem că J 1 = E P ST B 1 T 1 D) = EP ST 1 D ). 5.16) Este convenabil să introducem pe spaţiul Ω, F T ) măsura de probabilitate P, definită prin d P dp = exp σwt 1 ) 2 σ2 T, P -a.s., situaţie în care procesul Wt = Wt σt este o mişcare Browniană pe Ω, F, P ). În plus, ST = S exp σ W T + 1 ) 2 σ2 T, de unde, formula 5.16) devine { J 1 = S P S T > KB 1 } T { = S P S exp σ W T + 1 ) } 2 σ2 T > Ke rt { = S P σ W T < ln S /K) + r + 1 } 2 σ2 )T = S N d 1 S, T )). Concluzionând, obţinem că preţul la momentul al OCE devine C = c S, T ) = S N d 1 S, T )) Ke rt N d 2 S, T )),

68 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 64 unde d 1,2 S, T ) := ln S /K) + r ± 1 2 σ2) T σ T Formula de evaluare pentru fiecare moment < t < T se poate deduce din formula 5.15). Observaţia Se observă că în formula de evaluare Black Scholes nu apare rata de apreciere µ, după cum şi în dinamica lui S sub măsura martingală P nu apare acest coeficient. Acelaşi lucru se întâmplă dacă presupunem că rata de apreciere depinde de timp sau mai mult, este chiar un proces stochastic adaptat filtrării naturale. Ca o consecinţă imediată, rezultatul următor furnizează o metoda directă de calculare a preţului just al opţiunilor de vânzare de tip european. Lema 5.15 Formula de paritate put-call). Preţurile de arbitraj al opţiunilor put şi call europene ce au aceeaşi dată de expirare T şi acelaşi preţ de exercitare K satisfac relaţia pentru fiecare t [, T ]. C t P t = S t Ke rt t) 5.17) Teorema În modelul standard Black Scholes, preţul unui put european cu preţul de exercitare K la momentul de maturitate T este, pentru orice moment t < T, P t = KB t, T ) N d 2 S t, T t)) S t N d 1 S t, T t)). Demonstraţie. Demonstraţia este o consecinţă imediată a formulei 5.9) ce dă preţul unei OCE şi formula de paritate 5.17) pentru pieţe financiare Black Scholes, în timp continuu EDP Black Scholes Extindem în această secţiune procedura de evaluare a preţului de la opţiuni de cumpărare şi vânzare europene la orice tip de derivat financiar de tip european, adică o variabilă aleatoare F T -măsurabilă. În principiu formula Feynman-Kaç, prezentată în continuare, exprimă soluţia unei ecuaţii cu derivate parţiale de tip parabolic drept media condiţionată a unui proces guvernat de o mişcare Browniană. Teorema Fie W o mişcare Browniană 1 dimensională definită pe un câmp de probabilitate Ω, F, P). Pentru o funcţie măsurabilă Borel h : R R, definim funcţia u : R [, T ] R, ) u x, t) = E P e rt t) h W T ) W t = x, x, t) R [, T ]. 5.18) Presupunem că + e ax2 h x) dx < pentru o constantă a >. Funcţia u este definită pentru < T t < 1/2a, x R şi are derivate de orice ordin. În particular, u C2,1 R, T )) şi satisface EDP: u t x, t) = 1 2 u x, t) ru x, t), x, t) R, T ), 2 x2 cu condiţia terminală u x, T ) = h x), x R. Demonstraţie. Vezi Karatzas & Shreve [3].

69 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 65 Rezultatul principal al acestei secţiuni este prezentat în cele ce urmează. Teorema Fie g : R R o funcţie măsurabilă Borel astfel încât variabila aleatoare X = g S T ) este P integrabilă. Atunci, preţul de arbitraj, în modelul de piaţă M BS, al derivatului financiar X cu maturitatea T ) este dat de π t X) = v S t, t), unde funcţia v : R + [, T ] R verifică EDP Black-Scholes: v t σ2 s 2 2 v s 2 + rs v rv =, s, t), ), T ), 5.19) s cu condiţia terminală v s, T ) = g s). Demonstraţie. Obţinem 5.19) din formula de evaluare la risc neutru. Preţul π t X) satisface ) π t X) = E P e rt t) g S T ) Ft S = v S t, t) 5.2) pentru o funcţie v : R + [, T ] R. În plus π t X) = E P e rt t) g f W T, T )) F W t unde f : R [, T ] R este o funcţie strict pozitivă, dată prin f x, t) = S e σx+r σ2 /2)t, x R. ), Notăm u t, x) = E P e rt t) g f W T, T )) W t ) = x. Conform teoremei anterioare, u x, t) satisface ecuaţia cu derivate parţiale u t x, t) = 1 2 u xx x, t) ru x, t), x, t) R, T ), 5.21) cu condiţia terminală u x, T ) = g f x, T )). Din formulele 5.18) şi 5.2) obţinem că Prin urmare, u x, t) = v f x, t), t), x, t) R [, T ]. u t x, t) = v s s, t) f tx, t) + v t s, t), unde am considerat s := fx, t), + ). Mai mult, şi deci u xx, t) = v s s, t) f xx, t) u xxx, t) = v sss, t) f xx, t) ) 2 + v s s, t)f xxx, t). Pe de altă parte, din formula de definire a funcţiei f, avem că ceea ce conduce la f xx, t) = σfx, t), f xxx, t) = σ 2 fx, t), f tx, t) = u tx, t) = s r 1 2 σ2) v ss, t) + v t s, t) u xxx, t) = σ 2 s 2 v sss, t) + σ 2 sv ss, t). r 12 σ2 ) fx, t), Substituind în ecuaţia 5.21) şi rearanjând termenii obţinem EDP Black Scholes 5.19). şi

70 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 66 Modelul studiat poate fi extins pentru situaţii în care dobânda la vedere, respectiv volatilitatea, sunt variable, dar deterministe. De asemenea, el poate fi utilizat şi pentru evaluarea preţului opţiunilor europene ce au active suport care platesc dividende pe perioada de viaţă a derivatului financiar. În acest cadru se pot obţine formule explicite ale preţului dacă dividendele reprezintă un procent cunoscut din preţul activului suport. Deşi modelul de evaluare Black Scholes nu reflectă identic realitatea din pieţele financiare, el este des folosit în practică deoarece permite calcularea cu uşurinţă a preţurilor şi explicitează precis relaţiile dintre varabilele care caracterizează sistemul. Unele voci chiar afirmă că modelul Black-Scholes nu este o reprezentare fidelă a modului de funcţionare a pieţelor financiare, însă, tocmai faptul că toţi cei implicaţi gândesc Black-Scholes le conferă funcţionalitate. Cu toate că în practică indicele de volatilitate ce apare în ecuaţia ce caracterizează dinamica activului primar nu este constant, rezultatele oferite de modelul Black-Scholes sunt frecvent utilizate, ele dovedindu-se eficiente la stabilirea corectă strategiilor de hedging ce permit minimizarea expunerii la risc a investitorilor. Instrumentele esenţiale utilizate pentru evitarea expunerii la risc risk management) sunt prezentate în secţiunea următoare. 5.6 Indici de senzitivitate ai modelului Black-Scholes Indicii de senzitivitate the Greeks) sunt instrumente importante pentru managementul riscului. Fiecare indice este o măsură a senzitivităţii portofoliului investitorului la mici variaţii ale unor parametri ai activelor primare. Indicii modelului Black-Scholes sunt uşor de calculat, ei fiind utili în special celor care sunt implicaţi în contracte ce tranzacţionează derivate financiare, dându-le astfel posibilitatea să-si protejeze contra riscului din piaţă portofoliile. Principalii indici folosiţi pentru hedging sunt: delta, theta, vega măsoară modificări generate de momentul de maturitate şi volatilitate), rho măsoară senzitivitatea la fluctuaţiile dobânzilor), gamma măsoară senzitivitatea preţului opţiunilor în raport cu modificarea preţului activului de bază). Prezentăm în cele ce urmează câteva elemente descriptive ce caracterizează indicii prezentaţi anterior. 1. Delta = v ) S Indicele măsoară rata de schimb a valorii opţiunii în raport cu modificarea preţului activului de baza. Chiar dacă delta va avea valori situate între şi 1 pentru un long call sau/şi un short call) şi între şi 1 pentru un long put sau/şi un short put) aceste valori sunt rareori prezentate ca procente ale numărului de acţiuni ce fac obiectul contractului de tranzacţionare. Suma între valorile absolute ale indicilor delta ai unui call şi un put european ce au acelaşi activ suport negrevat de dividende, acelaşi moment de maturitate şi acelaşi preţ de exercitare) este egală cu Vega ν = v ) σ Indicele ν măsoară senzitivitatea la volatilitate activului suport al opţiunii. El este exprimat în mod uzual drept suma de bani pe unitatea de acţiune de activ suport) pe care valoarea opţiunii o câştigă sau o pierde atunci când volatilitatea creşte sau scade cu 1%. Acest indice este important de urmărit de către trader-ul opţiunii, în special în pieţe financiare foarte volatile deoarece strategiile de tranzacţionare pot fi gestionate pentru neexpunerea la risc a investitorului prin intermediul acestui instrument. 3. Theta θ = v ) t Indicele θ măsoară senzitivitatea valorii derivatului financiar pe parcursul trecerii timpului time decay). Valoarea sa este, de obicei, reprezentată sub forma valoare/an. În mod

71 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 67 uzual se divizează rezultatul la numărul de zile din an pentru a se ajunge la suma pe unitatea de activ suport pe care opţiunea o pierde pe zi. Theta este întotdeauna negativ pentru un long call/put şi pozitiv pentru un short call/put. 4. Rho ρ = v ) r Indicele ρ măsoară senzitivitatea valorii opţiunii la modificări ale dobânzilor la vedere ale activului fără risc din piaţă. În marea majoritate a situaţiilor valoarea derivatului financiar este puţin sensibilă la aceste modificări, ceea ce face ca acest indice se senzitivitate să nu fie unul prea des utilizat. Rho se exprima prin suma pe unitatea de activ suport pe care preţul opţiunii o câştigă sau o pierde atunci când obânda la vedere pentru activul sigur creşte sau scade cu 1%. 5. Gamma Γ = ) S = 2 v S 2 Indicele Γ măsoară rata de modificare a indicelui în raport cu schimbările de preţ ale activului suport. Gamma este un instrument important deoarece atunci când un trader doreşte să realizeze un delta-hedging eficient pentru un portofoliu el încearcă să anuleze indicele gamma al acestuia. În acest fel se asigură că strategia de protecţie la risc va fi eficientă pentru o varietate mare de schimbări ale preţului activului suport al derivatului financiar. Tabelele de mai jos oferă formulele explicite ale indicilor de senzitivitate, în funcţie de: preţul activului suport S, preţul de exercitare K, dobânda la vedere spot) r, dividendele anuale q plătite de activul suport şi volatilitatea σ. Opţiune call europeană Valoare e qt t) SNd 1 ) e rt t) KNd 2 ) Delta e qt t) Nd 1 ) Vega Se qt t) Nd 1 ) T t Theta e qt t) SNd 1)σ 2 T t rke rt t) Nd 2 ) + qse qt t) Nd 1 ) Rho KT t)e rt t) Nd 2 ) Gamma e qt t) Nd 1 ) Sσ T t Opţiune put europeană Valoare e rt t) KN d 2 ) e qt t) SN d 1 ) Delta e qt t) N d 1 ) Vega Ke rt t) Nd 2 ) T t Theta e qt t) SNd 1)σ 2 T t + rke rt t) N d 2 ) qse qt t) N d 1 ) Rho KT t)e rt t) N d 2 ) Gamma e qt t) Nd 1 ) Sσ T t

72 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 68 Exemplul 5.1. Codul Matlab prezentat de funcţia VisualizeGreeks următoare calculează şi reprezintă grafic evoluţia indicilor de senzitivitate anteriori pentru un call european cu preţul de exercitare K = 5 şi momentul de maturitatea T [, 5]. În fereastra ce se deschide la lansarea programului se poate selecta vizualizarea evoluţiei fiecăruia dintre cei cinci indici de senzitivitate. Posibilităţile de reprezentare sunt de tip Suprataţă Fig.1 - Fig.5), Reţea şi Reprezentare 2D. Programul furnizează valorile indicilor de senzitivitate, valori ce pot fi vizualizate în Fig.1 - Fig.5. Fig.1 - Indicele. Fig.2 - Indicele ν. Fig.3 - Indicele θ.

73 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 69

74 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 7

75 Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 71 Fig.4 - Indicele ρ. Fig.5 - Indicele Γ.

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

1.7 Mişcarea Browniană

1.7 Mişcarea Browniană CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 43 1.7 Mişcarea Browniană Mişcarea Browniană a fost pentru prima dată observată de către botanistul scoţian Robert Brown în 1828, când a observat

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de Teoria. Chapter Spaţiu de probabilitate

Elemente de Teoria. Chapter Spaţiu de probabilitate Chapter 1 Elemente de Teoria Probabilităţilor 1.1 Spaţiu de probabilitate Pentru a defini conceptul de spaţiu de probabilitate, vom considera un experiment, al carui rezultat nu se poate preciza cu siguranţă

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis 3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

prin egalizarea histogramei

prin egalizarea histogramei Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy). TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

3 Distribuţii discrete clasice

3 Distribuţii discrete clasice 3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

1 Formula Black-Scholes

1 Formula Black-Scholes Formula Black-Scholes. Modele de creştere (investiţii bancare, creşterea populaţiei, etc) Unul din cele mai simple modele de creştere este cel al creşterii exponenţiale. În acest model, notând cu cantitatea

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Teorema lui Peano de existenţă

Teorema lui Peano de existenţă Universitatea Alexandru Ioan Cuza Lucrare de licenţă Teorema lui Peano de existenţă locală Student: Cosmin Burtea Coordonator ştiinţific: Prof. Ioan I.Vrabie 2 Prefaţă Lucrarea de faţă tratează problema

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE

Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Noţiunea de derivată, elementul fundamental al calculului diferenţial, are o deosebită importanţă în studiul matematic al mărimilor variabile. Problemele principale care

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα