Un rezultat de descompunere pentru o clasa de distributii omogene

Transcript

1 Un rezultat de descompunere pentru o clasa de distributii omogene Ingrid Beltiţă si Anders Melin Raport pentru contractul CEx-18 MDDS, faza octombrie 27 Introducere Consideram operatorii Schrödinger H v = v, unde v L q comp(r n ), q > n. In acest caz, operatorii de unda W ± = lim e t ± eithv ith exista si sunt completi completi si se poate defini matricea de scattering. Transformarea de backscattering v Bv pe care o consideram este, in afara unui termen neted dat de functiile proprii ale operatorului H v, transformata Fourier a partii antidiagonale a matricii de scattering (datele de backscattering). Atunci, daca v C (R n ), aplicatia λ B(λv) C (R n ) este intreaga analitica si exista operatorii N-liniari B N definiti pe C (R n ) cu valori in C (R n ) astfel incat B(λv) = λ N B N (v), 1 unde B N (v) = B N (v,, v). S-a aratat ca B N v este mult mai regulat decat v in cazul in care N este mare ([M3]). Mai precis, daca n 3 este impar, q > n, k N, atunci exista N suficient de mare, depinzand doar de n, q si k astfel incat daca Ω 1, Ω 2 sunt multimi deschise in R N, exista C = C(k, Ω 1, Ω 2, q) astfel incat k B N v L2 (Ω 1) C N v N L q/n!, pentru orice v L q cu supp v Ω 2 si pentru orice N N. Ramane deci de studiat ce se intampla cu termenii de ordin N mic, si de asemenea pentru v care nu are neaparat suport compact. Ne propunem sa stabilim estimari in spatii L 2 -Sobolev cu pondere pentru B N in dimensiuni impare arbitrare, iar dupa cum arata teorema de mai sus, un bun inceput este studiul termenilor de ordin mic. Cazul N = 2 face obiectul unui alt articol. Prezentul proiect isi propune obtinerea unor estimari in cazul N = 3. Fie E(y, z) = 4 1 (iπ) 1 n δ (n 2) ( y 2 z 2 ) solutia unica a operatorului ultra-hiperbolic y z care satisface: E(y, z) = E(z, y), iar E(y, z) este invarianta la rotatii separat in ambele variabile (a se vedea Corollary 1.2 of [M4]). 1

2 Pentru 1 j < k 3 definim E (j,k) (x 1, x 2, x 3 ) = E 2 (x j, x k ) δ(x l ), unde {j, k, l} = {1, 2, 3}. Cum E 2 (x, y) este suportata pe multimea unde x = y se vede ca putem defini: E 3 = E (1,2) (E (1,3) E (2,3) ). Aceasta este o distributie omogena de ordin 3n + 4 cu suportul in multimea {(x 1, x 2, x 3 ) x 3 = x 1 + x 2 }. Se poate atunci arata ca (B 3 v)(x) = E 3 (x 1, x 2, x 3 )v(x 1 2 (x 1 + x 2 + x 3 )) v(x 1 2 ( x 1 + x 2 + x 3 ))v(x 1 2 (x 1 x 2 + x 3 )) dx 1 dx 2 dx 3 cand v C (R n ), unde integrala este interpretata in sensul distributiilor. Prezentul raport prezinta rezultate de teoria distributiilor care sunt utilizate pentru a studia in detaliu distributia E 3. In prima sectiune este introdusa o clasa de distributii pentru care se demonstreaza un rezultat de uniciate care generalizeaza intr-un anumit sens distributiile omogene. Mai precis, daca X este o submultime din R m care este o reuniune de subspatii ale lui R m, este introdusa o conditie de regularitate in raport cu aceasta multime X astfel incat o distribuite definita pe R m \X care satisface aceasta conditie se poate extinde in mod unic la R m. Un caz particular il constituie X = {} si distributiile omogene de ordin a > m. Al doilea rezultat continut in acest raport este o descompunere a unei clase de distributii omogene intr-o integrala de distributii ale caror suport poate fi controlat cu usurinta. Acesta este un pas tehnic in demonstrarea estimarilor in spatii Sobolev cu pondere, care inlocuieste o buna partitie a unitatii, si care permite controlul cresterilor in timp ce sunt estimate singularitatile. Primul rezultat prezentat mai sus arata ca distribuitia E 3 este o combinatie liniara de forma ϑ j 3 ( x 1 k+1 n x 2 l+1 n x 3 k l Y 1 ( x 3 x 1 x 2 ) (.1) unde j k + l + (n 1)/2, k, l (n 1)/2 Y 1 (s) = s cand s si Y 1 (s) = cand s <, iar ϑ 3 = x 3, x3. Descompunerea prezentata in sectiunea 3 permite obtinerea unei forme mai simple pentru partea din B 3 v corespunzatoare fiecarui termen din (.1). Cateva notatii. Fie n 2 intreg. Notam si definim Ṙ n = R n \ Ω = Ṙn Ṙn Ṙn. Vom folosi de asemenea notatia x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3n unde x j R n, j = 1, 2, 3, si ˆx = x/ x cand x R n. De asemenea ϑ = x, x, iar eventualii indici arata variabila in care este aplicat acest operator. 2

3 1 Un rezultat de unicitate pentru distributii Fie V un spatiu liniar real m-dimensional impreuna cu o submultime X V care este o reuniune finita de subspatii. Vom introduce o conditie pentru u D (V ) astfel incat u este unic determinata de restrictia sa la V \ X. O situatie tipica este aceea cand V = R m si X = {}. Atunci, daca u este omogena de grad a, unde a nu este un intreg m, stim ca u este unic determinata de restrictia sa la V \ X. Un subspatiu liniar Y continut in X se numeste maximal pentru X daca Y nu este continut strict in nici un alt subspatiu liniar propriu al lui X. in X. Fie X 1,..., X N subspatiile liniare maximale ale lui V. (Daca X este reuniunea finita ale subspatiilor liniare Y k atunci subspatiile X j se gasesc printre Y k. Aceasta deoarece orice subpatiu liniar Y continut in X satisface Y = k (Y Y k ) deci Y trebuie sa fie continut intr-un Y k pentru un anume k.) Daca L este un camp vectorial pe V, spunem ca L este tangential la X daca L(v) ia valori in X j ori de cate ori v X j. Daca L este neted aceasta conditie nu inseamna altceva decat ca L este tangential, in sensul obisnuit, la orice v V pentru care X este o subvarietate neteda a lui V intr-o vecinatate a lui v. Spatiul L(V ) al aplicatiilor liniare pe V poate fi vazut ca spatiul campurilor vectoriale pe V ale caror coeficienti sunt forme liniare pe V. Daca A L(V ) este privit ca operator diferential si f C (V ), avem Af(v) = d dt f(v + tav) t=. Observam ca A L(V ) este tangential la X daca si numai daca subspatiile X j sunt subspatii invariante pentru A. Spatiul acestor A L(V ) este notat L X (V ). Consideram A X (V ) subalgebra algebrei Weyl A(V ) generata de 1 si L X (V ). Fie Π j : V V/X j proiectiile canonice si D j imaginea lui C (V/X j ) prin aplicatia f f Π j. Notam cu C(X) (V ) (sau D X (V )) subinelul fara unitate al lui C (V ) generat de D j. Intrucat aplicatiile Π j sunt liniare, rezulta ca spatiile D j, si deci si C (X) (V ), sunt invariante la dilatari. Lema 1.1. Exista f C(X) (V ) and supp(g) V \ X astfel incat 1 = f + g. Mai mult, A X (V )C(X) (V ) C (X)(V ). Dem. Alegem χ j C (V/X j ) astfel incat χ j = 1 intr-o vecinatate a lui si definim f j = χ j Π j, g j = 1 f j. Atunci N 1 = (f j + g j ) = f + g, 1 unde f C (X) (V ) iar g = g j are suport in complementara multimii X. Aceasta demonstreaza prima parte a lemei. Consideram A L X (V ). Daca A j : V/X j V/X j este aplicatia indusa de A, atunci Π j A = A j Π j, iar daca A si A j sunt priviti ca operatori diferenţiali, rezulta ca A(ϕ Π j ) = (A j ϕ) Π j cand ϕ C (V/X j ). Aceasta demonstreaza ca spaţiile D j sunt invariante la L X (V ), deci la A X (V ). Aplicari repetate ale formulei lui Leibniz arata atunci ca D X (V ) este invariant la A X (V ). Definitie. O distributie u D (V ) se numeste X-regulata (in origine) daca pentru orie f D X (V ) avem ca f(v/ε)u in D (V ) cand ε. 3

4 Lema 1.2. Daca u D (V ) este X-regulata in origine, atunci Qu este de asemenea X regulata in origine pentru orice Q A X (V ). In plus, daca u L 1 loc (V ), atunci u este X-regulata in origine. Dem. Notam f ε (v) = f(v/ε) pentru f C (V ) si observam ca (Af) ε = Af ε, unde A L(V ) este din nou privit ca operator diferential. Presupunem ca f D (X) (V ), A L X (V ) si scriem f ε (Au) = A(f ε u) (Af) ε u, unde u D (V ) este X-regulata in origine. Intrucat Af D (X) (V ), din lema 1.1 rezulta ca termenul din partea dreapta a egalitatii de mai sus tinde la in D (V ) cand ε. Deci Au este X-regulata in origine. Cum A X (V ) este generata de L X (V ), am demonstrat prima afirmatie din teorema. Cea de-a doua afirmatie rezulta din teorema Lebesgue de convergenta dominata, intrucat din f D X (V ) rezulta ca f este marginita si f(v/ε) a.p.t cand ε. Este usor de verificat ca daca X = {} iar u D (V ) este omogena de grad a > m, atunci u este X-regulata in origine. Pentru distributiile X-regulate putem demostra urmatorul rezultat de uniciate. Propozitie 1.3. Presupunem ca u D (V ) este X-regulata in origine si ca suportul sau este continut in X. Atunci u =. Dem. Vom folosi notatia din demostratia lemei precedente. Din lema 1.1 rezulta ca putem scrie 1 = f +g unde f D X (V ) si supp(g) V \ X. Atunci g ε u =, deci ceea ce incheie demonstratia. u = lim ε (f ε u + g ε u) = lim ε f ε u =, 2 O clasa de distributii omogene Consideram X = { x = (x 1, x 2, x 3 ) R n R n R n ; x 1 x 2 x 3 = }. (2.1) Atunci X este reuniunea subspatiilor X j = {x j = }, j = 1, 2, 3, care sunt subspatii maximale in X. Cu aceasta notatie avem Ω = (R n R n R n ) \ X. Pentru a 1, a 2, a 3 intregi si 1 p, notam prin Ha p 1,a 2,a 3 spatiul tuturor functiilor f(x 1, x 2, x 3 ) definite pe Ω astfel incat f este omogena de grad a j in variabila x j, j = 1, 2, 3, si f L p loc (Ω). Pentru µ intreg definim { Y (µ) Y + (x)x µ /( µ)! daca µ + (x) = δ (µ 1) (x) daca µ 1 si consideram u(x 1, x 2, x 3 ) = f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) (2.2) unde f H p a 1,a 2,a 3. In coordonate polare r j, ω j pentru x j distributia u are forma f(ω 1, ω 2, ω 3 )r a1+n 1 1 r a2+n 1 2 r a3+n 1 3 Y (µ) + (r 3 r 1 r 2 ), deci putem privi u ca si produsul tensorial al unei distributii in variabilele r j cu o distributie in variabilele ω j. Astfel u este bine definita pe Ω. 4

5 Lema 2.1. Presupunem ca a 1 + n >, a 2 + n >, a 1 + a 2 + a 3 + 3n > µ. (2.3) Atunci u se extinde in mod unic la o distributie X-regulata in R n R n R n. Dem. Unicitatea rezulta din propozitia 1.3. Presupunem intai ca µ. Intrucat r a1+n 1 1 r a2+n 1 2 r a3+n 1 3 (r 3 r 1 r 2 ) µ dr 1 dr 2 dr 3 r 1,r 2 r 3 R C 1 C 2 r 1,r 2 r 3 R R r a1+n 1 1 r a2+n 1 2 r a3+n 1 µ 3 dr 1 dr 2 dr 3 r a1+a2+a3+3n 1 µ 3 dr 3 C 3 R a1+a2+a3+3n µ cand R >, introducand coordonate polare si folosind omogeneitatea lui f, deducem ca u se extinde la o fuunctie local integrabila pe R n R n R n si deci la o distributie X-regulata. Pentru µ rationam prin inductie. Presupunem ca µ 1 si ca lema a fost demonstrata pentru valori mai mici ale lui µ. Scriem u = (ϑ a 3 )w, unde w(x 1, x 2, x 3 ) = g(x 1, x 2, x 3 )Y (µ 1), si g(x 1, x 2, x 3 ) = f(x 1, x 2, x 3 )/ x 3 satisface aceleasi conditii de omogenitate ca si f cu a 3 si µ inlocuite de a 3 1 si µ 1. Din ipoteza de inductie rezulta ca w se extinde la o distribuite X-regulata w definita pe tot spatiul si ca ũ = (ϑ c) w este extensia corespunzatoare a lui u. Aceasta extensie este X-regulata conform lemei 1.2. In ceea ce urmeaza, daca f H p a 1,a 2,a 3 si (2.3) este satisfacuta, vom nota f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) si extensia X-regulata a distributiei definita initial doar pe Ω. Definitie. Fie 1 p si µ, a 1, a 2, a 3 intregi astfel incat are loc (2.3). Spatiul Ha p,µ 1,a 2,a 3 toate distributiile in R n R n R n de forma unde f H p a 1,a 2,a 3. f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) consta din ca Presupunem ca µ, a j, b j, j = 1, 2, 3 sunt intregi si ca µ, b 1, b 2, b 3 satisfac (2.3). Presupunem in plus a 1 + b 1 + n >, a 2 + b 2 + n >, a 1 + a 2 + a 3 + b 1 + b 2 + b 3 + 3n > µ. 5

6 Fie 1 p, q astfel incat 1/p + 1/q = 1/r 1. Consideram u = g(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) unde g H q b 1,b 2,b 3. Daca f Ha p 1,a 2,a 3 vom nota cu fu unica distributie X-regulata care este egala cu f(x 1, x 2, x 3 )g(x 1, x 2, x 3 )Y pe Ω. In acest mod obtinem o aplicatie biliniara Avem de asemenea si aplicatiile liniare Ha p 1,a 2,a 3 H q,µ b 1,b 2,b 3 H r,µ a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3. (2.4) ϑ k a k : Ha p,µ 1,a 2,a 3 H p,µ+1 b 1,b 2,b 3, b j = a j + δ jk. (2.5) 3 Tehnici de descompunere pentru distributii din H p,µ a 1,a 2,a 3 Lema 3.1. Exista Ψ C (R n R n ) astfel incat 1/2 x j 2 pe suportul acestei functii, Ψ(x 1, x 2 ) este invarianta la rotatii separat in x 1 si x 2 si Dem. Observam mai intai ca si Ψ( x 1 tθ, x 2 t(1 θ) ) dt t dθ θ(1 θ) = 1 cand x 1, x 2. (3.1) ( x 1 + x 2 )/2 t 2( x 1 + x 2 ), x 1 4( x 1 + x 2 ) θ 1 x 2 4( x 1 + x 2 ) pe suportul integrandului din (3.1). Deci pentru orice multime compacta K din Ṙn Ṙn exista o multime compacta K R + (, 1) astfel incat suportul integrandului din (3.1) este continut in K cand (x 1, x 2 ) K. Alegem o functie Ψ in C (Ṙn Ṙn ), Ψ, cu suportul continut in multimea pe care 1/2 x j 2 si asftel incat Ψ depinde doar de x 1 si x 2. Definim Φ(x 1, x 2 ) = t 1 Ψ (x 1 /t, x 2 /t) dt. Atunci Φ C ((R n R n ) \ ) este omogena de grad and x 1 /4 x 2 4 x 1 pe suportul acesteia. Astfel Φ(x 1, x 2 ) = h( x 1 / x 2 ) cand x 2, unde h C (R) este suportata in intervalul (1/4, 4). Presupunem acum ca x 1, x 2 si punem ρ = x 1 / x 2. Atunci = 1 h(ρ 1 θ dθ ) θ θ(1 θ) = = Astfel (3.1) este adevarata pentru Ψ = Ψ /c. Ψ ( x 1 tθ, x 2 t(1 θ) ) dt t 1 h(ρs) ds s = h(ρ(1/θ 1)) dθ θ(1 θ) h(s) ds s = c >. 1 d(1 1/θ) 1/θ 1 6

7 Presupunem a 1 + n >, a 2 + n >, a 1 + a 2 + a 3 + 3n > µ, (3.2) unde a 1, a 2, a 3 si µ sunt intregi. Consideram si fie Ψ C (R n R n ) o functie ca in lema precedenta. Definim cand t > si < θ < 1. u p>1 H p,µ a 1,a 2,a 3 (3.3) ũ t,θ (x 1, x 2, x 3 ) = t 1 θ 1 (1 θ) 1 Ψ( x 1 tθ, x 2 t(1 θ) )u(x 1, x 2, x 3 ) (3.4) Lema 3.2. Presupunem ca (3.2) si(3.3) sunt adevarate. Atunci exista p (1, ) si L, N nenegative astfel incat ũ t,θ = ϑ j 3ũt,θ,j, < t, < θ < 1, j L unde x 3 N ũ t,θ,j L p (R n R n R n ) si x 3 N ũ t,θ,j L p dt dθ <, j L. (3.5) Mai mult x 1 + x 2 x 3 pe suportul lui ũ t,θ,j. Dem. Avem u(x 1, x 2, x 3 ) = f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) unde f H p a 1,a 2,a 3. Putem presupune p suficient de aproape de 1 pentru a garanta ca n + pa 1 >, n + pa 2 >, 3n + p(a 1 + a 2 + a 3 ) > µ. (3.6) Vom folosi aceeasi litera C pentru a nota diferite constante care depind numai de u. Presupunem intai ca µ =. Atunci, eventual inlocuind p cu un numar mai mic, daca este necesar, putem presupune ca pa 3 + n. Atunci ũ t,θ este o functie local integrabila astfel incat ũ t,θ (x 1, x 2, x 3 ) Ct 1 θ 1 (1 θ) 1 χ( x 1 tθ )χ( x 2 t(1 θ) ) f(x 1, x 2, x 3 ) Y, unde χ desemneaza functia caracteristica a inelului 1/2 x 2. Alegem N > astfel incat Cum x 3 t/2 pe suportul lui ũ t,θ, rezulta ca N > a 3 + n, N > 3n + a 1 + a 2 + a 3. (3.7) x 3 N ũ t,θ p L p Ct p θ p (1 θ) p γ p (t, θ) x 3 pa3 x 3 pn dx 3, (3.8) x 3 >t/2 7

8 unde Daca t > 1, din (3.7) rezulta ca γ p (t, θ) = x 3 >t/2 x 1 pa1 x 2 pa2 χ( x 1 tθ )χ( x 2 t(1 θ) ) dx 1dx 2 C(tθ) n+pa1 (t(1 θ)) n+pa2. (3.9) x 3 pa3 x 3 pn dx 3 Ct p(a3 N)+n, (3.1) in timp ce daca t < 1 atunci Din (3.8) (3.1) se deduce ca x 3 >t/2 x 3 pn x 3 pa3 dx 3 C(1 + t pa3+n ). (3.11) x 3 N ũ t,θ L p Ct 1 θ 1 (1 θ) 1 (tθ) n/p+a1 (t(1 θ)) n/p+a2 t a3 N+n/p Aceasta inegalitate, impreuna cu (3.6) si (3.7), arata ca x 3 N ũ t,θ L p dt dθ <. (1, ) (,1) Daca t < 1 din (3.8), (3.9) si (3.11) rezulta ca x 3 N ũ t,θ L p Ct 1 θ 1 (1 θ) 1 (tθ) n/p+a1 (t(1 θ)) n/p+a2 (1 + t a3+n/p ), iar atunci (3.6) implica x 3 N ũ t,θ L p dt dθ <. (,1) (,1) Aceasta demonstreaza lema in cazul µ =. Daca µ <, u se poate scrie ca o combinatie liniara de distributii de forma u j,k,l = f j,k,l (x 1, x 2, x 3 )Y unde f j,k,l (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 j x 2 k x 3 l f(x 1, x 2, x 3 ) iar j, k, l sunt intregi nenegativi satisfacand j + k + l = µ. Atunci u j,k,l H p, a 1+j,a 2+k,a 3+l, unde p poate fi ales arbitrar de aproape de 1. Intrucat a 1 + j + n >, a 2 + k + n >, a 1 + a 2 + a 3 + j + k + l + 3n > din prima parte a demonstratiei rezulta ca ũ t,θ satisface (3.5) daca N este destul de mare. 8

9 In final, consideram cazul µ >. Observam ca f(x 1, x 2, x 3 )Y = (ϑ a 3 ) x 3 1 f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ 1) daca f Ha p 1,a 2,a 3 si µ >. Aici am folosit faptul ca distributiile din ambii membrii ai egalitatii de mai sus sunt X-regulate. Avem asftel Ha p,µ 1,a 2,a 3 ϑ 3 H p,µ 1 a + 1,a 2,a 3 1 Hp,µ 1 a. 1,a 2,a 3 1 Cazul µ > se reduce la cazul µ = prin iterarea incluziunii de mai sus. Teorema 3.3. Presupunem ca (3.2), (3.3) sunt satisfacute si definim ũ t,θ prin (3.4), unde Ψ satisface conditiile lemei 3.1. Atunci ϕ, u = ϕ, ũ t,θ dt dθ, ϕ C (R n R n R n ). (3.12) Dem. Din lemm 3.2 rezulta ca integrala din partea dreapta a egalitatii (3.12) este o integrala convergenta si defineste o distributie U actionand pe φ. Din aceeasi lema este de asemenea clar ca putem scrie U = k L ϑk 3U k, unde U k sunt functii local integrabile. Rezulta (din lemma 1.2) ca U este X-regulata. Intrucat u este de asemena X-regulata, conform lemei 2.1, este suficiet sa demonstram ca ϕ, U = ϕ, u pentru ϕ suportata in Ω. Insa pentru astfel de ϕ avem ϕ, U = ϕ t,θ, u dt dθ, unde ϕ t,θ (x 1, x 2, x 3 ) = t 1 θ 1 (1 θ) 1 Ψ( x 1 tθ, x 2 t(1 θ) )ϕ(x 1, x 2, x 3 ). Ca o simpla consecinta a observatiilor de la inceputul demonstratiei lemei 3.1 vedem ca in integrala de mai sus putem integra intai in raport cu t si θ, iar apoi aplica distributia u. Teorema rezulta imediat tinand cont si de (3.1) Daca t > vom folosi notatia ϕ t (y) = ϕ(ty), cand ϕ L 1 loc (RM ), pentru un M >. Corolar 3.4. Fie a 1, a 2, a 3 si µ intregi satisfacand (3.2). Consideram u(x 1, x 2, x 3 ) = f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) unde f Ha p 1,a 2,a 3 pentru un p (1, ]. Atunci exista o functie ψ C (R n R n ) cu suportul in multimea unde 1/2 x j 2, j = 1, 2, si astfel incat ϕ, u = t 3n µ+a1+a2+a3 1 θ n+a1 1 (1 θ) n+a2 1 ϕ t, u(θ) dθ dt (3.13) pentru ϕ C (R n R n R n ). Aici u(θ) D (R n R n R n ) este definita prin ϕ, u(θ) = Y (µ) + ( x 3 θ x 1 (1 θ) x 2 ) x 3 a3 ψ(x 1, x 2 ) f(ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3 )ϕ(θx 1, (1 θ)x 2, x 3 ) dx 1 dx 2 dx 3. (3.14) Integrala din (3.14) trebuie considerata in sensul distributiilor. 9

10 Dem. Corolarul rezulta imediat din teorema precedenta. Intr-adevar, pentru ϕ C (R n R n R n ) scriem ϕ, ũ t,θ = ϕ, ũ t,θ T t,θ T 1 t,θ, unde T t,θ (x 1, x 2, x 3 ) = (tθx 1, t(1 θ)x 2, tx 3 ). Astfel Observam intai ca Din omogeneitatea lui f si Y (µ) + rezulta ca ϕ, ũ t,θ = θ n (1 θ) n t 3n ϕ T t,θ, ũ t,θ T t,θ. (3.15) (ϕ T t,θ )(x 1, x 2, x 3 ) = ϕ t (θx 1, (1 θ)x 2, x 3 ). (ũ t,θ T t,θ )(x 1, x 2, x 3 ) = θ a1 1 (1 θ) a2 1 t a1+a2+a3 µ 1 ψ(x 1, x 2) x 3 a3 f(ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3 )Y (µ) + ( x 3 θ x 1 (1 θ) x 2 ), unde ψ(x 1, x 2 ) = x 1 a1 x 2 a2 Ψ(x 1, x 2 ), iar Ψ este o functie ca in lema 3.1. Am obtinut astfel ca ϕ, ũ t,θ = t 3n µ+a1+a2+a3 1 θ n+a1 1 (1 θ) n+a2 1 ϕ t, u(θ), cu u(θ) ca (3.14). Aceasta incheie demonstratia corolarului. References [BM] [H1] [M4] [M3] I. Beltita, A. Melin, Multilinear integral singular operators in backscattering. In Proceedings of the Conference on Mathematical Modelling of Wave Phenomena 25, Växjö, AIP Conference Proceedings 834, pp , 26. L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators I, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, A. Melin, Some transforms in potential scattering in odd dimension. Contemporary Mathematics 344, 24, A. Melin, Smoothness of higher order terms in backscattering. In Wave phenomena and asymptotic analysis, RIMS Kokyuroku 1315 (23),