4. decembra decembra 2003 Teria grafov 1
|
|
- Δάμων Μακρής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 1 9. Teória grafov Definícia. Obyčajný graf G je dvojica (V, E), kde V je množina vrcholov grafu G, E množina hrán grafu G je podmnožinou množiny ( V 2). ( ) V E = {e e V, e = 2}. 2 Grafy, ktoré budeme uvažovať budú konečné, t.j. V, E <. Pre n N označujeme K n úplny graf na n vrcholoch (t.j. n vrcholov a všetky možné hrany). Definícia. Dva grafy G = (V, E) a G = (V, E ) sú izomorfné G = G, ak existuje vzájomne jednoznačné priradenie (izomorfizmus) f : V V tak, že platí: {u, v} E {f(u), f(v)} E. Počet neizomorfných grafov. Na danej n-prvkovej množine V je práve 2 (n 2) rôznych grafov, pretože E je podmožina ( V 2). Grafov, ktoré sú neizomorfné je podstatne menej. Napríklad pre n = 3 existuje 8 grafov, z toho sú len 4 neizomorfné. Určiť presne počet neizomorfných grafov je pomerne ťažké, jednoduchou úvahou ale môžeme dostať aspoň dobré odhady: horný 2 (n 2) a dolný 2 2) (n n! vyplýva z faktu, koľko maximálne grafov na n prvkovej množine môže byť izomorfných s daným grafom. Tvrdíme, že táto funkcia nerastie o mnoho pomalšie než 2 (n 2). Aby sme sa o tom presvedčili, zlogaritmujme obe funkcie a trochu ich upravme: log 2 [2 (n 2) ] ( ) ( n = = n2 1 1 ), 2 2 n ( ) 2 2) (n n log 2 = log n! 2 2 n! n2 2 n 2 n log 2 n ( = n n 2 log ) 2 n. n Vidíme, že pre veľké n sa logaritmy oboch funkcií chovajú ako n2 2. Práve uvedená úvaha je pozoruhodná tým, že sme len ukázali existenciu veľkého množstva neizomorfných grafov, ale žiadne také grafy sme nezostrojili. Zostrojiť (popísať explicitnú konštruckiu) mnoho neizomorfných grafov nie je tak jednoduché. Definícia. Nech G = (V, E) je obyčajný graf. Stupeň vrcholu v v grafe G je definovaný: d G v = {e v e E}. (Niekedy budeme dolný index G vynechávať, ak bude z kontextu jasné, v ktorom grafe stupeň definujeme.)
2 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 2 Lema. V konečnom grafe G s n vrcholmi v 1,..., v n V (G) platí: n d G (v i ) = 2 E. i=1 Dôkaz. Zrejme každá hrana prispieva k dvom vrcholom. Dôsledok. V konečnom obyčajnom grafe je počet vrcholov nepárneho stupňa párne číslo. Nemôže existovať graf, ktorý by obsahoval jediný vrchol nepárneho stupňa. Definícia. Nech G = (V, E) je obyčajný graf. Súbor (d G (v), v V ), sa nazýva skóre grafu G. Dve skóre považujeme za rovnaké, ak jedno môžeme dostať z druhého preusporiadaním čísiel, t.j. skóre nezávisí na zvolenom poradí vrcholov. Je vidieť, že dva izomorfné grafy majú rovnaké skóre. Na druhej strane, grafy s rovnakým skóre ešte nemusia byť nevyhnutne izomorfné. Veta (V. Havla). Nech D = (d 1,..., d n ) je postupnosť prirodzených čísel, d 1 d 2 d n. Označme D postupnosť (d 1, d 2,..., d n 1), kde: { d di, pre i < n d n, i = d i 1, pre i n d n. Potom D je skóre grafu práve keď D je skóre grafu. Dôkaz. Predpokladajme, že D je skóre grafu G = (V, E ), kde V = {v 1,..., v n 1 } a d G (v i) = d i. Zvoľme nový vrchol v n rôzny od v 1,..., v n 1 a definujme nový graf G = (V, E), kde V = V {v n }, E = E {{v i, v n }; i {n d n, n d n + 1,..., n 1}}. Zrejme skóre grafu G je práve D. Predpokladajme, že D je skóre nejakého grafu. Uvažujme množinu G všetkých grafov na množine vrcholov {v 1,..., v n } so skóre D v ktorých je stupeň každého vrcholu v i rovný d i. Predpokladajme, že máme dokázanú nasledujúcu lemičku: Lemička. V množine G existuje graf G 0, v ktorom je vrchol v n spojený práve s poslednými d n vrcholmi, t.j. v n dn, v n dn +1,..., v n 1. Potom je už vec jednoduchá. Zoberieme graf G = ({v 1,..., v n 1 }, E ), kde E = {e e E(G 0 ); v n / e}, ktorý má zrejme skóre D, čím je dôkaz hotový.
3 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 3 Dôkaz lemičky. Ak d n = n 1, t.j. vrchol v n je spojený so všetkými vrcholmi v 1,..., v n 1, vyhovuje lemičke ľubovoľný graf z G a sme hotoví. Ináč, t.j. pokiaľ v n nie je spojený so všetkými ostatnými vrcholmi, definujme pre každý graf G G číslo j(g), čo bude najväčší index {1, 2,..., n 1} taký, že {v j, v n } / E(G). Buď G 0 graf, pre ktorý je j(g) najmenšie možné; dokážeme, že j(g 0 ) = n d n 1, z čoho je už zrejmé, že G 0 vyhovuje pomocnému tvrdeniu. Predpokladajme teda pre spor, že j = j(g 0 ) > n d n 1. Vrchol v n musí byť spojený s d n vrcholmi, a z nich najviac d n 1 môže nasledovať po vrchole v j. Preto existuje nejaké i < j také, že v i je spojený s vrcholom v n. Máme teda {v j, v n } / E(G 0 ), {v i, v n } E(G 0 ). Vzhľadom k tomu, že d G0 (v i ) d G0 (v j ), existuje nejaký vrchol v k, ktorý je spojený hranou s v j, ale nie s v i. V takomto prípade uvážime nový graf G = (V (G 0 ), E ), kde E = (E(G 0 ) \ {{v i, v n }, {v j, v k }}) {{v j, v n }, {v i, v k }}. Je zrejmé, že graf G má tiež skóre D a pritom j(g ) j(g 0 ) 1, čo je spor s voľbou grafu G 0. Tým je lemička dokázaná. Príklad Ak máme o nejakej postupnosti (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5) rozhodnúť, či je skóre grafu, podľa predchádzajúcej vety táto postupnosť je skóre keď (1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4) je skóre nejakého grafu (1, 1, 1, 0, 0, 1, 2) (0, 0, 1, 1, 1, 1, 2) (preusporiadnie čísel) (0, 0, 1, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 1, 1) (preusporidanie čísel) (0, 0, 0, 0, 0). O poslednej postupnosti už vieme určite prehlásiť, že je skóre nejakého grafu (izolovaných 5 vrcholov). Iným problémom je konštrukcia grafu so zadaným skóre. Táto sa dá realizovať postupným pridávaním vrcholu a hrán podľa predchádzajúcej vety. Eulerovské grafy Definícia. G = (V, E) je obyčajný graf. Postupnosť [v 0, e 1, v 1, e 2,..., e n, v n ] v grafe G, kde e i = {v i 1, v i } E, 1 i n sa nazýva sled dĺžky n z v 0 do v n. Ak e i e j, pre i j, hovoríme o ťahu. Ak v i v j, hovoríme o ceste. Ak v 0 = v n, hovoríme o uzavretom ťahu. Cesta, pre ktorú v 0 = v n nazývame kružnicou. Definícia. Graf G = (V, E) je eulerovský, ak v ňom existuje uzavretý ťah obsahujúci všetky hrany a vrcholy grafu G. Veta 1. Obyčajný graf G = (V, E) je eulerovský práve vtedy, keď je súvislý a stupeň každého vrcholu v G je párne číslo. Dôkaz. Zrejmé. Uvažujme v G ťah T := [v 0, e 1,..., e m, v m ], ktorý má maximálnu dĺžku. Dokážeme, že: (i) v 0 = v m,
4 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 4 (ii) {e i, i = 1, 2,..., m} = E. (i) Ak by v 0 v m, potom ťah môžme určite predĺžiť, lebo stupne vrcholov v 0 a v m sú párne, ale v ťahu T nepárne. (ii) Predpokladajme teda, že v 0 = v m. Definujme pomocný graf G = (V, E ), kde V je množina všetkých vrcholov v ťahu T a E množina jeho hrán. Nech najskôr V V. Vďaka súvislosti grafu G existuje hrana tvaru e = {v k, v } E, kde v k V a v / V. V tomto prípade ťah [v k, e k+1, v k+1,..., v m 1, e m, v 0, e 1, v 1,..., e k, v k, e, v ] má dĺžku m + 1 a vedie teda k sporu. Ak V = V a E = E, uvažujme hranu e E \ E, kde e = {v k, v l }. Podobne ako v predchádzajúcom prípade vedie ťah k sporu. [v k, e k+1, v k+1,..., v m 1, e m, v 0, e 1, v 1,..., e k, v k, e, v l ] Ak budeme v grafe G hľadať otvorený ťah obsahujúci všetky vrcholy a hrany (t.j. bez podmienky skončiť v tom istom vrchole, ako sme začali), potom nasledujúca veta podáva úplnu charakterizáciu: Veta 2. V obyčajnom grafe G existuje otvorený ťah obsahujúci všetky vrcholy a hrany práve vtedy, keď je súvislý a má práve dva vrcholy nepárneho stupňa. Dôkaz vety 1 dáva aj návod na nejaký algoritmus na kreslenie grafov jedným ťahom. Neformálny popis: Začneme v ľubovoľnom vrchole v a obťahujeme v ľubovoľnom poradí za sebou idúce hrany. Ak skončíme opäť vo vrchole v a neobtiahli sme ešte všetky hrany, neobtiahnuté hrany tvoria graf s komponentami so všetkými vrcholmi párneho stupňa. Vyberme ľubovoľný komponent, ktorý nech je prilepený k prvému uzavretému ťahu v nejakom vrchole ṽ. Prvý ťah teda rozšírime vo vrchole ṽ o nejaký uzavretý ťah. Rekurzívnym opakovaním uvedenej myšlienky nakoniec nakreslíme celý graf jedným ťahom. Iný algoritmus na kreslenie grafu jedným ťahom: Nech G = (V, E) je súvislý graf (G rôzny od K 1 ) s 0 (prípad (i)) alebo 2 (prípad (ii)) vrcholmi nepárneho stupňa, ostatné vrcholy sú párneho stupňa. Krok 1. V prípade (i) zvoľ v 0 V ľubovoľne, v prípade (ii) nech v 0 je ľubovoľný vrchol nepárneho stupňa. Položme T 0 = v 0. Krok 2. Opakuj nasledujúci krok 3 pre i = 0, 1, 2,..., pokiaľ je to možné. Pokiaľ už krok 3 nie je možné previesť, T je hľadaný ťah. Krok 3. (Predľženie ťahu.) Nech T i = [v 0, e 1, v 1,..., e i, v i ] je už definovaný ťah. Zvoľ hranu e i+1 E \ {e 1, e 2,..., e i } obsahujúcu vrchol v i. Pokiaľ je to možné, zvoľ e i+1 naviac tak, aby grafy (V, E \ {e 1,..., e i }) a (V, E \ {e 1,..., e i, e i+1 }) mali rovnaký počet komponentov súvislosti. Dôkaz správnosti algoritmu. Nech G je čo do počtu hrán najmenší protipríklad taký, že uvedený algoritmus vráti ťah, ktorý neprechádza všetkými hranami. Zrejme G je rôzne od K 2.
5 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 5 Označme T = [v 0, e 1, v 1,..., e k, v k ] výsledok uvedeného algoritmu aplikovaného na graf G. Označme G = G \ {e 1 }. Ak G \ {e 1 } je nesúvislý graf, potom zrejme d G (v 0 ) = 1 a položme G = G \ {v 0 }. G je zrejme súvislý graf rôzny od K 1 a môžme naň aplikovať algoritmus na kreslenie jedným ťahom. V G sú buď všetky vrcholy párneho stupňa alebo G obsahuje práve dva vrcholy nepárneho stupňa, z ktorých jeden je v 1. Ak G má všetky vrcholy párneho stupňa, potom podľa predpokladov existuje ťah T v grafe G, ktorý začína a končí vo vrchole v 1 a prechádza všetkými hranami. Potom [v 0, e 1 ] T tvorí hľadaný ťah v G. Ak G má práve dva vrcholy nepárneho stupňa, potom jeden z nich je v 1 a podľa predpokladov existuje ťah T v grafe G, ktorý začína vo vrchole v 1 a prechádza všetkými hranami. Potom [v 0, e 1 ] T tvorí hľadaný ťah v G. V oboch prípadoch teda v grafe G existuje ťah prechádzajúci všetkými hranami, spor. Aplikácia: Prechody bludiskom Úloha na prechod bludiskom znamená prejsť každou chodbou bludiska aspoň raz a skončiť na mieste, kde sme začali. Každému bludisku zodpovedá graf L: na križovatky a konce slepých ulíc dáme vrcholy, dva vrcholy spojíme hranou, ak existuje medzi nimi v labyrinte priama cesta. Ak každú hranu v grafe L zdvojíme, dostaneme eulerovský graf. Podľa predchádzajúcej teórie (jednoducho zovšeobecnenej aj na grafy s viacnásobnými hranami) existuje v L uzavretý ťah obsahujúci všetky hrany. T.j. musí existovať prechod bludiskom, pričom po každej hrane prejdeme dvakrát (v rôznych smeroch). Ak máme k dispozícii plánik bludiska, ľahko bludiskom na základe predchádzajúceho algoritmu pre eulerovské grafy prejdeme. Realita je však horšia. Máme k dispozícii len niť! Pochodujme teda podľa nasledovného algoritmu a ťaháme stále za sebou niť: Algoritmus ťažkopádny, ale určite správny: (1) Ak prídeme na križovatku, z ktorej vedie chodba, cez ktorú ešte nie je pretiahnutá niť, pustíme sa ľubovoľnou takou chodbou. (2) Ak prídeme na križovatku, z ktorej vedú len chodby s pretiahnutou niťou, vrátime sa späť rovnakou cestou, ako sme prišli (to nám umožní niť), až na najbližšiu križovatku, z ktorej vedie chodba bez nite a tam pokračujeme. (Pri návrate samozrejme niť nezmotávame, ale stále ju za sebou rozvíjame.) (3) Ak sa vrátime na začiatok nite k vchodu a zistíme, že všetkými chodbami, ktoré odtiaľ vychádzajú, je niť už pretiahnutá, znamená to, že sme už prešli celým bludiskom a skončíme. Tento algoritmus predovšetkým zaručuje, že nás dovedie naspäť k vchodu do bludiska. Bludisko má totiž len konečný počet hrán a tak nemôžeme donekonečna nachádzať hrany, ktorými sme ešte neprešli. Od poslednej takej hrany, na ktorú narazíme, sa potom podľa pravidla (2) už len vraciame naspäť k vchodu, kde sme začali. Ďalej je zrejmé, že sme prešli všetky hrany bludiska. Keby zostali hrany, ktorými sme neprešli, vzhľadom na súvislosť bludiska by z niektorého vrcholu, ktorým sme prechádzali vychádzala hrana, ktoru sme neprešli. Týmto vrcholom by sme však prechádzali
6 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 6 pri spomenutom návrate a porušili by sme tak pravidlo (1), ktorá dáva prednosť takejto hrane. Všimnime si ešte, že ak prechádzame nejakou hranou druhýkrát, tak sa vraciame a nezanechávame nijaké odbočky, ktoré by sme neprešli. To je bezprostredný dôsledok (1) a (2) a potvrdzuje správnosť pravidla (3). Skúsme vylepšiť predchádzajúci algoritmus a odstrániť zbytočné návraty. Sú to práve tie, na začiatku ktorých vstupujeme do hrany, ktorú sme už dvakrát prešli. Ak nás vedie niť naspäť do takejto hrany, tak tam nevstúpime, ale prehmatneme na druhú niť, ktorá odtiaľ vychádza a ďalej sa vraciame podľa nej. Efektívnejší algoritmus na prechod bludiskom: (1) Z vrcholu, z ktorého vychádza chodba bez nite, ideme takouto chodbou. (2) Z vrcholu, z ktorého vedú len chodby s pretiahnutou niťou, vrátime sa späť k najbližšiemu vrcholu, z ktorého vychádza chodba bez nite, a tou sa pustíme. Pri návrate vynechávame chodby s dvoma niťami - namiesto prechodu cez ne zmeníme niť, ktorá nás vedie. (3) Vo vrchole, z ktorého vychádzajú iba chodby s dvoma niťami, skončíme. Je to východ z bludiska, ktorého každou chodbou sme prešli práve dvakrát a to v opačných smeroch. Niť zabezpečuje v každom vrchole aby sme z neho odišli práve po tej hrane, ktorou sme do neho prvýkrát prišli. Ak sa vyzbrojíme namiesto nite kriedou, môžeme prejsť bludiskom podľa inej verzie predchádzajúceho algoritmu: Kriedový algoritmus na prechod bludiskom: Na začiatku každej chodby, ktorou prechádzame, napíšeme na podlahu písmeno Z, a na koniec písmeno K. Ak sa ocitneme na nejakej križovatke prvýkrát (okrem práve napísaného K tam určite nijaké písmená nie sú), dáme práve napísané K do štvorca. Na križovatkách volíme chodbu, ktorou budeme pokračovať, podľa nasledujúcej priority: 1. neoznačenú, 2. označenú K, 3. označenú K. Do chodieb označených Z alebo ZK nevstupujeme. Ak sa ocitneme na križovatke, z ktorej nevedie chodba nijakého z týchto troch typov, sú všetky chodby, ktoré sem ústia, označené ZK, sme pri vchode a prešli sme všetkými chodbami bludiska práve dvakrát, a to v každom smere raz. Hamiltonovské grafy Definícia. Graf sa nazýva hamiltonovský, ak v ňom existuje kružnica prechádzajúca všetkými vrcholmi (hamiltonovská). Názov pochádza od írskeho matematika a fyzika Williama Rovana Hamiltona ( ). Bol autorom hlavolamu úlohou ktorého bolo obísť po hranách vrcholy pravidelného dvanásťstena.
7 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 7 Na prvý pohľad sa hamiltonovské grafy zdajú byť obdobou eulerovských, nie je to však zďaleka pravda. Nie je známa nijaká jednoduchá a postačujúca podmienka na to, aby bol graf hamiltonovský. Rozhodnúť, či graf je hamiltonovský je NP-úplny problém (to znamená treba prešetriť všetky možnosti). Je však známych mnoho postačujúcich podmienok na hamiltonovskosť. Veta (Dirac, 1952). Nech G je graf, V = n, n 3. Ak má každý vrchol stupeň aspoň n 2, tak graf je hamiltonský. Veta (Ore, 1960). Nech G je graf, V = n, n 3. Ak pre každú dvojicu vrcholov, ktoré nie sú spojené hranou súčet ich stupňov je aspoň n, tak G je hamiltonovský. Dôkaz. Dôkaz od Lajosa Pósa, keď mal asi 15 rokov... Ukážeme, že ak G nie je hamiltonovský, potom existuje dvojica vrcholov u, v V (G) nespojených hranou a takých, že d G (u) + d G (v) < n. Pridávajme ku grafu G hranu po hrane (ľubovoľne) kým nedostaneme hamiltonovský graf. (To sa nám určite raz podarí, lebo úplny graf je hamiltonovský.) Ak sme naposledy pridali hranu {u, v}, znovu ju odstránime. Dostaneme tak graf G, v ktorom síce nie je hamiltonovská kružnica, ale je v ňom (hamiltonovská) cesta, ktorá vychádza z vrcholu u, končí vo vrchole v a prechádza všetkými vrcholmi grafu G každým práve raz. Ak je x ľubovoľný vrchol, ktorý je v grafe G spojený hranou s vrcholom u, tak vrchol y, ktorý na spomenutej ceste bezprostredne predchádza vrcholu x, nemôže byť v grafe G spojený hranou s vrcholom v. Potom by totiž v grafe G bola hamiltonovská kružnica u y v x u. Ak je teda k stupeň vrcholu u, nemôže byť vrchol v v grafe G spojený hranou prinajmenšom z k z n 1 ostatných vrcholov, teda stupeň vrcholu v je najviac n k 1. Súčet stupňov vrcholov u, v v grafe G je potom najviac n 1. Pritom graf G vznikol z grafu G pridávaním hrán, takže v grafe G nie je stupeň nijakého vrcholu väčší ako v grafe G. Veta (Pósa). Nech G je graf, V = n a predpokladajme, že n 3. Ak pre každé prirodzené číslo k < n 2 je počet vrcholov, ktorých stupeň neprevyšuje k, menší ako k, tak je graf hamiltonovský. Diracova podmienka vylučuje vrcholy menšieho stupňa ako n 2 (n = V ), Pósova podmienka také vrcholy pripúšťa s tým, že obmedzuje ich počet. Ak si zoberieme ako graf samostatnú kružnicu s n vrcholmi, takýto graf je zrejme hamiltonovský a pritom nespĺňa žiadnu podmienku. Pósova veta udáva v istom zmysle najsilnejší možný výsledok. Ak je dané n, n 4 a p N ľubovoľné spĺňa nerovnosť 1 p < n 2, potom graf K p+1 spojený s K n p jedinou hranou je príkladom grafu, ktorý spĺňa podmienky Pósovej vety až na jediný prípad (existuje aspoň p vrcholov stupňa p) a pritom nie je hamiltonovský. Vo vetách nechýba predpoklad súvislosti grafu, pretože každý hamiltonovský graf je zrejme súvislý. Iný pohľad na definíciu hamiltonovského grafu: G je hamiltonovský, ak existuje poradie vrcholov (v 1,..., v n+1 ) také, že vzd G (v i, v i+1 ) = 1 pre i = 1,..., n a v n+1 = v 1. To vedie k nasledujúcej definícii:
8 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 8 Definícia. Graf G je k-hamiltonovský, ak existuje k N a poradie všetkých vrcholov v 1,..., v n grafu G spĺňajúce podmienku: pre i = 1,..., n a v n+1 = v 1. vzd G (v i, v i+1 ) k, Veta. Každý súvislý graf je 3-hamiltonovský. Dôkaz. Tvrdenie stačí dokázať pre stromy (viď nasledujúcu lemu), lebo ak G je súvislý graf, T jeho kostra, potom zrejme platí, že ak T je 3-hamiltonovský, je aj graf G 3- hamiltonovský. Lema. Nech T = (V, E), V = n je strom, {u, v} E. Potom existuje poradie vrcholov u = v 1, v 2,..., v n+1 = v spĺňajúce rovnosť vzd T (v i, v i+1 ) 3, i {1,..., n}. Dôkaz. Lemu dokážeme matematickou indukciou podľa počtu vrcholov. Pre n 3 je lema zrejmá. Strom T \ {u, v} sa rozpadne na komponenty súvislosti, označme T u a T v jeho komponenty súvislosti (prípadne i jednovrcholové), u T u a v T v. Zvoľme u V (T u ) tak, že {u, u } E. (Prípadne u = u.) Analogicky zvoľme v V (T v ) tak, že {v, v } E. (Prípadne v = v.) Na T u a T v použijeme indukčný predpoklad a dostaneme usporiadania vrcholov: u, x 1,..., x r, u pre T u v, y 1,..., y s, v pre T v. Potom u, x 1,..., x r, u, v, y 1,..., y s, v je poradie vrcholov stromu T, ktoré spĺňa podmienku vzd T (x, y) 3 pre každé dva po sebe idúce členy. Súvislosť grafu Definícia. Nech G = (V, E) je súvislý graf. Množinu A: A V nazývame vrcholovým rezom grafu G, ak graf (V \ A, {e e E, e A = }) je nesúvislý. A E nazývame hranovým rezom grafu G, ak graf (V, E \ A) je nesúvislý. Definícia. Minimálna veľkosť hranového rezu sa nazýva hranová súvislosť grafu G, označujeme k E (G). Graf sa nazýva k-hranovo súvislý, ak k k E (G). Minimálna veľkosť vrcholového rezu sa nazýva vrcholová súvislosť grafu G, označujeme k V (G). Graf sa nazýva k-vrcholovo súvislý, ak k k V (G).
9 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 9 Zrejme k V (G) = k E (G) = 0 pre nesúvislé grafy. k E (G) = k V (G) = 1 pre stromy a k E (G) = 2 pre kružnicu. Dodefinujeme k E (K n ) = k V (K n ) = n 1. Veta. Pre každý graf G = (V, E) platí: k V (G) k E (G) min v V d G(v) 2 E V. Dôkaz. Prvá nerovnosť: Ak k E (G) = 0, potom zrejme aj k V (G) = 0. Ak k E (G) = 1, potom G obsahuje most {u, v} a buď G = K 2 alebo určite aspoň jeden z grafov G \ u alebo G \ v je nesúvislý. To znamená, že k V (G) = 1. Nech teda k E (G) > 1 a Ẽ je hranový rez grafu G minimálnej veľkosti. Zvoľme e 0 Ẽ a pre každú hranu e Ẽ\{e 0} zvoľme vrchol u e e\e 0. Ak graf G 0 = G\{u e e Ẽ\{e 0}} je nesúvislý, potom kv < ke. V opačnom prípade je e 0 mostom v grafe G 0. Buď teda G 0 = K2 (a teda k V (G) = k E (G)) alebo ak pridáme k množine {u e e Ẽ \ e 0} jeden z vrcholov hrany e 0 dostaneme nesúvislý graf. Druhá a tretia nerovnosť sú zrejmé. Veta (Mengerova). Graf G = (V, E) je vrcholovo k-súvislý práve vtedy, keď medzi ľubovoľnými dvoma vrcholmi u, v V existuje aspoň k vrcholovo disjunktných ciest. Platí analógia aj pre hranovú súvislosť. Lema. Graf G = (V, E) je vrcholovo 2-súvislý práve vtedy, keď pre každé dva vrcholy u, v V existuje kružnica v G, ktorá ich obsahuje. Dôkaz. Vynechaním ľubovoľného vrchola bude ešte vždy existovať aspoň jedna cesta medzi vrcholmi u a v, G je teda 2-súvislý. Existenciu spoločnej kružnice pre vrcholy u a v dokážeme indukciou podľa vzd G (u, v). Ak vzd G (u, v) = 1, to znamená, že {u, v} = e E(G). Vďaka 2-súvislosti G je G \ e tiež súvislý. Preto existuje v grafe G \ e cesta z u do v a tá spolu s hranou e tvorí kružnicu obsahujúcu u a v. Predpokladajme teraz pre nejaké k 2, že každá dvojica vrcholov so vzdialenosťou menšou ako k ležia na spoločnej kružnici a uvážme dva vrcholy u, v V vo vzdialenosti k. Nech P = (u = v 0, e 1, v 1,..., e k, v k = v) je cesta najkratšej dĺžky z u do v. Nakoľko vzd G (u, v k 1 ) = k 1, existuje kružnica obsahujúca u a v k 1. Táto kružnica je tvorená dvoma cestami P 1 a P 2 z u do v k 1. Uvážme teraz graf G\v k 1. Ten je súvislý, a teda v ňom existuje cesta P z vrcholu u do vrcholu v. Táto cesta teda neobsahuje vrchol v k 1. Uvážme posledný vrchol na ceste P (smerom od vrcholu v) ležiaci na niektorej z ciest P 1, P 2 a označme ho w. Predpokladajme (bunv), že w je vrcholom cesty P 1. Potom hľadaná kružnica obsahujúca vrcholy v a u bude tvorená cestou P 2, úsekom cesty P 1 medzi u a w, a úsekom cesty P medzi w a v.
10 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 10 Definícia. Nech G = (V, E) je graf. Pre e E, e = {u, v} je definovaná operácia delenia hrany nasledovne: G%e = (V, E ), kde V = V {w}, w / V E = (E \ {e}) ({w, v}, {u, w}). Veta (ušatá). Graf G je 2-súvislý (vrcholovo) práve vtedy, ak G je možné vytvoriť z K 3 postupným vykonávaním operácie delenia a pridania hrany. Kreslenie grafu, rovinné grafy Definícia. Oblúk o je podmnožina roviny tvaru o = γ([0, 1]) = {γ(x); x [0, 1]}, kde γ : [0, 1] R 2 je nejaké prosté spojité zobrazenie uzavretého intervalu [0, 1] do roviny. Pritom body γ(0) a γ(1) sa volajú koncové body oblúku o. Nakreslením grafu G = (V, E) rozumieme priradenie, ktoré každému vrcholu v v grafe G priraďuje bod b(v) roviny, a každej hrane e = {v, v } E priraďuje oblúk o(e) v rovine s koncovými bodmi b(v) a b(v ). Pritom predpokladáme, že zobrazenie b je prosté (rôznym vrcholom zodpovedajú rôzne body), a oblúk o(e) neobsahuje žiadny z bodov zodpovedajúcich množine V okrem koncových bodov b(v) a b(v ). Graf spolu s nejakým nakreslením nazývame topologický graf. Nakreslenie grafu G = (V, E) v ktorom oblúky zodpovedajúce rôznym hranám majú spoločné nanajvýš koncové body, sa nazýva rovinné nakreslenie. Graf G je rovinný, ak existuje aspoň jedno jeho rovinné nakreslenie. Graf je možné nakresliť v rovine bez toho aby sa jeho hrany pretínali, práve vtedy keď ho môžeme nakresliť na guľu bez toho aby sa hrany pretínali. To je zrejmé, keď použijeme stereografickú projekciu: guľu umiestnime v trojrozmernom priestore tak, aby sa dotýkala uvažovanej roviny ρ a označíme o bod gule najvzdialenejší od roviny ρ (tzv. severný pól). Potom stereografická projekcia priraďuje každému bodu x o na povrchu gule bod x v rovine ρ, kde x je priesečník priamky ox s rovinou ρ. Toto je bijekcia medzi povrchom gule bez bodu o a rovinou ρ. Ak máme nejaké nakreslenie grafu na G na povrch gule (bez toho aby sa hrany pretínali), pričom bod o neleží na žiadnom z oblúkov nakreslenia (čo môžme bunv predpokladať), potom stereografickou projekciou dostaneme rovinné nakreslenie G. Obrátene, z každého rovinného nakreslenia dostaneme spätnou projekciou nakreslenie na guľu. Definícia. Nech G = (V, E) je topologický rovinný graf, t.j. rovinný graf s daným rovinným nakreslením. Uvažujme množinu všetkých bodov roviny, ktoré neležia v žiadnom z oblúkov nakreslenia. Táto množina sa rozpadne na konečný počet súvislých oblastí. Tieto oblasti budeme nazývať steny (oblasti) topologického rovinného grafu. Oblasti sú definované pre dané rovinné nakreslenie. Je ich počet závislý od konkrétneho nakreslenia, alebo od grafu? Veta (Eulerov vzorec). Nech G = (V, E) je súvislý rovinný graf a nech s je počet oblastí nejakého rovinného nakreslenia G. Potom platí: V E + s = 2.
11 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 11 Špeciálne počet stien nezávisí na spôsobe nakreslenia rovinného grafu. Dôkaz. Indukciou podľa počtu hrán grafu G. Ak je E =, potom V = 1 a s = 1, a vzorec platí. Nech E 1, rozlišujme dve možnosti: 1. Graf G neobsahuje kružnicu, potom G je strom a teda V = E +1, pričom s = Nejaká hrana e E je obsiahnutá v kružnici. Graf G \ e je potom súvislý a podľa indukčného predpokladu preň platí Eulerov vzorec. Hrana e v nakreslení G susedí s dvoma rôznymi oblasťami S a S, ktoré sa v nakreslení G \ e stanú oblasťou jedinou. Takže počet hrán i stien pre G stúpol v porovnaní s G \ e o 1. Dôsledok 1. Ak G je súvislý rovinný graf, v ktorom všetky oblasti sú ohraničené kružnicou C n, tak n( V 2) E =. n 2 Dôkaz. Každá hrana je obsiahnutá v dvoch oblastiach (kružniciach dĺžky n), teda 2 E = sn = s = 2 E n. Dosadením do Eulerovho vzťahu a úpravami dostaneme požadovanú rovnosť. Dôsledok 2. Ak G je súvislý rovinný graf s aspoň 3 vrcholmi a maximálnym počtom hrán, tak každá oblasť je C 3 a platí: E = 3 V 6. Dôkaz. Ak by nejaká oblasť nebola C 3, pridaním hrany sa rovinnosť grafu neporuší a pôvodný graf teda nemal maximálny počet hrán. Počet hrán vyplýva z predchádzajúceho dôsledku. Dôsledok 3. Ak G je rovinný graf s aspoň 3 vrcholmi, potom platí: E 3 V 6. Dôsledok 4. A G je rovinný graf s aspoň 2 vrcholmi, potom G nevyhnutne obsahuje aspoň dva vrcholy stupňa nanajvýš 5. Dôkaz. Z predchádzajúceho dôsledku: a zároveň vieme, že 2 E = v V d G(v). 2 E 6 V 12
12 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 12 Ak by všetky vrcholy boli stupňa aspoň 6, dostávame: 6 V 6 V 12, čo nie je možné. Obdobne, keby existoval iba jeden vrchol stupňa nanajvýš 5, platilo by: 6( V 1) 6 V 12, čo taktiež nie je možné. Platónske telesá Antická škola venovala veľkú pozornosť pravidelným geometrickým útvarom, takzvaným pravidelným mnohostenom. Pravidelný mnohosten je trojrozmerné konvexné teleso, ohraničené konečným počtom oblastí zhodných pravidelných mnohouholníkov, ktorých sa v každom vrchole stretáva rovnaký počet. Záujem o ich štúdiom bol podnietený zrejme ich ohraničeným počtom. Už v staroveku sa vedelo, že ich je len päť: pravidelný štvorsten, kocka, pravidelný osemsten, dvanásťsten a dvadsaťsten. Ale prečo? Prevedieme mnohosten na graf pomocou streografickej projekcie umiestnime skúmaný mnohosten do vnútra gule tak, aby jej stred ležal v jeho vnútri. Premietneme ho zo stredu na povrch gule a tým dostaneme nejaké nakreslenie rovinného grafu na guľu. O tom už vieme, že je možné ďalej stereografickou projekciou premeniť na rovinné nakreslenie grafu. Steny mnohostenu budú zodpovedať oblastiam grafu. Pre každý pravidelný mnohosten má vzniknutý topologický rovinný graf zrejme každý vrchol stupeň d (d 3) a každá oblasť má na hranici rovnaký počet vrcholov k, k 3. Neexistencia ďalších pravidelných mnohostenov vyplýva z nasledujúcej vety: Veta. Nech G je topologický rovinný graf, ktorého každý vrchol má stupeň d, d 3 a ktorého každá stena má k vrcholov, k 3. Potom G je izomorfný s rovinným nakreslením pravidelného štvorstena, kocky, pravidelného osemstena, dvanásťstena alebo dvadsaťstena. Dôkaz. Označme n počet vrcholov, m počet hrán a s počet oblastí rovinného grafu G = (V, E). Z vlastností o počte hrán platia vzťahy: dn = 2m, ks = 2m Dosadením do Eulerovho vzorca dostávame: 2 = n m + s = 2m d m + 2m k, a odtiaľ po úprave: 1 d + 1 k = m. Ak d = 3, potom máme 1 k 1 6 = 1 m > 0, takže k {3, 4, 5}. Podobne pre k = 3 dostaneme d {3, 4, 5}. Potom už v oboch prípadoch vieme jednoznačne dopočítať m, n a s.
13 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 13 Teda nastáva jedna z možností: d k n m s (pravidelný štvorsten) (kocka) (pravidelný dvanásťsten) (pravidelný osemsten) (pravidelný dvadsaťsten) Charakterizácia rovinných grafov Veta (Kuratowského). Graf G je rovinný, práve vtedy keď žiadny jeho podgraf nie je izomorfný s delením grafu K 3,3 alebo K 5. K 5 nie je zrejme rovinný podľa dôsledku 3, pre K 3,3 to skúste dokázať ako cvičeníčko. Kreslenie na iné plochy Graf G môžeme nakresliť i na iných plochách než je rovina, napr. na guľu, anuloid (torus, pneumatika), Möbiov list, Kleinovu fľašu, či guľu s ušami. Grafy môžeme rozlišovať podľa plochy, na ktorú je možné ich nakresliť (samozrejme bez toho, aby sa hrany pretínali). Napríklad nerovinný graf K 5 je možné nakresliť na torus, K 3,3 na Möbiov list. Veta. Každý graf je možné nakresliť na guľu s dostatočným počtom uší. Definícia. Minimálny počet uší, ktoré je treba pridať ku guli tak, aby na vzniknutú plochu bolo možné nakresliť graf G bez toho aby sa hrany pretínali, sa nazýva rod grafu. Podľa spomínanej stereografickej projekcie medzi kreslením na guľu a rovinu sú rovinné grafy práve grafy rodu 0. Farbenie grafov Definícia. Obyčajný graf G = (V, E) sa nazýva k-chromatický, ak existuje funkcia f : V {1, 2,..., k} taká, že pre každú dvojicu vrcholov u a v takú, že {u, v} E platí f(u) f(v). Najmenšie prirodzené číslo k také, že graf je k-chromatický, nazývame farebnosťou grafu a označujeme χ(g). Chromatické číslo jedna majú len grafy bez hrán, farebnosť úplnych grafov K n je n, farebnosť stromov (s aspoň jednou hranou), bipartitných grafov a kružníc s párnym počtom vrcholov je 2, farebnosť kružníc s nepárnym počtom vrcholov je 3. Lemička 1. χ(g) = 2 ak G neobsahuje kružnicu nepárnej dĺžky. Dôkaz. Ak G obsahuje kružnicu nepárnej dĺžky, potom χ(g) > 2.
14 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 14 BUNV môžme predpokladať, že G je súvislý. Ak by nebol, urobíme úvahu pre každý komponent súvislosti zvlášť. Zvoľme u V (G) ľubovoľný. Definujme: G 0 = {v v V (G), najkratšia cesta z u do v je párnej dĺžky} G 1 = {w w V (G), najkratšia cesta z u do w je nepárnej dĺžky} Vrcholy G 0 ofarbíme farbou č.1 a G 1 farbou č. 2. Zrejme G 0 G 1 =, G 0 G 1 = V (G), takže definovali sme farbu každého vrcholu grafu G. Ak ľubovoľné vrcholy {x, y} E(G), potom ak ich najkratšia vzdialenosť od u je rôznej parity, vrcholy zrejme majú rôznu farbu. Ak by ich vzdialenosť bola rovnakej parity, G by obsahoval kružnicu nepárnej dĺžky, čo však nie je možné. Definovaný rozklad vrcholov teda skutočne definuje ofarbenie. Lemička 2. χ(g) max v V d G (v) + 1. Dôkaz. Matematickou indukciou podľa počtu vrcholov grafu G. Definícia. Nech G = (V, E) je obyčajný graf. Množina M V sa nazýva nezávislá, ak pre žiadnu dvojicu vrcholov z množiny M neexistuje v grafe G hrana, t.j. ( ) M 2 E =. Nezávislosť grafu je veľkosť najväčšej nezávislej množiny, označujeme α(g), t.j. α(g) = max{ M, M V, M nezávislá množina}. Definícia. Nech G = (V, E) je obyčajný graf. Doplnok grafu G budeme označovať G a je definovaný nasledovne: V (G) = V (G), e E(G) e / E(G). Lemička 3. Pre každý obyčajný graf G = (V, E) platí: χ(g) α(g) V. Dôkaz. Pre každé i {1,..., χ(g)} označme V i V takú, že vrcholy množiny V i sú ofarbené farbou i. Zrejme α(g) V i. Sčítaním poslednej nerovnosti pre i = 1 až χ(g) dostávame požadovanú nerovnosť. Veta (paradox). Pre každé n N, n > 1 existuje graf G n taký, že χ(g n ) n a α(g n ) = 2. Farebnosť rovinných grafov Jednou z prirodzených aplikácií farbenia rovinných grafov je napríklad farbenie štátov v mapách.
15 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 15 Ľahko sa dá ukázať, že chromatické číslo každého rovinného grafu je nanajvýš 6 a zjemnením úvah sa dokáže odhad nanajvýš 5. Jedným z najznámejších problémov v matematike dlhú dobu bol problém štyroch farieb: t.j. či chromatické číslo každého rovinného grafu je nanajvýš 4? Nevie sa presne, kto vyslovil túto domnienku. V teórii grafov však zohrala významnú rolu. Už v roku 1840 sa problémom zaoberal Möbius, v roku 1850 sa o vyriešenie pokúšal de Morgan. Od tých čias sa vynaložilo veľa energie na vyriešenie tohto jednoducho formulovateľného problému. Prvý dôkaz uverejnil v roku 1879 Kempe, ale už v roku 1890 v ňom Heawood našiel chybu. Riešenie sa našlo až v roku 1976, keď Apple a Hacken dokázali správnosť hypotézy pomocou počítača. Vychádzali z Kempeho neúplneho dôkazu a jeho vylepšením sa zredukuje problém štyroch farieb na zafarbenie 1936 konkrétnych grafov. Túto úlohu už potom vyriešil počítač. Tu sa v histórii pravdepodobne prvýkrát použil počítač pri riešení závažného teoretického problému. Veta 1. Ak G je rovinný graf, potom χ(g) 6. Dôkaz. Matematickou indukciou podľa počtu vrcholov využijúc pritom fakt, že v rovinnom grafe existuje vrchol stupňa nanajvýš 5. Definícia. Graf G je indukovaný podgraf grafu H, keď V G V H a G obsahuje všetky hrany ktorých oba konce patria do V G. Veta 2. Ak G je rovinný graf, potom χ(g) 5. Dôkaz. Matematickou indukciou podľa počtu vrcholov využijúc pritom fakt, že v rovinnom grafe existuje vrchol v stupňa nanajvýš 5. Ak stupeň vrchola v je nanajvýš 4, resp. ak pri zafarbení grafu G \ {v} 5 farbami existujú dvaja susedia v zafarbení rovnakou farbou, sme hotoví. Ostáva vyšetriť prípad, ak v susedí s piatimi vrcholmi, z ktorých každý je zafarbený inou farbou c i, i = 1, 2, 3, 4, 5. Označme G 13 podgraf grafu G\{v} indukovaný tými vrcholmi, ktoré majú farbu c 1 a c 3. Podgraf G 13 zrejme nemusí byť súvislý. Keď v 1 a v 3 patria do rôznych komponentov grafu G 13, potom vzájomnou zámenou farieb c 1 a c 3 v tom komponente, do ktorého patrí vrchol v 1, dostaneme znova ofarbenie grafu G \ {v} piatimi farbami. V tomto novom ofarbení môžme vrchol v zafarbiť farbou c 1. Ak v 1 a v 3 patria do toho istého komponentu grafu G 13, tak existuje v G \ v medzi nimi cesta ktorej všetky vrcholy sú zafarbené striedavo c 1 a c 3. Táto cesta spolu s cestou v 1, v, v 3 tvorí v G kružnicu, ktorá vďaka rovinnosti grafu oddeľuje vrchol v 2 od vrcholov v 4 a v 5. Inými slovami: medzi vrcholmi v 2 a v 4 neexistuje cesta, ktorej všetky vrcholy by boli zafarbené len farbami c 2 a c 4. Teda ak G 24 označíme podgraf indukovanými tými vrcholmi, ktoré majú farbu c 2 a c 4, tak v 2 a v 4 patria do rôznych komponentov grafu G 24. V tom komponente, ktorý obsahuje vrchol v 4 vymeňme navzájom zafarbenie vrcholov (tie, ktoré mali farbu c 2 budú mať c 4 a obrátene.) Takto dostaneme nové ofarbenie grafu G \ {v} piatimi farbami, pričom vrchol v v grafe G môžme zafarbiť farbou c 4.
16 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 16 Veta 3. Ak G je rovinný graf, potom χ(g) 4. Predchádzajúca veta sa dá ešte zosilniť: Veta 4. Ak G je rovinný graf bez trojuholníkov, potom χ(g) 3. Dôkaz. Obtiažny. Ramseyho čísla Vyjdime z hlavolamu: je pravda, že v spoločnosti, kde je aspoň 6 ľudí, existuje buď trojica ľudí, ktorí sa navzájom poznajú alebo trojica ľudí, ktorí sa navzájom nepoznajú? Vytvorme si graf takto: vrcholmi budú osoby, ktoré spojíme hranou ak sa navzájom poznajú. Potom hlavolam možno sformulovať nasledovne: platí pre každý obyčajný graf s počtom vrcholov aspoň 6, že buď graf G obsahuje K 3 alebo α(g) 3? Iná formulácia hlavolamu: ak ofarbíme všetky hrany K 6 dvoma farbami Č a M je potom pravda, že tam bude existovať jednofarebný trojuholník? Ak v K 6 ľubovoľný, potom z neho vychádzajú buď aspoň 3 červené hrany, alebo aspoň 3 modré hrany s koncovými vrcholmi u 1, u 2, u 3. Ak sú hrany medzi týmito vrcholmi rovnakej farby, máme hľadaný trojuholník. Ak nie, potom vždy existuje medzi nimi hrana {u x, u y }, (x, y {1, 2, 3}) ktorá spolu s hranami {v, u x } a {v, u y } tvorí jednofarebný trojuholník. (Nakresliť!) Zovšeobecnime si (ako obvykle) predchádzajúci hlavolam: Existuje vôbec a keď áno tak aké je najmenšie prirodzené číslo k také, že každý obyčajný graf G na k vrcholoch buď obsahuje K m alebo α(g) n? Čísla s takouto vlastnosťou sa volajú Ramseyho čísla a označujú sa r(m, n). Rekurentný vzťah medzi Ramseyho číslami našli Erdös a Szekeres. Veta 5. Pre m, n 2 platí (1) r(m, n) r(m, n 1) + r(m 1, n). Dôkaz. Nech G = (V, E) má r(m, n 1)+r(m 1, n) vrcholov a zvoľme v V ľubovoľný. Budeme rozlišovať 2 prípady: a) d G (v) r(m 1, n), b) d G (v) < r(m 1, n). V prípade a) označme v 1,..., v k vrcholy patriace do okolia v a nech G 1 je podgraf indukovaný vrcholmi v 1,..., v k. Pretože k r(m 1, n) buď G 1 obsahuje K m 1 alebo α(g 1 ) n (vyplýva priamo z definície Ramseyových čísel. Ak G 1 obsahuje K m 1, tak pridaním vrcholu v (ktorý susedí so všetkými vrcholmi v G 1 ) dostaneme K m ; ak α(g 1 ) n, potom zrejme aj α(g) n. Teda tvrdenie vety platí. V prípade b) v doplnku G grafu G platí d G (v) r(m 1, n). Dôkaz beží analogicky ako v časti a) ak si uvedomíme, že r(m, n) = r(n, m).
17 4. decembra decembra 2003 Teria grafov 17 Ľahko sa dá ukázať, že pre ľubovoľné prirodzené m, n 2 platí r(m, 2) = m, r(2, n) = n. Z predchádzajúcej vety dostaneme r(3, 3) r(3, 2) + r(2, 3) = = 6. To znamená, že pre 6-vrcholové grafy už platí, že obsahujú K 3 alebo nezávislú množinu veľkosti 3, čo je odpoveďou na našu hádanku. Veta 6. Pre m, n 2 platí ( ) m + n 2 (2) r(m, n). m 1 Dôkaz. Dokazovaný vzťah platí akonáhle aspoň jedno z čísel m a n sa rovná dvom. Potom: r(m, 2) = m ( ( m m 1), r(2, n) = n n 1). Predpokladajme, že (2) platí pre všetky čísla m 1 a n 1, ktorých súčet je menší ako m + n a dokážeme, že potom platí aj pre m a n. Podľa IP platí ( ) ( ) m + n 3 m + n 3 r(m, n 1), r(m 1, n). m 1 m 2 Z toho na základe (1) dostávame: ( ) ( ) ( ) m + n 3 m + n 3 m + n 2 r(m, n) r(m 1, n) + r(m, n 1) + =. m 2 m 1 m 1 Uvedený odhad je veľmi nepresný, ale má dôležitý teoretický význam: vieme, že r(m, n) je vždy konečné číslo. Nájsť presné hodnoty Ramseyho čísel je veľmi ťažká úloha a poznáme doteraz len niekoľko málo hodnôt, najväčšie r(4, 4) = 18, r(3, 7) = 23. Na určenie ďalších hodnôt dnes ešte nestačia počítače. Literatúra J. Matoušek, J. Nešetřil: Kapitoly z diskrétnej matematiky. Matfyzpress Praha (odtiaľ prevzatý dôkaz Havlovej vety) Š. Znám: Kombinatorika a teória grafov. Skriptá MFF UK, 1989.
Planárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραEulerovské grafy. Príklad Daný graf nie je eulerovský, ale obsahuje eulerovskú cestu (a, ab, b, bc, c, cd, d, da, a, ac, c, ce, e, ed, d, db).
Eulerovské grafy Denícia Nech G = (V, E) je graf. Uzavretý ah v G sa nazýva eulerovská kruºnica, ak obsahuje v²etky hrany G. Otvorený ah obsahujúci v²etky hrany grafu sa nazýva eulerovská cesta. Graf sa
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραTeória grafov I definícia grafu, základné pojmy, podgraf, cesty a kružnice v grafe, orientované grafy, eulerovský ťah, hamiltonovská kružnica
0. kapitola Teória grafov I definícia grafu, základné pojmy, podgraf, cesty a kružnice v grafe, orientované grafy, eulerovský ťah, hamiltonovská kružnica 0. Úvodné poznámky Teória grafov ako matematická
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmy teórie grafov
Algoritmy teórie grafov Hľadanie minimálnej kostry grafu Kostra grafu taký strom grafu G = [U, H], pre ktorého podrgaf G = [U, H ] platí U = U a H H (faktor grafu). Kostra grafu každý súvislý graf má kostru.
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραKatolícka univerzita v Ružomberku, Pedagogická fakulta TEÓRIA GRAFOV. ( História matematiky referát ) Mária Házyová. M I Nv
atolícka univerzita v Ružomberku, Pedagogická fakulta TEÓRIA GRAFOV ( História matematiky referát ) Mária Házyová 4.ročník M I Nv Teória grafov Teória grafov je časť matematiky, ktorá skúma vlastnosti
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραARCHIMEDOVSKÉ MNOHOSTENY VESELO I VÁŽNE
ARCHIMEDOVSKÉ MNOHOSTENY VESELO I VÁŽNE Miroslava Konrádová, KAM SjF ŽU, Žilinská univerzita, Žilina Úvod Počiatky samotnej teórie mnohostenov siahajú k počiatkom geometrických úvah vôbec. Pravidelné konvexné
Διαβάστε περισσότεραAproximačné algoritmy. (7. októbra 2010) DRAFT
R. Královič Aproximačné algoritmy (7. októbra 2010) ii Obsah 1 Úvod 1 1.1 Algoritmy a zložitosť........................... 1 1.2 Lineárne programovanie......................... 1 1.3 Použité vzťahy..............................
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραXVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA Martin Samuelčík BRATISLAVA 2004 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραAutomaty a formálne jazyky
Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότερα13. kapitola Siete a metóda kritickej cesty
. kapitola Teória grafov IV algoritmy: Siete a metóda kritickej cesty, maximálny tok v sieti a minimálny rez, nájdenie najmenšej kostry, prehľadávanie do hĺbky, prehľadávanie do šírky. Siete a metóda kritickej
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραNajviac na koľko častí sa dá tromi priamkami rozdeliť medzikružie?
Náboj 01 Vzorové riešenia Úloha 1 J. Ak hranu kocky zväčšíme o 100%, tak o koľko percent sa zväčší jej objem? Výsledok. 700% Návod. Zväčšiť hranu a o 100% je to isté ako ju zdvojnásobiť na a. Objem pôvodnej
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραzlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom
0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem zrezaného ihlana
Povrch a objem zrezaného ihlana Ak je daný jeden ihlan a zobereme rovinu rovnobežnú s postavou, prechádzajúcu ihlanom, potom táto rovina rozdelí teleso na dve telesá. Jedno teleso je ihlan (pôvodný zmenšený
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
Διαβάστε περισσότεραTeória funkcionálneho a logického programovania
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A
Διαβάστε περισσότερα