zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom

Transcript

1 0 Úvod 1 0 Úvod

2 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom skúmat vzt ahy medzi nimi. Takýto výskum sa nazýva čistá matematika. Jej výsledky sú samy osebe často natol ko zaujímavé (a nezriedka krásne), že čistí matematici zabúdajú na pôvodnú praktickú motiváciu. Tu však nastupuje úloha aplikovanej matematiky (a špeciálne jej dôležitej časti zvanej (teoretická) informatika), ktorej ciel om je transformovat výsledky čistej matematiky spät do oblasti, ktorá bola pôvodnou motiváciou skúmanej problematiky. Aplikovaný (či skôr aplikujúci) matematik sa tak stáva akýmsi prekladatel om z jazyka matematiky do reči reálnej situácie. Je pozoruhodné, ba až fascinujúce, že jazyk matematiky je dostatočne silný na to, aby sa (aspoň na istej abstraktnej úrovni) dokázal vyrovnat so všakovakými problémami reálneho života. To je dôvodom, prečo ako informatici matematike venujeme tol kú pozornost.

3 1 Špecifiká matematického textu 3 1 Špecifiká matematického textu

4 1.1.1 Definícia 4 Už pri letmom nazretí do matematického textu vidíme, že sa od bežného hladkého textu značne ĺıši. Najvýraznejšie sú hádam tieto dve špecifické črty: Niektoré odseky majú špeciálne označenia ako Definícia, Veta, či Dôkaz. Hovoríme tu o štruktúre matematického textu. V texte sa vyskytujú zvláštne znaky nepatriace do abecedy jazyka, v ktorom je text napísaný, ale ani do žiadneho iného prirodzeného jazyka. Navyše sú nimi obklopené aj niektoré bežné písmená, a preto sme si nie istí ani nimi. Túto črtu môžeme nazvat matematická symbolika. Obe tieto špecifiká majú, pravdaže, svoje zákonitosti a kvôli porozumeniu matematickému textu je vel mi užitočné, ba až nevyhnutné dôkladne porozumiet aj im. (Tu priznajme, že tieto pravidlá sú samotnými pisatel mi nezriedka porušované, ba ignorované, v takom prípade však hrozí, že idey ukryté v matematickom texte sa môžu skreslit natol ko, že sa stanú nielen nečitatel nými, ale i nejednoznačnými.) 1.1 Štruktúra matematického textu Definícia Ked matematik cíti, že práca s existujúcimi pojmami začína byt neprehl adná a komplikovaná a na viacerých miestach sa vyskytujú rovnaké (alebo aspoň vel mi podobné) myšlienkové konštrukcie, po nabratí dostatočného množstva odvahy sa odhodlá definovat nový pojem, ktorý (ak sa mu to vydarí) situáciu sprehl adní a doterajšie komplikácie odstráni. Ako taká definícia vyzerá? Etymológia latinského slova de-finit-ion napovedá, že ide o vymedzenie či ohraničenie. A naozaj, pri definícii premyslenou kombináciou známych pojmov vymedzíme istú špeciálnu situáciu, ktorú potom nazveme jedným slovom či slovným spojením. Ak sa potom kdekol vek neskôr v texte tento nový pojem vyskytne, môžeme ho chápat ako skratku za túto kombináciu a bez ujmy na zmysle povedaného ho ňou možno nahradit. Z formálneho hl adiska je definícia v ideálnom prípade zložená z dvoch častí. Prvá z nich sa nazýva preambula a sú v nej uvedené predpoklady, bez ktorých nemožno o požadovanej situácii ani len uvažovat. Preambulu rozpoznáme podl a toho, že gramatické vety v nej začínajú slovom nech. Mnohé definície sú natol ko jednoduché, že preambulu nepotrebujú. V druhej časti definície je obsiahnuté samotné vymedzenie nového pojmu. Je to obvykle jedna gramatická veta so štruktúrou Hovoríme, že..., ak... (zo štylistických dôvodov môže byt, pravdaže, fráza hovoríme, že nahradená inými slovnými spojeniami v podobnom duchu, ako napríklad budeme nazývat, nazýva sa, bude a podobne). V prvej časti vety (pred ak ) sa (jediný raz) vysloví nový pojem (možno pomocou už známych pojmov), pričom je jeho slovné vyjadrenie od ostatného textu obvykle graficky odĺıšené (napríklad šikmým písmom). V druhej časti (za ak ) je potom jednoznačne vymedzená situácia, ktorú tento nový pojem bude označovat. Napríklad v definícii Nech n a d sú dve prirodzené čísla. Hovoríme, že n je delitel né d, ak existuje prirodzené číslo také, že n je jeho d-násobkom. preambula naznačuje, že reč bude o dvoch prirodzených číslach. V druhej časti zavádzame medzi nimi nový pojem, a to tak, že pred ak povieme, ako sa bude nazývat, a za ak, čo znamená. Napríklad v definícii Hovoríme, že prirodzené číslo je prvočíslo, ak je väčšie než 1 a je delitel né práve číslom 1 a samým sebou.

5 1.1.3 Dôkaz 5 sa zavádza (akože) nový pojem byt prvočíslom, a to pomocou (akože) známych pojmov prirodzené číslo, byt väčší než, byt delitel ný a práve. Niekedy je preambula spoločná pre viacero združených definícíı, inokedy ju vzhl adom na formuláciu definície vôbec netreba (napríklad v predchádzajúcej definícii). Správna definícia však musí spĺňat isté podmienky: Všimnime si definíciu (vymysleného) pojmu dobrost čísla : Nech n a k sú prirodzené čísla. Hovoríme, že n je dobré, ak k je delitel né n. Pri vol be n = 4 a k = 8 vychádza, že číslo 4 je dobré, ale vol ba n = 4 a k = 9 ukazuje, že číslo 4 dobré nie je. Táto definícia je teda nekorektná. Ak má byt definícia korektná, musí na otázku, či daný objekt má definovanú vlastnost, odpovedat jednoznačne bud áno, má, alebo nie, nemá. Inak to jednoducho definícia nie je Veta Ďalším špecifickým typom odseku v matematickom texte je veta. Aj jej úlohou je urobit vo veciach poriadok, nie však zavedením nového pojmu, ale objavom nového vzt ahu medzi už zavedenými pojmami. Kým teda pri definícii ide o zavedenie nového pojmu (teda po nej sa počet pojmov zväčší o jeden), veta žiaden nový pojem nevytvára (teda počet pojmov ostáva nezmenený). Podobne ako definícia má aj veta svoju obvyklú štruktúru, a to Nech... Potom... Prvá čast (po nech ) sa nazýva opät preambula (resp. predpoklady) a obsahuje podmienky, za ktorých platí výrok v druhej časti (po potom ), nazývaný záver. Napríklad vo vete Nech n je prirodzené číslo. Potom ak n je delitel né 4, tak n je delitel né aj 2. je preambulou, že číslo n, o ktorom je reč, je prirodzené, a záverom, že ak je toto číslo delitel né štyrmi, je delitel né aj dvoma. Veta teda vyjadruje jednu z vlastností už skôr zavedeného pojmu byt delitel ný. Rovnako ako pri definíciách aj tu môže mat niekol ko združených viet spoločnú preambulu, inokedy zase vôbec nie je potrebná. V takom prípade slovo potom zo začiatku jadra vety jednoducho vynecháme Dôkaz K vete neoddelitel ne patrí dôkaz. Obvykle nasleduje bezprostredne po jej znení a spravidla ju svojou dĺžkou značne prevyšuje. Ide o pokus postupnost ou racionálnych argumentov presvedčit čitatel a, že tvrdenie vety je opodstatnené. Kvôli lepšej orientácii môže dôkaz obsahovat aj svoje interné pomocné (a v dôkaze ani v predpokladoch doposial nepoužité) označenia. Jednotlivé v ňom použité argumenty môžu byt iba týchto typov: prepis pojmu na iné pojmy podl a svojej definície, odvolávka na predpoklad vety, odvolávka na už skôr vyslovené (a dokázané) tvrdenie, ktoré sa nachádza v tomto texte (pravdaže, pred touto vetou),

6 1.1.3 Dôkaz 6 odvolávka na autoritu, teda na všeobecne akceptované tvrdenie, čisto logický dôsledok už vyslovených argumentov. Napríklad dôkaz tvrdenia Nech n je prirodzené číslo. Potom ak n je delitel né 4, tak n je delitel né aj 2. z predchádzajúcej kapitolky by mohol vyzerat takto: Ked že predpokladáme, že n je delitel né 4, existuje prirodzené číslo také, že n je jeho 4-násobkom. Ak toto číslo označíme k, tak n = 4k. Označme m prirodzené číslo 2k, t. j. 2k = m. Potom platí 4k = 2m, čiže n = 2m. Existuje teda prirodzené číslo také, že n je jeho 2-násobkom, z čoho vyplýva, že n delitel né aj 2. V prvej (gramatickej) vete dôkazu nahradzujeme predpoklad n je delitel né 4, jeho definíciou, a to, že existuje prirodzené číslo také, že n je jeho 4-násobkom. V druhej vete toto číslo označíme k (môžeme tak urobit, lebo táto značka je zatial nepoužitá) a tentoraz formálne zopakujeme, že n je jeho štvornásobkom. V tretej zavádzame nový pojem označenie m dvojnásobku čísla k (opät sa pritom uistíme, že táto značka ešte nebola obsadená), navyše si uvedomíme, že m je prirodzené číslo (využijúc všeobecne známy fakt, že dvojnásobok prirodzeného čísla je prirodzené číslo). Pomocou toho potom (využijúc všeobecne akceptované tvrdenie, že ak sa rovnajú čísla, rovnajú sa aj ich dvojnásobky) vo štvrtej vete logicky odvodíme, že 4k = 2m. Z toho, že n = 4k a (zopakujme) 4k = 2m, a z d alšieho všeobecne akceptovaného vzt ahu (a to, že ak sa rovná prvé číslo druhému a druhé tretiemu, rovná sa aj prvé tretiemu) opät logicky odvodíme, že n = 2m. Napokon toto tvrdenie len preformulujeme, čím dostaneme presne definíciu toho, že n je delitel né 2. Všimnime si tiež, akými slovami či frázami sa v dôkaze naznačuje použitie nejakej logickej úvahy. Ide väčšinou o slovné či vetné častice: ked že, pretože, lebo, t. j., čiže, potom, preto, z čoho (vyplýva) a podobne. Často hrozí, že dôkaz vyslovenej vety môže byt príliš náročný alebo rozsiahly. Vtedy sa matematik uchyl uje k takejto finte: Na chvíl u akoby rezignuje na priamy dôkaz a namiesto toho dokazuje iné, pomocné tvrdenie, z ktorého už platnost pôvodnej vety viac-menej okamžite vyplýva. Na spôsob vyplývania (inými slovami typ dôkazu) je čitatel obvykle upozornený takýmito kl účovými slovami: Pri dôkaze obmenou (často sa používa aj slovné spojenie nepriamy dôkaz, za taký však možno považovat všetky uvedené spôsoby) sa namiesto vety v tvare dokazuje jej obmena tvrdenie Ak platí A, tak platí B. Ak neplatí B, tak neplatí A.. Využíva sa pritom, že tieto dve tvrdenia sú ekvivalentné, t. j. bud platia obe, alebo ani jedno (a to bez ohl adu na obsah spoločných častí A a B). Predstavme si napríklad, že máme dokázat vetu Ak celé číslo nie je delitel né 4, nie je delitel né ani 8. Priamy dôkaz by si pravdepodobne vyžadoval zdĺhavý rozbor prípadov:

7 1.1.3 Dôkaz 7 Dôkaz obmeny, ktorá znie je omnoho rýchlejší: Ak celé číslo n nie je delitel né 4, tak platí jedna z týchto možností: Platí n = 4k + 1 pre nejaké celé číslo k. Pre číslo k máme dve možnosti: Ak je k párne, tak k = 2m pre nejaké celé číslo m. Potom platí n = 4k + 1 = 4(2m) + 1 = 8m + 1, teda n nie je delitel né 8. Ak je k nepárne, tak k = 2m+1 pre nejaké celé číslo m. Potom platí n = 4k + 1 = 4(2m + 1) + 1 = 8m + 5, teda n nie je delitel né 8. Platí n = 4k + 2 pre nejaké celé číslo k. Pre číslo k máme dve možnosti: Ak je k párne, tak k = 2m pre nejaké celé číslo m. Potom platí n = 4k + 2 = 4(2m) + 2 = 8m + 2, teda n nie je delitel né 8. Ak je k nepárne, tak k = 2m+1 pre nejaké celé číslo m. Potom platí n = 4k + 2 = 4(2m + 1) + 2 = 8m + 6, teda n nie je delitel né 8. Platí n = 4k + 3 pre nejaké celé číslo k. Pre číslo k máme dve možnosti: Ak je k párne, tak k = 2m pre nejaké celé číslo m. Potom platí n = 4k + 3 = 4(2m) + 3 = 8m + 3, teda n nie je delitel né 8. Ak je k nepárne, tak k = 2m+1 pre nejaké celé číslo m. Potom platí n = 4k + 3 = 4(2m + 1) + 3 = 8m + 7, teda n nie je delitel né 8. Ak je celé číslo je delitel né 8, je delitel né aj 4. Ak je celé číslo n delitel né 8, má tvar n = 8k pre nejaké celé číslo k. Potom však platí n = 4(2k), a teda n je delitel né aj 4. Pri dôkaze sporom sa namiesto vety v tvare dokazuje iné k nemu ekvivalentné tvrdenie, a to Ak platí A, tak platí B. Nemôže zároveň platit A a neplatit B.. K predpokladu platnosti A teda pridáme predpoklad neplatnosti B a po istých logických úvahách dospejeme k sporu situácii, ktorá v skutočnosti nemôže nastat. To však znamená, že chybný je aspoň jeden z predpokladov. Avšak platnost A predpokladáme už globálne v znení vety, chybný teda musí byt lokálny predpoklad neplatnosti B. Čiže B musí platit, a to bol náš ciel. Často sa stáva, že veta predpoklad A nemá v takom prípade zaň môžeme pokladat l ubovol né pravdivé tvrdenie (inými slovami, ignorovat ho) a pokračovat rovnako. Ako príklad použitia dôkazu sporom uved me dôkaz tvrdenia 2 je iracionálne číslo. (všimnime si, že táto veta nemá žiaden explicitný predpoklad A):

8 1.1.4 Štruktúra matematického textu 8 Predpokladajme, že 2 je, naopak, racionálne číslo. Existujú teda nesúdelitel né celé čísla a a b také, že 2 = a a b > 0. Po umocnení b dostávame 2 = a2, po vynásobení b 2 zasa 2b 2 = a 2. Číslo a 2 je teda párne, b 2 musí byt teda párne aj a. Existuje teda celé číslo c také, že a = 2c. Po dosadení dostávame 2b 2 = (2c) 2, z čoho po vydelení dvoma b 2 = 2c 2. Číslo b 2 je teda párne, musí byt teda párne aj b. To je však spor, lebo sme čísla a a b majú byt nesúdelitel né. Vel mi zaujímavým spôsobom dôkazu je matematická indukcia využívajúca niektorú z verzíı vety o matematickej indukcii. Najjednoduchšia a asi najčastejšie používaná je táto: Nech pre každé prirodzené číslo n je V n nejaké tvrdenie. Nech sú splnené nasledujúce dva predpoklady: 1 (1. indukčný krok:) Platí tvrdenie V 0. 2 (2. indukčný krok:) Pre každé prirodzené číslo k z platnosti tvrdenia V k (nazývame ho indukčný predpoklad) vyplýva platnost tvrdenia V k+1. Potom tvrdenie V n platí pre každé prirodzené číslo n. Majme napríklad za úlohu dokázat nasledujúcu vetu: Pre každé prirodzené číslo n platí n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1). 6 Ak označíme V n tvrdenie n 2 = 1 n(n+1)(2n+1), máme dokázat Vn platí pre každé 6 prirodzené číslo n. Namiesto komplikovaných pokusov o priamy dôkaz stačí podl a predchádzajúcej vety o matematickej indukcii dokázat dve omnoho jednoduchšie vety: 1 V 0, t. j. 0 2 = (0 + 1) ( ). Táto veta je však triviálna, obe strany sú rovné 0. 2 Pre každé prirodzené číslo k z platnosti tvrdenia V k vyplýva platnost tvrdenia V k+1, t. j. Pre každé prirodzené číslo k z platnosti vyplýva platnost k 2 = 1 k(k + 1)(2k + 1) k 2 + (k + 1) 2 = 1 (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1). 6 Dôkaz by mohol vyzerat takto: k 2 + (k + 1) 2 = = ( k 2 ) + (k + 1) 2, = 1 k(k + 1)(2k + 1) + (k + 6 1)2 (tu sme využili indukčný predpoklad V k ), = 1 (k + 1)(k(2k + 1) + 6(k + 1)), 6 = 1 (k + 6 1)(2k2 + 7k + 6), = 1 (k + 1)(k + 2)(2k + 3), 6 (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1). = 1 6

9 1.2 Matematická symbolika 9 Dodajme, že niektoré vety sú uvádzané bez dôkazu. Neznamená to, pravdaže, že autor textu takúto vetu dokázat nevie, alebo že nebodaj veta neplatí, ale to, že podl a jeho názoru niektoré v dôkaze použité argumenty svojou náročnost ou môžu presahovat úroveň textu a chápania jeho predpokladaného čitatel a, alebo privel ká dĺžka či technická zložitost celého dôkazu odvádza pozornost od zmyslu kontextu, v ktorom je táto veta zasadená Štruktúra matematického textu Zdôraznime, že dobre napísaný matematický text by mal zachovat istú chronológiu každý pojem sa môže (v tvrdeniach či d alších definíciách) používat až vtedy, ked už bol definovaný. Podobne ak sa dôkaz vety odvoláva na iné tvrdenie, toto odkazované tvrdenie mu musí predchádzat. Ak je už pojem raz definovaný, nemožno ho definovat nanovo, a už vôbec nie v inom význame. Na sprehl adnenie štruktúry textu sa odseky s vetami (a zriedkavo i s definíciami) zvyknú číslovat. Pri neskoršom odvolávaní sa na túto vetu potom stačí použit tento index. Nie všetky vety z matematického textu majú rovnakú dôležitost. Ak chce autor na tento fakt upozornit, namiesto označenia veta môže použit alternatívne názvy: Pozorovaním rozumieme takmer okamžite nahliadnutel nú vlastnost novo zavedeného pojmu, ktorá si dôkaz hádam ani nezaslúži. Pod slovom lema treba rozumiet vetu skôr pomocného, často technického charakteru. Dôsledok (vel mi zriedkavo aj dnes už úsmevne znejúci korolár) je veta, ktorej dôkaz v podstate spočíva len v odvolávke na vetu spravidla jej tesne predchádzajúcu. Významné vety majú často aj svoj špeciálny názov, ktorý v krátkosti zhŕňa ich význam (napr. veta o pevnom bode, veta o matematickej indukcii, veta o štyroch farbách ), alebo sa odkazuje na ich objavitel a ( Weierstrassova veta, Eulerova veta, Euklidove vety ). Definície a vety s ich dôkazmi sú podstatnými, ale nie jedinými čast ami matematického textu. Nezanedbatel nú úlohu tu hrajú (ilustračné) príklady, obrázky, ale i celý zvyšný text komentár, ktoré čitatel ovi pomáhajú pochopit zmysel definície či tvrdenia nezriedka zastretý náročnou symbolikou. 1.2 Matematická symbolika Už Malý princ vedel, že reč je prameňom nedorozumení. Viacznačnosti prirodzeného jazyka však nie sú jeho nedostatkom, ale jeho neoddelitel nou súčast ou. Upozorňujú nás, že zložitú realitu okolo nás môžeme chápat len v jej paradoxoch. Akýkol vek pokus zbavit reálny svet jeho paradoxicity s ciel om plne ho uchopit je teda dopredu odsúdený na neúspech. Ak však k problému pristúpime pokornejšie a sústredíme sa len na rozumom poznatel nú čast sveta, redukcia jazyka je nevyhnutná. Symbolika matematického jazyka je volená zámerne tak, aby tvrdenia mohli byt pochopené principiálne jediným spôsobom a neboli zdrojom žiadneho nedorozumenia. Ak v bežnej reči (omylom alebo aj zámerne) skomoĺıme či vynecháme nejakú hlásku, obvykle sa význam našej výpovede skoro vôbec nezmení akoby naša reč mala holografický charakter. Redukovaný matematický jazyk však natol ko stabilný nie je. Tým, že každý jeho symbol má svoj presný význam, nemôže byt suplovaný susedným znakom, a šanca zmeny či straty významu sa tak po jeho vynechaní výrazne zvýši. Matematická symbolika je preto v porovnaní s prirodzeným jazykom omnoho náročnejšia a ak ju chceme zmysluplne používat, musíme dôkladne pochopit pravidlá jej tvorby. Symbolické označenia matematických pojmov sú z typografického hl adiska viacerých druhov: špeciálne symboly. logické symboly (spojky a kvantifikátory),

10 1.2.2 Logické spojky 10 latinské (čiže anglické) a inojazyčné písmená, zátvorky Špeciálne symboly Táto skupina má azda neohraničené možnosti, preto sa o symboloch v nej vel a spoločného povedat nedá. Za zmienku však stoja tieto často (niektoré už od raného detstva) používané symboly: Význam symbolu = je rovnost objektov na jeho l avej a pravej strane, a to v jednom z týchto zmyslov: totožnost (t. j. identita) čiže vyjadrenie, že na oboch stranách ide o ten istý objekt (napr. ak A a B sú body, zápis A = B znamená, že ide vlastne o jeden bod), toto chápanie sa často zdôrazňuje zosilnením symbolu = do formy ; rovnakost, čiže vyjadrenie, že oba objekty majú v danom kontexte rovnaké vlastnosti (napr. 2+2 = 4 neznamená, že rovnaké sú aritmetické výrazy na oboch stranách, reč je o ich hodnotách, a tie rovnaké sú). Túto nejednoznačnost chápania môžeme nazvat problém identity (t. j. (ne)jednoty objektu a jeho označenia), treba však povedat, že z kontextu by malo byt vždy jasné, čoho sa vyslovená rovnost týka. Všimnime si tu prirodzené vlastnosti rovnosti: Každý objekt sa (v l ubovol nom zmysle) rovná sám sebe. (Tejto vlastnosti hovoríme reflexivita rovnosti.) Ak sa prvý objekt rovná druhému, druhý sa (v tom istom zmysle) rovná prvému. (Táto vlastnost sa nazýva symetria rovnosti.) Ak sa prvý objekt rovná druhému a druhý sa (v tom istom zmysle) rovná tretiemu, musí sa aj prvý (opät v tom istom zmysle) rovnat tretiemu. (Táto vlastnost sa volá tranzitivita rovnosti.) Zdôraznime ešte, že rovnost sa netýka len čísel, ale môžeme pomocou nej vyjadrit vzt ah l ubovol ných dvoch objektov. Dôležitým (dokonca jediným základným) symbolom teórie množín, ktorá je spoločnou platformou všetkých ostatných discipĺın, je znak vyjadrujúci, že objekt po jeho l avici patrí do objektu po jeho pravici, inými slovami, že je jeho prvkom. Ak dva rôzne objekty možno porovnat, napíšeme medzi ne bud znak < (čítaný menší než ), alebo znak > ( väčší než ), prípadne ich kombinácie s rovnost ou, a to ( menší (než) alebo rovný ) či ( väčší (než) alebo rovný ) so zrejmým významom. Všetky doteraz uvedené príklady sú z gramatického hl adiska skratkami akéhosi prísudku ( rovná sa, patrí, je menší než,...). Takéto vzt ahy nazveme predikáty a ich použitím vzniká zmysluplné (či už pravdivé alebo nepravdivé) tvrdenie. Tieto tvrdenia majú aj svoje negatívne formy, ktoré sa značia preškrtnutím príslušného symbolu. A tak trebárs znamená rôznost a významom / je, že objekt vl avo nie je prvkom objektu vpravo. Takže napríklad x y je opak x = y a x / A je opak x A. Spomeňme tiež známe symboly obvyklých aritmetických operácíı ako +,,, :, ale i zlomková čiara, znak pre opačné číslo, pre odmocninu, či! pre špeciálnu funkciu zvanú faktoriál. Všimnime si, že tieto operácie nie sú predikáty, a tak žiaden aritmetický výraz neobsahuje prísudok. Väčšina matematických symbolov má binárny charakter označuje interakciu medzi dvoma objektmi. Preto sa spravidla zapisujú v tzv. infixovom tvare, ked ich vkladáme medzi tieto dva objekty. V prípade unárnych symbolov infixový tvar, samozrejme, použit nemožno. Niektoré preto zapisujeme v tzv. prefixovom tvare pred svoj operand (napríklad či ), niekedy v tzv. postfixovom tvare zaň (napríklad! či znak pre deriváciu funkcie).

11 1.2.2 Logické spojky Logické spojky V minulej podkapitolke sme si všimli, že predikáty zodpovedajú gramatickým vetám. Presnejšie: ide o holé vety, ktoré (podobne ako v gramatike prirodzeného jazyka) môžeme spájat do súvetí, a to prostredníctvom (tzv. logických) spojok. Logické spojky sa delia na unárne, prevádzajúce (jedno) tvrdenie do zložitejšieho tvaru, a binárne, ktoré spájajú dve jednoduchšie tvrdenia do jedného zložitejšieho. Rozoberme význam tých dôležitejších z nich: Jedinou základnou unárnou spojkou je negácia so značkou, ktorú čítame nie je pravda, že (alebo non ). Používame ju prefixovým spôsobom, takže ak V je nejaké tvrdenie, V bude znamenat nie je pravda, že V. Vo vol nejšom chápaní sa za negáciu považuje akékol vek tvrdenie W, ktorého pravdivostná hodnota je opačná ako pravdivostná hodnota tvrdenia V. Zdôraznime však, že toto chápanie nie je ktovieako korektné, pretože takáto definícia negácie nie je jednoznačná tvrdení s opačnou pravdivostnou hodnotou než V je hned niekol ko, a tak (pri tomto akože vel korysom chápaní) nie je jasné, ktoré z nich je mienené označením V. Z rovnakých dôvodov nemajú jednoznačné riešenie klasické stredoškolské úlohy typu Negujte výrok.... V súvislosti so strednou školou ešte dodajme, že namiesto V sa tam používa typograficky trochu nešt astné označenie V (malá škvrna na tabuli považovaná za čiarku totiž radikálne mení význam). Všimnime si tiež, že znak sa v tomto prípade zapisuje v postfixovej forme, t. j. až na konci. Pod konjunkciou rozumieme binárnu spojku (alternatívne označovanú aj &), ktorú čítame a zároveň alebo len krátko a. Ak sú teda V 1 a V 2 nejaké tvrdenia, tak tvrdenie V 1 V 2 je (v zhode s tým, ako túto spojku čítame) pravdivé jedine vtedy, ked je pravdivé ako V 1, tak V 2. V opačnom prípade je nepravdivé. Disjunkcia je binárna spojka značená a čítaná alebo. Tvrdenie V 1 V 2 je pritom pravdivé, ak je pravdivé V 1, alebo je pravdivé V 2, alebo (a to je trochu rozdiel voči obvykle vylučujúcemu chápaniu spojky alebo ) ak sú pravdivé obe tieto tvrdenia. Inými slovami, disjunkcia je nepravdivá v jedinom prípade ak sú obe jej zložky nepravdivé. Vel mi dôležitou binárnou spojkou je (alternatívne zapisovaná ) zvaná implikácia. Tvrdenie V 1 V 2 čítame V 1 implikuje V 2 alebo z V 1 vyplýva V 2 alebo tiež ak platí V 1, tak platí V 2. V 1 tu nazývame predpoklad (zriedka aj premisa), V 2 sa volá záver (alebo konzekvencia). Implikácia je tak pravdivá vtedy, ak sú splnené ako predpoklad, tak záver, ale aj vtedy (čo na prvý pohl ad pôsobí trocha nepochopitel ne), ked je predpoklad nesplnený. Inými slovami, implikácia je nepravdivá iba vtedy, ak napriek tomu, že predpoklad je splnený, záver splnený nie je. Poslednou spomenutou binárnou spojkou je ekvivalencia so značkou (ale aj či ), ktorú čítame práve vtedy, ked, vtedy a len vtedy, ale tiež akk, čo je prof. Bukovského elegantný preklad skratky iff anglického slovného spojenia if and only if. Ak si uvedomíme etymológiu tohto slova (predpona ekvi- znamená rovnaký, význam koreňa -val- je hodnota ), l ahko si odvodíme, kedy je tvrdenie V 1 V 2 pravdivé: obe zložky V 1 aj V 2 musia mat rovnakú pravdivostnú hodnotu, teda bud sú obe naraz pravdivé, alebo sú obe naraz nepravdivé. Zhrňme tieto fakty do tabuliek: V V nepravda pravda pravda nepravda V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 nepravda nepravda nepravda nepravda pravda pravda nepravda pravda nepravda pravda pravda nepravda pravda nepravda nepravda pravda nepravda nepravda pravda pravda pravda pravda pravda pravda

12 1.2.3 Kvantifikátory 12 Z toho, čo znamenajú (a ako čítame) jednotlivé spojky vyplývajú nasledujúce vlastnosti (V, V 1, V 2 a V 3 sú l ubovol né tvrdenia): V 1 V 2 platí práve vtedy, ked platí V 2 V 1 (lebo práve vtedy platia obe V 1 aj V 2). Túto vlastnost nazývame komutativita konjunkcie. Analogicky V 1 V 2 platí práve vtedy, ked platí V 2 V 1 (práve vtedy platí aspoň jedno z V 1 a V 2) komutativita disjunkcie. (V 1 V 2) V 3 platí práve vtedy, ked platí V 1 (V 2 V 3) (lebo práve vtedy platia všetky tri) asociativita konjunkcie. Analogicky (V 1 V 2) V 3 platí práve vtedy, ked platí V 1 (V 2 V 3) (lebo práve vtedy platí aspoň jedno z nich) asociativita disjunkcie. (V 1 V 2) V 1 platí práve vtedy, ked platí V 1 (na V 2 to teda vôbec nazávisí) absorpcia disjunkcie. Analogicky (V 1 V 2) V 1 platí práve vtedy, ked platí V 1 (opät je V 2 pohltené ) absorpcia konjunkcie. (V 1 V 2) V 3 platí práve vtedy, ked platí (V 1 V 3) (V 2 V 3) (teda V 3 sme zopakovali pri oboch prípustných možnostiach V 1 a V 2) distribúcia disjunkcie k členom konjunkcie. Analogicky (V 1 V 2) V 3 platí práve vtedy, ked platí (V 1 V 3) (V 2 V 3) distribúcia konjunkcie k členom disjunkcie. V platí práve vtedy, ked platí V negácia negácie. (V 1 V 2) platí práve vtedy, ked platí V 1 V 2 de Morganovo pravidlo pre negáciu konjunkcie. Analogicky (V 1 V 2) platí práve vtedy, ked platí V 1 V 2 de Morganovo pravidlo pre negáciu disjunkcie. V 1 V 2 platí práve vtedy, ked platí V 2 V 1 obmena. V 1 V 2 platí práve vtedy, ked platí V 1 V 2 a zároveň V 2 V 1 (obojstrannost šípky je teda opodstatnená). Všimnime si tu jemný rozdiel (trebárs) medzi formuláciou V platí práve vtedy, ked platí V. a v podstate to isté tvrdiacim zápisom ( V ) V. Kým prvá, slovná podoba hovorí čosi o vzt ahu dvoch rôznych tvrdení, druhá, formálna už iba vyslovuje jedno (z nich dvoch zložené) tvrdenie, pričom sa vlastne vôbec nevyjadruje k jeho pravdivosti. Aby sme túto jemnú odlišnost zdôraznili, tvrdenie o tvrdeniach v prvom prípade budeme nazývat metatvrdenie. Miešanie jazyka a metajazyka (t. j. jazyka, v ktorom sú tieto metatvrdenia formulované) môže spôsobit nepríjemné paradoxy. Preto je užitočné rozlišovat úroveň a metaúroveň v našom prípade bude jazykom matematická symbolika a metajazykom slovenčina. Mätúce formulácie typu ( V ) V (v ktorej hrá v podstate úlohu metatvrdenia) preto nebudeme používat Kvantifikátory Úlohou kvantifikátorov je určit mieru, do akej platí nejaké parametrizované tvrdenie. Budeme používat iba dve extrémne kvantifikácie všetko a nič (presnejšie jej negáciu aspoň jeden). Predstavme si, že máme pred sebou tvrdenia 0 0 = 0, 1 0 = 0, 2 0 = 0, 3 0 = 0, a tak d alej, ale aj ( 1) 0 = 0, ( 2) 0 = 0, ( 3) 0 = 0, a tak d alej. Sú to teda všetky tvrdenia tvaru x 0 = 0, kde x je l ubovol né celé číslo. Kým nevieme, o aké x ide, samotný zápis x 0 = 0 nie je tvrdením, ale akousi schémou, parametrizovaným tvrdením, nazývaným aj výroková funkcia. Pre každé konkrétne celé číslo x však x 0 = 0 tvrdením je, a l ahko vidíme, že je pravdivé. Symbolicky tento fakt zapíšeme ( x Z)x 0 = 0. Ak teda máme pre každé x z nejakej množiny M (v predošlom príklade šlo o množinu Z) nejaké tvrdenie S(x) (u nás to bolo x 0 = 0), môžeme z nich skonštruovat tvrdenie ( x M)S(x). Značku nazývame všeobecný (alebo vel ký) kvantifikátor a čítame ju pre všetky. Celkovo teda naše tvrdenie ( x M)S(x) možno prečítat ako vetu Pre všetky prvky x z množiny M platí tvrdenie S(x).. V súlade s tým je toto tvrdenie pravdivé práve vtedy, ked je tvrdenie S(x) pravdivé pre všetky prvky x z množiny M, čo je v našom príklade ( x Z)x 0 = 0 pravda. Ak by sme však namiesto

13 1.2.4 Písmená 13 toho mali pre každé celé číslo x tvrdenie x 1 = 0, tvrdenie ( x Z)x 1 = 0 by nebolo pravdivé, lebo napríklad pre celé číslo 1 je tvrdenie 1 1 = 0 nepravdivé. Teraz budeme skromnejší nebudeme požadovat platnost tvrdenia x 1 = 0 pre každé celé číslo, ale uspokojíme sa aspoň s jedným, ak vôbec existuje. L ahko vidíme, že vyhovuje napríklad celé číslo 0, teda môžeme povedat, že existuje celé číslo x, pre ktoré tvrdenie x 1 = 0 platí. A tento fakt zapíšeme v tvare ( x Z)x 1 = 0. Ak teda máme opät pre každé x z množiny M nejaké tvrdenie S(x) (tu to bolo x 1 = 0), môžeme skonštruovat aj tvrdenie ( x M)S(x). Symbol nazývame existenčný (alebo malý) kvantifikátor a čítame ho existuje. Celkovo teda tvrdenie ( x M)S(x) možno prečítat ako vetu Existuje prvok x z množiny M, pre ktorý platí tvrdenie S(x).. A opät v súlade s tým je toto tvrdenie pravdivé práve vtedy, ked je tvrdenie S(x) pravdivé aspoň pre jeden prvok x z množiny M. A to v našom príklade ( x Z)x 1 = 0 pravda je, ved sme také celé číslo našli 0. Všimnime si úlohu množiny M. V skutočnosti sa pri definícii kvantifikácíı nepoužíva, teda prvotné kvantifikátorové vyjadrenia sú ( x)t(x) a ( x)t(x). Nami uvažované zápisy pomocou M sa potom dajú jednoducho ekvivalentne prepísat takto: ( x M)S(x), akk ( x) (x M) S(x) a ( x M)S(x), akk ( x) (x M) S(x) Písmená Najrozšírenejšími symbolmi na označenie matematických objektov sú latinské písmená, a to zrejme preto, že nie je problém ich prečítat. Táto výhoda má však aj svoje tienisté stránky čitatel je s týmito znakmi zoznámený až privel mi, a potom ignoruje ich pre symboliku rovnako dôležité formálne vlastnosti. Za najdôležitejšiu z nich treba považovat typ (alebo rez či font) písma (včítane jeho vel kosti či hrúbky). Nezriedka sa nešt astne zamieňajú napríklad znaky x, x, x, x, x, či dokonca X, zrejme s odôvodnením, že ved stále ide o iks. Rôzne typy písma však spravidla majú svoje obvyklé významy: Šikmé písmená (nazývané aj italika) sú najrozšírenejšie a slúžia ako temporálne (t. j. dočasné) či lokálne (t. j. miestne) označenie. Nazývame ich preto premenné. Samozrejme, pri premennej musí byt vždy jasný jej rozsah, t. j. odkial pokial ju chápeme v tom istom zmysle. Spravidla ide o niekol ko odsekov (napr. v rámci jednej vety), niekedy je však rozsah minimálny vtedy hovoríme o viazanej premennej. Typickými príkladmi viazanosti premennej sú: P index (alebo počítadlo) i v označení súčtu n a i, i=1 premenná n v označení limity lim n f(n), kvantifikovaná premenná x v zápise ( x M)S(x), premenná x v množinovom zápise {x M : S(x)}. P V zápise n P i + n i 2 tak premenná i vystupuje dvakrát, no nedorozumenie nevznikne, lebo rozsahy oboch i i=1 i=1 sa nepretínajú. Podobne je to pri zápisoch lim n (všimnime si tu úlohu okrúhlych zátvoriek vyjasňujú rozsah oboch viazaných premenných). 1 n + lim n 1 n 2 alebo (( x Z)x 0 = 0) (( x Z)x 1 = 0) Dočasný charakter označenia rozoznáme jednoducho: je to vtedy, ak je možné všetky výskyty premennej (v danom rozsahu) nahradit bez zmeny významu iným (pravdaže, doteraz v rámci tohto rozsahu nepoužitým a stále tým istým) symbolom. Napríklad zápisy ( x M)S(x) a ( y M)S(y) majú rovnaký zmysel P (zrejme nezávisiaci od x či y) a n P a i a n a j majú rovnakú hodnotu (nezávisiacu na i ani na j). Platí tiež i=1 {x Z : x 0 = 0} = {y Z : y 0 = 0} a rovnaký význam majú aj vety j=1

14 1.2.4 Písmená 14 a Nech n je prirodzené číslo. Potom ak n je delitel né 4, tak n je delitel né aj 2. Nech k je prirodzené číslo. Potom ak k je delitel né 4, tak k je delitel né aj 2. či ich dôkazy a Ked že predpokladáme, že n je delitel né 4, existuje prirodzené číslo také, že n je jeho 4-násobkom. Ak toto číslo označíme k, tak n = 4k. Označme m prirodzené číslo 2k, t. j. 2k = m. Potom platí 4k = 2m, čiže n = 2m. Existuje teda prirodzené číslo také, že n je jeho 2-násobkom, z čoho vyplýva, že n delitel né aj 2. Ked že predpokladáme, že k je delitel né 4, existuje prirodzené číslo také, že k je jeho 4-násobkom. Ak toto číslo označíme p, tak k = 4p. Označme m prirodzené číslo 2p, t. j. 2p = m. Potom platí 4p = 2m, čiže k = 2m. Existuje teda prirodzené číslo také, že k je jeho 2-násobkom, z čoho vyplýva, že k delitel né aj 2. Tu si všimnime, že výmena n za k v znení vety si vynútila aj zmenu označenia lokálnej premennej k z prvého dôkazu, inak by totiž nastal konflikt rozsahov oboch k, ked že rozsah označenia vo vete siaha do celého príslušného dôkazu. Vidíme teda, že premenné môžu byt označené v podstate akokol vek. Napriek tomu sa však vyvinuli isté nepísané pravidlá na to, kedy aké písmeno použit : Na označenie prirodzeného čísla sa obvykle používa písmeno n (zrejme skratka anglického natural ), ak je potrebné označit prirodzených čísel viac, nastupujú písmená z jeho bĺızkeho okolia v abecede k a m, zriedkavo aj (vzhl adom na prílišnú podobu s číslom 1 typograficky nešt astné) l, prípadne vo verzii l. Pre jedno reálne číslo sa núka označenie x, v prípade potreby sú naporúdzi d alšie písmená z konca abecedy y, z, či w. Ako symbol pre funkciu zvykne slúžit f (zrejme skratka anglického slova function ), ale i g či h z jeho abecedného okolia. Pre reláciu analogicky používame R (zrejme skratka anglického slova relation ), prípadne S a T. Na označenie (nijako špeciálnych) množín sa používajú vel ké písmená A, B, C, ale i K, L, M, či X, Y, Z. Na označenie (opät nijako zvláštnych) systémov množín obvykle slúžia vel ké kaligrafické písmená A, B, C a podobne. Ako index v súčtoch ( P ) sa používa hlavne i, v prípade potreby potom aj j a k. Rovné písmená sú určené na označenie objektov s trvalou platnost ou, a to ako konštánt napr. e pre Eulerovo číslo, i pre komplexnú jednotku, či znaky N, Z, Q, R, C pre množiny (všetkých) prirodzených, celých, racionálnych, reálnych a komplexných čísel, tak funkcíı napr. S pre obsah či V pre objem. (Do tejto kategórie možno zaradit aj cifry 0, 1,..., 9.) Obvykle sa však pre funkcie používajú viacpísmenné skratky ako max, min, log, lg, exp, sin, cos, či lim. Nedodržanie tohto pravidla je dost nebezpečné, pretože napríklad na rozdiel od sin šikmý zápis sin znamená súčin premenných s, i a n. Často sa stáva, že pracujeme s väčším počtom objektov rovnakého typu, a preto ich potrebujeme nejako označit. Vtedy je však nepohodlné použit trebárs a, b, c, d, e, atd., pretože jednak počet písmen je dost

15 1.2.5 Zátvorky 15 obmedzený, nemusí byt úplne zrejmé ich poradie, a navyše, čo je podstatnejšie, strácame informáciu o rovnakosti ich druhu, a tým i možnost pracovat s nimi hromadnejšie. V takom prípade použijeme len jedno písmeno, ale dodáme k nemu rôzne indexy, napr. a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, atd.. (Všimnime si, že presne takto riešime tento problém aj pri programovaní, ked v analogickej situácii používame dátovú štruktúru pole.) Tak vyriešime všetky naznačené t ažkosti jednak takýchto indexov je potenciálne nekonečne vel a, jednak ich poradie je úplne zrejmé, a jednak nestrácame ani rovnakost typov. A vieme s nimi pracovat i všeobecne, ak niečo platí pre všetky tieto objekty, jednoducho napíšeme, že to platí pre všetky a i, kde i je prvok tej a tej množiny. Ak je objektov konečne vel a, touto množinou je spravidla nejaký počiatočný úsek množiny N, napr. v našom príklade 0, 1, 2, 3, 4. Číslo 0 sa vzhl adom na svoj špecifický charakter (v niektorých kruhoch nepovažuje za prirodzené číslo) vel mi často vynecháva, a tak indexy začínajú až číslom 1. V prípade (nekonečnej) postupnosti objektov sa používajú indexy z množiny N (opät niekedy bez nuly). Indexovou množinou nemusia byt len prirodzené čísla, ak treba, môžeme použit l ubovol nú množinu. Na rozdiel od typov písma matematická symbolika nie je vôbec citlivá na fyzickú vel kost písmen, takže P trebárs v zápise n i2 2i majú všetky tri výskyty italického písmena i napriek rôznej vel kosti rovnaký význam. i=1 Na záver dodajme, že uvedené zásady síce nemajú univerzálnu platnost, ich používanie však značne zjednodušuje chápanie textu, preto by si autor textu mal vždy dobre rozmysliet, či ich porušenie stojí za to. Analogické zásady by mohli platit aj pre písmená z iných abecied (gréckej či hebrejskej), tam sú však naše typografické možnosti podstatne obmedzenejšie Zátvorky Osobitnú zmienku si zaslúžia zátvorky. Jeden zo stredoškolských zlozvykov je miešat rôzne ich typy (napríklad pri úprave výrazov). V skutočnosti však má každý druh zátvoriek svoje osobitné určenie a nemožno ich vol ne zamieňat : Množinové (alebo aj kučeravé či chlpaté) zátvorky otvárajúca { a zatvárajúca } slúžia na označenie rozsahom (extenzionálne) alebo obsahom (intencionálne) zadanej množiny. Napríklad {0, 1, 5, 6} je extenzionálne (t. j. svojím rozsahom) zadaná množina obsahujúca práve štyri prvky 0, 1, 5 a 6, kým {x R : x 0} je intencionálne (t. j. svojím obsahom) zadaná množina obsahujúca práve nezáporné reálne čísla. Zdôraznime, že pri množinách nezáleží na poradí či početnosti prvkov, teda napríklad {0, 1, 5, 6}, {0, 6, 5,1}, {0, 1,1, 0,5, 6,5} či dokonca {3 3, 2 : 2,2 + 3,2 3} sú síce rôzne vyjadrenia, ale stále tej istej štvorprvkovej množiny. Špicaté (alebo aj lomené) zátvorky otvárajúca a zatvárajúca sa používajú na označenie (usporiadaných) tíc (napríklad (súradníc) bodov či vektorov), pri ktorých na rozdiel od prvkov množín záleží na poradí ich zložiek. Napríklad 2, 3, 5 je usporiadaná trojica, ktorej prvá zložka je 2, druhá 3 a tretia 5, kým 5, 2,3 je iná usporiadaná trojica s prvou zložkou 5, druhou 2 a tret ou 3. Hranaté zátvorky otvárajúca [ a zatvárajúca ] budeme používat na označenie (hraníc) uzavretého intervalu reálnych čísel. Napríklad [0, 1] je množina {x R : 0 x 1}. Okrúhle zátvorky otvárajúca ( a zatvárajúca ) majú neutrálny charakter a slúžia na zdôraznenie poradia vykonávania operácíı. Napríklad (4 3) 2 naznačuje, že najprv treba vypočítat rozdiel 4 3, a až potom od jeho výsledku odrátat 2, kým 4 (3 2) hovorí, že ako prvý treba zistit rozdiel 3 2, a až potom ho odčítat od čísla 4. To, že výsledky týchto výrazov ĺıšiacich sa len zátvorkami sú rôzne, dôrazne naznačuje, že ani úlohu týchto neutrálnych zátvoriek nemožno vo všeobecnosti podceňovat. Okrem toho majú tieto zátvorky aj jednu špeciálnu úlohu: používajú sa na označenie (hraníc) otvoreného intervalu reálnych čísel. Napríklad (0, 1) je množina {x R : 0 < x < 1}. Netreba azda zdôrazňovat, že zátvorky žijú v pároch a otvárajúca zátvorka predchádza zatvárajúcu. Dôležité je tiež zachovávat správne uzátvorkovanie, čo znamená dodržiavanie zásobníkového princípu: Ak je otvárajúca zátvorka prvého páru medzi oboma zátvorkami druhého páru, tak medzi nimi musí byt aj zatvárajúca zátvorka prvého páru.

16 1.3 Symboly v definíciách a vetách 16 Obe zátvorky z jedného páru musia byt rovnakého druhu. Jedinou výnimkou z tohto pravidla je označovanie polootvorených intervalov, ked partnerom otvárajúcej zátvorky ( je zatvárajúca zátvorka ], resp. partnerom otvárajúcej zátvorky [ je zatvárajúca zátvorka ). Ak riadok matematického textu z typografických dôvodov presahuje obvyklú výšku (hrúbku), používajú sa zväčšené verzie zátvoriek (napr. namiesto {). Rovnakú vel kost však potom musí mat aj partnerská zátvorka. Na záver ešte dve poznámky: V niektorých matematických textoch je úloha špicatých a hranatých zátvoriek vymenená [0, 1] je tam usporiadaná dvojica, 0, 1 uzavretý interval. Ked že sú však zátvorky a (, resp. a ) (najmä pri nedôslednom ručnom zapisovaní) graficky príliš podobné, môže l ahko dôjst k vážnemu nedorozumeniu, či ide o uzavretý, polootvorený alebo otvorený interval. Pri v tomto texte uvedenej symbolike takéto nebezpečenstvo nehrozí, ked že rozdiel medzi [0, 1] a (0, 1) je omnoho výraznejší než pri dvojici 0, 1 a (0,1). Dodajme, že množinové zátvorky sa ešte aj dnes v mnohých kruhoch používajú na označovanie postupnosti {f n : n N}. Toto použitie je však vel mi nešt astné, pretože postupnost nie je množinou svojich členov (okrem iného aj preto, že v nej záleží na ich poradí). Označenie sa tak stáva vnútorne nekonzistentným, a tým aj mätúcim. Odporúča sa preto používat označenie f n : n N alebo neutrálne (f n : n N). 1.3 Symboly v definíciách a vetách Dotkli sme sa už matematickej symboliky i štruktúry matematického textu. Urobme teraz krátku záverečnú syntézu odpovedzme na otázku, ako je to s premennými vo vetách a definíciách. Uvedomme si, že ak na nejakom mieste zavádzame nejaké označenie, robíme to preto, aby sme ho na inom mieste aspoň raz použili. Inak je totiž toto označenie zbytočné, ba až kontraproduktívne. Pokial ide o vetu, rozsah prípadných premenných v nej zavedených je len táto veta, avšak včítane svojho dôkazu. Ak by sa však toto označenie používalo len v dôkaze, stačilo by ho zaviest na jeho začiatku. Znamená to teda, že toto zavedené označenie by malo byt použité už v znení vety. Ak to zhrnieme, každá premenná v znení správne sformulovanej vety sa v nej musí vyskytnút aspoň dvakrát. Napríklad vo vete Nech n je prirodzené číslo. Potom číslo nk je delitel né n. sa premenná k vyskytuje iba raz, preto ju treba upravit bud na tvar Nech n a k sú prirodzené čísla. Potom číslo nk je delitel né n. alebo na tvar Nech n je prirodzené číslo. Potom pre všetky prirodzené čísla k je číslo nk je delitel né n. Aj pri definícii z rovnakých dôvodov platí, že každá premenná sa v nej musí vyskytnút aspoň dvakrát. Tu však musíme požadovat ešte niečo navyše, pretože už spomínaná nekorektná definícia Nech n a k sú prirodzené čísla. Hovoríme, že n je dobré, ak k je delitel né n.

17 2 Základné matematické pojmy 17 túto podmienku spĺňa. Kde je teda problém? Rozsah premennej zavedenej v preambule (teda v časti po Nech ) je od miesta jej zavedenia až po koniec definície. Ak sa však taká premenná nevyskytuje v prvej časti jadra definície (teda v časti medzi Hovoríme, že a ak ) ako je to s našou premennou k, hrozí, že definícia bude nekorektná. Vyhneme sa tomu úplne jednoducho v preambule zavedieme len také premenné, ktoré sa v prvej časti jadra definície vyskytujú. Ak má byt teda naša definícia dobroty korektná, bude treba urobit nejakú zmenu, napríklad Nech n je prirodzené číslo. Hovoríme, že n je dobré, ak pre všetky prirodzené čísla k je k delitel né n. V takom prípade už definícia korektná je (a vyplýva z nej, že dobré číslo je len jedno, a to 1).

18 2 Základné matematické pojmy 18 2 Základné matematické pojmy

19 2.1.2 Podtriedy a podmnožiny Množiny Trieda a množina Pojmy triedy a množiny radšej nebudeme na tomto mieste presne definovat, uspokojíme sa len s niektorými ich dôležitými vlastnost ami. Pod triedou rozumieme súbor objektov spĺňajúcich nejakú dobre definovanú vlastnost, čo symbolicky zapíšeme {x : S(x)}, kde S je nejaká výroková funkcia. Niektoré z tried sa nazývajú množiny, a to práve tie, ktoré môžu vystupovat na l avej strane znaku, teda tie, ktoré môžu byt prvkom niektorej triedy (áno, treba zabudnút na predsudok, že objekt je bud množina, alebo prvok). Každá množina je teda trieda, ale zd aleka nie všetky triedy sú množiny. Také triedy nazývame vlastné triedy. Klasickým príkladom je trieda T = {x : x / x}. Ak by to bola množina, mohli by pre ňu nastat dve možnosti bud T T, alebo T / T. Ale ak je T prvkom T, tak preň podl a definície T platí T / T, a ak T nie je prvkom T, tak podl a definície T nemôže platit T / T, a teda musí platit T T. To teda znamená, že T T práve vtedy, ked T / T, čo je zrejmý nezmysel. Trieda T teda nie je množina, čiže je to vlastná trieda. Každá trieda je daná len svojimi prvkami, do hry nevstupuje žiadna ich vlastnost či vzájomný vzt ah. Platí preto vlastnost zvaná extenzionalita: Ak sú X a Y triedy, tak X = Y, práve vtedy, ked ( x) (x X) (x Y ). Špeciálne to, pravdaže, platí pre množiny Podtriedy a podmnožiny Hovoríme, že trieda Y je podtrieda triedy X a zapisujeme to Y X, ak každý prvok triedy Y je aj prvkom triedy X. Symbolicky to môžeme vyjadrit Y X, akk ( x Y )x X, akk ( x) (x Y ) (x X). Tento vzt ah, zvaný inklúzia, môžeme vyjadrit aj graficky: Y X Naopak, X bude nadtriedou triedy Y (čo zapíšeme X Y ), ak Y je podtriedou X, teda X Y, akk Y X. Pod podmnožinou rozumieme podtriedu množiny. Treba zdôraznit, že takáto podtrieda je vždy množina (tento fakt je súčast ou tu neuvádzanej definície pojmu množina). Naopak, nadmnožinou nazveme nadtriedu, ktorá je množinou (tu táto vlastnost nie je samozrejmá). Napríklad množina {1, 2, 4} je podmnožinou množiny {1, 2, 3,4}, lebo každý jej prvok aj 1, aj 2, aj 4 patria do {1, 2, 3,4}. Naproti tomu nie je podmnožinou množiny {1, 2,3}, lebo do tejto množiny nepatrí prvok 4:

20 2.1.3 Prienik a zjednotenie Všimnime si, že podl a definície je každá množina sama sebe podmnožinou (i nadmnožinou). Ak túto špeciálnu možnost vylúčime, budeme hovorit o vlastnej podmnožine a značit to znakom (tu stojí za povšimnutie súlad grafickej a obsahovej podobnosti dvojíc vs. a vs. <). Takže Y X, akk Y X, ale Y X. Napríklad {1, 2, 4} je vlastnou podmnožinou množiny {1, 2, 3, 4}, ale nie je vlastnou podmnožinou množiny {1, 2, 4} (samej seba). Pojem podmnožiny nám poskytuje vhodnú príležitost narušit spomínaný predsudok, že objekty sa delia na dve principiálne odlišné skupiny prvky a množiny. Všetky podmnožiny danej množiny sú totiž prvkami špeciálnej, tzv. potenčnej množiny, ktorú označujeme P(X). Symbolicky teda P(X) = {Y : Y X}. Aj tu treba podotknút, že potenčná množina je vždy množina (opät je to preto, lebo tento fakt je súčast ou definície pojmu množiny). Napríklad potenčná množina množiny {1, 2} obsahuje ako prvky množiny {1}, {2}, {1, 2} a prázdnu množinu {}, označovanú alternatívne a častejšie či, symbolicky teda n o P({1, 2}) =, {1}, {2}, {1, 2} Prienik a zjednotenie Tak ako sú pre reálne čísla definované základné aritmetické operácie, istú aritmetiku majú aj množiny. Vstupom množinových operácíı sú teda množiny, ich výsledkami tiež množiny. Najprv definujme tie jednoduchšie z množinových operácíı: Nech A a B sú l ubovol né dve množiny. Prienikom dvoch množín (s označením ) rozumieme množinu obsahujúcu práve všetky ich spoločné prvky, čo symbolicky môžeme zapísat rovnost ou A B = {x : x A x B}. Zjednotenie dvoch množín (označené ) bude množina zložená z prvkov oboch množiny, teda A B = {x : x A x B}. Definície môžeme znázornit aj graficky, pomocou tzv. Vennových diagramov: A B A B

21 2.1.3 Prienik a zjednotenie 21 Tieto dva vzt ahy môžeme prepísat ešte v trochu inej, možno trochu prehl adnejšej forme: x A B, akk x A x B. x A B, akk x A x B. Tu vel mi pekne vidíme súvis znakov a a tiež a. Sú dokonca typograficky vel mi podobné, čo občas zvádza k ich (samozrejme) nesprávnemu zamieňaniu. Vzhl adom na príslušné vlastnosti logických spojok a l ahko vidíme, že podobne sú na tom aj operácie prieniku a zjednotenia, t. j. platia tieto vlastnosti: Nech A, B a C sú množiny. Potom: A B = B A (komutativita ). A B = B A (komutativita ). (A B) C = A (B C) (asociativita ). (A B) C = A (B C) (asociativita ). (A B) A = A (absorpcia ). (A B) A = A (absorpcia ). (A B) C = (A C) (B C) (distribúcia vzhl adom na ). (A B) C = (A C) (B C) (distribúcia vzhl adom na ). Na ukážku dokážeme jedno z týchto tvrdení, trebárs predposledné. Pripomeňme pritom, že dokázat rovnost dvoch množín X a Y znamená ukázat, že tvrdenia x X a x Y sú pre každé x ekvivalentné: Nech x je l ubovol ný (prípustný) prvok. Potom platí nasledujúca séria ekvivalencíı: x (A B) C, akk (x A B) x C (podl a definície zjednotenia), akk (x A x B) x C (podl a definície prieniku), akk (x A x C) (x B x C) (distribúcia disjunkcie k členom konjunkcie), akk (x A C) (x B x C) (podl a definície zjednotenia), akk (x A C) (x B C) (podl a definície zjednotenia), akk x (A C) (B C) (podl a definície prieniku). Celkovo teda platí x (A B) C práve vtedy, ked platí x (A C) (B C), čo znamená (A B) C = (A C) (B C), a to je presne to, čo sme chceli dokázat. Ukázali sme, ako zjednocovat a prenikat dve množiny. Analogické operácie sú však definované pre l ubovol ný systém množín {A i : i I} (I je nejaká (možno i nekonečná) množina indexov). Prienikom tohto systému (s označením T ) rozumieme aj tu množinu obsahujúcu práve všetky ich spoločné prvky, čo symbolicky môžeme zapísat rovnost ou \ {Ai : i I} = {x : ( i I)x A i}. Zjednotenie tohto systému (označené S ) bude množina zložená z prvkov patriacich aspoň do jednej z množín systému, teda [ {Ai : i I} = {x : ( i I)x A i}. Namiesto T {A i : i I} obvykle píšeme jednoduchšie T i I Ai a analogicky namiesto S {A i : i I} zasa S i I Ai Takýmto spôsobom napríklad môžeme vyjadrit, že interval (0,1) môžeme pokryt intervalmi tvaru ( 1,1), n+1 kde n je prirodzené číslo, a to zápisom [ «1 n + 1,1 = (0, 1). n N

22 2.1.4 Rozdiel a komplement 22 Ako príklad použitia prieniku systému nech poslúži rovnost \ 1 «n + 1, 1 = {0}. n + 1 n N Všimnime si tiež, že v prípade dvojprvkovej indexovej množiny I = {1, 2} platí a z čoho vyplýva ( i {1, 2})x A i, akk x A 1 x A 2 ( i {1, 2})x A i, akk x A 1 x A 2, \ i {1,2} a [ i {1,2} A i = A 1 A 2 A i = A 1 A 2. Vidíme teda, že pojem prieniku, resp. zjednotenia dvoch množín je špeciálnym prípadom prieniku, resp. zjednotenia systému. Na záver ešte jeden dôležitý pojem, súvisiaci s prienikom: Hovoríme, že množiny A a B sú disjunktné, ak A B =. Disjunktné sú teda napríklad množiny párnych a nepárnych prirodzených čísel, alebo trebárs množiny {1, 2, 3} a {4,5, 6}, či a X (a to pre l ubovol nú množinu X) Rozdiel a komplement Nech A a B sú l ubovol né dve množiny. Rozdielom dvoch množín (s označením, ale nezriedka aj či \ ) rozumieme množinu obsahujúcu práve tie prvky prvej množiny, ktoré nepatria do druhej množiny. Symbolicky teda A B = {x : x A x / B}. Aj túto definíciu môžeme znázornit pomocou Vennovho diagramu: A B Takže napríklad {1, 2, 3,4} {1, 2, 5,6} = {3, 4}, ale {1, 2,5, 6} {1, 2, 3,4} = {5, 6}. Vidíme teda, že rozdiel na rozdiel od prieniku a zjednotenia nie je komutatívny. Aby sa táto z istého hl adiska nepekná črta odstránila, definuje sa pre množiny A a B vzt ahom tzv. symetrický rozdiel množín A a B. A B = (A B) (B A).

23 2.1.5 Karteziánsky súčin 23 A B L ahko tiež vidiet, že platí vzt ah A B = (A B) (A B). Uved me teraz dôležitý špeciálny prípad rozdielu množín: Ak M je l ubovol ná množina a A jej podmnožina, množinu M A nazývame komplement (alebo aj doplnok) množiny A (v množine M). A M L ahko vidiet, že komplement komplementu je pôvodná množina, t. j. pre l ubovol nú množinu M a jej podmnožinu A platí M (M A) = A. Z demorganových pravidiel tiež l ahko odvodíme (pre l ubovol nú množinu M a jej dve podmnožiny A a B) vzt ahy M (A B) = (M A) (M B) a M (A B) = (M A) (M B). Analogicky pre l ubovol ný systém {A i : i I} podmnožín množiny M platí! M A i = i I(M \ A i) [ i I a teda vol nými slovami: M \ i I A i! = [ i I(M A i), komplement zjednotenia je prienik komplementov, komplement prieniku je zjednotenie komplementov Karteziánsky súčin Ďalšou črtou nami neuvedenej definície je možnost vytvárat dvojprvkové množiny, teda fakt, že pre každé x a y je {z : z = x z = y} = {x, y} nielen trieda, ale i množina. V špeciálnom prípade, ked x = y, tak dostávame jednoprvkovú množinu {x}. Pri nej zdôraznime, že sa nerovná svojmu prvku, t. j. {x} x.