4. Hydromechanika. , kde r j je jednotkový vektor v smere osi y.

Transcript

1 Hydomechnik ákldné pojmy: ideáln kvplin, tlk, zákldná ovnic hydosttiky, hydosttický tlk, Achimedov zákon, Psclov zákon, púdenie ideálnej kvpliny, ovnic kontinuity, hmotnostný objemový tok, Benoulliho ovnic, Toicelliho vzoec, Stokesov zákon Riešené úlohy: O ký uhol s odchýli od vodoovnej oviny hldin kvpliny v cistenovom voze, ktoý bzdí so spomlením = 5 m/s? (súčsťou úlohy je obázok) Pedpokldjme, že cisten s pohybuje v ovine xy, v smee osi x Nšou úlohou je nájsť uhol α, ktoý pi bzdení zvie hldin kvpliny s osou x Ak uvžujeme vzťžnú sústvu (VS) pevne spojenú s cistenou, kvplin je v tejto VS v pokoji Cisten s pohybuje so spomlením, VS je neineciáln N ľubovoľnú čsticu kvpliny peto okem jej tiže pôsobí j zotvčná sil F z, F z = m, kde m je hmotnosť vybnej čstice je veľkosť spomleni cisteny otvčná sil je oientovná opčne ko je sme spomleni, F = m V nšej VS je kvplin v pokoji, ted podľ zákldnej ovnice hydosttiky ρϕ + p = konšt V kždom bode povchu kvpliny je tlk ovnký, kvplin je homogénn jej hustot je peto tiež konštntná Potom zákldná ovnic hydosttiky pe povch kvpliny bude mť tv: ϕ = konšt, kde ϕ je potenciál pôsobicich síl, tj súčet potenciálov tiže zotvčnej sily V ďlšom njpv nájdeme tento potenciál (body,, ), potom učíme hodnotu konštnty, ktoej s má ovnť (bod ) nkoniec vypočítme hľdný uhol (bod 5): potenciál tiže ϕ : Vychádzme zo známeho vzťhu medzi intenzitou potenciálom silového poľ E = gdϕ, F pičom vieme, že E =, kde F je pôsobic sil m V nšom pípde F = = mg = gj, kde j je jednotkový vekto v smee osi y d Po dosdení do ovnice E = gdϕ dostneme: gj ϕ = j Riešením tejto ovnice je dy ϕ = gy c Hodnotu integčnej konštnty c učíme tk, že definujeme nulovú hldinu + ϕ y = = potenciálu, npíkld n osi x-ovej: ( ) Potom c = máme: ϕ gy = potenciál zotvčnej sily ϕ z : Úvh je podobná ko pe potenciál tiže otvčná sil F = m = mi, kde i je jednotkový vekto v smee osi x d Po dosdení do ovnice E = gdϕ dostneme: i ϕ = i Riešením tejto ovnice je dx ϕ = x + c Hodnotu integčnej konštnty c učíme podobne ko pedtým Os x je hldinou nulového potenciálu, peto v bode [ ;] je j ϕ = Potom c = máme ϕ = x

2 výsledný potenciál ϕ: Výsledný potenciál je súčtom potenciálov tiže zotvčnej sily: ϕ = ϕ + ϕ = gy x hodnot výsledného potenciálu: Hldin kvpliny pechádz bodom [ ;], peto môžeme písť: ϕ = g = = konšt Dostli sme ovnicu pimky gy x =, čiže y = x Toto je ovnic hldiny kvpliny g v cistene 5 výpočet uhl α: Rovnic y = x je smenicovým tvom pimky, podiel = tgα Peto g g 5ms o α = ctg = ctg = 7 g 9,8ms Hldin kvpliny s odchýli o uhol 7 Akou silou pôsobí vod n bočnú stenu kvái, ktoá má tv štvoc so stnou = cm, k je kváium nplnené ž po okj? V kej hĺbke leží pôsobisko sily ekvivlentnej tlkovej sile n bočnú stenu? (súčsťou úlohy je obázok) Tlk v kvpline závisí od hĺbky pod hldinou Ak skúmme tlk (tlkovú silu) n bočnú stenu, pohybujeme s od hldiny kvpliny ž po dno kvái Hĺbk s ted mení v intevle <; > V konštntnej hĺbke je konštntný tlk Peto vybeieme elementánu plochu bočnej steny ds = dy, ktoej kždý bod leží v hĺbke y Tlk pôsobici n túto plochu je p = yρg tlková sil bude df = pds = yρgdy Celkovú tlkovú silu vypočítme tk, že spojito sčítme tlkové sily pôsobice n všetky elementáne plochy, ted ydy = ρ g F = df = ρg Pod silou ekvivlentnou sile tlkovej budeme ozumieť tkú silu, ktoej účinok n bočnú stenu kvái by bol ovnký ko v pípde tlkovej sily To znmená, že momenty síl musi byť ovnké Ak oznčíme meno pedtým vypočítnej sily ko, potom pe jej moment pltí M = F = ρ g Moment sily pôsobicej vody vypočítme pomocou momentu, ktoým pôsobí vod n elementánu plochu steny v hĺbke y: dm = ydf = yyρgdy Celkový moment bude M dm = ρ g y dy = = ovnosti momentov = =,m =, 66m ρ g g g ρ = ρ vyplýv, že hľdná hĺbk

3 Učte hĺbku vody, do ktoej teb ponoiť vzduchovú pištoľ klibu d = 7 mm, by po stisnutí kohútik nevyšiel z hlvne náboj! Hlveň má dĺžku l =, m, hmotnosť náboj je m = 7 g jeho ýchlosť pi výstele v okmihu opusteni hlvne je v = 7 m/s Pištoľ musí byť ponoená do tkej hĺbky, by pi výstele vod pôsobil n náboj bzdnou silou, ktoá náboj v hlvni zství Bzdná sil musí n dáhe l vykonť pácu, ktoá je ovná zmene kinetickej enegie náboj: A Fl E mv = = k = Sil, ktoou vod pôsobí poti pohybu náboj je vyjdená pomocou hydosttického tlku: d F = ps = hρgπ d Po dosdení do pvej ovnice dostneme: psl = mv, ted h ρg π l = mv, odkiľ pe mv,7kg ( 7m / s) hĺbku vyplýv h = = =, 7m ρgπd l kg / m 9,8m / s,,7m,m ( ) Do vlcovej nádoby polomeu =,5 m piteká vod ovnomeným púdom, pičom z jednu sekundu jej pitečie Q = 5 cm s - N dne nádoby je otvo s pieezom S =,5 cm V kej výške s ustáli vod v nádobe, k znedbáme zúženie vytekjúceho vodného lúč otvoom? ký čs vytečie vod z nádoby, k po ustálení vodnej hldiny zstvíme pítok vody? Podľ Toicelliho vzoc výtoková ýchlosť závisí od výšky hldiny nd otvoom (h) podľ vzťhu v = hg Čím bude hldin vody v nádobe vyššie, tým bude väčši výtoková ýchlosť tým vic vody z jednotku čsu z nádoby vytečie Hldin s ustáli vtedy, k množstvo vody, ktoé z jednotku čsu do nádoby pitečie (Q p ) bude ovné množstvu vody, ktoé z ten istý čs z nádoby vytečie (Q v ) (Ak by vyteklo menej vody ko piteká, hldin by stúpl; k by vyteklo vic vody ko piteká, hldin by klesl) Ak oznčíme výšku ustálenej hldiny h mx, potom pltí: Q p = Q v, čo v nšom pípde znmená Q Q = vs = S hmx g, odkiľ pe hľdnú výšku hldiny dostneme h mx = gs 6 ( 5 m s ) Číselne = 9,8ms (,5 m ) h =,6m 6cm mx = Ak zstvíme pítok vody, hldin, ted j výtoková ýchlosť budú klesť To znmená, že výtok (objemový tok) nebude konštntný Peto musíme uvžovť množstvo vytečenej vody dv z elementány čsový okmih dt: Q v = nmienko - znmená, že s čsom objem dt vody v nádobe klesá Nech hldin kvpliny v čse t bol vo výške h nd dnom Oznčíme vzdilenosť, o ktoú s hldin v nádobe z čs dt zmenšil ko dh Potom z čs dt ubudol z nádoby objem vody

4 dv = π dh ten istý čs dt vytiekol otvoom n dne objem S hgdt, čo pedstvuje výtok Q S hg v = dv π dh Po dosdení do ovnice Q v = dostávme: S hg =, odkiľ chceme vypočítť dt dt čs, z ktoý klesne hldin z výšky h = h mx n výšku h = t π dh π Dostneme ovnicu dt =, ktoú integujeme: dt = h dh S g h S g π hmx Po integovní pe hľdný čs dostneme: t = S g Dosdením číselných hodnôt dostneme t = s = minút hmx 5 Aký výkon má ľudské sdce, k pi kždom údee ľvá pedsieň vytlčí do oty m = 7 g kvi pod tlkom p = 6 kp? Hustot kvi je ρ =,5 kg/m, nomálny tep je n = 75 údeov z minútu Pedpokldjme, že sdce bije ovnomene, potom j pác je konná ovnomene V tkom A pípde, k vychádzme zo známej definície výkonu, dostneme: P =, kde A je pác t vykonná sdcom z čs t n n m jednu sekundu pejde do oty Q = V = množstvo kvi (objemový tok) t t ρ Q Kv púdi ýchlosťou v =, kde S je pieez oty, pičom je z pedsiene vytláčná silou S F = ps, kde p je tlk Ak pedpokldáme, že pôsobic sil je konštntná, potom vzťh pe A Fs Q nm výkon môžeme upviť tkto: P = = = Fv = ps = pq = p t t S tρ Po dosdení číselných hodnôt dostneme hodnotu výkonu P =,7 W Neiešené úlohy: Vo vlcovej nádobe polomeu je kvplin hustoty ρ Nádob s otáč okolo svojej geometickej osi y stálou uhlovou ýchlosťou ω Učte: ) ko s ustáli povch kvpliny v nádobe; b) o koľko s zníži hldin kvpliny v stede nádoby opoti pôvodnej polohe, keď bol nádob v pokoji; c) ký je tlk v kvpline v hĺbke h (menej od povchu kvpliny v stede nádoby) vo vzdilenosti x od osi otáčni, keď n povch kvpliny pôsobí bometický tlk b! (súčsťou úlohy je obázok) ω [ y = g x ω - otčný pboloid; h = ; p = b + hρ g + ρω x ] g Dve otvoené mená spojených nádob A B sú nplnené nemiešjúcimi s kvplinmi s hustotmi ρ = 9 kg/m ρ = kg/m Aká je vzdilenosť hldín kvplín v jednotlivých menách od spoločného ozhni, keď ozdiel výšok hldín v jednotlivých menách je h = cm? (súčsťou úlohy je obázok) [h = cm; h = 9 cm]

5 Aká sil je potebná n zdvihnutie ovinnej hte, ktoá je pod tlkom vody, k hmotnosť hte m = 5 kg, šík hte b = m, hĺbk vody h =,5 m koeficient teni hte o opoy µ =,? (súčsťou úlohy je obázok) [9 N] Kúsok skl má tiž =,7 N Vo vode je jeho zdnlivá tiž z =,8 N Aká je hustot skl? [5 kg/m ] 5 Akou veľkou silou zdvihneme vo vode kmeň, ktoý má n vzduchu tiž = 7, N, keď hustot kmeň je ρ = kg/m? [98, N] 6 Dutá mosdzná guľ má vonkjší pieme d = cm húbku steny h =, cm istite, či táto guľ bude n vode plávť, lebo klesne n dno, keď hustot mosdze je ρ = 85 kg/m! [klesne n dno] 7 Dutá mosdzná guľ hmotnosti m =, kg s ponoí do vody polovicou svojho objemu Aký je jej vonkjší pieme húbk steny, keď hustot mosdze je ρ = 8 kg/m? [d =,6 cm; h =, cm] 8 Vzduchom nplnená gumová lopt pláv n vodnej hldine je ponoená,66 násobkom svojho objemu Pome objemu lopty objemu dutiny je : 9 Hustot gumy je 6 kg/m Učte hustotu vzduchu v dutine lopty! [ kg/m ] 9 Vod v nádobe má hldinu vo výške h = cm Ako vysoko nd dnom teb uobiť v stene nádoby otvo, by vod stiekl čo njďlej n vodoovnú ovinu, n ktoej je nádob položená? (súčsťou úlohy je obázok) [y = h/ = 5 cm] Nádob vlcovitého tvu má v stene nd sebou dv otvoy vo výškch h h od dn V kej výške má byť hldin tekutiny nd dnom nádoby, by tekutin stiekl z obidvoch otvoov do ovnkej vzdilenosti n vodoovnú ovinu, n ktoej je nádob položená? (súčsťou úlohy je obázok) [h = h + h ] ký čs vytečie polovic kvpliny z vlcovej nádoby pieezu S mlým kuhovým otvoom n dne s pieezom S *, keď koeficient zúženi vytekjúceho vodného lúč je µ keď hldin kvpliny je n zčitku vo výške h nd dnom? (súčsťou úlohy je obázok) S h [ t ( ) = * µ S g ] N vozíku stojí vlcová nádob nplnemá vodou do výšky h = m V nádobe sú n potiľhlých stnách dv ovnké ventily s otvomi s plošnými obshmi S = cm Jeden ventil je vo výške h = 5 cm nd dnom nádoby, duhý ventil vo výške h = 5 cm Aká veľká sil F v ktoom smee musí pôsobiť n vozík, by s nepohybovl, keď sú obidv ventily otvoené? (súčsťou úlohy je obázok) [F =,9 N v smee kvpliny vytekjúcej z otvou vo výške h ] Vodoovnou tubicou neovnkého pieezu peteká vod Učte, ké množstvo vody peteká kždým pieezom tubice z jednu sekundu, keď mnometické tubice umiestnené v miestch s pieezom S = cm, esp S = cm ukzujú ozdiel vodných hldín h = cm! (súčsťou úlohy je obázok) [Q =,9 - m /s] Injekčná stiekčk má plošný obsh piest S =, cm jej otvo má pieez S = mm Ako dlho bude vytekť vod zo stiekčky uloženej vodoovne, k n piest bude 5

6 pôsobiť sil F =,9 N, pičom s piest posunie celkom o dĺžku l = cm? (Vnútoné tenie znedbjte!) [,5 s] 5 uľôčk z mteiálu hustoty ρ má polome Necháme ju voľne pdť v kvpline s koeficientom viskozity η hustoty ρ Aká bude ýchlosť guľôčky po čse t od zčitku pohybu kú dáhu pejde z tento čs? ρ mg k k t [ = m t ρ m v v e, = + m s v t e ; kde v =, k = 6πη ] k 6πη 6 Nádob je nplnená glyceínom s hustotou ρ g = kg/m do výšky h = m N povch glyceínu položíme dve oceľové guľôčky s polomemi = mm = mm, hustoty ρ Pb = kg/m Vypočítjte, z ký čs od dopdu väčšej guľôčky dopdne n dno nádoby menši guľôčk! Dynmická viskozit glyceínu je η =,7 Ps [ t = 58,8 s] 7 Potubím petečie Q = cm /s vody s dynmickou viskozitou η =, Ps Vypočítjte, ký njmenší môže byť pieme potubi, by púdenie bolo lmináne! [,6 cm] 6