LUCRARE DE DIPLOMǍ. ECHILIBRU ECONOMIC CU EXTERNALITĂłI. Conducător ştiinńific Prof. Dr. Marian Mureşan Absolvent Maria D. Rusu

Transcript

1 UNIVERSITTE BBEŞ-BOLYI CLUJ-NPOC FCULTTE DE MTEMTICǍ ŞI INFORMTICǍ LUCRRE DE DIPLOMǍ ECILIBRU ECONOMIC CU EXTERNLITĂłI Coducător ştiińific Prof. Dr. Maria Mureşa bsolvet Maria D. Rusu 2008

2 Cupris Elemete de aaliză matematică, aaliză fucńioală, teoria măsurii şi aaliză eetedă 7. Elemete de aaliz matematic Elemete de aaliz fuc ioal Elemete de teoria m surii Elemete de aaliz eeted ExisteŃa uui echilibru petru ecoomii cu exteralităńi şi u spańiu cu măsură al cosumatorilor Modelul i rezultatul de existe Modelul i o iuea de echilibru Rezultatul de existe petru fuc ii geerale de exteralitate Sl birea ipotezei de covexitate EC Modelul rela iilor de coali ie Modelul i rezultatul de existe Demostra ia Teoremei Modelul rela iilor de coali ie a lui Noguchi Demostra ia teoremei de existe Demostra ia Teoremei 2 î cazul itegral m rgiit Demostra ia Teoremei 2 î cazul geeral Truchierea ecoomiei Petru destul de mare, p >> Petru suficiet de mare, ( p, f ) este u echilibru petru (, ) pedix Propriet ile multifuc iei quasi-cerere Propriet i ale rela iilor de coali ie ale lui Noguchi Cotraexemplul lui Balder de oexiste a echilibrului...58

3 3 Echilibru ecoomic cu exteralităńi. plicańii Coceptul de exteralitate; formele sale aliza exteralit ilor Echilibrul î codi ii de exteralitate Nivelul optim de exteralitate Cotrolul exteralit ilor Iterdic ia Izolarea Reglemet rile guverametale...75 Bibliografie 78

4 Itroducere Lucrarea de fa se bazeaz pe echilibrul ecoomic cu exteralit i, ca parte itegrat a matematicii ecoomice. Dezvoltarea iter a matematicii ecoomice a relevat imposibilitatea utiliz rii o iuii de fuc ie î modelare i a impus utilizarea coceptului de multifuc ie, cu toate coseci ele sale (adic, a implicat dezvoltarea aalizei multivoce (ca parte a aalizei eetede), a teoriei puctului fix, precum i a teoriei jocurilor. Echilibrul ecoomic cu exteralit i reprezit u subiect de iteres cotiuu î teoria echilibrului. Exteralit ile sut defiite ca i efecte ale celui de-al treilea participat, efecte care provi di produc ia i/sau cosumul de buuri i servicii petru care u se pl te te ici o compesa ie coveabil. Exteralit ile pot provoca u e ec (o c dere) al(a) pie ei dac mecaismul pre ului u ia î cosiderare toate costurile i beeficiile sociale ale produc iei i cosumului. Studiul exteralit ilor a deveit uul vast î ultimii ai - u î ultimul râd datorit preocup rilor î ceea ce prive te leg turile ître ecoomie i matematic. Î acest ses, este bie cuoscut faptul c majoritatea laurea ilor premiului Nobel î ecoomie au fost matematiciei: Yisrael Robert Joh uma (.8 iuie 930) (matematicia i ecoomist israeli laureat al Premiului Nobel petru ecoomie (2005)), Joh Forbes Nash Jr. (.3 iuie 928) (matematicia americ laureat al Premiului Nobel petru Ecoomie (994)). aliza microecoomic a echilibrului a fost prima dat formulat de Walras (954) i primele demostra ii ale existe ei sale au fost realizate de Wald (95), McKezie (954) i rrow i Debreu (954). ceast lucrare vorbe te despre o ecoomie de schimb cu u spa iu cu m sur al age ilor i exteralit ilor de cosum, care ia î cosiderare dou efecte extere posibile î preferi ele cosumatorilor: depede a de pre uri i cea de alte cosumuri ale age ilor. cestea permit îglobarea îtr-u model geeral de exteralit i cu rela ii de coali ie, î care preferi ele fiec rui aget a sut iflue ate de pre uri i de cosumul global (sau mediu) al age ilor î rela ii fiite de coali ie asociate fiec rui aget a. Exteralitatea depedet de pre este o problem recuoscut de mult timp, problem care i-a g sit recet oi aplica ii î studiul pie elor fiaciare, î care u model Walrasia cu preferi e depedete de pre are o form redus. Petru existe a echilibrului î ecoomii cu u spa iu cu m sur de age i i exteralit i de pre, se face referire la Greeberg, care a folosit preferi e ordoate i o apropiere a teoriei jocului, i care exploateaz ideea origial a lui Debreu de a itroduce u juc tor care stabile te pre ul. 3

5 Depede a de cosumul age ilor a fost, de asemee pus î discu ie î ultimii ai, cu îcercarea de a avea acela i ivel de geeralitate petru u spa iu cu m sur al age ilor, ca i petru u um r fiit de age i. Î aceast lucrare se va cosidera cazul age ilor cu preferi e strict trazitive, care u sut eap rat complete, ca i î cazul lui Schmeidler (969). Prelucrarea de fa permite existe a uei ipoteze mai slabe de covexitate asupra preferi elor, ceea ce ofer posibilitatea cupriderii rezultatelor lui um Greeberg i Schmeidler. Î lucrarea de fa se propue u model cu um r fiit de efecte de exteralitate, adic, formal, spa iul de exteralitate E este presupus a fi o submul ime a uui spa iu Euclidia fiit dimesioal, iar exteralitatea e E cupride efectele de exteralitate care rezult atât di depede a de pre uri, cât i di alte cosumuri ale age ilor. Rela ia de preferi a fiec rui aget care poate depide de exteralitatea e E, este dat de e, iar iflue a exteralit ii asupra preferi elor age ilor este reprezetat de o fuc ie dat a exteralit ii (exoge ), care asociaz fiec rui aget fiec rui pre p i fiec rei aloc ri de cosum f (itegrabil ), exteralitatea e = ( p, f ) E. stfel, fiid dat pre ul p i alocarea f, op iuile agetului a vor fi f cute cu ajutorul rela iei de preferi ( p, f ). Cosiderarea efectelor fiite ale exteralit ilor determi o restric ie explicit asupra cuplurilor (p,f) de pre uri i aloc ri de cosum (itegrabile) care pot iflue a preferi ele age ilor pri itermediul fuc iei de exteralitate. 4 Modelul aterior co ie, î particular, cazul exteralit ilor cu rela ii de coali ie care se prezit î cotiuare. Fie (,, ν ) spa iul cu m sur al cosumatorilor, apoi modelul rela iilor de coali ie petru fiecare aget a i fiecare pre p, um rul fiit de rela ii de coali ie C ( p) ( =,..., K), care pot iflue a preferi ele agetului a îtr-uul di urm toarele dou moduri. Fiecare coali ie C ( p) poate fi cosiderat clas de referi a agetului a petru u grup particular de m rfuri, ca de exemplu: haie, muzic, c l torii, etc. Depede a exteralit ii opereaz pri itermediul vectorilor de cosum de referi (petru grupuri particulare de marf ) care pot fi ob iu i ca i cosum total sau mediu al age ilor î rela ia de coali ie a agetului a. Cu o sigur rela ie de coali ie (de ex. K=), fuc iile de exteralitate i 2 corespuz toare cosumului total i mediu sut defiite, respectiv, pri: 2 ( p, f ) = ν [ C( p) ] = ( p, f ) f ( α) dν ( α ) C( p) [ ] ( ) ( ) (, ) > 0 f α d ν α daca ν C a p C( p) [ C a p ] 0 dacaν (, ) = 0

6 mbele modele cosider u um r fiit de efecte extere, cu spa iul de exteralitate E =R, orthat pozitiv îchis al spa iului de m rfuri R, pri î elegâd um rul de m rfuri î cadrul ecoomiei. Î primul model, catitatea de m rfuri i um rul de persoae ce cosum grupul particular de m rfuri sut importate deoarece, de exemplu, î cazul efectelor de re ea: um rul persoaelor coectate la o re ea (iteret sau telefoie mobil ) î rela ia de coali ie este importat petru ca u aget s decid coectarea s adic s cumpere tocmai aceast marf, î timp ce, î al doilea model, doar cosumul mediu este importat petru a defii tedi a de referi. Pricipalul scop al acestei lucr ri este de a furiza u rezultat de existe a echilibrului î modelul cu o fuc ie geeral de exteralitate, i apoi, de a deduce di acesta u rezultat de existe î modelul rela iilor de coali ie atât petru depede a global cât i petru cea medie. Rezultatul ob iut cupride rezultatul lui Schmeidler î cazul rela iilor de coali ie costate (care, a adar, u depide de sistemul de pre uri). Se geeralizeaz, de asemee rezultatul de existe al lui Noguchi, care cosider o rela ie de coali ie particular, ce cost di to i age ii care apar i uei aumite clase de veit asociat agetului a (subcapitolul 2.2.3). De asemee are loc me ioarea rezultatelor de existe ob iute idepedet de c tre Balder, care geeralizeaz de asemeea pe cele ale lui um Greeberg i Schmeidler. Î modelele lui Balder, depede a de exteralit i este defiit îtr-u mod diferit iar age ii au preferi e ordoate (de ex: fuc ii de utilitate), pe câd î modelul de fa, age ii au preferi e stricte. Lucrarea este structurat dup cum urmeaz. Capitolul abordeaz aspectele teoretice di aaliza matematic, aaliza fuc ioal, aaliza eeted i teoria m surii, aspecte idispesabile î elegii pricipalei teme a lucr rii, a aplica iilor semificative ale tuturor acestor domeii, cât i sesiz rii tedi elor dezvolt rii lor ulterioare. Î Capitolul 2 se prezit modelul ecoomiilor de schimb cu fuc ii de exteralitate geerale i coceptul de echilibru (subcapitolul 2..), se eu pricipalul rezultat de existe (subcapitolul 2..2) i are loc sl birea presupuerii de covexitate a preferi elor (subcapitolul 2..3) petru a putea realiza cupriderea rezultatului de existe al lui uma-ildebrad. poi se prezit modelul rela iilor de coali ie (subcapitolul 2.2) i se deduce di teorema de baz existe a echilibrului î acest model; î fial, se prezit cazul particular al modelului rela iilor de coali ie cosiderat de Noguchi. Demostra ia pricipalului rezultat de existe este dat î subcapitolul 2.3. Se demostreaz mai îtâi u rezultat de existe î ipoteza suplimetar c multifuc ia mul imilor de cosum este itegral m rgiit (subcapitolul 2.3.). poi se deduce di aceasta rezultatul pricipal î cazul geeral (subcapitolul 2.3.2). Î fial, pedix-ul prezit 5

7 pricipalele propriet i ale quasi-cererii idividuale care sut folosite î demostra ia teoremei de existe. Capitolul 3 reprezit capitolul de aplica ii. Se prezit coceptul de exteralitate, formele sale, cotrolul exteralit ilor, precum i cateva exemple ale utiliz rii echilibrului ecoomic cu exteralit i î practic. 6

8 CPITOLUL Elemete de aaliză matematică, aaliză fucńioală, teoria măsurii şi aaliză eetedă Scopul acestui capitol este de a oferi o colec ie de rezultate cuoscute di aaliza matematic, aaliza fuc ioal, aaliza eeted i teoria m surii ecesare mai târziu.. Elemete de aaliză matematică Fie X o mul ime evid i o fuc ie f X R { ± } :. DefiiŃia... Fie 0 / M X. Fuc ia caracteristic ata at mul imii M este fuc ia χ : X R defiit pri: M, x M χm ( x) : = 0, x M. Se admite acum c ( X, ρ ) este u spa iu metric. Cu B( r), r > 0, se oteaz bila deschis cu cetrul î a X i de raz r, adic : { ρ } B( r) = x X ( x) < r. Dac X este u spa iu ormat, ueori se va ota B : = B(0,). DefiiŃie..2. Fie u spa iu metric X i o fuc ie f X { ± } este cotiu îtr-u puct x0 δ ( = δ ( ε, x )) > 0 astfel îcât: 0 : R. Fuc ia f se spue c X dac i umai dac petru orice ε > 0 exist h : = f ( x ) ε f ( x) f ( x ) ε, x B( x, δ ) Fuc ia f se spue c este cotiu, dac ea este cotiu pe fiecare x X. DefiiŃia..3. Fie o fuc ie f : X { ± } a fuc iei f î puctul x 0 se defie te pri: Fie o fuc ie f : X { ± } fuc iei f î puctul x 0 se defie te pri: R i u puct x0 limif f ( x) : = sup if f ( x) = sup if f ( x). δ x x0 V V ( x ( 0, ) 0 ) x V δ> 0 x B x R i u puct x0 X. tuci limita iferioar X. tuci limita superioar a 7

9 limsup f ( x) : = if sup f ( x) = if sup f ( x). x x V V ( x0 ) 0 0 x V δ> x B( x0, δ ) DefiiŃia..4. O fuc ie real f, defiit pe u spa iu topologic X, se ume te superior semicotiu îtr-u puct x X dac petru orice ε> 0 exist o veci tate V a lui x astfel îcât ε< f ( x) f ( y) oricare ar fi y V. Î mod echivalet, se poate scrie: limsup f ( x) f ( y). x y DefiiŃia..5. O fuc ie real f, defiit pe u spa iu topologic X, se ume te iferior semicotiu îtr-u puct x X dac petru orice ε> 0 exist o veci tate U a lui x astfel îcât f ( y) f ( x) ε, petru to i x U. Î mod echivalet, asta se poate scrie: limif f ( x) f ( y) x y.2 Elemete de aaliză fucńioală DefiiŃia.2.. O fuc ie ρ : X X R se ume te semimetric pe o mul ime X dac : a) ρ( x, y) ρ( x, z) ρ( z, y) petru orice x, y, z X (iegalitatea triughiului) b) ρ( x, y) = ρ( y, x) petru orice x, y c) ρ ( x, x) = 0 petru orice x X. Di a), b) i c) rezult imediat c ρ( x, y) 0, petru orice x, y X X. O semimetric ρ pe o mul ime X se ume te metric pe X dac : d) ρ ( x, y) = 0, cu x, y X, implic x = y. O pereche ( X, ρ ) î care X este o mul ime i ρ este o semimetric sau o metric pe X, se ume te spa iu semimetric, respectiv spa iu metric. Dac se oteaz cu K câmpul R al umerelor reale sau câmpul C al umerelor complexe, cu 0 elemetul eutru fa de aduarea di K, cu elemetul eutru fa de îmul irea i di K i cu rela ia de ordie uzual di R, atuci rezult urm toarea defii ie: DefiiŃia.2.2. O mul ime X se ume te spa iu vectorial (sau spa iu liiar) peste K dac î X s-a dat o opera ie iter, umit aduare i otat aditiv : X X X, i o opera ie exter peste K, umit îmul ire cu scalari i otat multiplicativ : K X X, care verific urm toarele axiome: 8

10 a) ( x y) z= x ( y z) petru orice x, y, z X, b) exist 0= 0 X cu 0 x 0 petru orice x X c) x= x petru orice x X X, X, d) ( α β ) x= α ( β x) petru orice α, β K i orice x e) α ( x y) = α x α y petru orice α K i orice x, y X, f) ( α β ) x= α x β x petru orice α, β K i orice x X. U spa iu vectorial peste R se ume te spa iu vectorial real. X DefiiŃia.2.3. O pereche ( X, ρ ), ude X este u spa iu vectorial i ρ este o semiorm sau orm pe X, se ume te spa iu semiormat, respectiv spa iu ormat. O orm ρ se mai oteaz ρ=. DefiiŃia.2.4. O topologie τ pe u spa iu vectorial X peste K se ume te topologie vectorial dac : 0 0 TV) duarea ( x0, y0 ) x0 y0 î X este cotiu î fiecare puct ( x0, y0 ) X X. TV2) Îmul irea cu scalari ( α0, x0 ) α0x0 î X este cotiu î fiecare puct ( α, x ) K X. (Produsele carteziee X X i K X di aceast defii ie sut îzestrate cu topologia produs, de aceea codi iile TV) i TV2) au formul rile echivalete: TV) petru orice ( x0, y0) X X i orice U V ( x0 y0) exist V V ( x0 ) i exist W V ( y0) astfel îcât V W U, respectiv, TV2) petru orice ( α0, x0 ) K X i orice U V ( α0x0) exist δ> 0 i exist V V ( x ) astfel îcât { α K α α < δ} V U. ) 0 0 DefiiŃia.2.5. U spa iu vectorial X peste K, dotat cu o topologie vectorial, se ume te spa iu vectorial topologic peste K. ceast o iue a fost itrodus de. N. Kolmogorov (934). DefiiŃia.2.6. O topologie τ pe o mul ime X se ume te metrizabil dac exist o metric ρ pe X astfel îcât τ s fie egal cu topologia τ itrodus de ρ pe X. U spa iu topologic ρ ( X, τ ) se ume te metrizabil dac topologia sa τ este metrizabil. Spa iile metrizabile mo teesc toate propriet ile topologice ale spa iilor metrice. 9

11 DefiiŃia.2.7. U spa iu topologic X se ume te compact dac orice acoperire deschis î X a lui X iclude o acoperire fiit a lui X. O parte Y a uui spa iu topologic X se ume te compact dac î X dac subspa iul topologic Y al lui X este compact. (, ) Se reamite te c topologia τ Y a uui subspa iu topologic Y al uui spa iu topologic X τ este dat de: τ { : τ} Y= Y G G. O parte Y a uui spa iu topologic X se ume te secve ial compact dac orice ir î Y are u sub ir coverget c tre u elemet di Y. DefiiŃia.2.8. Fie X u spa iu prehilbertia. O parte U a lui X se ume te mul ime slab secve ial compact dac petru orice ir ( ) u X cu u N lim ( x u ) = ( x u) petru fiecare x X. î U exist u ir ( u ) al lui ( u) i exist N PropoziŃie.2.9. O aplica ie : X Y este compact dac i umai dac orice ir de elemete di ( U ) are u sub ir coverget c tre u elemet di Y. DefiiŃia.2.0. O parte Y a uui spa iu vectorial topologic X se ume te m rgiit dac petru orice veci tate V a origiii lui X exist λ> 0, cu Y λv. DefiiŃia.2.. Fiid dat o mul ime evid T, ot m cu B( T ) mul imea tuturor fuc iilor scalare x : T K, care sut m rgiite: B( T ) = { x : T K x m rgiit }. stfel, B( T ) este u spa iu vectorial peste K, umit spa iul fuc iilor m rgiite pe T. DefiiŃia.2.2. Fiid dat u spa iu topologic evid T, ot m cu C( T ) mul imea: i cu CB( T ) mul imea: C( T ) ={ x : T K x cotiu } CB( T ) = C( T ) B( T ) = { x : T K x cotiu i m rgiit }. Spa iul vectorial C( T ) se ume te spa iul fuc iilor cotiue pe T, iar spa iul vectorial CB( T ) se ume te spa iul fuc iilor cotiue i m rgiite pe T. Câd T este compact, avem CB( T ) = C( T ). 0

12 DefiiŃia.2.3. Se spue c o rela ie biar îtr-o mul ime T este dirijat (superior) dac petru orice t, t T exist t T, cu t t i t t. O mul ime T, îzestrat cu o rela ie biar, care este reflexiv, trazitiv i dirijat, se va umi mul ime dirijat. Pri ir geeralizat îtr-o mul ime X se î elege orice aplica ie x : T X, ude ( T, ) este o mul ime dirijat. U ir geeralizat x î X se mai oteaz cu ( x ). t t T DefiiŃia.2.4. Se spue c u ir geeralizat ( x t ) t T îtr-u spa iu topologic X este coverget c tre u elemet x al lui X dac petru orice V V ( x) exist t T 0 astfel îcât oricare ar fi t T, cu t 0 t, s avem xt V. U elemet x di aceast defii ie se ume te limit a lui ( x t ) t T. Faptul c u ir geeralizat ( x t ) t T are o sigur limit x se oteaz x x sau lim x= x. t t T t DefiiŃia.2.5. U ir geeralizat ( x t ) t T ditr-u spa iu vectorial topologic X se ume te fudametal dac petru orice V V (0) exist t 0 x, t T, cu t t0 i s t. 0 DefiiŃie.2.6. O serie x -coverget dac irul sumelor sale par iale X ; respectiv, -absolut coverget dac seria umeric T astfel îcât xt xs V oricare ar fi cu termeii îtr-u spa iu ormat X se ume te: x = N x este coverget c tre u elemet di este coverget c tre u um r di R. DefiiŃia.2.7. O parte Y a uui spa iu vectorial topologic X se ume te complet dac orice ir geeralizat î Y, care este fudametal, este coverget c tre u elemet di Y. DefiiŃia.2.8. O parte Y a uui spa iu vectorial topologic X se ume te secve ial complet dac orice ir obi uit î Y, care este fudametal, este coverget c tre u elemet di Y. DefiiŃia.2.9. Se dau dou umere îtregi m 0, 0. Se spue c m pucte v,..., 0 v m di spa iul euclidia λ,..., λ R, cu λ... λ = 0 i 0 m 0 R sut afi idepedete dac petru orice m λ0v0... λ v = 0, m m

13 avem λ0 =... = λ m = 0. ude Fiid da i m vectori afi idepede i v,..., 0 v m di R, mul imea: { λ λ R λ λ } v... v = x= v... v : (,..., ) L 0 m 0 0 m m 0 m m m {( 0,..., ) R : 0 0,..., 0, 0... } L = λ λ λ λ λ λ = m m m m se ume te simplex m-dimesioal î R, iar v,..., 0 m v se umesc vârfurile sale. DefiiŃia Fie X i Y dou spa ii topologice. O aplica ie : X Y se ume te cotiu î x dac petru orice V V ( ( x)) exist U V ( x) astfel îcât ( U ) V. DefiiŃia.2.2. Fie X i Y dou spa ii topologice. O aplica ie : X Y se ume te secve ial cotiu î x dac petru orice ir ( x) î X, cu N x x, avem ( x ) ( x) î Y. DefiiŃia O parte Y a uui spa iu vectorial se ume te mul ime covex dac petru orice x, y Y i orice α R, cu 0< α<, avem α x ( α ) y Y. Ideea de mul ime covex apare, petru prima dat, la rhimede î secolul 3 î.e.. DefiiŃia Fie X u spa iu vectorial, U X, U evid i covex. O fuc ie f : U R se ume te fuc ie covex pe U dac petru orice x, y U i orice λ [ 0,] are loc iegalitatea: f ( λx ( λ) y) λ f ( x) ( λ) f ( y). Dac X este u spa iu vectorial topologic, este o submul ime evid a s ot m cu cl (sau ) îchiderea lui, co îvelitoarea covex a lui. DefiiŃia Fie X u spa iu vectorial i o parte a lui X. Se oteaz : { : } V = C X C covexa si C. Itersec ia co= { C C } : V se ume te îvelitoarea covex a lui. DefiiŃia Fie X u spa iu vectorial i Y X. U elemet x al lui X de forma x= αy... α y, 2

14 ude N, y,..., y Y i α,..., 0 α, cu α... α =, se ume te combia ie covex de elemete di Y. DefiiŃia Fiid dat u spa iu ormat ( X, ), fuc ia ρ : X X R, defiit de ρ( x, y) = x y, x, y X, este, evidet, o metric î X. Dac spa iul metric ( X, ρ ), astfel costruit i deumit spa iul metric asociat lui ( X, ), este complet, atuci ( X, ) este spa iu Baach. fuc ia modul Î cele ce urmeaz, câmpul K este privit ca spa iu Baach î raport cu orma dat de : K R. DefiiŃie U spa iu topologic X se ume te separabil dac exist o parte cel mult um rabil Y a lui X, cu Y= X. Fie X i Y dou spa ii ormate peste acela i K. Pe spa iul vectorial ( X, Y ) al tuturor aplica iilor liiare i cotiue : X Y se itroduc dou topologii vectoriale ausdorff: ua geerat de orma: i umit topologie uiform î { } = sup ( x) : x X, x, ( X, Y ), X Y, i alta geerat de familia suficiet P= { p : x X} (, ) x de semiorme px : ( X, Y ) R, defiite pri i umit topologie puctual î p ( ) ( ), (, ) x = x X Y ( X, Y ). adar, ( X, Y ) are o dubl structur : el este spa iu ormat î raport cu topologia uiform i spa iu local covex ausdorff î raport cu topologia puctual. Di ( x) x x X urmeaz c topologia uiform este mai fi decât topologia puctual î ( X, Y ). Teorema (Teorema de covexitate a lui Caratheodory, 907). Dac P este o parte a uui spa iu vectorial real de dimesiue fiit 0, atuci orice puct di îvelitoarea covex cop a lui P este o combia ie covex de cel mult pucte disticte di P. 3

15 DefiiŃia Se ume te spa iu euclidia o pereche ( K,( ), ) ude ( ) este produsul scalar î K, dat de ( x y) = x y, x= ( x ) K, y= ( y ) K. i= i i i i i i DefiiŃia Î geometrie, u orthat îchis reprezit ua di cele 2 submul imi ale uui spa iu Euclidia -dimesioal, defiit pri codi ioarea fiec rei axe de coordoate carteziee de a fi eegativ sau de a u fi pozitiv. sta îseam c, u orthat îchis este echivaletul uui quadrat îchis î pla i uui octat îchis î spa iul tridimesioal. U orthat îchis este defiit prit-u sistem de iegalit i: ε x 0 petru i i i asupra coordoatelor x i, ude fiecare ε i este sau -. Orthat deschis este similar, dar coordoatele trebuie s fie pozitive sau egative (cu defiirea iegalit ilor: ε x> 0 petru i ). i i DefiiŃia.2.3. Fie Y u spa iu Baach, B bila uitate îchis di X, ( X, ) u spa iu m surabil i F : X P( Y) o fuc ie multivoc. F se spue c este itegral m rgiit, [4], dac i umai dac exist m L ( X, R ) astfel îcât F( t) m( t) B, petru orice t X. Teorema (Teorema Eberlei-Smulia[2]) O submul ime K a uui spa iu Baach este slab compact dac i umai dac este slab secve ial compact. Teorema de maxim a lui Berge este ua ditre cele mai folosite i mai puterice teoreme aplicate î matematica ecoomic i î teoria jocurilor. Spue c mul imea solu iilor uei probleme de maximizare variaz î mod superior hemicotiuu dup cum mul imea de costrîgere variaz îtr-u mod cotiuu. Teorema cosider cazul maximiz rii uei fuc ii cotiue cu valori reale peste o mul ime compact care variaz cotiuu cu aumi i vectori parametrii. Mul imea solu iilor este o multifuc ie hemicotiu cu valori compacte. Mai mult, valoarea fuc iei maximizate variaz cotiuu cu parametrii. 4

16 Teorema (Teorema ( de Maxim a lui Berge[6]). Fie P, X spa ii metrice i fie ϕ : P ~> X o multifuc ie cu valori compacte. Fie f : X P R cotiu. Se defie te multifuc ia argmax µ : P ~> X pri µ { ϕ i fuc ia valoare V : P R pri: ( p) = x ( p) : x maximizeaz f (, p) pe ϕ( p) }, V ( p) = f ( x, p) petru orice x µ ( p). Dac ϕ este cotiu î p, atuci µ este îchis i superior semicotiu î p i V este cotiu î p. Mai mult, µ are valori compacte. Lema lui Fatou stabile te o iegalitate ce leag itegrala (î sesul lui Lebesgue) limitei iferioare a uei ir de fuc ii cu limita iferioar a itegralelor acestor fuc ii. Este umit dup matematiciaul fracez Pierre Fatou ( ). Lema (Lema lui Fatou) Dac f, f 2,... este u ir de fuc ii m surabile eegative defiite pe u spa iu m surabil ( S, Σ, µ ) atuci S limif f dµ lim if f dµ. Î partea dreapt limita iferioar a lui f este luat puct cu puct. Fuc iile pot atige valoarea ifiit i itegralele pot fi i ele ifiite. S Teorema (Teorema de covexitate a lui Lyapuov) Fie T 0 u iterval compact î R, g familia tuturor p r ilor m surabile Lebesgue ale lui T 0 i L ( T 0) spa iul Baach real al claselor xɶ de fuc ii x : T 0 R, care sut m surabile i itegrabile pe T 0, îzestrat cu orma: xɶ = x t dt x xɶ L T. T0 ( ), ( 0) Petu simplificarea scrierii, o clas xɶ se va idetific de regul, cu ua ditre fuc iile x care o geereaz. Teorema (.. Lyapuov, 940). Dac este covex i compact î spa iul euclidia x,..., x L ( T ), cu, atuci mul imea 0 R T L { = ( x ( t) dt,..., x( t) dt) : T } T T R. DefiiŃia Se ume te mul ime ordoat o pereche ( X,, ) ude X este o mul ime i este o rela ie de ordie î X (reflexiv, trazitiv i atisimetric ). 5

17 DefiiŃia Fie ( X, ) o mul ime ordoat. U elemet x X se ume te maximal î X dac y X, cu x y, avem x= y..3 Elemete de teoria măsurii DefiiŃia.3.. Fie X o mul ime evid i P ( X ). se spue c este o σ algebr pe X dac : (i) 0/ / ; (ii) X \ ; (iii), =,2,.... Urmeaz imediat c X, iar dac, =,2,..., atuci. Dac este o σ algebr pe X, atuci perechea ( X, ) se spue c este u spa iu m surabil, iar elemetele di se umesc mul imi m surabile sau, ueori, -m surabile. Dac i, i I, este o clas de σ algebre pe X, atuci i I i este o σ algebr pe X. Dac 0 / R P ( X ), atuci σ algebra geerat de R este defiit ca itersec ia tuturor σ algebrelor care co i pe R. DefiiŃia.3.2. Fie ( X, ) u spa iu m surabil i Y u spa iu topologic. O fuc ie f : X Y se spue c este o fuc ie m surabil, dac are loc ua di urm toarele dou codi ii echivalete: (i) petru fiecare mul ime deschis V Y, mul imea { } f ( V ) = t X f ( t) V ; (ii) petru fiecare mul ime îchis C Y, mul imea { } f ( C) = t X f ( t) C. Fiec rui spa iu topologic Y i se asociaz o structur caoic de spa iu m surabil î care mul imile m surabile vor fi, pri defii ie, submul imile boreliee ale lui X. DefiiŃia.3.3. O clas de mul imi R se va umi iel de mul imi dac verific rela iile:, B R B R i \ B R. U iel de mul imi pe X care co ie pe X se ume te algebr de mul imi. 6

18 DefiiŃia.3.4. U iel de mul imi se va umi δ -iel (respectiv σ -iel) dac este îchis la itersec ii um rabile (respectiv reuiui um rabile). U σ -iel de p r i ale lui X se va umi σ -algebr dac co ie pe X. Îtrucât deducem c orice σ -iel este u δ -iel. = \ ( \ ) N DefiiŃia.3.5. Dac X este u spa iu topologic, atuci σ algebra geerat de mul imile deschise se spue c este σ algebra Borel pe X, iar elemetele sale se umesc mul imi boreliee pe X. Clasa mul imilor boreliee pe X se oteaz cu B ( X ). lgebra Borel este cea mai mic -algebr pe mul imea umerelor reale R ce co ie itervalele, iar m sura Borel este m sura pe aceast -algebr care ata eaz itervalului [ b] m sura b a (ude a < b). M sura Borel u este complet, fapt petru care î practic se prefer m sura Lebesgue complet : orice mul ime Borel m surabil este de asemeea Lebesgue m surabil, iar m surile mul imilor coicid. Îtr-u cotext mai geeral, fie X u spa iu ausdorff local compact. O m sur Borel este orice m sur µ pe -algebr -algebra Borel pe X. DefiiŃia.3.6. Fie P σ -algebra mul imilor boreliee di R. Se ume te m sura Lebesgue pe R o m sur pozitiv λ pe B astfel îcât: a) este ivariat la trasla ii (adic petru orice λ( x ) = λ( )); b) λ ( I) =, ude: [ 0,] [ 0,] [ 0,] I ori =. x R i orice B avem Fie ( X, ), ( Y, R ) ) dou σ algebre. σ algebra geerat de R se oteaz cu R, adic R este cea mai mic σ algebr care co ie { R, R R }. DefiiŃia.3.7. Fie ( X, ) u spa iu m surabil i Y u spa iu ormat. O aplica ie m defiit pe cu valori î Y sau [ 0, ] se ume te m sur dac petru orice familie { } de N mul imi N, cu m = 0 / petru m, avem m ( N ) = m ( ). Tripletul 7

19 ( X,, m) î care ( X, ) este u spa iu m surabil, iar m este o m sur pe, se ume te spa iu cu m sur. Dac m sura m ia valori î itervalul [ 0, ], atuci se spue c m este o m sur pozitiv. Dac m( ) < petru orice, m sura m se spue c este o m sur fiit. Dac exist o familie { } de mul imi N cu = X N i m( ) <, petru orice N, atuci se spue c m este o m sur σ fiit. O mul ime E se ume te atom (î raport cu m ) dac m( E ) > 0 i dac petru orice cu E sau m( ) = 0 sau m( ) = m( E). M sura m se spue c este o m sur atomic dac exist cel pu i u atom î ; m se spue c este o m sur eatomic dac fiecare mul ime m surabil este eatomic. DefiiŃie.3.8. Se ume te m sur exterioar pe X o fuc ie ϕ : P ( X ) R, care este σ -subaditiv i cresc toare, adic B ϕ( ) ϕ( B). DefiiŃia.3.9. U spa iu cu m sur ( X,, m) (ude este o σ algebr pe X, iar m este o m sur pozitiv ) este u spa iu complet dac B, B, m( B) = 0. DefiiŃia.3.0. Fie ϕ o m sur exterioar pe X. O parte a lui X se va umi ϕ - m surabil dac petru orice parte B a lui X are loc rela ia: ϕ( B) = ϕ( B ) ϕ( B C ). Mul imea se va umi ϕ -itegrabil dac este ϕ -m surabil i ϕ ( ) <. Se va ota cu I ( ϕ) (respectiv S ( ϕ) mul imea p r ilor ϕ -m surabile (respectiv ϕ -itegrabile). DefiiŃia.3.. Fie R o σ -algebr de p r i ale lui X i fie µ o m sur pozitiv pe R. O parte M X se va umi µ -m surabil dac M R µ (adic este de forma M= B, R, µ ( B) = 0 ). DefiiŃia.3.2. (Proprietatea lui Fubii) Cuplul de m suri ( µ, ν ) satisface proprietatea lui Fubii dac petru orice C R S, fuc iile umerice pe X, respectiv, Y defiite pri y x ν ( C ), y µ ( C ) x 8

20 sut R -m surabile, respectiv S -m surabile i ν ( C ) ( ) ( y x d µ x = µ C ) d ν ( y) = ( µ ν )( C). Not m cu D dreptughiul [ b] [ c, d] di pl ude b, c, d R, a< b i c< d. Teorema.3.3. (G. Fubii, 907). Dac f : D K este o fuc ie itegrabil pe D, atuci: a) Exist S [ b] i exist T [ c, d] fuc iile t f ( s, t) i s f ( s, t) [, ] a b petru fiecare t T. [, ], cu m s S = b a i m s T = d c, astfel îcât s fie itegrabile pe [, ] d b) Fuc iile s f ( s, t) dt i t f ( s, t) ds c a b c d petru fiecare s S, respectiv pe sut m surabile pe [, ] b d d b c d, i f ( s, t) ds dt= f ( s, t) dt ds= f ( s, t) ds dt; D a c c a â a b, respectiv pe c) Dac ipoteza itegrabilit ii lui f pe D este îlocuit cu codi ia ca f s fie m surabil i eegativ i dac este fiit ua ditre itegralele repetate a b c d f ( s, t) dt ds i f ( s, t ) ds dt, atuci este fiit i cealalt itegral, f este itegrabil pe D i au loc egalit ile de la b). c d a b DefiiŃia.3.4. O fuc ie f : X Y Z, ude ( X, ) este u spa iu m surabil, iar Y, Z sut spa ii topologice, se spue c este o fuc ie produs-m surabil dac f este m surabil î raport cu σ -algebra B ( Y ). DefiiŃia.3.5. O fuc ie f : X Y Z, ude ( X, ) este u spa iu m surabil, iar Y, Z sut spa ii metrice, se spue c este o fuc ie Caratheodory (C. Caratheodory ) dac : y Y, f ( i, y) este m surabil t X, f ( t, ) este cotiu..4 Elemete de aaliză eetedă DefiiŃia.4.. Fie X i Y dou mul imi evide. O multifuc ie F de la X la Y este o fuc ie de la X la P( Y ). Se oteaz cu F : X > Y. O multifuc ie se va ota cu liter mare, î vreme 9

21 ce o fuc ie se va ota cu liter mic. Dac multifuc ia F satisface codi ia c F( x) 0 /, petru orice x X, atuci ot m F : X Y i spuem c ea este strict. DefiiŃia.4.2. Dac F : X > X, u puct x X cu proprietatea x F( x) se ume te puct fix al multifuc iei F. Not m F { ( )} Fix = x X x F x. Fix F mul imea puctelor fixe ale lui F, adic DefiiŃia.4.3. Fie X X 2, Y Y2 i F : X > Y, G : X 2 > Y2. tuci G se spue c este o extesie a lui F i se oteaz cu F G dac G( F) G ( G). Dac F este uivoc i G este strict, atuci se spue c F este o selec ie a lui G. Fie ( X,, m) u spa iu cu m sur σ -fiit, u eap rat complet, i Y u spa iu Baach real. Petru p se defie te: p { (, ), ( ) ( ),.. } p S = L. F f f X Y f t F t a p t pe X DefiiŃia.4.4. Fie ( X,, m) u spa iu cu m sur i Y u spa iu Baach. Defiim itegrala uma di multifuc ia F pe X pri: X { } F S F( t) m( dt) : = f ( t) m( dt) f. Uzual se oteaz S F mul imea selec iilor m surabile ale multifuc iei F. X DefiiŃia.4.5. U spa iu topologic separabil i metrizabil cu o metric complet se spue c este u spa iu poloez. Teorema.4.6. (Teorema de selecńie a lui uma[3], [4]) Fie ( X, ) u spa iu m surabil cu o σ -algebr σ -fiit, Y o submul ime Borel a uui spa iu poloez i F : X Y o multifuc ie graf m surabil. tuci exist o fuc ie m surabil f : X Y care este selec ie a.p.t., adic f ( t) F( t) a.p.t. DefiiŃia.4.7. O multifuc ie Γ : B se ume te superior hemicotiu î puctul a dac petru orice veci tate deschis V a lui Γ ( a) exist veci tatea U a lui a astfel îcât Γ ( x) este î V petru to i x î U. 20

22 DefiiŃia.4.8. O multifuc ie Γ : B este iferior hemicotiu î puctul a dac petru orice mul ime deschis V ce itersecteaz Γ ( a), exist o veci tate U a lui a astfel îcât Γ ( x) s itersecteze pe V, petru to i x î U. Termeii de iferior semicotiuitate i superior semicotiuitate, î loc de iferior i superior hemicotiuitate, sut mult mai raspâdi i î literatur. Termeul de iferior hemicotiuu este rezervat petru iferior semicotiuitatea î raport cu topologia slab, iar cel de superior hemicotiuu este rezervat petru superior semicotiuitatea î raport cu topologia slab. Î cotiuare se face o prezetare ituitiv a uor idei i cocepte de baz ale microecomiei Teoria microecoomică Teoria microecoomic are drept scop aaliza comportametului idividual al age ilor ecoomici i agregarea ac iuilor lor îtr-u cadru istitu ioal. Patru elemete sut relevate î aceast defii ie: (i) u aget idividual este u cosumator (idivid, familie sau istitu ie) sau o firm ; (ii) pri comportamet, tradi ioal, se î elege urm rirea maximiz rii utilit ii i a maximiz rii profitului; (iii) cadrul istitu ioal este, tradi ioal, mecaismul pre ului îtr-o pia impersoal ; (iv) modul de aaliz urm re te agregarea comportametului age ilor i aaliza echilibrului. Scopul este de a î elege mai bie atât ie irile cât i activitatea ecoomic. ceast î elegere este util î dou sesuri: (i) î ses pozitiv, adic beeficiul cuoa terii mai aprofudate a feomeului microecoomic; (ii) î ses ormativ, adic abilitatea de a se itervei sau u, atât la ivel guverametal cât i la ivel istitu ioal Se aalizeaz succit o pia cu o sigur marf, fie ea carea de pas re, figura Dac pre ul c rii de pas re urc, oameii vor cump ra mai pu i care de pas re. Dac pre ul c rii de pas re scade, oameii vor cump ra mai mult care de pas re. cest lucru este sugerat î figura 2. 2

23 Figura : Cerere-ofert Figura 2: Modificarea ofertei cesta este u model al pie ei c rii de pas re. Despre acest model se spue c este î echilibru dac cerea i oferta coicid. Î figura.. p este pre ul de echilibru i q este catitatea de echilibru. Nimei u cump r mai mult la acest pre i ici u furizor u livreaz mai pu i la acest pre. Pre ul are mai multe fuc ii î ecoomie. Se amitesc aici câteva: (i) iformare. Cel mai importat, pre urile ofer iforma ii asupra relativei limit ri a diferitelor buuri f r a oferi, î mod ecesar, iforma ii asupra catit ilor produse, a modului, locului sau datei de producere; (ii) ra ioalitate. Pre urile previ epuizarea resurselor limitate (pre urile mai mari preîtâmpi cererea excesiv ); (iii) veit. Pre urile determi veiturile, iclusiv pre ul for ei de muc (al salariului). Se presupue c oferta de care de pas re scade datorit uei epidemii aviare severe. Curba ofertei traslateaz la stâga. Petru fiecare pre este furizat o catitate mai mic de care de pas re decât îaite. Catitatea de echilibru scade, iar pre ul de echilibru cre te Mărfuri şi preferińe Cosumatorul face alegeri di i te pachete de m rfuri. Teoria cosumatorului modeleaz felul î care aceste alegeri sut f cute. U bu este u produs (de exemplu: patofi, mere, pere, etc). U bu poate fi specificat î termei de timp (mere de ast zi, mere de mâie) sau/ i loc (mere de Cluj). U pachet de buuri este o colec ie de buuri (de exemplu: 2 mere de Cluj). U pachet de buuri poate co ie atâtea buuri câte se cer. Dac se lucreaz cu doar dou buuri, 22

24 reprezetarea pla este facil i util. stfel, x=(2 mere, 4 pere), y=( m r, 2 pere), z=(3 mere, p r). Premisa de baz î teoria cosumatorului este c fiecare cosumator are preferi e asupra pachetelor de buuri. tuci rezult c : (i) x y dac i umai dac pachetul x este preferat strict pachetului y; (ii) x y dac i umai dac pachetul x u este preferat strict pachetului y i y u este preferat strict pachetului x. Cosumatorul este idiferet ître cele 2 pachete; (iii) x y dac i umai dac pachetul x este preferat strict pachetului y sau cosumatorul este idiferet ître cele 2 pachete. Îarmat cu aceste preferi e, cosumatorul poate compara diferite pachete de buuri. lucra cu preferi e, îs, u este îtotdeaua u or. Tocmai de aceea se va itroduce u alt istrumet de lucru î locul preferi elor, dar fudametat pe ele. Se fac urm toarele trei ipoteze asupra rela iei de preferi : (i) completitudie, adic, x y sau y x sau ambele petru toate pachetele x i y. ceast ipotez stipuleaz c orice dou pachete pot fi comparate pri prisma preferi ei; (ii) (iii) reflexivitate, adica x x petru orice pachet x. ceast ipotez stipuleaz c orice pachet este dorit î aceea i m sur ca sie îsu i; trazitivitate, adic, dac x y i y z, atuci x z. Cu alte cuvite, dac u cosumator prefer pachetul x pachetului y i prefer pachetul y pachetului z, atuci cosumatorul prefer pachetul x pachetului z. Cele trei ipoteze u par iacceptabile. Oricum, ele sut ipoteze i u fapte. Istrumetul de lucru care se itroduce î locul preferi elor, dar strâs legat de ele, este fuc ia de utilitate. ceasta ata eaz fiec rui pachet de buuri u um r real. Se oteaz fuc ia de utilitate cu u( ). ceast asociere se face astfel ca fuc ia s reprezite rela ia de preferi, adic, u(x) u(y) dac i umai dac x y. adar se itroduce o fuc ie u : X R care s reprezite preferi ele uui aget a ecoomic. Se spue c o fuc ie u : x y atuci i umai atuci câd a a u ( x) u ( y). a X R reprezit preferi ele cosumatorului a dac 23

25 Se presupue c X este o mul ime ordoat cu o rela ie de ordie complet i trazitiv. Itervalul [ b ] este defiit pri { x X a < x < b} petru care mul imile { y X y x} i { y X y x} < <. O topologie atural pe X este o topologie sut îchise petru orice x X. Se itroduce mul imea claselor de echivale (idifere ) X : = X /. Se exclude cazul trivial câd X =. Fuc ia de reprezetare a u se ume te fuc ie de utilitate sau de satisfacere. Teorema Orice rela ie de preferi care satisface cele trei ipoteze de mai sus poate fi reprezetat pritr-o fuc ie de utilitate. Numerele u( ) îsele u au u ses special. Coteaz doar relativa lor m rire. Coform teoremei, fiec rui pachet de buuri i se poate ata a u um r de utilitate. Spa iul m rfurilor (buuri i servicii cuatificabile) se defie te pri X, adic exist m rfuri. Timpul i loca ia se pot iclude î defii ia m rfii. Se va lua X= i astfel mul imea X a m rfurilor este coex, îchis i covex. Covexitatea presupue diviziuea complet a m rfurilor. Fiecare ax de coordoate a spa iului X este asociat uei m rfi specifice i ivers. Pe axa asociat uei m rfi se reprezit o catitate di respectiva marf. U elemet x X se spue c este u pachet de m rfuri sau vector de cosum et. Evidet, o compoet x i a uui pachet x poate fi pozitiv, zero sau egativ. Dac o aumit compoet x i a pachetului de m rfuri x este pozitiv, atuci acel bu se cosider a fi o itrare, fiid u bu cosumabil, î timp ce dac compoeta respectiv este egativ, ea se cosider a fi o ie ire (furizare de muc ) i se ume te factor. Fie mul imea age ilor ecoomici, iar um rul lor. Se presupue c exist u um r fiit de age i. U aget ecoomic este defiit pri tripletul (C a, e a ), a, ude: (i) C a este mul imea de cosum a agetului a i C a X; (ii) a este rela ia de preferi e sau preferi ele agetului a; (iii) e a a C este îzestrarea ii ial a agetului a; Mul imea de cosum C a co ie pachetele de m rfuri care sut relevate petru agetul a. Se presupue c mul imea C a este: îchis, coex, covex i m rgiit iferior, adic, exist o costat care m rgie te iferior orice compoet a oric rui elemet di C a. Îchidere coexitatea i covexitatea mul imii de cosum C a sut cerute de rezultatele ce se doresc a fi 24

26 demostrate. M rgiirea iferioar este impus de realitate (u se poate cosuma mai pu i decât strictul ecesar supravie uirii, imposibilitatea de a avea catitate egativ de pâie,etc.). Rela ia de preferi a a cosumatorului a este o rela ie biar pe C a, adic, a a a C C i se cite te preferat sau echivalet lui (sau cel pu i la fel de bu ca). (x,y) a ( x a y) deot c petru cosumatorul a pachetul x este preferat sau echivalet pachetului y sau c pachetul x este cel pu i la fel de bu precum pachetul y. O ecoomie de schimb pur este defiit pri: ε 0 = (, X,,e, ) ude este mul imea age ilor ecoomici, X este spa iul de cosum, este mul imea rela iilor de preferi, e este mul imea îzestr rilor ii iale, iar este spa iul pre urilor. x. a se cite te preferat strict i se defie te pri: x a y dac i umai dac u are loc y ~ a se cite te echivalet lui/idiferet lui i se defie te pri: x ~ a y dac i umai dac x a a y i y a x. Defiim mul imea pachetelor preferate sau echivaletul lui x pri R a (x)={y C a y ax};aceast mul ime se ume te coturul superior. Vom folosi i ota ia: R (x)=r a (x). Mul imea pachetelor strict preferate pachetului x se defie te pri P a (x)={y C a y a x} i se ume te coturul superior strict. Mul imea de idifere se defie te pri I a (x)={y C a y ~ a x}. Î leg tur cu rela ia de preferi utiliz m ipoteze de mai jos. Rela ia de preferi se spue c este: (i) complet, adic, dac x,y C a, atuci x a y sau y a x sau ambele; (ii) reflexiv, adic, x a x, x C a ; (iii) trazitiv, adic, dac x,y,z, atuci x ay i y a z implic x a z; a C (iv) cotiu, adic, R (x) i R (x) sut îchise î C a ; (v) esaturat, adic, petru orice x C a exist y C a astfel ca y a x; (vi) covex, adic, dac x ay, atuci λ x ( λ) y a y, petru orice λ [0,]; (vii) mooto, adic, dac x y x a y. Cu alte cuvite, mai mult este mai bie. Ipoteza (iv) de cotiuitate a rela iei de preferi se mai poate exprima astfel: 25

27 (i) petru oricare dou iruri covergete de pachete de m rfuri (x,y ), cu x a y petru orice G, avem x ay,, ude x=lim x i y=limy ; (ii) coturul superior strict P a (x) este o mul ime deschis. Scopul acestor ipoteze poate fi relevat urm rid figura 4, ude am presupus ca avem u spa iu bidimesioal al m rfurilor, adic avem dou m rfuri pe pia. Fie C a = 2. stfel mul imea de cosum C a este îchis, coex, covex i m rgiit iferior. Pri ipoteza (i) de completitudie toate elemetele di C a sut î rela ie cu x deoarece sau x a y sau y a x sau ambele. Pri urmare, putem scrie C a =R (x) R (x). Di ipoteza de reflexivitate (ii) avem ca x R (x) R (x), deci ambele mul imi sut evide. Mai mult, dac y R (x) R (x), atuci y I a (x). Reciproc, dac y I a (x), atuci y R (x) R (x). stfel, I a (x)= R (x) R (x)..4.. Bugetul S-a v zut ce pachete de buuri prefer u cosumator. Cum buurile cost bai, cosumatorul u î i poate permite cump rarea uei catit i oricât de mari di careva bu. Se presupue c u cosumator are u veit egal cu m. tuci cump r torul u poate cheltui mai mult decât m. Se presupue c avem dou buuri i c ele au pre uri eegative, fie p, respectiv p 2. Catitatea total de bai cheltui i petru a cump ra catitatea x di primul bu este p x, iar petru a cump ra catitatea x 2 di al doilea bu este p 2 x 2. stfel se ob ie iecua ia: p x p 2 x 2 m. Î geeral, este imposibil existe a uor catit i egative de buuri. Pri urmare mai exist dou restric ii: x 0 i x Costrâgeri bugetare Fiec rei m rfi i se ata eaz u um r real pi 0, pre ul s u. U vector p= ( p,..., p ) este u sistem de pre uri. Este coveabil s se cosidere c pre urile sut î simplexul P p pi = R. Num rul real p, x sau px se ume te valoarea pachetului x. i= 26

28 m rfurilor Bugetul este o multifuc ie de la produsul scalar al spa iului pre urilor P cu mul imea X=R î mul imea cosum bugetul ca fiid multifuc ia: a a C, adic, : B P X C { } B ( p, e ) = x C p, x p, e a a a a a. stfel se poate defii adic mul imea pachetelor de cosum pe care i le poate permite agetul ecoomic a. a a a Teorema Multifuc ia B (, e ) : P C este superior semicotiu Cererea a a Problema cosumatorului a se defie te cu fuc ia ψ (, e ) : P R pri a (, a ) max a ψ p e = u ( x ) () a a x B ( p, e ) Cererea agetului ecoomic a se defie te ca fiid multifuc ia φ a : P R C a defiit pri: a a a φ ( p, e ) = arg max u ( x ), (2) a a x B ( p, e ) adic multifuc ia de la perechile pre -îzestrare î spa iul de cosum. ObservaŃia Problema () a cosumatorului are solu ie dac fuc ia de utilitate a a cotiu, iar bugetul B ( p, e ) este o mul ime compact. a u este Fuc ia a ψ se ume te fuc ie de utilitate maximalizat (sau fuc ie idirect de utilitate). Multifuc ia a φ se ume te corespode (marshalia ) de cerere. lterativ, se poate cosidera cazul dual al miimiz rii fuc iei de cheltuieli (cost). ceasta a fost itrodus de P. Samuelso î aul 947 i formulat, a a cum se utilizeaz î prezet, de L. McKezie î aul 957: { } a a a a a (, 0 ) = mi, ( ) 0, (3) E p u p x cu x y C u y u { } h p u p x cu x y C u y u a a a a a (, 0 ) = arg mi, ( ) 0 (4) Fuc ia a a a a E ( p, u 0 ) se ume te fuc ia de cost sau fuc ia de cheltuieli, iar multifuc ia h ( p, u 0 ) se ume te corespode a de cerere compesat sau icsia. Se spue c cererea este a compesat deoarece apare o compesare dat de u 0. a a a Mul imea { y C u ( y) u 0 } este îchis i m rgiit iferior. tuci exist miimul di (3), i deci, exist pachetul a a h ( p, u 0 ) care miimizeaz costul. Cum mul imea a a a { y C u ( y) u 0 } u depide de pre, ea este simulta superior i iferior semicotiu î 27

29 raport cu pre ul. stfel î raport cu pre ul, fuc ia de cost este cotiu, iar corespode a de cerere hicsia este superior semicotiu Buăstarea ecoomică Bu starea ecoomic este o ramur a ecoomiei care studiaz eficie a i starea de bie a îtregii societ i bazate pe aloc ri alterative ale resurselor limitate. Bu starea ecoomic extide aaliza microecoomic a curbelor de isoutilitate la îtreaga societate ca u tot. Bu starea ecoomic se studiaz pe baza eficie ei Pareto. Se spue c exist o eficie Pareto dac starea (ecoomic ) a uei persoae u poate fi îmbu t it f r a deteriora starea a cel pu i uei alte persoae. Î geeral eficie a Pareto u se atige dac exist resurse efolositoare sau efolosite. Pri agajarea resurselor efolositoare î produc ie, uele firme pot avea o produc ie mai mare f r a reduce produc ia uei alte firme. Î cotiuare se prezit o formul matematic propus de ecoomistul i sociologul italia V. Pareto, petru stabilirea ivelurilor echilibrului uui sistem social pri determiarea puctelor î care exist u maximum de ofelimitate petru fiecare idivid. Se tie c : ofelimitatea este satisfac ia pe care o d uui idivid cosumul sau posesia uei catit i ditr-u bu ecoomic, catitate ad ugat ueia cosumate sau de iute deja de u idivid; otîd ofelimit ile m rfii cu 2... petru idivizii, 2,..., iar varia iile ofelimit tii totale ale fiec rui idivid cu, 2,..., se poate scrie c : du = O = dφ dφ... Φ 2 a Φ2a ude U = maximum de ofelimitate petru o colectivitate, î ecoomia politic, iar d = varia iile care se produc î fuc ie de drumul pe care se ajuge la puctul de echilibru. ceast ecua ie u poate fi rezolvat, respectiv u se poate asigura maximum de ofelimitate petru to i idivizii îtr-u puct de echilibru al sistemului social, decît dac o parte di ofelimit ile totale, 2,..., este pozitiv i cealalt parte egativ. Cu alte cuvite, optimul paretia presupue mai multe iveluri, dar Pareto postuleaz c trecerea de la u ivel la altul al optimului se face umai dac se me i costate raporturile ditre ofelimit ile maxime ale idivizilor. ceasta îseam c o societate poate atige u optim corespuz tor uor ofelimit i idividuale mai mari dac ea î i spore te veitul et ob iut pri cre terea produc iei. Î realitate, Pareto a ar tat c optimul paretia presupue c rata substituirii a dou sau mai multe m rfuri sau factori de produc ie s r mî eschimbat, ceea ce u este posibil decît dac toate uit ile ecoomice î i maximizeaz profiturile (toate adopt, deci, cele mai ieftie metode de produc ie), dac fiecare aget ecoomic este liber s - i stabileasc strategia de ac iue 28

30 i to i adopt u comportamet ecoomic ra ioal, dac se me ie u echilibru relativ al cererilor i ofertelor pe pia a liber, iar to i age ii ecoomici cuosc perfect ivelurile acestui echilibru, i dac, î sfîr it, sît elimiate toate exteralit ile ecoomice" (orice iterve ie a factorilor oecoomici î derularea activit ii ecoomice). Este evidet c aceste codi ii u sît itegral satisf cute de ici u sistem ecoomic real. 29

31 Capitolul 2. ExisteŃa uui echilibru petru ecoomii cu exteralităńi şi u spańiu cu măsură al cosumatorilor 2. Modelul şi rezultatul de existeńă 2... Modelul şi ońiuea de echilibru Se cosider o ecoomie de schimb cu o mul ime fiit de m rfuri. Spa iul de m rfuri este reprezetat pri spa iul vectorialr. Petru o mul ime fiit, pri R. U elemet x di R va fi de forma ( xh ) h cofuzii. Petru dou elemete x= ( x ), x = ( x ) î produsul scalar, pri x îchis. Petru X h R se î elege mul imea tuturor fuc iilor de la la h sau simplu ( x h), câd u sut posibile = R, se î elege pri xix x h hx h = xix orma Euclidia i pri B( x0, r) = { x R x x0 r} bila R, se î elege pri itx, X i cox, respectiv, iteriorul, îchiderea i îvelitoarea covex a lui X. Nota iile: x x, x < x, x << x îseam, respectiv, c petru to i h, xh x, h [ x x i x x ], i x h < x h. Se oteaz mul imile R :={ x R 0 x} i : = { x R R 0 << x }. Fie :=(,...,) R i baza caoic { e i i } di i e =, dac h=i i e = 0, dac h i. i h h R, defiit pri Petru u spa iu cu m sur (,, ν ), reamitim c o mul ime m surabil se ume te atom dac ν () >0 i petru fiecare C astfel îcât C, avem [ ν ( C) = 0 sau ν ( \ C) = 0], iar pri a î elegem partea oatomic di, adic complemetara î a reuiuii tuturor atomilor di. L (, R ) reprezit spa iul claselor de echivale al fuc iilor itegrabile di î = defie te o R, iar f : f ( a ) dν ( a ) orm pe defiit de orma L (, R ). Spa iul L (, R ) va fi îzestrat cu dou topologii diferite, topologia tare f i topologia slab ( L, L ) coverge slab c tre f dac i umai dac σ ; se reamite te faptul c u ir { f } sup f < i f ( a) dν ( a) f ( a) dν ( a) C, C petru fiecare C. Petru C, C2 î, fie C C2 : = ( C \ C2 ) ( C2 \ C ) difere a simetric i se defie te fuc ia caracteristic χ ( a) = 0 dac a C C. 30 χ : C R pri χ ( a) = dac a C C i

32 este o Mul imea cosumatorilor este defiit pritr-u spa iu cu m sur (,, ν ), ude σ algebr de submul imi î iar ν este o m sur di. U elemet C este u posibil grup de cosumatori, umit i coali ie. Fiecare cosumator a este îzestrat cu o mul ime de cosum X ( a) R, o îzestrare ii ial ( a) ω R i o rela ie de preferi strict e pe X(a), fapt care permite depede a de exteralit i e E (umit spa iul de exteralitate), îtr-u mod ce va fi specificat mai târziu. Mul imea X(a) reprezit cheltuielile posibile ale cosumatorului a. O alocare a cheltuielilor ecoomiei specific cheltuielile posibile ale fiec rui cosumator, i deci reprezit o selec ie a multifuc iei a X (a), care se presupue, î plus, a fi itegrabil. Mul imea aloc rilor de cosum este otat cu fuc ia ii ial de îzestrare ecoomiei este ω ( a ) dν ( a). L X. Se presupue, de asemee c ω : R este itegrabil i astfel îzestrarea ii ial total a Specific acestei ecoomii este faptul c exteralit ile de pre i cele de cosum pot iflue a rela ia de preferi a fiec rui aget a. stfel, fiid dat pre ul p R i alocarea f L, alegerile agetului a vor fi realizate pri itermediul rela iei de preferi strict ( p, f ), ude R L : X E este o fuc ie dat, umit fuc ia de exteralitate. Î preze a exteralit ilor, ecoomia de schimb este caracterizat complet pri itermediul cuplului (, ), ude spa iul exteralit ilor E i fuc ia de exteralitate sut defiite ca mai sus, iar precizeaz caracteristicile cosumatorilor: X Se d î cotiuare defii ia uui echilibru î aceast ecoomie. DefiiŃia 2... U echilibru al ecoomiei (, ) îcât p 0 i: este u elemet ( f, p ) L astfel X R (a) [Maximizarea preferi elor] petru aproape to i a, f ( a) este u elemet maximal petru î mul imea buget } B( p ) : = { x X ( a) p x p ω( a), ude e : = ( p, f ), e a adic, f ( a) B( p ) i u exist ici u x B( p ) astfel îcât f ( a) x ; e a a 3