IZOLACIJA I IDENTIFIKACIJA SEKUNDARNIH METABOLITA
|
|
- Φθα Δημητρίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 IZOLACIJA I IDENTIFIKACIJA SEKUNDARNIH METABOLITA
2 Odabir procedure za izolaciju sekundarnih metabolita zavisi od Biljnog materijala Spojeva koji se izoliraju Prije odabira metode, potrebno je utvrditi cilj izolacije, koji može biti: nepoznata bioaktivna komponenta poznata komponenta grupa spojeva koji su strukturno slični 2
3 Fitohemijski screening uključuje; Izbor odgovarjućeg biljnog materijala Adekvatno prikupljanje biljnog materijala Determinacija biljnog materijala Sušenje Pakovanje i skladištenje Ekstrakcija Separacija Identifikacija 3
4 PRIKUPLJANJE BILJNOG MATERIJALA Potrebno je kod prikupljanja biljnog materijala voditi računa o; Odgovarajuća fenološka faza (količina i vrsta konstituenata zavisi od stepena razvoja biljke) Prikupljena biljka treba biti zdrava (npr. da nije inficirana nekim virusom, bakterijom ili gljivicom) Determinaciju biljnog materijala treba izvršiti stručno lice Obavezno ostaviti voucher (reprezentativan uzorak) 4
5 PRIKUPLJANJE BILJNOG MATERIJALA Divlje biljke Kultivirane biljke Limitirano prirodno stanište (rijetke i endemične vrste), rašireni na velikom prostoru Teško dostupni Moguće da dođe do nedostatka matrijala zbog konstatnog prikupljanja Osoba koja vrši prikupljane mora biti iskusan botaničar Daje pravu sliku hemijskog sastava na prirodnom staništu Neistražen biljni materijal koji pruža mogućnost identifikacije novih aktivnih komponenata Prisutni na limitiranom području Lako dostupni Dostupni kontinuirano Osoba koja vrši prikupljanje ne mora biti botaničar Uticaj kontroliranih uslova života 5
6 Izolacijski proces za biljne materijale uključuje sljedeće korake: sušenje i usitnjavanje j biljnog materijala (homogenizacija) odabir i primjena prikladne metode izolacije: ekstrakcija, destilacija ili presovanje pročišćavanje ekstrakta koncentriranje (npr. uparavanjem) sušenje ekstrakata k t 6
7 Sušenje biljnog materijala obično se obavljau prostorijama koje nisu direktno izložene sunčevoj svjetlosti Pakuju se u papirne vrećice Čuvaju se u sredini u kojoj su kontrolirani uslovi 7
8 Izolacija volatilnih sekundarnih metabolita vrši se različitim metodama npr; Headspace tehnikom Destilacijom ij Cijeđenjem Anfleranž (enfleurage) 8
9 HEADSPACE TEHNIKA Headspace tehnika je razvijena u 80-tim godinama XX vijeka za određivanje mirisnih komponenati prisutnih u zraku koji okružuje različite objekte. Headspace predstavlja zrak iznad ili oko mirisnog uzorka koji sadrži volatilne spojeve. Ova metoda nije destruktivna Primjenjene tehnike često se kalsificiraju prema različitim principima uzorkovanja, na statičku dinamičku 9
10 HEADSPACE TEHNIKA (HS) Statička HS metoda se sastoji u tome da se tečni ili čvrsti uzorak stavi u vijalicu, koja se zagrijava do određene temperature prije zatvaranja. Termin statička metoda se odnosi na zatvoreno okruženje gdje se sakupljaju nastale volatilne komponente. Nakon što uzorak dostigne ravnotežu sa gasovitom fazom, alikvot se prebacuje siringom za GC na hromatografsku analizu. Osjetljivost statičke headspace tehnike je u mikrogramskim količinama, a zavisi i od prirode volatilnih komponenata. 10
11 HEADSPACE TEHNIKA (HS) Dinamička HS analiza koristi purge and trap (čišćenje i zamka) tehniku, provodi se povlačenjem volatilnih komponenata sa materijala strujom prečišćenog zraka ili inertnog gasa kroz cjevčicu napunjenu nekim čvrstim adsorbentom. Nakon određenog vremena cjevčica se prebacuje u jedinicu za toplotnu desorpciju gdje se zagrijava, a adsorbovane komponente nošene inertnim gasom se sakupljaju u jedinici trap, u kojoj je temperatura mnogo niža. Kada susvekompnente desorbovane purge, i sakupljene idu dalje na GC/MS analizu. Osjetljivost dinamičke headspace tehnike je reda veličine nanograma. 11
12 DESTILACIJA Vrste destilacija destilacije vodenom parom, vodene destilacije (hidrodestilacije), vodeno-parne destilacije. Sve tri metode se zasnivaju na istim teorijskim principima destilacije, a razlika je u primarnom kontaktu biljnog materijala i vode, tj. vodene pare. 12
13 CIJEĐENJE Cijeđenjem se dobija esencijalno ulje iz svježe kore npr. limuna i narandže, jer se nalazi ispod same epiderme. I ova ulja se mogu dobiti destilacijom vodenom parom, ali zbog njihove lake dostupnosti vrši se cijeđenje na običnoj temperaturi. Spugna-proces se sastoji u cijeđenju ulja iz svježe kore agruma na spužvu. Na kori se napravi nekoliko rezova i cijedi. Kada se spužva napuni uljem, iscijedi se u sud u kome se kasnije, stajanjem, ulje postepeno odvaja od mutne vode i pliva na njoj. j Na ovaj način se dobije najbolje ulje, ali je metoda spora, ima mnogo gubitaka, tako da je prinos mali. Odvojeno ulje se filtrira da se dobije bistar proizvod. Cijeli plodovi se pritišću i taru u posebno izbušenim posudama od nerđajućeg lima koje na unutrašnjoj strani imaju sitne, vrlo oštre iglice. Ove iglice izbuše spoljni, žuti dio kore u kome se nalaze velike šupljine sa uljem. 13
14 ANFLERANŽ (ENFLEURAGE) (enfleurage) je francuski način izdvajanja esencijalnih ulja. Metoda je spora i skupa. Primjenjuje se za slučajeve kada je količina esencijalnih ulja tako mala, da se drugi načini ne mogu primjeniti. Princip se zasniva na tome da se koristi osobina masti da vrlo lako upijaju mirisne materije bilja na običnoj temperaturi. Metoda se zasniva na adsorpciji mirisnih sastojaka na prečišćenom bezmirisnom loju. Dobvena mirisna mast se obrađuje odgovarajućim otapalom. Na ovaj način se dobiju najfinija i najskupocjenija esencijalna ulja. Pošto se radi na običnoj temperaturi i s neutralnim materijama za upijanje, praktično se dobija prirodno esencijalno ulje, onakvo kakvo se nalazi u biljci, jer se pod tim okolnostima ekstrakcije ne mijenjaju ni organoleptičke osobine, niti fizičke i hemijske konstante. 14
15 EKSTRAKCIJA proces razdvajanja j komponenata iz biljnog materijala, na osnovu različite topljivosti u otapalu kojim se vrši ekstrakcija. Ekstrakcija uključuje nekoliko istovremenih procesa: difuzija otapala u stanice biljnog materijala otapanje metabolita u otapalu difuzija otapala s otopljenim tvarima izvan stanica ispiranje 15
16 EKSTRAKCIJA Faktori koji utičunaekstrakcijusu temperatura, veličina čestica, kretanje otapala i ph-vrijednost. Poželjna svojstva otapala za ekstrakciju: selektivnost za spojeve koje se žele ekstrahirati, veliki ekstrakcijski kapacitet, nereaktivnost s biljnim komponentama, neškodljivost za ljude i opremu, potpuna hlapljivost i niska cijena. 16
17 EKSTRAKCIJA Često se metode esktrakcije sotapalima dijele na kontinuirane i nekontinuirane postupke. Maceracija Ultarzvučna ekstrakcija Perkolacija Ekstrakcija po Soxhletu Ekstrakcija s otaplaom pod pritiskom Ekstrakcija pod refluksom Ekstrakcija superkritičnim fluidima 17
18 MACERACIJA usitnjeni biljni materijal u pogodnom otapalu u zatvorenoj posudi se ekstrahira na sobnoj temperaturi. Povremeno ili konstantno miješanje može povećati brzinu ekstrakcije (maceracija uz miješanje ili vrtložna maceracija). 18
19 ULTRAZVUČNA EKSTRAKCIJA ovo je modificirana maceracija, gdje je ekstrakcija olakšana upotrebom ultrazvuka (visoko-frekventni pulsevi, 20 khz) Ultrazvuk se koristi za mehanički stres na stanice stvarajući kavitacije u uzorku. Raspadanje stanica povećava topljivost metabolita u otapalu i poboljšava ekstrakciju. 19
20 PERKOLACIJA usitnjeni biljni materijal se postavlja u perkolator (cilindrični kontejner s slavinom na dnu) i natapa u otapalu. Dodatno otapalo se zatim dodaje na vrh biljnog materijala i pušta da «perkolira» polako (kapajući) sa dna perkolatora. 20
21 EKSTRAKCIJA U SOXHLET-u Biljni materijal se postavlja u cilindar u ekstrakcijskoj komori koja se postavlja iznad posude za sakupljanje, a ispod refluksirajućeg hladila. Glavna prednost ove vrste ekstrakcije je kontinuirana ekstrakcija. Svježe otapalo se kondenzira i ekstrahira biljni materijal kontinuirano. Otapalo s ekstrahiranim tvarima prelazi u balon gdje se koncentrira. Nedostatak je u tome što se ekstrakt kontinuirano zagrijavanatemperaturuvrenjaotapala,štomože dovesti termičkih razlaganja. 21
22 EKSTRAKCIJA POD REFLUKSOM biljni materijal se uranja u otapalo u tikvici koja je spojena na hladilo. Otapalo se zagrijava do ključanja. Kako otapalo otparava ulazi u hladilo gdje se kondenzira i vraćaseutikvicu. 22
23 EKSTRAKCIJA SUPERKRITIČNIM FLUIDIMA (engl. supercritical fluid extraction, SFE) superkritični fluidi (SCFs) zamjenjuju organska otapala. Kritična tačka čiste tvari se definiše kao najviša temperatura i pritisak na kojima tvar može postojati u parno-tekućoj ravnoteži. Na temperaturama i pritiscima iznad ove tačke nastaje jedan homogen fluid, poznat kao superkritični fluid. SCF je težak kao tekućina, ali ima svojstvo prodiranja kao gas. SCF nastaju zagrijavanjem gasova iznad kritične temperature ili komprimiranjem tekućina iznad kritičnog pritiska. Promjenom pritiska i temperature mijenja se sposobnost otapanja superkritičnog CO 2 (visokokomprimirani CO 2 (t > tk i p > pk), bez mijenjanja sastava otapala. Ekstrakcija se obično vrši na o C i pritisku bara. 23
24 ANALIZA SEKUNDARNIH METABOLITA Volatilni sekundarni metaboliti GC/MS analizom Rt, RI, upoređivanjem spektara Nevolatilni sekundarni metaboliti ukupni spektrofotometrijski, fluorimetrijski... HPLC uz upotrebu različitih detektora 24
25 GASNA HROMATOGRAFIJA (GC) Kapilarne kolone, (dužina m sa unutrašnjim dijametrom mm i debljinom filma stacionarne faze od 0.25 μm). Stacionarna faza može biti polarna- spojevi se razdvajaju na osnovu njihove polarnosti, što rezultira različitim vremenom zadržavanja komponenata u koloni nepolarna - dolazi do separacije zbog različitih tačaka ključanja Esencijalna ulja sastoje od terpena i njihovih derivata koji imaju slične tačke ključanja, eluiraju se u vrlo uskom rasponu na nepolarnim kolonama. Da bi se prevazišao ovaj limit, analitička metoda se modificira primjenom sporijeg rasta temperature u pećnici, kako bi se proširio eluacioni opseg komponenata ulja. 25
26 GC Osnovni kriterij za identifikaciju kada se koriste detektori koji ne daju informaciju o strukturi jesu retencioni indeksi. Sistem retencionih indeksa baziran je na činjenici da je svaki analit definisan pozicijom između dva susjedna alkana u homolognom nizu. Metoda računanja RI bazira se na logaritamskoj jednačini koju je razvio Kovats godine za izotermalne uslove, kao i na jednačini koju su objavili van den Dool i Kratz godine koja nema logaritamsku formu, a uzima u obzir temperaturno programirane uslove. ( RIn+ 1 + RIn) f ( tr, x) f ( tr, n) RIn = f ( trn, + 1 ) f ( trn, ) Zavisno od funkcije f(t R ), koriste se različiti RI sistemi: Logaritamska [f(t R ) =log t R`], R prema Kovatsu Linearna [f(t R )=t R ], što odgovara prijedlogu van den Doola i Kratza. 26
27 Općenito sistem retencionih indeksa bazira se na vezi struktura-retenciono vrijeme (n-alkani i metilni ili etilni esteri masnih kiselina, tj svaka homologna serija koja predstavlja linearnu vezu između retencionih vremena i broja karbonovih atoma) 27
28 Brza gasna hromatografija, fast gas chromatography (FGC), koja ima dovoljnu moć razdvajanja u kraćem vremenu, upotrebom adekvatnih kolona i instrumentacije u kombinaciji sa optimiziranim uslovima koji omogućavaju 3-10 puta brže analize. Ova vrsta hromatografije izvodi se u kratkim kolonama 5-10 m, promjera kolone mm, uz hidrogen kao gas nosač, i bržim temperaturnim programom. S obzirom na brzinu izvođenja analize ovaj vid gasne hromatografije može se podijeliti na brzu u trajanju 3 12 min, veoma brza 1 3 min, ultrabrza manje od 1 min. 28
29 Najčešće upotrebljavani detektor kod analize volatilnih spojeva je spektrometar masa Kombinovani sistem gasna hromatografija/masena spektrometrija GC/MS, predstavlja najefikasnijiju jj tehniku za separaciju, detekciju i karakterizaciju komponenata u kompleksnim organskim smjesama. Spektrometar masa predstavlja osjetljiv i specifičan analitički instrument, a ujedno i jednu vrstu hemijskog reaktora u kome se dešava različita razgradnja molekula. Primjena spektrometrije masa je neophodna pri ispitivanju strukture supstanci dobijenih sintezom ili izolacijom iz biljnog materijala, praćenju metabolizma, određivanju strukture metabolita. 29
30 Satureja montana L. Headspace; 37 komponentata Esencijalno ulje; 66 komponenata 1.25e6 H 3 C CH 3 [SM-HS] TIC #1 [8P07SM] TIC #2 CH 3 p-cimen (37.1 %) 0.75e6 CH e OH (15.5%) 0.25e6 H 3 C CH 3 karvakrol Headspace Esencijalno ulje 0.25e6 0.50e6 0.75e6 100 CH (59.1%) e H 3 C CH OH 77 (20.1%) timol
31 Određivanje ukupnih fenola Folin-Dennis (redukcija smjese fosfovolframatno-fosfomolibdatnog reagensa u prisustvu fenolskih hidroksilnih grupa tirozina, što rezultira stvaranjem plavog produkta) Folin-Ciocalteu (Dodatak litijum sulfata sprječava formiranje precipitata koji bi interferirali u kvantifikaciji utičući na intenzitet boje nastalih kompleksa. Folin-Ciocalteu reagens je po hemijskom sastavu heksavalentni fosfomolibdo/fosfovolframatni kiseli kompleks) 3 HO 2 PO WO 3 5MoO MO3 10 HO 2 3H 2O P2O 5 14WO3 4MoO3 10H 2O Mo VI žut ArOH Mo V plav nm ( )( ) + ( )( ) λ =
32 REDUCIRAJUĆA MOĆ eng. Reducing power (RP) odnosi se na praćenje redukcije nekih prelaznih metala koji se mogu kompleksirati i na taj način stvoriti obojeni kompleks, a koji ima različitu boju u oksidovanoj i redukovanoj formi. Smjesa K 3 Fe(CN) 6 i FeCl 3 u kiseloj sredini se koristi za određivanje ukupnih fenola u biljnom materijalu, ali i kao antioksidacijska metoda. Fenolski spojevi reaguju sa ovom smjesom dajući obojeni produkt reakcije, čiji intenzitet je proporcionalan količini prisutnih fenola, a koji su odgovorni za antioksidacijsku aktivnost. Reakcija se izvodi u prisustvu viška Fe 3+ iona. Ova redoks reakcija poznata je pod nazivom berlinsko plavo, brza je, ekonomična i jednostavna. Uklanjanje atoma hidrogena sa fenolske hidroksilne grupe je prvi korak reakcije, što rezultira stvaranjem fenoksil radikala ArO, koji nakon toga može stvarati dimere ili može reagovati sa drugim radikalom. 32
33 Određivanje ukupnih flavonoida Taloženje sa formaldehidom + Folin Ciocalteu Metoda sa AlCl 3 OH O Al + O OH HO O AlCl 3 HO O O Glu Ram O Glu Ram OH O O 2+ Al O Rutin 33
34 Metoda sa 2,4-dinitrofenilhidrazinom Princip ove metode zasniva se na reakciji aldehida i ketona sa 2,4-dinitrofenilhidrazinom. Flavoni i izoflavoni sa dvostrukom vezom između C2-C3, ne daju pozitivnu reakciju, dok flavanoni npr. naringin, naringenin i hesperetin, formiraju hidrazone čiji je maksimum apsorpcije na 495 nm. Zbog selektivnosti reakcija flavonoida sa AlCl 3 i 2,4-dinitrofenilhidrazinom, bilo bi dobro određivati sadržaj aj specifičnih č grupa gupaflavonoida ao odapo obje metode, a njihova suma bi dala realniju vrijednost za sadržaj ukupnih flavonoida. 34
35 METODE ODREĐIVANJA ANTOCIJANINA ph - diferencijalna metoda, bazira se na mjerenju apsorpcije na jednoj valnoj dužini, obično između nm, što je daleko od uobičajenevalnedužinena kojoj se nalazi maksimum apsorpcije za ostale fenole, a koji apsorbuju u UV području. Mjerenje se vrši pri različitom ph; pri ph 1 su u obliku obojenih oksonijum soli, dok pri ph 4.5 su prisutni kao bezbojni hemiketali 35
36 VANILINSKI TEST Ovaj test specifičan je za proantocijanine, flavan-3-ol i dihidrokalkone koji imaju jednostruku vezu na pozicijama C2-C3. C H 3 HO O O HO + O OH OH OH H + vanilin OH Flavan-3-ol OH OH C H 3 O HO O OH H 3 C O HO O OH HO OH OH OH OH HO OH OH OH prelazni spoj crveno obojeni produkt reakcije 36
37 HPLC Najčešće korištene kolone pri analizi prirodnih produkata su kolone obrnutih faza gdje su porozne čestice silika gela presvučene nepolarnim materijalom, a najčešće korištena otapala za eluiranje su polarne prirode kao što su voda, metanol, acetonitril, izopropanol. Dodatkom mravlje, sirćetne kiseline, trifluoroacetatne kiseline, amonijum acetata ili fosfatnog pufera u mobilnu fazu moguće je optimizirati separaciju. Uobičajeno kolone imaju dijametar mm i dužinu mm, dok veličina čestica stacionarne faze varira od 2 7 mm. 37
38 HPLC Čestice u slučaju obrnutih faza su presvučene ugljikovodicima čija dužina lanca može biti od C 4 C 18. Separacija na obrnutim fazama je najefikasnija tehnika za separaciju fenolskih spojeva i to na C 18 stacionarnim fazama. Razdvajanje je moguće izvršiti u izokratskom i gradijentnom režimu. Izokratski režim podrazumjeva ravnomjernu mobilnu fazu tokom razdvajanja, a separacija je dobra za polarnije spojeve. Gradijentno eluiranje se bazira na modifikaciji organskog otapala, a najčešće acetonitrila i metanola tokom analize. Ovakav režim rada je pogodan kada se fenoli nalaze u širokom rasponu polarnosti. Obično je potrebno više vremena da se stabilizira kolona i može doći do promjena na baznoj liniji usljed promjena sastava mobilne faze. 38
39 HPLC Mora se voditi računa i o ph vrijednosti mobilne faze, gdje može doći i do parcijalne disocijacije, što rezultira dodatnim pikovima, širenju i asimetriji pikova, zbog koeluiranja kisele forme i baznog konjugovanog oblika. Najčešće korišten ph otopine za razdvajanje j fenolskih spojeva je 2.5 3, kada se razdvajaju kisele forme, a 5 7, kada se fenolski spojevi razdvajaju u disociranom obliku. 39
40 ANTIOKSIDATIVNA AKTIVNOST U zdravom organizmu postoji ravnoteža između nastajanja slobodnih radikala i antioksidativne odbrane samog organizma Slobodni radikali nastaju pucanjem veza unutar molekula u stanicama našeg organizma, pod uticajem različitih faktora, kao što su: pušenje, izloženost ionizirajućem zračenju, UV zrakama, zagađenom zraku, kao posljedica metaboličkih procesa te upala Slobodni radikali u lančanoj reakciji stvaraju nove nestabilne molekule, što rezultira stvaranjem sve većeg broja slobodnih radikala koji oštećuju stanice organizma. 40
41 Antioksidansi neutraliziraju slobodne radikale donirajući im svoj elektron te na taj način prekidaju lančanu reakciju «krađe» elektrona drugim molekulama, donirajući im svoj elektron, antioksidansi ne postaju nestabilni 41
42 ANTIOKSIDATIVNA AKTIVNOST Oksidativni stres predstavlja pretjeran debalans reaktivnih oksigenovih ili nitrogenovih vrsta, npr. superoksid anion, hidrogen peroksid, hidroksil radikal ili peroksinitrit, u odnosu na antioksidativni kapacitet, što vodi oksidaciji različitih biomolekula, kao što su enzimi, proteini, DNA i lipidi. Antioksidativni kapacitet označava učinkovitost, snagu, potencijal i aktivnost neke čiste hemijske supstance da spriječi oksidaciju neke druge supstance. 42
43 ANTIOKSIDATIVNA AKTIVNOST Pro-oksidans je supstanca koja može izazvati oksidativna oštećenja na različitim biološkim biomakromolekulama kao što su nukleinske kiseline, lipidi, proteini itd. Antioksidans je supstanca koja može efikasno reducirati prooksidans, pri čemu kao produkti nastaju supstance koje nemaju štetno djelovanje. Antioksidansi se definišu kao spojevi koji mogu odgoditi, inhibirati ili spriječiti oksidaciju hvatanjem slobodnih radikala i smanjiti oksidativni stres. 43
44 ANTIOKSIDATIVNA AKTIVNOST Određivanje (antioksidativne aktivnosti) AOA Metode bazirane na prenosu elektrona, eng. Electron Transfer (ET) ROO + AH / ArOH ROO + AH / ArOH + + AH / ArOH + H O A / ArO + H O ROO H O ROOH H O Metode bazirane na prenosu atoma hidrogena, eng. HydrogenAtom Transfer (HAT) ROO + AH / ArOH ROOH + A / ArO 44
45 ANTIOKSIDATIVNA AKTIVNOST Svaki antioksidans prati različit uticaj koncentracije, pa se antiradikalska aktivnost definiše kao količina potrebnog antioksidansa da smanji početnu koncentraciju radikala na 50% ili kao ekvivalenti nekog standarda. Rezultati se izražavaju kao (inhibiciona koncentracija) IC 50, minimalna koncentracija potrebna da izvrši 50%-tnu inhibiciju radikala. 45
46 METODE Neke od najčešće upotrebljavanih metoda za određivanje antioksidacijske aktivnosti su; DPPH (1,1-difenil-2-pikrilhidrazil) 1-difenil-2-pikrilhidrazil) ABTS (2,2'-azino-bis(3-etilbenztiazolin-6-sulfonska kiselina) ORAC (Oxygen radical absorbance capacity) RP (Reducing power) 46
47 ANTIOKSIDATIVNA AKTIVNOST - DPPH DPPH (1,1 difenil 2 pikrilhidrazil) λ max = 517 nm ( ) % AA = A0 At / A0 100 IC 50 47
48 ANTIOKSIDATIVNA AKTIVNOST - ABTS ABTS (2,2' azino bis(3 etilbenztiazolin 6 sulfonska kiselina) λ max = 743 nm max NH SO3 - S S - + SO 3 + NH4 N N N NC2 H5 H 5 C 2 ABTS -e - +e - ( ) % AA = A A / A 100 NH SO3 - N 0 t 0 C 2 H 5 H 5 C 2 S. + ABTS N N HO N S SO NH4 + CH 3 COOH H 3 C O CH 3 CH 3 Trolox NH SO3 - H S N + N N C 2 H 5 H 5 C 2 N S SO NH4 + + O C H 3 CH 3 O COOH CH 3. + ABTSH CH3 48
49 49
50 Slijedeće predavanje; TERPENI... 50
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
FARMEBS 2017. - Simpozij studenata farmacije i medicinske biokemije 27. svibnja 2017., Zagreb ANTIOKSICIJSKA SVOJSTVA I SASTAV EKSTRAKTA ZELENOG ČAJA U OVISNOSTI O NAČINU PRIPREME Elena Ćosić*1, Ivana
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom
Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija
Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Kiselo bazni indikatori
Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
ODREĐIVANJE ANTIOKSIDATIVNE AKTIVNOSTI METODOM REDUKVIJE Fe(III) JONA
ODREĐIVANJE ANTIOKSIDATIVNE AKTIVNOSTI METODOM REDUKVIJE Fe(III) JONA TEORIJSKI DIO Reakcije oksidacije, redukcije i helatacije jona prelaznih elemenata organskim molekulama poznata je još od davnina.
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
REAKCIJE ELIMINACIJE
REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
C kao nukleofil (Organometalni spojevi)
C kao nukleofil (Organometalni spojevi) 1 Nastajanje nukleofilnih C atoma i njihova adicija na karbonilnu grupu Ukupan proces je jedan od najkorisnijih sintetskih postupaka za stvaranje C-C veze 2 Priroda
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Hromatografija u farmaceutskoj analizi i kontroli lekova
Hromatografija u farmaceutskoj analizi i kontroli lekova 1906... Mihail Semjonovič Cvet (1872 1919) 2 Hromatografija je metoda koja služi za razdvajanje sličnih i/ili potpuno različitih jedinjenja. Razdvajanje
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Reverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Hromatografija u farmaceutskoj analizi i kontroli lekova
Hromatografija u farmaceutskoj analizi i kontroli lekova 1906... Mihail Semjonovič Cvet (1872 1919) 2 1 Hromatografija je metoda koja služi za razdvajanje sličnih i/ili potpuno različitih jedinjenja. Razdvajanje
UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA
ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
A B C D. v v k k. k k
Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju
TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
ADICIJA AMINA NA KARBONILNU GRUPU. AldehIdi i ketoni
ADIIJA AMIA A KABILU GUPU AldehIdi i ketoni eakcije sa = : Primarni amini grade imine Sekundarni amini grade enamine Tercijarni amini ne reaguju AMII: primarni sekundarni tercijarni PIMAI AMII IMII Adicija-Eliminacija
O ili S kao nukleofili-acetali, ketali i hidrati (Adicija alkohola, vode, adicija tiola)
ili S kao nukleofili-acetali, ketali i hidrati (Adicija alkohola, vode, adicija tiola) 1 Adicija alkohola 2 AETALI I PLUAETAL AETALI 3 Adicijom jednog mola alkohola na mol aldehida ili ketona nastaje poluacetal
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra