HEMOGLOBIN FUNKCIJA I STRUKTURA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "HEMOGLOBIN FUNKCIJA I STRUKTURA"

Transcript

1 PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET Kemijski odsjek Studentica 3. godine Preddiplomskog sveučilišnog studija KEMIJA HEMOGLOBIN FUNKCIJA I STRUKTURA Rad je izraďen u Zavodu za opću i anorgansku kemiju Mentor rada: prof. dr. sc. D. Matković-Čalogović Zagreb, 2017.

2 Datum predaje prve verzije Završnog rada: 2. lipnja Datum ocjenjivanja Završnog rada i polaganja Završnog ispita: 15. rujna Mentor rada: prof. dr. sc. D. Matković-Čalogović Potpis:

3

4 Sadržaj iv Sadržaj SAŽETAK... VI 1. UVOD PRIKAZ ODABRANE TEME Struktura hema Oksidacijsko stanje iona željeza u deoksi i oksihemoglobinu Struktura utječe na vezanje liganada Kisik se prenosi pomoću hemoglobina Struktura hemoglobina Kristalna struktura oksihemoglobina i karboksihemoglobina pri razlučenju od 1,25 Å T i R stanje hemoglobina Kooperativno vezanje kisika Dva modela kooperativnog vezanja Bohrov efekt Vezanje 2,3-bisfosfoglicerata Srpasta anemija LITERATURNI IZVORI... XVII

5

6 Sažetak vi Sažetak Hemoglobin je protein kojem je glavna uloga prijenos kisika u krvi preko eritrocita (crvenih krvnih stanica). Hemoglobin sadrţi 4 polipeptidne podjedinice, 2 identična α lanca i 2 identična β lanca. Svaka α podjedinica spojena je na identičan način sa β podjedinicom unutar strukture ovog višepodjediničnog proteina, tako da se hemoglobin moţe smatrati tetramerom 4 polipeptidne podjedinice ili αβ dimerom. Svaka od podjedinica sadrţi prostetičku skupinu hem. Hem se sastoji od sloţenog organskog prstena, protoporfirina na koji je vezan ion ţeljeza. Ţeljezov ion ima 6 koordinacijskih veza, 4 su u ravnini protoporfirina gdje je ion ţeljeza vezan na 4 atoma dušika, a dvije su okomite na ravninu. Jedna od okomitih veza povezuje ţeljezo za dušikom iz histidinskog bočnog ogranka (proksimalni histidin). Šesto koordinacijsko mjesto slobodno je za vezanje molekule kisika. Vezanje kisika na hemoglobin je kooperativno, tj. vezanje kisika na jednu podjedinicu povećava afinitet ostalih podjedinica za kisikom. 2,3 bisfosfoglicerat (2,3-BPG) je alosterički modulator koji se veţe na mjesto udaljeno od vezanja kisika te utječe na vezanje kisika na hemoglobin. 2,3-BPG regulira afinitet hemoglobina prema kisiku u svezi sa parcijalnim tlakom kisika u plućima. Osim kisika, hemoglobin takoďer prenosi H + ione te CO 2.

7 1. Uvod 1 1. UVOD Hemoglobin je protein, jedan od glavnih prenositelja kisika u krvi. Nalazi se u eritrocitima, crvenim krvnim stanicama. Kisik se iz pluća prenosi do tkiva preko arterija, čija je krv bogata kisikom te je zbog toga jarko crvene boje, a vraća se iz tkiva u pluća preko vena koje su siromašne kisikom te je stoga venska krv tamnoljubičaste boje. Osim hemoglobina, kisik takoďer veţe i mioglobin, protein kojem je glavna uloga skladištenje kisika. Oba proteina imaju istu prostetičku skupinu hem, na koju se veţe kisik. Vezanje kisika na hem jedne od 4 podjedinice hemoglobina dovodi do konformacijskih promjena na drugim podjedinicama te se povećava afinitet ostalih podjedinica za kisikom, što se naziva kooperativnim vezanjem. 1,2 Hemoglobin je prvi oligomerni protein kojem je otkrivena trodimenzionalna struktura. Zbog toga što je on 4 puta veći od mioglobina, puno više vremena i truda je bilo potrebno da se riješi njegova trodimenzionalna struktura pomoću difrakcije rendgenskih zraka, što je napokon uspjelo M. Perutzu, J. Kendrewu i njihovim kolegama godine. Struktura je tada riješena i objavljena u časopisu Nature do razlučenja od 5,5 Å. 3 Relativna molekulska masa hemoglobina je Godine struktura je riješena do visokog razlučenja od 1,25 Å koja je omogućila precizno lociranje pojedinih atoma u strukturi. 4 Uslijed mutacija mogu nastati različite bolesti. Srpasta anemija genetska je bolest uzrokovana promjenom jedne aminokiseline u polipeptidnom lancu kod koje je pojedinac naslijedio alel za hemoglobin srpastih stanica od oba roditelja. Eritrociti su kod ove bolesti dugi, tanki i u obliku polumjeseca, tj. oštrice srpa. Za ovakav oblik kriva su netopljiva vlakna hemoglobina koja nastaju deoksigenacijom. Ta je bolest bolna i smrtonosna, te bez liječenja, osobe sa srpastom anemijom obično umiru u djetinjstvu. 1 U ovom radu ţeli se prikazati uloga hemoglobina u ljudskom organizmu i objasniti kako on veţe kisik na sebe. TakoĎer se ţeli prikazati struktura hemoglobina i objasniti do kojih sve promjena u strukturi, oksidacijskim stanjima itd. dolazi tijekom vezanja i otpuštanja kisika te koji sve faktori i na koji način utječu na vezanje kisika.

8 2. Prikaz odabrane teme 2 2. PRIKAZ ODABRANE TEME 2.1. Struktura hema Kisik je slabo topljiv u vodenim otopinama i ne moţe se prenijeti u tkiva u dovoljnoj količini jer se otopi u krvnom serumu. Difuzija kisika kroz tkiva je takoďer neučinkovita za udaljenosti veće od nekoliko milimetara. Evolucija većih, višestaničnih ţivotinja ovisila je o evoluciji proteina koji prenose i spremaju kisik. Ipak, niti jedan aminokiselinski bočni lanac proteina nije odgovoran za reverzibilno vezanje molekula kisika. Ovu ulogu ispunjavaju odreďeni prijelazni metali, meďu njima ţeljezo i bakar, koji imaju veliku tendenciju da veţu kisik. Višestanični organizmi iskorištavaju svojstva metala, pogotovo ţeljeza, za transport kisika. Ipak, slobodno ţeljezo potiče stvaranje visoko reaktivnih kisikovih specija kao što su hidroksilni radikali koji mogu oštetiti DNA i druge makromolekule. Ţeljezo u stanicama je zato vezano u oblicima koji ga izoliraju ili čine manje reaktivnim. U višestaničnim organizmima, pogotovo u onima u kojima je ţeljezo koje prenosi kisik, i mora se prenositi na velike udaljenosti, ţeljezo je često spojeno s prostetičkom skupinom proteina - hemom. Hem se sastoji od sloţene strukture organskog prstena, protoporfirina, načinjenog od 4 pirolna prstena povezana metinskim mostovima. Na tom tetrapirolnom prstenu nalaze se četiri metilne skupine, dvije vinilne skupine i dva propionatna bočna ogranka. U središte tetrapirolnog prstena vezan je jedan ion ţeljeza. Atom ţeljeza ima 6 koordinacijskih veza, 4 sa atomima dušika koji su dio protoporfirinskog prstena i dvije veze koje su okomite na protoporfirin (slika 1). 1

9 2. Prikaz odabrane teme 3 Slika 1. Struktura hema s vezanim ionom ţeljeza bez aksijalnih liganada Koordinirani atomi dušika, koji imaju elektron-donorski karakter, sprječavaju pretvaranje hemskog ţeljeza u Fe 3+ stanje u deoksihemoglobinu. Ţeljezo u Fe 2+ stanju veţe kisik reverzibilno, a u Fe 3+ stanju ne veţe kisik. Ion ţeljeza leţi 0,4 Å izvan ravnine protoporfirina u Fe 2+ stanju, a kada se na njega veţe kisik, on se smanjuje prelaskom u Fe 3+ te ulazi u šupljinu protoporfirinskog prstena. Hem je pronaďen u većem broju proteina koji veţu kisik, kao i u nekim proteinima, kao što su citokromi, koji sudjeluju u oksidacijsko-redukcijskim reakcijama (transfer elektrona). U slobodnim molekulama hema (koje nisu vezane za protein), reakcija kisika sa slobodnim koordinirajućim mjestom na ţeljezu (okomitim na protoporfirin) moţe rezultirati s ireverzibilnom pretvorbom Fe 2+ u Fe 3+. U proteinima koji sadrţe hem, ova reakcija je spriječena smještanjem hema duboko u strukturu proteina gdje je prilaz tom koordinacijskom mjestu ograničen. Jedno od ta dva koordinacijska mjesta je zauzeto s dušikom iz bočnog lanca histidinskog ostatka. Taj se histidin naziva proksimalnim histidinom. Drugo mjesto je slobodno za vezanje kisika. Kada se kisik veţe, elektronska svojstva ţeljeza u hemu se promijene. To se vidi u promjeni boje iz tamnoljubičaste kisikom siromašne venske krvi, do jarko crvene kisikom bogate arterijske krvi. Neke male molekule, kao što je ugljikov monoksid i dušikov oksid, veţu se na hemsko ţeljezo s većim afinitetom od kisika. Vezanje molekule CO na hem, onemogućava vezanje kisika, zbog čega je CO jako toksičan za aerobne organizme. Pomoću okruţenja (aminokiselinskih ostataka u blizini iona ţeljeza) i smještanja hema, proteini koji veţu kisik reguliraju pristup CO i ostalih malih molekula hemskom ţeljezu. 2

10 2. Prikaz odabrane teme Oksidacijsko stanje iona željeza u deoksi i oksihemoglobinu Ion ţeljeza je u deoksihemoglobinu prisutan kao Fe 2+. MeĎutim, oksidacijsko stanje iona ţeljeza u oksi-hemoglobinu dugo je bilo predmet istraţivanja. Pin i suradinici istraţivali su oksidacijsko stanje ţeljeza u hemoglobinu pomoću strukture rendgenske apsorpcije blizu praga, XANES (engl.: X-ray absorption near edge structure). 5 To je spektroskopska metoda rendgenske apsorpcije vezane uz područje koje se nalazi do 10 ev iznad energije ionizacije elementa (iznad apsorpcijskog praga elementa). U navedenom radu istraţen je Kα apsorpcijski prag ţeljeza. Analizirajući maksimume u spektru naďeno je da hemoglobin bez liganada kao i oksidirani oblici daju očekivani Fe 3+ u Fe 2+ energetski pomak kod 1s-4p i 1s-4s prijelaza. Maksimumi navedenih prijelaza pomiču se za 5,5 ev prelazeći iz deoksi- u oksihemoglobin. Poloţaj 1s-4p prijelaza ovisi o kombiniranim učincima valencije, ionskog naboja i simetrije poloţaja u kojem se nalazi ion ţeljeza, kao i o prirodi okoliša. Dugo vremena se pretpostavljalo da je konformacijska promjena izmeďu HbO 2 i Hb uzrokovana prijelazom Fe 2+ iz niskospinskog u visokospinsko stanje. U ovom radu je naďeno da je u HbO 2 prisutan ion Fe 3+. Pretpostavka je da nakon odlaska molekule kisika ion ţeljeza pokupi elektron, mijenjajući svoj formalni naboj od +3 do +2. Ali nije poznato da li taj elektron dolazi od kisikova liganda ili iz porfirinskog prstena. Bez obzira na podrijetlo elektrona, proces deoksigenacije predstavlja pravu redukciju ţeljeza. Reaktivnost ţeljeza se moţe pratiti preko raspodjele elektrona oko ţeljeza i takva istraţivanja mogu pomoći da se odgonetne mehanizam kooperativnog vezanja u hemoglobinu Struktura utječe na vezanje liganada Vezanje liganda na protein je pod velikim utjecajem strukture proteina i često je popraćeno konformacijskim promjenama. Specifičnost s kojom hem veţe različite ligande je promijenjena kada je hem dio hemoglobina. Ugljikov monoksid se veţe na slobodni hem više od puta jače od kisika, ali se veţe samo oko 200 puta jače kad je hem dio hemoglobina. Ta razlika se moţe djelomično objasniti preko steričkih smetnji. Kada se kisik veţe na slobodni hem, os molekule kisika je pod kutem u odnosu na ţeljezov ion. Suprotno od toga, kada se CO veţe na slobodni hem, Fe, C i O leţe na istom pravcu. U hemoglobinu je His64 na strani hema gdje se veţe kisik ali je predaleko da se koordinira s hemskim ţeljezom,

11 2. Prikaz odabrane teme 5 no u interakciji je s ligandom vezanim na hem. Ovaj ostatak, zvan distalni histidin, ne utječe na vezanje kisika ali moţe sprječiti linearno vezanje CO što objašnjava smanjeno vezanje CO na hem u hemoglobinu. Smanjeno vezanje CO je fiziološki vaţno, jer je CO nusprodukt staničnog metabolizma. Drugi faktori, koji nisu još utvrďeni, takoďer utječu na interakciju hema sa CO u ovim proteinima. Vezanje kisika na hem u hemoglobinu takoďer ovisi o kretanjima molekula, ili o disanju u strukturi proteina. Molekula hema je zakopana duboko u smotanom polipeptidu, bez direktnog puta za kisik da doďe iz okolne otopine do strane za vezanje liganda. Da je protein krut, kisik ne bi mogao ući ili izaći iz hemskog dţepa mjerljivom brzinom. MeĎutim, brzo savijanje bočnih lanaca aminokiselina stvara prolazne šupljine u strukturi proteina i kisiku omogućava put unutra i van. Kompjuterske simulacije brzih strukturnih fluktuacija u hemoglobinu upućuju na to da postoji više takvih puteva. Jedan bitan put se ostvari rotacijom bočnog lanca distalnog histidina (His64), proces koji se odvija u skali nanosekunde. Čak i male konformacijske promjene mogu biti kritične za aktivnost proteina Kisik se prenosi pomoću hemoglobina Skoro sav kisik koji se prenosi u krvi u ţivotinjama je vezan i prenošen pomoću hemoglobina u eritrocitima (crvenim krvnim stanicama). Normalni ljudski eritrociti su mali (promjer je 6 do 9 µm) bikonkavni diskovi. U procesu sazrijevanja, matične stanice stvaraju stanice kćeri koje stvaraju veliku količinu hemoglobina i tada gube svoje unutarstanične organele jezgru, mitohondrij i endoplazmatski retikulum. Eritrociti su stoga nepotpune, zakrţljale stanice, nesposobne za reprodukciju i u ljudi predodreďene da ţive samo 120 dana. Njihova glavna uloga je da prenose hemoglobin, koji je otopljen u citosolu u veoma velikoj koncentraciji. U arterijskoj krvi koja prolazi iz pluća do srca kroz periferna tkiva, hemoglobin je zasićen kisikom oko 96%. U venskoj krvi koja se vraća u srce, hemoglobin je zasićen samo oko 64%. TakoĎer, svakih 100 ml krvi što proďe kroz tkivo, oslobodi oko jednu trećinu kisika kojeg prenosi, ili 6,5 ml kisika pri atmosferskom tlaku i temperaturi tijela. 2

12 2. Prikaz odabrane teme Struktura hemoglobina Hemoglobin (Mr = , oznaka Hb) je grubo sferičan, sa promjerom od pribliţno 5,5 nm. To je tetramerni protein koji sadrţi 4 hem prostetičke skupine, svaku povezanu sa svakim polipeptidnim lancem. Hemoglobin odraslih osoba sadrţi 2 tipa globina, 2 α lanca (141 aminokiselinski ostataka svaki) i 2 β lanca (146 aminokiselinskih ostataka svaki). Iako je manje od pola aminokiselinskih ostataka u polipeptidnim slijedovima u α i β lancu identično, trodimenzionalna struktura dvije vrste podjedinica je veoma slična. TakoĎer, njihove strukture su veoma slične strukturi mioglobina, iako je slijed aminokiselina u tri polipeptida identičan samo za 27 aminokiselina. Sva tri polipeptida su članovi globinske obitelji proteina. Kvaternu strukturu hemoglobina karakteriziraju jake interakcije izmeďu nejednakih podjedinica. Interakcije meďu podjedinicama α1β1 (i α2β2) uključuju više od 30 aminokiselinskih ostataka. Ukoliko se hemoglobin podvrgne blagom tretmanu ureom dolazi do ragradnje teramera no trebali bi se razoriti i αβ dimeri, meďutim oni ostaju netaknuti zbog jakih interakcija. α1β2 (i α2β1) podjedinice povezuju interakcije izmeďu 19 aminokiselinskih ostataka. Dominiraju hidrofobne interakcije ali takoďer ima mnogo vodikovih veza i nekoliko ionskih parova (solni mostovi) Kristalna struktura oksihemoglobina i karboksihemoglobina pri razlučenju od 1,25 Å OdreĎena je kristalna struktura deoksihemoglobina na sobnoj temperaturi, te strukture oksihemoglobina i CO-hemoglobina na 100 K. 4 Strukture su usporeďene meďusobno te sa strukturama koje su bile riješena ranije da se naďu područja iste strukture kao i područja unutar αβ dimera gdje se razlikuju. UsporeĎujući novu strukturu oksihemoglobina s onom pohranjenom u bazi podataka Protein data bank pod imenom 1HHO (PDB 1HHO, riješena 1983.) naďene su značajne razlike na C terminalnom kraju α lanca i na N-terminalnom kraju β lanca. Vaţne promjene su pronaďene u okolini hema, gdje je molekula kisika jasno vidljiva u mapi elektronske gustoće visoke rezolucije (slika 2). Vidljivo je da je distalni histidin u poloţaju u kojem se moţe vezati vodikovom vezom s ligandom i u α i β podjedinici. To nije uočeno u β podjedinici starije strukture 1HHO. Postojanje takve vodikove veze je prvo uočeno pomoću EPR mjerenja i potvrďeno kristalografski devet godina kasnije. Budući da mutacija distalnog histidina u glicin dosta slabi vezanje kisika na α globin, ali ne na β globin, čini se da je

13 2. Prikaz odabrane teme 7 vodikova veza kod His E7β puno slabija nego ona kod His E7α. Geometrija liganda i distalnog histidina je malo drugačija u dvije podjedinice, s O2 atomom kisika koji se nalazi 2,7 Å od N ε atoma dušika iz distalnog histidina u α podjedinici, i 3 Å udaljenog u β podjedinici. Model visoke rezolucije dakle potvrďuje prisustvo vodikove veze u obje podjedinice. Zanimljivo je da kisikov atom O1, koji je direktno vezan na hemsko ţeljezo, leţi 2,8 Å od N ε atoma u α podjedinicama, ali je na udaljenosti od 3,1 Å u β podjedinicama. Na temelju elektronske gustoće odreďena je slabija vodikova veza u β podjedinicama, s manjom gustoćom oko O2 atoma (slika 2). To govori da se oba kisikova atoma mogu vezati vodikovom vezom za histidin, ali udaljenija imidazolna grupa kod β podjedinice očigledno nema sposobnost da se jako veţe za ligand. Distalni histidin je takoďer malo bliţi vezanom CO u α podjedinicama, što moţe povećati razlikovanje tog liganda od kisika (slika 3). Druge manje razlike izmeďu oksi- i CO-strukture uključuju rotamer Leu83α, koji je smješten pokraj proskimalnog histidina, i vinilnu grupu na β podjedinici. Nijedna razlika nema očitu ulogu u kontroli afiniteta prema ligandu. Unatoč mnogim istraţivanjima posvećenim razlikovanju liganda od strane proteina koje sadrţe hem, nijedan sigurni zaključak još nije donesen. U slučaju mioglobina, kojem je odreďena struktura rendgenskom difrakcijom pri veoma visokom razlučenju bilo je predloţeno da svi hemski proteini razlikuju vezanje CO i kisika i prednost daju kisiku zbog steričkih efekata. Novija istraţivanja strukture predlaţu da sterički efekti ustvari ne pomaţu, a razlikovanje liganada se javlja zbog elektrostatskog utjecaja što uključuje i stvaranje vodikove veze. Oksihemoglobin daje dobar probni slučaj za tu hipotezu pošto α i β podjedinice pokazuju izrazito drugačije ponašanje. U ovom modelu oksihemoglobina, Fe-O-O kut je 124 o u α podjedinici i 126 o u β podjedinici. Fe-C-O kutevi u CO-hemoglobinu su 172 o i 169 o. Te su vrijednosti unutar pogreške od 3 o što znači da nisu značajne. 4

14 2. Prikaz odabrane teme 8 Slika 2. Stereo prikaz mapa elektronske gustoće za oksihemoglobin: a) ligand kisika na hemu α podjedinice i b) ligand kisika na hemu β podjedinice. Preuzeto iz literaturnog izvora 4 Slika 3. Stereo prikaz mapa elektronske gustoće za CO-hemoglobin: a) ligand CO na hemu α podjedinice i b) ligand CO na hemu β podjedinice. Preuzeto iz literaturnog izvora Struktura deoksihemoglobina Struktura deoksihemoglobina predstavljena u ovom radu ima neobično visoko razlučenje za tako velik protein, naročito zato jer su difrakcijski podaci skupljeni na sobnoj temperaturi s kristala koji se nalazio u kapilari. Molekula vode nalazi se u obje α podjedinice hemskih

15 2. Prikaz odabrane teme 9 dţepova vezana vodikovom vezom na distalni histidin, ali nema tragova molekule vode u β dţepu (slika 4). 4 Slika 4. Stereo prikaz mapa elektronske gustoće za deoksihemoglobin: a) hemski dţep α podjedinice i b) hemski dţep β podjedinice. Preuzeto iz literaturnog izvora T i R stanje hemoglobina Rendgenskim zračenjem su otkrivene dvije bitne konformacije hemoglobina: R-stanje i T- stanje. Iako se kisik veţe na hemoglobin u oba stanja, ima puno veći afinitet prema hemoglobinu u R-stanju. Vezanje kisika stabilizira R-stanje. Kada je kisik odsutan, T-stanje je stabilnije i zato je to dominantna konformacija deoksihemoglobina. T i R oznake potječu od tense i relaxed (napet i opušten), zato što je T-stanje stabilizirano pomoću većeg broja ionskih parova od kojih mnogi leţe na α1β2 (i α2β1) sučelju. Vezanje kisika na podjedinicu hemoglobina u T-stanju, potiče promjenu u konformaciji prema R-stanju. Kada cijeli protein proďe kroz ovu promjenu, struktura svake podjedinice se malo promjeni, ali αβ parovi podjedinica kliţu jedan pored drugog i rotiraju se, suţavajući dţep izmeďu β podjedinica. U ovom procesu, neki parovi iona koji stabiliziraju T-stanje su pokidani i formirani su neki novi. M. Perutz je predloţio da je T-R prijelaz izazvan promjenama u poloţaju ključnih aminokiselinskih bočnih lanaca koji okruţuju hem. U T-stanju, protoporfirin je lagano podignut, što uzrokuje da hemsko ţeljezo izlazi malo na stranu proksimalnog histidina.

16 2. Prikaz odabrane teme 10 Vezanje kisika uzrokuje da hem zauzme više planarnu konformaciju, premještajući poloţaj proksimalnog histidina i pripojene F-uzvojnice Kooperativno vezanje kisika Hemoglobin mora vezati kisik učinkovito u plućima, gdje je parcijalni tlak kisika 13,3 kpa, i oslobaďati kisik u tkivima, gdje je parcijalni tlak kisika 4 kpa. Mioglobin, ili bilo koji protein koji veţe kisik s hiperbolnom krivuljom vezanja, bio bi nepodoban za tu funkciju. Protein koji veţe kisik s velikim afinitetom, učinkovito bi ga vezao u plućima, ali ga ne bi dovoljno oslobaďao u tkivima. Ako bi protein vezao kisik s niskim afinitetom vezanja da ga moţe otpustiti u tkivima, ne bi pokupio mnogo kisika u plućima. Hemoglobin rješava problem na način da ima prijelaz iz stanja s niskim afinitetom (T-stanje) u stanje s visokim afinitetom (Rstanje) kako se više molekula kisika veţe. Kao rezultat, hemoglobin ima sigmoidalnu krivulju vezanja kisika, u obliku slova S. Protein sa samo jednom podjedinicom i s jednim mjestom za vezanje liganda ne moţe proizvesti sigmoidalnu krivulju vezanja, čak i ako vezanje izaziva konformacijsku promjernu, zato što se svaka molekula liganda veţe nezavisno i ne moţe utjecati na vezanje drugih molekula. U suprotnosti, vezanje kisika na individualne podjedinice hemoglobina moţe mijenjati afinitet prema kisiku u pojedinim podjedinicama. Prva molekula kisika koja reagira s hemoglobinom veţe se slabo, zato što se veţe na podjedinicu u T-stanju. Njezino vezanje uzrokuje konformacijske promjene koje su povezane sa susjednim podjedinicama i čini da se ostale molekule kisika lakše poveţu. Ustvari, T-R transformacija dogaďa se puno brţe u drugoj podjedinici jednom kad je kisik vezan na prvu podjedinicu. Zadnja (četvrta) molekula kisika veţe se na hem na podjedinicu koja već je u R-stanju i stoga se veţe s puno većim afinitetom nego prva molekula. Alosterički protein je onaj u kojem vezanje liganda na jednu stranu utječe na svojstva vezanja na drugu stranu istog proteina. Pojam alosterički dolazi od grčke riječi allos drugi i stereos čvrst ili oblik. Alosterički proteini su oni koji imaju druge oblike, ili konformacije, inducirane vezanjem liganada koji se nazivaju modulatori. Konformacijske promjene inducirane modulatorom pretvaraju više aktivne i manje aktivne oblike proteina jednog u drugi. Modulatori za alosteričke proteine mogu biti inhibitori ili aktivatori. Kada su normalni ligand i modulator identični, interakcija se naziva homotropnom. Kada je modulator

17 2. Prikaz odabrane teme 11 različita molekula od liganda, interakcija je heterotropna. Neki proteini imaju dva ili više modulatora i time mogu imati i homotropne i heterotropne interakcije. Kooperativno vezanje liganda na multimerni protein, kao što to promatrano za vezanje kisika na hemoglobin, je oblik alosteričog vezanja koji se često uočava u multimernim proteinima. Vezanje liganda utječe na afinitete ostalih nepopunjenih veznih strana, i kisik se moţe smatrati kao ligand i kao aktivirajući homotropni modulator. Samo je jedno vezno mjesto za kisik na svakoj podjedinici tako da su alosterički efekti koji dovode do kooperativnosti posredovani konformacijskim promjenama koji se prenose iz jedne podjedinice u drugu preko interakcija izmeďu podjedinica. Sigmoidalna krivulja pokazuje kooperativno vezanje. Kooperativne konformacijske promjene ovise o varijacijama u strukturnoj stabilnosti različitih dijelova proteina. Vezna mjesta alosteričkih proteina obično se sastoje od stabilnog segmenta u blizini relativno nestabilnih segmenata, a oni mogu imati česte promjene u konformaciji ili neorganizirano gibanje. Kada se ligand veţe, pokretni dijelovi veznog mjesta proteina mogu se stabilizirati u odreďenoj konformaciji, utječući tako na konformacije susjednih polipeptidnih podjedinica. Ako bi cijelo vezno mjesto bilo jako stabilno, tada bi se nekoliko strukturnih promjena moglo pojaviti u veznom mjestu i proširile bi se na ostale dijelove proteina kad bi se ligand vezao Dva modela kooperativnog vezanja Biokemičari sada znaju mnogo o T i R stanju hemoglobina, ali mnogo toga ostaje za naučiti o tome kako se T - R transformacija odvija. Dva modela kooperativnog vezanja liganda za protein sa više veznih mjesta su mnogo utjecala na razmišljanje o ovom problemu. Prvi predloţeni model je MWC model ili usklaďen model. UsklaĎeni model pretpostavlja da su podjedinice proteina s kooperativnim vezanjem funkcionalno identične, da svaka podjedinica moţe postojati u (najmanje) dvije konformacije i da sve podjedinice prolaze kroz prijelaz iz jedne konformacije u drugu istovremeno. U ovom modelu, niti jedan protein nema pojedinačne podjedinice u različitim konformacijama. Dvije konformacije su u ravnoteţi. Ligand se moţe vezati na podjedinice obje konformacije, ali se na svaku veţe s različitim afinitetom. Posljedica uspješnog vezanje molekule liganda na podjedinicu u konformaciji

18 2. Prikaz odabrane teme 12 niskog afiniteta (koja je stabilnija u odsutnosti liganda) je prijelaz u visoko afinitetnu konformaciju. U drugom modelu, sekvencijskom modelu, vezanje liganda moţe potaknuti promjenu u konformaciji u pojedinoj podjedinici. Konformacijska promjena u jednoj podjedinici radi sličnu promjenu u susjednoj podjedinici, kao i vezanje druge molekule liganda. Vjerojatnija su prijelazna stanja u ovom modelu nego u usklaďenom modelu. Ova dva modela ne isključuju jedan drugog: usklaďeni model moţe se promatrati kao granični slučaj sekvencijskog modela Bohrov efekt Uz to što prenosi gotovo sav kisik potreban stanicama iz pluća do tkiva, hemoglobin takoďer prenosi dva krajnja produkta stanične respiracije, H + i CO 2, iz tkiva u pluća i bubrege, gdje se oni izlučuju. CO 2, koji se stvara oksidacijom organskih goriva u mitohondriju stvara bikarbonat HCO - 3. Ovu reakciju katalizira ugljična-anhidraza, enzim koji je osobito obilat u eritrocitima. Ugljikov dioksid nije osobito topljiv u vodenoj otopini, i mjehurići CO 2 bi se stvarali u tkivima i krvi kad se on ne bi prevodio u bikarbonat. Kao što se moţe vidjeti iz reakcije, hidratacija CO 2 rezultira povećanjem koncentracije H + (smanjenje ph) u tkivima. Na vezanje kisika na hemoglobin utječe ph i koncentracija CO 2, tako da su interkonverzije CO 2 i bikarbonata od velike vaţnosti za regulaciju vezanja kisika i otpuštanja istog u krv. Hemoglobin prenosi oko 40% ukupnog H + i 15% do 20% CO 2 koji se stvorio u tkivima u pluća i bubrege. Ostatak H + je apsorbiran od plazminog bikarbonatnog pufera a ostatak CO 2 se prenosi kao otopljeni bikarbonat i CO 2. Vezanje H + i CO 2 je obrnuto povezano s vezanjem kisika. Pri relativno niskom ph i visokoj koncentraciji CO 2 u perifernim tkivima, afinitet hemoglobina prema kisiku se smanjuje kako se H + i CO 2 veţu, a kisik se otpušta u tkiva. Obrnuto, u kapilarama u plućima, kako se CO 2 izlučuje i ph krvi postupno povećava, afinitet hemoglobina za kisikom se povećava i hemoglobin veţe više kisika za transport u periferna tkiva. Ovaj efekt ph i koncentracije CO 2 na otpuštanje i vezanje kisika na hemoglobin zove se Borov efekt, prema Christianu Bohru, danskom fiziologu koji ga je otkrio Kisik i H + se ne veţu na isto mjesto hemoglobina. Kisik se veţe na atome ţeljeza u hemu, a H + se veţe na bilo koji od nekoliko aminokiselinskih ostataka u proteinu. Veliki

19 2. Prikaz odabrane teme 13 doprinos Bohrovom efektu daje His146 u β podjedinicama. Kad se protonira, ovaj ostatak tvori jedan od ionskih parova s Asp94 koji pomaţe stabilizaciji deoksihemoglobina u T- stanju. Ionski par stabilizira protonirani His146, i daje tom ostatku jako visok pka u T-stanju. pka opada na svoju normalnu vrijednost od 6,0 u R-stanju jer se ne moţe stvarati ionski par, i taj ostatak je jako deprotoniran u oksihemoglobinu pri ph 7,6, a to je ph krvi u plućima. Kako se koncentracija H + povećava, protonacija His146 potiče oslobaďanje kisika tako što favorizira prijelaz u T-stanje. Protonacija amino-terminalnih ostataka α podjedinica, nekih drugih histidinskih ostataka i moţda drugih grupa, ima sličan efekt. Tako vidimo da četiri polipeptidna lanca hemoglobina komuniciraju jedan s drugim ne samo o vezanju kisika na njihove hemske skupine, već i o vezanju H + na specifične aminokiselinske ostatke. Ali, hemoglobin takoďer veţe CO 2, na način koji je obrnuto povezan s vezanjem kisika. Ugljikov dioksid veţe se kao karbamatna skupina na α-amino skupinu amino terminalnog kraja svakog globinskog lanca, tvoreći karbaminohemoglobin (slika 5). Slika 5. Reakcija stvaranja karbaminohemoglobina Ova reakcija stvara H +, čime doprinosi Bohrovom efektu. Vezani karbamati takoďer tvore solne mostove koji pomaţu stabilizaciji T-stanja i potiču oslobaďanje kisika. Kada je koncentracija ugljikova dioksida visoka, kao u perifernim tkivima, dio CO 2 se veţe na hemoglobin i afinitet za kisik se smanjuje te uzrokuje njegovo otpuštanje. Suprotno, kada hemoglobin doďe u pluća, visoka koncentracija kisika potiče vezanje kisika i otpuštanje CO 2. Sposobnost da se prenese informacija o vezanju liganda iz jedne polipeptidne jedinice na drugu čini hemoglobin tako dobro prilagoďenim da prenosi kisik, CO 2 i H + preko eritrocita. 2

20 2. Prikaz odabrane teme Vezanje 2,3-bisfosfoglicerata Interakcija 2,3-bisfosfoglicerata (2,3-BPG, slika 6) s hemoglobinom daje primjer heterotropne alosteričke modulacije. Slika 6. Strukturna formula 2,3- bisfosfoglicerata 2,3-BPG je prisutan u relativno visokoj koncentraciji u eritrocitima. Kad je hemoglobin izoliran, sadrţi znatnu količinu vezanog 2,3-BPG-a, kojeg moţe biti teško u potpunosti ukloniti. Zapravo, krivulje vezanja kisika na hemoglobin su bile napravljene u prisutnosti vezanog 2,3-BPG-a. 2,3-bisfosfoglicerat jako smanjuje afinitet hemoglobina prema kisiku postoji obrnuta veza izmeďu vezanja kisika i vezanja 2,3-BPG-a. 2,3-BPG se veţe na mjesto udaljeno od mjesta vezanja kisika i regulira afinitet hemoglobina prema kisiku u svezi sa parcijalnim tlakom kisika u plućima. 2,3-BPG ima vaţnu ulogu u fiziološkoj prilagodbi niţem parcijalnom tlaku kisika koji je na višim nadmorskim visinama. Za zdravog čovjeka koji tumara oceanom, vezanje kisika na hemoglobin regulirano je tako da količina kisika koja se prenese u tkiva je jednaka odprilike 40% maksimuma koji se moţe prenijeti preko krvi. Zamislimo da se ta osoba brzo preseli na planinu na nadmorskoj visini od 4500 metara, gdje je po 2 znatno niţi. Dostava kisika je sad smanjena. Ipak, nakon samo nekoliko sati na višoj nadmorskoj visini, koncentracija 2,3-BPG u krvi će se početi povećavati i dovest će do smanjenog afiniteta hemoglobina prema kisiku. Ovo prilagoďavanje razine 2,3-BPG-a ima samo mali utjecaj na vezanje kisika u plućima, ali veliki utjecaj na oslobaďanje kisika u tkivima. Kao rezultat, isporuka kisika u tkiva je povraćena na odprilike 40% od onoga koji se moţe prenositi preko krvi. Situacija je obratna kada se osoba vrati na razinu mora. Koncentracija 2,3-BPG-a u eritrocitima takoďer se povećava kod ljudi koji pate od hipoksije, umanjene oksigenacije u perifernim tkivima uslijed neadekvatnog funkcioniranja pluća ili krvoţilnog sustava.

21 2. Prikaz odabrane teme 15 Mjesto vezanja 2,3-BPG-a na hemoglobin je šupljina izmeďu β podjedinica u T-stanju. Ova šupljina je obloţena pozitivno nabijenim aminokiselinskim ostacima koji interagiraju s negativno nabijenim skupinama 2,3-BPG-a. Za razliku od kisika, samo jedna molekula 2,3- BPG-a je vezana za svaki hemoglobinski tetramer. 2,3-BPG smanjuje sklonost hemoglobina prema kisiku tako što stabilizira T-stanje. Prijelaz u R-stanje suţava vezni dţep za 2,3-BPG, sprječavajući vezanje 2,3-BPG-a. U odsutnostni 2,3-BPG-a, hemoglobin se lakše prevodi u R- stanje. Regulacija vezanja kisika na hemoglobin pomoću BPG-a ima vaţnu ulogu u fetalnom razvoju. Budući da fetus mora izvući kisik iz majčine krvi, fetalni hemoglobin mora imati veći afinitet od majčinog hemoglobina prema kisiku. Fetus sintetizira γ podjedinice radije nego β podjedinice, tvoreći α2γ2 hemoglobin. Ovaj tetramer ima puno niţi afinitet za 2,3- BPG od normalnog odraslog hemoglobina i odgovarajuće veći afinitet za kisik Srpasta anemija Velika vaţnost sekvence aminokiselina u odreďivanju sekundarne, tercijarne i kvarterne strukture globularnih proteina, a time i njihovih bioloških funkcija je znatno dokazana preko nasljedne ljudske bolesti, srpaste anemije. Poznato je da se u ljudskoj populaciji javlja gotovo 500 genetskih varijanti hemoglobina, ali sve osim njih nekoliko su vrlo rijetke. Većina varijacija sastoji se od razlika u jednom aminokiselinskom ostatku. Učinci na strukturu i funkciju hemoglobina često su mali, ali ponekad mogu biti izrazito veliki. Svaka varijacija hemoglobina je produkt promijenjenog gena. Varijante gena nazivaju se aleli. Budući da ljudi općenito imaju dvije kopije svakog gena, pojedinac moţe imati dvije kopije pojedinog alela (tako da je homozigotan za taj gen) ili jednu kopiju svakog od dva različita alela (tako da je heterozigotan). Srpasta anemija je genetska bolest u kojoj je pojedinac naslijedio alel za hemoglobin srpastih stanica od oba roditelja. Eritrociti kod ovih pojedinaca su manji i abnormalni. Pored neuobičajeno velikog broja nezrelih stanica, krv sadrţi mnoge duge, tanke eritrocite u obliku polumjeseca koji izgledaju poput oštrice srpa. Kad je hemoglobin iz srpastih stanica (nazvan hemoglobin S) deoksigeniran, postaje netopljiv i tvori polimere koji se nakupljaju u cjevasto vlakno. Normalni hemoglobin (hemoglobin A) ostaje topljiv nakon deoksigenacije.

22 2. Prikaz odabrane teme 16 Netopljiva vlakna hemoglobina S odgovorna su za deformirani oblik srpastih eritrocita, a udio srpastih stanica se povećava kako se krv deoksigenira. Promijenjena svojstva hemoglobina S rezultat su zamjene samo jedne aminokiseline, Val umjesto Glu na mjestu 6 u dva β lanca. R skupina valina nema električni naboj, a glutamat ima negativni naboj pri ph 7,4. Hemoglobin S tako ima dva negativna naboja manje nego hemogobin A, jedan za svaki od dva β lanca. Zamjena Glu za Val stvara ljepljivu hidrofobnu kontaktnu točku na poziciji 6 β lanca, koji je na vanjskoj površini molekule. Ova ljepljiva mjesta uzrokuju da se molekule deoksihemoglobina S abnormalno povezuju jedna s drugom, stvarajući duge, vlaknaste agregate karakteristične za ovaj poremećaj. Srpasta anemija, kao što smo primjetili, javlja se u pojedinačnim homozigotima za srpasti alel gena koji kodira β podjedinicu hemoglobina. Pojedinci koji prime srpasti alel od samo jednog roditelja, pa su zato heterozigotni, doţive samo blagu crtu srpaste anemije: samo 1% njihovih eritrocita bude srpastog oblika tijekom deoksigenacije. Ovi pojedinci mogu ţivjeti sasvim normalan ţivot ako izbjegavaju snaţnu vjeţbu i drugi stres za krvoţilni sustav. Srpasta anemija je bolna i po ţivot opasna bolest. Ljudi sa srpastom anemijom pate od ponovljenih kriza uzrokovanih fizičkim naporom. Oni postaju slabi, ošamućeni, ponestaje im daha, dolazi do šumova srca i povećanog pulsa. Sadrţaj hemoglobina u njihovoj krvi je oko polovice normalne vrijednost od 15 do 16 g/100 ml, jer su srpaste stanice jako krhke i lako pucaju; to rezultira anemijom. Ozbiljnija posljedica je da kapilare postaju blokirane zbog dugih, abnormalno oblikovanih stanica, što uzrokuje jaku bol i ometa normalno funkcioniranje organa što je glavni uzrok rane smrti mnogih ljudi s ovom bolesti. Bez liječenja, osobe sa srpastom anemijom obično umru u djetinjstvu. Ipak, srpasta anemija je iznenaďujuće česta u nekim dijelovima Afrike. Istraga o prisutnosti alela koji je očito jako štetan u homozigotnim pojedincima dovela je do saznanja da u heterozigotnim pojedincima, alel daje malu, ali značajnu otpornost na smrtonosne oblike malarije. Prirodna selekcija je rezultirala u populaciji alela koji balansira štetne učinke homozigotnog stanja s otpornošću na malariju koju daje heterozigotno stanje. 2

23 3. Literaturni izvori LITERATURNI IZVORI 1. L. Stryer, Biochemistry, W. H. Freeman & Co., New York, 2013, str D. Nelson, M. Cox, Lehninger Principles of Biochemistry, 4. izdanje, M.; W.H. Freeman and Company, New York, 2005, str. 87, 134, 144, , M. F. Perutz, M. G. Rossmann, A. F. Cullis, H. Muirhead, G. Will, A. C. T. North, Nature 185 (1960) S. Park, T. Yokoyama, N. Shibayama, Y. Shiro, J. Tame, J. Mol. Biol. 360 (2006) S. Pin, B. Alpert, A. Michalowicz, FEBS Letters 147 (1982)

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije proteina. Boris Mildner Osnove biokemije. Vlaknati i globularni proteini

Funkcije proteina. Boris Mildner Osnove biokemije. Vlaknati i globularni proteini Funkcije proteina Boris Mildner Osnove biokemije Vlaknati i globularni proteini Prema topljivosti, proteine možemo grubo podijeliti u netopljive vlaknate proteine, i globularne topljive proteine. Za razliku

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Rapaport-Lueberingov ciklus

Rapaport-Lueberingov ciklus HEMOGLOBIN Sinteza eritrocita Rapaport-Lueberingov ciklus 2,3 difosfoglicerat - uloga 2,3 DFG predstavlja najvažniji organski fosfat u eritrocitima. Stvara kompleks sa Hgb, i njegova koncentracija u

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Proteini i njihove trodimenzionalne strukture

Proteini i njihove trodimenzionalne strukture Proteini i njihove trodimenzionalne strukture Boris Mildner 1 Proteine izgrađuju dvadeset različitih aminokiselina Proteini su linearni polimeri a nastaju povezivanjem monomernih jedinica, koje nazivamo

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα