ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE"

Transcript

1 Uverstatea OVIDIUS Costaţa Departametul ID-IFR Facultatea Matematca-Iformatca ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE Caet de Studu Idvdual Specalzarea IEDM Aul de stud I Semestrul I Ttular dscplă: Prof. uv. dr. EDUARD-MARIUS CRACIUN 00

2 Cuprs ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE CUPRINS Utate de îvăţare Ttlul INTRODUCERE Paga 6 RECAPITULAREA UNOR NOŢIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATICĂ DE LICEU. Mulţm.. Fucţ Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. SPAŢII METRICE. Defţ ş exemple. Spaţ metrce partculare Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr SIRURI DE NUMERE 3. Srur de umere: defţe ş exemple 3. Crter de covergeţă Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr SERII DE NUMERE 4. Ser umerce 4. Crter de covergeţă Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 4 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 4 LIMITE DE FUNCŢII 5. Lmta ue fucţ îtr-u puct Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 5 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr Elemete de aalza matematca s matematc specale

3 6 FUNCŢII CONTINUE 6. Fucţ cotue pe spaţ metrce Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 6 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 6 Cuprs DERIVATE PARŢIALE SI DIFERENŢIALA DE ORDINUL ÎNTÂI 7. Dervate parţale de ordul îtâ Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 7 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr DERIVATE PARŢIALE SI DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR 8. Dervate parţale de ord superor 8. Dervata dupa u versor Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 8 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr EXTREME LIBERE 9. Pucte de extrem local 9. Algortm de determare a puctelor de extrem local Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 9 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr EXTREME CU LEGĂTURI 0. Extreme codţoate 0. Multplcator lu Lagrage. Exemplu Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 0 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr INTEGRALA RIEMANN. Sume Rema.. Clase de fucţ tegrable Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr INTEGRALE IMPROPRII. Itegrale mpropr de speţa I Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Elemete de aalza matematca s matematc specale 3

4 Cuprs Bblografe Utate de îvăţare Nr INTEGRALE DUBLE 3. Defţa tegrale duble. Propretăţ ale tegrale duble. Metode de calcul Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr INTEGRALE TRIPLE 4. Defţa tegrale trple. Calculul tegrale trple Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 4 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 4 BIBLIOGRAFIE Observaţe: umărul utăţlor de îvăţare este egal cu umărul şedţelor de curs la forma de îvăţămât z (8 ore curs = 4 UI, 4 ore curs = 7 UI) Elemete de aalza matematca s matematc specale 4

5 Itroducere Elemete de aalza matematca s matematc specale INTRODUCERE foto Stmate studet, Numele meu este Eduard-Marus Cracu (.965), î prezet sut profesor uverstar, ttular al Facultaţ de Matematca-Iformatca d cadrul Uverstăţ Ovdus Costaţa. Sut absolvet al Facultăţ de Matematca-Iformatca a Uverstat d Bucureşt. Sut autor a umeroase cărţ ş artcole î domeul matematclor aplcate s al mecac publcate prestgose edtur d tara s d straatate (SUA, Cha, Germaa, Frata, Itala, sa). Materalul este orgazat î 4 utăţ de îvăţare, fecare d aceste utăţ coţâd o parte de prezetare teoretcă a subectulu tratat, o parte de exercţ (teste de autoevaluare), rezolvărle acestora ş o lucrare de verfcare fală. Testele de autoevaluare ajută la fxarea cuoştţelor dobâdte î fecare utate de îvăţare ş permt evaluarea cotuă a cursatulu. Lucrărle de verfcare repreztă o evaluare fală la sfârştul fecăre etape de îvăţare, pr care se urmăreşte determarea gradulu de îsuşre de către dumeavoastră a coceptelor, metodelor, tehclor etc. prezetate ateror. Răspusurle pe care le formulaţ vor f trasmse pr e-mal la adresa emcracu@yahoo.com petru a f verfcate ş cometate. Lucrarea pe care o redactaţ ş pe care o trmteţ tutorelu trebue să coţă pe prma pagă deumrea cursulu Elemete de aalza matematca s matematc specale, umele ş preumele dumeavoastră ş adresa de e-mal pe care o aveţ. Petru o justă detfcare a lucrăr este de dort ca pe fecare pagă să seraţ umele ş preumele dumeavoastră. Răspusurle trebue să fe clar formulate, î lmta posbltăţlor fd recomadablă utlzarea uu procesator de texte. Î mede răspusurle ar trebu să se îtdă pe o jumătate de pagă, putâd exsta formulăr ma lug sau ma scurte fucţe de subectul tratat. Ître două răspusur succesve este ecesar a f lăsat u spaţu de 5-6 cm petru evetuale cometar d partea tutorelu. Poderea acestor lucrăr de evaluare î totalul ote de exame este de 50%, restul de 50% fd costtut de exameul propru-zs. Elemete de aalza matematca s matematc specale 6

6 Itroducere Succes! Spor la îvăţat ş succes! Elemete de aalza matematca s matematc specale 7

7 Recaptularea uor otu de baza d aalza matematca de lceu Utate de îvăţare Nr. RECAPITULAREA UNOR NOTIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATICA DE LICEU Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. RECAPITULAREA UNOR NOŢIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATICĂ DE LICEU Recaptularea oţulor de baza ale aalze matematce d lceu Îsuşrea aparatulu de calcul d aalza matematcă de lceu 8. Mulţm Fucţ Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr.... Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... Bblografe Utate de îvăţare Nr... Elemete de aalza matematca s matematc specale 8

8 Recaptularea uor otu de baza d aalza matematca de lceu OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. sut: Recaptularea oţulor de bază ale aalze matematce d lceu Îsuşrea aparatulu de calcul d aalza matematcă de lceu Mulţm. Mulţm Dacă elemetul x se află prtre elemetele mulţm A vom scre x A ş ctm x aparţe mulţm A. Î caz cotrar screm x A ş ctm x u aparţe mulţm A. Notăm cu mulţmea vdă (fără c u elemet). Defţe Dacă A, B sut două mulţm atuc: ) A este clusă î B ş otăm A B x A x B ; ) A B A B ş B A; 3) tersecţa mulţmlor A ş B este mulţmea A B x x A ş B 4) reuuea mulţmlor A ş B este mulţmea A x ; B x x A sau B x. Dacă X este o mulţme atuc mulţmea submulţmlor aceste mulţm se P X A A X, (mulţmea părţlor lu X). otează, a este o mulţme ftă atuc P(X) este o mulţme cu elemete, de aceea o altă otaţe petru P(X) este X. Dacă X a a,..., Exemplu Dacă X a, a a P Defţe, 3, atuc X a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a,., a3 Dacă A, A sut două mulţm se umeşte produsul carteza al mulţm A cu mulţmea A mulţmea A a a a A, A, a A. Elemete de aalza matematca s matematc specale 9

9 Exemplu R R 3 Recaptularea uor otu de baza d aalza matematca de lceu R R R R R y x, x, y R ; x, y, z x, y, z R ; R R R R... R x, x,..., x x R,,...,. Dacă A ş B sut două mulţm atuc mulţmea A \ B x x A ş x B se umeşte dfereţa celor două mulţm. Dacă X ş A X atuc complemetara lu A î raport cu X este mulţmea A x x X ş x A. C X Test de autoevaluare. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Fe famla de mulţm A PX X I,. Aratat ca următoarea egaltate este adevărată: C X I A I C X A Răspusul la test se găseşte la paga. Fucţ. Fucţ Defţe Fd date mulţmle evde X ş Y, se umeşte fucţe deftă pe X cu valor î Y o relaţe bară f X Y cu propretăţle: ) x X, y Y astfel îcăt x, y f ; x, y f, x y f y y. ) Dacă, Dacă f este o fucţe de la X la Y ş x, y f atuc vom scre f x y. Elemetul y se umeşte magea lu x pr fucţa f sau valoarea lu f î puctul x. X se ma umeşte ş domeul fucţe f. Remarcăm de asemeea că oţuea de fucţe presupue tre elemete: ) X, domeul de defţe al fucţe; ) Y, mulţmea de valor a fucţe sau codomeul; 3) relaţa care asocază orcăru elemet x X u uc elemet y Y. Preczăm că î locul termeulu de fucţe se ma folosesc ş terme de aplcaţe, trasformare, operator. Dacă f : X Y este o fucţe ş A X, mulţmea f A x f Y x A Elemete de aalza matematca s matematc specale 0

10 Recaptularea uor otu de baza d aalza matematca de lceu se umeşte magea lu A pr f, ar dacă B Y, mulţmea f B x X f x B se umeşte magea recprocă sau premagea pr fucţa f a mulţm B. Defţe Dacă f, f sut două fucţ f : X Y ş f : X Y, atuc spuem că f ş f sut egale f f dacă ş uma dacă ) X X ; ) Y Y ; X f x f x. 3) x Defţe Fe f : X Y o fucţe. Spuem că: ) f este jectvă dacă x, x X, x x f x f x ; ) f este surjectvă dacă y Y, x X astfel îcât f x y ; 3) f este bjectvă dacă f este jectvă ş surjectvă; 4) f este versablă dacă g : Y X astfel îcât g f X ş f g ; Y Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr.. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Elemete de aalza matematca s matematc specale

11 Recaptularea uor otu de baza d aalza matematca de lceu Elemete de aalza matematca s matematc specale Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Să se arate că: I X I X A C A C Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus. Să arătăm că avem I X I X A C A C. Fe X I I X A C x A x A x A C x, I C X A x I. Ivers, dacă X I X A C x A C x, A x I, I X I A C x A x I. Bblografe Utate de îvăţare Nr.. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale, Ed. Ex-Poto, Costata, 004. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989

12 Spat metrce Utate de îvăţare Nr. SPAŢII METRICE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Defţ ş exemple Spaţ metrce partculare... 4 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 6 Bblografe Utate de îvăţare Nr... 7 Elemete de aalza matematca s matematc specale 3

13 Spat metrce OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. sut: Îsuşrea oţulor d baza ale teore spaţlor metrce Studerea propretăţlor trecer la lmtă. Defţ ş exemple Defţ ş Defţe exemple Fe X o mulţme evdă. O aplcaţe d : X X 0, se umeşte dstaţă pe X (sau metrcă) dacă: ) d x, y 0 dacă ş uma dacă x y, x, y X ; ) d x, y dy, x, x, y X ; 3) d x, z dx, y dy, z, x, y, z X, (egaltatea trughulu). Perechea X, d se umeşte spaţu metrc. Exemplu. Pe R R defm dstaţa, dx y x y uşor că R,d este spaţu metrc.. Fe X o mulţme evdă ş d : X X 0,,,, y R x,. Se verfcă 0 d x, y dacă x y, x y, umtă metrca dscretă pe X. 3. Pe C putem def matrcea d z, z z z, z, z C C,d este spaţu metrc. 4. Pe spaţul R x x x,..., x R d,...,, defm aplcaţa d : R R,, 0 x x y x y y, x y R,... x, y y,..., x,..., eucldaă. x Defţe Fe X, d u spaţu metrc ş x 0 X, r 0. y,,. Astfel,. Atuc d estedstaţa pe R, umtă dstaţa Se umeşte blă deschsă cetrată î x 0, de rază r, mulţmea: Elemete de aalza matematca s matematc specale 4

14 Spat metrce B r x x X dx x 0, 0 r. Se umeşte blă îchsă, cetrată î x 0 ş de rază r, mulţmea: B r x x X dx x 0, 0 r. Se umeşte sferă cetrată x 0 ş de rază r, mulţmea: Exemplu Dacă R B r S r x x X dx x 0, 0 X ş dx, y x y, y R x x r x r r. x,, atuc 0 0, 0. Ma mult, orce terval (a, b) d R cocde cu a b o blă deschsă d R ş aume a, b B b a. Avem B r x0 x0 r, x0 r, ar orce terval îchs b R a, cocde a b cu B b a. Test de autoevaluare. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Fe X o multme evdă ş d metrca dscretă. Arătaţ că (X,d) este spaţu metrc. Răspusul la test se găseşte la paga.. Spaţ metrce partculare Spaţ metrce Defţe partculare Fe X u spaţu vectoral peste corpul K K R sau C. Se umeşte ormă deftă pe X o aplcaţe otată, : X R, x x, cu propretăţle: ) x 0, x X ş x 0 x 0 ; ) x x, y K, x X 3) x y x y, x y X ;, (egaltatea trughulu). Observaţe Petru x X, umărul x se umeşte orma vectorulu x. Exemplu. R este spaţu vectoral peste R ş aplcaţa x : x x R, verfcă axomele ue orme.. R este spaţu vectoral peste R. Se poate arăta (verfcaţ acest lucru) că următoarele aplcaţ sut orme pe R : Elemete de aalza matematca s matematc specale 5

15 Spat metrce x a) x (orma eucldaă) x b) x, x x x,..., R, x,, x x, x x,..., R c) x x R, f spaţu vectoral peste R ş aplcaţle: 3. X C a, b: f f : a, b b) f ; max, x x, x x,..., R 0 cotuã b a sup f x, f X x a, b, (orma covergeţe uforme) sut orme pe spaţul X.. a) f f xdx, f X. Se verfcă uşor că X este ; Defţe Perechea formată dtr-u spaţu vectoral X ş o ormă pe X se umeşte spaţu vectoral ormat. Vom ota cu X,. Fe spaţul vectoral ormat X, ş d : X X R, Atuc d este o dstaţă pe X. d x, y x y, x y X,. Observaţe Pr urmare, orce spaţu vectoral ormat deve u spaţu metrc î care dstaţa este cea deftă cu ajutorul orme. Ca urmare îtr-u spaţu vectoral ormat vom avea toate oţule topologce troduse îtr-u spaţu metrc. Toate oţule topologce exprmate cu ajutorul dstaţe vor avea o exprmare cu ajutorul orme. Defţe U spaţu vectoral ormat î care orce şr Cauchy este coverget se umeşte spaţu Baach. O categore partculară de spaţ ormate sut spaţle prehlbertee: acele spaţ ormate î care forma este deftă cu ajutorul produsulu scalar. Fe X u spaţu vectoral peste K ( K R sau C ). Elemete de aalza matematca s matematc specale 6

16 Spat metrce Defţe Se umeşte produs scalar pe X o aplcaţe otată:, : X X K x, y x, y cu propretăţle: ) x, x 0, x X ş x, x 0 x 0 ; ) x, y y, x, x, y X ; 3) x x, y x, y x, y 4) x, y x, y, K,., x, x, y X, x y X ; Propozţe Fe X u spaţu vectoral pe care s-a deft u produs scalar, otat Atuc petru orce x, y X are loc egaltatea:,. x, y x, x y, y. Test de autoevaluare. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Iegaltatea Cauchy-Buakovsk-Schwartz Fe X u spaţu vectoral pe care s-a deft u produs scalar, otat Atuc petru prce x, y X are loc egaltatea:,. x, y x, x y, y Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr.. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Fe X u spaţu vectoral pe care avem deft u produs scalar, otat <,>. Atuc aplcaţa: : X R, x x, x, x X este o ormă pe X. Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus. Să arătam că d verfcă propretăţle ) 3). Propretăţle ) ş ) sut evdete d defţa lu d. Petru 3), dacă d x, y dy, z 0, atuc x y ş y z, de ude x z, d x, z. Î aceste cazur egaltatea trughulu este evdetă. dec 0 Elemete de aalza matematca s matematc specale 7

17 Spat metrce Răspus. Vom demostra petru cazul î care X este spaţu vectoral peste R. Fe x, y X ş R. Petru orce R avem: 0 x y, x y x, x x, y y, y. Deoarece avem o fucţe de gradul do î λ deducem: 0 x, y x, x y, y. Bblografe Utate de îvăţare Nr.. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale, Ed. Ex-Poto, Costata, 004. Colojoara I. Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 980 Elemete de aalza matematca s matematc specale 8

18 Srur de umere Utate de îvăţare Nr. 3 ŞIRURI DE NUMERE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Şrur de umere: defţ ş exemple Crter de covergeţă Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... Bblografe Utate de îvăţare Nr. 3.. Elemete de aalza matematca s matematc specale 9

19 Srur de umere OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 3 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 3 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce aplcatle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcat de şrur ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.). 3. Srur de umere: defţe ş exemple Defţ Defţe Exemple U şr z K se umeşte şr coverget dacă exstă z K astfel N, N N cu propretatea că îcât 0 d z, z z z, N N. Numărul se umeşte lmta şrulu z ş vom ota lm z. U şr care u are lmtă î K se umeşte dverget. Exemplu Şrul z este coverget. x,, Defţe z U şr K, se umeşte şr Cauchy dacă 0, N N N astfel îcât, N ş p N să rezulte Exemplu Şrul z z z z d,. p p este şr Cauchy. x...,, Defţe z U şr K se umeşte mărgt dacă 0 N z M, N. M astfel îcât Elemete de aalza matematca s matematc specale 0

20 Srur de umere Defţe Dacă mulţmea K R ş şrul x R atuc spuem că şrul este N mooto crescător (respectv descrescător) dacă: x x, (respectv x x ), N. U şr se umeşte mooto dacă este mooto crescător sau mooto descrescător. Fe şrul z K. Dacă şrul este coverget atuc şrul z N N mărgt. Recproca u este adevărată. Test de autoevaluare 3. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Dat exemplu de u sr margt s dverget. este Răspusul la test se găseşte la paga. 3. Crter de covergeţă Crter de Propozţe covergeţă Orce şr coverget z K N este şr Cauchy. Fe z K u şr Cauchy, atuc N N Teoremă (Weerstrass) z este mărgt. Fe şrul x R, mooto ş mărgt atuc N N x este coverget. Orce şr mărgt de umere reale are cel put u subşr coverget. Fe N x, y ş N N z şrur de umere reale astfel îcât x y z, N0, lm x lm z l. N Atuc şrul y este coverget ş lm y l. Dacă N x ş N y sut şrur de umere reale astfel îcât lm y y ar y x, N0, atuc x y. lm x x, Teoremă Fe şrul de umere complexe z N, cu z x y, x, y R, N. Atuc : ) şrul z N este coverget x ş y N sut covergete ş N are loc egaltatea: lm z lm x lm y ; Elemete de aalza matematca s matematc specale

21 Srur de umere ) şrul z N este Cauchy x ş N N y sut şrur Cauchy. Teoremă U şr de umere reale x este coverget dacă ş uma dacă este şr N Cauchy. Test de autoevaluare 3. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. z este coverget dacă ş uma dacă este şr Cauchy. Şrul C N Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 3. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 Calculaţ lmta şrulu a avad termeul geeral a... 3 Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 3. Fe z x y, R x, y, N. Şrul z este coverget x N ş N N x ş y sut şrur Cauchy z N N N Bblografe Utate de îvăţare Nr. 3 y sut covergete este şr Cauchy.. Arama L., Moroza T. Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral, Ed. Tehca, Bucurest 978. Bucur Gh., Campu E., Gaa S. - Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral II, III, Ed. Tehca, Bucurest Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Rosculet M. - Culegere de probleme de aalza matematca Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest, 976 Elemete de aalza matematca s matematc specale

22 Ser de umere Utate de îvăţare Nr. 4 SERII DE NUMERE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Ser umerce Crter de covergeţă... 4 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 6 Bblografe Utate de îvăţare Nr Elemete de aalza matematca s matematc specale 3

23 Ser de umere OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 4 4.Ser umerce Defţ ş exemple Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 4 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce aplcatle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcaţ de srur ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.) Defţe Fe z u şr de umere complexe ş N s 0, N z z... z, umt şrul sumelor parţale asocat şrulu z N. Perechea de şrur z, s se umeşte sera de terme geeral z. Vom ota această N N sere cu 0 z, 0 z sau z z... z... 0 Defţe Sera z se umeşte covergetă dacă şrul sumelor parţale s N este 0 coverget. Numărul s lm s se umeşte suma sere ş vom ota s z 0. Serle care u sut covergete se umesc dvergete. Exemplu Sera geometrcă de raţe s k r r r k 0, r C \, 0. Astfel, sera 0. uma dacă r ş î acest caz are suma r r. Şrul sumelor parţale este r este covergetă dacă ş Defţe O sere de umere complexe z se umeşte absolut covergetă dacă 0 sera 0 z este covergetă. Elemete de aalza matematca s matematc specale 4

24 Ser de umere Test de autoevaluare 4. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Sera, cu termeul geeral z este covergetă. Răspusul la test se găseşte la paga. 4.Crter de covergeţă Teoremă (Crterul ecesar de covergeţă) Crter covergeţă Dacă sera z este covergetă atuc lm z 0. 0 Exemplu Fe sera cu termeul geeral 3 lm 0. Sera este dvergetă. 3 z. Evdet 3 Teoremă Fe sera a de umere reale poztve 0 N 0 covergetă dacă ş uma dacă şrul sumelor parţale, mărgt. a,. Sera este s N, este Propozţe Sera armocă geeralzată dvergetă petru. este covergetă petru ş este Teoremă Fe serle 0 Atuc : ) Dacă sera 0 ) Dacă sera 0 a ş 0 b astfel îcât 0 a b, 0 b este covergetă ş sera 0 a este dvergetă ş sera 0. a este covergetă; b este dvergetă. Teoremă (Crterul rădăc lmtă) Fe sera z astfel îcât exstă l lm z. 0 ) dacă l sera este absolut covergetă; ) dacă l sera este dvergetă. Elemete de aalza matematca s matematc specale 5

25 Teoremă (Crterul raportulu cu lmtă) Ser de umere Fe sera z z, z C \ 0, N, astfel îcât exstă lm l. 0 z Atuc: ) dacă l sera este absolut covergetă; ) dacă l sera este dvergetă; 3) dacă l u se poate precza atura sere. Teoremă (Crterul Raabe-Duhamel) Fe sera 0 a, 0 a, N astfel îcât exstă a lm a l Atuc: ) dacă l sere covergetă; ) dacă l sere dvergetă; 3) dacă l, u se poate precza atura sere. Test de autoevaluare 4. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Studaţ atura sere. 3 Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 4. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 4 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 4 Studaţ atura sere. Elemete de aalza matematca s matematc specale 6

26 Ser de umere Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 4. s k k k k k k,. Evdet lm s ş astfel sera este covergetă ş Răspus 4. Fe 3 b,. Deoarece lm 0, Creterulu comparaţe la lmtă că serle aceeaş atură, adcă sut covergete. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 4 a b 0. deducem coform ş Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Fhteholt G.M. Curs de calcul dferetal s tegral, vol. I III, Ed. Tehca, Bucurest Meghea C. Bazele aalze matematce Ed. Sttfca s Ecclopedca, Bucurest, Mortc C. Lect de aalza matematca Ed. ExPoto, Costata, Smrov V.I. Curs de matematc superoare vol. I V, Ed. Tehca, Bucurest 953 au Elemete de aalza matematca s matematc specale 7

27 Lmte de fuct Utate de îvăţare Nr. 5 LIMITE DE FUNCŢII Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Lmta ue fucţ îtr-u puct... 8 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 9 Bblografe Utate de îvăţare Nr Elemete de aalza matematca s matematc specale 8

28 Lmte de fuct OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 5 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 5 sut: Îsuşrea oţulor de bază ale teore lmtelor de fucţ Aplcarea calcululu lmtelor la dscple ce vor f studate 5. Lmta ue fucţ îtr-u puct Defţ ş Defţe exemple Cosderăm S,d, S,d două spaţ metrce, A S, ş fucţa f : A S. Spuem că f are lmta î puctul x0 A' dacă exstă l S cu propretatea că: 0, 0 astfel îcât x A \ x 0 cu x, x 0 d f x, l. d să rezulte Î acest caz spuem că l este lmta fucţe f î puctul x 0 ş otăm lm f x l. xx 0 Observaţe Problema lmte ue fucţ se pue uma îtr-u puct de acumulare al domeulu de defţe al fucţe, adcă îtr-u puct petru care avem posbltatea să e apropem pr pucte d mulţmea pe care este deftă fucţa. Propozţe Fe S,d, S,d două spaţ metrce ş fucţa f : A S S, x0 A'. Atuc următoarele afrmaţ sut echvalete: lm f x ; a) l xx 0 b) petru orce şr x A \ x N 0 cu lm x x0 rezultă că lm f x l (defţa lmte cu şrur); c) petru orce vecătate V a lu l exstă U vecătate a lu x 0 astfel îcât: (defţa lmte cu vecătăţ). f U \ x A V 0 Teoremă Fe spaţle metrce S,d ş S,d, A S, f : A S, x0 A'. Dacă exstă lm f atuc aceasta este ucă. xx0 x Propozţe m Fe f A R R :, x x..., x m Elemete de aalza matematca s matematc specale, f f...,, x '. Fucta f f m 0 A 9

29 Lmte de fuct are lmta î x 0 dacă ş uma dacă fucţle reale f, f,..., f au lmte î x 0 ş î acest caz: lm f x lm f x, lm f x,..., lm f x. xx0 xx0 xx0 xx0 Test de autoevaluare 5. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. f : R \ 0, R, Studaţ exsteţa lmte î orge petru fucţa s x x x x x f x,, 0, x. Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 5. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 5 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 5 Studaţ exsteţa lmte î orge a fucţe : R \ 0,0 R f 3 x y. x y x, y f, Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 5. Notăm cu s x x x, f x, x 0, f x x x. Avem: lm f x0 lm f x0 x dec f are lmtă î puctul 0 0 s x x x lm x0 x lm x0 x, x x ş f x lm 0,, x. Elemete de aalza matematca s matematc specale 30

30 Lmte de fuct Bblografe Utate de îvăţare Nr. 5. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale,ed. Ex-Poto, Costata, 004. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Rosculet M. - Culegere de probleme de aalza matematca Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest, Demdovc D.P. Problems Mathematcal Aalyss, Mr Publshers, Moskow, 976 Elemete de aalza matematca s matematc specale 3

31 Fuct cotue Utate de îvăţare Nr. 6 FUNCŢII CONTINUE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Fucţ cotue... 3 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr Elemete de aalza matematca s matematc specale 3

32 Fuct cotue OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr Fucţ cotue Fucţ cotue Defţe pe spaţ metrce Fe,d Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 6 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea otu de fucte cotua aplcatle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcaţ de fucţe cotuă ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma. S,, x A S,d două spaţ metrce ş f : A S S 0 Spuem că f este cotuă î puctul x 0, 0 x A, d x să rezulte d f x f., x 0 Dacă f u este cotuă î î puctul x a.î., x 0 x 0 D, atuc spuem că f este dscotuă Teoremă Fe f : A S S, x0 A A'. Atuc următoarele afrmaţ sut echvalete: a) f este cotuă î x 0 ; lm f x f x. b) exstă xx0 0 Teoremă (de caracterzare a cotutăţ) Fe S,d, S,d două spaţ metrce, A S ş x 0 A. Atuc următoarele defţ sut echvalete: a) f este cotuă î x 0 (defţa cu ); b) petru orce 0, exstă 0 astfel îcât f B x0 A B f x 0 (defţa cu ble); c) petru orce V, vecătate a lu f x 0, exstă U vecătate a lu x 0 astfel îcât f U A V (defţa cu vecătăţ); d) petru orce şr x A, lm x x N 0, rezultă că lm f x f x 0 x x (defţa cu şrur). Teoremă Fe f, g : A S K, S, d spaţu metrc, K R sau C. Dacă f ş g f sut cotue î x 0 A atuc fucţle f g, f g, (î poteza g g x 0 x A) sut cotue î puctul x 0, K,. Elemete de aalza matematca s matematc specale 33

33 Test de autoevaluare 6. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Fuct cotue Studaţ cotutatea fucţe f x, y, z f : A R 3 R ude s x y z e x y z 3 A x, y, z R x y z 0. xyz, ude Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 6. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 6 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 6 Studaţ cotutatea fucţe : R \ 0,0 R f x, y f ude: x 3 x y y 0,, x, y 0,0 x, y 0,0 Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 6. Evdet, f este cotuă î orce puct d domeul de defţe petru că se obţe pr compuere ş operaţ algebrce de fucţ cotue. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 6. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale,ed. Ex-Poto, Costata, 004. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Arama L., Moroza T. Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral, Ed. Tehca, Bucurest Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Flodor P. Lect de aalza matematca s exerct rezolvate, Ed. All, Bucurest, 998. Elemete de aalza matematca s matematc specale 34

34 Dervate partale Utate de îvăţare Nr. 7 DERIVATE PARŢIALE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Dervate parţale de ordul îtâ Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr Elemete de aalza matematca s matematc specale 35

35 Dervate partale OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 7 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 7 sut: Îsuşrea oţulor de bază ale teore fucţlor dfereţale Aplcarea dervatelor parţale la probleme ce apar î practcă 7. Dervate parţale de ordul îtâ Dervate parţale Defţe Fe f : A R R, A mulţme deschsă, a A. Spuem că f are dervată parţală î puctul a î raport cu varabla x k dacă următoarea lmtă exstă ş este ftă: xk ak a, a,..., a, x, a,..., a f a,..., a,..., a f lm x a k k k k, k a a, a,..., a. Î acest caz lmta de ma sus se umeşte dervata parţală a lmte f î f puctul a î raport cu varabla x k ş se otează (a) sau f a x k. Fe f : D R, D R mulţme deschsă. Spuem că f este dervablă parţal pe D dacă f dervablă parţal î orce puct d D î raport cu f toate varablele x k. Î acest caz se pot def fucţ : D R, xk k,,...,, umte dervatele parţale ale lu f pe D. Spuem că f este de clasă C pe D dacă f este dervablă parţal pe D ar f fucţle, k,,...,, sut cotue pe D. Vom ota f C D. x k k x k Defţe Fe aplcaţa f m : D R, D R mulţme deschsă ş u puct D a. Aplcaţa T se umeşte dfereţabla fucţe f î a sau dervata Fréchet ş se otează df a. Teoremă (Crterul de dfereţabltate) Fe D R o mulţme deschsă ş f : D R. Dacă f admte dervate parţale de ordul îtâ îtr-o vecătate V a puctulu a D ş acestea sut cotue î a, atuc f este dfereţablă î puctul a. Elemete de aalza matematca s matematc specale 36

36 Dervate partale Astfel, dacă f : R R, D multme deschsă ş a D, f dfereţablă î a, atuc dfereţala î a este: df a adx a k f x Dacă f este dfereţablă î orce puct k k. a D putem scre df k f x k dx k Petru sau 3 această egaltate deve: df f f dx dy, x y respectv df f f f dx dy dz. x y z Test de autoevaluare 7. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Calculaţ dervatele parţale ş dfereţale petru fucţa: f x y, z x y z xy yz zx,. Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 7. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 7 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 7 Calculaţ dfereţala df (,,) petru fucţa: 3 x, y, z x y z xyz f. Elemete de aalza matematca s matematc specale 37

37 Dervate partale Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Raspus 7. f x x y, z 3x y z,, f y f z x y, z 3y x z,, x y, z 3z x y,, ş df x y, z 3x y zdx 3 y x zdy 3z x ydz,. Dacă alegem, y, z,, x putem scre:,, 5dx 5dy dz df 5. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 7. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale, Ed. Ex-Poto, Costata, 004. Boboc N. Aalza matematca, partea I s II, Ed. Uverstat Bucurest, Colojoara I. Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Arama L., Moroza T. Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral, Ed. Tehca, Bucurest Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989 Elemete de aalza matematca s matematc specale 38

38 Dervate parţale de ord superor Utate de îvăţare Nr. 8 DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN SUPERIOR Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Dervate parţale de ord superor Dervata după u versor Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 4 Bblografe Utate de îvăţare Nr Elemete de aalza matematca s matematc specale 39

39 Dervate parţale de ord superor OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 8 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 8 sut: Îsuşrea oţulor de bază ale teore fucţlor dfereţale Aplcarea dervatelor parţale de ord superor la probleme ce apar î practcă 8. Dervate parţale de ord superor Defţ ş exemple Defţe Fe D o mulţme deschsă d R, f : D R o fucţe care admte dervată parţală î raport cu varabla x pe D, otată f D R x Dacă exstă dervata parţală î a D (respectv î orce a D ) î raport f cu varabla x k a fucţe, atuc aceasta se va um dervata parţală x de ord do a fucţe f î puctul a (respectv pe D) î raport cu varablele x k, x ş se va ota cu x k f x a f x x k a sau f " x k x a, dacă k ş x k f x k a f x k a sau a f, dacă k. " x k Dervatele puctul a. f a, k se vor um dervate mxte de ord do î xkx Dacă f x : D R este dervablă parţală î raport cu varabla x k pe D, atuc obţem fucţle ordul do. f x x k : D R umte dervate parţale de Teoremă (Schwarz) Fe f : A R R, A mulţme deschsă d R. Dacă f are dervate f f parţale mxte ş, j, îtr-o vecătate a uu puct x x j x j x a A ş aceastea sut cotue î a, atuc Elemete de aalza matematca s matematc specale 40

40 Dervate parţale de ord superor f x x j a f x x Defţe Fe f : D R, D R k k or dfereţablă î puctul a D dacă f este de k or dervablă parţal îtr-o vecătate V a lu a ş toate dervatele parţale de ord k ale lu f sut dfereţable î a. j a mulţme deschsă. Spuem că f este de f este k or dfereţablă pe D dacă este de k or dfereţablă î orce puct a D.. Observaţe Formula de defţe a lu codesată: d k f av se ma poate scresub formă d k f f l xl a dxl. Test de autoevaluare 8. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Calculaţ df ş d f petru fucţa : R 3 R f, f x y, z xyz,. Răspusul la test se găseşte la paga. 8. Dervata după u versor Defţ ş Fe D R, D mulţme deschsă, a D, s s, s,..., s R u versor exemple sau drecţe, adcă s s s... s. Defţe Spuem că fucţa f : D R R este dervablă î a D după drecţa s, dacă exstă ş este ftă lmta: lm t0 f a ts f a t f s f Î acest caz, a se umeşte dervata lu f după drecţa s î puctul a s sau dervata Gâteaux (slabă) a lu f î a după drecţa s. Teoremă Dacă f : D R R, D mulţme deschsă ş f este dfereţablă î a D, atuc f este dervablă î a după orce versor s ş avem egaltatea: a Elemete de aalza matematca s matematc specale 4

41 Dervate parţale de ord superor df a df as. ds Test de autoevaluare 8. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Fe f s R f : R, f x, y x y x 3y. Să se calculeze,3 s,. Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 8., ude Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 8 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 8 Calculaţ dervata după versorul f D, petru a,. 4 x, y x xy y î puctul Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 8. f f f yz, xz, xz, x y z deducem df f f f yz, xz, xz, x y z f f f z, y, x, xy xz yz yzdx xzdy xydz ar f f f d f dx dy dz zdxdy xdydz ydxdz. x y z Răspus 8. Coform teoreme ateroare f are dervată după orce drecţe î orce x, y R ş puct Elemete de aalza matematca s matematc specale 4

42 Dervate parţale de ord superor df ds f f 0 7 x y,3,3,3 3. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 8. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale,ed. Ex-Poto, Costata, 004. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Arama L., Moroza T. Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral, Ed. Tehca, Bucurest Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Flodor P. Lect de aalza matematca s exerct rezolvate, Ed. All, Bucurest, 998. Elemete de aalza matematca s matematc specale 43

43 Extreme locale Utate de îvăţare Nr. 9 EXTREME LOCALE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Pucte de extrem local Algortm de determare a puctelor de extrem local Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr Elemete de aalza matematca s matematc specale 44

44 Extreme locale OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 9 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 9 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce î aplcaţle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcat de caculul extreme lbere ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.). 9. Pucte de extrem local Defţ ş Fe f : D R ş D exemple R o mulţme deschsă. Defţe U puct a D se umeşte puct de extrem local petru f dacă exstă o blă B r a D pe care f x f a are sem costat ; ma exact a este puct de mm (respectv maxm) local petru f dacă petru orce x B a x f a f x f a )., f (respectv r U puct a D se umeşte puct crtc petru f dacă f este f dfereţablă î a ş df a 0, adcă a 0,,,...,. x Teoremă (Fermat) Fe D R o mulţme deschsă ş f : D R, f dfereţablă î a D care este î acelaş tmp ş puct de extrem local petru f. Atuc df a, adcă a este puct crtc petru f. 0 Defţe U puct staţoar care u este de extrem se umeşte şa. Teoremă Fe D R f : R, f C D ş a D u puct crtc petru f. Dacă forma pătratcă d f a este poztv (egatv) deftă, atuc a este puct de mm (respectv de maxm) local petru f. Test de autoevaluare 9. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Să se determe puctele de extrem local ale fucţe f : R R, Răspusul la test se găseşte la paga. x, y 4x xy y 4x y f. 9. Algortm de determare a puctelor de extrem local Î potezele teoreme ateroare dacă: a) toate umerele Elemete de aalza matematca s matematc specale 45

45 ude a j a, f x x j a a este puct de mm local; b) toate umerele a a,...,, a a a a a a a a a a a Extreme locale,,,...,, j,,...,, sut strct poztve, atuc,,..., sut strct postve atuc a este puct de maxm local. Petru cazul partcular avem următorul algortm: Pasul. se rezolvă sstemul f x f y 0, 0. Pasul. Petru fecare soluţe a a,a a sstemulu ateror se f f f calculează r a, s a, t a ş rt s. Atuc: x xy y a) dacă 0, a u este puct de extrem local; b) dacă 0, a este puct de extrem local: - de mm dacă r 0 ; - de maxm dacă r 0. Î cazul î care rt s 0, petru a decde dacă puctul a este u puct de extrem, trebue luate î cosderaţe dervatele parţale de ord superor lu do ale lu f. Test de autoevaluare 9. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Să se determe puctele de extrem local ale fucţe f : R 3 R, x, y, z x y z x 4y z f 6. Răspusul la test se găseşte la paga. Î loc de rezumat Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 9. Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î Elemete de aalza matematca s matematc specale 46

46 această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Extreme locale Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 9 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 9 Să se determe puctele de extrem local ale fucţe f : R 3 R, 3 x, y, z x y z xy z f. Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 9. f f Deoarece 8x y 4, x y, obţem puctul statoar x y x, y, 0. Calculăm î cotuare f f f r,0 8, s,0, t,0 x. xy y Deaorece rt s 0 ş r 8 0, puctul,0 este de mm local. Răspus 9. Puctele staţoare sut soluţ ale sstemulu: f x 0, x f y 4 0, y f z 6 0, z adcă avem u sgur puct staţoar,,,3. deoarece f x f xy f z,,3,,,3 0,,,3, f y f xy,,3,,,3 0, vom avea că Elemete de aalza matematca s matematc specale 47

47 Extreme locale 0 0, 0 4, , ca urmare,,,3 este puct de mm local. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 9. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale,ed. Ex-Poto, Costata, 004. Boboc N. Aalza matematca, partea I s II, Ed. Uverstat Bucurest, Colojoara I. Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Arama L., Moroza T. Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral, Ed. Tehca, Bucurest 977 Elemete de aalza matematca s matematc specale 48

48 Extreme cu legatur Utate de îvăţare Nr. 0 EXTREME CONDIŢIONATE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Extreme cu legătur Multplcator lu Lagrage Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 5 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 0 5 Elemete de aalza matematca s matematc specale 49

49 Extreme cu legatur OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 0 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 0 sut: Îsuşrea oţulor de bază ale teore extremelor codţoate Aplcarea problemelor de extreme codţoate î practcă. 0. Extreme codţoate Extreme Î practcă, apare ş stuaţa determăr uor pucte de extrem ale codţoate fucţe, pe aumte submulţm ale mulţm de defţe, aceste pucte emafd teroare submulţm respectve. Î acest ses, să aalzăm următoarea problemă care terve frecvet î practcă: m Fe D R R o mulţme deschsă ş D R f C D, m g : D R, g g, g,..., g m, g : D R, g C D,,,..., m. f :, Fucţa f o vom um fucţe scop sau fucţe obectv, ar g, g,..., se vor um legătur. Vom exama puctele de extrem ale fucţe f supuse la codţle suplmetare g x, y 0 g x, y 0... gm sau echvalet, x, y 0 x, y 0, ude x x,..., x, y y,..., y g. Notăm x y D g x, y Defţe M, 0,,,...,m. U puct x y0 M legăturle (sau puct de extrem codtoat) g x, y 0 x, y M astfel îcât: B r 0, se umeşte puct de extrem local al fucţe f cu, dacă exstă are sem costat pe B r x 0, y 0. x, y f x y f Observăm că extremele locale cu legătur ale fucţe f sut extreme locale ale restrcţe lu f la M. 50 Elemete de aalza matematca s matematc specale 0, 0 m g m

50 Extreme cu legatur 0. Multplcator lu Lagrage Multplcator Teoremă (exsteţa multplcatorlor lu Lagrage) lu Lagrage m Fe D R R o mulţme deschsă, f : D R, g g, g,..., g m, g C D,,,..., m ş x y0 D extrem al lu f cu restrcţle g x, y 0 D D. Dacă: g, g,..., g x,,, y0 y y y m m, g m : D R, 0, puct de atuc exstă m umere reale, m, astfel îcât, cosderâd fucţa,..., L f g g... mg m, puctul x 0, y 0 este puct staţoar al fucţe L. Observaţe. Numerele,,..., m se umesc multplcator lu Lagrage.. Puctele de extrem ale lu f cu restrcţle g x, y 0 se găsesc prtre puctele staţoare ale fucţe L., adcă sut pucte staţoare codţoate ale lu f. Recproc u este adevărat, adcă exstă pucte staţoare codţoate care u sut de extrem codţoat. m 3. Fucţa x, y Lx, y,, x, y, D R se umeşte lagragea sau fucţa lu Lagrage. Algortm a) dacă toţ determaţ a a,,..., a a a a a... a a a... a a a a... Sut strct poztv, atuc forma pătratcă Lx, y d 0 0 este poztv deftă, dec x 0, y 0 este puct de mm codţoat; k b) dacă k 0, k,,..., atuc Lx0, y0 deftă ş d este egatv x 0, y 0 este puct de maxm local codţoat. Metoda prezetată ma sus se umeşte metoda multplcatorlor lu Lagrage. Elemete de aalza matematca s matematc specale 5

51 Extreme cu legatur Test de autoevaluare 0. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Să se determe extremele fucţe f x y xy, cu legătura x y. Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 0. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 0 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 0 Să se determe extremele fucţe x, y x y 3x y legatura x y. f cu Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 0. L x, y xy x y Puctele staţoare codţoate vor f soluţle sstemulu: L y x 0, x L x y 0, y L x y 0. Vom obţe,. Dacă atuc x, y, x, y. Petru avem x 3 y3 ş x 4 y4. Avem patru pucte staţoare. Dacă avem Elemete de aalza matematca s matematc specale 5

52 Extreme cu legatur x, y xy x y L. Deoarece L x L L,,, yx y deducem că d L ca urmare d L, x, y dx dy dxdy dx dy,,, x y este poztv deftă, de ude x, y sut pucte de mm local codţoat,,. Petru avem, x, y xy x y L. Cum L x,,,,, x y L xy x y L y x y, avem d L adcă d L, x, y dx dy dxdy dx dy, 3, 4, x y este egatv deftă ş î cocluze x, y, 3, 4 sut pucte de maxm local codţoat. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 0. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Fhteholt G.M. Curs de calcul dferetal s tegral, vol. I III, Ed. Tehca, Bucurest Meghea C. Bazele aalze matematce Ed. Sttfca s Ecclopedca, Bucurest, Mortc C. Lect de aalza matematca Ed. ExPoto, Costata, Smrov V.I. Curs de matematc superoare vol. I V, Ed. Tehca, Bucurest 953 Elemete de aalza matematca s matematc specale 53

53 Itegrala Rema Utate de îvăţare Nr. INTEGRALA RIEMANN Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 54. Sume Rema Clase de fucţ tegrable Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 56 Elemete de aalza matematca s matematc specale 54

54 Itegrala Rema OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. sut: Îsuşrea oţulor de bază ale teore calcululu tegral Studerea propretăţlor fucţlor tegrable Perfecţoarea calcululu tegral. Sume Rema Sume Rema Defţe Se umeşte dvzue a tervalulu a, b, otată cu Δ o multme ftă de umere x 0, x,..., x astfel îcât Numărul a x0 x x... x b. x x max se umeşte orma dvzu Δ. O mulţme de umere cu propretatea că x, x,, se umeşte sstem de pucte termedare asocat dvzu Δ. Defţe Numărul real otat f, f x x se umeşte suma Rema asocată fucţe f, dvzu Δ ş sstemulu de pucte termedare ξ. Defţe Fucţa f : a, b R se umeşte tegrablă Rema dacă exstă I R cu propretatea că orcare ar f 0, exstă 0 astfel îcât petru orce dvzue Δ a x x x... x 0 b cu orma termedare Elemete de aalza matematca s matematc specale ş petru orce alegere a uu sstem de pucte 55

55 Itegrala Rema x, x,, avem f I,. Numărul I se umeşte tegrala Rema a lu f pe tervalul a, b ş se otează I f xdx. b a Teoremă Fe f : a, b R. Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) f este tegrablă Rema; ) exstă I R astfel îcât petru orce şr de dvzu ale tervalulu a, b cu lm 0 ş petru orce şr de ssteme de pucte termedare, j, rezultă şrul sumelor Rema f, este coverget la I. Corolar Dacă f : 0, R este o fucţe tegrablă Rema atuc k lm f f xdx. 0 k. Clase de fucţ tegrable Propretăţ ale Teoreme fucţlor tegrable Orce fucţe mootoă f a, b R Orce fucţe cotuă f a, b R : este tegrablă. : este tegrablă. Orce fucţe tegrablă Rema, f a, b R O fucţe f a, b R :, este mărgtă. : este tegrablă dacă ş uma dacă este mărgtă ş cotuă aproape peste tot. Fe f : a, b R. Dacă este tegrablă ş admte prmtva F pe a, b atuc b a xdx Fb Fa f. Elemete de aalza matematca s matematc specale 56

56 Itegrala Rema Test de autoevaluare. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Dacă f : a, b R este tegrablă atuc petru orce c, d a, b, restrcţa f c, d este tegrablă. Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr.. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Folosd oţuea tegrale defte calculaţ lmta şrulu: a.... Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus. Notăm g f c, d, f, g mulţmea puctelor de dscotutate ale fucţlor f ş g. Deoarece f este tegrablă, avem că f este mărgtă ş cotuă a.p.t., adcă f este egljablă. Î partcular, rezultă că g este mărgtă ş cum g f, g este egljablă, pr urmare g este tegrablă. Bblografe Utate de îvăţare Nr.. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale, Ed. Ex-Poto, Costata, 004. Meghea C. Bazele aalze matematce Ed. Sttfca s Ecclopedca, Bucurest, Mortc C. Lect de aalza matematca Ed. ExPoto, Costata, Smrov V.I. Curs de matematc superoare vol. I V, Ed. Tehca, Bucurest 953 Elemete de aalza matematca s matematc specale 57

57 Itegrale mpropr Utate de îvăţare Nr. INTEGRLE IMPROPRII Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 58. Itegrale mpropr de speţa îtâ. 58 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 60 Elemete de aalza matematca s matematc specale 58

58 Itegrale mpropr OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce î aplcaţle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcaţ de calcul tegral ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.).. Itegrale mpropr Itegrale mpropr de Vom cove să umm tegrale mpropr (sau geeralzate) tegralele speţa îtâ petru care lugmea tervalulu de tegrare a, b este ftă sau f u este mărgtă î [a, b] ş vom utlza următoarea clasfcare a acestora:. O tegrală este de speţa îtâ (sau de prmul tp) dacă b a, dec de forma: a b f xdx, f xdx, x f dx, a, b R, f fd mărgtă pe tervalul de tegrare.. O tegrală mpropre este de speţa a doua (sau de-al dolea tp) dacă a a, b. b dar f u este mărgtă î 3. O tegrală mpropre este de speţa a trea (sau de-al trelea tp) dacă atăt tervalul de tegrare este de lugme ftă cât ş f este emărgtă î acest terval de tegrare. Defţe O fucţe f : I R R, I terval (mărgt sau emărgt) se umeşte local tegrablă pe I dacă este tegrablă pe orce terval compact clus î I. Defţe : a, Fe f R local tegrablă pe a, a f x. Defm x dx lm f dx, b b a dacă lmta exstă ş este ftă. Î acest caz tegrala se umeşte covergetă. O tegrală care u este covergetă se umeşte dvergetă. f, b,b, defm Dacă : R ş f este local tegrablă pe b f x x dx lm f dx. b a a Elemete de aalza matematca s matematc specale 59

59 Itegrale mpropr De asemeea, f x dx a, b, b a x lm f dx. tegrala fd covergetă dacă lmta exstă ş este ftă ş dvergetă î caz cotrar. Teoremă, g : a, exstă Fe f R, f, g local tegrable pe, Atuc a f xdx ş x a l covergete sau ambele dvergete). f g x x * lm R. x a, g 0, astfel îcât g dx au aceeaş atură (sut ambele Fe f : a, R o fucţe local tegrabl pe a, este ftă Atuc a x f dx este: a) covergetă, dacă ; b) dvergetă, dacă. x l lm x f. x, astfel îcât exstă ş Test de autoevaluare. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Calculaţ tegrala a dx, a. p x Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr.. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Elemete de aalza matematca s matematc specale 60

60 Itegrale mpropr Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Demostraţ că tegralele mpropr a Sut covergete petru orce x e x dx, a 0 R. Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus. Evdet dacă b a avem Ca urmare dx x p b p p b a a p b dx a l, p. a p x b, p, lm b b a dx p x p a, p Dacă p 0 p. Petru p deducem că tegrala este dvergetă. Bblografe Utate de îvăţare Nr.. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest Fhteholt G.M. Curs de calcul dferetal s tegral, vol. I III, Ed. Tehca, Bucurest Meghea C. Bazele aalze matematce Ed. Sttfca s Ecclopedca, Bucurest, Mortc C. Lect de aalza matematca Ed. ExPoto, Costata, Smrov V.I. Curs de matematc superoare vol. I V, Ed. Tehca, Bucurest 953 Elemete de aalza matematca s matematc specale 6

61 Itegrale duble Utate de îvăţare Nr. 3 INTEGRALE DUBLE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Defţa tegrale duble. Propretăţ ale tegrale duble. Metode de calcul... 6 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr Elemete de aalza matematca s matematc specale 6

62 Itegrale duble OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 3 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 3 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce î aplcatţle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcaţ de calculul tegralelor duble ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.). Itegrale duble 3. Defţa tegrale duble. Propretăţ ale tegrale duble. Metode de calcul Fe f : D R R, D domeu compact. Spuem că f este tegrablă Rema pe D dacă exstă u umăr I cu propretatea că petru orce 0, exstă u umăr 0 astfel îcât petru orce dvzue Δ cu ş orcare ar f alegerea ouctelor termedare, D să avem f I,., Î acest caz umărul I se umeşte tegrala Rema a fucţe f pe domeul D ş folosm otaţa I D f x, y dxdy. Dacă 0 D f pe D, atuc f x y despre care am dscutat la îceputul paragrafulu. Propozţe Dacă f este tegrablă pe D ş are loc D, dxdy repreztă volumul cldrulu R, atuc f este tegrablă pe D ş x ydxdy f x ydxdy f,,. D Propozţe Dacă f ş g sut două fucţ tegrable pe D atuc ş fucţa tegrablă pe D ş f g este D f x y gx, ydxdy f x, ydxdy gx, ydxdy,. Propozţe Dacă D D D ude D ş D sut dome compacte, D ş D u au pucte teroare comue ş f este tegrablă ped, atuc D D Elemete de aalza matematca s matematc specale 63

63 D f x ydxdy f x, ydxdy f x, ydxdy D,. Propozţe Dacă m f M pe D ş f este tegrablă pe D atuc Propozţe m ara D f x y D, dxdy M ara D. D D dxdy ara D. Teorema Fe f : a, b c, d R mărgtă. Dacă: a) f este tegrablă pe a, b c, d; x a, b, exstă tegrala b) petru orce Itegrale duble c d f x, ydy Fx atuc exstă b a x F dx ş are loc egaltatea D f b b d x ydxdy Fxdx f x, ydy dx, a a. c Teoremă Dacă f : a, b c, d R este mărgtă ş a, b c, d ; a) f este tegrablă pe b)petru orce y c, d, exstă f x ydx Gy tegrablă pe c, d ş are loc: D f b a,, atuc g este d b,. c a x ydxdy f x, ydx dy Teoremă Fe D u domeu compact, smplu î raport cu axa Oy, x, y a x b, x y x D, f : D R o fucţe mărgtă astfel îcăt: a) f este tegrablă pe D; x b) petru orce x a, b, exstă tegrala f x y x, dy. Elemete de aalza matematca s matematc specale 64

64 Itegrale duble b x Atuc exstă tegrala f x y a x dy dx, ş are loc egaltatea x b f x ydxdy f x ydy dx D,,. a x Teoremă Fe D u domeu compact, smplu î raport cu axa Ox, f : D R mărgtă. Dacă: a) f este tegrablă pe D ; x, y c y d, y x y D, x b) petru orce y c, d exstă f x y Atuc exstă tegrala f x y x d x dx c x, dx., dy ş are loc egaltatea x d f x ydxdy f x ydx dy D,,. c x Test de autoevaluare 3. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Să se calculeze I l x ydxdy, ude 0,, Răspusul la test se găseşte la paga. D Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 3. D. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 Să se calculeze I x y dxdy, D ude D este domeul mărgt pe dreptele y x ş are parabola y x. Elemete de aalza matematca s matematc specale 65

65 Itegrale duble Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 3. Deoarece f este cotuă pe D avem I 0 0 l x ydy dx x ylx y 0 y x lx x lx dx l3 4l. 9 dx 3 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 3. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 980. Fhteholt G.M. Curs de calcul dferetal s tegral, vol. I III, Ed. Tehca, Bucurest Meghea C. Bazele aalze matematce Ed. Sttfca s Ecclopedca, Bucurest, Mortc C. Lect de aalza matematca Ed. ExPoto, Costata, Smrov V.I. Curs de matematc superoare vol. I V, Ed. Tehca, Bucurest 953 Elemete de aalza matematca s matematc specale 66

66 Itegrale trple Utate de îvăţare Nr. 4 INTEGRALE TRIPLE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr Defţa tegrale trple. Calculul tegrale trple. 67 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr Elemete de aalza matematca s matematc specale 67

67 Itegrale trple OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 4 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 4 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce î aplcaţle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcaţ de calculul tegralelor trple ce apar î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.). Itegrale trple 4. Defţa tegrale trple. Calculul tegrale trple Defţe 3 Fe f : U R mărgtă pe U R domeu compact. Vom spue că f este tegrablă Rema pe U dacă exstă I R cu propretatea că petru orce 0 exstă 0 astfel îcât petru orce ş orcare ar f alegerea puctelor termedare, U, să rezulte f, I,., Î acest caz umărul I se umeşte tegrala Rema a fucţe f pe domeul U ş vom ota I x y, xdxdydz f x, y, z f U U, dv. Teoremă Fe f : a, c, d e, f R o fucţe mărgtă. Dacă: ) f este tegrablă pe I a, b c, d e, f ; x, y D a, b c, d exstă ) petru orce f e x y, zd Fx y f,,, atuc exstă Fx y D, dxdy ş are loc egaltatea I f f, dz dxdy. D D e x y, zdxdydz Fx, ydxdy f x, y, z Teoremă 3 Fe U R u domeu smplu î raport cu axa Oz ş f : U R o fucţe mărgtă. Dacă: a) f este tegrablă pe U ; b) petru orce x, y D, exstă tegrala f x y, z tegrala Elemete de aalza matematca s matematc specale x, y x, y, dz atuc exstă ş 68

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs

Διαβάστε περισσότερα

Evaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.

Evaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale. Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea

Διαβάστε περισσότερα

Curs 3. Spaţii vectoriale

Curs 3. Spaţii vectoriale Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:

Διαβάστε περισσότερα

Cu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,

Cu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,, Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp:

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

2. Metoda celor mai mici pătrate

2. Metoda celor mai mici pătrate Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

ECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D

ECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ECUATII NELINIARE PE R. INTRODUCERE e D R D R : s sstemul: ( x x x ) ( x x x ) D () Daca se cosdera aplcata : D R astel ca: ( x x

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite. CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA PROAILITĂŢILOR Câmp de evemete U feome îtâmplător se poate observa, de regulă, de ma multe or Faptul că este îtâmplător se mafestă pr aceea că u ştm date care este rezultatul

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor

CAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor CAPITOLUL I. PRELIMINARII.. Elemete de teora mulţmlor. Mulţm Pr mulţme vom îţelege o colecţe (set, asamblu) de obecte (elemetele mulţm), be determate ş cosderate ca o ettate. Se subâţelege fatul că elemetele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)

Sisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori) Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de ecuaţii neliniare

2. Sisteme de ecuaţii neliniare Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

Pentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:

Pentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată: etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL

9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL 9. CRCE ELECRCE N REGM NESNSODAL 9.. DESCOMPNEREA ARMONCA Ateror am studat regmul perodc susodal al retelelor electrce, adca regmul permaet stablt retele lare sub actuea uor t.e.m. susodale s de aceeas

Διαβάστε περισσότερα

FUNDAMENTE DE MATEMATICĂ

FUNDAMENTE DE MATEMATICĂ Proect cofaţat d Fodul Socal Europea pr Programul Operaţoal Sectoral Dezvoltarea Resurselor Umae 7-3 Ivesteşte î oame! Formarea profesoală a cadrelor ddactce d îvăţămâtul preuverstar petru o oportutăţ

Διαβάστε περισσότερα

Procese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =

Procese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. = Xt () Procese stocastce (2) Fe u proces stocastc de parametru cotuu s avad spatul starlor dscret. Cu spatul starlor S = {,,, N} sau S = {,, } Defta : Procesul X() t este u proces Markov daca: PXt { ( )

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)

PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze) Uverstte Spru Hret Fcultte de Stte Jurdce Ecoome s Admstrtve Crov Progrmul de lcet Cotbltte ş Iormtcă de Gestue Dscpl Mtemtc Aplcte î Ecoome tulr dscplă Co uv dr Lur Ugureu SUBIECE ote subectele se regsesc

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

Sondajul statistic- II

Sondajul statistic- II 08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere

Διαβάστε περισσότερα

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NELINIARE. 0 Norma unui vector şi norma unei matrici. n n cu elemente scalare (reale, complexe).

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NELINIARE. 0 Norma unui vector şi norma unei matrici. n n cu elemente scalare (reale, complexe). CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NEINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

Sub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca:

Sub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca: Metoda gradetulu proectat (metoda Rose) Î cazul problemelor de optmzare covee ale căror restrcţ sut lare se poate folos metoda gradetulu proectat. Î prcpu, această metodă poate f folostă ş petru cazul

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

aşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe

aşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe Cuprs Prefaţă... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ... 7 Matrc... 8 Matrc partculare... 9 Iversa ue matrc... Ssteme de ecuaţ lare... 5 Problema compatbltăţ sstemelor... 7 Problema determăr sstemelor... 8

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de teoria probabilitatilor

Elemente de teoria probabilitatilor Elemete de teora probabltatlor CONCEPTE DE BAZA VARIABILE ALEATOARE DISCRETE DISTRIBUTII DISCRETE VARIABILE ALEATOARE CONTINUE DISTRIBUTII CONTINUE ALTE VARIABILE ALEATOARE Spatul esatoaelor, pucte esato,

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l

Διαβάστε περισσότερα

DUMITRU BUŞNEAG DANA PICIU LECŢII

DUMITRU BUŞNEAG DANA PICIU LECŢII DUMITRU BUŞNEAG DANA PICIU LECŢII de ALGEBRĂ Edtura UNIVERSITARIA CRAIOVA 00 Refereţ ştţfc: Prof.uv.dr.Costat Năstăsescu,Uverstatea Bucurest Membru corespodet al Academe Româe Prof.uv.dr. Costat Nţă,Uverstatea

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic

Sisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic Ssteme cu asteptare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc Dscpla cadrul cozlor de asteptate M / M / Modelul ( server, pozt de asteptare ) Aplcat modelarea trafculu de date la vel de pachete M / M

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor Extremele funcţiilor de mai multe variabile Serii de numere cu termeni oarecare Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă

Formula lui Taylor Extremele funcţiilor de mai multe variabile Serii de numere cu termeni oarecare Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Uverstatea Spru Haret Facultatea de Stte Jurdce, Ecoome s Admstratve, Craova Programul de lceta: Cotabltate ş Iformatcă de Gestue Dscpla Matematc Ecoomce Ttular dscplă Cof uv dr Laura Ugureau SUBIECTE

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Mădălina Roxana Buneci. Optimizări

Mădălina Roxana Buneci. Optimizări Mădălna Roxana Bunec Optmzăr Edtura Academca Brâncuş Târgu-Ju, 8 Mădălna Roxana Bunec ISBN 978-973-44-87- Optmzăr CUPRINS Prefaţă...5 I. Modelul matematc al problemelor de optmzare...7 II. Optmzăr pe mulţm

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII "TRANSILVANIA" DIN BRAŞOV

ANALIZĂ MATEMATICĂ REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII TRANSILVANIA DIN BRAŞOV Gheorghe ATANASIU oa TOFAN ANALIZĂ MATEMATICĂ REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII "TRANSILVANIA" IN BRAŞOV 8 Materall de aţă apare pr băvoţa l Provdr Ncolae Tţa ş a e Covdr oa Toa care c o deosebtă amabltate colegală

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

6. VARIABILE ALEATOARE

6. VARIABILE ALEATOARE 6. VARIABILE ALEATOARE 6.. Vrble letore. Reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe O vrblă letore este o cttte măsurtă î legătură cu u expermet letor, de exemplu, umărul de produse cu defecţu î producţ zlcă

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 5 E E} 5.1. ARIA UNEI MULŢIMI PLANE. D I D = pentru i j. Se ştie că aria unui dreptunghi este egală cu produsul

CAPITOLUL 5 E E} 5.1. ARIA UNEI MULŢIMI PLANE. D I D = pentru i j. Se ştie că aria unui dreptunghi este egală cu produsul Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 87 CAPITOLUL 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 ARIA UNEI MULŢIMI PLANE Î cele ce urmeză, pr mulţme plă polgolă, vom îţelege orce mulţme d pl mărgtă de u polgo Î prtculr, pr mulţme plă dreptughulră

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

2. Functii de mai multe variabile reale

2. Functii de mai multe variabile reale . Fuct de m multe vrble rele.. Elemete de topologe R Fe u sptu lr (XK. Det. Se umeste produs sclr plct < > < < λ > λ < v < > < > ; XX K cu omele: > ( X < > ( X ( λ K >< > < > ( X ( Xs < > ; dc s um dc

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n = Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

CURS 10. Regresia liniară - aproximarea unei functii tabelate cu o functie analitica de gradul 1, prin metoda celor mai mici patrate

CURS 10. Regresia liniară - aproximarea unei functii tabelate cu o functie analitica de gradul 1, prin metoda celor mai mici patrate Y CURS 0 Regresa lară - aproxmarea ue fuct tabelate cu o fucte aaltca de gradul, pr metoda celor ma mc patrate 30 300 90 80 70 60 50 40 30 0 y = -78.545x + 33.4 R² = 0.983 0 0. 0.4 0.6 0.8. X Fe o fucţe:

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

4. Interpolarea funcţiilor

4. Interpolarea funcţiilor Iterpolre ucţlor 7 Iterpolre ucţlor Fe : [] R ş e pucte dstcte d tervlul [] umte odur Prolem terpolăr ucţe î odurle costă î determre ue ucţ g : [] R dtro clsă de ucţ cuoscută cu proprette g Pusă su cestă

Διαβάστε περισσότερα

Teoria aşteptării- laborator

Teoria aşteptării- laborator Teora aşteptăr- laborator Model de aşteptare cu u sgur server. Î tmpul zle la u ATM (automat bacar care permte retragerea de umerar s alte trazacţ bacare electroce) avem î mede 4 de cleţ pe oră, adcă.4

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem

Διαβάστε περισσότερα

NICOLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI

NICOLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI NICLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI N R' T R T M [P] [S] R N R VLUMUL I STATICA Refereţ ştţfc: Prof. uv. dr. doc. g. RADU P. VINEA Preşedtele Academe Româe de Ştţe Tehce

Διαβάστε περισσότερα

4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE Diferenţiabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală.

4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE Diferenţiabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală. 4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE. 4.. Noţun teoretce ş rezultate fundamentale. 4... Dferenţabltatea funcţlor reale de o varablă reală. Multe robleme concrete conduc la evaluarea aromatvă a creşter

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA

ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA Cursul CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA STATISTICA DESCRIPTIVA Populate, Caracterstca dscreta, cotua

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE

TEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE TEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE Obectve Cuoaşterea metodelor umerce de descrere a datelor statstce Aalza rcalelor metode umerce etru descrerea datelor cattatve egruate Aalza

Διαβάστε περισσότερα

Noţiuni de verificare a ipotezelor statistice

Noţiuni de verificare a ipotezelor statistice Noţu de verfcare a potezelor statstce Verfcarea potezelor statstce este legată de compararea dfertelor poteze asupra ue populaţ statstce (ş u asupra uu eşato) cu datele obţute pr îcercăr expermetale Dacă

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα