DUMITRU BUŞNEAG DANA PICIU LECŢII

Transcript

1 DUMITRU BUŞNEAG DANA PICIU LECŢII de ALGEBRĂ Edtura UNIVERSITARIA CRAIOVA 00

2

3 Refereţ ştţfc: Prof.uv.dr.Costat Năstăsescu,Uverstatea Bucurest Membru corespodet al Academe Româe Prof.uv.dr. Costat Nţă,Uverstatea Bucureşt 00 EUC CRAIOVA All rghts reserved. No part of ths publcato may be reproduce, stored a retreval system, or trasmtted, ay forms or by ay meas, electroc, mechacal, photocopyg, recordg, or other wse, wthout the pror wrtte permsso of the publsher. Tehoredactare computerzată : Daa Pcu, Lva Popescu Copertă: Cătăl Buşeag Descrerea CIP a Bblotec Naţoale Dumtru Buşeag (coordoator), Lecţ de Algebra 57 p.; cm. Craova Edtura Uverstara 00 Bblogr. 5.54,55,56,58,553,56.6,64 ISBN Bu de tpar: Tpografa Uverstăţ d Craova, Strada, Al. Cuza, r.3 Craova, Româa Publshed Romaa by: EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 3

4 ISBN:

5 CUPRINS pag..... CAPITOLUL : NOŢIUNI PRELIMINARII Mulţm. Operaţ cu mulţm Relaţ bare pe o mulţme. Relaţ de echvaleţă Relaţ fucţoale. Noţuea de fucţe. Clase de fucţ Nucleul ş coucleul ue perech de fucţ Mulţm ordoate. Semlatc. Latc Latc.dstrbutve Complemet ş pseudocomplemet îtr-o latce. Algebre Boole. Algebre Boole geeralzate Produsul drect (suma drectă) a ue faml de mulţm Numere cardale. Operaţ cu umere cardale Ordoarea umerelor cardale Mulţm umărable. Mulţm fte ş mulţm fte... CAPITOLUL : GRUPURI Operaţ algebrce. Mooz. Morfsme de mooz. Produse drecte fte de mooz Grup. Calcule îtr-u grup. Subgrup. Subgrup geerat de o mulţme. Grup cclc. Ordul uu elemet îtr-u grup

6 3. Cetralzatorul uu elemet îtr-u grup. Cetrul uu grup. Teorema lu Lagrage. Idcele uu subgrup îtr-u grup. Ecuaţa claselor Subgrupur ormale. Factorzarea uu grup prtr-u subgrup ormal Morfsme de grupur. Compuerea morfsmelor de grupur. Moomorfsme, epmorfsme, zomorfsme de grupur. Nucleul ş coucleul ue perech de morfsme de grupur Teorema lu Malţev. Grupul (Z, +). Subgrupurle lu (Z, +). Clasele de restur modulo Teoremele de zomorfsm petru grupur Produse fte de grupur. Teorema chezească a resturlor. Numărul tpurlor de grupur abelee fte Teorema lu Cauchy petru grupur fte. Grupul dedral D de grad. Structura grupurlor fte cu p elemete (p prm, p 3) Grupur de permutăr. Teorema lu Cayley. Grupurle S ş A... Teoremele lu Sylow. Aplcaţ: caracterzarea grupurlor cu pq elemete ( p ş q umere prme dstcte ) ş elemete CAPITOLUL 3: INELE ŞI CORPURI Iel. Exemple. Regul de calcul îtr-u el. Dvzor a lu zero. Dome de tegrtate. Caracterstca uu el Subele ş deale Morfsme de ele. Izomorfsme de ele. Trasportul subelelor ş dealelor pr morfsme de ele. Produse drecte de ele

7 4. Factorzarea uu el prtr-u deal blateral. Teoremele de zomorfsm petru ele Corp. Subcorp. Subcorp prm. Morfsme de corpur. Caracterstca uu corp Iele de fracţ. Costrucţa corpulu Q al umerelor raţoale Costrucţa corpulu R al umerelor reale Costrucţa corpulu C al umerelor complexe Costrucţa corpulu H al cuterolor Ideale prme. Ideale maxmale Dvzbltatea î ele CAPITOLUL 4: INELE DE POLINOAME Ielul poloamelor îtr-o edetermată Ielul poloamelor î ma multe edetermate Poloame smetrce Rădăc ale poloamelor cu coefceţ îtr-u corp. Teorema fudametală a algebre. Poloame reductble. Rezolvarea ecuaţlor algebrce de grad 3 ş CAPITOLUL 5: ELEMENTE DE TEORIA CATEGORIILOR Defţa ue categor. Exemple. Subcategore. Duala ue categor. Produs de categor. Prcpul dualzăr morfsme ş obecte remarcable îtr-o categore. Nucleul ş coucleul uu cuplu de morfsme Fuctor. Exemple. Fuctor remarcabl. Morfsme fuctorale. Categor echvalete. Duala lu Es Fuctor reprezetabl. Fuctor adjucţ Reflefuctor.Subcategor reflexve Produse ş sume drecte ale ue faml de obecte Lmta ductvă (proectvă) a uu sstem ductv (proectv)..87 7

8 8. Sume ş produse fbrate Obecte jectve (proectve). Avelope jectve (proectve) Categor abelee CAPITOLUL 6: MODULE ŞI SPAŢII VECTORIALE Modul. Submodul. Calcule îtr-u modul. Operaţ cu submodule. Submodul geerat de o mulţme. Latcea submodulelor uu modul. Sstem de geerator. Elemete lar depedete (depedete). Module lbere. Spaţ vectorale. Submodul maxmal. Modul smplu. Factorzarea uu modul prtr-u submodul. Modul factor Morfsme de module. Edomorfsme. Operaţ cu morfsme de module. Imagea, ucleul, comagea ş coucleul uu morfsm de module. Categorle Mod s (A) ş Mod d (A). Moomorfsme, epmorfsme, zomorfsme de module. Nucleul ş coucleul ue perech de morfsme. Teorema fudametală de zomorfsm petru module. Cosecţe. Şrur exacte de A-module. Fuctor h M ş h M de la Mod s (A) la Ab. Bmodule. Dualul ş bdualul uu modul Produse ş sume drecte î Mod s (A). Sume drecte de submodule. Produse ş sume drecte de morfsme de A-module. Sume ş produse fbrate î Mod s (A) Lmte ductve ş proectve î Mod s (A). Lmte ductve ş proectve de morfsme de A-module Submodule eseţale ş superflue. Submodule complemet. Submodule îchse. Module jectve. Grupur dvzble. Avelope jectve. Module proectve. Avelope proectve. Geerator, cogeerator petru Mod s (A) Produs tesoral de module. Produs tesoral de morfsme. Fuctor S M ş T N ; trasportul şrurlor exacte scurte pr aceşt fuctor. Comutatvtatea produsulu tesoral. Permutarea produsulu tesoral cu sumele drecte. Produs tesoral de module lbere. Asocatvtatea produsulu tesoral. Propretatea de adjucţe. Module plate Module lbere de rag ft. Matrcea de trecere de la o bază la alta. Formula de schmbare a coordoatelor uu elemet la schmbarea 8

9 bazelor. Lema substtuţe. Matrcea ataşată ue aplcaţ lare ître module lbere de rag ft; formula de schmbare a acestea la schmbarea bazelor CAPITOLUL 7: DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Defţa uu determat de ord. Propretăţle determaţlor. Dezvoltarea uu determat după elemetele ue l. Regula lu Laplace. Formula Bet-Cauchy Matrce versablă. Iversa ue matrce. Ragul uu sstem de vector. Ragul ue matrce. Ragul ue aplcaţ lare ître spaţ vectorale de dmesu fte Ssteme de ecuaţ lare cu coefceţ îtr-u corp comutatv. Ssteme omogee. Vector ş valor propr a uu operator lar. Teorema Cayley-Hamlto CAPITOLUL 8: ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARĂ Puerea ue probleme de programare lară. Soluţ posble. Soluţ de bază Tabelul smplex asocat ue soluţ de bază. Algortmul smplex. Regula lexcografcă de evtare a cclajulu Metode de determare a soluţlor de bază. Metoda matrceală. Metoda celor două faze. Exemple de aplcare a algortmulu smplex. Exemple de probleme de programare lară. Exemplu de evtare a cclajulu

10 CAPITOLUL 9: FORME BILINIARE ŞI PĂTRATICE Forme blare. Defţ. Exemple. Matrcea ataşată ue forme blare. Ragul ue forme blare Forme pătratce.polara ue forme pătratce.matrcea ataşată ue forme pătratce.forma caocă a ue forme pătratce ;metodele Gauss- Lagrage ş Jacob.Legea erţe a lu Sylvester BIBLIOGRAFIE INDEX

11 CONTENTS pag Chapter: PRELIMINARIES Sets. Operatos o sets Bary operatos o a set. Equvalece relatos Fuctoal relatos. Noto of fucto. Classes of fuctos The kerel (equalzer) ad cokerel (coequalzer) for a couple of fuctos Ordered sets. Semlattces. Lattces Dstrbutve lattces Complemet ad pseudocomplemet a lattce. Boolea algebras. Geeralzed Boolea algebras Drect products (coproducts) for a famly of sets Cardal umbers Coutable sets. Fte ad fte sets Chapter : GROUPS Algebrac operatos. Moods. Morphsms of moods. Drect product of moods Group. Calculus a group. Subgroup. Subgroup geerated by a set. Cyclc groups. The Order of a elemet The cetralzer of a elemet a group. The ceter of a group. The theorem of Lagrage. The dex of a subgroup a group. The class equato Normal subgroups.

12 Factorzato of a group by a ormal subgroup Morphsms of groups. Composto of morphsms. Moomorphsms, epmorphsms, somorphsms of groups. The kerel (equalzer) ad cokerel (coequalzer) for a couple of morphsms The theorem of Mal`cev. The group of tegers (Z,+). The subgroups of (Z,+). Complete set of resdues modulo The somorphsm theorems for groups Fte drect products of groups. The Chese remader theorem. The umber of abela fte groups The Cauchy theorem for fte groups. The Dhedral group D of degree. The structure for fte groups of p order (p prme, p 3) The groups of permutatos. The theorem of Cayley. The groups S ad A The Sylow theorems. Applcatos: the groups of pq order (p,q prmers, p q) ad of order Chapter 3: RINGS AND FIELDS Rgs. Examples. Calculus a rg. Zero dvsors. Itegral domas. The characterstc of a rg Subrgs ad deals Morphsms of rgs. Isomorphsms of rgs. The trasport of subrgs ad deals by a morphsm of rgs. Drect products of rgs The factorzato of a rg by a blateral deal. The somorphsm theorems for rgs Feld Subfeld. Prme Subfeld. Morphsms of felds. The characterstc of a feld Rgs of fractos. Costructo of the ratoals feld Q

13 7. Costructo of the reals feld R Costructo of the complex umbers feld C Costructo of the quateros feld H Prme ad maxmal deals Dvsblty rgs Chapter 4: POLYNOMIAL RINGS Polyomals rg oe determate Polyomals rg several determates Symetrcal polyomals Roots of polyomals wth coeffcets a feld. The fudametal theorem of algebra. Irreducble polyomals. The solvg of the algebrac equatos of a 3 ad 4 degree Chapter 5: ELEMENTS OF CATEGORIES THEORY Category. Exampels. Subcategory. Dual category. Dualty prcple. Product of categores Specal morphsms ad objects a category. The kerel (equalzer) ad cokerel (coequalzer) for a couple of morphsms Fuctors. Examples. Remarkable fuctors. Morphsm fuctors. Equvalece of Categores. The dual category of Es

14 4. Represetable fuctors. Adjot fuctors Reflectors. Reflectve subcategores Products ad coproducts of a fammly of objects Lmts ad colmts for a partally ordered system Fbred sum (poshout) ad fbred product (pullback) of two objects Ijectve (projectve) objects. Ijectve (projectve) evelopes Abela Categores Refereces

15 CAPITOLUL : NOŢIUNI PRELIMINARII Mulţm. Operaţ cu mulţm Î cadrul aceste lucrăr vom prv mulţmle î sesul î care ele au fost prvte de către GEORG CANTOR - prmul matematca care a ţat studul lor sstematc (puct de vedere cuoscut î matematcă sub umele de teora avă a mulţmlor). Despre paradoxurle ce le mplcă acest puct de vedere ş felul î care ele pot f elmate, rugăm cttorul să cosulte lucrărle [6] ş [30]. Defţa.. Dacă A ş B sut două mulţm, vom spue că A este clusă î B (sau că A este submulţme a lu B) dacă elemetele lu A sut ş elemete ale lu B; î acest caz vom scre A B ar î caz cotrar A B. Avem dec : A B petru orce x A x B A B exstă x A a.î. x B. Vom spue despre mulţmle A ş B că sut egale dacă orcare ar f x, x A x B. Dec, A=B A B ş B A. Vom spue că A este clusă strct î B ş vom scre A B dacă A B ş A B. Se acceptă exsteţa ue mulţm ce u coţe c u elemet care se otează pr ş poartă umele de mulţmea vdă. Se observă că petru orce mulţme A, A (deoarece î caz cotrar ar trebu să exste x a.î. x A absurd.!). O mulţme dfertă de mulţmea vdă se zce evdă. Petru o mulţme T, vom ota pr P(T) mulţmea submulţmlor sale (evdet, T P(T) ). Următorul rezultat este medat : 5

16 Dacă T este o mulţme oarecare ar A, B, C P(T), atuc : () A A () Dacă A B ş B A, atuc A=B () Dacă A B ş B C, atuc A C. Î cadrul aceste lucrăr vom utlza deseor oţuea de famle de elemete a ue mulţm dexată de o mulţme evdă de dc I (pr aceasta îţelegâd o fucţe deftă pe mulţmea I cu valor î mulţmea respectvă). Astfel, vom scre de exemplu (x ) I petru a desema o famle de elemete ale ue mulţm sau (A ) I petru a desema o famle de mulţm dexată de mulţmea I. Petru o mulţme T ş A, B P(T) defm : A B={x T x A ş x B} A B={x T x A sau x B} A\B={x T x A ş x B} A B=(A\B) (B\A). Dacă A B=, mulţmle A ş B se zc dsjucte. Operaţle,, \ ş poartă umele de tersecţe, reuue, dfereţă ş dfereţă smetrcă. Î partcular, T\A se otează pr T (A) (sau (A) dacă u este percol de cofuze) ş poartă umele de complemetara lu A î T. Î mod evdet, petru A, B P(T) avem: A\B=A T (B) A B=(A B)\(A B)=(A T (B)) ( T (A) B) T ( )=T, T (T)= A T (A)=T, A T (A)= ar T ( T (A))=A. De asemeea, petru x T avem: x A B x A sau x B x A B x A ş x B x A\B x A sau x B 6

17 atuc: x A B (x A ş x B) sau (x A ş x B) x T (A) x A. D cele de ma îate deducem medat că dacă A, B P(T), T (A B)= T (A) T (B) ş T (A B)= T (A) T (B). Aceste ultme două egaltăţ sut cuoscute sub umele de relaţle lu De Morga. Petru o famle evdă (A ) I de submulţm ale lu T defm: ={x T x A petru orce I} ş I A I U A I ={x T exstă I a.î. x A }. Astfel, relaţle lu De Morga sut adevărate îtr-u cotext ma geeral: atuc: Dacă (A ) I este o famle de submulţm ale mulţm T, CT IA I = UC I T ( A ) Următorul rezultat este medat: ş C UA = IC ( A ) 7 T Propozţa.. Dacă T o mulţme ar A, B, C P(T), atuc: I I () A (B C)=(A B) C ş A (B C)=(A B) C () A B=B A ş A B=B A () A T=A ş A =A (v) A A=A ş A A=A. Observaţa.3.. D () deducem că operaţle ş sut asocatve, d () deducem că ambele sut comutatve, d () deducem că T ş sut elemetele eutre petru ş respectv petru, ar d (v) deducem că ş sut operaţ dempotete pe P(T).. Pr dublă cluzue se probează mdat că petru orcare A, B, C P(T) avem: T.

18 A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C), adcă operaţle de tersecţe ş reuue sut dstrbutve ua faţă de cealaltă. Propozţa.4. Dacă A, B, C P(T), atuc: () A (B C)=(A B) C () A B=B A () A =A ar A A= (v) A (B C)=(A B) (A C). Demostraţe. (). Pr dublă cluzue se arată medat că: A (B C)=(A B) C=[A T (B) T (C)] [ T (A) B T (C)] [ T (A) T (B) C] (A B C). (), () sut evdete. (v). Se probează fe pr dublă cluzue, fe ţâd cot de dstrbutvtatea tersecţe faţă de reuue. Defţa.5. Fd date două obecte x ş y se umeşte pereche ordoată a obectelor x ş y mulţmea otată (x, y) ş deftă astfel: (x, y)={ {x}, {x, y} }. Se verfcă acum medat că dacă x ş y sut două obecte a.î. x y, atuc (x, y) (y, x) ar dacă (x, y) ş (u, v) sut două perech ordoate, atuc (x, y)=(u, v) x=u ş y=v ; î partcular, (x, y)= =(y, x) x=y. ş Defţa.6. Dacă A ş B sut două mulţm, mulţmea otată A B={ (a, b) a A ş b B } se va um produsul carteza al mulţmlor A ş B. Î mod evdet: A B A ş B 8

19 A B= A= sau B= A B=B A A=B A A ş B B A B A B. Dacă A, B, C sut tre mulţm vom def produsul lor carteza pr egaltatea : A B C=(A B) C. Elemetul ((a, b), c) d A B C îl vom ota ma smplu pr (a, b, c). Ma geeral, dacă A, A,..., A ( 3) sut mulţm puem A A... A =((...((A A ) A 3 )...) A ). Dacă A este o mulţme ftă, vom ota pr A umărul de elemete ale lu A. Î mod evdet, dacă A ş B sut submulţm fte ale ue mulţm M atuc ş A B este submulţme ftă a lu M ar A B = A + B - A B. Vom prezeta î cotuare u rezultat ma geeral cuoscut sub umele de prcpul cluder ş excluder: Propozţa.7. Fe M o mulţme ftă ar M, M,..., M submulţm ale lu M. Atuc : U = M = M M < j ( ) M... M M j + M < j< k M j M Demostraţe. Facem ducţe matematcă după. Petru = egaltatea d euţ se reduce la M = M, ceea ce este evdet. Petru = trebue demostrată egaltatea : () M M = M + M - M M care de asemeea este adevărată, deoarece elemetele d M M apar atât la M cât ş la M. Presupuem egaltatea d euţ adevărată petru orcare m submulţm ale lu M cu m< ş o să o demostrăm petru submulţm M, M,..., M. k.

20 0 Dacă otăm U = = M N, atuc coform relaţe () putem scre: () = = U M N M = N + M - N M. Îsă N M = = U M M =U ) ( = M M, dec aplcâd poteza de ducţe petru ( ) U I = M M ş ţâd seama de faptul că ( ) ( ) ( ) I I I I I j j M M M M M M M =, ( ) ( ) ( ) ( ) I I I I I I I I k j k j M M M M M M M M M M =, etc, obţem: (3) ( ) ( ) I I I I I I I U I k j k j j j M M M M M M M M M M M M M N... = < < < = = = = Aplcâd poteza de ducţe ş petru N obţem: (4) ( ) I I I I U... = < < < = = = = k j k j j j M M M M M M M M N astfel că ţâd cot de (3) ş (4) relaţa () deve:

21 ( ) ( ) ( ) ( ) I I I I I I I I I I I I I I I I U k j k j j j k j j j k j j j M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M N M N M = < < < = = < < < = < < < < = = = = = = + = Coform prcpulu ducţe matematce, egaltatea d euţ este adevărată petru orce umăr atural eul. Relaţ bare pe o mulţme. Relaţ de echvaleţă Defţa.. Dacă A este o mulţme, umm relaţe bară pe A orce submulţme ρ a produsulu carteza A A. Dacă a, b A ş (a, b) ρ vom spue că elemetul a este î relaţa ρ cu b. De asemeea, vom scre aρb petru a desema faptul că (a, b) ρ. Petru mulţmea A vom ota pr Rel (A) mulţmea relaţlor bare de pe A (evdet, Rel (A)=P(A A) ). Relaţa A ={ (a, a) a A} poartă umele de dagoala produsulu carteza A A. Petru ρ Rel (A) defm ρ - ={(a, b) A A (b, a) ρ}.

22 Î mod evdet, (ρ - ) - =ρ ar dacă ma avem ρ Rel (A) a.î.. - ρ ρ - ρ ρ Defţa.. Petru ρ, ρ Rel (A) defm compuerea lor ρ ρ pr ρ ρ ={(a, b) A A exstă c A a.î. (a, c) ρ ş (c, b) ρ}. Rezultatul următor este medat: Propozţa.3. Fe ρ,, ρ Rel ρ (A). Atuc: () ρ A = A ρ=ρ ( ρ ρ (ρ = ρ ( ρ ρ ) () ρ ρ ρ ρ ş ρ ρ ρ ρ ρ ρ () (v) - ( ρ ρ ) ρ = - ρ - (v) ( ρ ρ ) - =ρ - ρ - ; ma geeral, dacă (ρ ) I este o famle de relaţ bare pe A, atuc U = U ρ I I ρ. Petru N ş ρ Rel (A) defm : A petru = 0 ρ = ρ o ρ o... petru > o ρ. or ρ m ρ =ρ m+. Se probează medat că dacă m, N atuc Defţa.4. Vom spue despre o relaţe ρ Rel (A) că este: ) reflexvă dacă A ρ ) smetrcă dacă ρ ρ - ) atsmetrcă dacă ρ ρ - A v) traztvă dacă ρ ρ. Rezultatul următor este medat:

23 Propozţa.5. O relaţe ρ Rel(A) este reflexvă ( smetrcă, atsmetrcă, traztvă ) dacă ş uma dacă ρ - este reflexvă ( smetrcă, atsmetrcă, traztvă ). Defţa.6. Vom spue despre o relaţe ρ Rel(A) că este o echvaleţă pe A dacă este reflexvă, smetrcă ş traztvă. Vom ota pr Echv (A) mulţmea relaţlor de echvaleţă de pe A. Evdet, A, A A Echv (A). Propozţa.7. Dacă ρ Echv (A), atuc ρ - =ρ ş ρ =ρ. Demostraţe. Cum ρ este smetrcă ρ ρ -. Dacă (a, b) ρ -, atuc (b, a) ρ ρ - (b, a) ρ - (a, b) ρ, adcă ρ - ρ, dec ρ - =ρ. Cum ρ este traztvă avem ρ ρ. Fe acum (x, y) ρ. D (x, x) ρ ş (x, y) ρ (x, y) ρ ρ=ρ, adcă ρ ρ, dec ρ =ρ. Propozţa.8. Fe ρ, ρ Echv (A). Atuc ρ ρ Echv (A) dacă ş uma dacă ρ ρ =ρ ρ. Î acest caz ρ ρ = ρ. I ρ Echv(A) ρ, ρ ρ Demostraţe. Dacă ρ, ρ Echv (A), atuc (ρ ρ ) - =ρ ρ coform Propozţe.7. Îsă coform Propozţe.3. avem că (ρ ρ ) - = ρ - ρ - = ρ ρ, astfel că ρ ρ =ρ ρ. Ivers, să presupuem că ρ ρ =ρ ρ. Cum A ρ, ρ A = A A ρ ρ, 3 adcă ρ ρ este reflexvă. Cum (ρ ρ ) - = ρ - ρ - =ρ ρ = ρ ρ, deducem că ρ ρ este ş smetrcă. D (ρ ρ ) =(ρ ρ ) (ρ ρ )=ρ (ρ ρ ) ρ = =ρ (ρ ρ ) ρ =ρ ρ = ρ ρ deducem că ρ ρ este ş traztvă, adcă este o echvaleţă pe A.. ρ ρ, ρ Să presupuem acum că ρ ρ =ρ ρ ş fe ρ Echv (A) a.î.

24 Atuc ρ ρ, ρ = ρ ρ adcă ρ o ρ Iρ θ ρ Echv( A) ρ, ρ ρ Cum ρ, ρ Echv (A) ş ρ ρ Echv (A) ρ,ρ ρ ρ θ ρ ρ adcă θ=ρ ρ. Petru ρ Rel (A), defm relaţa de ehvaleţă de pe A geerată de ρ ca fd relaţa de echvaleţă ρ = Iρ. ρ Echv( A) ρ ρ Î mod evdet, relaţa de echvaleţă <ρ> este caracterzată de codţle ρ <ρ> ar dacă ρ Echv (A) a.î. ρ> ρ > ρ ρ (altfel zs, <ρ> este cea ma mcă relaţe de echvaleţă ce clude pe ρ). Lema.9. Fe ρ Rel(A) ş ρ = A ρ ρ -. Atuc relaţa ρ are următoarele propretăţ: () ρ ρ () ρ este reflexvă ş smetrcă () dacă ρ este o altă relaţe bară de pe A reflexvă ş smetrcă. ρ, atuc ρ ρ ρ a.î. Demostraţe. ( ). este evdetă. (). Cum A ρ deducem că ρ este reflexvă ar cum ρ = ( A ρ ρ - ) = - A ρ - (ρ - ) - = A ρ ρ - = ρ deducem că ρ este ş smetrcă. (). Dacă ρ este reflexvă ş smetrcă a.î., ρ ρ atuc. ρ deducem că ρ = A ρ ρ - ρ ş cum A ρ = - ρ ρ - Lema.0. Fe ρ Rel(A) reflexvă ş smetrcă ar Atuc ρ are următoarele propretăţ : () ρ ρ U ρ = ρ. 4

25 () ρ este o echvaleţă pe A. ρ atuc ρ, ρ ρ ρ Echv(A) a.î. () Dacă Demostraţe. (). este evdetă. (). Cum A ρ ρ deducem că A ρ, adcă ρ este reflexvă. Deoarece ρ este smetrcă ş petru orce N* avem (ρ ) - =(ρ - ) =ρ, deducem că ( ρ ) = ρ ρ ρ = ρ U = U U =, adcă ρ este ş smetrcă. Fe acum (x, y) ρ o ρ ; atuc exstă z A a.î. (x, z), (z, y) ρ, adcă exstă m, N* a.î. (x, z) ρ m ş (z, y) ρ. Deducem medat că (x, y) ρ ρ m =ρ +m ρ, adcă este traztvă, adcă ρ Echv (A). ρ ρ, dec ρ ρ = ρ Cum ρ. ρ ρ ρ Echv (A) a.î. (). Fe acum. ρ petru orce N* deducem că ρ = ρ U D Lemele.9. ş.0. deducem medat: Teorema.. Dacă ρ Rel(A), atuc U ( ρ ρ ) U U ρ =. A Propozţa.. Fe ρ, ρ Rel (A ). Atuc: () ( ρ ρ ) =ρ ρ (ρ ρ ) (ρ ρ) () Dacă ρ, ρ Echv (A) atuc ρ ρ Echv (A) dacă ş. ρ ρ ρ ρ, ρ ρ uma dacă Demostraţe. (). Avem: (x, ( y) (ρ ρ ( ρ ρ ) ( ρ ρ )= exstă z A a.î. z) ρ (x, z) ρ ş (z, y) ρ] sau [ (x, [ y) ρ ρ ş (z, z) ρ p (x, [ y) ρ ş (z, y) ρ] sau [(x, z) ρ ş (z, z) ρ sau [(x, [ y) ρ ş (z, 5

26 (x, y) ρ sau (x, y) ρ sau (x, y) ρ ρ sau (x, y) ρ ρ (x, y) ρ ρ (ρ ρ ) (ρ ρ), de ude egaltatea cerută. ().,,. Avem că ρ =ρ, ρ ρ = ş ( ρ ρ ). ρ ρ = Astfel, relaţa de la () deve: ρ ρ =ρ ρ (ρ ρ ) (ρ ρ), dec ρ ρ ρ ρ ş. ρ ρ ρ ρ,,. Utlzăm poteza d ou ş relaţa de la (): ( ρ ρ ) =ρ ρ, ρ) ρ ρ ρ ) ( ρ ρ ) ρ)=ρ ρ ρ ) ( ρ ρ ) dec ρ ρ, adcă ρ ρ A ρ este traztvă. Cum A ρ ş A ρ ρ este reflexvă. Dacă (x, y) ρ ρ (x, y) ρ sau (x, y) ρ (y, x) ρ sau (y, x) ρ (y,, x) ρ ρ adcă ρ ρ este ş smetrcă, dec o echvaleţă pe A. Propozţa.3. Fe A o mulţme ş ρ Rel(A) propretăţle: () Petru orce x A, exstă y A a.î. (x, y) ρ () ρ ρ - ρ = ρ Atuc ρ ρ -, ρ - ρ Echv (A). avâd Demostraţe. Avem că ρ ρ - ={(x, y) exstă z A a.î. (x, z) ρ - ş (z, y) ρ}. Dec, petru a demostra că A ρ ρ - ar trebu ca petru orce x A, (x, x) ρ ρ - adcă să exste z A a.î. (z, x) ρ, lucru asgurat de (). Deducem că ρ ρ - este reflexvă (aalog petru ρ - ρ). Dacă (x, y) ρ ρ - exstă z A a.î. (x, z) ρ - ş (z, y) ρ exstă z A a.î. (y, z) ρ - ş (z, x) ρ (y, x) ρ ρ -, adcă ρ ρ - este smetrcă (aalog petru ρ - ρ). Cum (ρ ρ - ) (ρ ρ - ) = = (ρ ρ - ρ) ρ - = ρ ρ - deducem că ρ ρ - este ş traztvă, dec este o echvaleţă. Aalog petru ρ - ρ. 6

27 Defţa.4. Dacă ρ Echv (A) ş a A, pr clasa de echvaleţă a lu a relatvă la ρ îţelegem mulţmea [a] ρ ={x A (x, a) ρ} (cum ρ este î partcular reflexvă deducem că a [a] ρ, adcă [a] ρ petru orce a A). Mulţmea A / ρ ={ [a] ρ a A } poartă umele de mulţmea factor ( sau cât ) a lu A pr relaţa ρ. Propozţa.5. Dacă ρ Echv (A), atuc: () [ a] ρ=a U a A () Dacă a, b A atuc [a] ρ =[b] ρ (a, b) ρ () Dacă a, b A, atuc [a] ρ =[b] ρ sau [a] ρ [b] ρ =. Demostraţe. (). Deoarece petru orce a A, a [a] ρ deducem cluzuea de la dreapta la stâga; cum cealaltă cluzue este evdetă deducem egaltatea solctată. (a, b) ρ. (). Dacă [a] ρ =[b] ρ, cum a [a] ρ deducem că a [b] ρ adcă Fe acum (a, b) ρ ş x [a] ρ, adcă (x, a) ρ. Datortă traztvtăţ lu ρ deducem că (x, b) ρ, adcă x [b] ρ, dec [a] ρ [b] ρ. Aalog deducem că ş [b] ρ [a] ρ, adcă [a] ρ =[b] ρ. (). Presupuem că [a] ρ [b] ρ. Atuc exstă x A a.î. (x, a), (x, b) ρ ş astfel (a, b) ρ, dec [a] ρ =[b] ρ (coform cu ()). Defţa.6. Numm partţe a ue mulţm M o famle (M ) I de submulţm ale lu M ce verfcă codţle : () Petru, j I, j M M j = () U M = M. I 7

28 Observaţa.7. D cele de ma îate deducem că dacă ρ este o relaţe de echvaleţă pe mulţmea A, atuc mulţmea claselor de echvaleţă ale lu ρ pe A determă o partţe a lu A. 3 Relaţ fucţoale. Noţuea de fucţe. Clase de fucţ. Defţa 3.. Fe A ş B două mulţm. O submulţme R A B se umeşte relaţe fucţoală dacă : () Petru orce a A exstă b B a.î. (a, b) R. b=b b ) R () (a, b), (a, Numm fucţe ( sau aplcaţe ) u trplet f=(a, B, R) ude A ş B sut două mulţm evde ar R A B este o relaţe fucţoală. Î acest caz, petru fecare elemet a A exstă u uc elemet b B a.î. (a, b) R. Covem să otăm b=f(a) ; elemetul b se va um magea lu a pr f. Mulţmea A se umeşte domeul (sau domeul de defţe al lu f) ar B se umeşte codomeul lu f ş spuem de obce că f este o fucţe deftă pe A cu valor î B scrd lucrul acesta pr f:a B sau A f B. Relaţa fucţoală R se ma umeşte ş grafcul lu f (covem să otăm pe R pr G f, astfel că G f ={(a, f(a)) a A}. Dacă f :A B ş B A : f sut două fucţ, vom spue că ele sut egale (ş vom scre ( f=f dacă A=A, B=B ş f(a)=f (a) petru orce a A. Petru o mulţme A, fucţa A :A A, A (a)=a petru orce a A poartă umele de fucţa detcă a lu A (î partcular, putem vorb de fucţa detcă a mulţm vde ). Dacă A= atuc exstă o ucă fucţe f: B ( este de fapt cluzuea lu î B). Dacă A ş B= atuc î mod evdet u exstă c o fucţe de la A la B. Dacă f :A B este o fucţe ar A A ş B B atuc otăm: { a) B ) ş f - (B )={a A f { a A f(a )={f (a) 8

29 ( f ( A ) se va um magea lu A pr f ar f - ( B ) cotramagea lu B pr f ). Î partcular, otăm Im(f)=f (A). Evdet, f( )= ş f - ( )=. Defţa 3.. Fd date două fucţ f:a B ş g:b C umm compuerea lor fucţa otată g f:a C ş deftă pr (g f)(a)=g(f(a)) petru orce a A. Propozţa 3.3. Dacă avem tre fucţ f g h A B C D atuc: () h (g f)=(h g) f () f A = B f=f. Demostraţe. (). Îtr-adevăr, avem că h (g f) ş (h g) f au pe A drept domeu de defţe, pe D drept codomeu ş petru orce a A (h (g f))(a)=((h g) f)(a)=h(g(f(a))). (). este evdetă. Propozţa 3.4. Fe f:a B,, A, A A, B, B B (A ) I, (B j ) j J două faml de submulţm ale lu A ş respectv B. Atuc: ( f(a ( f(a A A () ( B ) (B ) f - f B B - () () f IA I f( A) I I (v) f UA = U f( A) I I (v) f B = f ( B ) I j J j I j J j 9

30 (v) f B = f ( B ) U j J j U j J j 30. Demostraţe (). Dacă,( b f(a atuc b=f(a) cu a A ş cum.( f(a ( f(a adcă,( b f(a deducem că A A (). Aalog cu (). (). Deoarece petru orce k I, I A A k, coform cu () deducem că f A f( A ) I I k ş cum k este oarecare deducem că I f IA I f( A). I I (v). Egaltatea cerută rezultă medat d echvaleţele : b f U A exstă a UA a.î. b=f(a) exstă 0 I a.î. a A 0 ş I I b=f(a) exstă 0 I a.î. b f( f. A ) b U ( A ) 0 (v). Totul rezultă d echvaleţele a f IB j j J f(a) I B J petru orce j J, f(a) B j petru orce j J, a f - (B j ) j J I f a ( B ) j J j. (v). Aalog cu (v). Defţa 3.5. Despre o fucţe f:a B vom spue că este: ( f(a) f(a a a a A, ) jectvă, dacă petru orce a, ( a=a ( f(a)=f(a (echvalet cu ) surjectvă, dacă petru orce b B, exstă a A a.î. b=f(a) ) bjectvă, dacă este smulta jectvă ş surjectvă. Dacă f :A B este bjectvă, fucţa f - :B A deftă pr echvaleţa f - (b)=a b=f(a) (b B ş a A) poartă umele de versa lu f. I

31 Se verfcă medat că f - f= A ş f f - = B. Propozţa 3.6. Fe f :A B ş g :B C două fucţ () Dacă f ş g sut jectve (surjectve; bjectve) atuc g f este jectvă (surjectvă, bjectvă ; î acest ultm caz (g f) - =f - g - ) () Dacă g f este jectvă (surjectvă, bjectvă) atuc f este jectvă, (g este surjectvă; f este jectvă ş g este surjectvă). Demostraţe.(). Fe a, a A a.î..( g f)(a)=(g f)(a ) Atuc (( g(f(a))=g(f(a ş cum g este jectvă deducem că ( f(a)=f(a ar cum ş f este jectvă deducem că, a=a adcă g f este jectvă. Să presupuem acum că f ş g sut surjectve ş fe c C; cum g este surjectvă, c=g(b) cu b B ş cum ş f este surjectvă b=f(a) cu a A astfel că c=g(b)=g(f(a))=(g f)(a), adcă g f este surjectvă. Dacă f ş g sut bjectve atuc faptul că g f este bjectvă rezultă medat d cele expuse ma sus. Petru a proba î acest caz egaltatea (g f) - = f - g -, fe c C. Avem că c=g(b) cu b B ş b=f(a) cu a A. Deoarece (g f)(a)=g(f(a))=g(b)=c deducem că (g f) - (c)=a= =f - (b)=f - (g - (c))=(f - g - )(c), adcă (g f) - =f - g -. (). Să presupuem că g f este jectvă ş fe a, a A a.î..( f(a)=f(a Atuc, a=a ( g f)(a)=(g f)(a ) (( g(f(a))=g(f(a adcă f este jectvă. Dacă g f este surjectvă, (g f)(a)=c g(f(a))=c, adcă g este surjecţe. petru c C, exstă a A a.î. Dacă g f este bjecţe atuc î partcular g f este jecţe ş surjecţe, dec coform celor de ma sus cu ecestate f este jecţe ar g surjecţe. Propozţa 3.7. Fe M ş N două mulţm ar f :M N o fucţe. Ître mulţmle P(M) ş P(N) se defesc fucţle 3

32 f * : P(M) P(N), f * : P(N) P(M) pr f * (A)=f(A), A P(M) ş f * (B)=f - (B), B P(N). Următoarele afrmaţ sut echvalete: () f este jectvă () f * este jectvă g=h () f * f * = P(M) (v) f * este surjectvă (v) f (A B)=f(A) f(b), A, B P(M) (v) f( M A) N f (A), A P(M) (v) Dacă g, h:l M sut două fucţ a.î. f g=f h, atuc (v) Exstă o fucţe g :N M a.î. g f= M. Demostraţe.Vom demostra echvaleţa afrmaţlor astfel () () () (v) (v) (v) (v) () ar apo () (v)..( f(a)=f(a ( A ) A P(M) a.î. f * (A)=f * () (). Fe A, Dacă x A, atuc ( f(x) f(a) f(x) f(a exstă A x a.î..( f(x)=f(x Cum f este jectvă, rezultă, A x=x adcă ; A A aalog A A, dec, A=A adcă f * este jectvă. () (). Petru A P(M) trebue demostrat că (f * f * )(A)=A f - (f (A))=A. Icluzuea A f - (f (A)) este valablă petru orce fucţe f. Petru cealaltă cluzue, dacă ({ x }) f(x)=f(x ) f * ({x})=f * x A a.î. x f - (f(a)) f(x) f(a) exstă {x}={x } x = x A, adcă f - (f ( A)) A. () (v). Deoarece f * f * = P(M), petru orce A P(M), f * (f * (A))=A, dec otâd B=f * (A) P(N) avem că f * (B)=A, adcă f * este surjectvă. (v) (v). Fe A, B P(M) ş, A B P(N) a.î. A=f ( A ) ş.(( B A (B ))=f(f - ( Atuc f(a B)=f(f - (A) f -.( B ) B=f.( B A ) (B )) f(f - (A )) f(f - Să arătăm că f(f - 3

33 (( B ) ş y f(f - (( A ) (B )) y f(f - (A )) f(f - Dacă y f(f -.( f(x =( y=f(x a.î. ( B ) f x - ş ( A ) x f - exstă Cum x f - ( A ) ş f x - ( B ) A ( f(x ş, B ( f(x dec.(( B A ) adcă y f(f -,( B A ) y=f(x ) x f - Deoarece. B y A Astfel, f(a B) f(a) f(b) ş cum cluzuea f(a B) f(a) f(b) este adevărată petru orce fucţe deducem că f (A B)=f(A) f(b). (v) (v). Petru A P(M) avem f(a) f( M A)=f(A M A)=f( )=, dec f( M A) N f (A). (v) (v). Fe g, h : L M două fucţ a.î. f g=f h ş să presupuem pr absurd că exstă x L a.î. g(x) h(x), adcă g(x) M {h(x)}; atuc f(g(x)) f( M {h(x)}) N f(h({x}))= N {f(h(x))} dec f(g(x)) f(h(x)) (f g)(x) (f h)(x) f g f h, ceea ce este absurd. (v) (). Fe x, x M a.î. ( f(x)=f(x ş să presupuem pr absurd că. x x Notâd L={x, { x ş defd g, h : L M, g(x)=x,, x =( g(x, h(x)=x h(x )=x, atuc g h ş totuş f g=f h, ceea ce este absurd. () (v). Defd g:n M, g(y)=x dacă y=f(x) cu x M ş y 0 dacă y f(m), atuc datortă jectvtăţ lu f, g este deftă corect ş evdet g f= M. (v) (). Dacă x, x M ş,( f(x)=f(x atuc, x=x (( g(f(x))=g(f(x adcă f este jectvă. Propozţa 3.8. Cu otaţle de la propozţa precedetă, următoarele afrmaţ sut echvalete: () f este surjectvă () f * este surjectvă () f * f * = P(N) (v) f * este jectvă (v) f( M A) N f(a), A P(M) 33

34 g=h (v) Dacă g, h:n P sut două fucţ a.î. g f=h f, atuc (v) Exstă o fucţe g:n M a.î. f g= N. Demostraţe.Vom demostra echvaleţa afrmaţlor astfel: () () () (v) (v) (v) () ar apo () (v). () (). Fe B P(N) ş y B ; atuc exstă x y M a.î. f(x y )=y. Notâd A={x y y B} M avem că f (A)=B f * (A)=B. () (). Avem de demostrat că petru orce B P(N), f (f - (B))=B. Icluzuea f (f - (B)) B este valablă petru orce fucţe f. Fe acum y B; cum f * este surjectvă, exstă A M a.î. f * (A)={y} f(a)={y}, dec exstă x A a.î. y=f(x) ş deoarece y B x f - (B) y=f(x) f(f (B)), de ude ş cluzuea B f(f (B)). () (v). Dacă B, B P(N) ş f * (B )=f * (B ), atuc f * (f * (B ))=f * (f * (B )) P(N) (B )= P(N) (B ) B =B, adcă f * este jectvă. (v) (v). Fe A M ; a arăta că f( M A) N f (A), reve la f( M A) f(a)=n f( M A A)=N f(m)=n. Să presupuem pr absurd că exstă y 0 N a.î. petru orce x M, f(x) y 0, adcă f - ({y 0 })= f * ({y 0 })=. Deoarece ş f * ( )= f * ({y 0 })=f * ( ) ar petru că f * este presupusă jectvă ar rezulta că {y 0 }=, ceea ce este absurd. (v) (v). Î partcular, petru A=M ar trebu să avem f( M M) N f (M) f( ) N f (M) N f (M) f(m)=n. Dacă g, h:n P sut două fucţ a.î. g f=h f, atuc petru orce y N, exstă x M a.î. f(x)=y (căc f (M)=N) ş astfel g(y)=g(f(x))=(g f)(x)=(h f)(x)=h(f(x)) = h(y), adcă g=h. 34

35 (v) (). Presupuem pr absurd că exstă y 0 N a.î. f(x) y 0, petru orce x M. Defm g, h : N {0, } astfel : g(y)=0, petru orce 0 petru y N { y0} y N ş h ( y) = petru y = y0 Evdet g h ş totuş g f=h f, ceea ce este absurd, dec f este surjectvă. () (v). Petru fecare y N alegâd câte u sgur x y f - ({y}), obţem astfel o fucţe g : N M, g(y)=x y, petru orce y N, ce verfcă î mod evdet relaţa f g= N. (v) (). Petru y N, scrd că f(g(y))=y, rezultă y=f(x), cu x=g(y) M, adcă f este surjectvă. D propozţle precedete obţem medat: Corolarul 3.9. Cu otaţle de la Propozţa 3.7., următoarele afrmaţ sut echvalete: () f este bjectvă () f( M A)= N f(a), A P(M) () f * ş f * sut bjectve (v) Exstă o fucţe g:n M a.î. f g= N ş g f= M. Propozţa 3.0. Fe M o mulţme ftă ş f:m M o fucţe. Următoarele afrmaţ sut echvalete: () f este jectvă () f este surjectvă () f este bjectvă. Demostraţe. Vom demostra următoarele mplcaţ: () () () (). () (). Dacă f este jectvă, atuc f(m) ş M au acelaş umăr de elemete ş cum f (M) M rezultă că f (M)=M, adcă f este ş surjectvă. 35

36 () (). Dacă f este surjectvă, atuc petru orce elemet y M va exsta u uc elemet x y M a.î. f(x y )=y (căc î caz cotrar ar rezulta cotradcţa că M ar avea ma multe elemete decât M), adcă f este ş jectvă. () (). Evdet. Propozţa 3.. Fe M ş N două mulţm avâd m, respectv elemete. Atuc: () Numărul fucţlor defte pe M cu valor î N este egal cu m () Dacă m=, atuc umărul fucţlor bjectve de la M la N este egal cu m! () Dacă m, atuc umărul fucţlor jectve de la M m la N este egal cu A (v) Dacă m, atuc umărul fucţlor surjectve de la M m m m la N este egal cu C ( ) + C ( )... + ( ) C. Demostraţe.(). Facem ducţe matematcă după m; dacă m=, mulţmea M va avea u sgur elemet ş este clar că vom avea = fucţ de la M la N. Presupuem afrmaţa adevărată petru mulţmle M ce au cel mult m- elemete. 36 Dacă M este o mulţme cu elemete, putem scre M=M {x 0 }, cu x 0 M ar M submulţme a lu M cu m- elemete. Petru orce y N ş g : M N fucţe, cosderâd f g, y : M N, f g, y (x)=g(x) dacă x M ş y dacă x=x 0, deducem că orcăre fucţ g: M N î putem asoca fucţ dstcte de la M la N ale căror restrcţ la M sut egale cu g. Aplcâd poteza de ducţe petru fucţle de la M la N, deducem că de la M la N se pot def m- = m fucţ. (). Facem ducţe matematcă după m; dacă m =, mulţmle M ş N vor avea câte u sgur elemet ş vom avea o sgură fucţe bjectvă de la M la N. N ş M Presupuem afrmaţa adevărată petru toate mulţmle ambele avâd cel mult m- elemete ş fe M ş N mulţm avâd fecare

37 câte m elemete. Scrd M=M {x 0 }, cu x 0 M ar M submulţme a lu M cu m- elemete, atuc orce fucţe bjectvă f:m N este perfect determată de valoarea f(x 0 ) N precum ş de o fucţe bjectvă, N g:m ude N =N \ {f (x 0 )}. Deoarece pe f (x 0 ) îl putem alege î m modur ar pe g î (m-)! modur (coform poteze de ducţe) deducem că de la M la N putem def (m-)!. m =m! fucţ bjectve. pe (). Dacă f:m N este jectvă, atuc luâd drept codomeu f(m) N, deducem că f determă o fucţe bjectvă f :M f(m), f (x)=f(x), petru orce x M, ar f(m) are m elemete. Recproc, dacă vom alege î N o parte N a sa cu m elemete, atuc putem stabl m! fucţ bjectve de la M la N (coform cu ()). Cum umărul submulţmlor N ale lu N care au m elemete este egal cu, rezultă că putem costru m!. m C m = A fucţ jectve de la M la N. (v). Să cosderăm M={x, x,...,x m }, N={y, y,...,y } ar M mulţmea fucţlor de la M la N a.î. y u este magea c uu elemet d M, =,,...,. Astfel, dacă otăm pr mulţmea fucţlor surjectve mulţm M M..... M d avem egaltăţle (): S m = F < j< k m M U = I M M j = I M m k U = m C F m mulţmea fucţlor de la M la N, S m de la M la N va f complemetara M F m, dec coform Propozţe.7. = m = M < j ( ) M IM I... I M M M j Deoarece M este de fapt mulţmea fucţlor defte pe M cu valor î N \ {y }, M M j este mulţmea fucţlor defte pe M cu valor î N \ {y, y j }..., etc, coform puctulu () avem că: () M =(-) m, M M j =(-) m,..., etc, ( M M... M =0, deoarece M M... M = ). 37

38 Deoarece sumele ce apar î () au, respectv, C, C,..., teme egal, ţâd cot de acest lucru ş de (), relaţa () deve: C S m = m m m C ( ) + C ( )... + ( ) C. Petru o mulţme evdă M ş A P(M) defm φ A : M {0,}, 0 daca x A φ A (x)= daca x A petru orce x M. Fucţa φ A poartă umele de fucţa caracterstcă a mulţm A. Propozţa 3.. Dacă A, B P(M), atuc: () A=B φ A =φ B () φ =0, φ M = () φ A B =φ A φ B, φ A =φ A (v) φ A B =φ A +φ B - φ A φ B (v) φ A \ B =φ A - φ A φ B, ϕ C M A =-φ A (v) φ A Δ B =φ A +φ B - φ A φ B. Demostraţe. ().,,. Evdetă.,,. Presupuem că φ A =φ B ş fe x A; atuc φ A (x)= =φ B (x)=, dec x B, adcă A B. Aalog B A, de ude A=B. (). Evdet. (). Petru x M putem avea următoarele stuaţ: (x A, x B) sau (x A, x B) sau (x A, x B) sau (x A, x B). Î fecare stuaţe î parte se verfcă medat relaţa φ A B (x)=φ A (x)φ B (x). Cum A A=A φ A =φ A φ A =φ A. (v), (v). Asemăător cu (). (v). Avem φ A B =φ ( A \ B ) ( B \ A ) =φ A \ B + φ B \ A -φ A \ B φ B \ A = 38

39 =φ A - φ A φ B +φ B - φ B φ A φ (A \ B ) ( B \ A )= φ A +φ B -φ A φ B deoarece (A \ B ) (B \ A )=. Fe M o mulţme oarecare ar ρ Echv (M). Fucţa p ρ,m : M M / ρ deftă pr p ρ,m (x)=[x] ρ petru orce x M este surjectvă ş poartă umele de surjecţa caocă. Propozţa 3.3. Fe M ş N două mulţm pe care s-au deft relaţle de echvaleţă ρ, respectv ρʹ ş f : M N o fucţe avâd propretatea: (x, y) ρ ( f(x), f(y)) ρʹ, x, y M. Atuc exstă o sgură fucţe f : M/ρ N/ρ a. î. dagrama: f M N p M,ρ p N,ρʹ M/ρ f N/ρ este comutatvă (adcă p N, ρʹ f= f p M, ρ, ude p M, ρ, p N, ρ, sut surjecţle caoce). Demostraţe. Petru x M, vom ota pr [x] ρ clasa de echvaleţă a lu x modulo relaţa ρ. Petru x M, defm: f ([x] ρ )=[f(x)] ρ. Dacă x, y M a.î. [x] ρ =[y] ρ (x, y) ρ [f (x), f (y)] ρʹ (d euţ) [f (x)] ρʹ=[f (y)] ρʹ, adcă f este corect deftă. Dacă x M, atuc ( f p M, ρ )(x)= f (p M, ρ (x)) = = f ([x] ρ )=[f[x]] ρʹ =p N, ρʹ (f (x))= (p N, ρʹ f)(x), adcă p N, ρʹ f= f p M, ρ. Petru a demostra uctatea lu f, să presupuem că ar ma exsta o fucţe f ʹ: M / ρ N / ρ a.î. p N, ρʹ f= f ʹ p M, ρ, ş fe x M. Atuc f ʹ([x] ρ )= f ʹ(p M, ρ (x))=( f ʹ p M, ρ )(x)=(p N, ρʹ f)(x) = =p N, ρʹ (f(x)) = [f (x)] ρʹ = f ʹ([x] ρ ), de ude deducem că f = f 39 ʹ.

40 Propozţa 3.4. Fe M ş N două mulţm ar f :M N o fucţe ; otăm pr ρ f relaţa bară de pe M deftă astfel: f ( x, y ) ρ f f(x)=f(y) (x, y M). Atuc: () ρ f este relaţe de echvaleţă pe M () Exstă o ucă fucţe bjectvă f : M / ρ f Im ( f ) a.î. pm, ρ =f, :Im ( f ) N fd cluzuea. F Demostraţe. (). Evdetă (relaţa de egaltate fd o echvaleţă pe M). (). Păstrâd otaţa claselor de echvaleţă de la Propozţa 3.3., petru x M defm f ([ x] ρ ) =f(x). Fucţa f este corect deftă căc dacă x, y M ş [ x] f f [ y] ρ f ρ = (x, y) ρ f f(x)=f(y) (de ac rezultă medat ş jectvtatea lu f ). Cum f este î mod evdet ş surjectvă, deducem că f este bjectvă. Petru a proba uctatea lu f, fe f : M /ρ f Im (f ) o altă fucţe bjectvă a.î. f pm, ρ =f ş x M. Atuc, ( f F pm, ρ )(x)=f(x) f ([ x] ρ ) =f(x) f ([ x] ρ ) =f(x)= f ([ x] ρ ), adcă f = f. f f f F Propozţa 3.5. Fe M o mulţme ftă cu m elemete. Atuc umărul N m, k al relaţlor de echvaleţă ce pot f defte pe M a.î. mulţmea cât să abă k elemete ( k m ) este dat de formula: N k k [ C ] m m m ( k! ) k C ( k ) + C ( k )... + ( ) = m, k k k Dec umărul relaţlor de echvaleţă ce pot f defte pe mulţmea M este dat de formula N=N m, +N m, +...+N m, m. Demostraţe. Dacă ρ este o relaţe de echvaleţă, ρ Echv (M), atuc avem surjecţa caocă p M, ρ : M M / ρ. 40 k.

41 Dacă î geeral, f : M N este o fucţe surjectvă, atuc cum am stablt î cazul Propozţe 3.4., aceasta dă aştere la următoarea relaţe de echvaleţă de pe M : (x, y) ρ f f(x)=f(y). Ma mult, dacă g : N Nʹ este o fucţe bjectvă atuc relaţle ρ f ş ρ g f cocd căc (x,y) ρ g f (g f)(x)=(g f)(y) g(f(x))=g(f(y)) f(x)=f(y) (x, y) ρ f. Dec, dacă N are k elemete, atuc k! fucţ surjectve de la M la N vor determa aceaş relaţe de echvaleţă pe M. Luâd î partcular N=M/ρ ş ţâd cot de Propozţa 3.. deducem că N k k [ k k C k ] m m m ( k! ) k C ( k ) + C ( k )... + ( ) m, k = 4. Propozţa 3.6. Fe M o mulţme evdă. Atuc fucţa care asocază ue relaţ de echvaleţă defte pe M partţa lu M dată de relaţa de echvaleţă este bjectvă. Demostraţe. Fe Part (M) mulţmea partţlor lu M. Vom ota pr f : Echv (M) Part (M) fucţa ce asocază fecăre relaţ de echvaleţă ρ de pe M, partţa lu M dată de clasele de echvaleţă modulo ρ: f(ρ)={[x] ρ x M }. Defm g : Part (M) Echv (M) astfel : dacă P=(M ) I este o partţe a lu M, defm relaţa g(p) pe M astfel : (x, y ) g(p) exstă I a.î. x, y M. Reflexvtatea ş smetra lu g(p) sut medate. Fe acum (x, y), (y, z) g(p). Exstă dec, I a. î. x, y M ş y, z M ; dacă ar rezulta că M IM (căc ar coţe pe y), ceea ce este absurd. Dec = = ş astfel x, z M, adcă (x, z) g(p) de ude cocluza că g (P) este ş traztvă, dec g(p) Echv (M), fucţa g fd astfel corect deftă. Să arătăm că dacă x M, atuc clasa de echvaleţă x modulo g (P) este egală cu M. Îtr-adevăr, y M (x, y) g(p) y x M = x.

42 bjectvă. Deducem astfel că g este de fapt versa lu f, adcă f este Sutem acum î măsură să facem aumte preczăr legate de mulţmea umerelor aturale. Defţa 3.7. Numm trplet Peao u trplet ( N, 0, s ) ude N este o mulţme evdă, 0 N ar s:n N este o fucţe astfel îcât sut verfcate axomele : P : 0 s( N ) P : s este o fucţe jectvă P 3 : dacă P N este o submulţme astfel îcât 0 P ş ( P s() P ), atuc P=N. Î cele ce urmează, acceptăm ca axomă exsteţa uu trplet Peao (cttorulu dorc de aprofudarea aceste chestu î recomadăm lucrarea [6] ). N={0} s(n). Lema 3.8. Dacă ( N, 0, s ) este u trplet Peao, atuc Demostraţe Dacă otăm P={0} s(n), atuc P N ş cum P verfcă P 3, deducem că P=N. Teorema 3.9. Fe ( N, 0, s ) u trplet Peao ar ( Nʹ, 0ʹ, s ʹ ) u alt trplet format dtr-o mulţme evdă Nʹ, u elemet 0ʹ Nʹ ş o fucţe sʹ:nʹ Nʹ. Atuc : () Exstă o ucă fucţe f:n Nʹ astfel îcât f(0) = 0ʹ, ar dagrama 4

43 N f Nʹ s sʹ N f Nʹ este comutatvă (adcă f s = sʹ f ) () Dacă ( Nʹ, 0ʹ, sʹ) este u trplet Peao, atuc f este bjecţe. Demostraţe (). Petru a proba exsteţa lu f, vom cosdera toate relaţle R N Nʹ a.î. : r : (0, 0ʹ) R r : Dacă (, ʹ) R, atuc (s(), sʹ(ʹ)) R ar pr R 0 vom ota tersecţa acestor relaţ. Vom demostra că R 0 este o relaţe fucţoală ş astfel f va f fucţa ce va avea drept grafc pe R 0 (astfel, d (0, 0ʹ) R 0 vom deduce că f (0)=0ʹ ar dacă N ş f ()=ʹ Nʹ, (, ʹ) R 0, dec (s(), sʹ(ʹ)) R 0, adcă, f(s())=sʹ(ʹ)=sʹ(f ()). Petru a demostra că R 0 este o relaţe fucţoală, vom demostra că petru orce N, exstă ʹ Nʹ a. î. (, ʹ) R 0 ar dacă petru N ş ʹ, ʹʹ Nʹ avem (, ʹ) R 0 ş (, ʹʹ) R 0, atuc ʹ= ʹʹ. Petru prma parte, fe P={ N exstă ʹ Nʹ a. î. (, ʹ) R 0 } N. Cum (0, 0ʹ) R 0 deducem că 0 P. Fe acum P ş ʹ Nʹ a.î. (, ʹ) R 0. D defţa lu R 0 deducem că (s(), sʹ(ʹ)) R 0 ; obţem că s() P ş cum (N, 0, s) este trplet Peao, deducem că P=N. Petru a doua parte, fe 43

44 Q={ N : dacă ʹ, ʹʹ N ʹ ş (, ʹ), (, ʹʹ) R 0 ʹ= ʹʹ} N ş să demostrăm la îceput că 0 Q. Î acest ses, vom demostra că dacă (0, ʹ) R 0 atuc ʹ=0ʹ. Dacă pr absurd, ʹ 0ʹ, atuc vom cosdera relaţa R =R 0 {(0, ʹ)} N Nʹ. D ʹ 0ʹ deducem că (0, 0ʹ) R 44 ar dacă petru m Nʹ avem (, m) R, atuc (, m) R 0 ş (, m) (0, ʹ). Astfel (s(), sʹ(m)) R 0 ş cum (s(), sʹ(m)) (0, ʹ) (căc s() 0 coform cu P ), deducem că (s(), sʹ(m)) R. Cum R verfcă r ş r ar trebu ca R 0 R absurd (căc R este clusă strct î R 0 ). Petru a proba că 0 Q, fe ʹ, ʹʹ Nʹ a. î. (0, ʹ), (0, ʹʹ) R 0. Atuc, ţâd cot de cele stablte ma sus, deducem că ʹ=ʹʹ=0ʹ, dec 0 Q. dacă Fe acum Q ş ʹ N ʹ a. î. (, ʹ) R 0 ; vom demostra că (s(), ʹʹ) R 0, atuc ʹʹ=sʹ(ʹ). Să presupuem pr absurd că ʹʹ sʹ(ʹ) ş să cosderăm relaţa R =R 0 {(s (), ʹʹ)}. Vom demostra că R verfcă r ş r. Îtr adevăr, (0, 0ʹ) R ( căc 0 s() ) ar dacă (p, pʹ) R, atuc (p, pʹ) R 0 ş (p, pʹ) ( s(), ʹʹ). Deducem că (s(p), sʹ(pʹ)) R 0 ş dacă presupuem (s(p), sʹ(pʹ))= =(s(), ʹʹ), atuc s(p) =s(), dec p=. De asemeea, sʹ(pʹ)=ʹʹ. Atuc (, ʹ) R 0 ş (, pʹ) R 0 ar cum Q ʹ=pʹ, dec ʹʹ=sʹ(pʹ)=sʹ(ʹ), ceea ce cotrazce faptul că ʹʹ s(ʹ). Pr urmare, (s(p), sʹ(pʹ)) (s(), ʹʹ), ceea ce e arată că (s(p), sʹ(pʹ)) R, adcă R satsface r ş r. D ou ar trebu ca R 0 R absurd!. Dec (s (), ʹʹ) R 0 ʹʹ=sʹ(ʹ) astfel că dacă r, s N ʹ ş (s(), r), (s(), s ) R 0, atuc r = s = sʹ(), adcă s() Q, dec Q=N. Petru a proba uctatea lu f, să presupuem că ma exstă fʹ:n Nʹ a.î. fʹ(0)=0ʹ ş sʹ(fʹ())=fʹ(s()) petru orce N.

45 Cosderâd P={ N f()=fʹ()} N, atuc 0 P ar dacă P (adcă f()=fʹ()), atuc sʹ(f())=sʹ(fʹ()) f(s())= =fʹ(s()) s() P ş atuc P=N, adcă f=fʹ. (). Să arătăm la îceput că f este jectvă. Petru aceasta vom cosdera P={ N dacă m N ş f(m)=f() m=} N ş să demostrăm la îceput că 0 P. Petru aceasta fe m N a. î. f(0)=f(m) ş să demostrăm că m=0. Dacă pr absurd m 0, atuc m=s() cu N ar egaltatea f(m)=f(0) deve f(s())=f(0)=0ʹ, de ude sʹ(f())=0ʹ, ceea ce este absurd deoarece pr poteză (Nʹ, 0ʹ, sʹ) este u trplet Peao. Fe acum P; petru a demostra că s() P, fe m N a.î. f(m)=f(s()). Atuc m 0 (căc î caz cotrar ar rezulta că 0ʹ=f(0)=f(s())=sʹ(f()), absurd!), dec coform Leme 3.8., m=s(p) cu p N ar egaltatea f(m)=f(s()) deve f(s(p))=f(s()) sʹ(f(p))=sʹ(f()), adcă f(p)=f() ş cum P, atuc =p ş astfel m=s(p)=s(). Petru a demostra surjectvtatea lu f să cosderăm Pʹ={ʹ Nʹ exstă N a. î. ʹ=f ()} Nʹ. Cum f(0)=0ʹ deducem că 0ʹ Pʹ. Fe acum ʹ Pʹ ; atuc exstă N a.î. ʹ=f (). Deoarece sʹ(ʹ)=sʹ(f())=f(s()), deducem că sʹ(ʹ) Pʹ ş cum trpletul (Nʹ, 0ʹ, sʹ) este u trplet Peao, deducem că Pʹ=Nʹ, adcă f este ş surjectvă, dec bjectvă. Observaţa 3.0. Coform Teoreme 3.9. (cuoscută ş sub umele de teorema de recureţă ) u trplet Peao este uc pâă la o bjecţe. Î cele ce urmează vom alege u trplet Peao oarecare (N, 0, s) pe care îl vom fxa ; elemetele lu N le vom um umere aturale. Elemetul 0 va purta umele de zero. Vom ota =s(0), =s(), 3=s(), e.t.c., astfel că N={0,,, }. Fucţa s poartă umele de fucţa succesor. Axomele P P 3 sut 45

46 cuoscute sub umele de axomele lu Peao (axoma P 3 poartă umele de axoma ducţe matematce). Pe parcursul aceste lucrăr vom costru pord de la o mulţme N a umerelor aturale mulţmle umerelor îtreg Z, raţoale Q, reale R ş complexe C, rezultâd astfel rolul fudametal pe care îl joacă î matematcă mulţmea umerelor aturale. 4.Nucleul ş coucleul ue perech de fucţ Defţa 4.. Fe f, g : A B o pereche de fucţ. O pereche (K, ) formată dtr-o mulţme K ş o fucţe : K A se umeşte ucleul perech (f, g) dacă sut verfcate următoarele două codţ: () f =g () Petru orcare alt dublet, K ) ( cu K mulţme ş. u= K K a. î. exstă o ucă fucţe u : g = f :K A a.î. Teorema 4.. Petru orce pereche de fucţ f, g : A B exstă u ucleu al perech (f, g) uc pâă la o bjecţe (uctatea îseamă că dacă (K, ) ş, K ) ( sut două uclee petru perchea (f, g) atuc exstă o bjecţe u : K K a.î. u= ). Demostraţe. Să probăm la îceput exsteţa ucleulu ş petru aceasta fe K={x A f(x)=g(x)} ar : K A cluzuea (K put`d f char ). Î mod evdet f =g. Fe acum, K ) ( cu : K A a. î.. g = f Petru, a K cum f ( (a))=g ( (a)) deducem că (a) K. Defm atuc u:k K pr u(a)= (a), petru orce a K ş este clar. u= că Dacă u :K K este o altă fucţe a.î., = u atuc petru. u=u u (a)= (a)=u(a), adcă (u (a))=u(a), de ude avem a K 46

47 Să probăm acum uctatea ucleulu ar petru aceasta fe (K, ) ş, K ) ( două uclee petru perchea (f, g). Cum, K ) ( este ucleul perech (f, g) deducem exsteţa ue fucţ u:k K a.î. u=. Cum ş (K, ) este ucleul perech (f, g) deducem exsteţa. = u u :K K a.î. ue fucţ Deducem medat că =( u u ) ş (u u)=. Cum ş K = ş K =, ţâd cot de uctatea d Defţa 4.., deducem că = u u K ş u u= K, adcă u este bjecţe ş u=. Observaţa 4.3. Vom ota ( K, ) = Ker (f, g) (ar dacă u este percol de cofuze doar K=Ker (f, g)). Defţa 4.4. Fd dată o pereche de fucţ f, g :A B umm coucleu al perch (f, g) pereche (P, p) formată dtr-o mulţme P ş o fucţe p:b P ce verfcă următoarele două codţ : () () B P : p. v p=p p f=p g Petru orcare alt dublet (P, ( p cu P mulţme ş a. î. p f= p g, exstă o ucă fucţe v :P P a.î. Teorema 4.5. Petru orce pereche de fucţ f, g : A B exstă u coucleu al perech ( f, g ) uc pâă la o bjecţe (uctatea îseamă că dacă (P, p) ş (P, ( p sut două couclee ). v p=p a.î. petru perchea (f, g), atuc exstă o bjecţe v:p P Demostraţe. Vom proba doar exsteţa coucleulu perech (f, g) deoarece uctatea sa se probează aalog cu uctatea ucleulu. Petru aceasta fe ρ={(f(x), g(x)) x A } (care este o relaţe bară pe B) ar <ρ> relaţa de echvaleţă de pe B geerată de ρ (a căre costrucţe este descrsă î Teorema..). Să arătăm că perechea ( B / <ρ>, p <ρ>, B ) este u coucleu al perech (f, g). Deoarece petru 47

48 orce x A avem (f(x), g(x)) ρ <ρ> deducem că (f(x), g(x)) <ρ> adcă, p <ρ>, B (f (x))=p <ρ>, B (g(x)), dec p <ρ>, B f=p <ρ>, B g. Fe acum, B ) ( p cu B mulţme ş B B : p a.î. p f=p g. Atuc petru orce x A, p (f(x))=p (g(x)), adcă (f(x), g(x)) ρ p (vez Propozţa 3.4.), dec ρ ρ p. Cum ρ p este relaţe de echvaleţă pe B ar <ρ> este cea ma mcă relaţe de echvaleţă de pe B ce coţe pe ρ deducem că <ρ> ρ p. Coform Propozţe 3.3. exstă o fucţe α : B/<ρ> B/ρ P a.î. α p <ρ>, B = ρ.fe β:b/ρ P Im(p ) bjecţa a căre exsteţă e este p p, B asgurată de Propozţa Avem că pʹ=ʹ β ʹ: Im (pʹ) Bʹ este cluzuea. p p, B Dacă otăm v=ʹ β α, atuc v p ρ, =( β α) B p ρ, =( β) (α B p ρ, )=( β) B p p, B =ʹ (β p ρ, B )=pʹ. vʹ p, B p Dacă ma avem vʹ:b/<ρ> Bʹ a.î. vʹ ρ, ude ρ = p ρ, =pʹ, atuc B ρ = v p ρ, ş cum B p ρ, este surjecţe deducem că vʹ=v B (coform Propozţe 3.8.). Observaţa 4.6. Vom ota (B, p ρ, )=Coker (f, g) sau B (B=Coker (f, g) dacă u este percol de cofuze). 5. Mulţm ordoate. Semlatc. Latc. Defţa 5.. Prtr-o mulţme ordoată îţelegem u dublet (A, ) format dtr-o mulţme evdă A ş o relaţe bară pe A otată tradţoal pr " " care este reflexvă, atsmetrcă ş traztvă. Vom spue că " " este o orde pe A. Petru x, y A vom scre x < y dacă x y, x y. Dacă relaţa " " este doar reflexvă ş traztvă, vom spue despre ea că este o orde parţală sau că (A, ) este o mulţme parţal ordoată. 48