Sveučilište u Zagrebu. Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD. Senad Glojnarić-Porić. Zagreb, 2008.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sveučilište u Zagrebu. Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD. Senad Glojnarić-Porić. Zagreb, 2008."

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD Senad Glojnarić-Porić Zagreb, 2008.

2 Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD Mentor: prof. dr. sc. Mladen Šercer Senad Glojnarić-Porić Zagreb, 2008.

3 Izravno prešanje poli(etilen-tereftalata)

4 IZJAVA Izjavljujem da sam ovaj završni rad radio samostalno, uz korištenje navedene literature i konzultacija. Senad Glojnarić-Porić

5 SAŽETAK U radu je opisano izravno prešanje polimera, materijalna oporaba polimernih materijala, te navedena svojstva i primjena poli(etilen-tereftalata). U eksperimentalnom dijelu cilj je bio ispitati mehanička svojstva izradaka načinjenih izravnim prešanjem poli(etilen-tereftalata). Dobiveni otpresci nisu bili zadovoljavajuće kvalitete te se nisu mogli koristiti za mehanička ispitivanja.

6 SADRŽAJ BROJ STRANICE SADRŽAJ... POPIS SLIKA... POPIS TABLICA... I II II 1. UVOD IZRAVNO PREŠANJE RECIKLIRANJE MATERIJALNA OPORABA Klasifikacija recikliranja Oporaba homogenog otpada Sakupljanje otpada Razvrstavanje otpada Fizičko odvajanje Kemijsko odvajanje Granuliranje SVOJSTVA I PRIMJENA POLI(ETILEN-TEREFTALATA) Svojstva poli(etilen-tereftalata) Utjecaj kompatibilnosti EKSPERIMENTALNI DIO Izravno prešanje poli(etilen-tereftalata) Hlañenje Hlañenje na zraku Hlañenje vodom Zaključak ZAKLJUČAK LITERATURA I

7 POPIS SLIKA Slika 1.1. Strukturna formula poli(etilen-tereftalata)... 1 Slika 2.1. Načelo izravnog prešanja... 2 Slika 2.2. Etažna preša za izravno prešanje... 3 Slika 3.1. Znak za recikliranje... 6 Slika 3.2. Polumehanizirano odvajanje i razvrstavanje plastike... 7 Slika 3.4. Konvejer sa drobilicom bala... 8 Slika 3.5. Bubanj... 8 Slika 3.6. Negativno razvrstavanje... 9 Slika 3.7. Pozitivno razvrstavanje... 9 Slika 3.8. Pročišćavanje hidrociklonom: 1 - hidrociklon, 2 - priprema suspenzije, 3 pumpa Slika 3.9. Usitnjeni reciklirani PET Slika 4.1. Sinteza etilen-glikola i dikarboksilne kiseline Slika 4.2. Ambalaža postojanog oblika Slika 4.3. Dijagram svojstva sastav Slika 5.1. Etažna preša Belišće Slika 5.2. Reciklirani PET Slika 5.3. Metalni kalup Slika 5.4. Aluminijska folija u kalupu Slika 5.5. Otpresak hlañen na zraku Slika 5.6. Kalup hlañen vodom Slika 5.7. Otpresak hlañen vodom POPIS TABLICA Tablica 4.1. Svojstva PET-a II

8 1. UVOD Poli(etilen-tereftalat), PET, čija je strukturna formula prikazana na slici 1.1, polimerni je materijal iz skupine poliestera razvijen u SAD-u još godine. Početkom pedesetih godina prošloga stoljeća koristio se kao osnova za vrlo kvalitetna umjetna vlakna u tekstilnoj industriji. Razvoj kemijske industrije doveo je do šire primjene PET-a. Suvremeni je PET oplemenjeni poliester bitno poboljšanih svojstava. To je nelomljiv, žilav materijal, otporan na mehanička opterećenja, lagan, bez mirisa, neutralan glede utjecaja na okus (aromu), nepropustan za kisik i ugljične kiseline te postojan na djelovanje većine kemikalija. PET je i površinski čvrst materijal, postojan trošenju. Suvremeni se PET proizvodi iz nafte ili zemnoga plina te se gotovo isključivo sastoji iz ugljika i vodika. Iz 1,9 kg nafte proizvede se oko 1 kg PET-a. Donja je ogrjevna vrijednost koja se može energijski iskoristiti izgaranjem 23 MJ/kg.[1] Slika 1.1. Strukturna formula poli(etilen-tereftalata) [2] Poli(etilen-tereftalat) najviše se koristi u proizvodnji tekstila, raznih folija, te prehrambene ambalaže (najviše plastičnih boca). U svijetu je godine prerañeno ukupno 8,7 milijuna tona PET-a, a očekivani rast do samo za područje boca iz PET-a je 8 % godišnje. Zapadna je Europa godine preradila 3,23 milijuna tona PET-a, od čega se najveći dio preradi u ambalažu. Brojne prednosti PET-a razlog su njegova sve većeg korištenja i u Hrvatskoj i to prvenstveno kao ambalažnoga materijala.[1] Na temelju analiza procijenjena je ukupna godišnja količina od tona ambalažnoga otpada (to je godišnja količina od oko 68 kg/stanovnik).[1] Recikliranjem se ambalažni i drugi otpad može ponovo upotrijebiti. Recikliranje plastike je proces prerade odbačene i stare plastike u proizvod koji se može ponovno koristiti. Poli(etilen-tereftalat) reciklira se da bi se proizvela poliesterska vlakna, boce za pića, termo-izolacijske ploče.[3] 1

9 2. IZRAVNO PREŠANJE[4] To je ciklički postupak praoblikovanja. Polimer u obliku praha (duromeri), pripremka (duromeri i elastomeri) ili granulata (plastomeri) stavlja se u otvorenu, temperiranu kalupnu šupljinu. Slijedi zatvaranje kalupa. To omogućuje istodobno djelovanje tlaka i topline na prerañivanu tvar koja mora postići potrebnu smičnu viskoznost, nužnu radi postizavanja obličja kalupne šupljine. Tvorevina, otpresak, može očvrsnuti: polireakcijom i umreživanjem (duromeri), umreživanjem (elastomeri) ili hlañenjem (plastomeri) i time postaje podobnom za vañenje iz kalupne šupljine. Načelo izravnog prešanja duromernog pretpolimera prikazuje slika 2.1. Prije izravnog prešanja pretpolimer se mora pripremiti. Ta faza rada obuhvaća njegovo predgrijavanje, doziranje i punjenje kalupne šupljine. Predgrijavanje bitno olakšava preradu, predgrijani polimer bolje teče i lakše popunjava kalupnu šupljinu, potreban je niži tlak izravnog prešanja i kraće je vrijeme prešanja. Osim toga, tako se lakše uklanjaju vlaga i mogući drugi isparljivi i hlapljivi sastojci. Predgrijavati se može visokofrekventnim (dielektričnim) i infracrvenim predgrijavalicama ili posebnim pećima. Doziranje se provodi uglavnom automatski, a potrebna se količina pretpolimera može odmjeriti vaganjem ili volumetrijski. Slika 2.1. Načelo izravnog prešanja; a - početak praoblikovanja, b - završno praoblikovanje, 1 - žig, 2 - gnijezdo, 3 - duromerni pretpolimer, 4 - amorfna struktura duromernog pretpolimera, 5 - duromerni otpresak, 6 - umrežena struktura duromernog otpreska Na početku rada pri izravnom prešanju nasipni se prostor kalupne šupljine popuni odmjerenom količinom pretpolimera (slika 2.1 a), a zatim se kalup s pomoću preše (slika 2.2), zatvori. 2

10 Djelovanjem tlaka i uz istodobno zagrijavanje pretpolimer poprima oblik kalupne šupljine (slika 2.1 b). Otpresak uvijek ima odreñeni pretičak materijala, srh, koji valja odstraniti naknadnom obradom. Slika 2.2. Etažna preša za izravno prešanje Potrebna toplina dovodi se najčešće elektrootpornim zagrijavanjem kalupa izvana. Temperatura stijenke kalupne šupljine iznosi ºC, ovisno o vrsti prerañivanog pretpolimera. Uobičajeni su tlakovi izravnog prešanja N/mm 2. Kalupi mogu biti pomični, tj. mogu se vaditi iz preše, a mogu biti ugrañeni u gornji i donji nosač kalupa. 3

11 3. RECIKLIRANJE MATERIJALNA OPORABA Oporaba materijala znači ponovna upotreba materijala.[5] Postoji više vrsta oporaba: materijalna oporaba (recikliranje), energijska oporaba, kemijska oporaba, otopinska oporaba, biorazgradnja i dr. Materijalna je oporaba najpoznatiji oblik ponovne uporabe polimera i oko 80% plastomera može se oporabiti na taj način. Postupci materijalne oporabe (recikliranja) taljevinski su postupci pri kojima se plastični otpad oporabljuje te se od njega oblikuju nove tvorevine.[5] 3.1. Klasifikacija recikliranja[5] Materijalnu je oporabu moguće podijeliti na dva tipa: 1. primarno recikliranje čistoga plastičnog otpada radi ponovne prerade (npr. recikliranje otpada s proizvodne linije) 2. sekundarno recikliranje uporabljenih proizvoda radi dobivanja plastike (homogene ili heterogene) za ponovnu preradu. Primarno recikliranje podrazumijeva uporabu homogenog i čistog plastičnog otpada, tj. otpad s proizvodne linije ili otpad koji je bio regeneriran i iskorištavan takav ili dodan osnovnom polimeru. Glavne proizvodne poteškoće povezane s primarnim recikliranjem jesu: moguća termomehanička razgradnja zbog ponavljanja procesa eventualno onečišćenje nastalog otpada Tijekom procesa, temperatura, tlak i struktura polimera mogu povećati termomehaničku razgradnju, što može uzrokovati: varijacije u molekulnoj masi stvaranje oksidiranih sastojaka Sekundarnim recikliranjem može se reciklirati homogeni i heterogeni otpad. Kod homogenog otpada problemi su slični kao i kod primarnog recikliranja, s dodatkom razgradnje (obično fotooksidacije), kojoj je polimer izložen tijekom uporabe. Tako svojstva ovih recikliranih polimera ne ovise samo o polimeru nego i o njihovoj proizvodnoj prošlosti. Pri recikliranju heterogene plastike dodatni je problem inkompatibilnost različitih polimera prisutnih u otpadu. 4

12 3.2. Oporaba homogenog otpada Recikliranje PET ambalaže je primjer oporabe homogenog plastičnog otpada. Sastoji se od nekoliko koraka: sakupljanja, razvrstavanja, mljevenja, pranja, ekstrudiranja i tabletiranja.[5] Sakupljanje otpada Prva faza u sustavu recikliranja homogenog otpada je njegovo izdvojeno sakupljanje. Tu je često najveći problem osiguranje potrebne količine materijala tražene kvalitete u postojeća preradbena središta.[5] Razvijeno je nekoliko načina prikupljanja otpada iz kućanstva: 1. grañani dobrovoljno donose otpad na za to točno odreñena mjesta u svojim zajednicama (posebni kontejneri) 2. otkupni centri 3. trgovine (otkupljuju PET ambalažu) Polimeri široke potrošnje, najčešće ambalažni, kao PE (polietilen), PET (poli(etilen-tereftalat)) najčešće se recikliraju. U Hrvatskoj se povećala količina sakupljenog PET ambalažnog otpada odkad je na snazi povratna naknada od 0,50 kuna po komadu ambalaže. PE se još uvijek ne sakuplja u dovoljnoj mjeri te velika većina završava na deponijima. U mnogim zemljama svijeta, pa i Hrvatskoj, sakuplja se PET otpad. To je ambalažni otpad u obliku različitih boca za bezalkoholna pića, pivo i mliječne proizvode. Sakupljanje je organizirano na razne načine. Postoje posebni kontejneri za PET ambalažu i organizirani otkup takve ambalaže. U samom postupku sakupljanja PET ambalažnog otpada najviše sudjeluju sami potrošači. Na ambalaži postoji znak za recikliranje (slika 3.1). Broj 1 označava PET. 5

13 Slika 3.1. Znak za recikliranje [6] Takav otpad se umjesto na deponije odlaže u reciklažna dvorišta. Tamo se PET boce najčešće prešaju da bi zauzimale manje prostora te se baliraju (slika 3.2). Slika 3.2. Bale PET boca [5] Razvrstavanje otpada Postupak razvrstavanja kućnog otpada provodi se na mnogo različitih načina, od ručnog do automatiziranog. Pri ručnom razvrstavanju, npr. boca, one se nalaze na pokretnoj traci i odvajaju se ovisno o tome za što su služile (PET za bezalkoholna pića, PE za detergente, poli(vinil-klorid) za vodu, i sl.). Na slici 3.3 prikazano je polumehanizirano postrojenje za odvajanje i razvrstavanje plastike iz kućnog otpada. 6

14 PE-HD zeleni PET ručno odvajanje prozirni PET odvajanje plastike zeleno staklo smeñe staklo odvajanje stakla bijelo staklo odvajanje aluminija magnetno odvajanje OTPAD aluminijske konzerve čelične konzerve Slika 3.3. Polumehanizirano odvajanje i razvrstavanje plastike [5] Ambalažni otpad se mora očistiti od stakla, metala, tekstila, papira, drugih polimera (npr. polipropilen, PE) i drugih nečistoća koje su tamo dospjele tijekom sakupljanja otpada, a sada se nalaze u balama PET-a. Samo čisti PET se reciklira. Bale se konvejerom dovode do drobilice (slika 3.4) koja ih rastavi na pojedinačne boce. Zatim dolaze na poseban konvejer koji ima magnetske trake kako bi se odvojili feromagnetski metali. Konvejer ima i detektor metala za metale koji nisu feromagnetski (aluminij-limenka). 7

15 Slika 3.4. Konvejer sa drobilicom bala [7] Nakon toga konvejer šalje otpad u veliki metalni bubanj koji na stijenkama ima otvore. Bubanj (slika 3.5) rotira i izbacuje male krhotine stakla, PVC koji je postao lomljiv zbog izloženosti UV zračenju, kamenčiće itd. Bubanj takoñer odvaja boce koje drobilica bala nije uspjela odvojiti. Slika 3.5. Bubanj [7] Bubanj PET ambalažu dostavlja konvejeru za daljnje razvrstavanje. Razvrstavanje se sada vrši prema boji a odvajaju se i predmeti od drugih polimera (npr. PVC). Ovakvo ručno razvrstavanje pogodno je za manje kapacitete. Cilj razvrstavanja je dobiti PET ambalažu iste boje sa što manje nečistoća. Postoje dvije vrste ručnog razvrstavanja: negativno (slika 3.6) i pozitivno (slika 3.7). Kod negativnog razvrstavanja sa trake se miče otpad koji nije PET ili bojom ne odgovara, a ostali otpad odlazi konvejerom u granulator. 8

16 Slika 3.6. Negativno razvrstavanje [7] Kod pozitivnog razvrstavanja postoje dva konvejera. Sa prvog konvejera uzima se PET ambalaža i stavlja na konvejer za granulator. Otpad koji ostaje na prvom konvejeru odlazi na daljnje razvrstavanje. Ovo je bolji način razvrstavanja. Slika 3.7. Pozitivno razvrstavanje [7] Recikliranje miješanog plastičnog otpada je komplicirano, a najčešće i nemoguće, zbog meñusobne inkompatibilnosti sastojaka otpada. Za takve slučajeve razvijen je niz mogućnosti odvajanja, koji se daju podijeliti u dvije osnovne skupine: fizičko odvajanje i kemijsko odvajanje Fizičko odvajanje[5] Postupci fizičkog odvajanja su: prosijavanje, zračno odvajanje, balističke metode, elektrostatsko odvajanje, odvajanje na osnovi gustoće, plutanje, te hidrociklonsko odvajanje. 9

17 Za razdvajanje plastike od papira najčešće se primjenjuje razdvajanje na vrućem rotirajućem valjku na koji se plastika zalijepi i odvaja od papira, tekstila i metala. Najefikasniji suhi postupak odvajanja plastike i papira je elektromehanički postupak. Elektromehaničkim se postupkom usitnjena mješavina papira i plastike, transportira u bubanj koji je uzemljen. Smjesa plastike i papira dolazi u dodir s koronom koja nastaje izmeñu elektrode i uzemljenog bubnja. Za razdvajanje pojedinih polimera iz mješavine najčešće se primjenjuju postupci u taljevini. Materijal za razdvajanje je mješavina plastičnih materijala, a kao sredstvo za razdvajanje koristi se voda. Razdvajanje se provodi na osnovi razlike gustoće polimera u mješavini. Mješavina se plastičnih materijala bez miješanja stavi u posudu s vodom, pri čemu polietilen i polipropilen isplivaju na površinu, dok polistiren i poli(vinil-klorid) padaju na dno i s pomoću vodene otopine kalcij-klorida razdvajaju, dok se poliolefini razdvajaju vodenom otopinom alkohola. Ovi postupci daju dobre rezultate s eksperimentalnim mješavinama, dok stvarne mješavine sadrže i punila te razne aditive, tako da je razdvajanje na osnovi gustoće često nepouzdano. Posebno važan dio postrojenja za pročišćavanje polimera je hidrociklon. Odvajanje različitih čestica ili čišćenje provodi se u centrifugalnom polju. Unutarnji vrtlog hidrocilona služi za dobivanje lake, a vanjski za dobivanje teške frakcije. Slika 3.8 shematski prikazuje pročišćavanje hidrociklonom Slika 3.8. Pročišćavanje hidrociklonom: 1 - hidrociklon, 2 - priprema suspenzije, 3 pumpa 10

18 Kemijsko odvajanje[5] To su različiti postupci otapanja/taloženja. Posebni polimeri koji se otapaju u lužinama, filtriranjem i centrifugiranjem se izdvajaju iz otopine. Na kraju, polimer se istaloži iz otopine te se može ponovo iskoristiti Granuliranje[7] Granuliranje je postupak proizvodnje granulata polimera, materijala za ekstrudiranje. Granulat od recikliranog amblažnog PET-a proizvodi se od sortiranog otpada u granulatorima. To su strojevi koji sustavom noževa melju plastiku u granulat. Tijekom rada noževi sa ambalaže skidaju plastične ili papirnate naljepnice. Tako se dobije mješavina granulata PET-a, te sitni komadići papira ili polietilena koji se kasnije odvoje od granulata u protustruji zraka ili nekom drugom metodom pročišćavanja. Konačni produkt je granulat PET-a, te odreñeni mali udio nečistoća koji se nije uspio odvojiti u postupku. Ovisno o traženom stupnju čistoće granulata, koji ovisi o tome za koji proizvod će se upotrebljavati, vrši se i pranje i sušenje granulata. Prehrambena industrija zahtijeva visoku čistoću materijala za ambalažu, dok strojogradnja to ne zahtijeva. Slika 3.9 prikazuje usitnjeni reciklirani PET. Slika 3.9. Usitnjeni reciklirani PET [8] 11

19 4. SVOJSTVA I PRIMJENA POLI(ETILEN-TEREFTALATA) 4.1. Svojstva poli(etilen-tereftalata)[9] Poli(etilen-tereftalat) je linearni poliester koji pripada grupi linearnih plastomera. Linearni poliesteri su u pravilu tvrdi i žilavi konstrukcijski materijali postojanih dimenzija. Imaju dobra klizna, dugotrajna mehanička svojstva i dobre su kemijske postojanosti. Žilavi su do 40 C. Svjetska proizvodnja PET-a godine procijenjena je na 16, tona godišnje. Sintetizira se postupkom polikondenzacije etilen-glikola i tereftalne kiseline uz oslobañanje vode (slika 4.1). Sklon je kristaliziranju. Stupanj kristalizacije bitno utječe na mehanička svojstva PET-a. Slika 4.1. Sinteza etilen-glikola i dikarboksilne kiseline [2] PET se odlikuje izvanrednim mehaničkim svojstvima, malim upijanjem vode (0,02 %), dobrom postojanošću oblika i dimenzija i malim koeficijentom toplinske rastezljivosti. Ima visoku nepropusnost za plinove, postojanost prema atmosferalijama te sjajnu površinu. Može biti samogasiv. Relativno je tvrd i ima izvrsna tarna svojstva. Kemijska postojanost mu se povisuje porastom stupnja kristalnosti. Općenito se teško prerañuje zbog spore kristalizacije iz taljevine u čvrsto stanje. Amorfni PET ima bitno niža mehanička svojstva. U tablici 4.1. navedena su svojstva PET-a. Tablica 4.1. Svojstva PET-a[2,9] Gustoća ρ, kg/m Vlačna čvrstoća R m, N/mm 2 75 Vlačni modul elastičnosti E, N/mm Savojni modul elastičnosti E S, N/mm Prekidno istezanje ε p, % 70 Talište T m, C 265 Staklište T S, C 80 Upijanje vode 24h na 23 C, % 0,02 Upijanje vode 2h na 100 C, % 0,1 Temperatura omekšavanja (Vicat), C 261 Tvrdoća Rockwell(M) 106 Dielektrična konstanta ε p, Hz 3,

20 Primjenjuje se za ambalažu postojanog oblika (slika 4.2), sintetska vlakna, elemente strojeva (klizni ležaji, zupčanici, kotači, dijelovi crpki, zasuni), elektroindustrija (konektori, sklopke, kućišta osigurača), filmovi, audio/video vrpce, u medicini itd.[9] Slika 4.2. Ambalaža postojanog oblika [10] 13

21 4.2. Utjecaj kompatibilnosti na svojstva proizvoda[5] Problem kompatibilnosti je jedan od razloga zašto se plastični otpad razvrstava prilikom recikliranja. Činjenica je da je samo nekoliko polimernih parova kompatibilno. Kompatibilnost se može opisati pomoću krivulje svojstva sastav, gdje su svojstva uzeta kao makroskopske karakteristike, poput mehaničkih ili reoloških svojstava. Slika 4.3 prikazuje krivulje za parove koji su kompatibilni, djelomično kompatibilni ili inkompatibilni. Mehanička svojstva sinergistički efekt parcijalno kompatibilni Slika 4.3. Dijagram svojstva sastav Sinergistički efekt pojavljuje se samo u mješavinama s jakom interakcijom izmeñu dviju faza. Mješavina PE-HD/PET je vrlo kompatibilna. To znači da se mješavinom odbačenih polietilenskih vrećica i PET boca recikliranjem mogu dobiti proizvodi dobrih mehaničkih i drugih svojstava. inkompatibilni 100%B, 0%A Sastav 100%A, 0%B 14

22 5. EKSPERIMENTALNI DIO 5.1. Izravno prešanje poli(etilen-tereftalata) Svrha ovog ispitivanja bila je izraditi ploču iz PET-a postupkom izravnog prešanja. U ovom ispitivanju za izravno prešanje koristila se etažna preša Belišće (slika 5.1). Slika 5.1. Etažna preša Belišće Maksimalna temperatura etažne preše je 450 C, a maksimalni tlak je 600 bara. PET (slika 5.2) se prešao u metalnom kalupu (slika 5.3) koji se sastojao od gornje i donje metalne ploče i metalnog okvira koji se nalazi izmeñu njih. Polimer i kalup bili su odijeljeni aluminijskom folijom (slika 5.4) kako ne bi došlo do ljepljenja polimera za kalup. 15

23 Slika 5.2. PET Slika 5.3. Metalni kalup Slika 5.4. Aluminijska folija u kalupu 16

24 Parametri postupka izravnog prešanja poli(etilen-tereftalata) su slijedeći: Temperatura ploča: 265 C Tlak prešanja: 100 bara Vrijeme pritiska: 2 min 30 s Masa materijala: 550 grama 5.2. Hlañenje Nakon prešanja, otpresci su hlañeni na dva načina: na zraku i vodom Hlañenje na zraku Hlañenjem na zraku ( 20 min) dobiven je otpresak bijele boje, neproziran, vrlo krhak i vrlo tvrd (slika 5.5). Otpresak je tijekom hlañenja popucao na više dijelova. Slika 5.5. Otpresak hlañen na zraku 17

25 Hlañenje vodom Hlañenje vodom ( 15 C) izvedeno je uranjanjem kalupa u vodu (slika 5.6). Hlañenje je u ovom slučaju mnogo brže. Slika 5.6. Kalup hlañen vodom U ovom slučaju otpresak je čvrst, nije krhak, nije potpuno neproziran (slika 5.7). Na površini otpreska ipak ima pukotina, ali ne i lomova čitavog otpreska. Slika 5.7. Otpresak hlañen vodom 18

26 5.3. Zaključak Kvaliteta oba otpreska nije zadovoljavajuća, premda je otpresak hlañen vodom mnogo bolje kvalitete. Razlog razlike izmeñu otpreska hlañenog na zraku i vodom je drugačija kristalizacija. Postoje dva važna parametra kod kristalizacije: nukleacija i brzina rasta kristala. Broj nukleusa je najveći pri temperaturi staklišta i opada sa porastom temperature, dok je brzina rasta kristala najveća na temperaturi taljenja i opada s padom temperature.[2] Kod hlañenja na zraku PET je kristalizirao na višim temperaturama, bliže temperaturi taljenja. To je dovelo do slabije nukleacije, ali brže kristalizacije. Rezultat je krupnozrnata mikrostruktura, velike krhkosti, potpuno neprozirna. Kod hlañenja vodom PET je kristalizirao na nižim temperaturama, bliže temperaturi staklišta. To je dovelo do veće nukleacije, ali i sporije kristalizacije. Rezultat je sitnozrnata mikrostruktura, znatno manje krhkosti, djelomično prozirna. PET se uglavnom koristi za tankostijene proizvode (npr. boce). Otpresak je bio debljine otprilike 4 milimetra. Debljina otpreska utječe na brzinu hlañenja, pa i tu treba tražiti razlog neuspjeha. Izravnim prešanjem PET se ne može kvalitetno preraditi, barem ne na jednostavan način. Najveća zapreka je potreba za kvalitetnim hlañenjem. Hlañenje mora biti kvalitetno izvedeno jer o njemu ovisi mikrostruktura otpreska. 19

27 6. ZAKLJUČAK Recikliranje materijala štiti okoliš. Materijali koji bi inače završili u okolišu ponovno se upotrebljavaju. Plastični materijali odbačeni u okoliš teško se razgrañuju i stoga onečišćuju okoliš u dugom vremenskom razdoblju. Potrošnja plastike za ambalažu je u porastu. Plastične boce, plastične vrećice, razne posudice, sve se koriste samo jednom, a kasnije postaju otpad. Količina takvog otpada je velika jer se radi o proizvodima široke potrošnje. Sakupljanjem plastičnog otpada i njegovim recikliranjem mogu se proizvesti nove plastične boce, vrećice i slična ambalaža. Od recikliranog poli(etilen-tereftalata) ne rade se samo nove plastične boce. Njegova upotreba je mnogo šira. Od PET-a se mogu izraditi: dijelovi za automobile, pokrivači, tepisi, sportski proizvodi. Poznate marke kao što su Reebok i Patagonia koriste reciklirani PET. Porastom svijesti o zaštiti okoliša, recikliranje kao gospodarska aktivnost će postati važan dio svakog gospodarstva, i omogućit će otvaranje novih radnih mjesta. 20

28 7. LITERATURA 1. Radović S., Milanović Z.: Razvoj odvojenoga sakupljanja i recikliranja ambalažnoga otpada od PET-a u Republici Hrvatskoj, Čistoća d.o.o., Zagreb, J.A.Brydson: Plastics Materials, 7th edition, Krstić G.: Recikliranje plastike, Čatić, I.: Proizvodnja polimernih tvorevina, Biblioteka polimerstva serija zelena, Društvo za plastiku i gumu, Zagreb, Šercer M. i dr.: Oporaba plastike i gume, Gospodarstvo i okoliš, Zagreb, Filetin T., Kovačiček F., Indof J.: Svojstva i primjena materijala,

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Utjecaj izgaranja biomase na okoliš

Utjecaj izgaranja biomase na okoliš 7. ZAGREBAČKI ENERGETSKI TJEDAN 2016 Utjecaj izgaranja biomase na okoliš Ivan Horvat, mag. ing. mech. prof. dr. sc. Damir Dović, dipl. ing. stroj. Sadržaj Uvod Karakteristike biomase Uporaba Prednosti

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

HRVATSKI ZAVOD ZA JAVNO ZDRAVSTVO. Migracija tvari iz PET ambalaže

HRVATSKI ZAVOD ZA JAVNO ZDRAVSTVO. Migracija tvari iz PET ambalaže HRVATSKI ZAVOD ZA JAVNO ZDRAVSTVO SLUŽBA ZA ZDRAVSTVENU EKOLOGIJU ODJEL ZA PREDMETE OPĆE UPORABE Migracija tvari iz PET ambalaže Međunarodno savjetovanje "Polimerni materijali i ambalaža" Dr.sc.Nino Dimitrov

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju Vodik Najzastupljeniji element u svemiru (maseni udio iznosi 90 %) i sastavni dio Zvijezda. Na Zemlji je po masenom udjelu deseti element po zastupljenosti. Zemljina gravitacija premalena je da zadrži

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V Vodič: Cu klase Izolacija: PVC H07V-U HD. S, IEC 7-5, VDE 08- P JUS N.C.00 450/750 V 500 V Minimalna temperatura polaganja +5 C Radna temperatura -40 C +70 C Maksimalna

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif.   SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU AGREGAT Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aeif. jcrnojevac@gmail.com SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK 1 Pojela agregata PODJELA AGREGATA - PREMA

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET

SVEUČILIŠTE U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET KINETIČKA ANALIZA TOPLINSKE RAZGRADNJE EKSTRUDIRANOG POLIPROPILENA ZAVRŠNI RAD Lucija Kurte Mat. br. 146 Split, rujan 2010. SVEUČILIŠTE U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI

Διαβάστε περισσότερα

STOLICA FIRST MATE Model na preklop. Imitacija kože. KLUPA FIRST CLASS Model na preklop. Imitacija kože.

STOLICA FIRST MATE Model na preklop. Imitacija kože. KLUPA FIRST CLASS Model na preklop. Imitacija kože. STOLICE I STOLOVI STOLICA FIRST MATE Model na preklop. Imitacija kože. BOJA Širina (cm) Dubina (cm) Visina (cm) VE CHFSW VE CHFSB bijela sa plavim šavovima plava sa bijelim šavovima 40 48 45 40 48 45 KLUPA

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. zastori zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. (mm) (mm) za PROZOR im (mm) tv25 40360 360 400 330x330 tv25 50450 450 500 410x410

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml)

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL 198-1 Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) */200 ml Hrana za posebne medicinske potrebe Prehrambeno cjelovita

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE Glodanje je postupak obrade odvajanjem čestica (rezanjem) obradnih površina proizvoljnih oblika. Izvodi se na alatnim strojevima, glodalicama, pri čemu je glavno (rezno) gibanje kružno kontinuirano i pridruženo

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD

Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD Nikola Šimunić Zagreb, 2009. Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mladen

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα