Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD"

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD Nikola Šimunić Zagreb, 2009.

2 Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mladen Šercer Nikola Šimunić Zagreb, 2009.

3 Fakultet strojarstva i brodogradnje Povjerenstvo za diplomske i završne ispite IZJAVA Izjavljujem da sam ovaj rad radio samostalno, uz potrebne konzultacije i korištenje navedene literature. NIKOLA ŠIMUNIĆ Zagreb, 2009.

4 SADRŽAJ 1. UVOD INJEKCIJSKO PREŠANJE Općenito o postupku Tijek procesa injekcijskog prešanja KALUP ZA INJEKCIJSKO PREŠANJE Funkcija kalupa Osnovni elementi kalupa za injekcijsko prešanje Kućište kalupa Kalupna šupljina Uljevni sustav Sustav za vađenje otpresaka Sustav za temperiranje Sustav za odzračivanje Sustav za vođenje i centriranje CAD MODEL OTPRESKA CAD model Odabir materijala Polipropilen Opći podaci Osnovna svojstva Uporabna svojstva Primjena ODREĐIVANJE PARAMETARA ULJEVNOG SUSTAVA ZA SIMULACIJU INJEKCIJSKOG PREŠANJA Uvod Određivanje broja kalupnih šupljina... 16

5 5.3. Određivanje rasporeda kalupnih šupljina Određivanje uljevnog sustava i ušća Određivanje sustava za temperiranje MOLDFLOW PROGRAM ZA SIMULACIJU Uvod Kratki opis rada i mogućnosti programa SIMULACIJA INJEKCIJSKOG PREŠANJA Primjena simulacije na modelu Traženje položaja ušća (Gate locator) Punjenje jedne kalupne šupljine Rezultati simulacije i interpretacija rezultata Vjerojatnost popunjavanja kalupne šupljine (e. Confidence of fill ) Predviđanje kvalitete otpreska (e. Quality prediction ) Vrijeme popunjavanja kalupne šupljine (e. Fill time ) Pad tlaka u kalupnoj šupljini (e. Pressure drop ) Temperatura čela taljevine (e. Flow front temperature ) Linije spajanja (e. Weld line ) Zaostali zračni mjehuri (e. Air traps ) Vrijeme hlađenja (e. Cooling time ) Primjena simulacije na uljevnom sustavu Modeliranje uljevnog sustava Simulacija punjenja uljevnog grozda Rezultati simulacije i interpretacija rezultata Tečenje rastaljenog polimera (e. Plastic flow ) Vjerojatnost popunjavanja kalupnih šupljina (e. Confidence of Fill ) Predviđanje kvalitete otpreska (e. Quality prediction ) Vrijeme popunjavanja (e. Fill Time ) Pad tlaka u kalupnoj šupljini (e. Pressure drop ) Temperatura čela taljevine (e. Flow front temperature ) Linije spajanja (e. Weld line)... 48

6 Zaostali zračni mjehuri (e. Air traps ) Vrijeme hlađenja (e. Cooling time) Optimiranje uljevnog sustava Ponovljena simulacija sa novim parametrima Rezultati simulacije i interpretacija rezultata Tečenje rastaljenog polimera (e. Plastic flow ) Vjerojatnost popunjavanja kalupnih šupljina (e. Confidence of fill ) Pad tlaka u kalupnoj šupljini (e. Pressure drop ) Temperatura čela taljevine (e. Flow front temperature ) ZAKLJUČAK LITERATURA... 59

7 SAŽETAK U radu je opisana problematika vezana uz postupak injekcijskog prešanja. Ukratko je dan opis postupka injekcijskog prešanja, te opis kalupa za injekcijsko prešanje. Takoñer je obraćena pozornost na definiranje sustava potrebnog za provedbu simulacije popunjavanja kalupne šupljine, odnosno injekcijskog prešanja. U radu je dan opis CAD modela koji je korišten za simulaciju, te postupak odabira materijala za primjenu u simulaciji. Pri izradi CAD modela korišten je softverski paket Catia V5 R18. Iznijet je opis Moldflow Mold Advisera, programa koji je korišten za simulaciju, te opis njegovih mogućnosti pri korištenju. U radu je načinjena simulacija injekcijskog prešanja i podijeljena je na faze koje olakšavaju njezino praćenje. Svaka faza simulacije opisana je zasebno i po potrebi komentirana. Izvršena je optimizacija rezultata prve simulacije pomoću Moldflow Mold Advisera, te je na kraju dana usporedba dobivenih rezultata.

8 POPIS OZNAKA I MJERNIH JEDINICA FIZIKALNIH VELIČINA Oznaka Veličina Jedinica p drop - pad tlaka Pa p max - maksimalni tlak Pa t - vrijeme hlañenja s t av - prosječno vrijeme hlañenja s ϑ - temperatura ºC ϑ max - maksimalna temperatura ºC ϑ min - minimalna temperatura ºC γ - smična brzina s -1 γ max - maksimalna smična brzina s -1 τ - smično naprezanje N/m 2 τ max - maksimalno smično naprezanje N/m 2

9 POPIS SLIKA Slika 2.1. Presjek ubrizgavalice za injekcijsko prešanje plastomera... 2 Slika 2.2. Ciklus injekcijskog prešanja... 3 Slika 3.1. Elementi uljevnog sustava... 7 Slika D model četkice Slika 4.2. p-v-ϑ dijagram za materijal Borealis PP HC115M Slika 5.1. Položaj ušća dobiven pomoću Moldflow Mold Advisera Slika 5.2. Položaj ušća na modelu Slika 5.3. Položaj ušća na modelu (uvećano) Slika 5.4. Dijagram odlučivanja za načelno odreñivanje vrste uljevnog sustava i ušća kalupa Slika 5.5. Dijagram odlučivanja za načelno odreñivanje sustava za temperiranje kalupa Slika 6.1. Predviñanje kvalitete Slika 6.2. Definiranje rasporeda kalupnih šupljina Slika 7.1. Prikaz mjesta pogodnih za smještanje ušća Slika 7.2. Prikaz mjesta pogodnih za smještanje ušća Slika 7.3. Odabrani materijal u Moldflow Mold Adviseru Slika 7.4. Odabrane temperature u Moldflow Mold Adviseru Slika 7.5. Predviñanje punjenja kalupne šupljine Slika 7.6. Predviñanje kvalitete otpreska Slika 7.7. Vrijeme punjenja Slika 7.8. Pad tlaka u kalupnoj šupljini... 31

10 Slika 7.9. Temperatura čela taljevine Slika Linija spajanja materijala Slika Zaostali zrak u kalupnoj šupljini Slika Vrijeme hlañenja Slika Koordinate ušća Slika Odabir rasporeda kalupnih šupljina Slika Dobiveni raspored kalupnih šupljina Slika Koordinate sljubnice Slika Koordinate uljevka Slika Postavke uljevnih kanala Slika Postavke ušća Slika Postavke uljevka Slika Postavke hladila u sustavu za temperiranje Slika Model uljevnog sustava s hlañenjem Slika Odabir željene analize Slika Izvješće o završenoj analizi Slika Tok rastaljenog polimera Slika Tok rastaljenog polimera Slika Popunjenost kalupne šupljine Slika Predviñanje kvalitete Slika Vrijeme popunjavanja Slika Pad tlaka u uljevnom sustavu... 47

11 Slika Temperatura čela taljevine Slika Linije spajanja Slika Zaostali zrak u kalupnoj šupljini Slika Vrijeme hlañenja Slika Odabir željene analize Slika Opcija Automatically size Slika Ušće 1 i Ušće Slika Tok rastaljenog polimera Slika Tok rastaljenog polimera Slika Vrijeme punjenja Slika Pad tlaka Slika Temperatura čela taljevine... 57

12 POPIS TABLICA Tablica 3.1. Temeljni slučajevi rasporeda kalupnih šupljina... 6 Tablica 4.1. Pregled najčešćih zahtjeva i važnijih svojstava polimernih materijala Tablica 4.2. Svojstva polipropilena Tablica 7.1. Vrijednosti i rasponi parametara za procjenu kvalitete Tablica 7.2. Usporedba parametara uljevnog sustava (prije i nakon uravnoteženja)... 53

13 1. UVOD U današnje vrijeme jedan od najvažnijih cikličkih postupaka prerade plastomera je injekcijsko prešanje. To je postupak brzog ubrizgavanja plastomerne taljevine u temperiranu kalupnu šupljinu i njezino skrućivanje u izradak. Sve veća kompliciranost otpresaka i kontinuirani razvoj novih plastomera u današnje vrijeme učinili su postupak injekcijskog prešanja vrlo složenim. Budući da kalup za injekcijsko prešanje predstavlja središnji dio sustava za injekcijsko prešanje u posljednje vrijeme sve veća pažnja posvećuje se njegovoj razradi u početnim fazama, kako bi se kasnije pogreške svele na minimum. U velikoj mjeri kao pomoćna sredstva pri konstrukciji kalupa koriste se različiti računalni programi za simulaciju koji služe za predviñanje zbivanja u kalupnoj šupljini. Cilj ovog rada je detaljna analiza problematike vezana uz postupak injekcijskog prešanja, te simulacija postupka injekcijskog prešanja na primjeru kalupa s većim brojem kalupnih šupljina u jednom od dostupnih programa za simulaciju. 1

14 2. INJEKCIJSKO PREŠANJE 2.1. Općenito o postupku Injekcijsko prešanje polimera je ciklički postupak praoblikovanja ubrizgavanjem polimerne tvari potrebne smične viskoznosti iz jedinice za pripremu i ubrizgavanje u temperiranu kalupnu šupljinu.[1] Polimer poprima oblik kalupne šupljine te hlañenjem postaje podoban za vañenje iz kalupa. Otpresci mogu biti različitih veličina i stupnja kompliciranosti. Nekad je osnovno načelo ubrizgavanja bilo ubrizgavanje klipom, a danas se ubrizgavanje vrši pomoću pužnog vijka (slika 2.1). Sustav za injekcijsko prešanje sačinjavaju: [1] ubrizgavalica kalup temperiralo kalupa Slika 2.1. Presjek ubrizgavalice za injekcijsko prešanje plastomera; [2] 1 lijevak, 2 cilindar za taljenje, 3 grijala, 4 pužni vijak, 5 nepomični nosač kalupa, 6 kalup, 7 pomični nosač kalupa, 8 uporišna ploča, 9 hidraulički cilindar 2

15 2.2. Tijek procesa injekcijskog prešanja Materijal kroz lijevak ulazi u zagrijani cilindar za taljenje gdje ga zahvaća pužni vijak. Vrtnjom pužnog vijka materijal se potiskuje prema vrhu pužnog vijka (cilindra za taljenje). Pritom se kao posljedica javlja sila reakcije koja pužni vijak nastoji pomaknuti unatrag. Zbog toga je u cilindru ubrizgavalice potrebno ostvariti usporni pritisak. Prije nego započne ubrizgavanje potrebno je primaknuti mlaznicu jedinice za pripremu taljevine i ubrizgavanje tako da nalegne na otvor uljevnog tuljca kalupa. Pužni vijak u toj fazi djeluje kao klip, te aksijalnim pomicanjem prema naprijed ubrizgava taljevinu u kalupnu šupljinu. Tijekom ubrizgavanja pužnom se vijku mora blokiranjem spriječiti vrtnja. Završetak ubrizgavanja je kada su sve kalupne šupljine po mogućnosti istodobno popunjene, pritisak ubrizgavanja snizi se na naknadni pritisak, koji sprječava povratak taljevine iz kalupne šupljine. Pri injekcijskom prešanju naknadni pritisak djeluje do trenutka kad se spojno mjesto izmeñu kalupne šupljine i uljevnog sustava ušća toliko ohladi i očvrsne da više nije moguć protok taljevine kroz ušće. Potom se pužni vijak ponovno počne okretati i uvlačiti polimer u zonu cilindra za taljenje pripremajući taljevinu za sljedeći ciklus.[3] Slika 2.2. Ciklus injekcijskog prešanja [4] 3

16 3. KALUP ZA INJEKCIJSKO PREŠANJE 3.1. Funkcija kalupa Funkciju kalupa za injekcijsko prešanje moguće je definirati kao praoblikovanje ili strukturiranje materijala u zadani makrogeometrijski oblik i kakvoću površine polimerne tvorevine. Temeljna zadaća kalupa je ispunjenje te funkcije. Kalup mora osigurati prihvaćanje taljevine i njeno hlañenje do postizanja oblika otpreska Osnovni elementi kalupa za injekcijsko prešanje Kalup koji je i sam kompliciran i kompleksan sustav u injekcijskom prešanju smatra se podsustavom sustava za injekcijsko prešanje plastomera. Podsustavi koji čine kalup sposobnim za ispunjenje osnovnih parcijalnih funkcija su: [3] kućište kalupa kalupna šupljina uljevni sustav sustav za vañenje otpreska sustav za temperiranje sustav za odzračivanje sustav za voñenje i centriranje. 4

17 Kućište kalupa Kućište kalupa za injekcijsko prešanje čini slog ploča i elemenata za njihovo povezivanje, koji zajedno čine nosivu konstrukciju kalupa. [3] Na oblik i dimenzije kućišta najviše utječu oblik i dimenzije otpreska, predviñena količina proizvodnje te stupanj automatizacije. Kućište svojom izvedbom mora osigurati jednostavno i sigurno pričvršćenje na ubrizgavalicu, te preuzeti sve sile koje djeluju na kalup. Sile mogu biti unutarnje (tlak taljevine u kalupnoj šupljini i sila uzgona) i vanjske (sila zatvaranja kojom djeluje jedinica za zatvaranje ubrizgavalice). Prema izvedbi kućišta kalupa mogu biti: [3] pravokutna okrugla posebna Kalupna šupljina Kalupna šupljina je prazan prostor što ga zatvaraju pomični i nepomični dijelovi kalupa i u nju se ubrizgava polimer potrebne smične viskoznosti. Temeljni slučajevi rasporeda kalupnih šupljina prikazani su u tablici 3.1. S obzirom na broj otpresaka koji se istodobno prešaju i broj mjesta ubrizgavanja razlikuju se sljedeći načini ubrizgavanja: a) izravno ubrizgavanje primjenjuje se kod kalupa s jednom kalupnom šupljinom te se uljevni sustav sastoji samo od uljevka b) posredno ubrizgavanje najčešće se primjenjuje kod kalupa s više kalupnih šupljina ili kalupa s jednom kalupnom šupljinom ako se ubrizgava na više mjesta 5

18 Pri raspodjeli kalupnih šupljina u kalupu teži se tome da uljevni put do kalupnih šupljina bude što kraći i jednak za sve kalupne šupljine. Osnovni uvjeti kojih se treba pridržavati pri optimalnom rasporedu kalupnih šupljina su: a) potrebno je ostvariti najbolji mogući raspored radi postizanja minimalne veličine kalupa b) uljevni sustav treba što kraćim putem povezati mlaznicu ubrizgavalice s kalupnom šupljinom c) potrebno je ostvariti simetričan raspored kalupnih šupljina zbog zatvaranja kalupa. Tablica 3.1. Temeljni slučajevi rasporeda kalupnih šupljina [5] ZVJEZDASTI RASPORED Neuravnoteženi Uravnoteženi PREDNOSTI Isti put tečenja do svih kalupnih šupljina. Povoljan raspored za vañenje, naročito kod kalupa s mehaničkim odvrtanjem navojne jezgre. NEDOSTACI Ograničen broj kalupnih šupljina. Kod većeg broja kalupnih šupljina veliki je utrošak materijala (ići na redni raspored). REDNI RASPORED Neuravnoteženi Uravnoteženi SIMETRIČNI RAPORED Neuravnoteženi Uravnoteženi Mogući veći broj kalupnih šupljina nego kod zvjezdastog rasporeda. Kod većeg broja kalupnih šupljina razdjelnici su kraći nego kod zvjezdastog rasporeda (manji utrošak materijala). Isti put tečenja do svih kalupnih šupljina. Nije potrebna korekcija poprečnog presjeka ušća. Nejednolik put tečenja do svih kalupnih šupljina. Istovremeno punjenje kalupnih šupljina je moguće samo uz različite presjeke razdjelnika i/ili ušća (korekcija poprečnog presjeka ušća). Veliki obujam uljevnog sustava, veliki otpad. Preporučuje se primjena vrućeg uljevnog sustava. 6

19 Uljevni sustav Uljevni sustav čine jedna ili više uljevnih kanala povezanih u cjelinu koja će lakše i brže provesti polimernu taljevinu do kalupne šupljine pa praoblikovanje otpreska. [3] Slika 3.1. Elementi uljevnog sustava [5] Pri injekcijskom prešanju razlikuju se sljedeće vrste uljevnih sustava: hladni uljevni sustav topli uljevni sustav a) Hladni uljevni sustav materijalni izlaz iz kalupa sastoji se od otpreska i uljevnog sustava. Takav uljevni sustav omogućuje jednoličan i siguran sustav bez zastoja, osobito je značajan kod jako razvedenih kanala i otpresaka većeg obujma te nema smetnje kod zaostajanja uljevka i potrebe za odvajanjem otpreska od uljevnog sustava. Slikom 3.1 prikazani su elementi uljevnog sustava [3] b) Topli uljevni sustav primjena kalupa s vrućim uljevnim sustavom omogućuje sniženje troškova proizvodnje, te se zbog brojnih prednosti sve češće primjenjuje i omogućuje brzu i potpunu automatizaciju. [3] 7

20 Sustav za vañenje otpresaka Sustav za vañenje otpresaka može biti vrlo raznolikih izvedbi tj. može biti sastavni dio kalupa ili može djelovati izvana kao dio dodatne opreme. Prema načinu djelovanja mogu se podijeliti na: [3] mehaničke hidrauličke mješovite Pri injekcijskom prešanju plastomera najčešća su izbacivala s mehaničkim sustavom za vañenje otpresaka, sljedećih oblika: [3] 1) Izbacivala štapićastog oblika 2) Izbacivala oblika puškice 3) Izbacivala tanjurastog oblika 4) Pločasta skidala Sustav za temperiranje Sustavom za temperiranje kalupu se dovodi ili odvodi toplina potrebna za postizanje propisanog temperaturnog polja u kalupu. Pod temperiranjem se podrazumijeva postizanje zadane temperature stijenke kalupne šupljine, bez obzira dovodi li se ili odvodi pri tome toplina. Pravilna izmjena topline u kalupu odlučujuće utječe na trajanje i odvijanje ciklusa injekcijskog prešanja. [3] Osnovno načelo je optimiranje temperaturne razlike izmeñu taljevine i temperature stijenke kalupne šupljine. Općenito je moguće razlikovati podtlačno i pretlačno temperiranje kalupa. Pri injekcijskom prešanju najčešće se za temperiranje kalupa koristi medij za temperiranje (plin, vodena para, ulje, voda i voda s dodatcima). [5] 8

21 Sustav za odzračivanje Kod ciklusa injekcijskog prešanja zbog zaostalog zraka u kalupnim šupljinama potrebno je osigurati sustav za odzračivanje, jer zaostali zrak može uzrokovati: [3] - pregrijanje taljevine, posebice na liniji spajanja - vidljivu liniju spajanja tankostjenih otpresaka - nepopunjenost tankostjenih otpresaka - odstupanje dimanzija otpreska Odzračivanje se najčešće vrši kroz provrte za voñenje izbacivala. Kod kružnih otpresaka odzračivanje se vrši pomoću polukružnih kanala na sljubnici kalupa. U pravilu otvore za odzračivanje treba postaviti na ono mjesto koje će taljevina posljednje popuniti. Mjesto odzračivanja moguće je ustanoviti na temelju iskustva ili simuliranjem punjenja kalupne šupljine. [3] Sustav za voñenje i centriranje Sustav za voñenje i centriranje je bitan kako bi se osiguralo što točnije nalijeganje jednog dijela kalupa na drugi. Razlikuju se sustav za vanjsko i unutarnje centriranje. [3] Sustav za unutarnje voñenje i centriranje služi za voñenje i centriranje kalupnih ploča, te ostalih elemenata kalupa pri otvaranju i zatvaranju. Vanjsko centriranje važno je radi točnog pozicioniranja na nosače kalupa ubrizgavalice, a izvodi se pomoću prstena za centriranje. 9

22 4. CAD MODEL OTPRESKA 4.1. CAD model U okviru ovog rada potrebno je simulirati injekcijsko prešanje otpreska u kalup s većim brojem kalupnih šupljina. Kako model za simulaciju nije definiran u samome zadatku, odlučeno je da se razvije novi model higijenske četkice za zube. U programskom paketu Catia V5 R18 načinjen je 3D model koji se ubacuje u Moldflow Mold Adviser. Na slici 4.1 prikazan je 3D model četkice. Iako je većina četkica na tržištu višekomponentna, zbog složenosti postupka simulacije koristit će se model koji je u cijelosti izrañen od samo jednog polimera. Slika D model četkice 10

23 4.2. Odabir materijala Prilikom razvoja novoga proizvoda potrebno je voditi računa o brojnim zahtjevima na proizvod od strane korisnika. Veliku ulogu u razvoju novog proizvoda ima odabir materijala, koji izravno utječe na buduća mehanička i uporabna svojstva proizvoda. Svojstva se definiraju kao reakcije, promjene stanja ili druge pojave u materijalu izazvane djelovanjem raznih (unutarnjih i vanjskih) čimbenika. Polimerne materijale moguće je opisati velikim brojem značajki. Pri tom opisu razlikuju se unutarnja (intrizična, vlastita, stvarna, prava) svojstva, proizvodna svojstva (proizvodnja, transport i skladištenje, obrada i dorada, uporaba, te otpadna i reciklična svojstva), te svojstva proizvoda. Navedene kategorije svojstava u čvrstoj su meñusobnoj vezi. Dok su unutarnja svojstva i proizvodna svojstva uvijek vezana za tvar, odnosno materijal, svojstva proizvoda vezana su za objekt, ona ovise o veličini i obliku proizvoda. [7] Temeljni koraci pri izboru materijala su: [7] definiranje zahtjeva predizbor (izbor više materijala koji zadovoljavaju postavljene zahtjeve) izbor optimalnog materijala (na temelju detaljnije analize svojstava materijala i cijene) U tablici 4.1. dan je pregled najčešćih zahtjeva i važnijih svojstava polimernih materijala. 11

24 Tablica 4.1. Pregled najčešćih zahtjeva i važnijih svojstava polimernih materijala [7] SVOJSTVA Svojstva na koja se ne može bitno utjecati konstrukcijskim oblikovanjem proizvoda Gustoća Prozirnost (proziran, poluproziran, neproziran) Kvaliteta površine Toplinska provodnost Toplinska rastezljivost Toplinska postojanost Temperaturne granice primjene (najviša i najniža temperatura) Temperatura omekšavanja (platomeri metoda po Vicat-u) Temperatura postojanosti oblika (duromeri metoda po Martensu) Kemijska postojanost Postojanost prema UV zračenju Otpornost na gorenje Tarna svojstva (faktor trenja, otpornost na trošenje) Cijena Svojstva koja izmeñu ostalog bitno ovise o obliku proizvoda Mehanička svojstva Čvrstoća Modul elastičnosti Prekidno istezanje Žilavost Tvrdoća Svojstva povezana s preradom materijala i/ili izradom proizvoda Preradbena svojstva Odabrani materijal trebao bi imati dobro uravnotežena kemijska i mehanička svojstva. Trebao bi biti kemijski inertan, tj. mora biti otporan na slabe kiseline i lužine i ne smije bubriti u dodiru s vodom. Poželjna je dobra elastičnost, relativno mala gustoća i niska cijena. 12

25 Kao materijal za izradu odabran je polipropilen trgovačkog naziva Borealis PP HC115M (homopolimer) koji u velikoj mjeri zadovoljava tražena svojstva, dovoljno je žilav, a ujedno i dovoljno fleksibilan. Kemijski i toplinski je postojan. Na slici 4.2. prikazan je p-v-ϑ dijagram materijala Borealis PP HC115M. Slika 4.2. p-v-ϑ dijagram za materijal Borealis PP HC115M 4.3. Polipropilen Opći podaci Polipropilen pripada skupini široko primjenjivih kristalastih plastomera koji posjeduju dobro uravnotežena kemijska, toplinska, mehanička i električna svojstva, a lako se prerañuje. Sintetiziraju se pomoću Ziegler Natta katalizatora koji omogućuju dobivanje pravilne strukture (izotaktne i sindiotaktne). Uglavno se prerañuje injekcijskim prešanjem, puhanjem i toplim oblikovanjem. [7] 13

26 Osnovna svojstva Polipropilen ima najnižu gustoću od svih polimera (ρ = 900 kg/m 3 ). Osim toga ovaj plastomer se u usporedbi s polietilenom odlikuje višom čvrstoćom i višim modulom elastičnosti. Nedostatak mu je to što postaje krhak već malo ispod 0 ºC. [7] Uporabna svojstva Uporabna svojstva polipropilena uglavnom ovise o tipu polimera (homopolimer ili blok kopolimer), molekulnoj masi i njezinoj razdiobi, morfološkoj grañi (kristalnost), dodacima (punilima i ojačalima) te parametrima prerade. Homopolimerni tipovi su postojani prema deformaciji, visoke su krutosti i rastezne čvrstoće, tvrdoće površine i dobre žilavosti pri sobnim temperaturama i slabe otpornosti prema starenju, nepravilno im je stezanje u kalupnoj šupljini i teško se lijepe. Kopolimeri imaju izvrsnu žilavost. Općenito polopropilen ima malu gustoću, prihvatljivu cijenu, dobra mehanička, toplinska i električna svojstva, izvrsnu temperaturnu postojanost i veliku elastičnost. Posebni tipovi postojani su prema UV zračenju i samogasivi su. [7] Primjena Polipropilen se primjenjuje za izradu tehničkih dijelova i to pri višim opterećenjima nego polietilen. Velike su mogućnosti variranja svojstava i primjene obzirom na mogućnosti miješanja i proizvodnje kompozita. Tako se od propilena izrañuju industrijski dijelovi elektro i elektronske industrije, kemijskih postrojenja, šuplja tijela, cijevi, spremnici, dijelovi armatura, dijelovi postojani prema vrućoj vodi, igračke, posude u kućanstvu, tehnički dijelovi strojeva za pranje posuña i rublja, u tekstilnoj i automobilskoj industriji (unutarnje ureñenje automobila razne obloge), u grañevinarstvu, zrakoplovnoj industriji, za razna pakovanja (ambalaža) itd. U tablici 4.2. prikazana su svojstva polipropilena. [7] 14

27 Tablica 4.2. Svojstva polipropilena [7] SVOJSTVO Mjerna jedinica Iznos Modul elastičnosti N/mm do 1300 Granica razvlačenja N/mm 2 32 do 37 Istezanje na granici razvlačenja % 12 do 16 Istezljivost (Prekidno istezanje) % 600 Temperatura omekšavanja po VICATu º C 90 do 100 Područje taljenja kristalita º C 155 do 165 Specifični otpor prolaza Ωcm Dielektričnost F/m 2,3 Dielektrični faktor gubitaka - 0,0002 do 0,0007 Čvrstoća proboja KV/mm

28 5. ODREðIVANJE PARAMETARA ULJEVNOG SUSTAVA ZA SIMULACIJU INJEKCIJSKOG PREŠANJA 5.1. Uvod Iako u okviru ovog rada nije predviñena konstrukcija kalupa, za definiranje parametara pri simulaciji postupka injekcijskog prešanja potrebno je okvirno odrediti neke osnovne značajke, kao što su: broj kalupnih šupljina, raspored kalupnih šupljina, sustav za temperiranje, uljevni sustav i položaj ušća Odreñivanje broja kalupnih šupljina Postoji nekoliko kriterija na temelju kojih se odreñuje optimalni broj kalupnih šupljina: [5] - stvarni broj kalupnih šupljina koji ovisi o veličini serije - kvalitetni broj kalupnih šupljina koji se odreñuje na temelju kvalitete proizvoda - planski broj kalupnih šupljina na temelju roka isporuke proizvoda - tehnički broj kalupnih šupljina odreñen na temelju karakteristika ubrizgavalice - ekonomičan broj kalupnih šupljina na temelju troškova izrade proizvoda Ukoliko nije strogo definiran od strane naručitelja, broj kalupnih šupljina u praksi se najčešće odreñuje na temelju iskustva, i to prema upotrijebljenom materijalu, prema geometriji i veličini serije otpreska. Za ovaj slučaj veličine serije, karakteristike ubrizgavalice, troškovi i rokovi isporuke nisu bitni pa nisu razmatrani. U obzir će se uzeti samo broj kalupnih šupljina koji se odreñuje na temelju kvalitete proizvoda. S osvrtom na kvalitetu i pretpostavljajući da će broj kalupnih šupljina osigurati zadovoljavajuću kvalitetu, broj kalupnih šupljina odabran je proizvoljno i on iznosi osam kalupnih šupljina. 16

29 5.3. Odreñivanje rasporeda kalupnih šupljina Kod odreñivanja rasporeda kalupnih šupljina nastoji se postići raspored koji će najbolje iskoristiti obujam kalupa, ujedno uzimajući u obzir da putovi tečenja polimera budu što kraći. Odabran je neuravnoteženi redni raspored Odreñivanje uljevnog sustava i ušća Kod odabira uljevnog sustava i ušća prvo je potrebno odrediti o kojem se tipu uljevnog sustava radi, da li se koristi topli ili hladni uljevni sustav. Na temelju analiza o vrstama uljevnog sustava i ušća načinjen je dijagram odlučivanja (slika 5.4.) u kojem pune linije vode do najpovoljnijeg i/ili najčešćeg načelnog rješenja, dok isprekidane linije ukazuju na mogućnost postojanja drugog rješenja, koje je manje povoljno ili rjeñe u upotrebi. [5] Odabran je čvrsti uljevni sustav s običnim točkastim ušćem. U poglavlju Traženje položaja ušća (Gate locator) opisan je odabir i dobiven položaj ušća pomoću Moldflow Mold Advisera (slika 5.1.). Program predlaže smještanje ušća na vratu četkice, no zbog estetskih i konstrukcijskih razloga ušće će se smjestiti na vrhu drške četkice (slika 5.2.). Položaj ušća označen je žutim stošcem. 17

30 Slika 5.1. Položaj ušća dobiven pomoću Moldflow Mold Advisera Slika 5.2. Položaj ušća na modelu Slika 5.3. Položaj ušća na modelu (uvećano) Prateći tok dijagrama odlučivanja za odreñivanje vrste uljevnog sustava i ušća kalupa. Izabran je čvrsti uljevni sustav, te normalno (obično) točkasto ušće. 18

31 Slika 5.4. Dijagram odlučivanja za načelno odreñivanje vrste uljevnog sustava i ušća kalupa [5] 19

32 5.5. Odreñivanje sustava za temperiranje U ovom koraku potrebno je odrediti način temperiranja kalupa, te načelno odrediti položaj kanala za temperiranje. Za načelno odreñivanje sustava za temperiranje koristi se dijagram odlučivanja (slika 5.5.). Sustav za temperiranje kalupa biti će iskreiran pomoću Cooling System Wizarda u Moldflow Mold Adviseru, te se neće odreñivati pomoću dijagrama odlučivanja. 20

33 Slika 5.5. Dijagram odlučivanja za načelno odreñivanje sustava za temperiranje kalupa [6] 21

34 6. MOLDFLOW PROGRAM ZA SIMULACIJU 6.1. Uvod Kako bi alati za CAE analize bili uistinu korisni moraju pružiti upotrebljive informacije na temelju kojih se donose konstrukcijska rješenja. Moldflow Plastics Adviser (MPA) omogućuje korisnicima da predvide i rješe probleme koji se javljaju kod procesa injekcijskog prešanja još u ranim fazama razvoja proizvoda i kalupa. Moldflow Mold Adviser je modul koji omogućuje simulaciju toka polimera u kalupnoj šupljini i uljevnom sustavu, a ujedno na taj način dopušta optimiranje kalupa s jednom ili više kalupnih šupljina kako bi se izbjegla naknadna dorada kalupa i smanjili troškovi Kratki opis rada i mogućnosti programa Prije nego što se konstruktori upuste u izradu kalupa trebali bi provjeriti hoće li proizvod iz kalupa zadovoljiti kvalitetom. Moldflow Mold Adviser korisnicima omogućuje upotrebu alata s kojima je moguće utvrditi kvalitetu izradaka u kalupima s jednom ili više kalupnih šupljina. Polazna točka u svakoj simulaciji je model otpreska izrañen u CAD programu (Catia, ProE, SolidWorks...) koji se jednostavno spremi u odgovarajućem formatu (.stl,.adv,...) i zatim otvori u Moldflow Mold Adviser-u. [8,9] Analiziranjem samog modela mogu se utvrditi najpogodnija mjesta za položaj ušća, te mjesta na kojima je moguće zaostajanje zraka u kalupu, gdje će trebati osigurati mjesto za odzračivanje ili promijeniti položaj ušća i sl. Ukoliko nije moguće zadovoljiti potrebnu kvalitetu potrebno je u odreñenim okvirima izmijeniti geometriju modela kako bi se postignuli zadovoljavajući rezultati. Na slici 6.1. prikazana je predviñena kvaliteta dobivena simulacijom. Područja obojena zelenom bojom su zadovoljavajuće kvalitete, dok su žuta ona u kojima kvaliteta nije na zadovoljavajućoj razini.[8,9] 22

35 Slika 6.1. Predviñanje kvalitete Nakon što se postigne zadovoljavajuća kvaliteta izradka započinje se s konstruiranjem uljevnog sustava, definiranjem točnog položaja ušća, identificiraju se područja koja će trebati više ili manje hladiti, itd. Nakon orijentacije modela unutar Moldflow Mold Adviser-a odreñuje se potrebni broj kalupnih šupljina, njihov raspored, te meñusobna udaljenost (slika 6.2.). Potreban broj kalupnih šupljina može se utvrditi npr. prema količini potrebne proizvodnje. [8,9] 23

36 Slika 6.2. Definiranje rasporeda kalupnih šupljina Sljedeći korak je definiranje dimenzija kalupa te procjena minimalne veličine kalupnih ploča koje su potrebne za smještanje odreñenog broja kalupnih šupljina. Takoñer se definiraju oblik i dimenzije elemenata uljevnog sustava (ušća, topli ili hladni uljevni sustav...). Korisniku je omogućeno da ručno (dio po dio) modelira uljevni sustav ili ga program može modelirati automatski uzimajući u obzir optimalne veličine pojedinih elemenata kako bi se povećala produktivnost, a ujedno i smanjili troškovi. Moldflow Mold Adviser će nastojati generirati prirodno uravnoteženi uljevni sustav, što znači da se sve šupljine pune u isto vrijeme i pod istim tlakom. Prednost takvog uljevnog sustava je jednaka kvaliteta svih otpresaka u jednom ciklusu. Ukoliko nije moguće postići prirodno uravnoteženi uljevni sustav, korisnik će morati mijenjati parametre uljevnog sustava dok se ne postigne uravnoteženo stanje. [8,9] 24

37 7. SIMULACIJA INJEKCIJSKOG PREŠANJA 7.1. Primjena simulacije na modelu Traženje položaja ušća (Gate locator) Prije nego započne simulacija na modelu potrebno je definirati položaj ušća, tj. mjesto na kojem se polimer ubrizgava u kalupnu šupljinu. Moldflow Mold Adviser u svojim postavkama sadrži opciju koja omogućava automatski pronalazak ušća na zadanom modelu. Moldflow Mold Adviser najpogodniji položaj ušća na modelu utvrñuje na temelju uravnoteženosti toka materijala, u obzir uzima svojstva odabranog materijala, ali ne i geometrijsku kompleksnost modela. Na slikama 7.1. i 7.2. dan je prikaz modela četkice i mjesta položaja ušća dobivena simulacijom. Plavom bojom označena su područja koja su najpogodnija za položaj ušća, a crvenom ona najlošija. Iz prikaza je vidljivo da su plavom bojom označena područja na vratu i glavi četkice što i nije najpogodnije mjesto za ušće zbog konstrukcijskih razloga, te na temelju toga možemo zaključiti kako simulacija ne daje uvijek rezultate koji se nužno poklapaju sa poželjnim estetskim i konstrukcijskim rješenjima. Slika 7.1. Prikaz mjesta pogodnih za smještanje ušća Slika 7.2. Prikaz mjesta pogodnih za smještanje ušća 25

38 Punjenje jedne kalupne šupljine Nakon odabira područja za smještanje ušća potrebno je provesti ostale analize, kako bi se utvrdilo hoće li polimer u potpunosti popuniti kalupnu šupljinu i kakva će biti kvaliteta dobivenog otpreska. Rezultati analiza vjerojatnost popunjavanja kalupne šupljine (Confidence off fill) i predviñanja kvalitete proizvoda (Quality prediction) mogu poslužiti kao dobar početak za provjeru i utvrñivanje kritičnih mjesta u kalupnoj šupljini (zaostajanje zraka, pad tlaka, raspored temperatura...). Prije početka simulacije potrebno je definirati parametre, tj. materijal, temperaturu taljenja, temperaturu kalupa, te tlak ubrizgavanja. Za vrijednosti parametara uzete su preporučene vrijednosti za odabrani materijal iz Moldflow Mold Advisera. Odabrani parametri prikazani su na slici 7.3 i na slici 7.4. [9] Slika 7.3. Odabrani materijal u Moldflow Mold Adviseru 26

39 Slika 7.4. Odabrane temperature u Moldflow Mold Adviseru 27

40 7.2. Rezultati simulacije i interpretacija rezultata Vjerojatnost popunjavanja kalupne šupljine (e. Confidence of fill) Analiza dobrote popunjavanja kalupne šupljine utvrñuje mogućnost potpunog popunjenja kalupne šupljine, tj. hoće li polimer u potpunosti popuniti kalupnu šupljinu. Predviñanje se temelji na temperaturama i tlakovima postignutim u kalupnoj šupljini. Zelena boja označava da će kalupna šupljina u potpunosti biti popunjena (slika 7.5). [9] Legenda: A popunit će u potpunosti B mogućnost nepopunjavanja kalupne šupljine u potpunosti, moguća nezadovoljavajuća kvaliteta otpreska C teško za punjenje D polimer neće popuniti kalupnu šupljinu Slika 7.5. Predviñanje punjenja kalupne šupljine 28

41 Predviñanje kvalitete otpreska (e. Quality prediction) Procjena kvalitete donosi se na temelju pet parametara: temperature čela taljevine, pada tlaka, vremena hlañenja, smične brzine i smičnog naprezanja. Za svako mjesto u kalupnoj šupljini procjenjuje se ovih pet veličina, te na temelju njihovih iznosa Adviser daje rezultate o budućoj kvaliteti. Ako su svi parametri u zadovoljavajućem rasponu veličina, kvaliteta će biti dobra i prikazuje se zelenom bojom na modelu (slika 7.6.). Ukoliko samo jedna od veličina odstupa od traženih vrijednosti smatra se da kvaliteta neće zadovoljiti, te su ta područja prikazana žutom ili crvenom bojom. U tablici 7.1. prikazani su rasponi veličina prema kojima se procjenjuje buduća kvaliteta. [9] Legenda: A visoka kvaliteta B smanjena kvaliteta C niska kvaliteta D polimer neće ni popuniti kalupnu šupljinu Slika 7.6. Predviñanje kvalitete otpreska 29

42 Tablica 7.1. Vrijednosti i rasponi parametara za procjenu kvalitete [9] PARAMETAR ZADOVOLJAVA PRIHVATLJIVO NEPRIHVATLJIVO Temperatura čela taljevine Temperatura čela taljevine nalazi se u području izmeñu min. i maksimalne temperature koja je preporučena u bazi materijala ϑ min < ϑ < ϑ max ϑ min < ϑ < (ϑ max + 5 C) ϑ > (ϑ max + 5 C) Pad tlaka Vrijeme hlañenja Smična brzina Smično naprezanje Pad tlaka mora biti manji od 0,8 P max (tlak ubrizgavanja) Vrijeme hlañenja mora biti manje od 1,5 t av (prosječno vrijeme hlañenja za dani model) Smična brzina mora biti manja od navedene maksimalne Smično naprezanje mora biti manje od navedenog maksimalnog p drop <(0,8 p max ) (0,8 p max ) < p drop < p max p drop p max t < 1,5 t av 1,5 t av < t < 5 t av t > 5 t av γ < γ max γ max< γ < 2 γ max γ > 2 γ max τ < τ max τ max < τ < 2 τ max τ > 2 τ max Vrijeme popunjavanja kalupne šupljine (e. Fill time) Analiza pokazuje koji se dijelovi kalupne šupljine popunjavaju u isto vrijeme. Područja koja se prva pune prikazana su crvenom bojom, a ona koja se pune posljednja plavom bojom (slika 7.7.). Primarna upotreba ove analize je utvrñivanje pune li se svi uljevni kanali taljevinom u isto vrijeme što je bitno kod uravnoteživanja uljevnog sustava, naime ako se svi elementi uljevnog sustava pune u isto vrijeme veća je mogućnost da će sustav biti dobro uravnotežen. [9] 30

43 Slika 7.7. Vrijeme punjenja Pad tlaka u kalupnoj šupljini (e. Pressure drop) Analiza pada tlaka pokazuje pad tlaka u kalupnoj šupljini. Crveno su obojena mjesta gdje dolazi do najvećeg pada tlaka, a plavo ona koja se nalaze bliže ušću (manji pad tlaka), (slika 7.8.). Ukoliko se dogodi da tlak padne ispod nazivnog tlaka ubrizgavanja može se dogoditi da polimer ne popuni kalupnu šupljinu u potpunosti. Ako polimer ne bi popunio kalupnu šupljinu postoji nekoliko opcija pomoću kojih se može doći do zadovoljavajućih rezultata: - povećanje tlaka ubrizgavanja - promjena položaja ušća na modelu - promjena geometrije modela - izbor drugačijeg materijala - povećanje temperature taljenja. Slika 7.8. Pad tlaka u kalupnoj šupljini 31

44 7.2.5 Temperatura čela taljevine (e. Flow front temperature) Kod ove analize različito obojena područja predstavljaju temperaturu polimera u danoj točki pri popunjavanju kalupne šupljine. Na slici 7.9. vidljiv je očit pad temperature u smjeru toka taljevine za vrijeme popunjavanja kalupne šupljine. Ukoliko je temperatura preniska, npr. kod tankostjenih otpresaka može se dogoditi da polimer ne popuni cijelu kalupnu šupljinu. Ako bi pak temperatura materijala bila previsoka može doći do degradacije materijala te do oštećenja na površini otpreska.[9] Slika 7.9. Temperatura čela taljevine Linije spajanja (e. Weld line) Linije spajanja nastaju na mjestima gdje se spajaju dva toka taljevine (slika 7.10.). Orijentacija molekula polimera na linijama spajanja okomita je na tok materijala. Na linijama spajanja često dolazi do pada mehaničkih svojstava materijala i nisu estetski prihvatljive, pa ih se nastoji što izbjeći. Ukoliko linije spajanja nije moguće izbjeći treba ih pokušati smjestiti u područja gdje imaju što manji utjecaj. Sprečavanje nastanka linija spajanja moguće je izvesti promjenom mjesta ušća ili primjenom nekog drugog materijala pogodnijih svojstava. [9] 32

45 Slika Linija spajanja materijala Zaostali zračni mjehuri (e. Air traps ) Ovom analizom moguće je utvrditi područja u kalupnoj šupljini gdje je moguće zaostajanje zraka. Zračni džepovi prikazani su u obliku plavih mjehurića (slika 7.11.). Na slici je vidljivo kako se u području gdje su rupice nalazi puno zaostalog zraka što bi moglo predstavljati ozbiljan problem pri izradi kalupa. Zaostali zrak u kalupnoj šupljini vrlo je nepoželjan, jer sprječava potpuno popunjavanje kalupne šupljine što rezultira estetskim nedostatcima na površini otpreska. U ekstremnim slučajevima temperatura zraka može narasti do tog stupnja da doñe do zapaljenja materijala u kalupu. Zarobljeni zrak u kalupnoj šupljini može se izbjeći promjenom položaja ušća ili pogodnim sustavom za odzračivanje. 33

46 Slika Zaostali zrak u kalupnoj šupljini Vrijeme hlañenja (e. Cooling time) Vrijeme hlañenja je vrijeme koje proñe izmeñu popunjavanja kalupne šupljine rastaljenim polimerom i izbacivanja gotovog otpreska iz kalupa. Iz slike vidljivo je da se otpresak hladi skoro jednolično. Najbrže se hlade dijelovi manjih dimenzija (rupice), dok se drška četkice hladi sporije. Sa slike se vidi da je otpresku potrebno oko 55 sekundi za hlañenje. Slika Vrijeme hlañenja 34

47 7.3. Primjena simulacije na uljevnom sustavu Modeliranje uljevnog sustava U poglavlju 4.4 Odreñivanje uljevnog sustava i ušća odreñeno je da će se ušće smjestiti na početku drške četkice. Kako bi se moglo započeti s modeliranjem uljevnog sustava potrebno je u koordinatnom sustavu definirati točan položaj ušća. Pomoću koordinata očitanih iz programskog paketa Catia V5 R18 definiran je točan položaj ušća (slika 7.13.). Slika Koordinate ušća Nakon što je definirano ušće, potrebno je ući u modul Multy Cavity gdje se definira raspored i broj kalupnih šupljina unutar kalupa (slika 7.14). U poglavlju 4.2 Odreñivanje broja kalupnih šupljina definirano je osam kalupnih šupljina. Dobiveni raspored prikazan je na slici

48 Slika Odabir rasporeda kalupnih šupljina Slika Dobiveni raspored kalupnih šupljina 36

49 Prije početka modeliranja uljevnog sustava potrebno je definirati z - koordinatu sljubnice, tj njenu udaljenost od xy ravnine u Oxyz koordinatnom sustavu. Z koordinata sljubnice očitana je iz programskog paketa Catia V5 R18, a na slici prikazan je njezin iznos. Slika Koordinate sljubnice Pri početku modeliranja uljevnog sustava prvo se definira položaj uljevka (slika 7.17.), a zatim se modeliraju uljevni kanali, razdjelnici, ušća i sustav za temperiranje. Njihovi parametri prikazani su na slikama 7.18, 7.19, 7.20 i Po završetku modeliranja dobije se model prikazan slikom Slika Koordinate uljevka 37

50 Slika Postavke uljevnih kanala 38

51 Slika Postavke ušća Slika Postavke uljevka 39

52 Slika Postavke hladila u sustavu za temperiranje Slika Model uljevnog sustava s hlañenjem 40

53 Simulacija punjenja uljevnog grozda Postupak odabira materijala, te definiranja temperatura i tlakova za provedbu simulacije opisan je u poglavlju Punjenje jedne kalupne šupljine i potpuno je isti te se neće posebno razmatrati u ovom poglavlju. Za pokretanje simulacije mora se uključiti Analysis Wizard i u njemu definirati koju analizu želimo pokrenuti (slika 7.23.). Nakon odabira Plastic Filing pritiskom na gumb Finish pokreće se analiza. Slika Odabir željene analize Na slici 7.24 prikazan je sažetak izvješća o završetku simulacije punjenja uljenog sustava i kalupnih šupljina. Iz izvješća se izravno može iščitati vrijeme za koje polimer popuni kalupnu šupljinu, vrijeme trajanja ciklusa, problemi koji se javljaju, kao na primjer linije spajanja i mjehurići zaostalog zraka. U nastavku su izloženi svi rezultati i po potrebi komentirani. 41

54 Slika Izvješće o završenoj analizi 7.4. Rezultati simulacije i interpretacija rezultata Tečenje rastaljenog polimera (e. Plastic flow ) Plastic Flow prikazuje tok rastaljenog polimera kroz uljevni sustav i popunjavanje kalupnih šupljina. Taljevina je prikazana narančastom bojom. Na slikama 7.25 i 7.26 prikazan je postupni tok 42

55 taljevine i popunjavanje kalupnih šupljina. Očito je da se sve kalupne šupljine neće popuniti u isto vrijeme, što znači da sustav nije u potpunosti uravnotežen. Slika Tok rastaljenog polimera Slika Tok rastaljenog polimera 43

56 Vjerojatnost popunjavanja kalupnih šupljina (e. Confidence of Fill ) Na slici prikazan je model kalupa sa svih osam kalupnih šupljina. Sve kalupne šupljine u potpunosti su obojene zelenom bojom, što znači da će materijal bez većih problema popuniti kalup. Slika Popunjenost kalupne šupljine Predviñanje kvalitete otpreska (e. Quality prediction ) Sa slike vidljivo je da će kvaliteta otpresaka biti visoka. Na modelima nema velikih područja koja su obojena žutom bojom koja bi ukazivala na smanjenu kvalitetu. Ako i postoje žuta područja, toliku su mala da se sa sigurnošću mogu zanemariti. 44

57 Slika Predviñanje kvalitete Vrijeme popunjavanja (e. Fill Time) Analiza pokazuje koji se dijelovi kalupne šupljine popunjavaju u isto vrijeme. Područja koja se prva pune prikazana su crvenom bojom, a ona koja se pune posljednja plavom bojom. Primarna upotreba ove analize je utvrñivanje pune li se svi uljevni kanali taljevinom u isto vrijeme. Na slici vidljivo je da se kalupne šupljine koje su bliže uljevku napune prije od krajnjih, što znači da uljevni sustav nije u potpunosti uravnotežen. 45

58 Slika Vrijeme popunjavanja Pad tlaka u kalupnoj šupljini (e. Pressure drop) Na slici crveno su obojena područja gdje dolazi do najvećeg pada tlaka, a plavo ona koja se nalaze bliže ušću (manji pad tlaka). Ukoliko se dogodi da tlak padne ispod nazivnog tlaka ubrizgavanja može se dogoditi da polimer ne popuni kalupnu šupljinu u potpunosti. Iz slike je vidljivo da je najveći pad tlaka u krajnjim kalupnim šupljinama, ali se još uvijek nalazi pri zadovoljavajućim vrijednostima. 46

59 Slika Pad tlaka u uljevnom sustavu Temperatura čela taljevine (e. Flow front temperature ) Na slici vidljiv je očit pad temperature u smjeru toka taljevine za vrijeme popunjavanja kalupne šupljine. Ukoliko je temperatura preniska, na primjer kod tankostjenih otpresaka može se dogoditi da polimer ne popuni cijelu kalupnu šupljinu. Kod krajnjih kalupnih šupljina očituje se veći pad temperature pri ubrizgavanju polimera, no on je zanemariv jer razlika izmeñu najtoplijih i najhladnijih predjela iznosi tek 0,4 ºC. 47

60 Slika Temperatura čela taljevine Linije spajanja (e. Weld line) Linije spajanja nastaju na mjestima gdje se spajaju dva toka taljevine. Na slici linije spajanja prikazane su crvenim linijama. Zbog mjesta na kojem se nalaze (kraj kalupne šupljine) i njihove veličine može se zaključiti kako će imati mali ili nikakav utjecaj na mehanička svojstva, a vjerojatno neće biti ni uočljive. 48

61 Slika Linije spajanja Zaostali zračni mjehuri (e. Air traps ) Na slici zrak koji je zaostao u kalupnoj šupljini prikazan je u obliku plavih mjehurića. Na slici je vidljivo kako se u području gdje su rupice nalazi puno zaostalog zraka što bi moglo predstavljati ozbiljan problem pri procesu prešanja. Zaostali zrak u kalupnoj šupljini vrlo je nepoželjan i na temelju ovih rezultata već je vidljivo da će u tom području trebati osigurati mjesto za odzračivanje. Sa slike vidljivo je da su temperature pri ubrizgavanju u tom području oko 230 ºC, što znači da ako zrak ne bi napustio kalupnu šupljinu moglo doći do degradacije materijala ili čak do zapaljenja materijala u kalupu. 49

62 Slika Zaostali zrak u kalupnoj šupljini Vrijeme hlañenja (e. Cooling time) Otpresci prikazani na slici hlade se oko 55 sekundi i to gotovo jednolično, što je jako povoljno jer će svi otpresci u kalupu biti podjednake kvalitete. Na debljim presjecima otpresak se sporije i ravnomjernije hladi, dok se na suženim područjima (vrat) hladi neravnomjernije (područja različitih boja). Vrijeme hlañenja uvelike utječe na trajanje ciklusa injekcijskog prešanja te ga se nastoji smanjiti. 50

63 Slika Vrijeme hlañenja 7.5. Optimiranje uljevnog sustava Nakon provedene analize tečenja rastaljenog polimera (Plastic Fill) i dobivenih rezultata, pokušat će se poboljšati rezultati na način da program sam pokuša uravnotežiti uljevni sustav promjenom parametara uljevnog sustava. Program na temelju rasporeda kalupnih šupljina, njihove geometrije i svojstava materijala izračunava optimalne parametre uljevnog sustava za postavljenu situaciju. U Analysis Wizardu pokreće se simulacija uravnoteženje uljevnog sustava (Runner Balance) (slika 7.35.). U postavkama za definiranje ušća, uljevnih kanala i uljevka uključuje se opcija Automatically size (slika 7.36.). Po završetku simulacije parametri uljevnog sustava su očitani iz Moldflow Mold Advisera te su tablično usporeñeni s početnima (tablica 7.2.). 51

64 Slika Odabir željene analize Slika Opcija Automatically size 52

65 Tablica 7.2. Usporedba parametara uljevnog sustava (prije i nakon uravnoteženja) ELEMENTI ULJEVNOG VELIČINA, POČETNE VRIJEDNOSTI NOVE VRIJEDNOSTI SUSTAVA mm PARAMETARA PARAMETARA UŠĆE 1 (Gate) d 1 5,0 3,20 d 2 1,5 1,88 UŠĆE 2 (Gate) d 1 5,0 1,8 d 2 1,5 1,8 ULJEVAK (Sprue) d 1 2,0 2,0 d 2 6,0 5,17 ULJEVNI KANALI (Runners) d 5,0 5,82 Slika Ušće 1 i Ušće 2 53

66 7.6. Ponovljena simulacija sa novim parametrima Nakon optimiranja parametara uljevnog sustava provodi se nova simulacija sa dobivenim parametrima te se rezultati usporeñuju s prethodnom simulacijom. Za pokretanje simulacije uključuje se Analysis Wizard i u njemu se definira koja analiza se želi pokrenuti (slika 7.23.). Nakon odabira Plastic Filing pritiskom na gumb Finish pokreće se analiza. U okviru ove točke promatraju se samo rezultati Plastic Flow, Fill Time, Pressure drop i Flow Front Temperature jer se na temelju njih može zaključiti o kvaliteti budućih otpresaka. Iz analiza linije spajanja (Weld Line) i zaostali zračni mjehiuri (Air Traps) ne saznaje se ništa novo, jer se radi o istim kalupnim šupljinama Rezultati simulacije i interpretacija rezultata Tečenje rastaljenog polimera (e. Plastic flow ) Iz slika i vidljivo je da polimerna taljevina jednoliko popunjava sve kalupne šupljine. Već na temelju ovog rezultata mogli bi zaključiti kako je program dobro optimirao dimenzije uljevnog sustava. Slika Tok rastaljenog polimera 54

67 Slika Tok rastaljenog polimera Vjerojatnost popunjavanja kalupnih šupljina (e. Confidence of fill ) Sa slike vidljivo je da se isti dijelovi kalupnih šupljina popunjavaju u isto vrijeme. Slika Vrijeme punjenja 55

68 Pad tlaka u kalupnoj šupljini (e. Pressure drop ) Sa slike vidljivo je da je pad tlaka u svim kalupnim šupljinama jednak. Slika Pad tlaka 56

69 Temperatura čela taljevine (e. Flow front temperature ) Na slici može se uočiti da su razlike u temperaturi izmeñu kalupnih šupljina vrlo male. Slika Temperatura čela taljevine Na temelju dobivenih rezultata može se zaključiti kako je program vrlo uspješno optimirao parametre uljevnog sustava. Smanjivanjem dimenzija ušća koja se nalaze bliže uljevku postignuto je ravnomjernije punjenje kalupnih šupljina, što je ujedno rezultiralo ujednačavanjem tlaka i temperature, te će opresci u jednom ciklusu biti podjednakih mehaničkih svojstava i dimenzija. Jako korisnim pokazala se analiza Air Traps koja upozorava na mjesta gdje se nakuplja potisnuti zrak nakon prolaska kroz kalupnu šupljinu. Analiza vrijeme hlañenja (Cooling time) vrlo je bitna zbog toga što se na temelju nje može otprilike procijeniti vrijeme trajanja ciklusa i ukazuje na područja koja treba dodatno hladiti ili zagrijavati. 57

70 8. ZAKLJUČAK Postupci prerade polimera u današnje vrijeme postaju sve složeniji, pa tako i postupak injekcijskog prešanja. Izrada sve kompleksnijih otpresaka zahtjeva veliku pozornost kontruktora već u početnim fazama razrade kalupa. Uporabom računala pri konstruiranju i razvoju alata za injekcijsko prešanje uvelike se smanjuje vrijeme razrade, a ujedno se postiže viša ekonomičnost. Budući da je faza punjenja kalupne šupljine jedna od najkompliciranijih, za predviñanje zbivanja u kalupnoj šupljini u velikoj mjeri koriste se razni računalni programi. Analiza punjenja kalupne šupljine objašnjava mnoge parametre koji utječu na ponašanje taljevine tijekom ubrizgavanja i radi toga je vrlo važna. Za numerički proračun kalupa koristi se veliki broj računalnih programa, a jedan od njih je i Moldflow. S korisničkog aspekta dobre strane ovog računalnog programa su što omogućava vrlo brzu simulaciju punjenja kalupne šupljine. Uporaba je vrlo jednostavna i ne zahtijeva generiranje mreže konačnih elemenata (FEM). Rezultati simulacije mogu već u ranoj fazi razvoja kalupa dati vrlo korisne podatke o popunjenosti kalupne šupljine, razdiobi tlakova i temperatura u kalupnoj šupljini, pojavi linija spajanja i sl. Ovaj program pretežno se koristi za brzu analizu punjenja kalupne šupljine, te je za točnu analizu potrebno je načiniti potpunu analizu s generiranjem mreže konačnih elemenata. 58

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Goran Antić. Zagreb, 2011.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Goran Antić. Zagreb, 2011. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Goran Antić Zagreb, 2011. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Računalna simulacija procesa injekcijskog

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα