ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. 3 η Έκδοση

Transcript

1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 3 η Έκδοση Οδηγός για τις πανελλαδικές εξετάσεις ΘΕΜΑ: Α, Β, Γ και Δ Σχολικού Βιβλίου Ψηφιακού Βοηθήματος του Υπουργείου Προτεινόμενα Πανελλαδικών Εξετάσεων Προτεινόμενα Προσομοιωμένα Διαγωνίσματα Οδηγίες διδασκαλίας Οδηγίες για τις εξετάσεις Μέρος Α: Θέματα Με την υποστήριξη του Μαθηματικού περιηγητή

2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γιάννης Καραγιάννης Τηλ ΡΟΔΟΣ Σελίδες: 38 Σχήμα: 8,5,7 ISBN: Εκδότης: Γιάννης Καραγιάννης (ID:897) Copyright: Γιάννης Καραγιάννης Νοέμβριος 6 Φιλολογική Επιμέλεια: Τσομαρέλη Τριανταφυλλιά Επιμέλεια εξωφύλλου: Γιάννης Καραγιάννης Έκδοση: 3 η Εκτύπωση: Lichnos Print House Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Απαγορεύεται η αναπαραγωγή μερική ή ολική έστω και μιας σελίδας του βιβλίου αυτού με οποιαδήποτε μέθοδο (μηχανική, ηλεκτρονική, φωτοτυπική κα (Ν /93 και 557/97) Οι παραβάτες διώκονται ποινικά

3 Στους μαθητές που καθημερινά μοχθούν για να πετύχουν τους στόχους τους Στους συναδέλφους που καθημερινά αγωνιούν για μαθητών τους την διδασκαλία των

4 Αγαπητή μαθήτρια, αγαπητέ μαθητή, Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου γράφτηκε αποκλειστικά για σένα, για να σε βοηθήσει στις Πανελλαδικές Εξετάσεις, ώστε μετά από τη συστηματική μελέτη του να είσαι έτοιμος να γράψεις άριστα Για να γίνει αυτό απαιτείται η βαθιά κατανόηση των εννοιών και των θεωρημάτωνπροτάσεων του σχολικού σου βιβλίου Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου έχει την φιλοσοφία ότι το βασικό υλικό που πρέπει να μελετήσεις είναι αυτό του σχολικού σου βιβλίου, του ψηφιακού εκπαιδευτικού βοηθήματος του Υπουργείου καθώς και τα θέματα που μέχρι σήμερα έχουν ζητηθεί στις Πανελλαδικές Εξετάσεις Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου θέλοντας να σε οδηγήσει στην απόλυτη επιτυχία, σου προτείνει και επιπλέον θέματα για εξάσκηση και βαθύτερη σκέψη, καθώς και συνδυαστικά θέματα Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, θέλοντας να σου δείξει το δρόμο για την επιτυχία, σου προτείνει προσομοιωμένα διαγωνίσματα στο επίπεδο των Πανελλαδικών Εξετάσεων Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, θέλοντας να σε διευκολύνει στην επίτευξη του στόχου σου, δεν σου δίνει σε αυτό το βιβλίο τις απαντήσειςυποδείξεις και λύσεις των θεμάτων αφήνοντας σε σένα την πρώτη προσπάθεια Τις απαντήσεις, τις υποδείξεις και τις πλήρεις αναλυτικές λύσεις (όπως ακριβώς θα πρέπει να γράφονται στο γραπτό σου) θα τις βρεις στο ΜΕΡΟΣ Β που κυκλοφορεί Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου θέλοντας να σου δώσει ακόμα μια πρόταση περιέχει επαναληπτικά θέματα που προτείνει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Αγαπητέ μου συνάδελφε, Η καθημερινή σου αγωνία είναι πως θα διδάξεις τους μαθητές σου οργανωμένα και μεθοδικά, με σωστή διαχείριση του πολύτιμου χρόνου σου, ώστε να καταφέρουν το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα Ακριβώς αυτό

5 προσδοκά να καλύψει το παρόν σύγγραμα Για να μην σπαταλάς ατελείωτες ώρες να βρεις υλικό κατάλληλο, έγκυρο και αξιόπιστο που να ανταποκρίνεται στο επίπεδο των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων αλλά και στο διαφοροποιημένο επίπεδο των μαθητών σου Διδάσκοντας το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου αυτού να είσαι σίγουρος ότι τα παραπάνω έχουν συντελεστεί Καλή συνέχεια Γιάννης Καραγιάννης

6 Πριν ξεκινήσεις νε μελετάςοδηγιεσ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Το βιβλίο αυτό μπορείς να το μελετήσεις γραμμικά (δηλαδή με τη σειρά των κεφαλαίων και των παραγράφων του) αλλά και μη-γραμμικά (δηλαδή επιλέγοντας εσύ τη σειρά των κεφαλαίων ή/και των παραγράφων σύμφωνα με τις ανάγκες σου) Γραμμικά: Με το τέλος της μελέτης κάθε κεφαλαίου από το σχολικό βοήθημα μπορείς: Να εστιάσεις στις ασκήσεις που προτείνονται, ανά θέμα, από το σχολικό σου βιβλίο στο συγκεκριμένο κεφάλαιο της ύλης ( ο, ο, 3 ο και 4 ο ) Να προσπαθήσεις τις ασκήσεις, ανά θέμα, που προτείνονται από το Ψηφιακό Βοήθημα του Υπουργείου στο συγκεκριμένο κεφάλαιο της ύλης ( ο, ο, 3 ο και 4 ο ) Να προσπαθήσεις, ανά θέμα, τις ασκήσεις που προτείνονται στα «Προτεινόμενα θέματα» ( ο, ο, 3 ο και 4 ο ) Τέλος, να προσπαθήσεις, ανά θέμα, τα διαγωνίσματα που προτείνονται στο τέλος κάθε κεφαλαίου Όταν όλα αυτά γίνουν, θα καταλάβεις πόσο καλά μπορείς να διαπραγματευτείς θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων παλαιοτέρων ετών και μπορείς να αρχίσεις από την κατηγορία θέμα Α, Β, Γ και Δ Είσαι έτοιμος; Το πόσο έτοιμος είσαι θα φανεί από το πώς μπορείς να αντιμετωπίσεις τα προσομοιωμένα διαγωνίσματα που παρατίθενται στο 5 ο Κεφάλαιο Η διαδικασία αυτή θα καταδείξει το βαθμό ετοιμότητάς σου (όλα τα προσομοιωμένα διαγωνίσματα έχουν τρίωρη διάρκεια) Επιπλέον, μπορείς να διαπραγματευτείς τα πραγματικά θέματα του 6 (σε όλους τους τύπους σχολείων) δίνοντας «πραγματικές εξετάσεις» Αν το ενδιαφέρον σου είναι αυξημένο για το μάθημα μπορείς, αν το επιθυμείς, να δεις θέματα που προτείνονται από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία και ακόμη να ανατρέξεις στα απαιτητικά θέματα (χωρίς να απογοητευτείς αν δεν τα καταφέρεις πλήρως) Τέλος, τώρα πρέπει να δεις πόσο καλά τα έγραψες στο τετράδιό σου, δηλαδή δεν αρκεί ότι έλυσες τα θέματα αλλά μετράει και ο τρόπος της παρουσίασης, της δομής και της

7 αιτιολόγησης Για το σκοπό αυτό θα ανατρέξεις στο e-book των λύσεων για να συγκρίνεις το γραπτό σου με τις λύσεις (το e-book θα σου δοθεί ηλεκτρονικά αργότερα) Μη-Γραμμικά: Σε όποιο σημείο της μελέτης σου επιθυμείς, μπορείς να ανατρέχεις για «αξιολόγηση» σε όποιο θέμα (Κεφάλαιο) θέλεις και σε όποια κατηγορία θεμάτων θέλεις (Σχολικού, ΨΕΒ, προτεινόμενα, θέματα Πανελλαδικών) Σου προτείνω να μην προτρέξεις να αντιμετωπίσεις πριν από τα άλλα (Σχολικού, ΨΕΒ, προτεινόμενα) τα προσομοιωμένα διαγωνίσματα αλλά αυτό να το κάνεις ως τελικό στάδιο Είναι απαραίτητο να έχεις δει βασικές ασκήσεις του σχολικού σου βιβλίου και του ΨΕΒ Μετά θα «ζυγίσεις» πού μπορείς και που θέλεις «προπόνηση» Έτοιμος θα είσαι όταν γράφεις ΜΟΝΟΣ σου, χωρίς βοήθεια, στο τετράδιό σου και επιτυγχάνεις τους στόχους σου Μπορείς να διαμορφώσεις μόνος σου το στόχο σου και να πορευτείς Ανάλογα με αυτόν διαμορφώνεις τη μελέτη σου από το θέμα Α έως και το Θέμα Δ και κάτι παραπάνω Καλή μελέτη και σε βάθος

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΘΕΜΑ Α ΣΕΛΙΔΕΣ Οι πιο σημαντικοί ορισμοί -3 Διατυπώσεις και Γεωμετρικές Ερμηνείες Θεωρημάτων 4 3 Θεωρήματα και Προτάσεις για Απόδειξη Ερωτήσεις Αντικειμενικού Τύπου -4 5 Ερωτήσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΘΕΜΑ Β ΣΕΛΙΔΕΣ Σχολικού Βιβλίου 6-87 Ψηφιακό Βοήθημα του Υπουργείου Προτεινόμενα Πανελλαδικών Εξετάσεων Διαγωνίσματα επιπέδου θέματος Β 7-9 ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΘΕΜΑ Γ ΣΕΛΙΔΕΣ 3 Σχολικού Βιβλίου 4-3 Ψηφιακό Βοήθημα του Υπουργείου Προτεινόμενα Πανελλαδικών Εξετάσεων Διαγωνίσματα επιπέδου θέματος Γ ο

9 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΘΕΜΑ Δ ΣΕΛΙΔΕΣ 4 Σχολικού Βιβλίου Ψηφιακό Βοήθημα του Υπουργείου Προτεινόμενα Πανελλαδικών Εξετάσεων Διαγωνίσματα επιπέδου θέματος Δ ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ-ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 5 Επαναληπτικά Θέματα από την ΕΜΕ Προσομοιωμένα Διαγωνίσματα Θέματα Πανελλαδικών Δέκα απαιτητικά θέματα (3 ο και 4 ο ) 75-8 Παράρτημα: Α Εξεταστέα ύλη 8-36 Β Οδηγίες διδασκαλίας Γ Οδηγίες πριντις εξετάσεις Βιβλιογραφικές αναφορές 37

10 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΘΕΜΑ Α Ορισμοί Διατυπώσεις και Γεωμετρικές Ερμηνείες Θεωρημάτων 3 Θεωρήματα και Προτάσεις για Απόδειξη 4 Ερωτήσεις Αντικειμενικού Τύπου 5 Ερωτήσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων ο

11 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Οι πιο σημαντικοί ορισμοί Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης ; 3 Πότε δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες; 4 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει: στο στο A (ολικό) μέγιστο, A (ολικό) ελάχιστο 5 Αν : και g :, δύο συναρτήσεις τι ονομάζουμε σύνθεση της με την g ; 6 Πότε μια συνάρτηση λέγεται: γνησίως αύξουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της; γνησίως φθίνουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της; 7 Πότε μια συνάρτηση : λέγεται συνάρτηση ; 8 Τι ονομάζουμε αντίστροφη της συνάρτησης : ; 9 Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα a, ; σε ένα κλειστό διάστημα, ; Τι οναμάζεται ακολουθία;

12 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C μίας συνάρτησης στο σημείο της, ( ) A ; 3 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; 4 Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ( ) ως προς το στο σημείο, όταν είναι μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο ; 5 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο; 6 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο; 7 Έστω μία συνάρτηση συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι: α Μία συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ; β Μία συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ; 8 Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Πότε το σημείο A(, ( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της ; 9 Τι ονομάζουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ; Τι ονομάζουμε οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο ; (αντιστοίχως στο );

13 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Πότε λέμε ότι ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (αντιστοίχως στο ); Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο διάστημα Δ; 3 Τι ονομάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης από το a στο ; 4 Αν g συνεχής στο [ a, ], ποιος τύπος δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g και τις ευθείες a και αν: i g( ) για κάθε [ a, ]; ii g( ) για κάθε [ a, ]; ii η g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ a, ]; Να αποδείξετε τους τύπους σε κάθε περίπτωση με τη βοήθεια ενός σχήματος 5 Ποιος είναι ο τύπος που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συνεχών συναρτήσεων, g στο [ a, ] και τις ευθείες a και ; Να αποδείξετε τους τύπους σε κάθε περίπτωση με τη βοήθεια ενός σχήματος 3

14 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Διατυπώσεις και Γεωμετρικές Ερμηνείες σημαντικών Θεωρημάτων και Προτάσεων Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεμβολής Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία 3 Να διατυπώσετε το θεώρημα των Ενδιαμέσων Τιμών 4 Να διατυπώσετε το θεώρημα της Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής 5 Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία 6 Να διατυπώσετε το Θεώρημα της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία 7 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat 8 Να διατυπώσετε τους κανόνες του de l Hospital 9 Τι παριστάνει γεωμετρικά το d, αν [ a, ]; Τι παριστάνει γεωμετρικά το cd, αν c > ( ); Τι παριστάνει γεωμετρικά το ( ) ( ) [ a, ]; με συνεχή στο g d, με, g συνεχείς στο Να διατυπώστε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού 4

15 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 3 Θεωρήματα και Προτάσεις για απόδειξη Ποια είναι η σχέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων, ; Να αποδείξετε τον ισχυρισμό σας Αν P a a a ένα πολυώνυμο, να αποδείξετε ότι: v lim P P P( ) 3 Έστω η ρητή συνάρτηση ( ), όπου P( ), Q( ) πολυώνυμα του Q( ) P( ) και με Q( ) Να αποδείξετε ότι lim ( ) Q( ) 4 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών 5 Να αποδείξετε ότι: Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό 6 Έστω η σταθερή συνάρτηση ( ) c, c Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ), δηλαδή c 7 Εστω η συνάρτηση ( ) παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι, δηλαδή 8 Έστω η συνάρτηση ( ), ν -, Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει v, δηλαδή v ( ) 5

16 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 9 Εστω η συνάρτηση, Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και ισχύει ( ), δηλαδή Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g ( ) g ( ) Έστω η συνάρτηση ( ), ν * Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει, δηλαδή ( ) Έστω η συνάρτηση ( ) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R / και ισχύει ( ), δηλαδή: a 3 Η συνάρτηση ( ), a, είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και ισχύει a, δηλαδή a a ( ) 4 Η συνάρτηση ( ) a, a, είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει, δηλαδή ln ( ) a ln a a a 5 Η συνάρτηση ( ) ln, * είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει ln 6

17 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 6 Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του, να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα 7 Έστω δύο συναρτήσεις, g ορισμένες σε ένα διάστημα Αν οι, g είναι συνεχής στο και ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει ( ) g( ) c 8 Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Αν ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Αν ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το 9 Να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι: i Αν ( ) στο (, ) και ( ) στο (, ), τότε το ( ) είναι τοπικό μέγιστο της 7

18 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α ii Αν ( ) στο (, ) και ( ) στο (, ), τότε το ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της iii Αν ( ) διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε το ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο, Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής παράγουσες της στο Δ και G F c, c, είναι κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G F c, c Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεμελιώδες θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού 3 Έστω, g συνεχείς στο διάστημα [ a, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες a,, να δείξετε ότι ( ) ( ) i Αν ( ) g( ) g d ii Αν, g είναι μη αρνητικές στο [ a, ] και ( ) g( ), να δείξετε ότι ( ) g( ) d 4 i Έστω g συνεχής στο [ a, ] με g( ) για κάθε [ a, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράστάση της g και τις ευθείες a, 8

19 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Να αποδείξετε ότι ( ) g( ) d ii Έστω, g συνεχείς στο [ a, ] και η διαφορά ( ) g( ) δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ a, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες a, Να αποδείξετε ότι ( ) g( ) d 9

20 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 4 Ερωτήσεις Αντικειμενικού τύπου α Ερωτήσεις Κατανόησης του Σχολικού Βιβλίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας Αν ln Αν και Ι g e, τότε: go,, * og Α Ψ lim l, τότε lim 3 Είναι lim lim lim lim 4 Αν lim, τότε lim για κάθε και υπάρχει το 5 Ισχύει: α lim β lim 6 Αν κοντά στο, τότε 7 Αν a lim Α Ψ,,, τότε κατ ανάγκη θα είναι lim 8 Αν υπάρχει το lim g 6 6 g 6 9 Αν lim lim, τότε κατ ανάγκη θα είναι, τότε πάντα είναι ίσο με lim και Α Α Α Α Α Α Α Α Α Ψ ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ

21 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Αν lim, τότε lim Α Ψ Αν συνεχής στο και για 4 τότε το 4 είναι ίσο με Αν η είναι συνεχής στο, είναι 7, 4 και 4, 3, τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός, τέτοιος, ώστε ΙΙ Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις Α Α Ψ Ψ Αν lim l, lim g m με, l m και g κοντά στο, τότε κατ ανάγκη θα είναι: Α l m Β l m Γ l m Δ l m Ε m l Το όριο lim 3 3 είναι ίσο με: Α 8 Β Γ Δ Ε 8 3 Το lim 3 3 είναι ίσο με: Α Β Γ Δ Ε 4 Αν το lim 3 3 δεν υπάρχει, τότε: Α Β Γ Δ

22 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α ΙΙΙ Δίνονται οι συναρτήσεις : και g Από τους παρακάτω ισχυρισμούς λάθος είναι ο: Α Η g είναι συνεχής στο Β Η είναι συνεχής στο Γ Η g έχει δυο σημεία στα οποία δεν είναι συνεχής Δ lim ( ) Ποια από τα παρακάτω όρια είναι καλώς ορισμένα: Α lim Β lim Γ lim 9 3 Δ 9 lim 3 Ε lim ln 3 ΣΤ lim ln 3 3 Δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ = [,3], με, κα 3 Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισμούς δεν προκύπτει κατ' ανάγκη από τις υποθέσεις; Α Υπάρχει, 3 τέτοιος, ώστε Β lim ( ) 3 Γ lim ( ) Δ, Ε Η μέγιστη τιμή της στο [,3] είναι το και η ελάχιστη τιμή της το

23 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντηση σας Ι Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο, και ( ) για όλα τα,, τότε Αν η συνάρτηση παραγωγίζεται στο a, με a τότε υπάρχει a, 3 Αν οι, τέτοιο, ώστε ( ), g είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο, a g( a) και g, τότε υπάρχει a, ώστε στα σημεία A, ( ) και, ( ) είναι παράλληλες για κάθε, τότε: 4 Αν ( ) α) το είναι τοπικό μέγιστο της β) το είναι τοπικό ελάχιστο της a, με τέτοιο, B g οι εφαπτόμενες να 5 α) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη Α Α Α Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ β) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη 6 Η συνάρτηση με,,, και 3 a έχει πάντα ένα σημείο καμπής Α Ψ 3

24 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 7 Αν οι συναρτήσεις, g έχουν στο σημείο καμπής, τότε και η h og έχει στο σημείο καμπής 8 Δίνεται ότι η συνάρτηση παραγωγίζεται στο και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα Αν υπάρχει κάποιο σημείο, ( ) A της C του οποίου η απόσταση από τον άξονα είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη Α Α Ψ Ψ της C είναι οριζόντια 9 Η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : α 3 β g 3 Αν γραφική παράσταση της συνάρτησης δίνεται από το παρακάτω σχήμα, τότε: i) το πεδίο ορισμού της ii) το πεδίο ορισμού της είναι το, 4 είναι το, 4 Α Α Ψ Ψ 4

25 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α για κάθε, 4 iii) ( ) iv) υπάρχει, 4 Η συνάρτηση Α Ψ : ( ) Α Ψ 3 έχει: α μια, τουλάχιστον, ρίζα στο, Α Ψ β μια, ακριβώς, ρίζα στο, Α Ψ γ τρεις πραγματικές ρίζες Α Ψ Αν για τις παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις ισχύουν 4, 3, 6, g 5, g, g 4, τότε og go Α Ψ ΙΙ Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση Το h 6 6 lim h h ισούται με: Α Το 3 3 Α Β 4 3 lim h ισούται με: h h 3 3 Αν 5, τότε η Γ 3 Δ Ε 3 4 Β Γ Δ ισούται με: Ε Α 35 3 Β 3 5 3ln 5 Γ 3 5 Δ Ε 3 5 ln5 5

26 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 4 Αν 3, τότε η ισούται με: Α 3 3 Β 3 Γ 3 Δ 3 5 Αν 3, τότε η έβδομη παράγωγος αυτής στο ισούται με: Α Β Γ Δ 7 Ε Δεν υπάρχει 6 Αν οι εφαπτομένες των συναρτήσεων ln και g σημεία με τετμημένη είναι παράλληλες, τότε το είναι: στα Α Β 4 Γ Δ Ε 7 Αν a ( ) e, g e και g( ) g του ισούται με: Α Β Γ, τότε το ως συνάρτηση Δ 8 Αν για κάθε, και Ε, τότε: Α Β Γ Δ 6

27 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α ΙΙΙ Να αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις συναρτήσεις α, β, γ, δ σε εκείνη από τις συναρτήσεις Α, Β, Γ, Δ, Ε, Z που νομίζετε ότι είναι η παράγωγός της Να αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις στην ευθεία που είναι ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης στο + ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ e 3 ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ Α y Β y 3 Γ y Δ y Ε y 7

28 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας Ι Ισχύει: ( ) g ( ) d ( ) d g ( ) d a Ισχύει: ( ) g ( ) d ( ) d g ( ) d a 3 Αν, τότε g( ) d a ( ) για κάθε a, 5 Αν για κάθε a, 4 Αν ( ) d, τότε κατ ανάγκη θα είναι a a, τότε g( ) d 6 Αν g( ) d, τότε κατ ανάγκη θα είναι για κάθε a, 4 a 4 7 a d d για κάθε a d 8 4 ln d 4 ln e e 9 ln d ln dt t 3 Το ολοκλήρωμα d παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική 3 παράσταση της συνάρτησης και τον άξονα των Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ 8

29 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α ΙΙ Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση Αν και, τότε το ισούται με: Α Β Γ Δ Το ολοκλήρωμα d είναι ίσο με: Α 4 3 Β Γ 4 Δ 3 3 Ε Έστω, g δυο παραγωγίσιμες συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους στο a, Αν g για κάθε a, Α g, a, Γ ( ) d g( ) d, τότε κατ' ανάγκη θα ισχύει: a Β ( ) d g( ) d Δ ( ) ( ) a d g d 4 Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του επόμενου σχήματος Είναι ίσο με: 5 Α ( ) d Β Γ 3 5 ( ) d ( ) d 3 Δ 3 5 ( ) d 3 5 ( ) d ( ) d 9

30 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 5 Aν g για κάθε, και g κάθε, ισχύει : Α g Β Γ g,, Δ Οι, ( ) g( ) d 4, τότε για C Cg έχουν κοινό σημείο στο, 6 Έστω η συνάρτηση του επόμενου σχήματος: d είναι: Aν E, E, E 3 3, τότε το Α 6 Β 4 Γ 4 Δ Ε ΙΙΙ Ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα ; Α d Β d Γ d Δ ln d Ε d ΣΤ d 3

31 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις: I d du u u du I u (θέσαμε, οπότε d ) Άρα I I, οπότε I Αυτό, όμως, u u είναι άτοπο, αφού I d, επειδή για κάθε, 3

32 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α β Ερωτήσεις θεωρίας κλειστού τύπου-ψηφιακό Βοήθημα του Υπουργείου Α Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Μια συνάρτηση : είναι συνάρτηση -, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ) Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το ( ), όταν ( ) ( ) για κάθε A 3 Αν υπάρχουν στο τα όρια των συναρτήσεων, g όταν, τότε ισχύει: ( ) lim ( ), εφόσον lim g( ) lim g ( ) lim g ( ) 4 Για κάθε συνάρτηση η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C, που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα 5 Ισχύει ότι: lim 6 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y Oy που διχοτομεί τις γωνίες Oy και 7 Κάθε συνάρτηση που είναι «-» είναι γνησίως μονότονη 8 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής,, και l ένας πραγματικός αριθμός Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim ( ) lim ( ) l 3

33 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 9 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα a,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα A, B, όπου: A lim ( ) και B lim ( ) a Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα a,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα A, B, όπου: Αν η συνάρτηση : A lim ( ) και B lim ( ) a A είναι «-», τότε ισχύει: ( ), A Αν μία συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,,, τότε: lim ( ) l, αν και μόνο αν lim ( ) lim ( ) l 3 Αν lim ( ) και ( ) κοντά στο, τότε lim ( ) 4 Αν a, τότε lim a 5 Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού και ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες 6 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της 7 Αν υπάρχει το lim ( ), τότε ( ) κοντά στο 8 Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι «-», αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες 33

34 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 9 Μια συνάρτηση είναι «-», αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία (παράλληλη στο ) τέμνει τη γραφική παράστασή της σε ένα τουλάχιστον σημείο Αν,, ορίζεται και η g h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogo Μια συνάρτηση : hogo και ισχύει hogo y του συνόλου τιμών της η εξίσωση ( ) προς hog o, τότε A είναι «-», αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y έχει ακριβώς μία λύση ως Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο 3 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δεν μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 4 Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα 5 Ισχύει: lim, 6 Αν lim ( ), τότε ( ) «κοντά» στο 7 Αν lim ( ) ή, τότε lim ( ) 8 Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 9 Αν, τότε ισχύει lim 34

35 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 3 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [ a, ], τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι [ ( a), ( )] ή [ ( ), ( )] 3 Αν ( ) l και lim g( ), τότε lim ( ) lim g ( ) 3 Αν η συνάρτηση : A είναι «-», τότε ισχύει η ισοδυναμία: ( ) ( ) 33 Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ( ) για κάθε είναι γνησίως αύξουσα, τότε 34 Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα και ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είναι «-» στο 35 Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα, τότε η εφαπτομένη της C σε κάθε σημείο είναι «κάτω» από τη 36 Αν ( ) a, a, τότε ( ) a C 37 Αν για μια συνάρτηση ισχύει * ( ) για κάθε, τότε η είναι σταθερή στο * 38 Η συνάρτηση ( ) είναι παραγωγίσιμη στο 39 Αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ισχύει ( a) ( ) με, τότε ορίζεται η ( ) 4 Αν το, ( ) στο [ a, ] είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε ( ) 4 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 35

36 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 4 Αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ισχύει ( ) στο σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε κατ ανάγκη έχει τοπικό ακρότατο στο 43 Ανάμεσα σε δυο ρίζες μιας πολυωνυμικής συνάρτησης, υπάρχει πάντα τουλάχιστον μια ρίζα της παραγώγου της 44 Αν για μια συνάρτηση ορισμένη και συνεχή σε ένα διάστημα ισχύει ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είναι «-» στο, τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 45 Αν ( ) τοπικό μέγιστο, τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 46 Αν ( ) τοπικό μέγιστο, τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 47 Αν ( ) τοπικό ελάχιστο 48 Αν μια συνάρτηση : έχει συνεχή πρώτη παράγωγο και ( ) για κάθε, τότε η είναι γνησίως μονότονη στο 49 Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη, τότε δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο 5 Αν μια συνάρτηση ορίζεται στο σημείο, αλλά δεν είναι συνεχής στο, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο 5 Αν για μια συνάρτηση και για ένα σημείο D ισχύει: lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim, τότε η είναι παραγωγίσιμη στο 5 Μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ a, ] δεν έχει ασύμπτωτες 36

37 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 53 Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε διάστημα και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Αν κυρτή στο, τότε ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του 54 Δίνεται συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Στα εσωτερικά σημεία του όπου η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, η C έχει οριζόντια εφαπτομένη 55 Αν μια συνάρτηση ορίζεται και είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα, και το σημείο A, ( ) με, καμπής της C, τότε ( ) είναι σημείο 56 Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του, δεν έχουν ασύμπτωτες 57 Αν για τη συνεχή και δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει ( ) για κάθε, τότε η C δεν έχει σημεία καμπής 58 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : a, με ( ) για κάθε,, τότε η παρουσιάζει ελάχιστο στο, το ( ) 59 Δίνεται η συνάρτηση P( ) h( ), με P( ), Q( ) πολυώνυμα βαθμού Q( ) και Q( ) για κάθε, όπου ο βαθμός του αριθμητή ισούται με το βαθμό του παρονομαστή Τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει ασύμπτωτες στο ή στο 6 Ισχύει η σχέση g ( ) d g g d, a όπου, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο[, ] a 6 Ισχύει η ισοδυναμία: d d 6 Ισχύει: a 37

38 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α με 63 Ισχύει: cd ca 64 Αν, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [, ], τότε: ( ) g ( ) d ( ) d g ( ) d 65 Αν η είναι συνεχής στο [, ], τότε το εμβαδόν 66 Αν, g είναι συνεχείς στο [, ] a με g και η δεν είναι παντού ίση με τη g στο [, ], τότε: ( ) d g( ) d 67 Αν ( ) για κάθε και, a a a a d παριστάνει για κάθε [, ] d a, τότε 68 Αν ( ) d,τότε κατ ανάγκη θα είναι ( ) για κάθε [ a, ] 69 Αν συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [ a, ] και για κάθε [ a, ] ισχύει ( ) και η συνάρτηση δεν είναι παντού στο διάστημα αυτό, τότε ( ) d 7 Αν F( ) ( t) dt, τότε το πεδίο ορισμού της F είναι ίδιο με το πεδίο ορισμού της a 7 Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ a, ] Αν G είναι μια παράγουσα της στο [ a, ], τότε: ( t) dt G( a) G( ) a 7 Αν η είναι συνεχής σε διάστημα και,,, τότε ισχύει: ( ) d ( ) d ( ) d a a 73 Κάθε συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό 38

39 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 74 Αν η είναι συνεχής σε διάστημα και,,, τότε ισχύει: ( t) dt ( t) dt c, c a 75 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [ a, ] και ( ) d, τότε κατ ανάγκη θα είναι ( ) για κάθε [ a, ] 76 Αν ( ) για κάθε [ a, ], τότε και ( ) d 77 Αν F( ) ( t) dt είναι μία παράγουσα της στο Δ, τότε a a 78 Αν, g είναι συνεχείς στο [ a, ] με ( ) g( ) για κάθε [ a, ], a τότε ( ) d g( ) d 79 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ a, ] και ισχύει ( ) για κάθε [ a, ], τότε ( ) d a a 8 Αν 4 t dt, τότε (3) ( ) 39

40 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Β Ερωτήσεις Αντιστοίχισης Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με την παράγωγό της από τη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β ) α) ( ) ) ( ) β) ( ) 3) ( ) γ) ( ) 4) 3 ( ) δ) ( ) ε) 3 ( ) στ) 3 ( ) ( ) Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με την ασύμπτωτή της στο από τη στήλη Β ) ) 3) Στήλη Α ( ) 3 ln g( ) 5 h( ) Στήλη Β α) y β) y 5 γ) y δ) y 4 ε) y 3 4

41 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 3 Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με την παράγωγό της από τη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β ) ) 3 e α) 3e 3 e β) 3) 3e γ) 3 4) e δ) 3 e 3 3 e 3 3e 3 ε) e στ) ζ) e 3 e e 3 4 Στο επόμενο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης στο διάστημα [, ] Επιλέξτε τη σωστή απάντηση: Το σημείο A, () είναι: θέση τοπικού μέγιστου της θέση τοπικού ελάχιστου της 3 σημείο καμπής της C 4

42 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Γ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Δίνεται συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο και με ( ) 3 Αν ( ),, τότε η έχει: για κάθε, και ( ) για κάθε i καμία ρίζα στο ii μία ακριβώς ρίζα στο iii δύο ακριβώς ρίζες στο iv περισσότερες από δύο ρίζες στο Επιλέξτε τη σωστή απάντηση: Αν παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με () και η είναι γνησίως φθίνουσα στο, τότε το () είναι: i τοπικό μέγιστο της ii τοπικό ελάχιστο της iii δεν είναι ακρότατο της 3 Δίνεται συνάρτηση ορισμένη στο, με lim ( ) 5 Ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι κατ ανάγκη σωστή; i Η y 5 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο ii ( ) για κάθε iii lim ( ) 4 4

43 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 5 Ερωτήσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων α Θεωρία Aν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο, ( ) A Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό 3 Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ α Να αποδείξετε ότι αν ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ β Αν ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης ; 4 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης στο διάστημα, 6 y Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα 5 Έστω η συνάρτηση ( ) παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ) Να δείξετε ότι η είναι 43

44 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 6 Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g g ( ) ( ) ( ) 7 Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; 8 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μία παράγουσα της στο Δ, να αποδείξετε ότι: α όλες οι συναρτήσεις της μορφής G( ) F( ) c, c είναι παράγουσες της στο Δ β κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G( ) F( ) c, c 9 Πότε μία ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ; Έστω η συνάρτηση ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει ( ) / και Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημ α Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι ( ) Πότε μια συν άρτηση λέμε ότι είν αι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδ ίου ορισμού της; 44

45 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 3 Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα a, Αν η είναι συνεχής στο a, και a ( ) Να αποδείξτε ότι για κάθε αριθμό μεταξύ των ένας, τουλάχιστον,, τέτοιος, ώστε a και ( ) υπάρχει 4 Πότε η ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στο + ; 5 Έστω η συνάρτηση με ( ) Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει ( ) 6 Πότε μια συνάρτηση : A λέγεται «-»; 7 Έστω μία συν άρτηση ορισμένη σε ένα δ ιάστημα Δ Αν η είναι συν εχής στο Δ και ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η είν αι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ 8 Έ στω Α έν α υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; 9 Έστω μια συν άρτηση, η οποία είναι συνεχής σε έν α διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι: Αν ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είν αι γν ησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είν αι γν ησίως φθίνουσα σε όλο το Δ 45

46 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Έ στω μια συνάρτηση συνεχής σ ένα δ ιάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσ ωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα άν ω ή είν αι κυρτή στο Δ; Να αποδείξετε ότι: Έστω μία συν άρτηση ορισμένη σε ένα δ ιάστημα Δ Τ ι ονομάζουμε αρχική συν άρτηση ή παράγουσα της στο Δ; 3 Πότε δύο συναρτήσεις, g λέγονται ίσες; 4 Πότε η ευθεία y l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + ; 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Πότε λέμε ότι η είναι συνεχής στο ; 6 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα a, παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα a, και a τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε 7 Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Αν η είναι συνεχής στο και για κάθε εσωτερικό σημείο του ισχύει, να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα 8 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Πότε θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο ; 9 Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; 46

47 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 3 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; 3 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) και για κάθε ισχύει: είναι παραγωγίσιμη στο 3 Έστω μία συνάρτηση, ορισμένη σε ένα διάστημα Να διατυπώσετε τον ορισμό της αρχικής συνάρτησης ή παράγουσας της στο 33 Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα a, Αν G είναι μια παράγουσα της στο a,, τότε να αποδείξετε ότι: t a dt G G a 34 Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού 35 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημαa, του πεδίου ορισμού της; 36 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat 37 Έστω συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της ; 38 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A Πότε λέμε ότι η παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το ; 39 Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο στο οποίο, όμως, η είναι συνεχής Αν η διατηρεί πρόσημο στο,,, τότε να αποδείξετε ότι το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο, 4 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano 47

48 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 4 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ; 4 Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ; 43 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Πότε λέμε ότι η είναι συνεχής στο ; 44 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A Πότε λέμε ότι η παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο; 45 Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ; 46 Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι: Αν ( ) στο (, ) και ( ) στο (, ), τότε το ( ) είναι τοπικό μέγιστο της 47 Πότε δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες; 48 Να διατυπώσετε το Θεώρημα της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία 49 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι ( ) 5 Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής 5 Πότε λέμε ότι η ευθεία y l είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο ; 48

49 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 5 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ 53 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Τι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ; β Αντικειμενικού τύπου Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο α Στήλη Α Στήλη Β συναρτήσεις εφαπτόμενες y 3 ( ) 3, β ( ), y 4 γ ( ) 3, 3 y 9 6 δ ( ), 4 4 y δεν υπάρχει Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος β a α ( ) d ( ) g( ) d, γ a όπου, και, ( ) g( ) d g συνεχείς συναρτήσεις, a 49

50 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο Αν, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού και ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες 3 Μια συνάρτηση : y του συνόλου τιμών της η εξίσωση προς 4 Μία συνάρτηση : A είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: y έχει ακριβώς μία λύση ως A είναι συνάρτηση «-», αν και μόνο αν για αν, τότε 5 Αν η έχει αντίστροφη συνάρτηση και η γραφική παράσταση της έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 6 Αν μ ια συνάρτηση : αντίστροφη συνάρτηση, y y y A 7 Αν μια συνάρτη ση : σημεία της με την ίδια τεταγμένη A είναι, τότε για την ισχύει ( ), A και A είναι, τότε υπάρχουν 8 Αν η συνάρτηση είναι ορισμένη στο a, και συνεχής στο a,, τότε η παίρνει πάντοτε στο a, μία μέγιστη τιμή 5

51 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 9 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία την ευθεία y Oy και Oy που διχοτομεί τις γωνίες Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συµµετρικές ως προς τον άξονα Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι «-», αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες Κάθε συνάρτηση, που είναι «-» στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη 3 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα a,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα A, B, όπου: lim και B lim A a 4 Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 5 Η εικόνα ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα 6 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα a, και υπάρχει a, τέτοιο, ώστε ισχύει a, τότε κατ ανάγκη θα 7 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή 5

52 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ 8 Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο, όταν ( ) ( ) για κάθε 9 Αν η είναι συνεχής στο a, με και υπάρχει, ώστε ( ), τότε κατ ανάγκη Ισχύει ότι: για κάθε Ισχύει ότι: lim Ισχύει ότι: lim 3 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής,, ισοδυναμία: και ένας πραγματικός αριθμός Τότε ισχύει η lim lim 4 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής,, Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim lim lim 5 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο, τότε αν είναι και lim lim 5

53 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 6 Αν υπάρχει το lim g lim και lim 7 Αν lim, τότε 8 Αν lim, τότε 9 Αν a, τότε lim a, τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα κοντά στο κοντά στο 3 Αν a, τότε lim a 3 Αν a, τότε lim a 3 Αν lim και 33 Αν lim και κοντά στο, τότε κοντά στο, τότε lim lim 34 Αν είναι lim, τότε κοντά στο 35 Αν είναι lim 36 Αν lim, τότε ή, τότε lim lim 37 Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι πάντοτε συνεχής στο 38 Αν η δεν είναι συνεχής στο, τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 39 Αν η έχει δεύτερη παράγωγο στο, τότε η είναι συνεχής στο 53

54 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 4 Αν µία συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σηµείο αυτό 4 Έστω δύο συναρτήσεις, g ορισμένες σε ένα διάστημα Αν οι, είναι συνεχείς στο και g, τότε ( ) g( ), για κάθε για κάθε εσωτερικό σημείο του 4 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα a,, στο οποίο η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle 43 Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του 44 Έστω συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Δ 45 Έστω συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ 46 Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα 47 Έστω συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα a, και σημείο a, πάντα ισχύει ότι ( ) στο οποίο η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο Τότε 48 Έστω συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι κυρτή στο Δ g 54

55 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 49 Αν μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει, για κάθε πραγματικό αριθμό 5 Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα a, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Αν η είναι κυρή στο a, και κοίλη στο, ή αντιστρόφως, τότε το σημείο, ( ) σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της A είναι υποχρεωτικά 5 Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική παράσταση της παράσταση 5 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η είναι παραγωγίσιμη στο και ( ), τότε η παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο 53 Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα a, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Αν ( ) στο a, και ( ) τοπικό ελάχιστο της στο,, τότε το είναι 54 Αν συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [ a, ] και για κάθε [ a, ] ισχύει, τότε d 55 Αν η είναι συνεχής στο διάστημα Δ και,,, τότε ισχύει: d a d d 55

56 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 56 Το ολοκλήρωμα d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα 57 Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα a, και ισχύει για κάθε [ a, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες a, και τον άξονα είναι a d 58 Αν είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και είναι ένα σημείο του Δ, τότε: 59 Αν, tdt g είναι δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε ισχύει: d g ( ) g d a 6 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε: 6 Αν lim ( ) ή, τότε o d ( ) ( ) d a a lim ( ) 6 Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα 63 Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δεν έχουν ασύμπτωτες 64 Έστω συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ 56

57 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 65 Αν για δύο συναρτήσεις, g ορίζονται οι συναρτήσεις og και go, τότε ισχύει πάντοτε ότι og go 66 Για κάθε ισχύει ότι 67 Έστω μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα a, Αν ισχύει ότι ( ) για κάθε a, και η συνάρτηση δεν είναι παντού μηδέν a στο διάστημα αυτό, τότε d 68 Αν lim ( ) και ( ) κοντά στο, τότε o lim ( ) 69 Έστω μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής a,, 7 Αν είναι, τότε Ισχύει η ισοδυναμία: lim ( ) lim ( ) lim ( ) o o o lim 7 Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν η είναι κυρτή στο Δ, τότε υποχρεωτικά ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ 7 Για κάθε συνεχή συνάρτηση :,, αν G είναι μια παράγουσα της στο,, τότε το ( t) dt G( a) G( ) a 73 Αν οι συναρτήσεις, g έχουν όριο στο και ισχύει ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim ( ) lim g( ) 74 Κάθε συνάρτηση, για την οποία ισχύει ( ) για κάθε,,, είναι σταθερή στο a,, a 57

58 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 75 Μια συνάρτηση είναι «-», αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y ( ) έχει ακριβώς μία λύση ως προς 76 Αν η είναι συνεχής στο, μέγιστη τιμή Μ και μία ελάχιστη τιμή m, τότε η παίρνει στο, μία 77 Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο, τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 78 Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού, η οποία έχει ασύμπτωτη 79 lim 8 Αν για κάθε, τότε ( ) για κάθε 8 Για κάθε συνάρτηση, συνεχή στο,, ισχύει: Αν d, τότε a στο, 8 Μια συνάρτηση είναι «-», αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση 83 Ισχύει: lim 84 Αν lim και y έχει ακριβώς μια λύση ως προς κοντά στο, τότε lim 85 Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο, τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 86 Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού, η οποία έχει ασύμπτωτη 58

59 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Α 87 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y, που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy, όπου Ο η αρχή των αξόνων 88 Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της, για τα οποία το ανήκει στο πεδίο ορισμού της g 89 Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της 9 Για κάθε συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ ισχύει ( ), για κάθε 9 Αν η είναι μια συνεχής συνάρτηση στο, d d, τότε ισχύει: 59

60

61 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΘΕΜΑ Β Σχολικού Βιβλίου Ψηφιακού Βοηθήματος του Υπουργείου 3 Προτεινόμενα 4 Πανελλαδικών Εξετάσεων 5 Διαγωνίσματα επιπέδου θέματος Β ο

62 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Β Σχολικού Βιβλίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i iii 3 ii 3 iv ln e Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: i ii iii 3,, iv ln και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της σε καθεμιά περίπτωση 3 Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, όταν: i 4 3 ii iii e 4 Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: 3 α και g 3 β και g 6

63 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Β 5 Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: i ii,, Aπό τη γραφική παράσταση της να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε καθεμιά περίπτωση 6 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι : 7 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι g περιπτώσεις που είναι g υποσύνολο του στο οποίο ισχύει ( ) g( ) Στις, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό α ( ) και g( ) β γ ( ) ( ) και g( ) και g( ) 8 Δίνονται οι συναρτήσεις και g( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g 63

64 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Β 9 Ομοίως για τις συναρτήσεις: και g( ) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση go, αν: α και g β και g γ και g 4 Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) και g( ) Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις go και og Δίνονται οι συναρτήσεις και g a του a ισχύει og go ; Για ποια τιμή 3 Να βρείτε συνάρτηση τέτοια, ώστε να ισχύει: α og, αν g β og, αν g γ go, αν g 64

65 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Β 4 Δίνονται οι συναρτήσεις: Να αποδείξετε ότι: a, με a και g α ( ) β g g( ), για κάθε a και, για κάθε, 5 Στο επόμενο σχήμα είναι AB =, AΓ = 3 και ΓΔ = Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του AM, όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ 6 Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης ΒΓ= cm και ύψους ΑΔ = 5 cm Να εκφράσετε το εμβαδό Ε και την περίμετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του 65

66 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Β 7 Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν οτι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις:,89 7,64 (για τους άνδρες) και,75 7,48 A (για τις γυναίκες), όπου σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους,45 m α Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του; β Aν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της; 8 Σύρμα μήκους l cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη cm και cm Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του 9 Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός P της πόλης είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη: χιλιάδες αυτοκίνητα N Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι t 4 εκατοντάδες χιλιάδες άτομα α Να εκφράσετε τον αριθμό N των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του β Πότε θα υπάρχουν στην πόλη χιλιάδες αυτοκίνητα; Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «-» και για κάθεμία απ αυτές να βρείτε την αντίστροφή της i ( ) 3 ii ( ) iii ( ) 3 iv ( ) v ( ) ln vi ( ) e 66

67 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Β vii e ( ) e viii ( ) Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g,, Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις, g,, έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ' αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της 67

68 Μ έ ρ ο ς Α - Κ ε φ ά λ α ι ο ο, θέμα Β Nα βρείτε το lim ( ) και το, εφόσον υπάρχουν, όταν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι : 3 Δίνεται η συνάρτηση που είναι ορισμένη στο, και έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Να εξετάσετε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς 68