Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare."

Transcript

1 Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare. 1.1 Definiţia spaţiului vectorial (liniar Definiţie O mulţime V φ se numeşte spaţiu vectorial peste K (sau K-spaţiu vectorial V dacă pe V se poate defini o operaţie algebrică internă (x, y V V + x + y V (numită adunarea vectorilor împreună cu care V are o structură de grup abelian, adică îndeplineşte axiomele precum şi o operaţie algebrică externă astfel încât să îndeplinească axiomele A1 x + y = y + x, x, y V A2 (x + y + z = x + (y + z, x, y, z V A3 0 V V a.î. x + 0 V = x, x V A4 x V, x V a.î. x + ( x = 0 V (α, x K V α x V (numită înmulţirea cu scalari A5 (α + β x = α x + β x α, β K, x V A6 α (x + y = α x + α y α K, x, y V A7 (α β x = α (β x α, β K, x V A8 1 x = x x V. Remarcă Elementele corpului K se numesc scalari şi se notează cu litere ale alfabetului grec iar elementele K spaţiului vectorial V se numesc vectori şi se notează cu litere ale alfabetului latin. Remarcă Elementul 0 V se numeşte vectorul nul iar x opusul vectorului x. Remarcă Pentru spaţiul vectorial V peste corpul K se foloseşte notaţia (V, K sau V/K. Dacă K = R atunci spaţiul vectorial (V, R se numeşte spaţiu vectorial real iar dacă K = C atunci spaţiul vectorial (V, C se numeşte spaţiu vectorial complex. Exerciţiul Fie K corp comutativ şi K n = K... K = }{{} de n ori unde n N, n 2. Pe K n definim operaţiile { } (x 1,..., x n T xi K, i = 1,..., n 1-1

2 CURS 1: ALGEBRĂ adunarea: unde (x 1,..., x n T, (y 1,..., y n T K n ; - înmulţirea cu scalari: unde α K, (x 1,..., x n T K n. (x 1,..., x n T + (y 1,..., y n T def = (x 1 + y 1,..., x n + y n T α (x 1,..., x n T = (α x 1,..., α x n T Să se arate că mulţimea K n înzestrată cu operaţiile + şi are o structură de spaţiu vectorial peste corpul K, numit spaţiu aritmetic n-dimensional (sau spaţiul coordonatelor. Demonstraţie. Elementul 0 V = (0,..., 0 T, respectiv x = ( x 1,..., x n T, este vectorul nul din K n, respectiv, opusul lui x din K n. Probăm A1 din Definiţia Pentru aceasta observăm că pentru orice x = (x 1,..., x n T, y = (y 1,..., y n T K are loc x + y = (x 1,..., x n T + (y 1,..., y n T def = (x 1 + y 1,..., x n + y n T = (y 1 + x 1,..., y n + x n T = (y 1,..., y n T + (x 1,..., x n T = y + x, adică axioma A1 a fost verificată. Absolut analog se verifică axiomele A2 A8 ceea ce arată că mulţimea K n este un spaţiu vectorial peste corpul K. Remarcă Pentru K = R obţinem spaţiul aritmetic n-dimensional R n. 1.2 Reguli de calcul într-un spaţiu vectorial Propoziţie Dacă (V, K este spaţiu vectorial atunci i 0 x = 0 V x V, ii α K avem α 0 V = 0 V, iii ( 1 x = x x V, iv α x = 0 V α = 0 sau x = 0 V v α (x y = α x αy x, y V, α K vi (α β x = α x β x α, β K, x V 1.3 Subspaţii vectoriale Definiţie Fie (V, K spaţiu vectorial şi X V, X φ. Mulţimea X se numeşte subspaţiu vectorial al lui (V, K dacă i x, y X = x + y X; ii α K, x X = αx X. Exemplul Orice spaţiu vectorial (V, K are cel puţin două subspaţii {0 V } şi V numite subspaţii vectoriale improprii ale lui (V, K. Orice alt subspaţiu vectorial se numeşte subspaţiu propriu. Exemplul Dacă K n este spaţiul aritmetic n-dimensional definit în Exerciţiul atunci E = {x = (x 1,..., x i 1, 0, x i+1,..., x n T } x K n

3 CURS 1: ALGEBRĂ 1-3 este un subspaţiu vectorial al lui (K n, K. Într-adevăr, fie x = (x 1,..., x i 1, 0, x i+1,..., x n T şi y = (y 1,..., y i 1, 0, y i+1,..., y n T elemente arbitrare din E. Observăm că x + y = (x 1 + y 1,..., x i 1 + y i 1, 0, x i+1 + y i+1,..., x n + y n T E αx = (αx 1,..., αx i 1, 0, αx i+1,..., αx n T E α K şi deci E este un subspaţiu vectorial al lui K n. Remarcă Relaţiile i, ii din Definiţia sunt echivalente cu α, β K şi x, y X rezultă αx+βy X. Remarcă Un subspaţiu vectorial are o structură de spaţiu vectorial în raport cu operaţiile induse. 1.4 Acoperire liniară a unei submulţimi. Combinaţie liniară de vectori Definiţie Fie (V, K spaţiu vectorial, A V nevidă şi x 1,..., x n V. i Spunem că vectorul x V este o combinaţie liniară de vectorii x 1,..., x n dacă există scalarii α 1,..., α n K astfel încât x = n α i x i. i=1 ii Spunem că vectorul x V este o combinaţie liniară de vectori din A, dacă n N, α i K, şi vectorii x i A, i = 1,..., n, a.î. x = n α i x i. i=1 iii Mulţimea L K (A def = a tututror combinaţiilor liniare de vectori din A V se numeşte acoperire liniară a lui A. În particular, dacă A = {x 1,..., x n } atunci } L K (A def = { n α i x i α i K, i = 1,..., n Propoziţie Dacă A V, A φ atunci L K (A este subspaţiu vectorial al lui V. i=1. (1.4.1 Remarcă L K (A se numeşte şi subspaţiul vectorial generat de mulţimea A şi este cel mai mic subspaţiu vectorial ce conţine mulţimea A. În loc de L K (A se mai folosesc notaţiile span K (A, span (A, sp (A, < A > sau L (A. 1.5 Sistem de generatori Fie (V, K spaţiu vectorial. Definiţie Spunem că sistemul X V este un sistem de generatori pentru V, dacă orice vector din V se scrie ca o combinaţie liniară de vectori din X. Cu alte cuvinte, X este un sistem de generatori pentru V, dacă V = L (X. Remarcă Dacă X este un sistem de generatori pentru V şi X Y V, atunci Y este un sistem de generatori al lui V.

4 CURS 1: ALGEBRĂ 1-4 Remarcă Dacă X este un sistem de generatori pentru V şi x X este o combinaţie liniară cu vectori din X, atunci X\ {x} este un sistem de generatori pentru V. Definiţie Se spune că un K-spaţiu vectorial V este de dimensiune finită, dacă conţine un sistem de generatori {x 1,..., x n }, în număr finit. Exemplul Spaţiul aritmetic n-dimensional K n este de dimensiune finită, deoarece sistemul de vectori { e 1 = (1,..., 0 T,..., e n = (0,..., 1 T } este sitem de generatori în K n. Exemplul Spaţiul vectorial al funcţiilor reale, definite pe segementul [a, b] nu este de dimensiune finită, deoarece funcţiile f 0 (t = 1, f 1 (t = t,..., f n (t = t n,... realizează un sistem de generatori, cu n N arbitrar.

5 Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 2: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 2.1 Familie de vectori liniar independentă/dependentă Fie (V, K spaţiu vectorial şi I o mulţime de indici. Definiţie O familie de vectori X = {x i } i I V se numeşte liniar independentă dacă pentru orice familie I 0 I finită i I 0 α i x i = 0 V dacă şi numai dacă α i = 0 i I 0. Definiţie O familie de vectori X = {x i } i I V se numeşte liniar dependentă dacă există α i K, i I nu toţi nuli astfel încât α i x i = 0 V. i I 2.2 Operaţii cu familii de vectori Propoziţie Intersecţia unei familii de subspaţii vectoriale ale unui spaţiu vectorial este un subspaţiu vectorial (echivalent: dacă {S i } i I este o familie de subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial (V, K atunci S i este un subspaţiu vectorial în (V, K. i I Remarcă În general, reuniunea a două subspaţii vectoriale nu este neapărat un subspaţiu vectorial. Definiţie Se numeşte suma unei familii {S i } i I de subspaţii vectoriale din spaţiul vectorial (V, K, mulţimea { } def S i = v i v i S i, pentru orice i I. i I i I Remarcă Suma unei familii de subspaţii vectoriale este un subspaţiu vectorial. Remarcă Dacă {S i } i I este o familie de subspaţii vectoriale din spaţiul vectorial (V, K atunci ( S i = span S i, i I (echivalent: suma subspaţiilor coincide cu subspaţiul generat de reuniunea subspaţiilor. i I 2-1

6 CURS 2: ALGEBRĂ Bază a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţie Fie (V, K spaţiu vectorial. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: i B este liniar independentă; ii B este sistem de generatori pentru spaţiul V. Exemplul Fie e 1 = (1, 0,..., 0 T,..., e n = (0,..., 1 T. Familia de vectori B c = {e 1,..., e n } este o bază a spaţiului vectorial R n numită baza canonică. Definiţie Familia de vectori X V este o familie liniar independentă maximală, dacă X este liniar independentă şi din faptul că X Y V şi X Y rezultă că Y nu este liniar independentă. Definiţie Sistemul de vectori X V este un sistem minimal de generatori pentru V, dacă X este sistem de generatori pentru V şi din faptul că Y X şi X Y rezultă că Y nu este un sistem de generatori pentru V. În următorul rezultat sunt sugerate definiţii echivalente ale bazei: Propoziţie Fie B o mulţime de vectori în (V, K. Sunt echivalente afirmaţiile: i B este liniar independentă şi maximală; ii iii B este sistem de generatori minimal; B este bază. Remarcă Dacă pentru o bază se ţine cont şi de ordinea vectorilor în bază, atunci în locul cuvântului bază se va folosi cuvântul reper. Teoremă (Teorema de existenţă a bazei Fie (V, K spaţiu vectorial. Daca familia finită (x i i=1,n este sistem de generatori pentru V în care subfamilia (x i i=1,r, r n, este liniar independentă, atunci există o bază B a lui V astfel încât {x 1,..., x r } B {x 1,..., x r,..., x n }. Definiţie Numărul elementelor unei baze a spaţiului vectorial (V, K, de dimensiune finită, se numeşte dimensiunea spaţiului. În cazul când (V, K nu este de dimensiune finită, se spune că (V, K este infinit dimensional. Remarcă Dacă G = (x 1, x 2,..., x m este sistem de generatori în spaţiul vectorial finit dimensional V {0 V } peste corpul K atunci există o bază B a lui V conţinută în G. Teoremă Într-un spaţiu vectorial finit dimensional orice două baze au acelaşi număr de elemente. Definiţie Fie (V, K spaţiu vectorial finit dimensional. Dimensiunea lui (V, K este prin definiţie egală cu numărul de vectori dintr-o bază a acestuia. Pentru a pune în evidenţă dimensiunea spaţiului vectorial finit dimensional (V, K se foloseşte notaţia dim K V. Evident dim K {0 V } = 0. Remarcă Conform Teoremei dim K V nu depinde de alegerea bazei.

7 CURS 2: ALGEBRĂ 2-3 Lemă (Lema de completare Într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită orice familie de vectori liniar independentă poate fi extinsă la o bază. Teoremă (Teorema de caracterizare a bazei Fie (V, K spaţiu vectorial finit dimensional. O familie de vectori B = {x 1,..., x n } este bază a lui V dacă şi numai dacă pentru orice x V există şi sunt unici α 1,..., α n K astfel încât x = α 1 x α n x n. Demonstraţie. Cum B este bază a lui V deducem că este şi sistem de generatori pentru V. Aşadar, pentru orice x V există α 1,..., α n K astfel încât x = α 1 x α n x n. (2.3.1 Pe de altă parte dacă α 1,..., α n K nu ar fi unici ar exista β 1,..., β n K astfel încât Ar rezulta din relaţiile (2.3.1 şi (2.3.2 că sau echivalent x = β 1 x β n x n. (2.3.2 α 1 x α n x n = β 1 x β n x n (β 1 α 1 x (β n α n x n = 0 V = β 1 = α 1,...,β n = α n unde am folosit faptul că x 1,..., x n sunt liniar independente. Presupunem că pentru orice x V există şi sunt unici α 1,..., α n K astfel încât x = α 1 x α n x n. Aceasta implică că B este sistem de generatori. Rămâne să demonstrăm că este şi liniar independent. Observăm că α 1,..., α n K astfel încât α 1 x α n x n = 0 V putem scrie α 1 x α n x n = 0 V = 0 x x n. Ţinând cont că scrierea lui 0 V este unică deducem că α 1 =... = α n = 0. Remarcă formează o bază. Într-un spaţiu vectorial n dimensional, un sistem format din n vectori liniar independenţi Remarcă Scalarii α 1,..., α n K din relaţia (2.3.1 se numesc coordonatele vectorului x în baza B, iar vectorul x B = (α 1,..., α n T se numeşte vectorul coordonatelor lui x în baza B. 2.4 Rangul unui sistem de vectori Definiţie Dacă M V este un sistem de vectori din V, atunci rangul lui M este dimensiunea subspaţiului vectorial generat de M (rangm = diml(m. Teoremă (Teorema rangului Pentru o matrice rangul sistemului de vectori linie este egal cu rangul sistemului de vectori coloană. Definiţie Rangul comun al sistemelor de vectori linii sau coloane a unei matrice se numeşte rangul ei. Remarcă Prin transformări elementare aplicate sistemului de vectori linie sau coloane, rangul unei matrice nu se modifică.

8 CURS 2: ALGEBRĂ 2-4 Remarcă Prin transformări elementare asupra liniilor şi coloanelor, orice matrice A poate fi transformată într-o matrice B, având toate elementele nule cu excepţia primelor r elemente de pe diagonala principală, care să fie egale cu 1. Matricea A are atunci rangul r. Remarcă Familia de vectori {x 1,..., x n } a spaţiului vectorial real (R n, R este liniar independentă dacă şi numai dacă rangul matricei ce are pe coloane componentele vectorilor x 1,..., x n are rangul n. Remarcă Familia de vectori {x 1,..., x n } a spaţiului vectorial real (R n, R este liniar dependentă dacă şi numai dacă rangul matricei care are pe coloane (sau linii componentele vectorilor {x 1,..., x n } are rangul k mai mic decât n. Mai mult, orice subfamilie a acesteia care conţine vectori ce au componente într-un minor de ordinul k, nenul este liniar independentă. Numărul maxim de elemente al unei subfamilii liniar independente este egal cu rangul k al matricei.

9 Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 3: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 3.1 Teorema schimbului a lui Steinitz Teoremă Dacă (V, K este spaţiu vectorial cu dim K V N, I = {v 1,..., v r } V este sistem liniar independent iar G = {u 1,..., u m } V este sistem de generatori pentru V atunci există i 1,..., i m r {1, 2,..., m} astfel încât { v 1,..., v r, u i1,..., u im r } este sistem de generatori pentru V. 3.2 Metoda pivotului Gauss-Jordan. Lema substituţiei Teoremă (Lema substituţiei Fie (V, K spaţiu vectorial cu dim K V = n 1, B = {a 1,..., a n } bază a lui V iar x = ξ 1 a ξ i a i ξ n a n şi y = η 1 a η n a n. Are loc: i Dacă F = {a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n } este bază pentru V atunci ξ i 0. ii Dacă ξ i 0 atunci F = {a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n } este bază pentru V şi avem unde η i = ηi ξ i şi η j = η j ηi ξ i ξ j, j i, j = 1, n. y = η 1a η i x η na n Demonstraţie. i (Necesitatea. Fie F bază pentru V. Dacă prin absurd ξ i = 0 atunci sau echivalent x = ξ 1 a ξ i a i ξ n a n (3.2.1 ξ 1 a ξ i a i + ( 1 x + ξ i+1 a i ξ n a n = 0 V relaţie care arată că vectorii din F sunt liniar dependenţi. Ori, aceasta este o contradicţie cu F bază pentru V. Deci ξ i 0. ii (Suficienţa. Presupunem ξ i 0 şi fie combinaţia liniară sau folosind scrierea (3.2.1 echivalent cu λ 1 a λ i 1 a i 1 + λ i x λ n a n = 0 V λ 1 a λ i (ξ 1 a ξ i a i ξ n a n λ n a n = 0 V ce implică { λi ξ i = 0 λ j + λ i ξ j = 0, j i = λ i = 0 şi respectiv λ j = 0 3-1

10 CURS 3: ALGEBRĂ 3-2 adică vectorii a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n formează o bază în V (sunt liniar independenţi şi sunt în număr de n = dim K V. Coordonatele vectorului y în raport cu baza F se obţin astfel: y = η 1a η i n ξ j a j ηna n = (η1 + ηi ξ 1 a ηi ξ i a i (ηn + ηi ξ n a n j=1 adică η 1 = η1 + ηi ξ 1... η1 = η 1 ηi ξ i ξ η i = η i ξ i = η i = ηi ξ i η n = ηn + ηi ξ n ηn = η n ηi ξ i ξ n formule care determină noile coordonate ale vectorului y V în raport cu baza F din V. Remarcă Câteva din aplicaţiile lemei substituţiei sunt: rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare, calculul inversei unei matrice, determinarea rangului unei matrice, extragerea unei baze dintr-un sistem de generatori, determinarea coordonatelor unui vector într-o bază etc. În rezolvarea acestor probleme ea se reprezintă astfel B x y a 1 ξ 1 η a i ξ i 0 η i a n ξ n η n = B x y a 1 0 η1 = ξiη1 ηiξ1 ξ i x 1 η1 = ηi ξ i a n 0 ηn = ηnξi ηiξn ξ i (numită şi metoda pivotului a lui Gauss-Jordan ξ i se numeşte pivot. 3.3 Matricea de trecere de la un reper la altul Definiţie Fie (V, K spaţiu vectorial cu dim K V = n N iar E = {a 1,..., a n } şi F = {b 1,..., b n } baze ale sale. Matricea ale cărei coloane sunt formate de coordonatele vectorilor bazei F în raport cu baza E se numeşte matricea de trecere de la baza E la baza F. Remarcă Dacă b i = n j=1 α ija j, i = 1, n atunci matricea de trecere de la baza E la baza F este A E,F = α α n (3.3.1 α 1n... α nn Teoremă (Schimbarea bazei Fie (V, K spaţiu vectorial cu dim K V = n N, E = {x 1,..., x n } şi F = {y 1,..., y n } baze ale sale. Dacă trecerea de la baza E la baza F se face prin matricea A E,F definită în (3.3.1 atunci trecerea de la coordonatele lui x în baza E la coordonatele lui x în baza F se face prin matricea (A E,F 1. Are loc formula x F = (A E,F 1 x E. Demonstraţie. Din E bază deducem că x V,! α 1,..., α n K astfel încât x = α 1 x α n x n. Fie y i = α i1 x α in x n, i = 1,..., n şi β 1,..., β n coordonatele lui x faţă de baza F, adică x = β 1 y β n y n. Stabilim o legătură între coordonatele α 1,..., α n şi β 1,..., β n. Avem x = α 1 x α n x n = β 1 y β n y n = β 1 (α 11 x α 1n x n β n (α n1 x α nn x n = n n (β 1 α β n α n1 x (β 1 α 1n β n α nn x n = β j α ji x i. i=1 j=1

11 CURS 3: ALGEBRĂ 3-3 Cum reprezentarea vectorului x în baza B este unică deducem că α i = n β j α ji pentru orice i = 1,..., n j=1 ori în scrierea matriceală, relaţie echivalentă cu x E = A E,F x F. Rezolvând ecuaţia matriceală în raport cu x F, obţinem x F = (A E,F 1 x E. 3.4 Definiţia izomorfismului de spaţii vectoriale. Spaţii vectoriale de tip finit izomorfe Fie (U, K şi (V, K spaţii vectoriale. Definiţie Aplicaţia f : U V se numeşte morfism de spaţii vectoriale (sau: aplicaţie liniară, operator liniar, homomorfism de spaţii vectoriale... dacă pentru orice x, y U şi orice α, β K. f (αx + βy = αf (x + βf (y (3.4.1 Remarcă Notăm prin L K (U, V sau prin Hom K (U, V mulţimea tuturor morfismelor f : U V. Dacă U = V atunci f se numeşte endomorfism al lui U. Remarcă i Compunerea a două (sau mai multe aplicaţii liniare este tot o aplicaţie liniară. ii Dacă f : U V este un morfism de spaţii vectoriale atunci f (0 U = 0 V. Definiţie Fie f : U V aplicaţie liniară. Spunem că i f este injectivă dacă pentru orice u 1, u 2 U următoarea implicaţie f (u 1 = f (u 2 = u 1 = u 2 este adevărată. ii f este surjectivă dacă pentru orice v V există u U astfel încât f (u = v. iii f este bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă (echivalent: pentru orice v V există şi este unic u U astfel încât f (u = v. Definiţie Spaţiile vectoriale (U, K şi (V, K se numesc izomorfe, notăm (U, K = (V, K, dacă există un morfism bijectiv f : U V. Se mai spune că f este izomorfism sau transformare liniară nesingulară. 3.5 Teoreme de izomorfism Teoremă (Teorema fundamentală de izomorfism Dacă (U, K şi (V, K sunt spaţii vectoriale cu dim K U = dim K V N atunci (U, K = (V, K. Demonstraţie. Presupunem că dim K U = dim K V = n N. Fie {v 1,..., v n } bază (V, K. v U,!a 1,..., a n K astfel încât Demonstrăm că aplicaţia f : U V definită prin v = a 1 v a n v n. f (a 1 v a n v n = a 1 w a n w n (U, K şi {w 1,..., w n } bază

12 CURS 3: ALGEBRĂ 3-4 este liniară şi bijectivă. Într-adevăr, dacă v = a 1v a n v n U, w = b 1 v b n v n V şi a, b K sunt arbitrari atunci f (av + bw = f ((aa 1 + bb 1 v (aa n + bb n v n = (aa 1 + bb 1 w (aa n + bb n w n = a (a 1 w a n w n + b (b 1 w b n w n = af (v + bf (w adică f este aplicaţie liniară. Pentru a proba că f este bijectivă este suficient să observăm că pentru orice w V,!a 1,..., a n K astfel încât w = a 1 w a n w n şi deci v = a 1 v a n v n este unicul element din U astfel încât f (v = w, adică f este bijectivă. Remarcă Dacă (V, R este spaţiu vectorial real cu dim K V = n N atunci (V, R = (R n, R. Remarcă Dacă (U, K, (V, K sunt spaţii vectoriale, f : U V izomorfism iar B bază în U atunci f (B este bază în V. Teoremă Fie (U, K şi (V, K spaţii vectoriale. Dacă f : U V este izomorfism de spaţii vectoriale atunci aplicaţia inversă f 1 : V U este izomorfism de spaţii vectoriale. 3.6 Spaţiul cât Fie (V, K spaţiu vectorial şi X subspaţiu vectorial al său. Definim o relaţie binară ρ astfel x, y V avem xρy x y X. Remarcăm că ρ îndeplineşte proprietăţile R1 reflexivitatea: xρx, x V ; R2 simetria: dacă xρy atunci yρx, x, y V ; R3 tranzitivitatea: (xρy şi yρz atunci xρz, x, y, z V, adică ρ este o relaţie de echivalenţă (congruenţa modulo X, se notează. Definiţie Fie x V. Mulţimea x = {y V y x (modulo X} = {y V y x X} se numeşte clasa de echivalenţă asociată vectorului x în raport cu ρ sau clasa de echivalenţă a lui x în raport cu ρ. Remarcă Mulţimea V/X = { x x V } notată şi V/ (numită spaţiul factor sau spaţiul cât al lui V în raport cu relaţia de echivalenţă ρ a tuturor claselor de echivalenţă, admite o structură de spaţiu vectorial în raport cu următoarele operaţii Remarcă Au loc: i 0 = X. Într-adevăr, adunarea: înmulţirea cu scalari: x + ŷ def = x + y pentru orice x, y V α x def = α x pentru orice x V şi α K. 0 = {y V y 0} = {y V y 0 X} = {y V y X} = X. ii Dacă X = {0} atunci spaţiul cât al lui V/ {0} = V. Într-adevăr, x V, x = {y V y x {0}} = {y V y x = 0} = {x}. Teoremă Fie (V, K spaţiu vectorial cu dim K V < şi X subspaţiu vectorial al său. Dacă dim K V = n şi dim K X = m atunci dim K (V/X = n m.

13 Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 4: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 4.1 Suma şi intersecţia a două subspaţii vectoriale Amintim următorul rezultat: Teoremă Dacă (V, K este spaţiu vectorial iar V 1, V 2 sunt subspaţii vectoriale în V atunci sunt subspaţii vectoriale ale lui V. V 1 V 2 = {v V v V 1 şi v V 2 } V 1 + V 2 = {v 1 + v 2 v 1 V 1 şi v 2 V 2 } = {v V v 1 V 1 şi v 2 V 2 astfel încât v = v 1 + v 2 } Remarcă V 1 V 2 este numit subspaţiul vectorial intersecţie iar V 1 + V 2 este numit subspaţiul vectorial sumă. 4.2 Teorema lui Hermann Günther Grassmann ( Teoremă Dacă (V, K este spaţiu vectorial cu dim K V N iar V 1, V 2 sunt subspaţii vectoriale în V atunci dim K (V 1 + V 2 dim K V 2 = dim K V 1 dim K (V 1 V 2. Demonstraţie. Fie B V1 V 2 = {v 1,..., v m } bază în V 1 V 2. Dacă extindem această bază la atunci B V1 = {v 1,..., v m, u m+1,..., u r } bază V 1 şi B V2 = {v 1,..., v m, w m+1,..., w s } bază V 2 S = {v 1,..., v m, u m+1,..., u r, w m+1,..., w s } este sistem de generatori pentru V 1 + V 2. Arătăm că S este liniar independent. Realizăm o combinaţie liniară, egală cu vectorul nul 0 V = Σ m i=1a i v i + Σ r j=m+1b j u j + Σ s k=r+1c k w k. Rezultă că v definit prin v = Σ m i=1a i v i + Σ r j=m+1b j u j }{{} V 1 s = Σk=r+1c k w k }{{} V 2 este un vector din V 1 V 2 şi b j = 0 (j = m + 1,..., r deoarece B V1 este liniar independent. Mai mult 0 V = Σ m i=1a i v i + Σ s k=r+1c k w k iar deoarece B V 2 este liniar independent deducem că a i = c k = 0. Aşadar dim K (V 1 + V 2 = dim K V 1 + dim K V 2 dim K (V 1 V

14 CURS 4: ALGEBRĂ Sumă directă de subspaţii vectoriale Definiţie Fie (V, K spaţiu vectorial. Spunem că suma V 1 +V 2 a subspaţiilor vectoriale V 1, V 2 din spaţiul vectorial V este directă, dacă oricare ar fi v V 1 + V 2 există v 1 V 1 şi v 2 V 2 unici, astfel încât v = v 1 + v 2. Notăm această situaţie prin V 1 V 2. Aşadar V 1 V 2 = {v V!v 1 V 1 şi!v 2 V 2 astfel încât v = v 1 + v 2 }. Teoremă Fie (V, K spaţiu vectorial. Dacă V 1, V 2 sunt subspaţii vectoriale în V atunci suma V 1 + V 2 este directă dacă şi numai dacă V 1 V 2 = {0 V }. Demonstraţie. Presupunem v V 1 V 2. Atunci v = v V1 + 0 V = 0 V + v V2 iar ţinând cont că scrierea lui v este unică, deducem că v = 0 V. Dacă v 1 + v 2 = v 1 + v 2 pentru v 1, v 2 V 1 iar v 1, v 2 V 2 atunci v 1 v 1 }{{} V 1 adică reprezentarea ca sumă este unică. = v v 1 = v 1 şi v 2 = v 2 deoarece v 1 v 1 V1 V2={0 V } deoarece v 2 v 2 V1 V2={0 V } 2 v 2. Aşadar }{{} V 2 Remarcă Dacă (V, K este spaţiu vectorial cu dim K V N iar V 1, V 2 sunt subspaţii vectoriale în V astfel încât suma V 1 + V 2 este directă, atunci dim K (V 1 + V 2 = dim K V 1 + dim K V 2. Demonstraţie. Deoarece dim K (V 1 V 2 = 0 rezultatul este o consecinţă a Teoremei Teorema de caracterizare a sumei directe Definiţie Fie V 1, V 2,..., V m subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial de tip finit (V, K. Spunem că V este sumă directă de V 1, V 2,..., V m şi scriem V = m V i sau V = V 1... V m dacă orice vector din V i=1 se scrie în mod unic ca o sumă de vectori din V 1, V 2,..., V m. În această situaţie se mai spune că subspaţiile vectoriale V 1, V 2,..., V m sunt suplimentare. Dăm următoarea caracterizare a sumei directe. Teoremă Fie (V, K spaţiu vectorial de dimensiune finită. Următoarele sunt echivalente i V = m V i. i=1 ii V = V V m = Σ m i=1 V i şi V i ( Σ m j=1,j i V j = {0 V } i = 1,..., m. iii V = Σ m i=1 V i şi dim K V = dim K V dim K V m = Σ m i=1 dim K V i.

15 CURS 4: ALGEBRĂ Teorema de existenţă a suplimentului Teoremă Fie (V, K spaţiu vectorial cu dim K V = n N. Dacă X V este subspaţiu vectorial în V atunci există Y V subspaţiu vectorial astfel încât V = X Y. Demonstraţie. Fie p = dim K X n şi B X = {b 1,..., b p } o bază a lui X. Cum dim K V = n putem completa B X până la o bază B V a lui V, astfel B V = {b 1,..., b p, g 1,..., g n p }. Demonstrăm că Y = Span {g 1,..., g n p } are proprietatea că V = X Y. Evident Pe de altă parte v V, v = Σ p i=1 α ib i }{{} x X Relaţiile (4.5.1 şi (4.5.2 implică Mai mult, observăm că X + Y V. ( Σ n p i=1 β ig i = x + y X + Y = V X + Y. (4.5.2 }{{} y Y V = X + Y. (4.5.3 dim K X + dim K Y = p + (n p = n = dim K V = n. (4.5.4 În final (4.5.3 şi (4.5.4 arată că este aplicabil punctul iii al Teoremei şi deci V = X Y. 4.6 Exemple de operatori liniari Exemplul Fie (V, K spaţiu vectorial. 1 Aplicaţia 1 V : V V definită prin 1 V (x = x pentru orice x V este un operator liniar, numit operatorul identic. 2 Dacă V 1, V 2 sunt subspaţii vectoriale în V atunci aplicaţia O : V 1 V 2 definită prin O (x = 0 V2 pentru orice x V 1 este un operator liniar, numit operatorul nul. 3 Notăm cu C 1 [a,b] mulţimea tuturor funcţiilor f ( : [a, b] R derivabile pe [a, b] cu derivata continuă. Aplicaţia D : C 1 [a,b] C0 [a,b], D (f = f este un operator liniar numit operator de derivare. 4 Notăm cu C[a,b] 0 mulţimea tuturor funcţiilor f ( : [a, b] R continue pe [a, b]. Aplicaţia este un operator liniar numit operatorul de integrare. x I : C[a,b] 0 C1 [a,b], I (f = f (t dt, x [a, b] a 4.7 Proprietăţi ale operatorilor liniari Teoremă Fie (V 1, K şi (V 2, K spaţii vectoriale iar f : V 1 V 2 operator liniar. Următoarele au loc i f (0 V1 = 0 V2.

16 CURS 4: ALGEBRĂ 4-4 ii f ( x = f (x x V 1. iii f (Σ m i=1 α ix i = Σ m i=1 α if (x i, α i K, x i V 1 cu i = 1,..., m. iv Dacă X este subspaţiu vectorial în V 1 atunci f (X este subspaţiu vectorial în V Operaţii cu operatori liniari. Operator invers Teoremă Fie (V 1, K şi (V 2, K spaţii vectoriale. Dacă pe mulţimea L K (V 1, V 2 considerăm operaţiile i (f + g (x = f (x + g (x ii (αf x = αf (x unde f (x, g (x L K (V 1, V 2 iar α K, atunci (L K (V 1, V 2, K are o structură de spaţiu vectorial în raport cu operaţiile definite. Definiţie Fie (V 1, K, (V 2, K şi (V 3, K spaţii vectoriale. Dacă f : V 1 V 2 şi g : V 2 V 3 sunt operatori liniari atunci aplicaţia (g f ( : V 1 V 3 definită prin (g f (x = g (f (x pentru x V 1 se numeşte produsul (sau compunerea operatorilor liniari f, g. Remarcă Fie (V 1, K, (V 2, K şi (V 3, K spaţii vectoriale. Dacă f : V 1 V 2 şi g : V 2 V 1 sunt operatori liniari atunci (g f ( : V 1 V 3 este operator liniar. Definiţie Fie (V 1, K şi (V 2, K spaţii vectoriale. Operatorul liniar f : V 1 V 2 se numeşte inversabil dacă există un operator g : V 2 V 1 astfel încât (g f (x = x x V 1 şi (f g (y = y y V 2. Dacă există g îndeplinind aceste condiţii atunci se notează cu f 1 şi se numeşte inversul operatorului liniar f. Teoremă Fie (V 1, K şi (V 2, K spaţii vectoriale. Operatorul liniar f : V 1 V 2 este inversabil dacă şi numai dacă este bijectiv.

17 Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 5: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 5.1 Nucleul şi imaginea unui operator liniar. Rangul unui operator liniar şi defectul lui Definiţie Fie (X, K şi (Y, K spaţii vectoriale şi U : X Y operator liniar. i Mulţimea Ker U = {x X U (x = 0 Y } se numeşte nucleul operatorului U iar dim K KerU se numeşte defectul lui U. ii Mulţimea ImU = {y Y x X astfel încât U (x = y} se numeşte imaginea operatorului U iar dim K ImU se numeşte rangul lui U. Remarcă Sunt adevărate: i Ker U este subspaţiu vectorial în (X, K iar ImU în (Y, K. ii Dacă Ker U = {0 X } atunci operatorul liniar U este injectiv, şi reciproc. Se mai spune că U este monomorfism. iii Dacă Im U = Y atunci operatorul liniar U este surjectiv. Se mai spune că U este epimorfism. Teoremă (Teorema fundamentală de izomorfism II Dacă (X, K, (Y, K sunt spaţii vectoriale iar U : X Y este operator liniar atunci există un izomorfism g : X/KerU ImU. 5.2 Teorema dimensiunii pentru operatori liniari Teoremă Dacă (X, K, (Y, K sunt spaţii vectoriale finit dimensionale nenule iar U : X Y este operator liniar atunci dim K X = dim K KerU + dim K ImU. Demonstraţie. Fie {v 1,..., v d } bază baza extinsă KerU iar {v 1,..., v d, v d+1,..., v n } X. Arătăm că {U (v d+1,..., U (v n } bază ImU. Remarcăm că pentru w ImU există v X astfel încât U (v = w. Demonstrăm că {U (v d+1,..., U (v n } este sistem de generatori în ImU. Într-adevăr, din {v 1,..., v d, v d+1,..., v n } bază X 5-1

18 CURS 5: ALGEBRĂ 5-2 deducem că există α 1,...,α n K astfel încât Aplicând U avem v = α 1 v α d v d + α d+1 v d α n v n. U (v = U (α 1 v α d v d + α d+1 v d α n v n = α 1 U (v α d U (v d + α d+1 U (v d α n U (v n }{{}}{{} =0 Y deoarece v 1 KerU =0 Y deoarece v d KerU = α d+1 U (v d α n U (v n şi deci {U (v d+1,..., U (v n } Span (ImU. Demonstrăm că {U (v d+1,..., U (v n } este liniar independent în ImU : α d+1 U (v d α n U (v n = 0 Y = U (α d+1 v d α n v n = 0 Y şi deci α d+1 v d α n v n KerU. Dar {v 1,..., v d } bază KerU = există β 1,..., β d K astfel încât α d+1 v d α n v n = β 1 v β d v d echivalent β 1 v β d v d α d+1 v d+1... α n v n = 0 Y. Cum {v 1,..., v d, v d+1,..., v n } bază X deducem că β 1 =... = β d = α d+1 =... = α n = 0 şi deci {U (v d+1,..., U (v n } este liniar independent în ImU. Notă: 1 dacă d = n = KerU = X iar din Teorema fundamentală de izomorfism II avem că X/KerU = {0 X } izomorf cu ImU = dim K ImU = dim K {0 X } = 0. 2 dacă d = 0 = KerU = {0 X } iar din Teorema fundamentală de izomorfism II avem că X/ {0 X } = X izomorf cu ImU = dim K ImU = dim K X = n. 5.3 Reprezentarea matriceală a operatorilor liniari definiţi pe spaţii vectoriale de tip finit Definiţie Fie (X, K, (Y, K spaţii vectoriale de dimensiune finită n N, respectiv m N, U : X Y operator liniar, E = {x 1,..., x n } reper X iar F = {y 1,..., y m } reper Y. Matricea ale cărei coloane sunt coordonatele vectorilor U (x 1,..., U (x n în raport cu reperul F se numeşte matricea lui U în raport cu reperele E şi F. Remarcă Dacă U (x 1 = α 11 y α m1 y m... U (x n = α 1n y α mn y m atunci matricea lui U în raport cu reperele E şi F este... [A] U E,F = (α ij i=1,..n = [U (x 1 ] F... [U (x n ] F j=1,...,m... = α α 1n α m1... α mn ( not = A. În plus, are loc (U (x F reperul E. = [A] U E,F x E unde x E este vectorul coordonatelor elementului x X în raport cu

19 CURS 5: ALGEBRĂ 5-3 Remarcă Fie (X, K, (Y, K spaţii vectoriale finit dimensionale nenule şi U : X Y operator liniar. reper canonic reper canonic Dacă E (X, K, F (Y, K iar [A] U E,F este matricea lui U corespunzătoare reperelor canonice E, F atunci U admite următoarea reprezentare U (x = [A] U E,F x. Definiţie Fie (X, K spaţiu vectorial de dimensiune finită n N iar U : X X endomorfism. Dacă E = {x 1,..., x n } bază X iar U (x i = α 1i x α ni x n pentru orice i = 1,..., n atunci... [A] U E = (α α α 1n ij i=1,...,n = [U (x 1 ] E... [U (x n ] E = ( not = A, j=1,...,n α n1... α nn... se numeşte matricea endomorfismului U în raport cu reperul E. Exerciţiul Fie P 2 [X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2 şi operatorul liniar U : P 2 [X] P 2 [X] definit prin U (f (x = f (x+f (x. Să se determine matricea endomorfismului U în raport cu reperul canonic B c = { 1, x, x 2} din P 2 [X]. Demonstraţie. Metoda I. Observăm că iar, conform teoriei U (1 = (1 + (1 = 0 U (x = (x + (x = 1 U ( x 2 = ( x 2 + ( x 2 = 2x = α α 21 x + α 31 x 2 1 = α α 22 x + α 32 x 2 2x + 2 = α α 23 x + α 33 x 2 sistem din care, prin identificarea coeficienţilor polinoamelor, obţinem matricea operatorului U α 11 α 12 α [A] U B c = α 21 α 22 α 23 = α 31 α 32 α Metoda II. Deoarece P 2 [X] izomorf R 3 deducem că U este operator liniar de la R 3 la R 3, dat de o matrice A de tip 3 3. Vom determina [A] U B c. Dacă f (x = a + bx + cx 2 atunci putem scrie operatorul U astfel U ( a + bx + cx 2 = ( a + bx + cx 2 + ( a + bx + cx 2 = (b + 2cx + 2c = (b + 2c + 2cx. Vom scrie f (x = a + bx + cx 2 şi U (f (x = (b + 2c + 2cx în coordonate în raport cu reperul canonic B c = { 1, x, x 2} din P 2 [X]: Scriem coordonatele operatorului U astfel b + 2c (U (f (x Bc = 2c = 0 Matricea este matricea operatorului U. f (x = a + bx + cx 2 U U (f (x = (b + 2c + 2cx (f (x BC = (a, b, c T (U (f (x Bc = ((b + 2c, 2c, 0 T [A] U B c = a b c = (f (x BC.

20 CURS 5: ALGEBRĂ Legătura dintre operaţiile cu operatori liniari şi operaţiile cu matricele corespunzătoare lor Teoremă Fie (X, K, (Y, K, (Z, K spaţii vectoriale de dimensiune finită nenule. Presupunem că X, F reper Y, G reper Z, U 1 : X Y, U 2 : X Y şi U 3 : Y Z operatori liniari. Dacă E reper [A 1 ] U1 E,F este matricea lui U 1 în raport cu reperele E şi F (respectiv [A 2 ] U2 E,F a lui U 2 în raport cu reperele E şi F iar [A 3 ] U3 F,G matricea lui U 3 în raport cu reperele F şi G atunci i operatorului liniar U 1 + U 2 îi corespunde matricea [A] U1+U2 E,F = [A 1 ] U1 E,F + [A 2] U2 E,F ; ii iii iv operatorului liniar αu 1 (α K îi corespunde matricea [A] αu1 E,F = α [A 1] U1 E,F ; operatorului liniar U 3 U 1 îi corespunde matricea [A] U3 U1 E,G = [A 1] U1 E,F [A 3] U3 F,G ; ( sub ipoteza că U 1 este inversabilă operatorului liniar U1 1 îi corespunde matricea [A] U 1 1 F,E = [A 1 ] U1 E,F Modificarea matricei unui operator liniar la schimbarea reperelor Teoremă Fie (X, K, (Y, K spaţii vectoriale de dimensiune finită nenule şi U : X Y operator liniar. Dacă [A] U E 1,F 1 este matricea lui U în raport cu reperele E 1 X, F 1 Y iar [B] U E 2,F 2 este matricea lui U în raport cu reperele E 2 X, F 2 Y atunci [B] U E 2,F 2 = (D F1,F 2 1 [A] U E 1,F 1 C E1,E 2 unde C E1,E 2 este matricea de trecere de la reperul E 1 la E 2 iar D F1,F 2 este matricea de trecere de la reperul F 1 la F 2. Remarcă Fie (X, K spaţiu vectorial de dimensiune finită nenul şi U : X X endomorfism. Dacă [A] U E este matricea lui U în raport cu reperul E al lui X, iar [B] U F este matricea lui U în raport cu reperul F X atunci [B] U F = (C E,F 1 [A] U E C E,F unde C E,F este matricea de trecere de la reperul E la reperul F. Exemplul Fie ( R 2, R spaţiu vectorial şi U : R 2 R 2 definit prin U (x, y = (x + y, 2x + 4y. Dacă unde B c = [A] U B c = ( atunci să se arate că [B] U B = ( {(1, } 0 T, (0, 1 T reper canonic R 2, B = {(1, } 1 T, (1, 2 T reper R 2. Demonstraţie. Observăm că ( 1 1 C Bc,B = = 1 Bc 2 Bc ( şi deci (C Bc,B 1 = ( Atunci [B] U B = ( ( ( = (

21 Sala: 2103 Noiembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 6: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 6.1 Valori proprii şi vectori proprii ai unui operator liniar care este endomorfism. Subspaţii proprii. Dimensiunea algebrică şi geometrică a unei valori proprii Fie (X, K spaţiu vectorial nenul şi U : X X endomorfism. Definiţie Vectorul x X, x 0 X se numeşte vector propriu al lui U dacă există λ K astfel încât U (x = λx. (6.1.1 Definiţie Un scalar λ K se numeşte valoare proprie a lui U dacă există x X, x 0 X ce verifică ( Definiţie Fie λ valoare proprie a lui U. Mulţimea X λ = {x X U (x = λx} se numeşte subspaţiul propriu al lui U corespunzător valorii proprii λ. (Notăm că în X λ este inclus şi 0 X. Remarcă X λ = Ker (U λ1 X este subspaţiu vectorial în X. Definiţie Mulţimea tuturor valorilor proprii se notează prin ΛU şi se numeşte spectrul operatorului U. Numărul R s = max { λ λ ΛU} se numeşte raza spectrală a operatorului U. Remarcă Dacă dim K X = n N iar A not = [A] U B este matricea lui U în raport cu reperul B X atunci λ K este valoare proprie pentru U (se mai spune pentru A dacă şi numai dacă det (A λi n = 0. (6.1.2 În plus, vectorul propriu x corespunzător valorii proprii λ se determină din sistemul (A λi n x B = 0 X. (6.1.3 Definiţie Dimensiunea subspaţiului propriu X λ peste K se numeşte multiplicitatea geometrică a valorii proprii λ. Se notează dim K X λ prin m gλ. Definiţie Multiplicitatea algebrică a valorii proprii λ este multiplicitatea lui λ ca rădăcină a ecuaţiei ( Notăm prin m aλ multiplicitatea algebrică a valorii proprii λ. Remarcă Dacă dim K X = n N m gλ m aλ. iar λ K este o valoare proprie a endomorfismului U atunci 6-1

22 CURS 6: ALGEBRĂ Polinoame de endomorfisme sau de matrice pătratice. Polinom caracteristic al unui endomorfism sau al unei matrice pătratice. Teorema Hamilton-Cayley. Consecinţe Fie (X, K spaţiu vectorial cu dim K X = n N, U : X X endomorfism iar A not = [A] U B raport cu reperul B X. matricea lui U în Definiţie Polinomul P A (λ = det (A λi n = p 0 λ n + p 1 λ n p n 1 λ + p n, p i K cu i = 0,..., n ce intervine în (6.1.2 se numeşte polinomul caracteristic al endomorfismului U iar ecuaţia P A (λ = 0 ce-i corespunde lui P A (λ, se numeşte ecuaţia caracteristică a lui U. Invarianţa polinomului caracteristic la schimbarea reperelor este redată în: Teoremă Prin schimbarea reperului în spaţiul vectorial (X, K, polinomul caracteristic al operatorului liniar U nu se modifică. Demonstraţie. Fie E, F reper reperele E, F. Observăm că X. Notăm A = [A] U E, B = [B]U F iar prin C = [C] E,F matricea de legătură între P B (λ = B λi n = C 1 AC λi n = C 1 (A λi n C = (A λi n = P A (λ, şi deci polinomul caracteristic nu depinde de alegerea reperului. Teoremă (Teorema Hamilton-Cayley Fie M n (K spaţiul vectorial al matricelor de tip n n. Dacă B reper X, U : X X este endomorfism iar A M n (K este matricea lui U în reperul B atunci P A (A = 0 Mn(K. Demonstraţie. Observăm că (A λi n (A λi n = A λi n I n pentru λ / ΛU (6.2.1 unde (A λi n = β β (1 11 λ β(n 1 11 λ n 1... β1n 0 + β (1 1n βn1 0 + β (1 n1 λ β(n 1 n1 λ n 1... βnn 0 + β (1 λ β(n 1 1n λ n 1 nn λ β nn (n 1 λ n 1 (6.2.2 este matricea adjunctă a lui A λi n. Notaţiile introduse sunt reprezentate de β β (1 α 22 λ... α n2 11 λ β(n 1 11 λ n 1 = α 2n... α nn λ... Descompunând (6.2.2 în sume de n matrice avem β 0 (A λi n β1n 0 = βn βnn 0 } {{ } not =B 0 β ( β (1 1n β (1 n1... β nn (1 } {{ } not =B 1 λ β (n β (n 1 1n β (n 1 n1... β nn (n 1 } {{ } not =B n 1 λ n 1

23 CURS 6: ALGEBRĂ 6-3 Egalitatea (6.2.1 devine = B 0 + B 1 λ B n 1 λ n 1. (A λi n ( B 0 λ + B 1 λ B n 1 λ n 1 = ( p 0 λ n + p 1 λ n p n 1 λ + p n In. Efectuând produsul în membrul întâi şi identificând coeficienţii polinoamelor, obţinem B n 1 = p 0 I n AB n 1 I n B n 2 = p 1 I n... AB 1 I n B 0 = p n 1 I n AB 0 = p n I n. Înmulţind prima relaţie cu A n a 2-a cu A n 1,..., n + 1-a cu I n respectiv şi adunând rezultă p 0 A n + p 1 A n p n 1 A + p n I n = 0 Mn(K sau echivalent P A (A = 0 Mn(K. Remarcă Dacă det A = p n = P A (0 0 atunci ( p n I n = λ n 1 Σ p kλ n k 1 şi deci A 1 = 1 n 1 Σ p ka n k 1. k=0 k=0 λ=a p n 6.3 Operator liniar diagonalizabil. Matrice diagonalizabilă. Puterile unei matrice diagonalizabile. Teorema de diagonalizare Fie (X, K spaţiu vectorial cu dim K X = n N şi U : X X endomorfism. Definiţie O matrice A = (a i,j i=1,...,n M n (K se numeşte diagonală dacă a i,j = 0 i j. j=1,...,n Remarcă Dacă A M n (K este o matrice diagonală de forma λ A = 0 λ atunci Ak = λ n λ k λ k λ k n. Definiţie O matrice A M n (K se numeşte diagonalizabilă dacă există C o matrice nesingulară (inversabilă astfel încât matricea D = C 1 AC este o matrice diagonală. Remarcă Dacă A M n (K este diagonalizabilă atunci A k = C D k C 1 unde D = C 1 A C şi C este matricea de trecere ce permite diagonalizarea. Într-adevăr, D = C 1 A C = A = C D C 1 = A k = ( C D C 1 k ( = C D C 1 ( C D C 1... ( C D C 1 = C D } {{... D } C 1 = C D k C 1. de k ori Are loc următorul rezultat general:

24 CURS 6: ALGEBRĂ 6-4 Teoremă O matrice A M n (K este diagonalizabilă dacă şi numai dacă are n vectori proprii ce formează o bază. Algoritmul de diagonalizare pentru o matrice A M n (K este următorul: Etapa 1: Dacă A M (n; K determinăm P A (λ şi spectrul ΛU = {λ 1,..., λ p } cu multiplicităţile m aλ1,..., m aλp respective. Etapa 2: Pentru λ = λ 1 determinăm spaţiul X λ1 şi o bază B 1 a sa. Dacă m gλ1 m aλ1 atunci matricea A nu se diagonalizează. Însă dacă m g λ1 = m aλ1,..., m gλp = m aλp atunci determinăm bazele B 1,..., B p pentru X λ1,..., X λp. Etapa 3: Considerăm matricea C punând pe coloane la rând vectorii bazei B 1, apoi ai lui B 2,..., B p. Atunci C 1 A C = D este matrice diagonală. Totodată, A k = C D k C 1. Definiţie Spunem că operatorul U L K (X, X este diagonalizabil dacă există o bază a lui X în raport cu care matricea sa este diagonală. Teoremă (Teorema de caracterizare a diagonalizării Fie A M n (K matricea lui U într-un reper al lui X. Sunt echivalente: i U diagonalizabil. ii Rădăcinile λ 1,..., λ p ale polinomului caracteristic P A (λ sunt în K, m gλi = m aλi pentru orice i = 1,..., p şi m gλ m gλp = n. Remarcă Fie λ 1,..., λ p K cele p valori proprii distincte ale lui U. U este diagonalizabil dacă şi numai dacă X = X λ1... X λp unde X λi (i = 1,..., p este subspaţiul propriu corespunzător lui λ i. Algoritmul de diagonalizare pentru endomorfismul U este următorul: Etapa 1: bază. Determinăm o bază B X şi scriem matricea A M n (K asociată endomorfismului U în această Etapa 2: Determinăm P A (λ şi spectrul ΛU = {λ 1,..., λ p } cu multiplicităţile m aλ1,..., m aλp respective. Etapa 3: Pentru λ = λ 1 determinăm spaţiul X λ1 şi o bază B 1 a lui. Dacă m gλ1 m aλ1 atunci operatorul U nu se diagonalizează. Însă, dacă m g λ1 = m aλ1,..., m gλp = m aλp vom determina bazele B 1,..., B p pentru X λ1,..., X λp. Etapa 4: Scriem baza B a spaţiului vectorial în raport cu care matricea asociată lui U are forma diagonală canonică, adică B = B 1... B p. Matricea asociată lui U în baza B este matrice diagonală şi are pe diagonala principală valorile proprii λ 1,..., λ p fiecare dintre acestea apărând de un număr de ori egal cu ordinul său de multiplicitate: λ [D] U B = 0 λ λ p λ p Etapa 5: Construim matricea de trecere de la reperul B la reperul B, adică C B,B. Etapa 6: Verificăm corectitudinea calculelor testând valabilitatea relaţiei [D] U B = (C B,B 1 A C B,B.

25 Sala: 2103 Noiembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 7: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 7.1 Forma diagonală/forma canonică Jordan a unui endomorfism Fie (X, K spaţiu vectorial cu dim K X = n N, U : X X endomorfism şi λ K valoare proprie a lui U. Definiţie Se numeşte celulă Jordan de ordin p ataşată scalarului λ K o matrice de tip p p de forma: λ λ J p (λ = 0 0 λ λ λ Definiţie Se numeşte bloc Jordan de ordin (p 1,..., p r ataşat scalarului λ K o matrice de tip (p p r (p p r de forma: J p1 (λ J p2 (λ B p (λ = diag (J p1 (λ,..., J pr (λ = J pr 1 (λ J pr (λ unde p p r = p. Definiţie Se numeşte matrice sub forma canonică Jordan o matrice pătratică de ordin n pe a cărei diagonală principală se află blocuri Jordan cu scalari diferiţi, adică: J = diag ( B n1 (λ 1,..., B np (λ r, n n p = n. Definiţie Spunem că U este jordanizabil, dacă există o bază în X faţă de care matricea lui U să aibă forma canonică Jordan. Definiţie O matrice A M n (K spunem că este jordanizabilă, dacă există o matrice nesingulară C M n (K astfel încât C 1 AC să fie o matrice sub forma canonică Jordan. 7.2 Forma canonică a unui operator nilpotent Fie (X, K spaţiu vectorial cu dim K X N. Definiţie Un operator N L K (X, X se numeşte nilpotent dacă există r N astfel încât N r ( = 0 X. Cel mai mic r N cu această proprietate se numeşte gradul lui N (sau indexul de nilpotenţă. 7-1

26 CURS 7: ALGEBRĂ 7-2 Definiţie O matrice A M n (K se numeşte nilpotentă dacă există r N astfel încât A r = 0 Mn(K. Remarcă O matrice nilpotentă are numai valoarea proprie zero. Teoremă Operatorul N L K (X, X este nilpotent dacă şi numai dacă există B (X, K astfel încât matricea [A] N B a operatorului N în baza B este nilpotentă. Demonstraţie. Se observă că [A] N r r B ([A] = N N B şi deci [A] r B = 0 X dacă şi numai dacă N r = 0 X. Definiţie Fie operatorul U L K (X, X. Vectorul x X, x 0 X se numeşte vector propriu generalizat al lui U dacă există λ K şi r N astfel încât iar mulţimea (U λ1 X r (x = 0 X (7.2.1 X λ = {x X (U λ1 X r (x = 0 X } = Ker (U λ1 X r : X X, se numeşte spaţiul vectorilor proprii generalizaţi asociat lui λ. Remarcă Are loc X λ X λ iar operatorul N (x notăm = (U λ1 X (x L K (X, X cu proprietatea (7.2.1 este nilpotent. Definiţie Un ciclu (sau lanţ de vectori proprii generalizaţi ai endomorfismului nilpotent N L K (X, X este un şir de vectori nenuli, de forma { v, N (v,..., N r 1 (v } unde N r (v = 0 X. v este rădăcina ciclului de vectori proprii generalizaţi, N r 1 (v este vectorul de final iar r este lungimea ciclului. Remarcă Fie operatorul U L K (X, X şi A notăm = [A] U B matricea lui U în raport cu reperul B X. Vectorul propriu generalizat x 0 X corespunzător valorii proprii λ se determină din sistemul (A λi n r x B = 0 X unde (A λi n r = 0 Mn(K iar un ciclu de vectori proprii generalizaţi corespunzători lui λ este { } v, (A λi n 1 v, (A λi n 2 v,..., (A λi n r 1 v. (7.2.2 Remarcă Ciclul de vectori proprii generalizaţi din (7.2.2 formează un sistem liniar independent. Teoremă (Forma canonică Jordan a operatorilor nilpotenţi Dacă N L K (X, X este endomorfism nilpotent atunci N are o bază formată din vectori proprii generalizaţi ai lui N. Matricea asociată lui N în această bază este matrice Jordan. 7.3 Reper Jordan. Algoritm de jordanizare. Vectori principali şi nuclee principale Fie (X, K spaţiu vectorial cu dim K X = n N, U : X X endomorfism. Definiţie Se numeşte reper Jordan un reper al lui X în care matricea lui U este o matrice Jordan. Algoritmul de jordanizare pentru U L K (X, X este redat în cele ce urmează: Etapa 1. Fixăm B bază X şi scriem matricea A M n (K a lui U în raport cu această bază.

27 CURS 7: ALGEBRĂ 7-3 Etapa 2. Determinăm polinomul caracteristic P A (λ = A λi n. Sunt posibile două cazuri Caz 1. P A (λ = 0 nu admite n rădăcini în K situaţie în care U nu este jordanizabil. Caz 2. P A (λ = 0 are soluţiile λ 1,..., λ r K cu m aλ m aλr = n iar U este jordanizabil şi se continuă: Etapa 3. Fixăm o valoare proprie λ şi calculăm matricea endomorfismului N ( notăm = U ( λ1 X ( în raport cu baza B. O notăm prin N această matrice. Etapa 4. Determinăm numărul celulelor Jordan pentru valoarea proprie λ : m gλ = dim K KerN ( = dim K X λ. Pot să existe două cazuri Caz 1. Dacă m gλ = m aλ o bază pentru X λ va fi formată din m gλ vectori proprii liniar independenţi. Deci, pentru λ vom avea m aλ celule Jordan de forma J 1 (λ. Caz 2. Dacă m gλ < m aλ se trece la: Etapa 5. Determinăm s N, minim, s m aλ, astfel încât rangn s = rangn s+p p N. Etapa 6. Determinăm n h numărul celulelor Jordan de ordin h {1, 2,..., s} după formula n h = rangn h+1 2rangN h + rangn h 1 unde rangn 0 = rang ( I Mn(K = n, rangn s+1 = rangn s, Σ s h=1 hn h = m aλ. Etapa 7. Se repetă algoritmul începând cu Etapa 3 pentru fiecare valoare proprie a lui U. Etapa 8. Se scrie matricea J a lui U sub forma canonică Jordan. Etapa 9. Ţinând seama de definiţia matricei unei aplicaţii liniare în raport cu un reper, se determină reperul B a lui X în raport cu care U are matricea J. Remarcă Vectorul v 1 X, v 1 0 definit prin N (v 1 = 0 X se numeşte vector propriu iar vectorii v 2, v 3,..., v s definiţi prin N (v 2 = v 1,..., N (v s = v s 1 (7.3.1 se numesc vectori proprii principali. Nucleele KerN (,..., KerN s 1 ( se numesc nuclee principale. În reprezentarea matriceală (7.3.1 este echivalent cu (A λi n v 2 = v 1,..., (A λi n s 1 v s = v s 1. Remarcă Matricea Jordan J este unic determinată de matricea A, până la o permutare a blocurilor de pe diagonala principală. Exerciţiul Fie (M 2 (R, R spaţiul vectorial al matricelor de tip 2 2 cu elemente numere reale şi ( 2 1 A = M (R matricea operatorului U : R 2 R 2 în baza canonică din R. Să se determine forma canonică Jordan şi o bază în care este atinsă această formă. Soluţie. Observăm că polinomul caracteristic este P A (λ = 2 λ λ = λ2 6λ + 9 = (λ 3 2.

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional.

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional. Sala: Octombrie 24 SEMINAR : ALGEBRĂ Conf univ dr: Dragoş-Pătru Covei Programul de studii: CE, IE, SPE Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat distribuit

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 1

Algebră liniară CAPITOLUL 1 Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012 Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Algebră Liniară POSDRU ID 62485 * Bucureşti 212 Prefaţă Algebra liniară şi geometria analitică stau la baza pregătirii matematice universitare, oferind modelări bazate pe

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13

Διαβάστε περισσότερα

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 =

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 = Vladimir BALAN Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială = Bucureşti 2011 = Prefaţă Acest material include noţiunile, rezultatele teoretice de bază, precum şi probleme

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ. Teorie şi probleme Florian MUNTEANU Departamentul de Matematici Aplicate, Universitatea din Craiova Al. Cuza 3, 585 Craiova, Dolj, România

Διαβάστε περισσότερα

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Adrian REISNER 1 1. Pseudoinversă a unui endomorfism într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită. Fie S un R-spaţiu vectorial de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ

Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ IASI, 005 1 Cuprins Capitolul 1 1.1. Matrice şi determinanţi...5 1.1.1. Determinantul unei matrice pătratice...8 1.1.. Matricea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai

1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai 1 Corpuri finite. 1.1 Introducere Reamintim mai intai Definiţie 1 Se numeşte corp un inel comutativ (K,+, ) cu proprietatea ca orice element nenul x din k este inversabil, i.e. există x 1 k astfel încât

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA GEOMETRIE ANALITICĂ Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA 2 Cuprins Prefaţă 7 I Consideraţii teoretice 9 1 Spaţii vectoriale 11 1.1 Definiţie, exemple......................... 12 1.2 Subspaţii..............................

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

elemente de geometrie euclidiană

elemente de geometrie euclidiană Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Fizică Algebră liniară şi elemente de geometrie euclidiană Adrian NECULAE - Curs pentru uzul studenţilor - Timişoara - 2010 Tipografia Universităţii de

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale 3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme liniare - metode directe

Sisteme liniare - metode directe Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα