KINEMATIKA Študijsko gradivo z matematičnim uvodom in zbranimi nalogami s področja kinematike

Transcript

1 KINEMATIKA Šudijsko grdivo z memičnim uvodom in zbrnimi nlogmi s področj kinemike Vldimir Grubelnik Mrjn Logr Mribor, 4

2 Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi Predgovor: Grdivo je nmenjeno šudenom elekroehnike n Fkulei z elekroehniko, rčunlnišvo in informiko Univerze v Mriboru ko dodno grdivo pri šudiju. Grdivo obseg področje Kinemike, ki se obrvnv pri predmeu Fizik I. Zbrni so povzeki poglvij, kjer so predsvljene posmezne fiziklne zkoniosi. Poglvien del grdiv p so zbrne nloge z nekerimi rešivmi. Zbrne so z nmenom pomgi šudenom pri urjevnju znnj z priprvo n pisni del izpi. N zčeku grdiv je dodn še memični uvod ko ponoviev srednješolske memike, ki bo šudenu v pomoč pri reševnju fiziklnih problemov.

3 Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi Vsebin. Memični uvod Kone funkcije Definicije konih funkcij Adicijski izreki Kone funkcije dvojnih koov Vrednosi konih funkcij izbrnih koov Vekorji Zpis vekorj v prosoru Seševnje in odševnje vekorjev Sklrni produk dveh vekorjev Vekorski produk dveh vekorjev Odvod Diferencilni rčun Tbel elemenrnih odvodov Tehnik odvjnj Geomerijski pomen odvod....4 Inegrl Nedoločeni inegrl Tbel nedoločenih inegrlov elemenrnih funkcij Določeni inegrl, geomerijski pomen inegrl Numerično reševnje diferencilnih enčb Eulerjev meod Meod Runge-Ku Kinemik Opis gibnj Točkso elo - msn očk Opzovlni sisem Tir gibnj Hiros in pospešek Premo gibnje Enkomerno gibnje Enkomerno pospešeno gibnje Nihnje... NALOGE - Premo gibnje....4 Gibnje v rvnini Poševni me... 8 NALOGE - Poševni me Kroženje NALOGE - Kroženje Viri:

4 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi. Memični uvod Uvodom je zbrnih nekj memičnih poglvij ko ponoviev srednješolske memike. Gre z memičn znnj, ki so porebn pri obrvnvi fiziklnih vsebin. Predsvljene so kone funkcije, opercije z vekorji, odvodi, inegrli er prikz meod z numerično reševnje diferencilnih enčb.. Kone funkcije.. Definicije konih funkcij Z prvokoni rikonik ABC s srnicmi, b in c, ki im v oglišču A ko α, v oglišču C p ko 9 (slik.), velj, d je rzmerje poljubnih dveh srnic določeno s koom α in je neodvisno od velikosi rikonik (rzmerje dveh isoležnih srnic je enko z vse podobne rikonike). Slik.: ) Prvokoni rikonik. b) Podobni prvokoni rikoniki. Rzmerj posmeznih srnic so definirn z nslednjimi funkcijmi: sin α, c b cos α, c sinα g α, b cosα b cgα. gα Ob upoševnju, d je c +b, dobimo zvezo sin α + cos α... Adicijski izreki Adicijski izreki z kone funkcije: sin( α + β ) sinα cos β + cosα sin β, cos( α + β ) cosα cos β sinα sin β, 4

5 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi g g + gβ α + β ) gα gβ (, cgα cgβ cg( α + β ). cgα + cgβ..3 Kone funkcije dvojnih koov Ob upoševnju dicijskih izrekov dobimo udi izrze z kone funkcije dvojnih koov: sin α sinα cosα, cos α cos α sin α, g gα, g α α cg α cg α. cgα..4 Vrednosi konih funkcij izbrnih koov Velj še: α sin α cos α g α cg α 3 / 3/ 3/ / / 6 3/ / 3 3/3 9 sin( 9 α) cos α, cos( 9 α) sinα, sin( 8 α) sinα, cos( 8 α) cos α, sin( α ± 8 ) sinα, cos( α ± 8 ) cos α. 5

6 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi. Vekorji.. Zpis vekorj v prosoru Oglejmo si vekor v koordinnem sisemu z osmi, y in z. Zpišemo g lhko s komponenmi ko:,, ), ( y z kjer je projekcij vekorj n -os, y projekcij vekorj n y-os in z projekcij vekorj n z-os. Dolžin vekorj je: + +. y z Vekor lhko v prosoru zpišemo udi z njegovo dolžino er koom ϕ in γ, kjer je ϕ ko med -osjo in projekcijo vekorj v rvnino y ( y ), γ p je ko med z-osjo in vekorjem. Vekor lhko orej zpišemo ko: Če upoševmo zvezo (,, ) ( cosϕ, sinϕ, cosγ ). y z y sinγ, dobimo z vekor : (sinγ cos ϕ, sin γ sin ϕ, cos γ ). y y Slik.: Projekcije vekorj v prosoru. 6

7 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi.. Seševnje in odševnje vekorjev Vekorje v prosoru seševmo ozirom odševmo ko, d sešejemo ozirom odšejemo posmezne komponene vekorj. Z ri poljubne vekorje v, y, z koordinnem sisemu: (, y, z ), b ( b, by, bz ), c c, c, c ), je vso vekorjev ( y z + b + c nov vekor R R, R, R ), kjer je: R ( + b + c, y + by + cy, z + bz + cz ). ( y z Podobno velj udi z odševnje vekorjev, kjer posmezne komponene odšejemo. Primer : Ko primer poglejmo ri vekorje v, y koordinnem sisemu: (, y ), b ( b, b y ) in c ( c, c y ) (glej sliko). Vso vekorjev je R ( R, Ry ) + b + c, kjer je: R R, R ) ( + b + c, + b + c ) ( y y y y Slik.3: Prikz seševnj vekorjev. Primer : Vekor F leži v, y koordinnem sisemu. Velikos vekorj F je F5 (eno), z -osjo p oklep ko ϕ3. Kolikšni s posmezni komponeni vekorj v smeri -osi in y- osi? F ( F, F ) ( F cosϕ, F sinϕ). y 7

8 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi..3 Sklrni produk dveh vekorjev Sklrni produk vekorj z vekorjem b zpišemo ko: c b, kjer je c sklr, ki je enk produku dolžine vekorj in projekcije vekorj b n smer vekorj. Sklrni produk c b lhko orej zpišemo ko: c b b cosϕ, kjer je ϕ ko med vekorjem in b, prenesenim ko, d im skupno zčeno očko. Sklrni produk vekorjev,, ) in b b, b, b ) zpišemo s koordinmi ko: ( y z c b b + y b y ( y z + b. z z Slik.4: Sklrni produk dveh vekorjev Če pomnožimo vekor sklrno z vekorjem, je velikos produk enk kvdru dolžine vekorj, od koder dobimo velikos vekorj : + + y z...4 Vekorski produk dveh vekorjev Vekorski produk vekorjev in b priredi vekorjem reji vekor c : c b, ki je prvokoen n rvnino, določeno z vekorjem in b. Vekorji, b in c b oblikujejo v em vrsnem redu poziivni rirob po prvilu desneg vijk (glej sliko). 8

9 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi 9 Dolžin vekorj b c c je ševilsko enk ploščini prlelogrm, ki g določ vekorj in b, ko im skupno zčeno očko. Velikos vekorskeg produk lhko zpišemo ko: bsinϕ b c c, kjer je ϕ ko med vekorjem in b. V komponenh lhko vekorski produk vekorjev ),, ( z y in ),, ( z y b b b b zpišemo ko: y y z z y z z y z y z y b b b b b b b b b. Slik.5: Vekorski produk dveh vekorjev

10 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi.3 Odvod.3. Diferencilni rčun Z funkcijo f ( ) y si poglejmo, z koliko se spremeni njen vrednos, če se premknemo iz očke po -osi z h. y f ( ) ( h) f + f ( ) y + h Slik.6: Diferencilni rčun. Diferenčni količnik zpišemo ko: ( + h) f ( ) f ( + h) f ( ) y f + h Če im diferenčni količnik v očki odvod je y': y f ( ) lim f ( + h) f ( ) h h limio, je funkcij ( ) y lim h dy d f v ej očki odvedljiv. Njen

11 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi.3. Tbel elemenrnih odvodov ( ) f() df d + b + n + b n n n n n n n n n + n n n n n n n n n e e ln e e ln ln ln e log log e ln sin cos cos sin g cos cg sin ln.3.3 Tehnik odvjnj Odvod poljubne elemenrne funkcije: e g Primer: ( ) f ( ) g d( g ) df d df d ( ) ( ) df d e e g d cos g e cos e g ( ) ( ) cos ( ) d( ) d

12 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi Odvod produk več funkcij: y f dy d ( ) g( ) h( ) df ( ) g( ) h( ) + f ( ) d ( ) dg d h ( ) + f ( ) g( ) dh( ) d Odvod ulomk: y f g ( ) ( ) dy d ( ) df d g ( ) f ( ) g ( ) ( ) dg d.3.4 Geomerijski pomen odvod Grf zvezne funkcije f() nj bo neprergn krivulj. - N krivulji izberimo očko T (, y ), kjer je y f( ). - Povečjmo neodvisno spremenljivko z h. Novi vrednosi rgumen +h pripd očk T (, y ), kjer je y f( +h). - Skozi očko T in T položimo sekno, kere smerni koeficien je: ( + h) f ( ) f. h k s Če eži h, se očk T po krivulji približuje očki T, sekn p se bliž končni legi, ki usrez ngeni n krivuljo f() v očki T. Pri em smerni koeficien sekne preide v smerni koeficien ngene: k f ( + h) f ( ) lim h h df ( ). d Slik.7: Geomerijski pomen odvod. Vrednos odvod funkcije f() v očki je smerni koeficien ngene n grf funkcije f() v očki T(, f( )), ki je doiklišče ngene.

13 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi Primer : Funkcij f() zvzem pri vrednosi mksimlno vrednos (glej sliko.8). Tngen v očki T (, f( )) je vodorvn premic s smernim koeficienom k. V očki T je orej: df ( ). d Slik.8: Mksimum funkcije. Primer : V keri očki im funkcij y eksremno vrednos? dy Funkcij y im eksremno vrednos, ko je. d dy 4. d dy Z vrednosi > velj, d je >, kr pomeni, d vrednos funkcije z d nrščnjem spremenljivke nršč. dy Z vrednosi < p je <, kr pomeni, d z mnjšnjem spremenljivke d vrednos funkcije y nršč. Pri vrednosi je orej minimum funkcije y Primer 3: Če vržemo kmen pod koom ϕ z zčeno hirosjo v, lei po prboli: g y( ) gϕ cos. v ϕ Pri kerem doseže kmen njvečjo višino? Kmen doseže njvečjo višino pri mksimumu funkcije y(). Z mksimlno vrednos funkcije velj: dy( ). d V em primeru je orej: dy g v sin ϕ gϕ. d v cos ϕ g 3

14 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi.4 Inegrl.4. Nedoločeni inegrl Inegrl dne funkcije f() je k funkcij F(), kere odvod f(). F ( ) f ( ) ( ) F d f () d df ( ) d je enk dni funkciji Primer : Nj bo dn funkcij f ( ) 3 ( ) ( ) F 3 d, ( ) 3 3 F + kons. 3 Če dobljeno funkcijo F() odvjmo, dobimo: df ( ) f ( ) 3 d.. Poišči funkcijo ( ) f ( ) F d..4. Tbel nedoločenih inegrlov elemenrnih funkcij Nedoločeni inegrli elemenrnih funkcij n+ d n + d ln d cos primeri 3 3 d 3 d ln cos ω sin ω d ω sin( ω) cos ω d ω β β e e d β g( ω) d cos ω ω 3 n 3 sin ( ) d sin cos ( ) e d cos e d g ( ) ( ) 4

15 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi.4.3 Določeni inegrl, geomerijski pomen inegrl V koordinnem sisemu si poglejmo lik, ki je omejen z bscisno osjo, premicm in b in grfom zvezne funkcije yf(). Slik.9: Geomerijski pomen določeneg inegrl. - Rzdelimo inervl [,b] z n+ očkmi n n podinervlov. - N vskem podinervlu izberemo po eno očko i. - produk f( i ) i je ploščin n sliki oznčeneg prvokonik. - Vso vseh prvokonikov ( i ) i n f i je približno enk ploščini prej omenjeneg lik in se ji em bolj približ, čim ožji so vsi prvokoniki. Nnčn ploščin lik je orej vrednos lim limie: ( i ) i n n i i f, ki jo imenujemo določeni inegrl. Določeni inegrl zvezne funkcije f() n inervlu [, b] je enk: b f ( ) d lim f ( i ) i n n i i Določeni inegrl b f ( )d poziivne zvezne funkcije f() podj ploščino lik med krivuljo, bscisno osjo in prvokonicm n os-, ki gres skozi zčeno in končno očko dneg inervl [, b]. Primer : Hiros vomobil se spreminj ko: v ( ) v +, kjer s v in konsni. Kolikšno po s oprvi vomobil v čsovnem inervlu [, ]? Slik.: Hiros pri enkomerno pospešenem gibnju. 5

16 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi Po, ki jo oprvi vomobil v čsovnem inervlu [, ], je: s v( ) d. + ( v ) s d s v +. Vrednos s je enk ploščini pod krivuljo v ( ) v + n inervlu [, ]..4 Numerično reševnje diferencilnih enčb Immo sisem N linernih diferencilnih enčb z N zčenimi pogoji: d i d f (,,,..., ), i () i,, i,,3 N. 3 N.4. Eulerjev meod Pri Eulerjevi meodi rešiev proksimirmo s ngeno. N, i + + N, i f (,, 3,... N, ), i + + i Slik.: Numerično reševnje diferencilnih enčb Eulerjev meod. 6

17 Memični uvod - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi Primer: dh v d, h () h i h + + i v i dv g kv d, v () v i v + i ( g + kvi ),, g, k i v h,,,,,,,,9, 3,3,5,4 4,4,9,6 5,5 3,,9 6,6 3,, 7,7 3,,6 8,8 3,,9 9,9 3,,, 3,,5, 3,,8, 3, 3, 3,3 3, 3,4 4,4 3, 3,8.4. Meod Runge-Ku Z numerično reševnje diferencilnih enčb običjno uporbljmo Runge-Ku meodo 4. red, kjer vrednos funkcije v nslednjem korku ( ) izrčunmo s pomočjo vmesnih korkov: d f (, ) d, () k f ( i, i ) k f ( + k /, + / ) i k f ( + k /, + / ) 3 i k f ( + k, + ) 4 i k + k + k + k 6 i i ( ) i i 3 4 i 7

18 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi. Kinemik. Opis gibnj.. Točkso elo - msn očk Proučevli bomo gibnje očkseg eles. Telo lhko obrvnvmo ko očkso - če je elo je mjhno v primeri z opzovnimi premiki (pič pri leu čez rvnik), - pri rnslciji (vse očke eles se gibljejo v enki smeri in enko hiro)... Opzovlni sisem Z opis gibnj eles si izberimo očko, glede n kero podjemo lego eles. V o očko posvimo izhodišče koordinneg sisem (opzovlni sisem), renuno lego eles p določ krjevni vekor r ( ) ( ( ), y( ),z( )). Če opzovlni sisem ni pospešen, govorimo o inercilnem opzovlnem sisemu, če p je opzovlni sisem pospešen, p o neinercilnem opzovlnem sisemu. Nj bo S inercilni sisem, sisem S' p se giblje pospešeno glede n sisem S, ko d osjjo osi koordinnih sisemov vzporedne. Slik.: S inercilni sisem. S' neinercilni (pospešen) sisem. Izhodišče sisem S' je z r izmknjeno iz izhodišč sisem S. Točk T je z r () izmknjen iz izhodišč sisem S in z r () iz izhodišč sisem S'. Med rdijvekorjem in odvodi veljjo nslednje zveze: r r + r, v v + v, +. 8

19 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi Sile n elo niso odvisne od izbire koordinneg sisem.. Newonov zkon v sisemu S zpišemo ko m F, kjer je F rezuln vseh sil n elo. Zpis iseg zkon v sisemu S' je m m ( F m F +, ) kjer je F sis.i. sisemsk sil, ki jo mormo v pospešenem sisemu S' dodi k rezulni vseh sil F pri zpisu. Newonoveg zkon in je enk F sis m. Če je pospešek, je sisem S' udi nepospešen (inercilen) in zveze med rdijvekorjem er odvodi predsvljjo Glilejeve rnsformcije: V kem primeru je zpis. Newonoveg zkon enk v sisemu S in S'. F sis..3 Tir gibnj Telo, ki se giblje, spreminj lego v prosoru. Spreminjnje lege v prosoru opiše ir gibnj: r ( ) ( ( ), y( ),z( )). Kdr je ir gibnj poljubn krivulj v prosoru, govorimo o krivem gibnju. Kdr p se elo giblje po premici, govorimo o premem gibnju. Pri premem gibnju običjno koordinni sisem posvimo ko, d se elo giblje vzdolž osi. Spreminjnje lege v em primeru zpišemo ko (). Slik.: ) Krivo gibnje. b) Premo gibnje.. Hiros in pospešek Telo, ki se giblje, spreminj lego v prosoru: r ( ) ( ( ), y( ),z( )). Hiros definirmo ko spremembo lege v čsovni enoi: r dr v lim, v ( v,v y,vz ) d 9

20 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi in pospešek ko spremembo hirosi v čsovni enoi: v dv lim, (, y,z ) d Slik.3: ) Hiros. b) Smer pospešk..3 Premo gibnje Koordinni sisem posvimo ko, d se elo giblje vzdolž osi. dr d(, y, z) d(,,) d v d d d d dv d( v, vy, yz ) d( v,,) dv d d d d.3. Enkomerno gibnje dv d dv d v d v kons. d d vd v v v vkons. v

21 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi Grfičn predsviev premo enkomerneg gibnj: Slik.4: Premo enkomerno gibnje. ) Hiros v(). b) Leg ()..3. Enkomerno pospešeno gibnje dv kons. d dv d v v v v v v + d v v d + d ( v + ) d v + Grfičn predsviev enkomerno pospešeneg premeg gibnj: Slik.5: Enkomerno pospešeno gibnje. ) Pospešek (). b) Hiros v()..3.3 Nihnje Premo hrmonično nihnje vzdolž osi okoli očke opišemo s funkcijo: sin( ω + δ ). Tu pomeni odmik od rvnovesne lege, njvečji odmik li mpliudo, ω krožno frekvenco in δ fzni premik li zčeno fzo. Velj še ω πν π/t, kjer je ν frekvenc nihnj in T nihjni čs. Z odvjnjem po čsu dobimo hiros in pospešek: d v ω cos( ω + δ ), d dv ω sin( ω + δ ) ω. d v ω in ω s njvečji vrednosi (mpliudi) hirosi in pospešk.

22 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi NALOGE - Premo gibnje. Krj A in B s 5 km nrzen. Iz krj A odpelje vomobil s hirosjo 6 km/h, iz krj B p isočsno vomobil s hirosjo 4 km/h. Kje in po kolikšnem čsu se vomobil sreč? Nlogo reši rčunsko in grfično.. Mopedis odpelje iz krj A proi krju B s hirosjo 4 km/h. Pol ure ksneje odpelje z njim vomobilis s hirosjo 7 km/h. Kdj in kje g dohii? Nlogo reši rčunsko in grfično prikži poek reševnj. Rešiev: s v v ( - o ) s v 47 km v o /( v -v ) 7/6 h h min 3. Po rvni cesi se enkomerno gibljejo vomobil, mooris in ekč. Avomobil je njhirejši, ekč p njpočsnejši. Grf prikzuje spreminjnje poi v odvisnosi od čs. Iz grf rzberi: ) S kkšnim čsovnim zmikom so srli? b) Kolikšne so njihove hirosi? c) Po kolikšnem čsu mooris prehii ekč? č) Kolikšn je rzdlj med ekčem in vomobilom 5 minu po em, ko je ekč zčel eči? 4. Kolikšn je povprečn hiros vomobil? ) Avomobil prevozi polovico poi s hirosjo v 8 km/h, polovico poi p s hirosjo v 4 km/h. Rešiev: Povprečn hiros je: s v, () kjer je s celon po, ki jo prevozi vomobil in celoen čs poreben z o po. Celon po je: s s + s, kjer je s s. () Celoen čs je:

23 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi +, kjer je s in v s. (3) v Če enčbi in 3 vsvimo v enčbo, dobimo: v v v 53,3 km / h v + v. b) Avomobil vozi polovico čs s hirosjo v 8 km/h, polovico čs p s hirosjo v 4 km/h. Kolikšn je njegov povprečn hiros? Rešiev: Povprečn hiros je: s v, () kjer je s celon po, ki jo prevozi vomobil in čs, ki je poreben z celono po. Celon po je: s s + s, kjer je s v in s v. () Celoen čs je: +, kjer je. (3) Če enčbi in 3 vsvimo v enčbo, dobimo: v + v v 6 km / h. c) Zkj smo v prvem primeru dobili mnjšo povprečno hiros ko v drugem primeru? 5. Avomobil zčne vozii enkomerno pospešeno s slnim pospeškom 3 m/s, dokler ne doseže hirosi 8 km/h. No s vozi s slno hirosjo, nkr zčne enkomerno zviri in se usvi v 5 s. ) Koliko čs je pospeševl vomobil? ( s) b) Kolikšno po je prevozil, ko je vozil s slno hirosjo? (3 m) c) S kolikšnim pojemkom je zvirl vomobil? (6 m/s ) č) Kolikšno celono po je prevozil? (55 m) 6. Avomobil se giblje drug proi drugemu. V renuku, ko s oddljen s m, im prvi vomobil hiros v 5 m/s, drugi p hiros v m/s. Prvi vomobil se giblje enkomerno, drugi p zvir s pojemkom m/s. ) Po kolikšnem čsu vomobil rči? b) S kolikšno relivno hirosjo v r se vomobil zlei? 7. Mooris vozi 6 m z ovornjkom s hirosjo 7 km/h. Tovornjk vozi z enko hirosjo ko mooris. Mooris se odloči prehiei ovornjk in zčne pospeševi s slnim pospeškom m/s. ) Po kolikšnem čsu bo mooris prehiel ovornjk, če je dolžin ovornjk m? (4 s) b) Kolikšn je hiros mooris, ko prehii ovornjk? (.8 km/h) 3

24 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi 8. Po ozki rvni cesi vozi vo s hirosjo km/h. Voznik opzi v rzdlji m pred seboj ovornjk, ki vozi v isi smeri s slno hirosjo 4 km/h. S kolikšnim njmnjšim pojemkom mor voznik zviri, d vozili ne rči? Rešiev: Spreminjnje lege vomobil: s () v / Spreminjnje lege ovornjk: s () s + v Ko vomobil dohii ovornjk, velj: s s ; v / s + v Upoševjmo še: v () v v in dobimo (v v ) / s,4 m/s 9. Šuden soji ob cesi v bližini vobusne posje. Mimo njeg pripelje vobus, ki zvir s slnim pojemkom m/s, dokler se n posji ne usvi. V renuku, ko vobus pelje mimo šuden, im hiros v54 km/h. Njmnj kko dolgo mor vobus si n posji, d šuden ujme vobus, če je šuden v renuku, ko je vobus zpeljl mimo njeg, sekel proi posji s slno hirosjo v km/h? (5,5 s). Tekč preeče s m v s. Pri em doseže ob slnem pospešku po s m njvečjo hiros, s kero se giblje do cilj. Kolikšen bi bil čs, če bi ekč njvečjo hiros dosegel že po s 8 m?. Telo, ki miruje v izhodišču, se prične gibi. Pospešek se mu spreminj, ko kže slik. ) Nriši spreminjnje hirosi eles s čsom. b) Kolikšn je njvečj hiros eles? ( m/s) c) Kolikšno po oprvi elo po 6 s? (7 m) č) Kolikšn je povprečn hiros eles po 6 s? (,7 m/s). Žogo vržemo nvpično nvzgor, ki pde nzj n l. Keri grf prvilno prikzuje spreminjnje hirosi v odvisnosi od čs? 4

25 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi 3. Z višine 5 m spusimo dve žogi z zmikom,5 s. Kko visoko se nhj drug žog, ko prv pde n l? (4,4 m) 4. Blon se dvig nvpično s slnim pospeškom m/s. Po 5 s od zček dvignj z njeg pde predme. Po kolikšnem čsu pde predme n l? Rešiev: Hiros in višin blon po 5s: v m/s h / 5m Spreminjnje lege predme: h h + v - g / / + - g / 3,4 s 5. Blon n opli zrk se dvig s slno hirosjo v. Ko je H 5 m visoko, spusimo kmen, ki pde n l po 4 s. Z koliko se je med em dvignil blon? (8,5 m) 6. Grf prikzuje oddljenos vomobil v odvisnosi od čs. ) Opišie gibnje vomobil n posmeznih odsekih: (miruje, pospešuje, se giblje enkomerno) b) Kolikšn je njvečj hiros vomobil? (,5 km/min) c) Kolikšn je hiros vomobil v očki G? ( km/min) 7. Opiši gibnje vomobil med posmeznimi očkmi ( h), ki g prikzuje grf spreminjnj hirosi v odvisnosi od čs vv(). ) V keri očki doseže vomobil njvečjo hiros? b) N kerih odsekih vozi vomobil s slno hirosjo? c) V keri očki im vomobil njvečji pospešek? 5

26 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi 8. Opiši gibnje vomobil med posmeznimi očkmi ( g), ki g prikzuje grf spreminjnj hirosi v odvisnosi od čs vv(). ) V keri očki doseže vomobil njvečjo hiros? b) Med kerimi očkmi vozi vomobil vzvrno? c) V kerih očkh vomobil miruje? č) V keri očki je njvečji pospešek ozirom pojemek? 9. Opiši gibnje vomobil med posmeznimi očkmi ( g), ki g prikzuje grf oddljenosi od zčene lege v odvisnosi od čs (). ) V keri očki doseže vomobil njvečjo hiros? b) Med kerimi očkmi vozi vomobil vzvrno? c) V kerih očkh vomobil miruje?. Hiros vomobil se spreminj s čsom: v ( ) + b, kjer je: / m/s 3 in b m/s. ) S kolikšnim pospeškom je speljl vomobil? ( m/s ) b) Kolikšno po oprvi vomobil po 5 s vožnje? (45,8 m). Pospešek eles, ki se giblje vzdolž -osi, se spreminj s čsom ko: m m ( ) +. Kolikšno po oprvi elo po 8 s, če se zčne gibi iz izhodišč 3 s s z zčeno hirosjo v m/s?. Hiros očke se spreminj s čsom ko: v( ) v e, kjer je 3 s in v 5 m/s. ) Kko se spreminj pospešek v odvisnosi od čs? b) Kdj doseže njvečjo hiros? 3. Telo se giblje s hirosjo v 4 m/s, ko zčne zviri s pojemkom kv, kjer je k, s -. ) Kdj im elo njvečji pojemek? b) Kolikšno hiros im elo 5 s po em, ko je zčelo zviri? c) Kolikšno po oprvi elo v 5 s po em, ko je zčelo zviri? č) Kolikšno po oprvi elo med em, ko mu je hiros pdl n polovico (vv /)? 6

27 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi 4. Telo z mso m g nih hrmonično s frekvenco Hz in mpliudo s 5 cm. ) Kolikšn je njvečj hiros eles? b) Kolikšn njvečj sil deluje n elo? c) Kolikšen je nihjni čs nihl? d) Koliko čs porebuje elo, d pride od rvnovesne lege do odmik s3 cm? e) Kolikšn je hiros eles, ko je elo izmknjeno iz rvnovesne lege z s3 cm? f) Kolikšn s kineičn energij eles in prožnosn energij vzmei, ko je nihlo izmknjeno z 3 cm iz rvnovesne lege? 5. Telo nih hrmonično. Ko gre skozi rvnovesno lego, im hiros 4 cm/s, njvečji pospešek eles p meri m/s. ) Kolikšn je krožn frekvenc in nihjni čs nihl? (ω5 s -, T,6 s) b) Kolikšn s hiros in pospešek, ko je nihlo z polovico mpliude od rvnovesne lege? (v,35 m/s,,5 m/s ) 6. Grf prikzuje odmik nihl v odvisnosi od čs. Zpiši usrezno hrmonično funkcijo s(), določi li izrčunj oznke v zpisu s(), določi frekvenco nihnj in hiros, s kero gre nihlo skozi rvnovesno lego. 7

28 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi.4 Gibnje v rvnini Predposvimo, d se elo giblje v rvnini (, y). Hiros eles v em primeru zpišemo ko: dr d(, y,) d dy v, d d d d, v d, vy d dy, d pospešek p ko: dv d( v, vy,) dv dv y, d d d d dv, d, y dv d y.4. Poševni me Telo se zčne gibi poševno nvzgor z zčeno hirosjo v pod koom ϕ glede n vodorvn l. Slik.5: Poševni me. Če znemrimo upor zrk, je gibnje v vodorvni smeri enkomerno. V nvpični smeri nvzdol p deluje ežni pospešek g9,8 m/s. Ob določenem čsu je velikos hirosi: v v y, kjer je v cosϕ v + Telo je edj v očki (, y), kjer je v in v v sinϕ g y. v cosϕ in y y + v sinϕ g. Če iz prve enčbe izrzimo čs in vsvimo v drugo enčbo, dobimo enčbo ir v eksplicini obliki: g y y gϕ. v cos ϕ 8

29 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi Dome Čs le lhko izrzimo iz enčbe z dome D v cosϕ y y + v sinϕ g z y ( ) y. Z njim dobimo Primer : Me n zčeno višino v sinϕ g v sinϕ g v sin ϕ D v cosϕ g Primer : Vodorvni me y y g y D v v g g 9

30 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi NALOGE - Poševni me. Deček izsreli s frčo ri kmne. Z ri mee, kerih ire kže slik, primerjj med sbo: ) zčeno komponeno hirosi v nvpični smeri, b) zčeno komponeno hirosi v vodorvni smeri, c) nvpično komponeno hirosi, ko pde kmen n l, d) čs le.. Kmen vržemo v vodorvni smeri s hirosjo m/s s 5 m visokeg solp. ) Kolikšno hiros im po s in v keri smeri lei? (,4 m/s; 6,6 ) b) Čez koliko čs in v keri smeri pde n l? (3, s; 57,7 ) Rešiev: ) v v + v v + ( g) v,4m/s b) y v y g gϕ ϕ -6,6 o v v g h h 3, s g v y gh gϕ ϕ -57,7 o v v 3. Z vlk, ki se giblje premo s slno hirosjo v v 7 km/h, vržemo kmen v vodorvni smeri s hirosjo v k m/s, prvokono n smer gibnj vlk. Kmen vržemo z višine h m od l. ) Kko dleč od ir pde kmen n l? (6,3 m) b) S kolikšno hirosjo pde kmen n l? (3 m/s) Rešiev: ) Ker se kmen od ir oddljuje enkomerno s slno hirosjo, velj: v, () k p kjer je p čs pdnj kmn z višine h m. Zrdi enkomerno pospešeneg gibnj s pospeškom g dobimo čs pdnj: h p. () g Če vsvimo enčbo v enčbo, dobimo rzdljo od ir, kjer je kmen pdel n l: h vk p vk 6, 3 m. (3) g 3

31 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi b) Posmezne hirosi predsvljjo komponene vekorj hirosi, s kero pde kmen n l. Komponene so hiros v smeri gibnj vlk (v v ), hiros v smeri me (prvokono n smer gibnj vlk) (v k ), hiros v nvpični smeri (v z ), ki je posledic enkomerno pospešeneg pdnj (s pospeškom g) v nvpični smeri. Ker kmen v nvpični smeri prepouje po h, je hiros: v z gh. (4) Ker so komponene med sbo prvokone, velj: v v + v + v v + v + gh 3 m s. (5) v k z v k / 4. Isočsno vržemo z iseg mes dv kmn z zčeno hirosjo m/s. Prvi kmen vržemo pod koom 3, drugeg p pod koom 6 glede n vodorvnico. ) Kko dleč nrzen s kmn po s? (,3 m) b) Kko dleč nrzen pde kmn nzj n vodorvn l? ( m) 5. Pod kolikšnim koom mormo vreči kmen, d bo dome kmn njvečji? (45 ) Rešiev: v sin ϕ D. Dome je njvečji, ko je sin ϕ ϕ 45 g 6. Fn lhko vrže žogico njveč 5 m dleč. Kko visoko lhko njveč vrže fn žogico? Predposvi, d je v obeh primerih vrgel žogico z enko zčeno hirosjo. (5 m) 7. Pod kolikšnim koom mormo vreči kmen, d bo dome kmn, ki pde nzj n vodorvn l, enk njvišji višini le? (76 ) Rešiev: v sin ϕ D ; g H v sin ϕ ; HD g ϕ 4 ϕ 76 g 8. N rzdlji 6 m od op soji sovržno vozilo. V renuku, ko op izsreli grno pod koom 6, zčne vozilo pospeševi proi opu s slnim pospeškom 4 m/s. S kolikšno hirosjo mormo izsrelii grno? ( m/s) Rešiev: ss +s, pri čemer je: v sin ϕ s D in g T s s v g m / s. g sin ϕ + sin ϕ. Čs le grne je: T v sinϕ. g 3

32 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi 9. S pomol, z višine h5 m nd vodo, vržemo kmen v vodo. Vržemo g z zčeno hirosjo v m/s pod koom ϕ4 poševno nvzgor. Kko dleč od pomol pde kmen v vodo? (45,3 m) Rešiev: g h v sinϕ Čs pdnj kmn: D v cosϕ 45,3 m. v ( v sin ) sinϕ ϕ g g + 4 h,96 s (rešiev kvdrne enčbe). S opom, ki izsreli grno s hirosjo v m/s, sreljmo preko hrib. Grn, ki smo jo izsrelili pod koom ϕ4 glede n vodorvn l, doseže njvišjo lego le rvno nd vrhom hrib. ) Kolikšn je višin hrib h? ( m) b) Kolikšn je hiros grne v njvišji očki? (76,6 m/s) c) Kko dleč od hrib (d ) je posvljen op? (5 m) č) Kko dleč od hrib (d ) pde grn n vodorvn l, ki so z h m nižje od izsrelišč? (69 m). Kmen spusimo z blon n višini H5 m. S kolikšno hirosjo pde kmen n l, če ) se blon dvig s hirosjo v B 5 m/s, (3,7 m/s) b) se blon spušč s hirosjo v B 5 m/s, (3,7 m/s) c) se blon giblje v vodorvni smeri s hirosjo v B 5 m/s, (3,7 m/s) d) blon miruje? (3,3 m/s). Reševlni helikoper lei s hirosjo 7 km/h v višini m nd gldino proi brodolomcu. Pilo želi odvreči reševlno kpsulo čim bliže brodolomc. Kkšen ko z nvpičnico mor oklepi smer, v keri vidi pilo brodolomc, ko bo sprosil reševlno kpsulo? V kkšni smeri prilei kpsul n gldino in s kolikšno hirosjo? (ϕ 4 o, ϕ 4,3 o, v75 km/h) 3

33 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi.4. Kroženje Kroženje je gibnje po krožnici. V koordinno izhodišče posvimo središče krog s polmerom r. Lego očke določ rdijvekor r, ki s poziivno -osjo oklep ko φ: r ( r cosϕ, r sinϕ) Ko φ se lhko poljubno spreminj ϕ ϕ(). Njegovo spreminjnje s čsom imenujemo kon hiros: dϕ ω. d Odvod rdijvekorj r po čsu dá vekor hirosi: dr dϕ dϕ v ( r sinϕ, r cosϕ) rω( sinϕ, cosϕ), d d d ki kže v smeri ngene n krog ozirom prvokono n rdijvekor r. Imenujemo jo obodn hiros, njen velikos je v rω. Vekorju hirosi se ves čs spreminj smer, lhko p udi velikos. Spreminjnje velikosi hirosi podje ngenni pospešek : dv dω r rα, kjer je α koni pospešek. d d Spreminjnje smeri hirosi p podje rdilni (li cenripelni) pospešek r, ki kže proi središču kroženj: dvr dϕ v r v vω ω r, d d r kjer je dv r sprememb komponene hirosi v smeri rdij. Celoen pospešek je vekorsk vso ngenneg in rdilneg pospešk (, r ), 4 velikos pospešk p + r α +ω. r Enkomerno kroženje je kroženje s slno kono hirosjo (koni pospešek je ves čs enk ), enkomerno pospešeno kroženje p je kroženje s slnim konim pospeškom: 33

34 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi Primerjv enčb z premo gibnje in kroženje: -enkomerno premo gibnje -enkomerno kroženje α v kons. ω kons. + v ϕ ϕ + ω -enkomerno premo gibnje -enkomerno pospešeno kroženje kons. α kons. v v o + ω ω o + α + v o + / ϕ ϕ + ω o + α / v v o + ω ω o + αϕ 34

35 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi NALOGE - Kroženje. Neko elo se zvri 5 kr v eni minui. Pri zvirnju se zusvi v 3 s. Zvirnje je enkomerno pojemjoče. ) Kolikšen je koni pojemek? (5, s - ) b) Kolikokr se zvri v em čsu? (375) Rešiev: ω πν ) α 5, s - ω ω πν b) ω ω αϕ ϕ 356 rd α ϕ N 375 π. Grf kže spreminjnje kone hirosi vriljk v odvisnosi od čs. Deček n vriljku sedi r 4 m od osi vrenj. ) S kolikšnim konim pospeškom se vri vriljk med 4 s in s? (,33 s - ) b) Kolikokr se zvri vriljk med 4 s in 6 s? (5,7) c) S kolikšno hirosjo se giblje deček n vriljku med 4 s in 6 s? ( m/s) d) Kolikšen je celoni pospešek, ki deluje n dečk v očki G? (4, m/s ) 3. Vzrjnik, ki g nehmo pognji, se usvi po 35 s in oprvi pri em še 8 obrov. ) Kolikšn je bil njegov frekvenc, ko smo g nehli pognji? (45,7 s - ) b) Kolikšen je ngenni pospešek očke, ki je 8 cm oddljen od osi? (-,66 ms - ) 4. Elekromoor doseže mksimlno frekvenco 8 s po vklopu. No se vri s o frekvenco s, ko g izklopimo. Od vklop do izklop je oprvil N +N 34 vrljjev, po izklopu p še ndljnjih N 3 85 obrov. Koliko čs je rjlo usvljnje? (6,5 s) Rešiev: ω ϕ + ϕ π ( N + N) ϕ + ϕ + ω ω 89 s - / + / + 35

36 Kinemik - Šudijsko grdivo z zbrnimi nlogmi ϕ (πn ,5 s ω ω ) 5. Telo, ki je v zčeku mirovlo, zčne krožii s slnim konim pospeškom s - v rzdlji,5 m od osi. Kolikšn s rdilni in celoni pospešek v renuku, ko je elo nprvilo pol obr? Kolikšen ko oklep edj rdilni in celoni pospešek? 6. Telo miruje n robu plošče s polmerom r cm. Plošč se zčne vrei enkomerno pospešeno in v prvih 6 s oprvi N7 vrljjev. ) S kolikšno hirosjo odlei elo s plošče, če zdrsne z nje s po zčeku vrenj? (4,9m/s) b) Kko dleč od plošče pde elo n l, če je plošč h,5 m nd lemi? (,6m) 7. Frncoski hiri vlk vozi s povprečno hirosjo 6 km/h. Če pelje vlk s olikšno hirosjo skozi ovinek, rdilni pospešek ne sme preseči,5 g. ) Kolikšen še sme bii njmnjši krivinski rdij ovink? (7,3 km) b) S kolikšno hirosjo sme vlk pelji skozi ovinek s krivinskim rdijem km, d rdilni pospešek ne bo večji od predpisneg? (8 km/h) 36

37 Kinemik - Viri Viri: Nloge so izbrne in prirejene iz ševilnih virov. V njih lhko šudenje njdejo še mnogo drugih primerov. V. Kumperščk: Izpine nloge iz fizike z rešivmi, VTŠ, Mribor 976. R. Kldnik, H. Šolinc: Zbirk fiziklnih nlog z rešivmi, DZS, Ljubljn 988. L. Črepinšek: Zbirk fiziklnih problemov.. del. - Mribor: Tehnišk fkule, 986. L. Črepinšek: Zbirk fiziklnih problemov.. del. - Mribor: Tehnišk fkule, 99. J. Pdežnik Gomilšek, L. Črepinšek: Nloge iz ehniške fizike, zbirk nlog, Univerz v Mriboru, Fkule z srojnišvo. A. Snovnik: Fizik I, Zpiski predvnj, Ljubljn, Fkule z elekroehniko, 9. D. Hollidy, R. Resnick, J. Wlker: Fundmenls of Physics, John Wiley nd Sons, New York, 997. A. Gimbis, B. McCrhy Richrdson, R. C. Richrdson, College Physics, McGrw- Hill, New York, 7. 37