ZAVRŠNI RAD Niko Bolanča

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ZAVRŠNI RAD Niko Bolanča"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Niko Bolanča Zagreb, 2008

2 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Određeivanje trajne čvrstoće materijala X21CrMoV12-1 s različito sačmarenom površinom Voditelj rada: Prof.dr.sc. Janoš Kodvanj Student: Niko Bolanča Zagreb, 2011

3 SADRŽAJ Popis oznaka...i Popis slika...ii Popis tablica...iii 1. Uvod Zamorna čvrstoća Faktori koji utječu na dinamičku izdržljivost Sačmarenje Provedba eksperimenta Način ispitivanja Opterećenje Ispitni uzorci Materijal Ispitne grupe Ispitivanje prve grupe uzoraka Ispitivanje druge grupe uzoraka Ispitivanje treće grupe uzoraka Ispitivanje četvrte grupe uzoraka Usporedba rezultata Maksimalni broj ciklusa po ispitnim grupama Prosječni broj ciklusa po grupi Zaključak...20

4 7. Popis literature Prilog Programski kod za cikličko ispitivanje epruveta

5 Izjavljujem da sam radio samostalno koristeći se stečenim znanjem,navedenom literaturom i opremom Laboratorija za eksperimentalnu mehaniku. Zahvaljujem mentoru dr.sc. Janošu Kodvanju, na uloženom naporu i podršci. Također zahvaljujem asistentu Zvonimiru Tomičeviću na ukazanoj pomoći i informacijama. U Zagrebu, veljača 2011

6 Popis oznaka r - koeficijent asimetrije ciklusa naprezanja σ [N/mm 2 ] - minimalno naprezanje ciklusa naprezanja min σ max [N/mm 2 ] - maksimalno naprezanje ciklusa naprezanja σ a [N/mm 2 ] - amplitudno naprezanje σ g [N/mm 2 ] - gornje naprezanje R d [N/mm 2 ] - trajna dinamička čvrstoća F [N] - sila HV [N/mm 2 ], [MPa] - tvrdoća po Vickersu N - broj ciklusa f [ Hz ] - frekvencija naprezanja R p0,.2 [N/mm 2 ] -konvencionalna granica razvlačenja R m [N/mm 2 ] - vlačna čvrstoća p [bar] - tlak sačmarenja N z N sr - broj ciklusa u zadnjem koraku - prosječni broj ciklusa I

7 Popis slika Slika 2.1 Površina loma...2 Slika 2.2 Promjenljiva naprezanja pri cikličkom opterećenju...3 Slika 2.3 Wöhlerov dijagram...4 Slika 2.4 Raspored naprezanja u štapu s U-utorom...5 Slika 2.5 Dijagram naprezanje-istezanje...6 Slika 2.6 Utjecaj obrade površine na zamornu čvrstoću...6 Slika 3.1 Deformacija površine...8 Slika 4.1 Epruveta za ispitivanje zamorne čvrstoće Slika 4.2 Broj izdržanih ciklusa prve grupe uzoraka Slika 4.3 Epruveta 1 nakon pucanja...13 Slika 4.4 Izgled površine poprečnog presjeka...13 Slika 4.5 Broj izdržanih ciklusa druge grupe uzoraka.14 Slika 4.6 Epruveta nakon loma Slika 4.7 Broj izdržanih ciklusa treće grupe uzoraka.. 16 Slika 4.8 Epruveta iz treće grupe nakon loma Slika 4.9 Broj izdržanih ciklusa četvrte grupe uzorak Slika 4.10 Epruveta iz četvrte grupe nakon loma...19 Slika 5.1 Maksimalni broj izdržanih ciklusa po grupi do loma..19 Slika 5.2 Srednje vrijednosti broja ciklusa po ispitnim grupama...19 II

8 Popis tablica Tablica 4.1 Parametri ispitivanja...10 Tablica 4.2 Karakteristike materijala X21CrMoV Tablica 4.3 Rezultati ispitivanja prve grupe uzoraka...12 Tablica 4.4 Rezultati ispitivanja druge grupe uzoraka...14 Tablica 4.5 Rezultati ispitivanja treće grupe uzoraka...15 Tablica 4.6 Rezultati ispitivanja četvrte grupe uzoraka...17 III

9 1.UVOD Sačmarenje spada u napredne postupke oblikovanja deformiranjem. Većinom se koristi za čišćenje površina metala, mehaničko čišćenje žica, pripremu površina za bojanje i da bi povećali otpornost na umor kod opruga i zupčanika. Današnji zahtjevi na svojstva materijala su dosta precizni i često su kontradiktorni. Teško je kod materijala ostvariti neka svojstva koja nisu kompatibilna, npr. da materijal bude što tvrđi ali da ima i dostatnu žilavost. Zato trebamo naći kompromis. Da bi se odredila povoljna kombinacija sastava i oblika materijala koja bi zadovoljila zahtjeve, trebamo ispitati različite varijante uzoraka. Ispitni uzorci se razlikuju bilo po sastavu materijala, načinu obrade, promjeru, itd. Te ispitne uzorke ispitujemo različitim metodama. Ako je element konstrukcije dinamički opterečen kao u ovom slučaju, metoda kojom će se ispitati uzorak mora simulirati opterećenja koja se javljaju za vrijeme životnog vijeka tog elementa. U ovom radu potrebno je odrediti trajnu čvrstoću materijala X21CrMoV12-1 pri istosmjernom dinamičkom opterečenju koje iznosi 75% vlačne čvrstoće dobivene statičkim vlačnim pokusom.cilj je usporediti utjecaj tri različite vrste sačmarenja na trajnu čvrstoću materijala. Dobivene rezultate treba usporediti s rezultatima dobivenim na uzorcima izređenim tokarenjem standardne kvalitete. 1

10 2. ZAMORNA ČVRSTOĆA Strojni dio koji je dulje vremena podvrgnut naprezanjima promjenjivim u vremenu, lomi se pri naprezanjima koja su znatno manja od statičke čvrstoće i granice tečenja. Ovo je posljedica tzv. zamora materijala. Proces zamora uvijek počinje začećem inicijalne pukotine, koja se ne vidi golim okom. Ta pukotina predstavlja mikrokoncetraciju naprezanja. Izvori mikrokoncentracije naprezanja su najčešće na površini napregnutog elementa, i to pri dnu udubina, površinskih neravnina, u okolini oksida koji djeluju kao strano tijelo (uključina), te na mjestima svih ostalih nehomogenosti izazvanih procesom izrade i obradom. Takva koncentracija naprezanja pogoduje klizanju kristala te širenju pukotine. Proces širenja pukotine traje sve dok se ostatak presjeka ne smanji toliko da naprezanja u njemu dostignu vrijednost statičke čvrstoće materijala, pa se on odjednom nasilno prelomi. Nakon loma se mogu vidjeti dvije zone na površini: zona širenja pukotine, koja je glatka, i zona statičkog loma vrlo grube i nepravilne površine, karakteristične za statički lom (slika 2.1). Slika 2.1 Površina loma Mjerodavna karakteristika čvrstoće pri promjenjivim naprezanjima strojnih dijelova jest dinamička čvrstoća strojnog dijela, koja se dobiva ispitivanjem na zamor samog strojnog dijela, ili češće, proračunom na temelju ispitivanja zamora epruvete, izrađene od istog materijala kao i strojni dio. Epruvete su izložene periodično promjenjivim opterečenjima određenog intenziteta (slika 2.2 ) sve do pojave loma. Ispitivanja se provode za određeni koeficijent asimetrije ciklusa naprezanja 2

11 gdje je: r σ max r = (1.1) σ min - koeficijent asimetrije ciklusa naprezanja σ min - minimalno naprezanje ciklusa naprezanja σ max - maksimalno naprezanje ciklusa naprezanja Slika 2.2 Promjenljiva naprezanja pri cikličkom opterećenju Kao što je vidljivo iz gornje slike, za ispitivanje se najčešće koristi promjenljivo naprezanje sinusoidnog karaktera. Može se govoriti o istosmjernom promjenljivom naprezanju i izmjeničnom promjenljivom naprezanju. Epruvete se ispituju na uređajima koji omogućuju promjenljivo titrajno opterećenje ispitnog uzorka, a nazivaju se pulzatori ili umaralice. Ukoliko je frekvencija promjene opterećenja manja od 5Hz, radi se o niskofrekventnom ispitivanju. Ispitivanje sa frekvencijom od 5Hz pa do 30Hz je srednje frekventno, a u koliko je frekvencija veća od 30Hz onda je to visokofrekventno 3

12 ispitivanje. Da bi se ispitala dinamička izdržljivost, odabere se jedan od tipova promjenljivog naprezanja, te se provede Wöhlerov pokus s najmanje pet razina naprezanja. Za svaku razinu promjenljivog naprezanja, iskazani amplitudom naprezanja σ a ili gornjim naprezanjem σ g, ispituje se 6 do 10 istovrsnih ispitnih uzoraka. Rezultati Wöhlerov pokusa ucrtavaju se u Wöhlerov dijagram, u koji se za pojedine vrijednosti dinamičkog naprezanja unose oni brojevi ciklusa koje su ispitni uzorci izdržali do loma (slika 2.3). Slika 2.3 Wöhlerov dijagram Kao što se vidi Wöhlerova krivulja se asimptotski prebližava pravcu σ=r d, pri čemu je R d trajna dinamička čvrstoća materijala izloženog ciklički promjenljivim naprezanjima s koeficijentom asimetrije ciklusa r. Očito, trajna dinamička čvrstoća materijala je ono maksimalno naprezanje ciklusa asimetrije r pri kojem epruveta doživi beskonačno mnogo ciklusa, tj. neograničenu trajnost. Wöhlerova krivulja se obično crta u logaritamskim koordinatama. 4

13 2.1 Faktori koji utječu na dinamičku izdržljivost Mnogi faktori utjeću na dinamičku izdržljivost a kao prvi može se navesti vrsta cikličkog opterećenja, koje može biti vlačno, tlačno izmjenično, zatim amplituda,te učestalost. Drugi faktor bi bila geometrija djela koje se ispituje, u ovom slučaju epruvete okruglog presjeka. Nagle promjene presjeka i utori mogu dovesti do lokalne koncetracije naprezanja pa dolazi do stvaranja pukotine. U smjeru opterećenja u zarezu nastaju longitudinalna naprezanja σ 1, okomito na njih cirkularna naprezanja σ 2, a u smjeru okomito na σ 1 i σ 2 radijalno naprezanje σ 3. Najveće longitudinalno naprezanje je σ 1 = σ max. Na slici slici 2.4 prikazana je raspodjela naprezanja u ispitnom uzorku s utorom, a na slici 2.5 utjecaj utora na dijagram naprezanjeistezanje. Slika 2.4 Raspored naprezanja u štapu s U-utorom 5

14 Slika 2.5 Dijagram naprezanje-istezanje Kvaliteta površine je zasigurno isto jedan od faktora koji utječe na dinamičku izdržljivost. Hrapavost površine može izazvati mikroskopske koncentracije naprezanja koje smanjuju dinamičku izdržljivost. Iz dijagrama na slici 2.6 vidljiv je utjecaj obrade površine na trajnost materijala. Polirani nitrirani materijali mogu izdržati i do 1000 godina. Slika 2.6 Utjecaj obrade površine na zamornu čvrstoću 6

15 Zaostala naprezanja su isto jedan od faktora koji utječe na dininamičku izdržljivost. Procesi kao zavarivanje, rezanje i lijevanje mogu uzrokovati zaostala naprezanja u materijalu. Nastaju na mjestima lokalnog unosa topline. Ta naprezanja mogu smanjiti izdržljivost materijala. Dakako ne treba zaboravit okolišne utjecaje kao što su erozija i korozija koji mogu dosta smanjiti dininamičku izdržljivost. I naravno tu je utjecaj temperature. Veliki ekstremi mogu dosta smanjiti izdržljivost materijala. 7

16 3. SAČMARENJE Obrada sačmarenjem je jedna od načina obrade površine koristeći čelićnu sačmu. Sačma se izbacuje iz mlaznice određenom brzinom da bi na površini materijala koji se obrađuje izazvala plastične deformacije (slika 3.1). Plastična deformacija je u obliku kugle. Tvrda kugla pod djelovanjem sile F prvo izaziva elastičnu a potom plastičnu deformaciju površine. Ovisno o vrsti čelika koji se obrađuje ovisi i dubina otiska. Kod martenzita je dubina plastično deformirane zone veća nego kod drugih struktura. Sorbit daje najmanju dubinu. Kod sačmarenja dolazi do očvrsnuća pa se stupanj očvršćenja izražava omjerom ΔHV/HV koji tvrdoće. se zove relativni prirast Slika 3.1 Deformacija površine Udarno opterećenje površine određeno je energijom udara alata i brzinom deformacije. Energija udara se postiže komprimiranim zrakom, tlakom tekućine ili korištenjem centrifugalne sile. Potrebno je uložiti 30% više energije od one koja je potrebna za plastičnu deformaciju. Zbog elastičnog odraza alata koji nastaje pri udaru o materijal i sile trenja, nastaju gubici. Kod ovakvog načina obrade dolazi do velikog zagrijavanja površine. Temperature mogu narasti do 1000 C. Tolike temperature mogu dovesti do termoplastične deformacije i mogu smanjiti efekt očvršćenja. Kao što je navedeno sačmarenjem se može očvrsnuti površinski sloj promjenom njegove fazne strukture. Tu promjenu odrađuju razni geometrijski i fizikalno-kemijski parametri. Geometrijski su hrapavost i valovitost, a fizikalno-kemijski struktura, sastav faza, kemijski sastav, deformacija, zaostala naprezanja. U početku deformacijskog procesa dolazi do 8

17 usitnjavanja kristalnog zrna na blokove tj. poligonizacija. Daljnjim djelovanjem sile, zbog smicanja po kliznim plohama nastaje značajno usitnjavanje zrna kristala. Pri tom kristaliti gube svoj globoidni oblik, spljoštavaju se i istežu u pravcu deformacije. Stvara se uređena orjentirana struktura vlaknastog karaktera s anizotropnim mehaničkim svojstvima. Plastičnost je duž vlakna viša nego u poprečnom smjeru. Osnovni uzrok očvršćenja je razvoj dislokacija koje se nagomilavaju u blizini linija smicanja, a gibanje im je otežano zaprekama stvorenim u toku deformacije. Deformacijom prezasičenih tvrdih otopina nastupa djelomično njihov raspad, a rezultat je izlučivanje sitnih čestica novih strukturnih tvorbi. Kad se nađu na kliznim plohama, blokiraju smicanje. 9

18 4. PROVEDBA EKSPERIMENTA 4.1 Način ispitivanja Ispitivanja su provedena na četiri grupe epruveta (slika 4.1) gdje je svaka grupa sadržavala 9 uzoraka. Epruvete su ispitivane s početnim naprezanjem od σ max = 750 MPa i svaki ciklus se povečalo za 50 MPa dok epruveta ne bi pukla. Za testiranje su dobivene kao što je navedeno četiri grupe epruveta koje su se razlikovale po vrsti obrade. Tri grupe su bile sačmarene a jedna grupa samo tokarena. Slika 4.1 Epruveta za ispitivanje zamorne čvrstoće 4.2 Opterećenje Parametri ispitivanja kod svih epruveta kao što su maksimalno i minimalno opterečenje, broj ciklusa po koraku N i i frekvencija f dani su u tablici 4.1 Tablica 4.1 Parametri ispitivanja Korak σ max σ min N f MPa MPa Hz , , , ,

19 Kao što se vidi iz tablice u prvom ciklus je naprezanje iznosilo σ max = 750 MPa a u svakom sljedećem 50 MPa više. Prije nego što su se epruvete postavile na kidalicu izmjeren im je promjer. 4.3 Ispitni uzorci Materijal Materijal iz kojeg su izrađene epruvete je toplinski visokopostojani čelik X21CrMoV12-1. Karakteristike materijala dane su u tablici 4.2 Tablica 4.2 Karakteristike materijala X21CrMoV12-1 Oznaka Sastav materijala [%] R p0,2, Rm, čelika prema 2 C Cr Mo V N/mm N/ mm 2 EN X21CrMoV12-1 0, ,0 0, Ispitne grupe Prva grupa epruveta je: pjeskarena, sačmarena sa tlakom od p= 2,5 bar. Druga grupa je: pjeskarena, sačmarena sa tlakom od p=2,5 bar, kemijski vibropolirana do hrapavosti površine R a 0,4. Treća grupa je: pjeskarena, sačmarena sa max. tlakom p=max (iznos tlaka nije poznat), kemijski vibropolirana do hrapavosti površine od R a 0,8 do R a 0,4. 11

20 Četvrta grupa je: tokarena Kao što se može primjetiti postoji razlika između tri grupe koje su sačmarene. Prva je uz pjeskarenje sačmarena s tlakom od 2,5 bar dok su druge dvije grupe uz to još kemijski vibropolirane. Također se može primjetiti da je treća grupa sačmarena sa maksimalnim tlakom dok su prve dvije sačmarene sa 2,5 bar. Četvrta grupa epruveta je samo tokarena što se moglo primjetiti na opip i vizualno jer je površina u usporedbi s prve tri grupe bila dosta gruba i refleksija svjetla tj. odsjaj je bio puno manji. 4.4 Ispitivanje prve grupe uzoraka Rezultati ispitivanja prve grupe uzoraka dani su u tablici 4.3. Tablica 4.3 Rezultati ispitivanja prve grupe uzoraka Epruveta Promjer d Br. izdržanih Br. ciklusa N z u Ukupni br. mm koraka, k zadnjem koraku ciklusa, N 0 5, , , , , , , , , Za dobivanje Wöhlerove krivulje potrebno je ispitati epruvete s različitim naprezanjima sve dok ne puknu. U ovom slučaju nemamo dovoljno podataka da bi nacrtali Wöhlerovu krivulju.zbog malo vremena kojeg je bilo na raspolaganju, nije bilo moguće ispitati svaku epruvetu sve do 12

21 loma i to za više različitih naprezanja.na slici 4.2 dan je graf koji prikazuje ukupni broj izdržanih ciklusa za različite epruvete. Slika 4.2 Broj izdržanih ciklusa prve grupe uzoraka Epruvete su pucale na početku suženja, u sredini i između suženja i sredine tako da nije bilo nekog posebnog mjesta gdje su najviše pucale.na slici 4.3 prikazana je epruveta 1 nakon pucanja, a na slici 4.4 izgled površine poprečnog presjeka. Slika 4.3 Epruveta 1 nakon pucanja Slika 4.4 Izgled površine poprečnog presjeka 13

22 4.5 Ispitivanje druge grupe uzoraka Rezultati ispitivanja druge grupe uzoraka dani su u tablici 4.4 i dijagramom na slici 4.5. Tablica 4.4 Rezultati ispitivanja druge grupe uzoraka Epruveta Promjer d Br. izdržanih Br. ciklusa N z u Ukupni br. mm koraka, k zadnjem koraku ciklusa, N 0 5, , , , , , , , , Slika 4.5 Broj izdržanih ciklusa druge grupe uzoraka 14

23 Na slici 4.6 prikazana je epruveta nakon loma Slika 4.6 Epruveta nakon loma 4.6 Ispitivanje treće grupe uzoraka Rezultati ispitivanja treće grupe uzoraka dani su u tablici 4.5 i dijagramom na slici 4.7. Tablica 4.5 Rezultati ispitivanja treće grupe uzoraka Epruveta Promjer Br. izdržanih Br. ciklusa N z u Ukupni br. mm koraka, k zadnjem koraku ciklusa, N 0 5, , , , , , , , ,

24 Epruveta nakon loma prikazana je na slici 4.8 Slika 4.7 Broj izdržanih ciklusa treće grupe uzoraka Slika 4.8 Epruveta iz treće grupe nakon loma 16

25 4.7 Ispitivanje četvrte grupe uzoraka Rezultati ispitivanja četvrte grupe uzoraka dani su u tablici 4.6 i dijagramom na slici 4.9 Tablica 4.6 Rezultati ispitivanja četvrte grupe uzoraka Epruveta Promjer Br. izdržanih Br. ciklusa N z u Ukupni br. mm koraka, k zadnjem koraku ciklusa, N 0 5, , , , , , , , , Slika 4.9 Broj izdržanih ciklusa četvrte grupe uzorak 17

26 Epruveta nakon loma prikazana je na slici Slika 4.10 Epruveta iz četvrte grupe nakon loma 18

27 5.USPOREDBA REZULTATA 5.1 Maksimalni broj ciklusa po ispitnim grupama Usporedba maksimalno izdržanog broja ciklusa po ispitnoj grupi dana je dijagramom na slici 5.1. Slika 5.1 Maksimalni broj izdržanih ciklusa po grupi do loma 5.2 Prosječni broj ciklusa po grupi Rezultati za srednje vrijednosti broja ciklusa do loma za pojedine ispitne grupe dani su na slici 5.2. Slika 5.2 Srednje vrijednosti broja ciklusa po ispitnim grupama 19

28 6. ZAKLJUČAK Rezultati ispitivanja su pokazali da bi se na temelju maksimalnog broja ciklusa koji je izdržala jedna od epruveta po pojedinoj ispitnoj grupi, moglo krivo zaključiti o većoj dinamičkoj izdržljivosti pojedine ispitne grupe uzoraka.o dinamičkoj izdržljivosti pojedine grupe uzoraka bi se bolje dalo zaključiti temeljem prosječnog broja izdržanih ciklusa po grupi. Iz rezultata je vidljivo da je druga grupa imala najveći prosječni broj izdržanih ciklusa. Puno je faktora koji utjeću na dinamičku izdržljivost i na točnost mjerenja, tako da ne iznenađuje što recimo prva grupa ima epruvetu koja je izdržala najviše ciklusa, a ima najmanji prosječni broj izdržanih ciklusa do loma. U prvoj grupi su samo dvije epruvete prošle prvi korak, dok je kod druge grupe šest epruveta prošlo prvi korak. Treba ponovno podsjetit da su u prvom koraku epruvete bile opterečene sa naprezanjem od σ max = 750 MPa a u drugom koraku za 50 MPa više. Kao što je rečeno puno faktora utječe na točnost rezultata pa tako npr. možemo navesti problem da kidalica nije bila u osi i da je nestalo struje pa su se ispitivanja nastavila poslije. Gledajući rezultate i standardne karakteristike ispitanog materijala vidljivo je da epruvete koje su prošle drugi korak i ušle u treći, izdržale u tom zadnjem koraku 850 MPa a vlačna čvrstoća ispitanog materijala je R m = MPa, što govori da je materijal u 3. koraku izdržao 89% R m ako se uzme R m =950 MPa. Naravno u 3. koraku je broj izdržanih ciklusa bio jako mali, najviše Gledajući po grupama kao što je rečeno, druga grupa ima najveći prosječni broj izdržanih ciklusa do loma. Druga grupa je kao prva i treća grupa pjeskarena i sačmarena, te vibropolirana kao i treća grupa. Razlika između druge i treće grupe je u hrapavosti površine i tlaku sačmarenja. Druga grupa ima nešto manju hrapavost i sačmarena je sa manjim tlakom nego treća grupa, što bi dalo zaključiti da postoji mogućnost da je tlak sačmarenja prešao neku granicu gdje više ne ide u korist dinamičkoj izdržljivosti. Također se može zaključiti da je manja hrapavost površine povoljnija. Zanimljivo je kako četvrta grupa koja je bila samo tokarena ima veći prosječni broj izdržanih ciklusa do loma nego prva grupa koja je bila pjeskarena i sačmarena, a poznato je da sačmarenje povoljno utječe na dinamičku izdržljivost. To se može pripisati problemima koji su se pojavili kod prvog ispitivanja. Problem sa osi kidalice, koji je bitno mogao utjecati na točnost rezultata. U prvoj grupi se taj problem ponovio čak četiri puta dok se u četvrtoj grupi nije pojavio niti jednom. Na kraju se može samo približno odrediti 20

29 dinamičku čvrstoću materijala jer nema dovoljno podataka za točno određivanje tj. dobivanje Wöhlerove krivulje. Za prvu grupu koja je imala prosječni broj izdržanih ciklusa do loma ispod ciklusa, koliko je broj ciklusa iznosio u prvom koraku i gdje je naprezanje bilo σ max = 750 MPa, može se zaključiti da će trajna dinamička izdržljivost R d biti dosta ispod te vrijednosti. Za drugu grupu koja je imala više od ciklusa može se zaključiti da će R d biti malo niži od σ max. Za treću i četvrtu grupu se također može reći da će R d biti dosta ispod σ max kao i kod 1. grupe. Na kraju se može zaključiti da je ispitivanje bilo korisno i da su potvrđene neke teorijske pretpostavke, isto tako pokazalo se da je kombinacija obrade najpovoljnija kod druge grupe, odnosno ako su epruvete pjeskarene, sačmarene sa tlakom od 2,5 bar i kemijski vibropolirane do hrapavosti R a 0,4. 21

30 7. POPIS LITERATURE [1] T. Filetin, Svojstva i primjena materijala, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, [2] I. Alfirević, Nauka o čvrstoći I, Tehnička knjiga, Zagreb, [3] Terzić P., Ispitivanje metala, Tehnološko-metalurški fakultet Univerziteta, Beograd [4]

31 8. Prilog 1. Programski kod kidalice za cikličko ispitivanje 23

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE U SPLITU SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA Predavanja za stručni studij BRODOGRADNJE za šk. god. 2006/2007. Split, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić

MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA Statički vlačni pokus Prof. dr. sc. Ivica Kladarić 1 UVOD Metalni materijali najviše se upotrebljavaju u tehničkoj praksi zbog povoljnih mehaničkih, tehnoloških,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

TEHNOLOGIJA MATERIJALA U RUDARSTVU

TEHNOLOGIJA MATERIJALA U RUDARSTVU V E Ž B E TEHNOLOGIJA MATERIJALA U RUDARSTVU Rade Tokalić Suzana Lutovac ISPITIVANJE METALA I LEGURA I ispitivanja sa razaranjem uzoraka II ispitivanja bez razaranja uzoraka III - ispitivanja strukture

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

σ = PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA

σ = PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA OSNOVE NAUKE O ČVRSTOĆI Nauka o čvrstoći proučava ravnotežu između vanjskih i unutarnjih sila i deformacije čvrstih tijela uzrokovanih vanjskim silama. Na

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Zamor materijala Smitov dijagram. Prof.dr Darko Bajić Mašinski fakultet Podgorica

Zamor materijala Smitov dijagram. Prof.dr Darko Bajić Mašinski fakultet Podgorica Zamor materijala Smitov dijagram Prof.dr Darko Bajić fakultet Podgorica darko@ac.me Šta je predstavlja ZAMOR MATERIJALA? To je proces postepenog ili kontinualnog razaranja strukture materijala nekog elementa

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija,

Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija, 1. Osnove čvrstoće 1.1. Pojam i vrste opterećenja Nauka o čvrstoći proučava utjecaj vanjskih sila i momenata na ponašanje čvrstih (realnih) tijela. Djelovanje vanjskih sila i momenata na tijelo naziva

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Za torziju: b1 τ 0,575 b1 + 0,425 = σ Utjecaj veličine konstrukcijskog elementa b 2 : Veći elementi imaju manji faktor b 2, tj. manje opušteno napreza

Za torziju: b1 τ 0,575 b1 + 0,425 = σ Utjecaj veličine konstrukcijskog elementa b 2 : Veći elementi imaju manji faktor b 2, tj. manje opušteno napreza DOPUŠTENA NAPREZANJA PRI DINAMIČKOM OPTEREĆENJU Prethoni (približni) proračun: R σ op ( τ op) = ν R : iz Smithovih ijagrama ili tablica; ν = 3... 4 (10). Konačni (kontrolni) proračun: ν = 1,2 2 ( τ ) =

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA

VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA VIJČANI SPOJ PRIRUBNICA HRN M.E2.258 VIJCI HRN M.E2.257 BRTVA http://de.wikipedia.org http://de.wikipedia.org Prirubnički spoj cjevovoda na parnom stroju Prirubnički spoj cjevovoda http://de.wikipedia.org

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE 1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

KERAMIKA BETON I DRVO Podloge za vježbe

KERAMIKA BETON I DRVO Podloge za vježbe FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Zavod za materijale KERAMIKA BETON I DRVO Podloge za vježbe prof. dr. sc. Lidija Ćurković izv. prof. dr. sc. Vera Rede Marijana Majić Renjo, mag.

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα