EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a
|
|
- Ιδουμα Αλεξόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a
2
3 Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri Legi de compoziþie Proprietãþi ale legilor de compoziþie Grupuri Exemple interesante de grupuri Reguli de calcul într-un grup Morfisme ºi izomorfisme de grupuri Inele ºi corpuri Definiþia inelului. Exemple Divizori ai lui zero într-un inel Reguli de calcul într-un inel Inele de matrice cu elemente dintr-un inel oarecare Corpuri Inele de polinoame cu coeficienþi într-un corp comutativ Construcþia unui inel de polinoame Forma algebricã a unui polinom Funcþii polinomiale. Rãdãcini ale polinoamelor Teorema împãrþirii cu rest Divizibilitatea polinoamelor Polinoame ireductibile Rãdãcini ale polinoamelor cu coeficienþi complecºi Polinoame cu coeficienþi reali Polinoame cu coeficienþi raþionali Polinoame cu coeficienþi întregi Ecuaþii algebrice particulare CUPRINS 3
4 ANALIZÃ MATEMATICÃ 4. Primitive Integrala definitã Definirea integralei Riemann a unei funcþii continue prin formula Leibniz-Newton Proprietãþi ale integralei definite Metode de calcul al integralelor Metoda de integrare prin pãrþi Metoda schimbãrii de variabilã Integrarea funcþiilor raþionale. Integrale reductibile la integrale de funcþii raþionale Integrarea funcþiilor raþionale Integrale reductibile la integrale de funcþii raþionale Aplicaþii ale calculului integral Aria unei suprafeþe plane Câteva aplicaþii ale calculului integral în fizicã Volumul corpurilor de rotaþie... 6 Teste de sintezã pentru pregãtirea examenului de bacalaureat Indicaþii ºi soluþii CUPRINS
5 ALGEBRÃ
6 Capitolul 1 Grupuri 1.1. Legi de compoziþie Sã ne aducem aminte din clasele anterioare cã, ori de câte ori am fãcut cunoºtinþã cu o mulþime, de fiecare datã am introdus pe ea una sau mai multe operaþii. Cu privire la operaþiile introduse pe o mulþime (de exemplu, numericã) relevãm câteva aspecte: n orice operaþie asociazã unei perechi ordonate de numere un al treilea numãr; n ordinea în care apar termenii este esenþialã (exemplu: 5 ºi 5 ). În acest paragraf intenþionãm sã extindem noþiunea de operaþie. Într-o operaþie recunoaºtem o anumitã corespondenþã între mulþimea perechilor ordonate de elemente ale unei mulþimi ºi mulþimea însãºi. Suntem conduºi cãtre urmãtoarea: DEFINIÞIE Fie M o mulþime nevidã fixatã. Se numeºte lege de compoziþie (operaþie algebricã) pe M o funcþie f : M M M. Elementul f ((x, y)) M se numeºte compusul lui x cu y prin legea de compoziþie (operaþia) f. Pentru o scriere mai comodã obiºnuim sã notãm f ((x, y)) cu simboluri precum +,,,,, ), & etc., interpuse între x ºi y. Cele mai des întâlnite sunt notaþiile aditivã (+) ºi multiplicativã ( ). Exemple de legi de compoziþie 1. Adunarea pe mulþimea Z este funcþia care asociazã perechii (x, y) elementul notat x + y ((x, y) x + y).. Înmulþirea pe mulþimea Q este funcþia care asociazã perechii (x, y) elementul notat x y ((x, y) x y). 3. Adunarea pe o mulþime de matrice M m, n (C), (A, B) A + B. 4. Reuniunea pe mulþimea pãrþilor unei mulþimi, (X, Y) X Y. 5. Compunerea funcþiilor pe mulþimea F(E) a funcþiilor definite pe E cu valori în E: (f, g) f ) g. 6 ALGEBRÃ
7 6. Adunarea ºi înmulþirea modulo n: Fie n N*, fixat. Dacã x Z, atunci prin x(mod n) notãm restul împãrþirii lui x la n. (Vedeþi anexa de la pag. 146.) Exemple 14(mod 7) = 0, 6(mod 10) = 6; 13(mod 5) =. De asemenea: dacã a, b Z spunem cã a b (mod n) (citim a congruent cu b modulo n ) dacã (a b)(mod n) = 0 (adicã a ºi b dau acelaºi rest la împãrþirea cu n). Dacã a, b Z definim: n suma modulo n a lui a cu b, notatã prin : a b =(a + b) (mod n) n produsul modulo n al lui a cu b, notat prin e : a e b = (a b)(mod n) Exemple Pentru n = 6 avem 8 6 = 14(mod 6) = ; 7 5 = ( )(mod 6) = 4 5 e 8 = 40(mod 6) = 4; 3 e ( 5) = ( 15)(mod 6) = 3 Tabla unei legi de compoziþie Funcþiile definite pe o mulþime finitã pot fi introduse printr-un tabel. La fel putem proceda cu legile de compoziþie definite o mulþime oarecare finitã. În acest caz preferãm sã scriem valorile într-un tablou, asemenea matricelor. Dacã M = {x 1, x,, x n } ºi legea de compoziþie pe M este notatã prin &, atunci elementul x i & x j se scrie la intersecþia liniei i cu coloana j. & x 1 x x j x n x 1 x 1 & x 1 x 1 & x x 1 & x j x 1 & x n x x & x 1 x & x x & x j x & x n M x i x i & x 1 x i & x x i & x j x i & x n M x n x n & x 1 x n & x x n & x j x n & x n Acest tablou se numeºte tabla legii de compoziþie &. Exemplu Înmulþirea pe mulþimea de numere complexe {1, 1, i, i} poate fi datã prin tabla: 1 1 i i i i i i i i i 1 1 i i i 1 1 CAPITOLUL I GRUPURI 7
8 OBSERVAÞII 1. În timp ce pe mulþimea Z scãderea este lege de compoziþie, pe mulþimea N ea nu este lege de compoziþie ( nu este peste tot definitã ). Perechii (3, 7) nu-i putem asocia prin scãdere niciun numãr natural.. Produsul scalar al vectorilor din plan (spaþiu) nu este lege de compoziþie. Perechii ( v r 1, v r ) i se asociazã un numãr real, nu un vector! Parte stabilã a unei mulþimi în raport cu o lege de compoziþie Aceastã noþiune, deºi nu este cerutã de programa ºcolarã, este prezentatã totuºi ca element de vocabular pentru studiul structurilor algebrice. Sã considerãm operaþia de înmulþire pe mulþimea R. Ea nu este lege de compoziþie pe orice submulþime a lui R. De exemplu, pe mulþimea R \ Q: ( 1)( + 1) = 1 = 1 R \ Q. Aceastã observaþie ne conduce la urmãtoarea: DEFINIÞIE Fie M o mulþime nevidã pe care este definitã legea de compoziþie ) ºi H o submulþime nevidã a sa. Submulþimea H se numeºte parte stabilã a mulþimii M în raport cu legea de compoziþie ) dacã (¼) x, y H, avem x ) y H. În acest caz restricþia operaþiei ) la submulþimea H, adicã funcþia ) : H H H, (x, y) x ) y se numeºte lege de compoziþie indusã pe mulþimea H de legea ). Exemple 1. Submulþimea Q este parte stabilã a mulþimii R în raport cu adunarea (înmulþirea) numerelor reale.. Submulþimea R \ Q nu este parte stabilã a lui R în raport cu adunarea (înmulþirea) numerelor reale. 3. Submulþimea U n = {z C z n = 1} este parte stabilã a mulþimii C în raport cu înmulþirea numerelor complexe. Într-adevãr: pentru z 1, z U n avem (z 1 z ) n n n = z 1 z = 1 1 = 1, deci z 1 z U n. xy 4. Mulþimea M = (, ) este parte stabilã a lui R în raport cu legea &, x & y = x+ y 4. Într-adevãr: dacã x, y (, ), atunci x + y 4 > 0, fracþia având sens. xy În plus, > xy > x + y 8 xy x y + 6 > 0 x+ y 4 (x )(y ) + > 0, deci x & y M. 8 ALGEBRÃ
9 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie DEFINIÞIA 1 O lege de compoziþie ) pe mulþimea M este numitã asociativã dacã (¼) x, y, z M avem (x ) y) ) z = x ) (y ) z) Exemple 1. Adunarea ºi înmulþirea sunt legi de compoziþie asociative pe Z, Q, R, C.. Adunarea ºi înmulþirea matricelor sunt legi de compoziþie asociative pe mulþimea M n (C). xy 3. Legea & definitã pe (, 1) prin x & y = este asociativã. 3 x y xy z xy 3 x y Într-adevãr: (x & y) & z = & z = = 3 x y xy 3 z 3 x y xyz x y z + 6 = xy + yz + zx 3x 3y 3z + 7 ; yz x yz 3 y z xyz x y z + 6 x & (y & z) = x & = = 3 y z yz 3 x xy + yz + zx 3x 3y 3z + 7 ; 3 y z Deci (x & y) & z = x & (y & z), oricare ar fi x, y, z M. 4. Pe mulþimea Z scãderea nu este asociativã, aºa cum se observã din exemplul: ( 3) 1 (3 1) OBSERVAÞII 1. Dacã o lege de compoziþie ) este asociativã, atunci prin notaþia x ) y ) z înþelegem oricare dintre elementele (x ) y) ) z sau x ) (y ) z).. Proprietatea de asociativitate poate fi extinsã la un numãr finit, oarecare de termeni. De exemplu, dacã x 1, x, x 3, x 4 M, iar ) este o lege de compoziþie pe mulþimea M, atunci x 1 & (x & x 3 & x 4 ) = (x 1 & x & x 3 ) & x 4 = (x 1 & x ) & (x 3 & x 4 ). (Parantezele pot fi puse oricum, numai sã nu schimbãm ordinea termenilor.) 3. Proprietatea de asociativitate se transmite de la o mulþime la orice parte stabilã a sa. CAPITOLUL I GRUPURI 9
10 DEFINIÞIA O lege de compoziþie ) pe o mulþime M este numitã comutativã dacã (¼) x, y M avem x ) y = y ) x. Exemple 1. Adunarea ºi înmulþirea sunt legi de compoziþie comutative pe Z, Q, R, C.. Pe mulþimea M n (C) adunarea este comutativã, dar înmulþirea nu este comutativã. 3. Pe mulþimea F(E) a funcþiilor definite pe E cu valori în E, compunerea funcþiilor este necomutativã. OBSERVAÞII 1. Proprietatea de comutativitate se transmite de la o mulþime la orice parte stabilã a ei.. Pentru legile de compoziþie definite pe mulþimi finite, comutativitatea poate fi sesizatã pe tabla legii, observând simetria tablei în raport cu diagonala principalã. Exemple ) a b c * a b c a a c b a a c a b c a a b b a b c b a a c a c a Legea ) este comutativã, dar legea & este necomutativã. DEFINIÞIA 3 Spunem cã o lege de compoziþie ) pe o mulþime M are element neutru dacã ( ) e M (¼) x M, x ) e = e ) x = x. În acest caz elementul e M se numeºte elementul neutru al legii. Exemple 1. Adunarea are ca element neutru numãrul 0 pe fiecare dintre mulþimile N, Z, Q, R, C.. Înmulþirea are ca element neutru numãrul 1 pe fiecare dintre mulþimile N, Z, Q, R, C. 3. Compunerea funcþiilor are ca element neutru funcþia 1 E : E E, 1 E (x) = x, pe mulþimea F(E). 4. Pe mulþimea P(M) a submulþimilor lui M, considerãm legea de compoziþie Δ: X Δ Y = (X \ Y) (Y \ X) (diferenþa simetricã). Elementul neutru este mulþimea vidã ( Δ X = X, X Δ = X). 10 ALGEBRÃ
11 TEOREMÃ Dacã o lege de compoziþie are un element neutru, acesta este unic. Demonstraþie Într-adevãr: dacã e 1 ºi e ar fi douã elemente neutre, atunci: e 1 & e = e (considerând e 1 element neutru) ºi e 1 & e = e 1 (considerând e element neutru). Deducem cã e 1 = e. OBSERVAÞII 1. Existã ºi accepþia de element neutru la stânga sau la dreapta: e M este numit element neutru la stânga dacã e & x = x, (¼) x M; e M este numit element neutru la dreapta dacã x & e = x, (¼) x M. Dacã o lege are element neutru la stânga ºi la dreapta, atunci cele douã sunt egale (justificaþi!).. Elementul neutru nu se transmite de la o mulþime la orice parte stabilã a ei. Exemplu ax, x > 0 Pentru a (0, ) definim funcþia f a (x) = ºi mulþimea G ={f a a (0, )}. 0, x 0 G este parte stabilã a mulþimii F(R) în raport cu compunerea funcþiilor ºi nu conþine 1 R (elementul neutru al mulþimii F(R)). abx, x > 0 Într-adevãr: (f a ) f b ) (x) = f a (f b (x)) = { 0, x 0. Deci f a ) f b = f a b G. Compunerea funcþiilor are element neutru pe mulþimea G, altul decât 1 R. Sã analizãm: fie e (0, ) ºi f e G astfel încât f e ) f a = f a ) f e = f a, pentru orice a (0, ); deducem f a ) f e = f a f ae =f a ae = a. (Am folosit echivalenþa evidentã f a = f b a = b.) Deoarece ultima egalitate are loc pentru orice a (0, ), deducem cã e = 1. Observãm cã f 1 ) f a = f a, (¼) a (0, ). Rezultã cã f 1 este elementul neutru al x, x> 0 operaþiei de compunere pe G, f 1 (x) =. Observaþi cã f 1 1 R. 0, x 0 3. Dacã legea de compoziþie pe M are elementul neutru e, iar H este parte stabilã a lui M în raport cu legea astfel încât e H, atunci e este element neutru ºi pentru legea indusã pe H. Pe seama unei astfel de observaþii putem remarca mai rapid elementul neutru, în caz cã existã. Exemplu x x 1 Mulþimea H = x (1 x) x 1 este parte stabilã a mulþimii M (R) în raport cu înmulþirea matricelor. Observãm cã I H (când x = 1), deci I este elementul neutru al înmulþirii pe mulþimea H. 11 CAPITOLUL I GRUPURI
12 DEFINIÞIA 4 Fie M o mulþime nevidã, & o lege de compoziþie pe M care are elementul neutru e. Elementul x M este numit simetrizabil în raport cu legea & dacã existã x M astfel încât x & x = x & x = e. În acest caz x se numeºte simetricul lui x în raport cu legea &. Exemple 1. Orice numãr real este simetrizabil în raport cu adunarea.. Toate numerele reale, nenule, sunt simetrizabile în raport cu înmulþirea. 3. În raport cu operaþia de compunere a funcþiilor pe mulþimea F(E), o funcþie este simetrizabilã dacã ºi numai dacã este bijectivã. Simetricul unei funcþii f se noteazã f 1 (inversa funcþiei f). 4. Matricele pãtratice simetrizabile în raport cu înmulþirea din M n (C) sunt matricele nesingulare (care au determinantul nenul). Simetricul matricei A se notezã A 1 (inversa matricei A). OBSERVAÞII 1. Elementul neutru al oricãrei legi este simetrizabil, fiind propriul sãu simetric.. Spre deosebire de elementul neutru, simetricul unui element, dacã existã, poate sã nu fie unic. Exemplu Pe mulþimea {e, a, b} definim o lege de compoziþie datã prin urmãtoarea tablã: * e a b e e a b a a e e b b e a Elementul neutru este e; a & a = e, a & b = b & a = e. Rezultã cã a este simetrizabil având douã simetrice: a ºi b. În cazul operaþiilor asociative, simetricul unui element este unic, aºa cum va rezulta din teorema urmãtoare. Cu certitudine, tabla anterioarã este tabla unei legi neasociative (verificaþi!). 1 ALGEBRÃ
13 TEOREMA 1 Dacã ) este lege de compoziþie pe mulþimea M, asociativã ºi cu element neutru, iar a M este simetrizabil, atunci simetricul sãu este unic. Demonstraþie Fie e elementul neutru. Presupunem cã a are douã simetrice, a 1 ºi a. Atunci a ) a 1 = a 1 ) a = e (1) ºi a ) a = a ) a = e () Folosind asociativitatea legii de compoziþie avem: a 1 = a 1 ) e = a 1 ) (a ) a ) = ( a 1 ) a) ) a = e ) a = a. Deducem cã a 1 = a. În legãturã cu simetrizabilitatea unor elemente avem câteva proprietãþi, date de urmãtoarea teoremã. TEOREMA Pe o mulþime M considerãm legea de compoziþie &, asociativã ºi cu elementul neutru e. a) Dacã x este simetrizabil, atunci simetricul sãu x este de asemenea simetrizabil având ca simetric pe x. b) Dacã x, y M sunt simetrizabile, atunci x & y este simetrizabil. În plus: (x & y) = y & x. Demonstraþie a) Din x & x = x & x = e, rezultã cã x este simetrizabil. b) Verificãm definiþia: (y & x ) & (x & y) = y & (x & x) & y = y & e & y = = y & y = e. Analog obþinem (x & y) & (y & x ) = e. Deci x & y este simetrizabil având ca simetric y & x, c.c.t.d. OBSERVAÞII 1. În notaþie multiplicativã simetricul unui element x se noteazã x 1, iar în notaþie aditivã se noteazã x. În aceste cazuri proprietãþile a) ºi b) din teorema au urmãtoarele transcrieri: a) (x 1 ) 1 = x; ( x) = x; b) (x y) 1 = y 1 x 1 ; (x + y) = ( y) + ( x). Proprietatea b) din teoremã se extinde de la un numãr finit n de elemente. Dacã x 1, x,, x n M sunt simetrizabile, atunci x 1 & x & & x n este simetrizabil ºi (x 1 & x & & x n ) = x n & x n 1 & & x 1. (Demonstraþie prin inducþie.) CAPITOLUL I GRUPURI 13
14 Exerciþii rezolvate xy 1. Fie M = (, 1) ºi asocierea (x, y) x & y, x & y =, (¼) x, y M. x+ y 3 a) Demonstraþi cã & este lege de compoziþie pe M. xyz x y z + 6 b) Deduceþi cã < 1, (¼) x, y, z (, 1). xy + yz + zx 3x 3y 3z + 7 Rezolvare a) Demonstrãm cã dacã x, y M, atunci x & y M. Avem: x + y 3 < = 1, de unde rezultã x + y 3 < 0. Atunci x & y < 1 xy > x + y 3 xy x y + 1 > 0 (x 1)(y 1) > 0. Ultima inegalitate este adevãratã deoarece x 1 < 0, y 1 < 0. b) Dacã x, y, z (, 1), atunci, conform cu a), numerele x & y ºi (x & y) & z aparþin ºi ele intervalului (, 1). Mai rãmâne sã observãm cã (x & y) & z = xy x+ y 3 & z = xy z x+ y 3 = xy + z 3 x+ y 3 xyz x y z + 6 xy + yz + zx 3x 3y 3z Pe mulþimea R considerãm asocierea (x, y) x & y = xy 3x 3y + m, (¼) x, y R. 3 a) Determinaþi m R astfel încât & sã fie lege de compoziþie pe mulþimea M = R \. b) Pentru m = 6, demonstraþi cã legea este asociativã, comutativã, are element neutru ºi toate elementele lui M sunt simetrizabile. Rezolvare a) ªtim cã pentru orice alegere a numerelor x, y M, avem ºi x & y M. x & y M x & y 3 xy 3x 3y + m 3 4xy 6x 6y + m 3 0 (x 3)(y 3) + m 1 0, (¼) x, y 3. Rezultã m 1 = 0, adicã m = 6. b) Legea de compoziþie este asociativã: (x & y) & z = x & (y & z), (¼) x, y, z M. Verificãm egalitatea calculând ambii membri ai sãi: (x & y) & z = (xy 3x 3y + 6) & z = (xy 3x 3y + 6) z 3(xy 3x 3y + 6) 3z + 6 = 4xyz 6xz 6yz 6xy + 9x + 9y + 9z 1. x & (y & z) = x & (yz 3y 3z + 6) = x(yz 3y 3z + 6) 3x 3(yz 3y 3z + 6) + 6 = 4xyz 6xz 6yz 6xy + 9x + 9y + 9z 1. Cei doi membri sunt egali, deci legea este asociativã. Pentru comutativitate demonstrãm cã x & y = y & x, (¼) x, y M. 14 ALGEBRÃ
15 Într-adevãr: y & x = yx 3y 3x + 6 = xy 3x 3y + 6 = x & y. (Expresia ce defineºte legea este simetricã în raport cu x, y.) În fapt, verificarea celor douã proprietãþi anterioare s-a bazat pe proprietãþi similare ale operaþiilor de adunare ºi înmulþire pe R. Demonstrãm existenþa elementului neutru, adicã demonstrãm cã existã e M astfel încât x & e = e & x = x, oricare ar fi x M (1). x & e = x xe 3x 3e + 6 = x e(x 3) = (x 3). Ultima egalitate se realizeazã pentru orice x M numai dacã e =. Observãm cã M ºi apoi, din comutativitatea legii sau prin calcul verificãm ºi cealaltã egalitate din (1): & x = x. Demonstrãm cã orice element x M este simetrizabil. Trebuie sã verificãm cã existã x M astfel încât x & x = x & x = x & x = xx 3x 3x + 6 = x (x 3) = 3x 4. Deoarece x 3 3x 4, rezultã cã x = x 3. Avem 3 x 4 3, prin urmare x M. x 3 Verificãm cã x & x =. 3. Pe intervalul [, 4] considerãm asocierea (x, y) x & y = xy 3x 3y + 1. a) Sã se arate cã asocierea defineºte o lege de compoziþie pe [, 4]. b) Sã se arate cã legea are element neutru. c) Sã se determine elementele simetrizabile. Rezolvare a) Fie x, y [, 4]; x & y [, 4] x & y 4 xy 3x 3y (x 3)(y 3) (x 3)(y 3) 1 (1) Însã x 4 1 x 3 1 x 3 1. () La fel, y (, 4) y 3 1. (3) Prin înmulþire, din () ºi (3) rezultã (1). b) Cãutãm e [, 4] astfel încât x & e = e & x = x, (¼) x [, 4]. x & e = x xe 3x 3e + 1 = x e(x 3) = 4(x 3) (4) Ultima egalitate are loc pentru orice x [, 4]; rezultã cã e = 4. Observãm cã 4 [, 4] ºi 4 & x = x, (¼) x [, 4]. c) Analizãm care elemente x [, 4] sunt simetrizabile, adicã existã x [, 4] astfel încât x & x = x & x = 4. Reþinem x & x = 4 xx 3x 3x + 1 = 4 x (x 3) = 3x 8. Pentru x 3 obþinem x = 3 x 8. Însã x [, 4] 3 x 8 4 x 3 x 3 3 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 1 (x 3 1 sau x 3 1) (x 4 sau x ) x {, 4}. Deoarece & = 4, rezultã cã este simetrizabil. Singurele elemente simetrizabile sunt ºi 4. CAPITOLUL I GRUPURI 15
16 4. Fie A = {1,, 3, 4, 5} ºi ϕ operaþia de compunere a funcþiilor pe F(A). Definim funcþia f : A A prin tabelul x f Notãm cu H = {f, f 3, f 4 }, unde f n este compusa lui f cu ea însãºi de n ori. a) Sã se arate cã H este parte stabilã a mulþimii F(A) în raport cu ϕ. b) Sã se studieze proprietãþile operaþiei ϕ*, unde ϕ* este operaþia indusã de ϕ pe H. Rezolvare a) Prin calcul se obþin rezultatele ϕ* f f 3 f 4 consemnate în tabela alãturatã: f f 4 f f 3 f 3 f f 3 f 4 f 4 f 3 f 4 f b) Deoarece legea ϕ este asociativã pe F(A), rezultã cã ºi legea indusã, ϕ* este asociativã. Din simetria tablei deducem cã ϕ* este comutativã (în timp ce ϕ nu este comutativã). Elementul neutru al legii ϕ* este f 3 (remarcaþi cã f 3 este diferit de 1 A, elementul neutru al legii ϕ). Toate elementele lui H sunt simetrizabile în raport cu ϕ*: (f 3 ) = f 3 ; (f ) = f 4 ; (f 4 ) = f (urmãriþi tabla!) Remarcaþi cã niciun element din H nu este simetrizabil în raport cu ϕ, pentru cã funcþiile f, f 3, f 4 nu sunt injective. (Atenþie, elementul neutru al lui ϕ în F(A) este 1 A, deci simetrizabilitatea are semnificaþie diferitã.) 5. Pe mulþimea [ 1, 1] considerãm asocierea: (x, y) x & y = xy x y x y + 1, (¼) x, y [ 1, 1]. a) Arãtaþi cã asocierea defineºte o lege de compoziþie pe [ 1, 1]. b) Demonstraþi cã legea nu este asociativã ºi are element neutru. c) Care sunt elementele simetrizabile? Rezolvare a) Fie x, y [ 1, 1]; x & y [ 1, 1] 1 xy x y x y ( x y x y + 1 xy + 1 ºi xy 1 x ) y x y + 1. Verificaþi cã amândouã inegalitãþile sunt adevãrate. b) Considerãm numerele 1, 1 ºi ( 1) 0 0, 0 = = = =. Rezultã cã legea nu este asociativã. Din x & 1 = 1 & x = x, (¼) x [ 1, 1] deducem cã 1 este element neutru. ALGEBRÃ
17 c) Fie x [ 1, 1], x & x = 1 xx x ( x ) x ( x ) + 1 = 1 xx 1 = x ( x ) x ( x ) + 1 (1). Deoarece xx 1 0 egalitatea (1) este echivalentã cu xx 1 = 0 ºi x ( x ) x ( x ) + 1 = 0. xx 1 = 0 xx = 1 (x = 1 ºi x = 1) sau (x = 1 ºi x = 1). Perechile (1, 1) ºi ( 1, 1) verificã egalitatea (1). Rezultã cã 1 ºi 1 sunt singurele elemente simetrizabile Fie A = a, b a b. Sã se arate cã operaþia de înmulþire a matricelor nu are element neutru la dreapta pe A, dar are o infinitate de elemente neutre la stânga. Rezolvare Observãm cã înmulþirea matricelor este parte stabilã pe A, deoarece A 0 b = c d bc bd, deoarece bc, bd Z. 0 0 Fie element neutru la dreapta. e1 e Atunci = (¼) a, b Z. a b e1 e a b Din a b e1 e = 0 0 be1 be deducem be1 = a, (¼) a, b Z, imposibil de be = b realizat pentru orice a, b Z Dacã este element neutru la stânga avem e e e e = a b a b (¼) a, b Z ea = a (¼) a, b Z e = 1. eb = b 0 0 Aºadar toate matricele e 1, e Z, sunt elemente neutre la stânga (în numãr infinit). Comentariu. Dacã o lege de compoziþie are element neutru la stânga ºi la dreapta, atunci cele douã sunt egale. Prin urmare, dacã o lege are cel puþin douã elemente neutre la stânga (dreapta) atunci nu are element neutru la dreapta (stânga). Exerciþiul confirmã acest fapt. CAPITOLUL I GRUPURI 17
18 7. Câte legi de compoziþie pot fi definite pe o mulþime cu n elemente? Câte dintre ele sunt comutative? Rezolvare O lege de compoziþie pe o mulþime finitã poate fi redatã prin tabla acestei legi. O tablã (matrice) cu n elemente poate fi completatã cu n elemente în n n moduri. n Deci sunt n legi de compoziþie. O lege de compoziþie este comutativã dacã tabla legii este simetricã faþã de diagonala principalã. Demonstrãm cã numãrul legilor de compoziþie comutative este n nn ( + 1). x 1 x x 3... x n x 1 x 1 x n Într-adevãr pentru a completa tabla unei legi comutative definite pe mulþimea {x 1, x,, x n } este suficient sã completãm (arbitrar) numai poziþiile marcate cu în tabla de mai sus. Numãrul acestor poziþii este n + (n 1) = Un numãr de n elemente se pot aºeza pe nn+ ( 1) nn+ ( 1). poziþii în n nn ( + 1) moduri. Deci numãrul legilor comutative ce se pot defini pe o mulþime cu n elemente este n 8. Pe mulþimea M se considerã legea de compoziþie & cu proprietãþile: a) Existã e M astfel încât x & e = x, (¼) x M; b) (x & y) & z = (z & y) & x, (¼) x, y, z M. Demonstraþi cã legea este comutativã, asociativã ºi are element neutru. Rezolvare nn ( + 1) Înlocuind y cu e în b) obþinem (x & e) & z = (z & e) & x x & z = z & x, (¼) x, z M, deci legea este comutativã. Din a) deducem x & e = e & x = x (¼) x M, adicã e este element neutru. Pentru asociativitate observãm cã (x & y) & z = (z & y) & x = x & (z & y) = x & (y & z).. 18 ALGEBRÃ
19 Exerciþii propuse 1. Analizaþi care dintre asocierile urmãtoare sunt legi de compoziþie pe mulþimea M, indicatã. a) Fiecãrei perechi de puncte distincte din plan îi asociem mijlocul segmentului determinat de cele douã puncte; perechii (A, A) îi asociem punctul A, oricare ar fi punctul A; M este planul geometric. b) Fiecãrei perechi de funcþii crescãtoare pe R îi asociem funcþia sumã, M = {f : R R f crescãtoare}. c) Fiecãrei perechi de funcþii injective îi asociem funcþia sumã, M = {f : R R f injectivã}. d) Fiecãrei perechi de funcþii derivabile pe R îi asociem funcþia produs, M = {f : R R f derivabilã}. e) (x, y) x & y = xy x y + 1, (¼) x, y (1, ); M = (1, ) f) (x, y) x ) y = xy x y +, (¼) x, y (1, ); M = (1, ). Pe mulþimea R definim legea de compoziþie & prin x & y = x + y x y,(¼) x, y R. Calculaþi: 1 & ( ); ( 3) & 0; (0 & ) & ( 1); (ab) & b, a, b R; (a & ) & 3; (a & b) & c, a, b, c > 0; a & (b & c), a > 0, b < 0, c > Pe mulþimea R R se defineºte legea ) prin (a, b) ) (c, d) = (ac + ad + bc; bd). Calculaþi: a 1 (, 1) ) (0, ); ((1, 3) ) (, 1)) ) (0, 1); (a, b) &,, b 0, a + b 0. ba ( + b) b 4. Pe mulþimea {1,, 3, 4} definim legea a & b = c, unde c este restul împãrþirii lui a b prin 5. Construiþi tabla acestei legi ºi calculaþi ( & 3) & 1; ( & 3) & (3 & 4). 5. a) Fie E = R \ {0, 1} ºi funcþiile f i : E E, i = 1, 6 definite astfel: f 1 (x) = x; f (x) = 1 x ; f 3 (x) = 1 x; f 4 (x) = 1 1 x ; f 5 (x) = x 1 x ; f6 (x) = x x 1. Arãtaþi cã H = {f 1, f, f 3, f 4, f 5, f 6 } este parte stabilã a mulþimii F(E) în raport cu operaþia de compunere alcãtuind tabla operaþiei induse pe H b) Fie matricea A = Sã se arate cã {A n n N*} este parte stabilã finitã a mulþimii M 3 (R) în raport cu înmulþirea matricelor. 6. Alcãtuiþi tablele operaþiilor induse pe R 6 = {0, 1,, 3, 4, 5} de operaþiile de adunare ºi înmulþire modulo 6. Aceeaºi cerinþã pentru R 7 = {0, 1,, 3, 4, 5, 6} cu adunarea ºi înmulþirea modulo 7. CAPITOLUL I GRUPURI 19
20 0 7. a) Sã se arate cã asocierea (x, y) x y = 3xy + 6(x + y) + 10 este lege de compoziþie pe mulþimea (, ). b) Deduceþi cã xyz + (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 8 > 0, (¼) x, y, z >. 8. Arãtaþi cã x & y = xy 9(x + y) + 90 este lege de compoziþie pe [8, 10]. 9. Pe mulþimea R introducem legea de compoziþie ) definitã prin x ) y = xy x y + m, (¼) x, y R ºi m R. Determinaþi valoarea minimã a lui m pentru care ) este lege de 1 compoziþie pe,. 10.Fie asocierea (x, y) x ) y = xy i(x + y) i, (¼) x, y C. Arãtaþi cã ) este lege de compoziþie pe mulþimea C \ {i}. 11.Arãtaþi cã urmãtoarele legi sunt asociative: a) a ) b = a + b + ab, legea fiind definitã pe N; xy b) x & y =, legea fiind definitã pe (, 1); 3 x y c) x ) y = x + y + 3, legea fiind definitã pe Q( 3 ) = {a + b 3 a, b Q}; d) A B = AB + A + B + I 3, definitã pe M 3 (R). 1.Arãtaþi cã urmãtoarele legi de compoziþie sunt comutative: a) x ) y = xy 3x 3y, definitã pe Z; x y b) înmulþirea matricelor, definitã pe mulþimea x, y 3y x ; c) x y = x 1 y + y 1 x, definitã pe [ 1, 1]; d) x ) y = + (y ) lg(x ), definitã pe (, ). 13.Arãtaþi cã urmãtoarele legi au element neutru: a) x & y = xy 5x 5y + 30, definitã pe Z; b) x ) y = x + y 1, definitã pe [1, ); c) x y = xy + i(x + y) 1 i, definitã pe C; d) (x, y) ) (x, y ) = (xx yy, xy + x y), definitã pe R R. 14.Studiaþi simetrizabilitatea elementelor urmãtoarelor mulþimi în raport cu legile de compoziþie precizate: a b a) ab, b a, înmulþirea matricelor; b) [8, 10]; x ) y = xy 9x 9y + 90; 3 3 c) R, x & y = 3 x+ y+ x y x + y ; d) [0, ), x y =. 15.Daþi exemple de legi de compoziþie pe {0, 1, } în care este element neutru. Câte astfel de legi se pot defini? ALGEBRÃ
21 16.Pe R se defineºte legea de compoziþie & definitã prin x & y = a) Calculaþi & (3 & 4); ( & 3) & 4, a & 0, a R. b) Este legea asociativã? Dar comutativã? c) Are operaþia datã element neutru? 17.Pe mulþimea {a, b, c} definim legea de compoziþie & prin intermediul tablei alãturate. Stabiliþi dacã legea este asociativã, comutativã, are element neutru ºi (eventual) elemente simetrizabile x + y + xy. 18.Pe mulþimea numerelor complexe definim legea de compoziþie x & y = x + y xy, (¼) x, y C. a) Arãtaþi cã legea este asociativã, comutativã ºi are element neutru. b) Determinaþi elementele simetrizabile. c) Calculaþi i & i & i & i; i & i & i & i & i Fie G =, ºi asocierea (x, y) x & y = 4xy + 3, (¼) x, y G. 4( x+ y+ 1) a) Sã se arate cã & este lege de compoziþie pe G. b) Sã se arate cã legea este asociativã ºi comutativã. c) Are legea element neutru? & a b c a a a b b a b c c b c a 0.Pe mulþimea Z definim legea de compoziþie & prin x & y = xy + x + y + 1, (¼) x, y Z. Demonstraþi cã legea nu este asociativã ºi nu are element neutru. *** 3xy 1.Demonstraþi cã asocierea (x, y) x ) y = xy 3x 3y + 9 pe intervalul (0, 3). este lege de compoziþie.pe mulþimea R introducem legea x & y = x 1+ y + y 1+ x, (¼) x, y R. Sã se arate cã legea este asociativã, comutativã, are element neutru ºi toate numerele reale sunt simetrizabile în raport cu &. 3.Pe M (R) se defineºte legea de compoziþie & astfel: A & B = AB + BA, (¼) A, B M (R) a) Calculaþi (A & B) & B; A & (B & B), unde A = ºi B = b) Are legea element neutru? 4.Pe mulþimea P(E) a submulþimilor mulþimii E considerãm operaþiile de reuniune, intersecþie ºi de diferenþã simetricã. Verificaþi proprietãþile acestor operaþii. CAPITOLUL I GRUPURI 1
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότερα1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.
Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. Manual pentru clasa a XII-a. Trunchi comun + curriculum diferenţiat
Marius Burtea Georgeta Burtea MATEMATICĂ Maual petru clasa a XII-a M Truchi comu + curriculum difereţiat Maualul a fost aprobat pri Ordiul miistrului Educaţiei, Cercetării şi Tieretului r. 6/ di 6.6.7
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραConcursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a
Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele
Διαβάστε περισσότεραCurs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară
Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραTIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006
1 TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1 Bucureşti, 2006 2 Profesorului meu NICOLAE RADU 3 PREFAŢĂ Lucrarea se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de matematică şi informatică din universităţi. În
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
Διαβάστε περισσότεραVARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007
VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραDEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a
Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400
Διαβάστε περισσότεραCapitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor
Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II n α+1 1
GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότερα