Vyrovnanie výškovej - nivelačnej siete

Transcript

1 Acta Montanitica Slovaca Ročník 4 (999) 4-48 Vyovnanie výškovej - nivelačnej iete Milan Šadea a Juaj Gašinec Adjutment of te levelling netwok e levelling netwok i being adjuted by te leat quae metod wit te conditional meauement n te levelling netwok tee ae meaued te quantitie elevation tat ae intemixed by vaiou matematical o geometic equation Key wod: te vecto of coection te configuation matix te cofacto matix te levelling netwok Úvod Na vyovnanie výškovej iete zameanej na báze veľmi penej nivelácie (VPN) (nštukcia na páce vo výškovýc bodovýc poliac 98) a využíva metóda najmenšíc štvocov (MNŠ) a to na vyovnanie potedkujúcic alebo podmienkovýc meaní Pe ozodnutie o pôobe vyovnania je podtatný menší počet numeickýc opeácií Vzľadom na to vyovnávame nivelačné iete pavidla podľa podmienkovýc meaní a tigonometické výškové iete podľa potedkujúcic meaní Uvedené iete ak ú vložené do už vyovnanýc ietí nemú vyovnaním meniť dané výšky pipájacíc bodov (Abelovič 99) Vyovnanie nivelačnej iete podľa podmienkovýc meaní Uvedený pôob je najozšíenejším modelom vyovnania na pincípe MNŠ Pi zameaní nivelačnej iete a meajú veličiny pevýšenia ktoé ú polu viazané ôznymi matematickými ep geometickými vzťami podmienkami (nap účet pevýšení v uzatvoenom nivelačnom polygóne muí byť nulový) Ak meaním zíkame pevýšenia v nadbytočnom počte ktoé nebudú tanovené podmienky pod vplyvom meačkýc cýb pĺňať muíme pitúpiť k vyovnaniu podľa týcto podmienok Aby me nájdené ozpoy odtánili pipájame k nim opavy Pedpokladom pe použitie vyovnania je vykonanie apoň jednéo nadbytočnéo meania Ak by me pi nadbytočnom počte meaní vyovnanie nevykonali dotali by me v geodetickej ieti ôznou výpočtovou cetou odlišné číelné odnoty pe pevýšenie ep výšku too itéo bodu čo je nepíputné z ľadika nadväzujúcic geodetickýc pác Fomulácia úloy Nec je meanýc n veličín pevýšenia n penotnými caakteitikami váovými koeficientmi p p n ep ic ecipočnými odnotami kofaktoovými koeficientmi q i /p q n /p n Petnotné caakteitiky môžu byť vytváané na pincípe váy kilometovéo úeku nivelačnéo ťau alebo voľbou vodnýc celýc eálnyc číiel (konštánt) na základe vzťaov q i L i L (3-) i i ep p i (3-) kde: i L je štandadná odcýlka nivelačnéo ťau [mm] je dĺžka nivelačnéo ťau [km] Jednotlivé koeficienty q i ep p i zotavíme do matíc a to buď kofaktoovej ep váovej P Ak upoiadame meané veličiny i do vektoa meanýc veličín ng Milan Šadea a ng Juaj Gašinec Kateda geodézie a geofyziky F BERG ecnickej univezity v Košiciac Pak Komenkéo Košice (Recenzovali: Pof ng Juaj Sütti DSc a ng Jozef Kožá) 4

2 Acta Montanitica Slovaca Ročník 4 (999) 4-48 (3-3)! n potom jednotlivé matice kofaktoová ep váová P q q " q n P p p " p n (3-4) ú (n x n) ozmené diagonálne štvocové pozitívne definitné matice kofaktoov ep vá meanýc veličín Skutočné odnoty ~ meanýc veličín pĺňajú pene vzťaov nadbytočnýc (edundantnýc) meaní n k kde k je počet ľadanýc vyovnanýc výšok bodov ktoé ú jednoznačne učené pomocou n pevýšení Počet podmienkovýc ovníc a muí ovnať edundancii Je nutné uvážiť či vyovnanie plní aj nezmyelné podmienky a naopak či nefomulované podmienky nebudú plnené peto a nevytváa veľký počet podmienkovýc (modelovýc) ovníc ( ~ ) ϕ (3-5) Splnenie vzťau (3-5) budeme vyžadovať i pe vyovnané veličiny teda muí platiť ( ˆ ) ϕ (3-6) Nameané veličiny tieto vzťay (3-5) a (3-6) v kutočnoti pod vplyvom meačkým cýb nepĺňajú platí teda ( ) U ϕ (3-7) Vypočítané odcýlky U vo vzťau (3-7) nazveme uzávey Úloou vyovnania je teda eliminácia týcto uzáveov pipojením opáv v k nameaným odnotám akýcto iešení by bolo nekonečne mnoo petože počet ľadanýc opáv (tj počet vykonanýc meaní n) je väčší ako počet nadbytočnýc meaní Aby iešenie bolo jednoznačné pidáme podmienku MNŠ v v min (3-8) pomocou ktoej a extemalizuje útava podmienok Riešenie úloy Pôvodné podmienkové ovnice (3-6) môžu byť lineáne i nelineáne Pe ďalšie výpočty muia byť vždy lineaizované čo vyplýva z pincípu MNŠ Po doadení za ˆ + v (4-) vykonáme ic ozvoj do ayloovo adu uvažovaním iba členov ádu vzľadom na požadovanú penoť výledku Potom ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ˆ ϕ ϕ + v ϕ + v ϕ (4-) ˆ ˆ 43

3 Šadea a Gašinec: Vyovnanie výškovej nivelačnej iete Ak ďalej zavedieme označenie podľa (3-7): ϕ ( ) U polu označením konfiguačnej matice nivelačnej iete ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) # # n n ˆ A (4-3) môžeme napíať útavu lineaizovanýc podmienkovýc ovníc: + (4-4) U A v Úloou vyovnania je teda učiť opavy v i k jednotlivým meaným pevýšeniam i tak aby bola plnená podmienka MNŠ (3-8) a účane aj eštikcie (obmedzenia) (4-4) Sčítaním nameanýc pevýšení i v podmienkovýc ovniciac (3-7) dotaneme pvky vektoa odcýlok U Pe ovnice (4-4) zotavíme konfiguačnú maticu nivelačnej iete A na pincípe vzťau (4-3) Potup vyovnania Cieľom odadovacej pocedúy je v danom pípade učiť opavy v k nameaným pevýšeniam a vyovnané odnoty pevýšení podľa (4-) Učenie takýc opáv v ktoé by pĺňali vzťa (3-8) a záoveň (3-7) ieši a známym pôobom vyšetenia extému cieľovej (účelovej) funkcie (3-8) vedľajšími podmienkami - eštikciami ktoé pedtavujú ovnice (4-4) Výcodikový zápi tejto pocedúy má tva odkiaľ pe opavy vyplýva ktoý využíva Lagangeove koeficienty koeláty [ku (3-8) a pipíšu ovnice (4-4) náobené neučitými koeficientami k] Extém (minimum) funkcie (5-) a učí pomocou pvej ep duej deivácie Ω v A k (5-3) Ak doadíme vzťa (5-3) do (4-4) dotaneme útavu nomálnyc ovníc U A A k (5-4) + V ovnici (5-4) môžeme označiť A A N maticu koeficientov nomálnyc ovníc takže bude platiť U + N k (5-5) a znej učiť koeficienty k k N U (5-6) 44

4 Acta Montanitica Slovaca Ročník 4 (999) 4-48 Doadením vypočítanýc Lagangeovýc koeficientov - koelát do vzťau (5-3) dotávame ľadaný vekto opáv v A N U (5-7) ktoý tvoí cieľ vyovnania Pomocou jeo odnôt vypočítame odady vyovnanýc veličín podľa (4-) ktoé muia pĺňať voped tanovené podmienky Záveečné kontoly a štandadné odcýlky Záveečnú kontolu vykonáme doadením vyovnanýc pevýšení do vzťau (3-6) ep ak vypočítame ovnice (4-4) ktoé tvoia záveečnú kontolu polu o vzťaom Σ ˆ ˆ Σ (6-) kde ˆΣ U k a ˆΣ v v (6-) eba však pipomenúť že plnenie tejto kontoly nepeveuje cybné zotavenie podmienok Neúla (ozpo) vo vzťau (3-6) môže byť tiež zapíčinený zanedbaním členov vyššieo adu v ayloovom ozvoji Pe tetovanie vyovnanýc odnôt pevýšení je potebné vypočítať apoteióny vaiančný fakto (jednotkovú vaianciu dipeziu ozptyl) v v (6-3) a štandadné odcýlky vyovnanýc pevýšení ktoé zíkame ako odmocniny z diagonálnyc pvkov kovaiančnej matice vyovnanýc i pevýšení Σ (6-4) kde kofaktoová matica vyovnanýc pevýšení (Böm et al 99 Šütti 987 ) je A N A (6-5) Štandadné odcýlky vyovnanýc pevýšení a muia nacádzať v intevale poľalivoti H + H i na základe pedpokladu platnoti nomálneo ozdelenia pe cyby (ic opavy) na ladine významnoti α ktoý je učený pomocou tojnáobku odnoty σ (Böm et al 99) tj základnej kilometovej štandadnej odcýlky ktoou je možné učiť pevýšenie na dĺžke km nivelačnej tate ± H ± 3 σ (6-6) áto apoteióna (empiická) odnota a vyjadí vzťaom ρ σ [mm] (6-7) n R R v ktoom : R - dĺžky nivelačnýc oddielov [km] ρ - odcýlky v pevýšeniac medzi niveláciou tam a päť pe oddiely [mm] n R - počet oddielov Pi dobe vytvoenom pogame (oftvee) a kontoly nemuia obiť vôbec 45

5 Šadea a Gašinec: Vyovnanie výškovej nivelačnej iete V ámci apoteiónej analýzy vyovnanej nivelačnej iete je tiež potebné oveiť či nameané údaje (pevýšenia) nie ú v ozpoe údajmi ktoé a dali očakávať pi použitej metodike meania Pe analýzu je vodné použiť základnú štandadnú odcýlku σ ktoej numeickú odnotu zíkame zo vzťau (6-7) ep pe použitý typ nivelačnéo pítoja a ealizovanú tecnológiu meania je známa Pakticky teda ide o oveenie či bola v ámci meania nepekočená odnotaσ (Dobeš 99 Hauf 989) oto oveenie za pedpokladu že cyby pevýšení majú ovnaké nomálne ozdelenie a vykoná pomocou apoteióneo vaiančnéo faktoa vzťa (6-3) pomocou ktoéo vytvoíme inteval poľalivoti () χ ( α / ) χ () α / (6-8) a peveíme či a σ nacádza v tomto intevale Vo vyjadení intevalu (6-8) je χ náodná pemenná ktoá podliea cí- kvadátu ozdelenia pavdepodobnoti tupňami voľnoti pi ladine významnoti α pe aymetický inteval poľalivoti tak že α / - kvantil a (-α / ) kvantil učujú jeo anice úto pavdepodobnoť volíme dotatočne malú (α α 5 ) Ak tento náodný inteval pokyje ( pavdepodobnoťou -α ) nenáodnú veličinu σ môžeme pijať ypotézu že ukutočnené meania boli vykonané na úov- ni zodpovedajúcej použitej metodike Ak a σ nacádza vľavo od tooto intevalu ignalizuje to že vykonané meanie a ealizovalo na nižšej penotnej úovni natalo vážne poušenie tecnológie meania lebo a nedoiala tá penoť ktoú je možné použitou metodikou caakteizovanou odnotou σ doianuť Píklad Nivelačná ieť (ob ) je pipojená na dva dané výškové body 8 93 dátumami V m a V m v baltkom výškovom ytéme po vyovnaní (Bpv) Zmyel poybu tam v nivelačnej ieti je naznačený šípkami Sieť pozotáva z k 4 bodov ktoé ú jednoznačne učené n 6 meanými nivelačnými pevýšeniami na báze VPN edukovanými o opavu z dĺžky latovéo meta a z tiaže Výledky ú zotavené do tĺpcovéo vektoa {} m 3 Ob Nivelačná ieť K odnotám pevýšení pilúcajú kofaktoy upoiadané do kofaktoovej matice Na vyovnanie iete edundanciou n k je potebné vytvoiť dve nezávilé podmienkové ovnice v zmyle meu poybu ktoé zapíšeme v tvae V Pozo ak ale použijeme pavidlo 3 σ (pozi 6-6) tak aj tu by malo zvolené α zoľadňovať toto pavidlo 3 Symboly v { } označujú ozmey pičom BR znamená bez ozmeu 46

6 Acta Montanitica Slovaca Ročník 4 (999) 4-48 Doadením numeickýc odnôt meanýc pevýšení (a známeo výškovéo ozdielu v ovnici ) dotávame uzávey v podobe vektoa odcýliek 44 A 6 U {} m Po zotavení konfiguačnej matice A vypočítame maticu koeficientov nomálnyc ovníc A N 598 ďalej vypočítame koeláty k N U {} m opavy v A k {} m Pomocou opáv a meanýc pevýšení vypočítame vyovnané pevýšenia ˆ + v {} m Po doadení vyovnanýc pevýšení do podmienkovýc ovníc kontolujeme plnenie podmienkovýc ovníc m m ep vypočítame petvoené podmienkové ovnice U + A v Kontolu môžeme vykonať aj pomocou ovnice ˆΣ U k 3 {m } a ˆΣ v v 3 {m } pe ktoé muí platiť Σˆ Σˆ Pe tetovanie vyovnanýc odnôt pevýšení vypočítame apoteióny vaiančný fakto - ozptyl v v 644 {mm } Na výpočet štandadnýc odcýliek vyovnanýc pevýšení potebujeme poznať pílušné kofaktoové koeficienty z matice (6-5) 47

7 Šadea a Gašinec: Vyovnanie výškovej nivelačnej iete Potom štandadné odcýlky zíkame výbeom pílušnýc pvkov z diagonály v kovaiančnej matici vyovnanýc pevýšení 67 { } mm Σ ktoé zotavíme do vektoa štandadnýc odcýlok vyovnanýc pevýšení { mm} požiadavkou na plnenie 3 σ 536 mm ktoej vyovujú všetky údaje 466 i 6 Na záve je potebné oveiť dodžanie odnoty štvoca základnej kilometovej štandadnej odcýlky σ 76 mm v ámci intevalu poľalivoti ktoý učíme pe a ladinu významnoti α pe cí- kvadát ( χ ) ozdelenia : ( / ) ; 995 / ; 5 χ α χ 597 χ α χ () 644 mm Haničné odnoty podľa vzťau (6-8) ú 644 mm χ α / () 644 mm 65 mm teda odnota σ 76 mm a nacádza v intevale χ ( α / ) 597 σ 65; 644 [mm] Z too vyplýva že ukutočnené meania boli vykonané na úovni ktoú metodika VPN umožňuje Liteatúa Abelovič J: Meanie v geodetickýc ieťac ALFA Batilava 99 Böm J Radouc V a Hampace M: eoie cyb a vyovnávací počet GKP Paa 99 Dobeš J et al: Pené lokálne geodetické iete VÚGK Batilava 99 Hauf M: Geodézie (tecnický původce 4) SNL Paa 989 nštukcia na páce vo výškovýc bodovýc poliac (9843 /8) SÚGK Batilava 98 Metodický návod na budovanie obnovu a údžbu výškovýc bodovýc polí SÚGK Batilava 983 Šütti J: Geodézia ALFA Batilava