Testy hypotéz o parametroch normálneho rozdelenia.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Testy hypotéz o parametroch normálneho rozdelenia."

Τιμόθεος Λουκᾶς Παπαστεφάνου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Kapitola 7. A Tety hypotéz o parametroch normálneho rozdelenia. Predtavme i, že vyšetrujeme predpoklady o parametroch normálneho rozdelenia výberového úboru, pričom o normalite úboru nemáme pochybnoti (napr. otetovali me úbor na normalitu). Na základe pozorovania me dopeli k úvahe, že tredná hodnota µ a rovná µ. Toto tvrdenie a nazýva hypotéza a našou úlohou bude overiť túto hypotézu. V matematickej štatitike a táto hypotéza označuje ako H a nazýva a nulovou hypotézou. Táto formulácia nie je úplná, lebo je treba uvieť akou inou možnoťou počítame, ak nulová hypotéza neplatí ( µ µ, µ > µ, µ < µ ). Túto druhú možnoť nazveme alternatívna hypotéza (jednoduchá alternatíva, zložená alternatíva) a označíme H 1. Overovanie hypotéz podlieha náhodným chybám, pričom môžu natať štyri prípady: 1. nulová hypotéza platí a tet ju nezamietne nedoputili me a žiadnej chyby. nulová hypotéza platí a tet ju zamietne doputili me a chyby prvého druhu, ktorá býva označovaná ako α 3. nulová hypotéza neplatí a tet ju zamietne nedoputili me a žiadnej chyby 4. nulová hypotéza neplatí a tet ju nezamietne doputili me a chyby druhého druhu, ktorá býva označovaná ako β Našou prirodzenou požiadavkou je požiadavka minimalizovať tieto chyby. Svoje rozhodnutie o zamietnutí alebo nezamietnutí nulovej hypotézy urobíme na základe náhodného výberu (nameraných údajov) z uvažovaného normálneho rozdelenia. Keďže však rozah výberu je vopred tanovený (už bol vykonaný, nedá a v ňom pokračovať), nedá a účane minimalizovať obidve chyby naraz. Preto a pevne volí α (,1 ) - zvyčajne však α =,1 alebo α =,5 alebo α=,1. Iné hodnoty a koro nepoužívajú. Tomuto čílu a potom hovorí hladina významnoti. Pri pevne danej hladine významnoti tet potom konštruujeme tak, aby a minimalizovala chyba druhého druhu. V podtate konštruujeme prílušný (1-α).1 % - interval poľahlivoti a dodržiavame tento potup: 1. Stanovíme nulovú a alternatívnu hypotézu. Vyberieme vhodný druh tetu.. Vypíšeme všetky známe(dané) potrebné hodnoty, otatné odhadneme (počet meraní, hladina významnoti, odhad trednej hodnoty, diperzie) 3. Rozhodneme o tetovacej štatitike a jej rozdelení 4. Vyhodnotíme tet, urobíme záver t.j. nezamietneme H alebo zamietneme H a prijmeme alternatívnu hypotézu. Našou úlohou teraz bude tetovať hypotézy o trednej hodnote normálne rozdeleného výberového úboru v prípade 1. ak diperzia je známa, alebo počet meraní je veľký n>1. ak diperzia nie je známa a muíme ju nahradiť bodovým odhadom Tet hypotézy o trednej hodnote pri známom Vzorový príklad 1 Pri kontrole právnoti natavenia meracieho prítroja bolo urobených 1 meraní kúšobného etalónu o právnou hodnotou µ = 15, pričom ytematická odchýlka tohto prítroja je =,3. Boli namerané tieto údaje : 15,3 15,1 15,19 15,16 15,6 15, 15,3 15,6 15,3 15,9 51

2 Riešenie Pretože je rovnako žiaduce odhaliť kladnú aj zápornú chybu budeme tetovať nulovú hypotézu oproti jednoduchej alternatíve: H : µ =15, H 1 : µ 15, pričom hladina významnoti α=,5. Spočítame bodový odhad =15,8, α=,5, n=1, =,3. Keďže je diperzia známa tetovacia štatitika bude v tvare: T = ( ) µ n T má N(; 1) rozdelenie a nulovú hypotézu nezamietame ak (pozri obrázok 7.1): u(,975) n u(,975) kde u(,975) je prílušný kvantil normálneho rozdelenia. T=,951 a u(,975)=1,96, keďže T>1,96 zamietame nulovú hypotézu na prílušnej hladine významnoti a prijmeme alternatívnu hypotézu. Merací prítroj nie je dobre natavený. Vo všeobecnoti nulovú hypotézu nezamietame na hladine významnoti α, ak platí: u(1 α ) n u(1 ) α Obr. 7.1 Stanovíme teraz zloženú alternatívu v dvoch prípadoch: a) H : µ=15, H 1 : µ >15, pre hladinu významnoti α=,1, b) H : µ=15, H 1 : µ <15, pre hladinu významnoti α=,1. a) V nepropech nulovej hypotézy vedčia veľmi veľké hodnoty, hypotézu H zamietame, ak n u(, 9 ) 5

3 kde u(,9)=1,9 je kvantil N(, 1) rozdelenia. Keďže T> u(,9) zamietam nulovú hypotézu na hladine významnoti α, prijímam alternatívu, merací prítroj výledky nadhodnocuje (pozri obrázok 7.). Obr. 7. Vo všeobecnoti zamietame nulovú hypotézu v tomto prípade, ak n u(1 α) b) V nepropech nulovej hypotézy vedčia veľmi malé hodnoty, hypotézu H zamietame, ak n u( 1, ) = u(, 9 ) kde u(,9)=1,9 je kvantil N(, 1) rozdelenia. Keďže T> -u(,9) nezamietam nulovú hypotézu na hladine významnoti α, merací prítroj nepodhodnocuje (pozri obrázok 7.3). Vo všeobecnoti zamietame nulovú hypotézu v tomto prípade, ak n u( α) = u(1 α) Obr. 7.3 Tet hypotézy o trednej hodnote pri neznámom Vzorový príklad Pri kontrole právnoti natavenia meracieho prítroja bolo urobených 1 meraní kúšobného etalónu o právnou hodnotou µ = 15,. 15,3 15,1 15,19 15,16 15,6 15, 15,3 15,6 15,3 15,9 Tetujte nulovú hypotézu H oproti jednoduchej alternatíve, ak igma nie je známe: H : µ =15, H 1 : µ 15, 53

4 pričom hladina významnoti α=,5. Riešenie Spočítame bodový odhad =15,8, α=,5, n=1. Ak nie je známe, treba ho odhadnúť z nameraných údajov. Odhadom = Var (X ) je výberová merodajná odchýlka v tvare: n 1 = ( i n( ) ) n 1 i= 1 Pri tete preto použijeme štatitiku T = n t Táto štatitika má Studentovo t-rozdelenie n-1 tupňami voľnoti. Je to ymetrické rozdelenie, ktorého hodnoty ú pre prílušné tupne voľnoti a hladiny významnoti α tabelované. Nulovú hypotézu nezamietame na hladine významnoti α=,5 ak t(, 975) n t(, 975) 9 Keďže =,37, T=,39 a t (,975) =,6 na tejto hladine významnoti α zamietame nulovú hypotézu. Vo všeobecnoti nulovú hypotézu nezamietame na hladine významnoti α, ak platí: t α kde t n 1( 1 ) je kvantil t-rozdelenia. α α ( 1 ) n t( 1 ) Obr Merací prítroj teda nie je dobre natavený. Stanovíme teraz zloženú alternatívu v dvoch prípadoch a) H : µ = 15, H 1 : µ > 15, pre hladinu významnoti α=,1, b) H : µ = 15, H 1 : µ < 15, pre hladinu významnoti α=,1. a) V nepropech nulovej hypotézy vedčia veľmi veľké hodnoty, hypotézu H zamietame, ak n t (, 9 ) 54

5 kde t 9 (,9 ) =1,38 je kvantil t-rozdelenia rozdelenia. Keďže T> t9 (,9 ) zamietame nulovú hypotézu na hladine významnoti α, prijímame alternatívnu hypotézu, že merací prítroj nadhodnocuje (pozri obrázok 7.5). Vo všeobecnoti nulovú hypotézu zamietame na hladine významnoti α ak n t( 1 α ) Obr. 7.5 c) V nepropech nulovej hypotézy vedčia veľmi malé hodnoty, hypotézu H zamietame, ak n t.1) = t ( (,9) kde - t 9 (,9) = -1,38 je kvantil t-rozdelenia rozdelenia. Keďže T> - t 9 (,9) nezamietame nulovú hypotézu na hladine významnoti α, zdá a, že merací prítroj nepodhodnocuje. Vo všeobecnoti nulovú hypotézu zamietame na hladine významnoti α ak n t 1( α) = t 1(1 α) n n Obr. 7.6 Tety hypotéz pre neznáme alebo Vzorový príklad 3 Zo základného úboru rozdelením N(µ ; ) a urobil náhodný výber naledujúcimi výledkami 55

6 51,3 6,8 51, ,3 5,1 58,4 a) Tetujte na hladine významnoti α=,5 hypotézu Riešenie H : Pri tete použijeme štatitiku T = =16 oproti jednoduchej alternatíve H 1 : 16 n 1 χ voľnoti. Hypotézu H nezamietame na hladine významnoti α, ak platí: α n 1 α χ ( 1 ) χ n 1( ), ktorá má chí- kvadrát rozdelenie (n-1) tupňami Obr. 7.7 α α kde χ ( 1 ) a χ n 1( ) ú kritické hodnoty chí kvadrát rozdelenia. Keďže 17, 68 =, =16, χ (,5) =14,45 a χ (, 95) =1,4 a T=6,63 nezamietame nulovú hypotézu na hladine významnoti 6 6 α a prijímame alternatívu (pozri obrázok 7.7). b) Na hladine významnoti α=,1 tetujte hypotézu H : =16 oproti zloženej alternatíve H 1 : >16 V nepropech hypotézy H vedčia veľmi veľké hodnoty a tak H zamietame, ak n 1 χ 1( α) n Keďže χ (,1) =1,64 a T=6,63 zamietame nulovú hypotézu na hladine významnoti α=,1 (pozri 6 obrázok 7.8). 56

7 Obr. 7.8 H : =16 oproti zloženej alternatíve H 1 : <16 V nepropech hypotézy H vedčia veľmi malé hodnoty a tak H zamietame, ak n 1 χ (1 α) Keďže χ 6 (, 9 ) =, a T=6,63 nezamietame nulovú hypotézu na hladine významnoti α=,1 (pozri obrázok 7. 9). Obr Poznámka Matematické vyjadrenie krivky hutôt χ a Studentovho t-rozdelenia a tvary kriviek týchto rozdelení možno nájť v kapitole 4. B. Nové pojmy a definície kapitoly 7. A nulová a alternatívna hypotéza zložená a jednoduchá alternatíva hladina významnoti chyba prvého a druhého druhu tety hypotéz Cvičenia Príklad 1 Pri meraní koeficientu tepelnej vodivoti tehlovej teny me namerali tieto hodnoty:,6,64,57,61,59,57,6,59 Na hladine významnoti α=,5 tetujte nulovú hypotézu µ=,6 oproti alternatíve µ,6. Výledky interpretujte. Príklad Ziťoval a percentuálny obah železa vo vzorkách železnej rudy. Výledky ú zaznamenané v tabuľke početnotí i

8 n i a) Na hladine významnoti α=,1 tetujte nulovú hypotézu µ=15 oproti alternatíve µ 15. b) Zitite, či má zmyel ťažiť rudu na danom miete, ak ťažiť a oplatí vtedy, keď obah železa vo vzorkách je v priemere apoň 13 %? Tetujte na hladine významnoti α=,5 Príklad 3 Denný prietok vody má normálne rozdelenie. Výledky dlhodobého pozorovania ú zaznačené v tabuľke triedneho rozdelenia početnotí i n i Na hladine významnoti α=,5 tetujte nulovú hypotézu µ=5 oproti alternative µ 5. Výledky interpretujte. Príklad 4 Firma, ktorá a zaoberala výrobou výlikov z platických hmôt, chce poznať účinok technologického proceu na kmitanie podlahy vo výrobnej hale. Ohrozenie podlahy a hodnotí pomocou vibrácií, ktorými a podlaha rozkmitá v dôledku nárazov pri liovaní. Pomocou nímačov na podlahe me urobili 5 meraní maimálnych výchyliek a vypočítali aritmetický priemer (,5mm) a odhad rozptylu (,73). Tetom me zitili, že ide o výber z normálneho rozdelenia. Tetujte na hladine významnoti α =,5: a) Či maimálna výchylka a rovná,75 ( čo je povolená norma). b) Či technologický proce nepôobuje výchylky vyššie ako povoľuje norma. c) Či rozptyl a rovná,81. Príklad 5. Merala a vlhkoť štrku v percentách naledovnými výledkami 14,9 13,9 1, ,1 14, , 13,8 Výrobca garantuje 14 % vlhkoť štrku. Tetujte na hladine významnoti α=,5, či a tvrdenie výrobcu zhoduje o kutočnoťou. Riešenia Príklad 1 -,364=t 7 (,5)<T=,139< t 7 (,975)=,364, nezamietam H Príklad a) T=,715, t 31 (,995)=,744, T,744, nezamietam H b) T=4,875, t 31 (,5)=1,695, T>1,695, nezamietam H, ťažiť na tomto miete a oplatí. Príklad 3 T=1,874, t 99 (,975)=1,984, T 1,984, nezamietam H, dá á potvrdiť, že denné prietoky vody ú na úrovni 5m 3. Príklad 4 a) T=-4,138, t 49 (,975)=,9, T >,9, zamietam H, zdá a, že výchylky budú nižšie. b) T=-4,138, t 49 (,95)=1,676, T<1,676 hypotézu H nezamietam, výchylky nebudú vyššie ako je tanovená norma. c) T=44,16, χ (,975 ) =31,554, χ (,5 ) =7,, 31,554<44,16<7,, nezamietam hypotézu H Príklad 5 58

9 T=,4,, t 8 (,975)=,36, T,36, hypotézu H nezamietam, tvrdenie výrobcu a zhoduje o kutočnoťou. 59

Σχετικά έγγραφα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.