Lekcija 13: Algoritmi. pretraživanja grafova. Prof.dr.sc. Jasmin Velagić Elektrotehnički fakultet Sarajevo 2012/2013

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Lekcija 13: Algoritmi. pretraživanja grafova. Prof.dr.sc. Jasmin Velagić Elektrotehnički fakultet Sarajevo 2012/2013"

Transcript

1 Lekcija 13: Algoritmi izbjegavanja prepreka i pretraživanja grafova Prof.dr.sc. Jasmin Velagić Elektrotehnički fakultet Sarajevo Kolegij: Mobilna robotika 2012/2013

2 13.1. Algoritmi izbjegavanja prepreka U mnogim slučajevima, globalna mapa prostora nije dostupna u trenutku kada robot započinje svoje kretanje prema cilju. Planiranje zasnovano na metodi potencijalnih polja je primjer lokalnog l postupka planiranja kretanja koji se može koristiti u ovoj situaciji. Nažalost, lokalni planeri na temelju potencijalnih polja ne mogu garantirati pronalaženje putanje do cilja. Moguće je, uz određene okolnosti, razviti metode planiranja kretanja koje osiguravaju dolazak robota u ciljnu tačku uz prisustvo neizvjesnosti, odnosno uz ograničeno poznavanje prostora. Ovi algoritmi su poznati i pod imenom hibridni algoritmi planiranja putanje. 2/59

3 Bug algoritam Najpoznatiji iz grupe hibridnih algoritama je Bug algoritam. Bug algoritam (Lumelsky i Stepanov, 1988; Lumelsky i Skewis, 1990) je jedan od najjednostavnijih algoritama ibj izbjegavanjaj prepreka robota tokom kretanja ka ciljnoj tački. Osnovna ideja se sastoji u slijeđenju kontura svake prepreke koja se nađe na putu kretanja robota i obilaska oko prepreke. Ovaj algoritam se koristi za planiranje putanje od početne do ciljne tačke (njihove koordinate poznate) ako je poznat smjer kretanja prema cilju, odometrija robota perfektna, idealan kontaktni senzor, beskonačna memorija za pohranu informacija. 3/59

4 Bug algoritam Pri tome se pretpostavlja razumno okruženje koje sadrži konačan broj prepreka p i postojanje j linija koje će presjecati prepreku konačan broj puta. Najviše su u upotrebi dvije verzije Bug algoritma: Bug1 i Bug2. Kod Bug1 algoritma robot prvo u cijelosti obilazi oko prepreke, zatim se počinje udaljavati od prepreke iz tačke koja je najbliža ciljnoj tački (slika na sljedećem slajdu). Ovaj pristup je veoma neefikasan, ali garantira robotu dostizanje bilo kojeg ostvarivog cilja. 4/59

5 Bug algoritam Bug 1 algoritam 5/59 q f q od2 q od1 q d2 q d1 q i q od tačka odvajanja od prepreke q d tačka prvog dodira sa preprekom

6 Bug algoritam Bug 1 algoritam Postoje situacije, odnosno okoline, u kojima 6/59 primjenom Bug1 algoritma nije moguće dosegnuti, odnosno pristići u ciljnu konfiguraciju. q od1 q f q i q d1

7 Bug algoritam Bug 1 algoritam pseudo kod Algoritam: Bug1 1. qi = q od i 1 početna tačka; 2. q f ciljna tačka; 3. petlja 4. ponavljaj 5. kretanje od qod i prema q 1 f 6. dok q f nije dosegnut ili robot pristigao u q d i 7. ako cilj ( q f ) je dosegnut onda 8. izlaz 9. kraj 10. ponavljaj 11. slijeđenje granice prepreke 12. dok q f nije dosegnut ili robot ponovo pristigao u 13. odrediti qodi na perimetru koji je najbliža cilju 14. idi do q odi 15. ako se robot ranije kretao ovom stazom ka cilju onda 16. q f nije dohvatljiv i izlaz 17. kraj 18. kraj petlje q di 7/59

8 Bug algoritam Sa Bug2 algoritmom robot započinje slijediti konturu prepreke, p ali se počinje od nje udaljavati trenutno kada osjeti da se može pravolinijski kretati ka cilju po pravcu m koji spaja početnu i ciljnu tačku. Na ovaj način se općenito poboljšava Bug algoritam kojim se sada značajno skraćuju ukupno kretanje robot do cilja, što se vidi sa slike nasljedećem ć slajdu. Međutim, ostaje i dalje donekle izražen problem neefikasnosti, posebno u pogledu optimalnosti putanje. 8/59

9 Bug algoritam Bug2 algoritam 9/59 q od2 q f q od1 q d2 q i q d1

10 Bug algoritam Bug2 algoritam pseudo kod Algoritam: Bug2 1. qi = q odi početna tačka; 1 2. q f ciljna tačka; 3. dok je istina izvršavaj 4. ponavljaj 5. kretanje od qod i prema q 1 f 6. dok q f nije dosegnut ili robot nije pristigao u tačku dodira q d i 7. skrenuti desno (ili lijevo) 8. ponavljaj 9. slijeđenje granice prepreke 10. dok 11. cilj ( q f ) je dosegnut ili 12. robot ponovo pristigao u qd ili i 13. robot ponovo pristigao na pravac m u tački m tako da 14. m q d i (robot nije dosegao tačku dodira) 15. d(m, q f ) < d(m, ) (robot blizu cilja) i 16. ako robot se kreće prema cilju, tada on neće udariti u prepreku 17. postaviti q od i+ = m povećaj i 19. kraj petlje q d i 10/59

11 Bug algoritam Iz navedenog se može zaključiti da je Bug2 efikasniji od Bug1 algoritma, međutim, nije uvijek tako. Metrika duljina: 11/59 L Bug1 d( q i, q f ) + n 1 p 2 i= 1 i L Bug2 1 d ( q + i, q f ) n 2 n i= 1 i p i

12 Bug algoritam Duljina pređenog puta može biti značajno dulja ako pravac m presjeca granice prepreka više puta. 12/59 q od1 q od2 q i q d1 q d2 q f

13 Bug algoritam Planiranje kretanja u složenoj okolini Bug2 13/59

14 Bug algoritam Postoje brojne varijacije i proširenja Bug algoritma. Jedan od algoritama kojim se znatno poboljšava optimalnost Bug2 algoritma je tangecijalni Bug algoritam (Kamon i saradnici, 1996), koji dodaje opažanje okoline na temelju mjerenja senzora udaljenosti (infracrveni, i ultrazvučni č senzori) i lokalni prikaz okoline, poznat pod imenom lokalni tangencijalni graf (LTG). Ne samo da se robot može efikasnije kretati prema cilju korištenjem LTG-a, već se može kretati prečicama kada obilazi prepreke duž njihovih kontura i usmjerava se prema cilju ranije. 14/59

15 Bug algoritam Osim Bug algoritama koji koriste senzore dodira (Bug 1, Bug2) i senzore udaljenosti (TangentBug), razvijeni su i Bug algoritmi koji koriste vizualne informacije iz okoline, dobivene kamerom, takozvani VisBug algoritmi. 15/59 Cilj Start

16 Bug algoritam Najpoznatiji iz ove grupe algoritama su VisBug 2-1 i VisBug 2-2 [Lumelsky, 2006]. 16/59 Rezultati savisbug Rezultati savisbug 2-1 algoritmom

17 Bug algoritam U mnogim jednostavnijim okolinama, tangecijalni Bug pristupi p globalno optimiraju putanju. Nedostatak Bug2 algoritma je daneuzima u obzir kinematiku robota, što predstavlja važan segment, posebno kod neholonomskih robota. Osim toga, budući da se koriste senzorske vrijednosti, šum senzora može prouzročiti značajan utjecaj na performance realnog svijeta. Jedan od algoritama koji nadvladava neka od navedenih ograničenja je VFH (engl. Vektor Field Histogram) metoda. 17/59

18 VFH metoda Različite metode zasnovane na principima sličnim potencijalnim poljima su razvijene. Jedna od njih je algoritam virtualnih sila polja (VFF Virtual Field Force) kojim se konstruira mreža zauzećać u on-line režimu i zatim pridružuju sile preprekama i cilju koje djeluju na robota. Ove sile usmjeravaju robota prema cilju uz izbjegavanje prepreka, ukoliko mu se nađu na putu. Za razliku od metoda potencijalnih polja, VFF metoda razmatra sile samo u maloj, lokalnoj okolini oko robota. Ovom metodom se prostorna distribucija sile reducira na pojedinačni vektor, što je i glavni nedostatak ove metode. 18/59

19 VFH metoda VFH algoritam (Borenstein i Koren, 1991) prevazilazi ovaj nedostatak konstruiranjem 19/59 polarnog prikaza gustoće prepreke.

20 VFH metoda Jednodimenzionalni histogram H sadrži n ugaonih sektora duljine α. Aktivni region C* se preslikava u histogram H 20/59 u kome svaki sektor k pohranjuje j vrijednost h k koja predstavlja gustoću prepreke u polarnom histogramu u smjeru koji odgovara sektoru k. Sektori koji premašuju prag označavaju neprohodnost prostora. Za transformaciju se koristi pomični otvor (prozor), dimenzija w w, kojisekreće zajedno sa mobilnim robotom i pokriva dio histogramske mreže (slika na sljedećem slajdu).

21 VFH metoda Preslikavanje aktivnih ćelija u polarni histogram. 21/59

22 VFH metoda Sadržaj svake aktivne ćelije u histogramskoj mreži se tretira kao vektor prepreke, p čijaj orijentacija β je određena u odnosu na centralnu tačku robota (centar mase ili centar osovine) VCP (engl. Vehicle Central Point): β i, j = arctan y y j r x i x r 22/59 dok je amplituda vektora prepreke dana sa: m = c ( a bd 2 i, j i, j i, j )

23 VFH metoda Oznake u prethodnim jednadžbama su: c i, i j - vrijednost sigurnosti pridružena aktivnoj 23/59 ćeliji (i, j), m i,j - amplituda vektora prepreke pridruženog ćeliji (i, j), d i,j - udaljenost između aktivne ćelije (i, j) i VCP-a, x r, y r - koordinate trenutne pozicije centra robota VCP, x i, y j - koordinate aktivne ćelije (i, j), β i,j - pravac od aktivne ćelije (i, j) dovcp-a.

24 VFH metoda Konstante a i b moraju zadovoljavati sljedeću relaciju: w 1 a b = /59 H ima proizvoljnu rezoluciju α takvu da je n = 360/α cjelobrojnik (naprimjer, α =5 in =72). Svakom sektoru k odgovara diskretni ugao ρ, kvantiziran kao višekratnik ugla α, kojiiznosiρ = kα, gdje je k = 0, 1, 2,..., n-1. Povezanost aktivne ćelije sasektorom k izražena je na sljedeći način: β i, j k = int α

25 VFH metoda Gustoća prepreke u polarnom histogramu h k za svaki sektor k računa se kao: 25/59 h, = j k m i i, j Svaka aktivna ćelija je povezana sa određenim sektorom preko jednadžbi za računanje β i k. Na slici sa slajda 21. koja prikazuje preslikavanje iz C* uh, sve aktivne ćelije povezane sa sektorom k su istaknute. Širina sektora na ovoj slici iznosi α =10 (neα =5, kako je u stvarnom algoritmu) da bi prikaz bio jasniji.

26 VFH metoda Zbog diskretnog karaktera histogramske mreže, rezultat ovog preslikavanja izgleda nedotjeran ("čupav") i uzrokuje pogreške u izboru smjera napredovanja robota. Osim toga, izglađena funkcija primijenjena na histogram H definirana je sa: 26/59 hk h k = 2hk l lhk + 2hk + l 1 hk 1 2 l +1 gdje h predstavlja izglađenu polarnu k gustoću prepreke. U primjeru (Borenstein i Koren, 1991) l=5 daje zadovoljavajuće izglađene rezultate.

27 VFH metoda Na sljedećoj slici prikazana je prostorija sa preprekama (Borenstein i Koren, 1991). 27/59

28 VFH metoda Razmak između prepreke (pregrade) B i C iznosi 1.2 metra. Prepreka A je kružnog oblika promjera 3/4". Histogramska mreža situacije saslikenaslajdu 27. prikazana je na slajdu 29., dok je polarni histogram iste predočen slikom na slajdu 30. Pravci (izraženi u stupnjevima) u polarnom histogramu odgovaraju smjerovima pravaca mjerenim u smjeru obrnutom od kretanja kazaljkenasatuodpozitivnex osi histogramske mreže. Šiljci A, B i C u polarnom histogramu su rezultat segmentiranja prepreka A, B i C u histogramskoj mreži. 28/59

29 VFH metoda Histogramska mreža 29/59

30 VFH metoda Polarni histogram prostora za situaciju sa slajda /59 Izvorni VFH algoritam je doživio izmjene i g j j poboljšanja, tako da su se razvili VFH+ i VFH* (Ulrich i Borenstein, 1998, 2000).

31 VFH metoda Rezultati VFH sa Pioneer P3-DX mobilnim robotom 31/ snimljenih tačaka 1000 snimljenih tačaka

32 13.2. Algoritmi pretraživanja grafova Prikaz prostora pomoću grafova (metričkog ili topološkog) se dobiva reduciranjem prostora u segmente. Pomoću povezanog grafa (slika ispod) može se putanja od početne č (t (start) t)dociljne tačke veoma jednostavno pronaći. 32/59 Start Cilj

33 Algoritmi pretraživanja grafova Mnogi od algoritama pretraživanja grafova zahtijevaju program za posjetu svakom čvoru u grafu kako bi odredili najkraću putanju od početne do ciljne tačke. Posjećivanje svakog čvora može biti računarski naporno u slučaju razrijeđenih povezanih grafova, kao što je slučaj č sa grafovima dobivenih ih pomoću Voronoijevih dijagrama. Također, u slučaju grafova sa mnoštvom čvorova i veza između njih pretraživanje postaje računarski prezahtjevno. Što se tiče postupaka pretraživanja grafova najviše su u upotrebi A* algoritam, dinamičko programiranje i Dijkstra algoritam. 33/59

34 A* algoritmi pretraživanja grafova A* predstavlja klasični postupak računanja optimalnih putanja holonomskih robota izveden iz A algoritma. Da bi se moglo objasniti kako funkcionira A* algoritam prvo će se ukratko prezentirati način rada A algoritma. Oba algoritma pretpostavljaju metričku mapu, gdje je lokacija svakog pojedinačnog čvora poznata u apsolutnim koordinatama i spojne linije grafa prikazuju da li je moguće ostvariti kretanje između čvorova. A algoritam pretraživanja prostora generira optimalnu putanju od početnog do ciljnog čvora i nakon toga omogućuje kretanje kroz graf do ciljnog čvora. 34/59

35 A* algoritmi pretraživanja grafova Optimalnu putanju on generira inkrementalno, osvježava je u svakom koraku, i razmatra koji bi čvorovi mogli biti pridodani putanji i odabire između njih one najbolje. "Srce" ovog postupka predstavlja sljedeća formula za mjerenje vjerodostojnosti čvora: 35/59 gdje je: f ( n) = g( n) + h( n) f(n) ocjena (mjeri) kako se dobro kreće čvor n, g(n) funkcija kakvoće putanje od početnog do n-tog čvora, h(n) funkcija kakvoće putanje od n-tog do ciljnog čvora.

36 A* algoritmi pretraživanja grafova Kako funkcionira prethodni izraz objasnit će se usljedećem primjeru grafa prikazanog na slici. F 1 Cilj E 1 1 A algoritam započinje u čvoru A i kreira stablastu strukturu kojom određuje koje je čvorove moguće dodati u graf. f ( B) = g( B) + h( B) = = 36/ D 1 C g(b) ocjenjuje kvalitetu prijelaza iz A u B, a h(b) iz B-a u ciljni čvor E f ( C ) = g ( C ) + h ( C ) = = 2 B A 1 Start A algoritam pronalazi optimalnu putanju, ali pri tome obavlja usporedbu svih putanja međusobno.

37 A* algoritmi pretraživanja grafova A* algoritam predstavlja interesantan pristup reduciranja broja putanja koje se mogu generirati i međusobno uspoređivati. On uspoređuje moguće putanje sanajboljom j putanjom, čak i ako ona ne postoji u realnom prostoru, odnosno nije je moguće postići. Algoritam estimira h i ne provjerava da li postoji stvarni segment putanje koji može dovesti do cilja sa te udaljenosti. Estimacija se nakon toga može koristiti za određivanje od kojih se čvorova najviše očekuje u procesu pretrage i kojim putanjama se ne može doći do ciljnog čvora i na taj način reducirati proces pretraživanja. 37/59

38 A* algoritmi pretraživanja grafova Evaluacijska funkcija A* algoritma postaje: f ( n) = g ( n) + h ( n) 38/59 gdje oznaka '*' govori da se radi o estimiranim vrijednostima koje se mogu uključiti u A algoritam pretrage. U planiranju putanje, g*(n) je ista kao i g(n), s tim da ona postaje poznata kroz inkrementalnu gradnju putanje. Međutim, h*(n) je posve različita od h(n). Posta lja se onda pitanje kako estimirati Postavlja se onda pitanje kako estimirati putanju od čvora n do ciljnog čvora?

39 A* algoritmi pretraživanja grafova Također se postavlja pitanje kako biti siguran da će estimacija biti dovoljno tačna da osigura optimalnu putanju? Ovosemožeosigurati tako da h*(n) ( ) nikad ne bude manje od h(n). Restrikcija h*(n) ( ) h(n) ( ) naziva se uvjet prihvatljivosti. Budući da se estimira h*(n), ( ova funkcija se naziva još i heuristička funkcija, jer koristi pravila kojima se odlučuje koji čvor je najbolji za daljnje razmatranje. Srećom, postoji prirodna heuristička funkcija za estimaciju kvalitete putanje od čvora n do ciljnog čvora. Radi se o Euklidskoj distanci. 39/59

40 A* algoritmi pretraživanja grafova Lokacija svakog čvora je poznata i moguće je izračunati duljinu spojne linije između dva čvora. Najkraća putanja između dva čvora je prava linija. Budući darealnaputanja nikad ne može biti kraća od pravolinijske putanje, slijedi da je uvjet prihvatljivosti zadovoljen. Da bi se vidjelo kako A* algoritam eliminira posjećene čvorove, razmatra se primjer sa sljedeće slike. Prvi korak u ovom algoritmu je razmatrati izbore iz početnog čvora. 40/59

41 A* algoritmi pretraživanja grafova Prikaz grafa za pretragu 1 Cilj F E 41/ D B A 1 Start

42 A* algoritmi pretraživanja grafova Izbori su čvorovi B i D, kojimasemožekroz stablo grafa direktno pristupiti p iz početne tačke A (slika a) ili preko podskupova originalnog grafa (slika b) Cilj E 42/59 h*(d)=1.4 A D h*(b)=2.24 B f*=3.24 D f*=2.8 g*(d)=1.4 (a) B (b) g*(b)=1 A Start

43 A* algoritmi pretraživanja grafova Slika b. prikazuje kako algoritam "vidi" ovu tačku u toku postupka izvršavanja. Izbori evaluiraju u: 43/59 f f ( B ) = g ( B ) + h ( B ) = 1 + ( D) = g ( D) + h = 3.24 ( D) = = 2.8 Putanja A D-? E je kraća od putanje A B-? E. Slijedi da je D najprihvatljivija tačka putanje gledano iz početne tačke A. Važno je napomenuti da A* algoritam ne može eliminirati stazu kroz čvor B jer algoritam ne može "vidjeti" putanju koja stvarnoideizčvora D u čvor E i da je ona zaista najkraća moguća putanja grafa do cilnog čvora E.

44 A* algoritmi pretraživanja grafova U drugom koraku, A* algoritam rekurzivno računa (ponavljajući evaluaciju) iz čvora D, jer je D najprihvatljiviji sljedeći čvor na putanji prema cilju, što se vidi na sljedećoj slici. 44/59 B f*=3.24 A D f*=2.8 h*(f)=1 g*(f)=2.4 F 1 1 Cilj E g*(e)=2.8 h*(e)=0 D E f*=2.8 F f*=3.4 A Start

45 A* algoritmi pretraživanja grafova Dvije opcije putanje iz D su E i F čvorovi, koje se evaluiraju kakoslijedi: f f ( E) = g ( E) + h ( E) = = ( F ) = g ( F ) + h ( F ) = = /59 Iz algoritma se vidi da je čvor E najbolji izbor da ostane u stablu pretrage, uključujući spojnu liniju kroz B. E je bolji izbor od F i B. Kada A* algoritam nastoji proširiti putanju iz čvora E uočava da je taj čvor ciljni, tako da se algoritam kompletira. Optimalna putanja je A-D-E i ne mora se Optimalna putanja je A-D-E i ne mora se eksplicitno razmatrati putanja A-B-F-E.

46 A* algoritmi pretraživanja grafova Prema tome, bilo koja putanja mora prolaziti kroz čvor D, tako da spojne linije koje spajaju čvor B sa drugim čvorovima se eliminiraju iz grafa pretraživanja. Naravno, u gornjem primjeru algoritam nikad ne primjećuje ovo jer se čvor B nikad ne proširuje. Korištenje A* algoritma je posebno korisno kod grafova kreiranih iz pravilnih mreža, gdje je rezultat visoko povezani graf. Također je atraktivna njegova primjena u bilo kojem C-prostoru koji se može transformirati u graf. 46/59

47 A* algoritmi pretraživanja grafova Uovomslučaju je samo pitanje koliko mnogo računanja A* planer može obaviti kako bi pronašao putanju od početnog do ciljnog čvora. Ograničenje A* algoritma je daga je veoma teško koristiti za planiranje putanje gdje postoje i drugi faktori, osim udaljenosti između čvorova, koji se razmatraju u procesu generiranja putanje. Naprimjer, pravolinijska spojna linije može se protezati preko stjenovitih ili pješčanih terena koji mogu biti rizični za robota. Isto tako, robot nastoji izbjegavati kretanje uz brdo zbog uštede energija, a istovremeno se želi kretati niz brdo kad je god to moguće. 47/59

48 A* algoritmi pretraživanja grafova Ovisno o tome kakav je teren kojim prolazi robot, odnosno njegova funkcija cijene kretanja, potrebno je mijenjati heurističku funkciju h*(n). Pri tome se mora voditi računa da ova nova heuristička funkcija mora uvijek zadovoljavati uvjet prihvatljivosti h*(n) h(n). Ako novi h*(n) predstavlja najlošiji slučaj trošenja energije ili najlošije sigurnosti, on će biti prihvatljiv, ali neće biti od posebne koristi u reduciranju broja putanja. Također, smanjenje utroška energije kada se robot kreće niz brdo ima za posljedicu postojanje čvorova u grafu sa negativnim težinama kojim A* algoritam ne može rukovati. 48/59

49 A* algoritmi pretraživanja grafova U ovakvim situacijama se može koristiti Bellman-Ford odago algoritam pretraživanja peta a jagaa grafa. 49/59 Jedno od poboljšanja A* algoritma pretraživanja grafova je D* algoritam [Stentz, 1995] koji je sličan A* algoritmu, ali je dinamičan, to jest funkcija cijene koštanja spojnih linija se može mijenjati u toku postupka pronalaženja optimalne putanje od početnog do ciljnog čvora. Daljnje poboljšanje je D* fokusirani algoritam koji koristi heurističke funkcije za određivanje cijene prijelaza između dva stanja (cijena koštanja spojnih linija).

50 Dijkstra algoritam Dijkstra algoritam kao ulaz koristi težinski usmjereni graf G = (V, E) ) sa nenegativnim 50/59 + bridovima, težinsku funkciju w : E R, početnu tačku s i ciljnu tačku u, a kao izlaz daje podatke o najkraćoj putanji d[u] =δ(s, u) od početne do ciljne tačke. Princip na kome funkcionira Dijkstra algoritam je sljedeći: Definiran je skup vrhova S, čiji su elementi vrhovi za koje su već određene najkraće putanje od početnog vrha s. Ukoliko nije određena najkraća putanja niti za jedan vrh, tada je skup S prazanan skup.

51 Dijkstra algoritam Algoritam iterativno bira vrhove u, koji su elementi skupa V, a nisu elementi skupa S, u oznaci u ( V S), procjenjuje im najkraću putanju i dodaje ih skupu S. Ovo dodavanje se vrši tako što je svaki sljedeći vrh najbliži prethodnom vrhu. Zatim se vrši operacija relaksacije (otpuštanja) svih ivica koje izlaze iz vrha u i procjena novih najkraćih putanja do svih dostupnih vrhova. Relaksacija znači dasezasusjedne vrhove zadnje dodatog vrha računaju nove udaljenosti. Ako su one po vrijednosti manje od postojećih najkraćih, nova se vrijednost upisuje u niz preko stare. Ukoliko su veće, stara vrijednost se zadržava. Informacije o najkraćim udaljenostima i putanjama se čuvaju u prioritetnim redovima. 51/59

52 Dijkstra algoritam Algoritam se završava nakon što u skupu S budu svi čvorovi iz skupa V, a iz prioritetnih redova se kao rezultat daju informacije o najkraćoj udaljenosti i najkraćoj putanji. U općem slučaju vrijeme izvršavanja Dijkstra algoritma je O(n 2 ), gdje je n broj vrhova u skupu V, za rješavanja zadatka određivanja najkraćih putanja od jednog vrha s do svih ostalih vrhova iz skupa V. Ova je vrijednost određena na osnovu analize rada algoritma. Naime, svaka se nova minimalna udaljenost ubacuje u niz, što se izvrši za O(1) vremenskih trenutaka. 52/59

53 Dijkstra algoritam Računanje nove minimalne vrijednosti u nizu se izvršava u O(n) ( ) vremenskih trenutaka, jer se pretražuje cijeli niz, što rezultira konačnim vremenom izvršavanja od O(n 2 ). Na sljedećoj slici prikazana je procedura po kojoj se implementacijom Dijkstra algoritma određuje najkraća putanja od početnog vrha s do svih ostalih vrhova u grafu. Pod a) je prikazana situacija kada je skup S prazan. To je i označeno tako što svi vrhovi imaju oznaku, osimočiglednog rastojanja vrha od samog sebe. 53/59

54 Dijkstra algoritam 10 t x t x t x 54/ s s s y z y z y z (a) (b) (c) t x t x t x s s s y z y z y z (d) (e) (f)

55 Dijkstra algoritam U sljedećem koraku (b), skupu se dodaje vrh s, zatamnjeni vrh na slici, i to je prvi korak. Prema gore navedenoj proceduri vrši se relaksacija ivica i procjenjuju se udaljenosti početnog vrha do susjednih vrhova (w(s, t) = 10, w(s, y) = 5). Sličan proces se nastavlja sve dok u skupu S ne budu svi vrhovi iz skupa V. Interesantna situacija je promjena vrijednosti najkraće putanje do vrha x, u koracima c), d) i e). Naime, prvo je najkraća udaljenost iznosila 14, pa 13 i konačno 9 tokom pomenutih koraka, respektivno. Ova promjena je posljedica toga da su se dodavanjemd vrhova u skup S otkrile nove, kraće putanje, do konačne putanje s-y-t-x x, za vrh x. 55/59

56 Dijkstra algoritam Jedna od mogućih reprezentacija grafa sa prethodne slike je pomoću matrice susjedstva. 56/59 - s t x Y z s t x 0 4 y z 8 6 0

57 Usporedba Dijkstra i A algoritama U nastavku se prikazuje primjena Dijkstra i A u pronalaženju najkraće putanje od početne do ciljne lokacije mobilnog robota. Prostor pretrage, mapa prostora, predstavljen je poljem ( ) 256) ćelija, pri ćemu inicijalnoi ij svaka ćelija ima istu težinsku vrijednost. Slika je preuzeta iz Matlaba (Image Processing Toolbox) i nakon toga je konvertirana u metričku mapu. Ćelije bijele boje predstavljaju zauzete ćelije (prepreke), p asivećelije slobodni prostor. Početne i ciljne pozicije robota su tačke sa koordinatama (2,2) i (255,255). 57/59

58 Usporedba Dijkstra i A algoritama Rezultati sa Dijkstra (a) i A algoritmom (b). 58/59 (a) (b)

59 Usporedba Dijkstra i A algoritama Vremena pronalaženja najkraće putanje iznose sekundi kod Dijkstra algoritma ago a 59/59 i sekundi kod A algoritma. Prilikom pretrage korištenjem Dijkstra algoritma posjećeno je ćelije, a primjenom A algoritma posjećeno je ukupno ćelije. Prema tome A algoritam brže pronalazi optimalnu putanju od startne do ciljne pozicije mobilnog robota.

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

kretanja mobilnog robota

kretanja mobilnog robota Lekcija 12: Planiranje kretanja mobilnog robota Prof.dr.sc. Jasmin Velagić Elektrotehnički fakultet Sarajevo Kolegij: Mobilna robotika 2012/2013 12.1. Uvod Jedan od ključnih problema u mobilnoj robotici

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Prikaz sustava u prostoru stanja

Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

Preda d va v nje X 1

Preda d va v nje X 1 Predavanje X 1 Osnovne postavke teorije lokacije Merenje rastojanja u lokacijskim problemima Medijane mreže Algoritam za određivanje jedne medijane mreže Algoritam za određivanje jedne medijane orijentisane

Διαβάστε περισσότερα