OSNOVNE DEFINICIJE I OPŠTI PROBLEMI

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OSNOVNE DEFINICIJE I OPŠTI PROBLEMI"

Transcript

1 Poglavlje 1 OSNOVNE DEFINICIJE I OPŠTI PROBLEMI 1.1 Standardne elektromagnetne mašine Sve elektromagnetne mašine se mogu podeliti u dve osnovne grupe: elektro generatore i elektro motore. Elektro generator je mašina koja konvertue bilo koji tip mehaničke energije u električnu energiju. Vetrenjače koriste snagu vetra da bi okretale generator, hidroelektrane koriste snagu vodenog pada da okreću generatore, a nuklearne i termo elektrane pretvaraju toplotu u pritisak pare, koja onda okreće generator. Elektro motor radi suprotnu stvar od električnog generatora. On pretvara električnu snagu u mehaničku. Mehanička snaga se prenosi uglavnom uz pomoć rotacije rotora u motoru. Linearno kretanje se može napraviti uz pomoć transmisionog točka i sistema poluga Koeficijent efikasnosti Za svaku standardnu elektromagnetnu mašinu je definisan koeficijent efikasnosti mašine ε kao: ε = Izlazna energija / Ulazna energija (1.1) Gornji koeficijent je manji od 1 za standardne elektro magnetne mašine zbog raznih energetskih gubitaka. On obično iznosi od 50% do 70% za standardne generatore. Energetski gubici su uzrokovani vihornim strujama, histerezisnim gubicima u gvozdenim jezgrima, trenjem u ležajevima i između vazduha i pokretnog rotora. Histerezisni gubici su uzrokovani sa promenljivim ili pokretnim magnetnim poljem koje magnetizuje gvožđe u različitim pravcima. Atomi gvožđa se kreću kako bi se poravnali u pravcu magnetnog polja i zatim se sudaraju međusobno i tako zagrevaju gvožđe. Meko gvožđe, koje ne zadržava magnetizaciju posle ukidanja stranog magnetnog polja, ima male histerezisne gubitke u poređenju sa čelikom koji zadržava magnetizaciju i postaje stalni magnet posle uklanjanja 6

2 stranog magnetnog polja. Neke legure kao permaloj ili superaloj imaju manje histerezisne gubitke nego meko gvožđe. Vihorne struje su gubici uzrokovani sa promenljivim ili pokretnim magnetnim poljem koje indukuje električne struje u obližnjim žicama, gvozdenim jezgrima, šrafovima i klinovima u statoru i rotoru. Ove indukovane struje će stvoriti toplotu na isti način kao bilo koja struja, u provodnoj žici, usled prirodnog otpora supstance. One će takođe stvoriti magnetno polje suprotnog smera od magnetnog polja koje ih je indukovalo. Na ovaj način one će prouzrokovati otpor protiv promene magnetnog polja i ako je promena bila prouzrokovana kretanjem rotora, one će se suprotstavljati obrtanju rotora Minimizacija vihornih struja Da bi se minimizirali gubici usled vihornih struja svi provodni materijali kao što su gvozdena jezgra se laminiraju u električnim mašinama i transformatorima. Laminiranje ima istu svrhu kao i pravljenje provodne žice što tanjom i na taj način sa većim otporom kako bi se smanjila indukovana struja. U stvari, napon se indukuje pa ako supstanca ima veći otpor, onda će struja biti manja. Sledeća važna stvar potrebna da se zna je ponašanje metalne ploče koja prolazi blizu magneta. Iako je magnet stacionaran, njegovo polje će imati različitu jačinu u raznim pozicijama ploče i ova promena će indukovati vihorne struje u ploči. Vihorne struje će indukovati magnetno polje suprotnog smera, prema Lencovom zakonu, koje će imati tendenciju da zaustavi kretanje ploče. Dokaz ove činjenice je Fukovo klatno, kao na slici 1.1. Slika 1.1 7

3 Između polova elektromagneta je bila obešena bakarna ploča kojoj je bilo dozvoljeno da se njiše posle podizanja na izvesnu početnu visinu. Njihanje je trajalo dugo ako nije bilo struje u elektromagnetu, ali je brzo stalo kada je bila puštena struja kroz elektromagnet. Na slici 1.1 B su prikazane vihorne struje indukovane po Lencovom zakonu i koje imaju smer indukovanog električnog polja E. Magnetna sila F ima pravac suprotan od pravca kretanja ploče klatna sa brzinom v. Ova sila je uzrokovala brzo zaustavljanje njihanja klatna. Fuko je eksperimentisao sa prosecanjem proreza u ploči kao što se vidi dole na slici 1.2. Slika 1.2 On je pronašao da prorezi kao na slici 1.2 A, nisu produžili njihanje klatna koje je bilo pod uticajem magnetnog polja, ali su prorezi prikazani na slici 1.2 B produžili njihanje. Razlog je taj što su u drugom slučaju prorezi sekli put indukovanih vihornih struja koje su morale da se zatvore kroz užu površinu. Ova logika je ista kao kada bi povećali električni otpor žice sa smanjenjem njene površine porečnog preseka. Logika u slici 1.2 B se koristi u laminiranim transformatorima ili u jezgrima električnih mašina. Smanjenje vihornih struja znači smanjenje toplotnih gubitaka i kočenja rotora. Drugi način da se smanje vihorne struje je da se poveća električni otpor gvožđa sa dodavanjem do 4% silicijuma u gvožđe. Ovo povećanje električnog otpora neće smanjiti magnetnu provodnost mekog gvožđa. Transformatori za visoke frekvencije koriste materijale napravljene od gvozdenog praha izolovanog sa nekim otpornim lepilom ili smolom kao Epoksi. 8

4 1.2 Over juniti elektromagnetne mašine Bilo koja mašina koja daje više energije na izlazu nego što je dobila na ulazu se naziva Over juniti mašina. Njen koeficijent efikasnosti ε je veći od 1. Postojanje takve mašine je strogo opovrgavano od strane zvanične nauke jer izgleda da takve mašine narušavaju zakon konzervacije energije koji je poznat kao Prvi zakon termodinamike. O tom problemu će biti više reći kasnije. Glavna tema ove knjige su over juniti mašine koje koriste jake stalne magnete. Postoje tri važne činjenice koje kvalifikuju magnete za korišćenje u konstrukciji over juniti mašina: Prva važna činjenica je da stalni magnet ne gubi svoj magnetizam ako se feromagnetni material kao gvožđe prinese ili skloni iz njegove blizine. Druga važna činjenica je prirodno privlačenje stalnog magneta i feromagnetne supstance. Treća važna činjenica je da feromagnetna supstanca može da se koristi kao štit da zaustavi uticaj magnetnog fluksa izvan štita. Štit je možda pogrešna reč jer feromagnetna supstanca će u stvari privući i voditi linije magnetnog polja u željenom pravcu. Iako je prva činjenica najvažnija za konstrukciju over juniti mašine, mi smo se navikli na nju da više ni ne mislimo o njoj. Druga činjenica je od velike važnosti za over juniti magnetne motore a treća činjenica za over juniti elektro generatore. Glavno pitanje za over juniti motore je kako da se prekine privlačenje gvožđa i magneta u odgovarajuće vreme, da bi se dozvolilo rotoru da prođe do sledećog pola statora. Glavno pitanje za over juniti generatore je kako da se štit pomera periodično na takav način da to ne košta više energije nego što daje sa svojim periodičnim kretanjem koje uzrokuje promenu fluksa i indukovanje napona Over juniti koeficijent Opšti pogled je da ako je koeficijent efikasnosti ε veći od 1 da se mašina nalazi u over juniti stanju zato što vraća više energija nego što prima. Iako je gornja izjava korektna, ona nije kompletna. Mašina može da se nalazi u over juniti stanju i kad koeficijent efikasnosti ε nije veći od 1. To će se desiti ako mašina ima malo kočenje kada se uključi potrošač na izlaznoj strani, a mašina je loše konstruisana i ima dosta gubitaka. Na primer ako ima dosta praznog mesta između magneta i gvozdenog jezgra kalema, gvozdena jezgra nisu laminirana, istrošeni ležajevi, itd. Međutim, ako bi se takva mašina mogla 9

5 modifikovati da radi kao standardna mašina onda bi njen koeficijent efikasnosti bio niži nego u over juniti stanju. Autor će predložiti da se over juniti koeficijent η definiše kao: η = Izlazna energija / (Ulazna opterećena Ulazna prazna) (1.2) gde je Ulazna opterećena ulazna energija potrošena kad je priključen potrošač koji koristi izlaznu energiju sistema, a Ulazna prazna je ulazna energija potrošena na gubitke u sistemu kada potrošač ne koristi izlaznu energiju i izlazno kolo je otvoreno. Formula (1.2) će dati veliki over juniti koeficijent ako su obe ulazne energije slične, bez obzira kolika je izlazna energija. Ako su obe ulazne energije skoro iste to bi značilo je kočenje usled potrošnje energije na izlazu minimalno i da je over juniti koeficijent ogroman. Međutim, za praktično korišćenje bilo koje mašine koeficijent efikasnosti ε je takođe važan. Bilo bi loše ako bi ε bilo malo čak i kad bi η bilo veliko. Takve mašine bi bile dobre za naučne eksperimente a nekorisne u praksi Generator - motor funkcionalna zamena Poznata je činjenica da standardni elektro generator takođe može da radi kao motor ako se dozvoli da električna struja teče kroz izlazne namotaje. Ova činjenica nije tačna za over juniti elektro generatore. Razlog je očigledan. Da bi se mašina kvalifikovala za titulu over juniti elektro generator, ona mora biti dizajnirana na takav način da nema velikog kočenja usled Lencovog zakona tj. opozicionih magnetnih sila. Prosto rečeno, izlazna strana ne sme da mnogo utiče na ulaznu stranu. Na taj način ulazna strana neće osećati kočenje od izlazne strane i neće biti potrebno ulagati dodatnu energiju na ulazu da bi se savladalo kočenje i mašina radila normalno, sa opterećenjem na izlazu. Ako bi se tada dozvolilo da električna struja teče kroz izlazo kolo, na primer stator, onda magnetno polje statora neće imati mnogo uticaja na ulaznu stranu, rotor, i terati ga de se obrće. To znači da svaki dobar over juniti elektro generator mora biti loš elektro motor. Potrebno je takođe primetiti da su neki pronalazači napravili specijalno kolo sa vremenskom logikom da naizmenično uključuje jedao deo mašine da radi kao over juniti generator a drugi deo kao elektro motor. Međutim, ta logika ne menja gornji zaključak. 10

6 1.3 Kočenje usled uzajamnog privlačenja magneta i gvožđa Standardni elektro generator je pogonjen sa spoljnom mehaničkom energijom a standardni elektro motori se oslanjaju na uzajamno privlačenje ili odbijanje dva magnetna polja, jednog na statoru a drugog na rotoru. Uzajamno privlačenje magneta i gvožđa nije uzeto u obir zbog sledeće činjenice. Kada magnet na rotoru prilazi gvozdenom jezgru kalema na statoru on će biti privučen i primiti izvesnu kinetičku energiju. Kada magnet pokušava da napusti gvozdeno jezgro njegovo kretanje će biti kočeno zbog uzajamnog privlačenja i on će iskoristi svu primljenu kinetičku energiju da bi mogao da napusti jezgro. Međutim, ovo je tačno samo za velike brzine rotora. Ako je kretanje rotora sporo, magnet će zgrabiti gvozdeno jezgro statora sa svojim poljem i ostati tamo. Tada će biti teško da se rotor natera da nastavi rotaciju, naročito ako je gvozdeno jezgro statora masivno i ima veliku širinu. Zato što svaki over juniti generator mora da se pogoni sa motorom potrebno je da taj motor ima manju snagu od generatora. Snažniji motor će imati veće gubitke i ako ne koristi svoj puni kapacitet onda će koeficijent efikasnosti sistema motor-generator biti manji. Ako postoji magnetno kočenje u over juniti generatoru, onda će biti potrebno da snažan motor pokrene obrtanje rotora generatora do njegove operativne brzine. Onda bi bilo korisno da se uključi manji motor da pogoni generator a da se isključi jači. Umesto korišćenja dva motora sa prekidačkom logikom bolje je da se konstruiše generator sa manjim magnetnim kočenjem. Mi ćemo demonstrirati oba tipa generatora, jedan sa jakim magnetnim kočenjem i drugi sa manjim magnetnim kočenjem. Dole na slici 1.3 je generator sa parnim brojem gvozdenih jezgara na statoru i parnim brojem magnetnih polova na rotoru. Slika

7 Očigledno je da rotor u poziciji kao na slici 1.3 A ima jako kočenje na oba pola. Kada magnet dođe u horizontalni položaj kao na slici 1.3 B, kočenje će biti značajno smanjeno. Na slici 1.4 je prikazan generator sa neparnim brojem gvozdenih jezgara na statoru i parnim broj magnetnih polova na rotoru. Slika 1.4 Kada su magnetni polovi rotora u poziciji 1 sa slike 1.4 A, magnetno kočenje će postojati samo na gornjem polu magneta. Kočenje na donjem polu će biti balansirano između dva gvozdenog jezgra. Kada magnetni polovi dođu u poziciju 2 na slici 1.4 B, kočenje će postani nula zato što su oba pola delimično u gvozdenim jezgrima i zatezanje rotora od strane magnetnih sila će poništiti jedno drugo. Isti slučaj je za poziciju 4. Pozicije 3 i 5 su iste kao i pozicija 1. Jako kočenje će postojati samo za jedan pol magneta. Gornja logika slabog kočenja bi bila potpuno ispravna ako bi gornji generator imao četiri magnetna pola na rotoru ili pet gvozdenih jezgara na statoru, ili oboje. Važno je primetiti da broj gvozdenih jezgara i magnetnih polova ne mogu oba biti parna. Ako bi generator sa slike 1.3 imao četiri pola i na rotoru i na statoru, onda bi, kada se polovi rotora nađu ispod polova statora, kočenje postojalo za sva četiri pola i bilo bi jako teško da se rotor pokrene i izađe iz te pozicije. 12

8 1.4 Termodinamika i over juniti Kao što je već rečeno, službena nauka ne priznaje postojanje bilo kakve over juniti mašine zato što bi to narušilo postojeće zakone termodinamike. Ovde ćemo razmotriti prva dva od četiri zakona termodinamike. Prvi zakon tvrdi da u svakom procesu u izolavanom sistemu, totalna energija ostaje ista. Energija se ne može niti stvoriti niti uništiti. Ona samo može da promeni svoj oblik. Drugi zakon tvrdi da prirodni spontani procesi generalno povećavaju entropiju, ili u drugačije rečeno da toplota može spontano da se sprovodi ili zrači samo sa regiona više temperature prema regionu niže temperature, a nikako obnuto. Potrebno je takođe primetiti da je energija definisana kao sposobnost fizičkog sistema da izvrši rad nad drugim fizičkim sistemom Problemi u prvom zakonu termodinamike Prvi problem u ovom zakonu je definicija zatvorenog odnosno izolovanog sistema. Zakon konzervacije energije je dobro definisan za toplotne mašine kao što su parne mašine gde je lako izolovati sistem. Savremena nauka je potpuno svesna atomske energije mase, raznih kosmičkih i sunčanih zračenja a i stara ideja o kosmičkom eteru je postala ponovo popularna iako prerušena kao Tamna energija ili Super energija. Uticaj gravitacije se takođe oseća svuda i nijedan sistem se ne može izolovati od nje a jedva od gore pomenutih uticaja. Kada kažemo da je mašina over juniti mašina to ne znači da prvi zakon termodinamike mora da se naruši. To znači da mi ne znamo odakle dodatna energija dolazi. To takođe znači da takav sistem nije izolovan. Drugi problem je sukob između definicije energije i drugog zakona termodinamike koji kaže da je termalna smrt univerzuma neizbežna. Ako sva tela u univerzumu dostignu termalnu ravnoteža i ne mogu izvršiti nikakav rad, onda prema sadašnjoj definiciji energije kao sposobnosti tela da izvrši rad, to bi značilo da je energija izgubila svoju sposobnost i kao takva ona više ne postoji. Praktično, energija je umrla ili nestala. Isti problem postoji i sa kinetičkom energijom tela koja se kreću istom brzinom. Putnik koji sedi u vozu se kreće istom brzinom kao i voz pa za spoljnog posmatrača i putnik i voz imaju kinetičku energiju proporcionalnu njihovim masama. Međutim nepokretni putnik ne može da izvrši nikakav rad u vozu. Ako bi se sva tela u univerzumu kretala istom brzinom, nikakav rad se ne bi mogao izvršiti iako bi sva tela imala kinetičku energiju. I u tom slučaju energija bi izgubila svoju sposobnost da izvrši rad. 13

9 Treći problem je nepoznat izvor energije. Mi ćemo to demonstrirati na primeru zatvorenog sistema sa dve planete sa masama M 1 i M 2 i jednim probnim telom sa masom m koje je na rastojanju r od centra planeta. Dve planete su na rastojanju d koje je mnogo veće od r i gravitacija druge planete ne može da utiče na probno telo koje je blizu prve planete i obrnuto. Međutim, zato što planete imaju veliku masu one utiču jedna na drugu sa privlačnim gravitacionim silama kao na slici 1.5. Slika 1.5 Izračunaćemo potencijalnu energiju probnog tela m za obe planete kao Ep1 i Ep2, kao na slici 1.5 A. Totalna energija u sistemu je suma potencijalnih energija probnog tela za obe planete. Posle nekog vremena, usled delovanja privlačnih sila F12 i F21, planete će se sudariti i napraviti jedno telo sa masom M3 koja je jednaka sumi masa od obe planete, kao na slici 1.5 B. Potencijalna energija za probno telo Ep3, će biti ista kao totalna energija sistema na slici 1.5 A. Pitanje je odakle je došla kinetička energija planeta u pokretu pre sudara? Lako se može reći da su gravitacione sile F12 i F21 izvršile rad, ali to nije dovoljno. Poznato je da kad se dve bilijarske kugle sudare i druga kugla poveća svoju brzinu da prva mora da smanji svoju brzinu, jer je predala deo svoje kinetičke energije drugoj kugli. Pravo pitanje je odakle je došla kinetička energija pokretnih planeta pošto se potencijalna nije menjala. Pošto u formula za gravitacionu silu postoje dve mase, jedini odgovor je da se deo mase transformisao u kinetičku energiju, ili je energija došla spolja, od etera ili Energije nulte tačke. Isto pitanje je važi za bilo koje telo koje pada dole na Zemlju. Da li je Zemlja transformisala deo svoje mase da bi izvršila rad uz pomoć svog gravitacionog polja, ili nije? U to je teško poverovati jer bi to značilo da kada god podignemo neko telo sa tla naviše, nova masa bi se stvorila u Zemlji od uložene energije naših mišića. Isto pitanje važi ako bi ponovili gornji eksperiment, ali 14

10 umesto planeta upotrebili dva stalna magneta. Autor veruje da je energija došla spolja. Istu ideju je razvijo Nikola Tesla u svojoj Dinamičkoj teoriji gravitacije 2. "Moje drugo otkriće je fizička istina od najveće važnosti. Pošto sam pretraživao celokupnu naučnu literaturu na više od pola tuceta jezika za dugo vremena i nisam našao ni najmanji nagoveštaj, smatram sebe originalnim pronalazačem ove istine koja se može izraziti sa tvrdnjom: Nema druge energije u materiji osim one koju je primila od okoline." Nikola Tesla Više će biti rečeno o problemu sa gravitacijom u poglavlju Problemi u drugom zakonu termodinamike Posledica drugog zakona termodinamike je toplotna smrt univerzuma. Razlog je taj što prilikom izvršenja bilo kakvog rada izvesna količina energije se troši na toplotne gubitke. Na kraju će sva mehanička energija da se transformiše u toplotnu. Kada svi sistemi dođu na istu temperaturu nijedan rad se više neće moći izvršiti. Toplotna pumpa kao frižider ne može da radi bez spoljne energije. Postoji nekoliko problema sa drugim zakonom termodinamike: Prvi smo već diskutovali i to je sposobnost energije da izvrši rad. Sledeće pitanje je poreklo univerzuma. Ako je univerzum beskonačan, bez početka, onda on nema kraja inače bi se već davno istrošio i umro. Ako je on imao početak, pitanje je da li početak znači stvaranje energije i mase ili ne? Ako ne, onda je sledeće pitanje šta je bilo pre? Ako je univerzum neograničen on se onda definitivno ne može izolavati da bi se na njega primenili zakoni termodinamike. Postoje dva izuzetka za drugi zakon, jedan za gasove i drugi za vodu. Poznato je da ako postoji samo jedan izuzetak onda se zakon ne može prihvatiti kao univerzalni zakon. Prvi izuzetak je pronašao Čarls P. Štajnmec 3 i autor će objasniti njegovu osnovnu ideju dole. Drugi izuzetak je otkrio Viktor Šauberger. Sledeći problem je pretvaranje toplotne energije u drugi tip energije i odlaganje termičke smrti univerzuma. Poznato je da se mnogi hemijski procesi brže odvijaju na višoj temperaturi kao i da se električni akumulatori i baterije bolje ponašaju na višoj temperaturi. Ovde ćemo objasniti toplotnu mašinu od Nitinola i električnu bateriju od Grafena. 2 Teslina dinamička teorija gravitacije, tačnije njeni delovi iz štampe, se mogu naći na sajtu 3 Charles P. Steinmetz je bio glavni inženjer u Dženeral elektrik kompaniji. On je došao u Ameriku iz Nemačke i prvi izračunao histerezisne gubitke u električnim mašinama. On je objasno problem sa drugim zakonom termodinamike u svom radu: DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE I SMRT ENERGIJE, SA PRIMEDBAMA NA TERMODINAMKU ATMOSFERE. 15

11 Problem sa gasovima Toplotna energija uzorka gasa koji se sastoji od N atoma je data kao suma atomskih kinetičkih energija, pod pretpostavkom da nema gubitaka u posudi. U 1 3 N m v 2 = N k T thermal 2 2 = (1.3) gde linija na brzini v označava prosečnu brzinu velikog uzorka gasa. Totalna toplotna energija uzorka je proporcionalna makroskopskoj temperaturi T sa konstantnim faktorom, uzimajući u obzir tri translaciona stepena slobode koji ima svaka čestica, kao i Bolcmanovom konstantom k. Potrebno je primetiti da je temperatura T makroskopska veličina i da je proporcionalna sa prosečnom kinetičkom energijom svih atoma u posudi sa uzorkom gasa. Prema drugom zakonu termodinamike, kada se dvema izolovanim gasnim posudama, svakoj u svojoj termičkoj ravnoteži, dozvoli da u određenom vremenu utiču jedna na drugu, prekidanjem izolacije koja odvaja dve poside, one će konačno dostići uzajamnu termodinamičku ravnotežu. Praktično njihovi molekuli će se sudarati i razmenjivati energiju. Neki će izgubiti energiju, neki će dobiti a neki će imati istu. Međutim, pošto temperatura predstavlja prosečnu kinetičku energiju, očigledno je da će temperatura obe posude postati ista tj. prosečna kinetička energija svih molekula u obe posude će biti ista. Sledeća stvar koju je potrebno primetiti je da ako želimo da toplota teče od niže temperature ka višoj temperaturi (suprotno drugom zakonu termodinamike) to znači da postoji odvajanje bržih molekula od sporijih. Onda ćemo imati dva sistema, jedan sa sporim molekulima i nižom temperaturom i drugi sa bržim molekulima i višom temperaturom. Poslednji će rasti ako budemo nastavljali sa odvajanjem molekula. Prema drugom zakonu termodinamike, nemoguće je da se taj proces desi spontano, sam po sebi. Međutim, takvi procesi se dešavaju u našoj atmosferi i bilo kojoj atmosferi drugih kosmičkih tela. Odvajanje je prouzrokovano sa gravitacijom kosmičkog tela. Gravitacija drži atmosferu zakačenu za pokretnu planetu. To znači da ona utiče na kretanje molekula vazduha. Samo molekuli sa kinetičkom energijom i brzinom većom od kritične, od 11 km/sec, mogu napustiti Zemlju. Čarls Štajnmec je izračunao da takvi molekuli imaju temperaturu od stepeni Celziusa. To znači da toplota teče od 10 C, koja je prosečna temperatura planete, ka regionu od C. Treba primetiti da prazan prostor nema temperaturu, pošto je temperatura svojstvo materije u prostoru. Sledeća stvar koju je potrebno primetiti je da su se svi takve molekuli, koji su bili u mogućnosti da napuste planetu, kretali u jednom pravcu, nagore. Znamo 16

12 da temperatura predstavlja samo kinetičku energiju čestica sa haotičnim kretanjem. Ako se molekuli kreću samo u jednom pravcu, onda njihova kinetička energija predstavlja mehaničku energiju. Primer je kretanje gasa ili vode u cevi. To znači da je gravitaciona sila pretvorila toplotnu u mehaničku energiju. Vazduh na našoj planeti nije nikad u ravnoteži. Ako bi bio u ravnoteži onda prema adiabatskom zakonu, naša atmosfera bi bila samo 29 km debela, na čijoj granici bi vazdušni pritisak, gustina i temperatura bili nula. Međutim, naša atmosfera je mnogo deblja. Potrebno je takođe primetiti da termičko zračenje Sunca nije jedini uzrok kretanja vazduha. Molekuli koji se kreću nagore gube brzinu i temperaturu. Molekuli koji se kreću naniže dobijaju brzinu i temperaturu zbog gravitacije. Na ovaj način, ravnoteža je nemoguća u našoj atmosferi. Naša planeta se takođe okreće oko svoje ose. Znamo takođe da je Mesec u stanju da pokreće vodu i uzrokuje plimu i oseku. Da li on utiče i na vazduh koji je lakši od vode? Autor veruje da utiče. To znači da ravnoteža i termalna smrt nije moguća na našoj planeti Problem sa vodom Interesantna stvar da se spomene ovde je pronalazak Viktora Šaubergera 4. On je istraživao reke i pronašao da postojanje virova u reci, u pravcu rečnog toka, održava reku hladnom i slobodnom od nezdravih mikroba. On je iskoristio tu činjenicu da virovi sisaju toplotu i razvio Implozivnu tehnologiju. On je izumeo specijalnu vodenu cev koja stvara virove, odnosno turbulenciju unutra, i koja povećava brzinu vode i smanjuje trenje. Njegova spiralna helikoidna bakrena cev smanjuje trenje na nulu ili čak i niže. Rezultat nezavisnog testa koji je zatražen od nemačke vlade u godini a izvršen od profesora Franca Popela sa Šutgartskog tehničkog univerziteta, je bio da drugi zakon termodinamike nije važio u ovom slučaju. Implozivna tehnologija je komplementarni deo sadašnjoj Eksplozivnoj tehnologiji, koja se oslanja na sagorevanje goriva. Prva je hladna, a druga vruća tehnologija. Ove dve su komplementarne kao kineska ideja o Yin i Yang energijama, ili kao trouglasti simboli vode i vatre u Davidovoj zvezdi. Izgleda da se drevni sveštenici bili mudriji i bili svesni obe strane stvarnosti od današnjih sveštenika termodinamičke religije, koji propovedaju termalnu smrt univerzuma. 4 Viktor Schauberger je poznat kao Vodeni čarobnjak. On je otac Implozivne tehnologije. Jedan od njegovih pronalazaka je leteći tanjir nazvan Repulzina. Detalji o njegovom radu se mogu naći u knjizi: Hidden Nature od Alika Bartolomeja ili Living Energies od Kaluma Koutsa. 17

13 Pretvaranje toplotne energije u drugi tip energije Prvo ćemo proučiti prevaranje toplotne energije u mehaničku uz pomoć Nitinola 5 a zatim u električnu uz pomoć Grafena. Nitinol je legura Nikla i Titanijuma sa podjednakim brojem atoma od oba metala. Iako je prvi put proizveden još davne godine napori za komercijalnu upotrebu su počeli desetak godina kasnije a stvarna upotreba je počela posle godine kada su rešeni problemi komercijalne proizvodnje koja je još uvek skupa. Razlog skupe proizvodnje je što Nitinol nije obična smeša dva metala već je to intermetalna smeša gde svi atomi imaju pravilan raspored u kristalnoj rešetki. Na višoj temperaturi (dovoljna je vruća voda od 80 0 C) kristalna rešetka ima prostu kubnu strukturu a na nižim temperaturama (sobna temperatura) složeniju monokliničku strukturu. Kada se žica ili neki drugi predmet od Nitinola deformiše na nižoj temperaturi pa zatim polije vrućom vodom on će se vratiti u prvobitni oblik. Ta osobina se naziva memorija oblika. Da bi se sprečilo vraćanje u provobitni oblik porebno je primeniti veliku silu. Na višoj temperaturi od transformativne temperature Nitinol ima osobine superelastičnosti, jer je elastičniji 10 do 30 puta od drugih metala. Već je proizvedeno nekoliko mašina koje vrše mehanički rad uz pomoć deformisane žice od Nitinola koja se naizmenično kreće kroz vruću i hladnu vodu i menja svoj oblik, odnosno isteže se i skuplja 6. To znači da ova legura direktno pretvara toplotu u mehaničku energiju. Za praktične svrhe se može koristiti nepotreba toplota gubitaka nastalih usled fizičkog trenja, električne otpornosti i slično. Iako je za rad mašina od Nitinola potrebno imati dva rezervoara sa različitom temperaturom, što je potpuno u skladu sa zakonima termodinamike, ipak takve mašine smanjuju toplotne gubitke u okolini i odlažu termičku smrt univerzuma. Za rad električnih akumulatora i baterija nisu potrebne dve temperature, jer se njihov kapacitet povećava u toplijem okruženju što znači da one manje ili više direktno pretvaraju toplotu u hemijsku energiju. Odličan primer takve baterije je nova baterija od Grafena koja je izmišljena u Politehničkom univerzitetu Hong Konga 7. Grafen je traka sa slojem ugljenika debelim jedan atom. Sa oba kraja trake se nalaze elektrode, jedna od zlata a druga od srebra. Ceo sistem je 5 Za informacije o Nitinolu pogledati internet sajt: 6 Za detalje pogledati snimak na ju-tjubu: 7 Za informacije pogledati internet sajt: 18

14 uronjen u rastvor bakar hlorida. Joni bakra udaraju u traku sa Grafenom i izbacuju elektrone iz Grafena. Oslobođeni elektroni, umesto da se kombinuju sa pozitivnim jonima bakra, putuju brže kroz traku Grafena i stvaraju električni napon od 1/3 V. Napon se može povećati sa povišenjem temperature rastvora ili ubrzavanjem jona bakra pomoću ultra zvuka. Iako je ova tehnologija još uvek u razvoju ona ima veliki značaj u direktnom pretvaranje termalne energije haotičnog kretanja jona u električnu energiju. Značaj je utoliko veći što nisu potrebna dva rezervoara različite temperature, pa bi ovaj izum radio i u termički mrtvom univerzumu. Ukoliko se prihvati činjenica da se toplota može ponovo koristiti kao kinetička energija onda je jedina opasnost za smrt unverzuma povišenje potencijalne energije, a ne toplote. Primer je udar tela koje pada na zemlju. Toplotu možemo reciklirati ali deformisanu masu ne možemo. Deformacija mase je povećala potencijalnu energiju atoma u kristalnoj rešetki i autor ne vidi kako bi se mogla ta zarobljena energija ponovi iskoristiti. 19

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Električne struje. Električne struje. Električne struje. Električne struje

Električne struje. Električne struje. Električne struje. Električne struje Električna struja (AP47-5) Elektromotorna sila (AP5-53) Omov zakon za deo provodnika i otpor provodnika (AP53-6) Omov zakon za prosto električno kolo (AP6-63) Kirhofova pravila (AP63-66) Vezivanje otpornika

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam

Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam (AP301-302) Magnetno polje dva pravolinijska provodnika (AP312-314) Magnetna indukcija (AP329-331) i samoindukcija (AP331-337) Prvi zapisi o magentizmu se nalaze još u starom veku: pronalazak rude gvožđa

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNE MAŠINE Sinhrone mašine

ELEKTRIČNE MAŠINE Sinhrone mašine ELEKTRIČNE MAŠINE Sinhrone mašine Uvod Sinhrone mašine predstavljaju mašine naizmenične struje. Koriste se uglavnom kao generatori električne energije naizmenične struje, te stoga predstavljaju jedan od

Διαβάστε περισσότερα

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα