KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola."

Νατάσσα Κολιάτσος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda grafik funkcije vrednosti promenljive X.. Napravićemo tablicu za neke X Y Za ( ) Za ( ) Za ( ) Za

2 Za Za Za, 9 Ovaj grafik će nam uvek služiti kao početni. Šta se dešava ako ispred broj? Naučimo sad grafik a Razlikovaćemo situacije: a > 0 i a < 0 za a > 0 ima neki Ovde je parabola okrenuta otvorom nagore. Šta se dešava ako je a > i 0 < a <? a > U odnosu na početni grafik, ovaj grafik a se sužava Primer X Y 0

3 Što je broj a veći to je grafik uži!!! U odnosu na početni grafik 0 < a <, ovaj grafik Primer a se širi X Y 9 0 Primer

4 9 _ Što je broj a bliži nuli, grafik je širi!!! Za a < 0 Ovde je parabola okrenuta otvorom nadole. Početni grafik je. On izgleda. X Y

5 Opet ćemo razmotriti situacije: U odnosu na početni grafik a se sužava ako je a<- Primer X Y

6 < a < 0 U odnosu na početni grafik grafik a se širi X Y _ Dobro, ovo za sad nije bilo ''mnogo opasno'' Naučimo sada da pomeramo finkciju duž - ose. Posmatrajmo grafik: a + β Prvo nacrtamo grafik funkcije a taj grafik pomeramo duž -ose i to: 6

7 ) Ako je β pozitivan podižemo grafik, odnosno pomeramo ga u pozitivnom smeru -ose. ) Ako je β negativan, spuštamo grafik, odnosno pomeramo ga u negativnom smeru -ose Evo par primera: Primer : + Prvo nacrtamo grafik pomeranjem (translacija) Primer : Znači, najpre nacrtamo grafik (transplatorno pomeranje), Zatim taj grafik podignemo za +, paralelnim. Potom taj grafik spustimo za - duž -ose 7

8 Nadam se da smo i ovo razumeli, jel tek sad ide ''prava stvar''. Naučimo da pomeramo funkciju i duž X-ose. Posmatrajmo funkciju: Pazi: ( α) Ako je α to znači da funkciju pomeramo za α po -osi Udesno. Ako je +α to znači da finkciju pomeramo za α po -osi Ulevo Ništa bez primera: Primer : ( ) Znači pomeramo funkciju ulevo za

9 Primer : ( + ) Znači pomerimo funkciju ulevo za - Sada imamo znanje da nacrtamo ceo grafik funkcije a + b + c. Najpre moramo funkciju pomaže formula: a + b + c svesti na takozvani kanonski oblik. Tu nam 9

10 a + b a ac b + a ili ovako uvedemo da je: b ac b α i β tj. a a oblik Tačka T ( α, β ) je teme parabole. D β dobijamo: a( α ) + β kanonski a Dakle: (važno ovo je postupak) Datu funkciju a + b + c najpre svedemo na kanonski oblik Nacrtamo grafik funkcije a Izvršimo pomeranje (translarne) duž ose za α Izvršimo pomeranje (transliranje) duž -ose za β a( α ) + β Primer : Nacrtaj grafik funkcije: Svedemo je na kanonski oblik: a b 6 c 5 b 6 α a ac b 5 ( 6) β a a( α) + β ( ) + ( ) ( ) Najpre nacrtamo a, odnosno 0

11 Sada ucrtamo grafik ( ), odnosno vršimo pomeranje za ulevo I najzad ucrtamo ( ) tako što grafik ( ) spustimo za nadole

12 9 (-) (-) - - Ceo ovaj postupak je dosta zamršen a nije baš ni mnogo precizan. Evo kako ćete mnogo brže i preciznije nacrtati grafik a + b + c bez svodjenja na kanonski oblik i pomeranja : Naš grafik će u zavisnosti od a (broja uz sledećih 6 grafika: ) a > 0, D > 0 ) i diskriminante D b ac biti jedan od F-ja seče X-osu u i < 0 za (, ) > 0 za (, ) (, ) F-ja ima minimum u temenu T ( α, β ) F-ja raste za ( α, ) F-ja opada za (, α)

13 ) a > 0, D 0 F-ja je definisana za R F-ja seče -osu u 0, R F-ja ima minimum u T (α,0) F-ja raste za ( α, ) F-ja opada za (, α) ) a > 0, D < 0 F-ja je definisana za R F-ja ne seče X- osu (, su konjugovano -kompleksni brojevi. > 0, za R F-ja ima minimum u T ( α, β ) F-ja raste za ( α, ) F-ja opada za (, α) ) a < 0, D > 0 F-ja je definisana R F-ja seče X- osu u, < 0 za (, ) (, ) > 0 za (, ) F-ja ima minimum u T ( α, β ) F-ja raste za ( α, )

14 F-ja opada za (, α) 5) a < 0, D 0 F-ja je definisana R F-ja seče X- osu u 0, R F-ja ima minimum u T (α,0) F-ja raste za (, α) F-ja opada za ( α, ) 6) a < 0, D < 0 F-ja je definisana R F-ja ne seče X- osu (, su konjugovano -kompleksni brojevi) < 0, za R F-ja ima maimum u T ( α, β ) F-ja raste za (, α) F-ja opada za ( α, ) Postupak ) Najpre odredimo a,b,c i nadjemo diskriminantu D b ac ) Tražimo, D > 0, D 0, D < 0, Ne ma, b ± D (ako ima) a

15 ) U zavisnost od znaka broja a zaključujemo da li je parabola okrenuta otvorom nagore ili na dole, tj: D > 0 Smeje se D < 0 Mršti se ) Parabola uvek seče -osu u broju c b D 5) Nadjemo teme T ( α, β ) α, β a a T ( α, β ) je ma ako je a < 0 T ( α, β ) je min ako je a > 0 6) Konstruišemo grafik Primer : Nacrtaj grafik funkcije (ovo je ista funkcija koju smo crtali svodjenjem na kanonski oblik i pomerili duž i ose, pa da vidimo koji će nam postupak biti jasniji) ) a b 6 c 5 D b ac ( 6) ) b ±, a 5 D 6 ± ) ) a > 0 okrenuta otvorom na gore (smeje se) -osu seče u c5 5) 5

16 T ( α, β ) b 6 α a D 6 β a T (, ) min 6) Grafik: sami odlučite koji način konstrukcije grafika vam je lakši Primer : Nacrtati grafik finkcije ) 6

17 D c b a ) 7 7, ± ± ± a D b ) < 0 a okrenuta otvorom na dole (mršti se) ) presek sa -osom je c6 5) ), ( β α T a b α a D β,6 T

18 Primer : Skicirati grafik funkcije: + Prešnje: Pošto < 0., 0, odavde ćemo morati grafika, jedna za 0 i jedan za, < 0 + za 0 + ) a, b, c D b ac 6 )

19 ±, ) ) 5) a > 0 smeje se presek sa -osom je u T ( α, β ) b α a D β a T (, ) + za < ) ) ) a, b, c D b ac 6 ±, a > smeje se 9

20 ) 5) presek sa osom je u T ( α, β ) b α a D β a T (, ) Primer : Dat je skup funkcija f ( ) a c gde su a i c realni brojevi. Iz tog skupa odrediti onu funkciju koja ima nulu 6 i čiji grafik sadrži tačku M (, ), zatim proučiti promene i konstruisati grafik dobijene funkcije. f ( ) a c f () 0 f () 7 f ( ) Napravićemo sistem jednačina. Kako. f () 0 to nam kaže da umesto X pišemo a umesto f () nulu. Slično i za f ( ) 7 i f ( ) 0

21 Postupak rešavanja ovog sistema je detaljno opisan u delu sistemi jednačina (pogledaj) Pomnožimo prvu jednačinu sa (-) I saberemo sa trećom!!! b b Vratimo ovo u prve dve. ) ( + f c a ) ( ) ( 7 c b a c b a c b a a

Σχετικά έγγραφα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako