ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8
Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων (και επο- µένως η οπτική επεξεργασία σήµατος και εικόνας) και η ολογραφία, βρίσκονται ανά- µεσα σ ένα µεγάλο πλήθος οπτικών εφαρµογών που συνδέονται άµεσα µε ένα βασικό τµήµα της µοντέρνας οπτικής: την οπτική Fourier. Η οπτική Fourier περιγράφει τη διάδοση του φωτός κατά µήκος οπτικών συστηµάτων, χρησιµοποιώντας ανάλυση Fourier. Σύµφωνα µε τη θεωρία Fourier, κάθε σήµα ή οπτική απεικόνιση µπορεί να εκφραστεί ως άθροισµα άπειρων ηµιτονοειδών κυµάτων (συναρτήσεων). Ειδικά στην περίπτωση της οπτικής απεικόνισης, αυτά τα ηµιτονοειδή κύµατα δεν είναι τίποτε άλλο παρά µεταβολές της φωτεινότητας σ όλη την έκταση της εικόνας. Βασικά στοιχεία ενός τέτοιου κύµατος είναι η χωρική συχνότητα, το πλάτος και η φάση. Η χωρική συχνότητα είναι η συχνότητα του κύµατος κατά τη διάδοσή του στο χώρο. ο πλάτος αντιστοιχεί στην αντίθεση ή διαφορά µεταξύ των ακραίων τιµών σκοτεινού φωτεινού της εικόνας, ενώ η φάση περιγράφει τη µετατόπιση της θέσης του κύµατος, σε σχέση µε την αρχική. Η λειτουργία εποµένως ενός οπτικού συστήµατος απεικόνισης συνίσταται στην κωδικοποίηση των παραπάνω παραµέτρων και τη µεταφορά τους (µέσω του οπτικού κύµατος που διαµορφώνουν) σ ένα επίπεδο απεικόνισης (επίπεδο Fourier ή επίπεδο συχνοτήτων). ο παραπάνω πραγµατοποιείται µε τη βοήθεια µετασχηµατισµών Fourier. Ένας µετασχηµατισµός Fourier, δεν κωδικοποιεί µόνο ένα απλό ηµιτονοειδές, αλλά ένα πλήθος ηµιτονοειδών που διαµορφώνουν την εικόνα και εποµένως ένα πλήθος χωρικών συχνοτήτων σε µια µεγάλη περιοχή που καλύπτει από χαµηλές έως πολύ υψηλές συχνότητες. εδοµένου ότι η προσέγγιση Fourier πραγµατεύεται τη διαδικασία οπτικής απεικόνισης ως φαινόµενο περίθλασης, πολλές πρακτικές εφαρµογές της περίθλασης και όχι µόνο στην οπτική, χρησιµοποιούν ως εργαλείο τους µετασχηµατισµούς Fourier. Σηµείωση: Για την κατανόηση αυτής της εργασίας, απαραίτητη είναι η γνώση της θεωρίας της περίθλασης, καθώς και της θεωρίας των φακών.. Ανάλυση Fourier Σύµφωνα µε τη θεωρία Fourier, σχεδόν όλες οι περιοδικές συναρτήσεις µπορεί να συντεθούν από ένα άθροισµα αρµονικών όρων (δηλαδή από ηµιτονικές ή συνηµιτονικές συνιστώσες) που παρουσιάζουν διαφορετικά πλάτη και φάσεις. Οπωσδήποτε όµως η ανάλυση δεν περιορίζεται µόνο στις περιοδικές συναρτήσεις σε σχέση µε τις αρµονικές τους, αλλά επεκτείνεται και στις µη περιοδικές (για παράδειγµα βηµατικές συναρτήσεις, θόρυβος κ.λπ), οι οποίες µπορούν να αναλυθούν στις συνιστώσες συχνότητές τους. Αν απεικονίσουµε τα πλάτη και/ή τις φάσεις των αρµονικών συνιστωσών συναρτήσει της συχνότητας, ως αποτέλεσµα θα έχουµε ένα φάσµα, µια απεικόνιση δηλαδή του σήµατος στο πεδίο συχνότητας (φάσµα Fourier).. Σειρές Fourier Μια περιοδική συνάρτηση f(t), που παρουσιάζει γωνιακή συχνότητα ω, µπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισµα όλων των αρµονικών συναρτήσεων των οποίων οι συχνότητες είναι πολλαπλάσια του ω (που είναι η θεµελιώδης συχνότητα), δηλαδή:
f (t) ( α cos ωt + b si ω ) + t α () ή σε µιγαδική µορφή: f (t) c e iωt () Οι συντελεστές από τις παραπάνω σειρές υπολογίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: α f (t) (3) α f (t)cos (ωt) (4) b f (t)si (ωt) (5) iωt c f (t)e (6) όπου π/ω είναι η περίοδος της συνάρτησης f(t) (7) Ορίζουµε ως φάσµα συχνοτήτων ή φάσµα Fourier της συνάρτησης f(x) την γραφική απεικόνιση των παραπάνω συντελεστών συναρτήσει του ω.. Μετασχηµατισµός Fourier Οι σειρές Fourier µπορούν να εφαρµοστούν αυστηρά µόνο σε περιοδικές συναρτήσεις επειδή παρουσιάζουν ένα φάσµα διακριτών συχνοτήτων. Αν θεωρήσουµε τη γε- περίπτωση που η συνάρτηση f(t) δεν είναι περιοδική, τότε η σειρά Fourier θα νική πρέπει να αντικατασταθεί από το ολοκλήρωµα Fourier. Ένας τρόπος για να κατανοήσουµε τη διαφορά αυτών των δυο είναι να θεωρήσουµε ότι η µη περιοδική συνάρτηση είναι η οριακή περίπτωση µιας περιοδικής συνάρτησης που παρουσιάζει άπειρη περίοδο και εποµένως διαµορφώνει ένα συνεχές φάσµα συχνοτήτων. Υπ αυτή την έννοια, για να εκφράσουµε τέτοιου είδους συναρτήσεις ως Fourier συνιστώσες, θα πρέπει να αθροίσουµε σ όλη την έκταση του φάσµατος και η σχέση () µετατρέπεται σε: f (t) F( ν)e i πν t d ν (8) όπου η συνάρτηση F( ν) είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της f(t):
iπνt F( ν ) f (t)e (µετασχηµατισµός Fourier) (9) Η σχέση (8) αποτελεί τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier. Παρατηρούµε ότι ενώ η σχέση (9) µετασχηµατίζει από το επίπεδο του χρόνου στο επίπεδο της συχνότη- (δηµιουργούµε δηλαδή για τη συνάρτηση f(t) ένα φάσµα Fourier F(ν)), ο αντί- τας στροφος µετασχηµατισµός Fourier (σχέση 8) µας µεταφέρει από το επίπεδο της συχνότητας στο επίπεδο του χρόνου. Μας δίνει δηλαδή την αρχική συνάρτηση f(x). Όµως, όπως θα δούµε παρακάτω, η εργασία αυτή δεν αναφέρεται σε φαινόµενα εξαρτώµενα από το χρόνο, αλλά σε φαινόµενα που µεταβάλλονται µε τη θέση x ή y, κατά µήκος µιας απεικόνισης και εποµένως θα µελετήσουµε την αντιστοιχία µεταξύ θέσης x,y και χωρικής συχνότητας ν. Οι δυο τελευταίες σχέσεις µπορούν να εκφραστούν και ως: F(ν) F[f(t)] (µετασχηµατισµός Fourier) f(t) F - [F(ν)] (αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier) Οι συναρτήσεις f(t) και F(ν) είναι ισοδύναµες και µεταφέρουν ακριβώς την ίδια πλη- χώρους. Παρου- ροφορία. Με άλλα λόγια, είναι η ίδια συνάρτηση σε διαφορετικούς σιάζουν µάλιστα και την ίδια ένταση. Αποδεικνύεται ότι (θεώρηµα του Parseval): f (t) F( ν) dν () Επίσης, τόσο η f(t), όσο και η F(ν) έχουν ένα συγκεκριµένο εύρος, δηλαδή περιοχή στην οποία είναι πρακτικά µη µηδενικές και όσο µεγαλύτερο είναι το εύρος της µιας, τόσο µικρότερο το εύρος της άλλης. Ένα άλλο σηµαντικό στοιχείο είναι ότι όσο πιο απότοµες είναι οι µεταβολές µιας συνάρτησης στον ένα χώρο, τόσο περισσότερες υψηλές αρµονικές απαιτούνται για την 3 4 Σχήµα. ετραγωνικός παλµός που εκφράζεται από περιοδική συνάρτηση. προσέγγισή της από τον άλλο χώρο. Στο Σχήµα () έχουµε ένα τετραγωνικό παλµό (περιοδική συνάρτηση) που µπορεί να εκφραστεί ως το άθροισµα όλων των αρµονικών συναρτήσεων (δηλαδή µε σειρές Fourier). Παρατηρούµε αφ ενός ότι κάθε αρµο-
νική διαµορφώνεται από το άθροισµα των προηγούµενων αρµονικών και αφ ετέρου ότι η σύγκλιση όλων αυτών των αρµονικών προς τον τετραγωνικό παλµό δεν είναι ικανοποιητική, πράγµα που σηµαίνει ότι απαιτούνται περισσότερες υψηλές αρµονικές για να προσεγγίσουµε τον παλµό. Σηµείωση: σε όρους γωνιακής συχνότητας ω, οι σχέσεις (8) και (9) µπορούν να γραφούν ως: f (t) F( ω ) π π F( ω)e f (t)e iωt iωt dω