Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )



Σχετικά έγγραφα
2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4

Ευχαριστίες Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Περιεχόμενα. Πρόλογος

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης

Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

ưƪƶƭʈƪƶ ƩƭƧĭƳƵƭƮƪƶ ƪƲƭƶƻƶƪƭƶ & ưƭīƨʃƭʈƪƶ ƶƹʊƨƶʒƭƶƪƭƶ:

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Προφανώς, μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Όμως, μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας fe

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας.

2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Ο μετασχηματισμός Fourier

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

περιεχομενα Πρόλογος vii

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΠΡΟΣΟΧΗ : Νέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 1ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5. Μέρος Α

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz ()

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Transcript:

Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους Φοιτητές των Σχολών Εφαρμοσμένων Επιστημών των Α.Ε.Ι. και Α.Τ.Ε.Ι. της Χώρας και σχεδιάστηκε έτσι ώστε να συνδυάζει τη συντομία και την απλότητα με τη σαφήνεια, τη μεθοδικότητα και τη διδακτικότητα. Περιέχει σύντομη αλλά σαφή Θεωρία, πολλά διευκρινιστικά Παραδείγματα (120), πάρα πολλές Λυμένες Ασκήσεις (280) και ικανό αριθμό Τεχνολογικών Εφαρμογών στον Ηλεκτρισμό. Επειδή τα Μαθηματικά πρέπει να αποτελούν εργαλείο και όχι αυτοσκοπό στις Εφαρμοσμένες Επιστήμες, παραλείπονται οι αποδείξεις οι οποίες έχουν καθαρά θεωρητικό ενδιαφέρον και δίνονται οι αποδείξεις οι οποίες έχουν και πρακτικό ενδιαφέρον, δηλ. εκείνες των οποίων η τεχνική εφαρμόζεται και στις Ασκήσεις. Ακόμη, καταβλήθηκε προσπάθεια ώστε το κείμενο να γίνει το δυνατόν αυτοδύναμο για να μην υποχρεώνεται ο Φοιτητής να ανατρέχει σε έννοιες και τύπους του Ολοκληρωτικού Λογισμού ή της Στοιχειώδους Τριγωνομετρίας χάνοντας πολύτιμο χρόνο. Η ύλη του κατανέμεται σε τέσσερα Κεφάλαια. Στο πρώτο Κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, στο δεύτερο Κεφάλαιο μελετώνται ο Μετασχηματισμός Laplace, οι εφαρμογές του στην επίλυση των Γραμμικών Διαφορικών και των Ολοκληρωτικο-διαφορικών Εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές και γίνονται Τεχνολογικές Εφαρμογές της Θεωρίας στα Ηλεκτρικά κυκλώματα. Στο τρίτο Κεφάλαιο μελετάται το ανάπτυγμα μιας περιοδικής συνάρτησης σε σειρά Fourier, δηλ. η ανάλυση περιοδικού κύματος σε αρμονικές συνιστώσες και στο τέταρτο Κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στο μετασχηματισμό Fourier και μελετάται ο μετασχηματισμός Ζ. Θεσσαλονίκη, Απρίλιος 2003 Α. Γ. Αθανασιάδης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ο Κεφάλαιο: Εισαγωγή στις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις 1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής...9 1.2. Λυμένες Ασκήσεις...16 1.3. Γενική, μερική και ιδιάζουσα λύση διαφορικής εξίσωσης Πρόβλημα αρχικών και πρόβλημα συνοριακών τιμών. Το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος...20 1.4. Λυμένες Ασκήσεις...28 1.5. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών...34 1.6. Λυμένες Ασκήσεις...40 1.7. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης...47 1.8. Λυμένες Ασκήσεις...51 1.9. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Διαφορική εξίσωση Bernoulli...57 1.10. Λυμένες Ασκήσεις...62 2 ο Κεφάλαιο: Ο Μετασχηματισμός Laplace (Οι εφαρμογές του στην επίλυση των γραμμικών διαφορικών και ολοκληρωτικο-διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές) 2.1. Ο μετασχηματισμός Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Ύπαρξη Γραμμική ιδιότητα...71 2.2. Λυμένες Ασκήσεις...82 2.3. Μετασχηματισμένη Laplace των παραγώγων και του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης...90 2.4. Λυμένες Ασκήσεις...97 2.5. Βηματικές συναρτήσεις Μετατόπιση του άξονα των s Μετατόπιση του άξονα των t...111 2.6. Λυμένες Ασκήσεις...116 2.7. Η συνάρτηση δ του Dirac Βραχείς παλμοί...129 2.8. Λυμένες Ασκήσεις...130 2.9. Παραγώγιση και ολοκλήρωση της μετασχηματισμένης Laplace...137 2.10. Λυμένες Ασκήσεις...142

8 Περιεχόμενα 2.11. Η μέθοδος του Heaviside...148 2.12. Λυμένες Ασκήσεις...151 2.13. Η μέθοδος της συνέλιξης (convolution)...160 2.14. Λυμένες Ασκήσεις...163 2.15. Η μετασχηματισμένη Laplace των περιοδικών συναρτήσεων...173 2.16. Λυμένες Ασκήσεις...173 2.17. Τεχνολογικές Εφαρμογές Δ.Ε. σε Ηλεκτρικά Κυκλώματα...181 Πίνακας Μετασχηματισμένων Laplace...203 2.18. Λυμένες Ασκήσεις εφόλης της ύλης του 2ου Κεφαλαίου...204 3 ο Κεφάλαιο: Ανάπτυγμα περιοδικής συνάρτησης σε σειρά Fourier 3.1. Σειρά Fourier περιοδικής συνάρτησης...241 3.2. Λυμένες Ασκήσεις...249 3.3. Σύγκλιση και άθροισμα της σειράς Fourier...265 3.4. Λυμένες Ασκήσεις...266 3.5. Σειρές συνημιτόνων και σειρές ημιτόνων...283 3.6. Λυμένες Ασκήσεις...286 3.7. Λυμένες Ασκήσεις εφόλης της ύλης του 3ου Κεφαλαίου...297 4 ο Κεφάλαιο: Οι Μετασχηματισμοί Fourier και Z 4.1. Ο μετασχηματισμός Fourier Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier Ύπαρξη Ιδιότητες...321 4.2. Λυμένες Ασκήσεις...323 4.3. Ακολουθίες πραγματικών αριθμών...330 4.4. Δυναμοσειρές...336 4.5. Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών αριθμών...341 4.6. Ο μετασχηματισμός Z...344 4.7. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ...359 4.8. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ...373 4.9. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier...383 Βιβλιογραφία...391